1 141202005819-conversion-gate02

1 ครเสวตร โรงเรยนอทกวทยาคม กลมสาระการเรยนรคณตศาสตร วชาคณตศาสตรเพมเตม ปการศกษา 2557

บทท 1 การแยกตวประกอบของพหนามและสมการพหนาม

1. พหนามดกรสอง พหนามดกรสอง เขยนไดในรป 2ax bx c เมอ , ,a b c เปนคาคงตวท 0a

การแยกตวประกอบของพหนามดกรสอง การแยกตวประกอบของพหนามดกรสอง เปนการเขยนพหนามใหอยในรปผลคณของพหนามดกรหนง ซงสามารถท าไดหลายวธ ขนอยกบรปแบบของพหนามดกรสองทตองการจะแยกตวประกอบ

1.1 เมอ 0c พหนาม 2 0ax bx c จะเขยนไดในรป 2ax bx ซงสามารถท าไดดงน

แยกตวประกอบโดยใชสมบตแจกแจง 2ax bx ax x b

ตวอยางท 1 จงแยกตวประกอบของพหนามในแตละขอตอไปน

1) 2 3 ........................x x 2) 2 5 ........................x x 3) 22 6 ........................x x 4) 23 9 ........................x x 5) 26 4 ........................x x 6) 28 12 ........................x x 7) 2 23 6 ........................x y xy 8) 2 26 8 ........................xy x y 1.2 เมอ 0c และ 0b พหนาม 2 0ax bx c จะเขยนไดในรป 2ax c ซงสามารถท าไดดงน

แยกตวประกอบโดยใชสตรผลตางก าลงสอง 2 2x y x y x y

ตวอยางท 2 จงแยกตวประกอบของพหนามในแตละขอตอไปน 1) 2 4 ...............................x 2) 2 25 ...............................x 3) 24 9 ...............................x 4) 281 16 ...............................x

5) 2

2 9 ...............................x 6) 25 1 ...............................x


7) 23 16 ...............................x 8) 26 5 ...............................x

9) 2

2 1 8 ...............................x 10) 2

4 2 3 12 ...............................x

1.3 เมอพหนาม 2ax bx c อยในรปก าลงสองสมบรณ ซงสามารถท าไดดงน แยกตวประกอบโดยใชก าลงสองสมบรณ

1. 22 22x xy y x y x y x y

2. 22 22x xy y x y x y x y

ตวอยางท 3 จงแยกตวประกอบของพหนามในแตละขอตอไปน 1) 2 4 4 ...............................x x 2) 2 8 16 ...............................x x 3) 2 6 9 ...............................x x 4) 24 12 9 ...............................x x 5) 2 10 25 ...............................x x 6) 29 6 1 ...............................x x 7) 24 12 9 ...............................x x 8) 29 30 25 ...............................x x 9) 2 6 4x x …………………………………………………………………………………………….. 10) 2 4 1x x …………………………………………………………………………………………….. 11) 2 3 1x x …………………………………………………………………………………………….. …………………………………………………………………………………………….. 12) 2 11 25x x …………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………..


1.4 เมอพหนาม 2ax bx c ม 1a และ ,b c เปนจ านวนเตม จะเขยนไดในรป 2x bx c แยกตวประกอบโดยการหาจ านวนเตมสองจ านวนทคณกนได c และบวกกนได b ซง ถา mn c และ m n b แลว 2x bx c x m x n


1) 2 5 6 ............................x x 2) 2 7 6 ............................x x 3) 2 7 12 ............................x x 4) 2 12 35 ............................x x 5) 2 3 2 ............................x x 6) 2 8 15 ............................x x 7) 2 15 56 ............................x x 8) 2 8 12 ............................x x 9) 2 5 6 ............................x x 10) 2 5 6 ............................x x 11) 2 2 8 ............................x x 12) 2 2 3 ............................x x 13) 2 5 24 ............................x x 14) 2 4 32 ............................x x 15) 2 2 24 ............................x x 16) 2 3 40 ............................x x 17) 2 3 54 ............................x x 18) 2 6 ............................x x 19) 2 4 21 ............................x x 20) 2 7 60 ............................x x


1.5 เมอพหนาม 2ax bx c และ , ,a b c เปนจ านวนเตม

แยกตวประกอบโดยน า 2ax และ c มาแยกตวประกอบใสวงเลบแลวตรวจสอบคาของ b และ c

2ax bx c mx k nx r เมอ ,a mn c kr และ b mr kn

ตวอยางท 5 จงแยกตวประกอบของพหนามในแตละขอตอไปน 1) 22 3 1x x

2) 23 4 1x x 3) 22 5 2x x 4) 22 5 2x x 5) 22 5 3x x


6) 23 2 5x x 7) 22 5 3x x

8) 22 1x x 9) 23 4 15x x

10) 24 4 15x x 11) 26 13 15x x

12) 24 8 3x x


13) 26 13 6x x

14) 28 10 3x x 15) 212 6x x 16) 212 3 15x x 17) 218 3 10x x โดยวธท าใหเปนก าลงสองสมบรณ

