10b precipitazioni

Le precipitazioni

Riccardo Rigon

A. A

dam

s -

Pio

ggia

Ten

aya,

Wednesday, April 10, 13

R. Rigon

Obbiettivi:

2

•Fare una sintesi dei processi di formazione delle precipitazione

•Fare una sintesi dei tipi di nuvola che produce precipitazioni

Introduzione


R. Rigon

Perchè piova

3

Introduzione


R. Rigon

Perchè piova

•I moti atmosferici sono generati dalla disuniforme radiazione solare

sulla superficie della Terra, a causa della sua forma sferica.

3

Introduzione


R. Rigon

Perchè piova

•I moti atmosferici sono generati dalla disuniforme radiazione solare

sulla superficie della Terra, a causa della sua forma sferica.

•Poichè la Terra ruota attorno al proprio asse, ogni massa d’aria in

movimento, subisce una deviazione dovuta alla forza (apparente) di

Coriolis.

3

Introduzione


R. Rigon

Perchè piova

•Questa situazione:

•genera delle moti tra aree di posizione “quasi stabile” di alta e bassa

pressione

•discontinuità nel campo di moto dell’aria a grande scala e discontinuità

nelle proprietà termodinamiche di masse d’aria a contatto

•genera quindi le condizioni per cui alcune masse d’aria più leggere

“scivolano” sopra altre, innalzandosi.

4

Introduzione


R. Rigon

Perchè piova

5

Introduzione


R. Rigon

Perchè piova

•La superficie della Terra è composta da masse materiali (aria, acqua, terra)

diverse e variamente orientate che rispondono in modo differenziato alla

radiazione solare, provocando ulteriori moti di masse d’aria (alla scala della

variabilità presente) necessari alla redistribuzione dell’energia radiante

ricevuta.

5

Introduzione


R. Rigon

Perchè piova

•La superficie della Terra è composta da masse materiali (aria, acqua, terra)

diverse e variamente orientate che rispondono in modo differenziato alla

radiazione solare, provocando ulteriori moti di masse d’aria (alla scala della

variabilità presente) necessari alla redistribuzione dell’energia radiante

ricevuta.

•Per effetto di questi moti, si possono creare fenomeni di innalzamento

locale delle masse d’aria.

5

Introduzione


R. Rigon

Perchè piova

6

Introduzione


R. Rigon

Perchè piova

•Masse d’aria in movimento sono innalzate dalla presenza dell’orografia.

6

Introduzione


R. Rigon

Perchè piova

7

Introduzione


R. Rigon

Perchè piova

•L’aria si innalza anche per effetto di riscaldamento della superficie terrestre in

misura diversa dell’aria circostante, che causa di condizioni di instabilità

atmosferica

7

Introduzione


R. Rigon

Perchè piova

8

Introduzione


R. Rigon

Perchè piova

•Quando l’aria si innalza, si raffredda, per effetto dell’espansione adiabatica

(isentropica) e diminuisce la tensione di vapore di equilibrio, rendendo

possibile (ma non sempre realizzandola) la condensazione del vapore acqueo.

8

Introduzione


R. Rigon

Perchè piova




•Si formano così, ad una opportuna quota dal suolo, le nuvole: particelle di acqua

liquida o solida, sospese in aria.

8

Introduzione


R. Rigon

Perchè piova






8

Introduzione


R. Rigon

Perchè piova






Storm building near Arvada, Colorado. U.S. © Brian Boyle.

8

Introduzione


R. Rigon

Perchè piova

•Se le goccie d’acqua riescono ad accrescersi al punto da raggiungere un peso

sufficiente, precipitano a terra. Piove, nevica o grandina.

Precipitation, Thriplow in Cambridgeshire. U.K © John Deed.

9

Introduzione


R. Rigon

I tipi di evento- Stratiforme

10

Ove

r Ber

wic

k-up

on-T

wee

d, N

orth

umbe

rland

, UK

.©

Ant

onio

Fec

i

Stra

tocu

mul

us st

ratif

orm

is

Introduzione


http://cloudappreciationsociety.org/collecting/antonio-feci/




http://cloudappreciationsociety.org/collecting/example/sc/

http://cloudappreciationsociety.org/collecting/example/sc/

http://cloudappreciationsociety.org/collecting/species/str/

http://cloudappreciationsociety.org/collecting/species/str/

R. Rigon

I tipi di evento- Convettivo

11

Ove

r Aus

tin, T

exas

, US

© G

inni

e Po

wel

l

Cum

ulon

imbu

s cap

illat

us in

cus

Introduzione


http://cloudappreciationsociety.org/collecting/ginnie-powell/




http://cloudappreciationsociety.org/collecting/example/cb/

http://cloudappreciationsociety.org/collecting/example/cb/

http://cloudappreciationsociety.org/collecting/species/cap/

http://cloudappreciationsociety.org/collecting/species/cap/

http://cloudappreciationsociety.org/collecting/example/incus/

http://cloudappreciationsociety.org/collecting/example/incus/

R. Rigon

Nubi stratiformi

12

Introduzione


R. Rigon

Nubi stratiformi

13

Introduzione


R. Rigon

Cic

lon

e ex

trat

rop

ical

e

14

Hou

ze,

1

99

4

Introduzione


R. Rigon

Nubifragi

15

Hou

ze,

1

99

4Introduzione


R. Rigon

16

Hou

ze,

1

99

4

Nubifragi

Introduzione


R. Rigon

Fattori che influenzano la natura e la quantità delle precipitazioni al suolo

•La latitudine: la precipitazione è distribuita sulla superficie terrestre in

funzione dei sistemi di circolazione generale

•L’altitudine: la precipitazione (media annuale) tende a crescere con la

quota, fino ad una quota limite (le alte quote sono mediamente aride).

•La posizione rispetto alle masse oceaniche, ai venti prevalenti, la

posizione generale dell’orografia

17

Introduzione


R. Rigon

F. G

iorg

iou

, 2

00

8

Dis

trib

uzio

ne

spaz

iale

18

Introduzione


R. Rigon

Dis

trib

uzio

ne

spaz

iale

19

Introduzione


R. Rigon

Precipitation exhibits spatial variability at a large range of scales

(mm/hr)

512 k

m

pixel = 4 km

0 4 9 13 17 21 26 30R (mm/hr)

2

km

4

km

pixel = 125 m

Fou

fula

-Geo

rgio

u, 2

00

8

20

Introduzione


R. Rigon

Spatial Rainfall

Fou

fula

-Geo

rgio

u, 2

00

8

21

Introduzione


R. Rigon

Distribuzione spaziale

22

Introduzione


R. Rigon

Caratteristiche delle precipitazioni al suolo

•Lo stato fisico (pioggia, neve grandine, rugiada)

•L’altezza: ovvero la quantità di precipitazione per unità di area

(proiettata), spesso espressa in mm o cm.

•La durata: ovvero l’intervallo temporale durante il quale si registra con

continuità precipitazione, o, a seconda dei contesti, la durata di

registrazione di un certo ammontare di precipitazione (a prescindere

dalla continuità della stessa)

•L’altezza cumulata, l’altezza di precipitazione misurata in un intervallo

di tempo prefissato, anche se dovuta a più eventi.

23

Caratteristiche statistiche della precipitazione


R. Rigon

Caratteristiche delle precipitazioni al suolo

•L’ intervallo medio tra due precipitazioni successive

(storm inter-arrival time)

•La distribuzione spaziale dei volumi di pioggia

•La frequenza o il tempo di ritorno di una certa precipitazione con

altezza e durata assegnate

•La qualità, ovvero la composizione chimica della precipitazione

24



R. Rigon

Eventi

1

2 3

4

5 6

25



R. Rigon

Temporal Rainfall

Fou

fula

-Geo

rgio

u, 2

00

8

26

Distribuzione temporale delle precipitazioni



R. Rigon

Isto

gra

mm

a d

elle

pre

cip

itaz

ion

i m

ensi

li

27



R. Rigon

Stat

isti

che

28



R. Rigon

Du

rate

a lo

gn

orm

al d

istr

ibu

tion

29



R. Rigon

Inte

nsi

tàlo

gn

orm

al ?