18) 22 10 5x x = 19) 22 5 3x x =


20) 23 2x x = 21) 23 12 2x x 22) 21 2x x =

2. พหนามดกรสงกวาสอง เมอ A และ B เปนพหนาม เรยกพหนามทอยในรป 3 3A B วา ผลบวกก าลงสาม และเรยก 3 3A B วา ผลตางก าลงสาม ซงแยกตวประกอบไดดงน

1. 3 3 2 2A B A B A AB B

2. 3 3 2 2A B A B A AB B



1) 3 27x = 2) 3 64x = 3) 38 27x

4) 327 8x = 5) 3 364 125y x = 6)

3 35 2 2 5x x =

7)

3 34 1 4x x =


8) 4 16x = 9) 4 9y =

3. การแยกตวประกอบของพหนามโดยใชทฤษฎบทเศษเหลอ ทฤษฎบทเศษเหลอ ถาหารพหนาม ( )P x ดวยพหนาม x c ท c เปนคาคงตว แลวจะไดเศษเหลอเทากบ ( )P c

ตวอยางท 1 จงใชทฤษฎบทเศษเหลอหาเศษทเหลอจากการหาร 3 25 7x x x ดวย 1x ตวอยางท 2 จงใชทฤษฎบทเศษเหลอหาเศษทเหลอจากการหาร 3 22 16 32x x x ดวย 2x ตวอยางท 3 จงใชทฤษฎบทเศษเหลอหาเศษทเหลอจากการหาร 3 28 19 12x x x ดวย 1x


ถาเศษเหลอจากการพหนาม ( )P x ดวย x c เทากบ 0 แลว จะไดวา 1. x c หาร ( )P x ลงตว 2. x c เปนตวประกอบหนงของ ( )P x 3. ( ) ( )P x x c Q x เมอ ( )Q x เปนผลหารซงมดกรนอยกวา ( )P x อย 1

ตวอยางท 4 จงแยกตวประกอบของ 3 28 19 12x x x ตวอยางท 5 จงแยกตวประกอบของ 3 24 11 30x x x ตวอยางท 6 จงแยกตวประกอบของ 3 19 30x x


ตวอยางท 7 จงแยกตวประกอบของ 4 3 22 17 18 72x x x x

4. สมการพหนาม 4.1. สมการพหนามก าลงสอง

สมการพหนามก าลงสองตวแปรเดยวทม x เปนตวแปรมรปทวไปเปน 2 0ax bx c เมอ , ,a b c เปนคาคงตว และ 0a สามารถท าไดดงน

กรณท 1 แยกตวประกอบไดงาย ตวอยางท 1 จงแกสมการในแตละขอตอไปน 1) 2 5 0x x 2) 2 3 4 0x x 3) 2 6x x 4) 2 4 6x x x 5) 23 2x x 6)

22 5x


7)

2 22 1 1 8x x

8) 3 2 2 6 0x x x x 9)

2 24 1 2x x

10)

21 3 0x


กรณท 2 แยกตวประกอบไดยาก 1) อาจใชวธท าใหเปนก าลงสองสมบรณ แลวใชผลตางก าลงสองมาชวยในการแยกตวประกอบ

ตวอยางท 2 จงแกสมการในแตละขอตอไปน 1) 2 4 3 0x x 2) 2 2 2 0x x 3) 2 2 2x x 4) 2 2 6 5x x x


2) ใชสตร

จากสมการก าลงสอง 2 0ax bx c จะไดวา 2 4

2

b b acx

a

1) ถา 2 4 0b ac แลวสมการมค าตอบเดยว คอ 2

bx

a

2) ถา 2 4 0b ac แลวสมการมค าตอบเปนจ านวนจรง 3) ถา 2 4 0b ac แลวสมการไมมค าตอบหรอมค าตอบเปนจ านวนจนตภาพ

ตวอยางท 3 จงแกสมการสมการในแตละขอตอไปน 1) 0522 xx 2) 132 2 xx

3) xxx 4732 4) 2 22 4 3x x x x

5) 2 1 4x x x 6) 2 25 6 5 2x x x x


ตวอยางท 4 ถา 2

1x เปนรากของสมการ 0372 xax แลว รากอกรากหนงของสมการน

มคาเทากบขอใดตอไปน ก. 1 ข. 2 ค. 3 ง. 4


3x เปนค าตอบของสมการ 23 10 0x ax แลว ค าตอบอกค าตอบหนงของสมการน

มคาเทากบขอใดตอไปน ก. 5 ข. 3 ค. 3 ง. 5


2 และ 1

2 เปนรากของสมการ 2 6 0ax bx แลว a b มคาเทากบขอใดตอไปน

ก. 4 ข. 8 ค. 16 ง. 32

ตวอยางท 7 คาของ c ทท าให 22 4 1 0x x c มค าตอบเดยวตรงกบขอใดตอไปน

ก. 4 ข. 3 และ 2 ค. 3 ง. 0 และ 1


5. โจทยปญหาเกยวกบสมการก าลงสอง

ขนตอนการแกปญหา 1. สมมตตวแปรแทนทแทนสงทโจทยตองการหา 2. น าขอมลทไดจากโจทยมาเขยนเปนประโยคสญลกษณ 3. แกสมการก าลงสอง