30



R. Rigon

31

Pre

cip

itaz

ion

i Est

rem

e



Le precipitazioni estreme

Riccardo Rigon

Kan

din

ski

-Com

posi

tion

VI

(Il

dil

uvi

o)-

19

13


R. Rigon

Consideriamo le precipitazioni massime annualiQueste si trovano negli annali idrologici registrate per certe durate caratteristiche:

1h, 3h, 6h,12h 24 h e rappresentano il massimo di precipitazione cumulato sulla

prefissata durata.

33

anno 1h 3h 6h 12h 24h1 1925 50.0 NA NA NA NA2 1928 35.0 47.0 50.0 50.4 67.6

......................................

......................................

46 1979 38.6 52.8 54.8 70.2 84.247 1980 28.2 42.4 71.4 97.4 107.451 1987 32.6 40.6 64.6 77.2 81.252 1988 89.2 102.0 102.0 102.0 104.2

Analisi dei massimi di precipitazione


R. Rigon

Precipitazioni Massime a Paperopoli

durata

Pre

cip

ita

zio

ne

(m

m)

1 3 6 12 24

50

100

150

50

100

150

34

Consideriamo le precipitazioni massime annuali

Per ogni durata si ha una distribuzione di precipitazioni



R. Rigon

1 3 6 12 24

50

100

150


durata

Pre

cip

itazio

ne (

mm

)

Mediana

>boxplot(hh ~ h,xlab="durata",ylab="Precipitazione (mm)",main="Precipitazioni Massime a Paperopoli") 35



R. Rigon

Tempo di ritorno

E’ l’intervallo di tempo medio in cui una certa intensità di precipitazione si

ripete (o è superata). Sia:

T

l’intervallo temporale in cui si dispone di una certa misura

Siano

n

le misurazioni fatte in T e

m=T/n

il tempo di campionamento di una singola misura (la durata dell’evento

considerato).36



R. Rigon

Tempo di ritorno

Allora il tempo di ritorno della misura h* è

37

se si definisce ,

la frequenza di successi (misure superiori od uguali ad h*), o frequenza di

superamento del valore h*, Allora



R. Rigon

Tempo di ritorno

38

è detta frequenza empirica di non superamento o “empirical

cumulative distribution function” (ECDF)

e vale pure:

dove



R. Rigon

Tempo di ritorno

39

Nelle analisi statistiche più accurate, si tratterà di interpolare le frequnze

empiriche su particolari famiglie di distribuzioni di probabilità. In modo tale che

Dove alle frequenze empiriche si sono sostituite le curve di probabilità

interpolanti. In questo modo, ad ogni frequenza (e quantile) corrisponde

un unico tempo di ritorno.



R. Rigon

1 3 6 12 24

50

100

150


durata

Pre

cip

itazio

ne (

mm

)

Mediana -> q(0.5) -> Tr = 2 anni

q(0.75) -> Tr = 4 anni

q(0.25) -> Tr = 1.33 anni

40


R. Rigon

h(tp, Tr) = a(Tr) tnp

Le curve di possibilità pluviometrica

41



R. Rigon



42

a l t e z z a d i precipitazione

legge di potenza



R. Rigon



43


c o e f f i c i e n t e dipendente dal tempo di ritorno



R. Rigon



44


d u r a t a considerata



R. Rigon



45


esponente (non dipendente dal t e m p o d i ritorno)



R. Rigon



Poichè l’altezza di precipitazione cumulata è una funzione non decrescente

della durata, allora n >0

E’ noto però che l’intensità media della precipitazione:

J(tp, Tr) :=h(tp, Tr)

tp= a(Tr) tn�1

p

decresce all’aumentare della durata. Allora è anche n < 1

46



R. Rigon

Tr = 50 anni a = 36.46 n = 0.472 Tr = 100 anni a = 40.31Tr = 200 anni a = 44.14

curve di possibilità pluviometrica

1.4

1.5

1.6

1.7

1.8

1.9

2

2.1

2.2

2.3

2.4

1 10 100tp[h]

log(prec) [mm]

tr=50 annitr=100 annitr=200 annia 50a 100a 200

47




R. Rigon


1.4

1.5

1.6

1.7

1.8

1.9

2

2.1

2.2

2.3

2.4

1 10 100tp[h]

log(prec) [mm]


Le curve di possibilità pluviometrica sono parallele tra loro nel piano bilogaritmico

48



R. Rigon


1.4

1.5

1.6

1.7

1.8

1.9

2

2.1

2.2

2.3

2.4

1 10 100tp[h]

log(prec) [mm]


tr = 500 anni

tr = 200 annih(,500) > h(200)


49



R. Rigon


1.4

1.5

1.6

1.7

1.8

1.9

2

2.1

2.2

2.3

2.4

1 10 100tp[h]

log(prec) [mm]


tr = 500 anni tr = 200 anni

Invece h(,500) < h(200) !!!!


50



R. Rigon

Il problema da risolvere con l’ausilio della teoria delle probabilità e dell’analisi statistica

E’ dunque quello di determinare, per ogni durata, la corrispondenza tra

quantili (assegnati tempi di ritorno) e altezza di precipitazione.

Per ogni durata si cercherà dunque di interpolare i dati ad una distribuzione di probabilità. La famiglia di curve candidata per questo scopo è la Curva dei valori estremi di tipo I, o curva di Gumbel

b è un parametro di forma, a un parametro di posizione (la moda)

P [H < h; a, b] = e�e�h�a

b �⇥ < h <⇥

51


R. Rigon

Distribuzione di Gumbel

52



R. Rigon


53



R. Rigon


La media della distribuzione e data da:

E[X] = b� + a

dove:

è la costante di Eulero-Mascheroni:

� � 0.57721566490153228606

54



R. Rigon


La mediana:

La varianza :

a� b log(log(2))

V ar(X) = b2 �2

6

La moda:

55



R. Rigon


La forma standard della distribuzione (rispetto alla quale si trovano tabulate

le grandezze significative) è

Rispetto alla forma standard:

56



R. Rigon

Per adattare la famiglia di curve di Gumbel ai dati si usano dei metodi di adattamento dei parametri.

Ne useremo nel seguito 3:

- Il metodo dei minimi quadrati

- Il metodo dei momenti

- Il metodo della massima verosimiglianza (o maximum likelihood)

Si consideri allora una serie di n misure, h = {h1, ....., hn}

57

Metodi di adattamento dei parametrirelativi alla distribuzione di Gumbel ma con validità generale

Stima dei parametri


R. Rigon

Il metodo dei momenti consiste nell’uguagliare i momenti del campione con i momenti della popolazione. Siano, ad esempio

La media e la varianza e

il momento t-esimo del CAMPIONE

58


µH

�2H

M (t)H

Stima dei parametri


R. Rigon

Se il modello probabilistico contiene t parametri, allora il metodo dei

momenti consiste nell’ugugliare i t momenti campionari con i t momenti

della popolazione, che risultano definiti da:

59


MH [t; �] =� ⇥

�⇥(h� EH [h])t pdfH(h; �) dh t > 1

MH [1; �] = EH [h] =� ⇥

�⇥h pdfH(h; �) dh

Stima dei parametri


R. Rigon

Per ottenere un numero sufficiente di equazioni bisogna considerare tanti

momenti quanti sono i parametri. Benchè in linea di principio la funzione dei parametri che ne risulta possa essere calcolate numericamente per punti, il metodo risulta efficace quando l’integrale a secondo membro ammette una soluzione analitica.