ตวอยางท 1 รปสเหลยมผนผารปหนงมดานยาวยาวกวาดานกวาง 6 เซนตเมตร และมพนทเทากบ 216 ตารางเซนตเมตร จงหาความยาวของเสนรอบรปของรปสเหลยมรปน ตวอยางท 2 สวนของเสนตรงเสนหนงยาว 6 เซนตเมตร ถาแบงสวนของเสนตรงนออกเปนสองสวน ใหสวนหนงเทากบ ก าลงสองของอกสวนหนง จงหาความยาวของสวนทสน ตวอยางท 3 รปสามเหลยมมมฉาก ABC มดานประกอบมมฉาก AB และ BC ยาว 9x นว และ 3x นว ตามล าดบ และดานตรงขามมมฉากยาว 30 นว รปสามเหลยมมมฉากนมพนทก ตารางนว


ตวอยางท 4 สนามหญาแหงหนงกวาง 10 เมตร ยาว 12 เมตร รอบนอกของสนามมถนนกวางเทาๆกนทงสดาน ถาพนท ของถนนเปน 104 ตารางเมตร จงหาวาถนนนกวางก เมตร ตวอยางท 5 นกเรยนกลมหนงรวมเงนเพอซออปกรณวทยาศาสตรราคา 1,400 บาท แตปรากฏวามนกเรยนในกลมน

ถอนตวออกจากกลมไป 5 คน พวกทเหลอจงตองเพมเงนอกคนละ 5 บาท จงหาวาเดมนกเรยนกลมนมก คน ตวอยางท 6 บอน ารปสเหลยมผนผามพนท 600 ตารางเมตร และมความยาวรอบของบอเทากบ 100 เมตร จงหาความกวางและความยาวของบอแหงน


ตวอยางท 7 ถงใบหนงมทอเปดน าเขา 2 ทอ ทอใหญจายน าเขาเตมถงเรวกวาทอเลก 18 นาท ถาเปด 2 ทอพรอมกน น าจะเตมถงในเวลา 12 นาท ถาเปดทอใหญทอเดยวจะใชเวลานานกนาทน าจงจะเตมถง

ก. 12 นาท ข. 16 นาท ค. 18 นาท ง. 20 นาท

ตวอยางท 8 รถไฟขบวนหนงแลนในระยะทาง 180 กโลเมตร หลงจากแลนไดครงทางในอตราเรวคงท เกดเหตการณ ท าใหตองลดความเรวลงชวโมงละ 5 กโลเมตร ท าใหถงปลายทางชาไป 15 นาท เดมรถไฟแลนไดชวโมงละ

กกโลเมตร ก. 40 ข. 45 ค. 50 ง. 60

ตวอยางท 9 นกเรยนกลมหนงม 8 คน ตกลงกนจะออกเงนซอตนไมตนหนงราคา 300 บาท มาปลกในโรงเรยน

ตามโครงการสวนสวยโรงเรยนงาม โดยนกเรยนชายและหญงออกเงนฝายละครงแตนกเรยนชายออกเงน มากกวานกเรยนคนละ 20 บาท ดงนนนกเรยนกลมนมผหญงมากกวาผชายก คน ก. 1 คน ข. 2 คน ค. 3 คน ง. 4 คน


ตวอยางท 10 รถไฟขบวนหนงแลนออกจากสถานกรงเทพมหานครไปยงสถานปลายทาง คนขบรถพบวา ถาเพมความ เรวจากความเรวปกตชวโมงละ 6 กโลเมตร จะถงสถานปลายทางเรวขน 3 นาท แตถาลดความเรวจากความเรวปกต ชวโมงละ 5 กโลเมตร จะถงสถานปลายทางชาลง 3 นาท ระยะทางจากสถานกรงเทพมหานคร ไปยงสถานปลายทาง ของรถไฟขบวนนเทากบก กโลเมตร(สมาคมฯ 2557) ตวอยางท 11 ชาย 2 คนขจกรยานดวยความเรว 10 ไมลตอชวโมง วงลอรถจกรยานคนหนงยาวกวาอกคนหนง 8 นว วงลอใหญหมนชากวาวงลอเลก 1 รอบใน 5 วนาท จงหาความยาวของวงลอจกรยาน 2 คนน (ก าหนดให 1 ไมล เทากบ 1760 หลา และ 1 หลา เทากบ 3 ฟต )

Education

1 141202005819-conversion-gate02