60


MH [t; �] =� ⇥

�⇥(h� EH [h])t pdfH(h; �) dh t > 1

Stima dei parametri


R. Rigon


Il metodo dei momenti applicato alla curva di Gumbel consiste allora nel

porre:

o:

�b� + a = µH

b2 �2

6 = ⇤2H

�MH [1; a, b] = µH

MH [2; a, b] = ⇥2H

61

Stima dei parametri


R. Rigon

Il metodo della massima verosimiglianza(maximum likelihood)

relativi alla distribuzione di Gumbel ma con validità generale

Il metodo si fonda sulla valutazione della probabilità (composta) di ottenere la

serie temporale registrata:

Questa può considerarsi come la probabilità di ottenere le misure, assegnati i

parametri

62

Stima dei parametri


R. Rigon



Nella ipotesi di indipendenza delle osservazioni, tale probabilità diviene:

La precedente probabilità si chiama anche funzione di verosimiglianza

rappresenta ed è evidentemente una funzione dei parametri.

63

Stima dei parametri


R. Rigon

64



In effetti, utilizzando il teorema di Bayes, questa è proporzionale alla probabilità

dei parametri, condizionata alle misure:

Stima dei parametri


R. Rigon

65



In effetti, utilizzando il teorema di Bayes, questa è proporzionale alla probabilità

dei parametri, condizionata alle misure:

Questo è un numero ( a s s e g n a t e l e misure), l’evidenza

Questa è la “prior”, la distribuzione a priori dei parametri

Stima dei parametri


R. Rigon



(in figura una sezione della distribuzione per un assegnato valore di b)

66

Stima dei parametri


R. Rigon

Il metodo della massima verosimiglianza assume che i parametri più affidabili

siano i più probabili, quelli corrispondenti ai massimi, alla moda, della

distribuzione



Nel caso della figura, a*.

67

Stima dei parametri


R. Rigon



I massimi della distribuzione si ottengono derivando la

rispetto ai parametri. Se si assume che

con dominio sufficientemente più esteso rispetto al domino di

68

Stima dei parametri


R. Rigon



Allora calcolare i massimi di

Concide con il calcolare i massimi della verosimiglianza:

69

Stima dei parametri


R. Rigon

Per semplificare i calcoli dei massimi si definisce anche la funzione detta

di log-verosimiglianza:

70



log(P [{h1, · · ·, hN}; a, b]) =N�

i=1

log(P [hi; a, b])

Stima dei parametri


R. Rigon

71



�⇥ log(P [{h1,···,hN};a,b])

⇥a = 0⇥ log(P [{h1,···,hN};a,b])

⇥b = 0

Che produce un sistema di due equazioni non-lineari in due incognite.

Allora, i parametri della curva, che ne descrive la popolazione si possono ottenere

da:

Stima dei parametri


R. Rigon

72

Stima dei parametri


R. Rigon

Metodo dei minimi quadrati

Consiste nel definire lo scarto quadratico tra le misure, di ECDF, e la probabilità

di non superamento:

�2(⇥) =n�

i=1

(Fi � P [H < hi; ⇥])2

e nel minimizzarlo

73

Stima dei parametri


R. Rigon

scarto quadratico



di non superamento:

�2(⇥) =n�

i=1

(Fi � P [H < hi; ⇥])2

e nel minimizzarlo

73

Stima dei parametri


R. Rigon

ECDFscarto quadratico



di non superamento:

�2(⇥) =n�

i=1

(Fi � P [H < hi; ⇥])2

e nel minimizzarlo

73

Stima dei parametri


R. Rigon

ProbabilitàECDFscarto quadratico



di non superamento:

�2(⇥) =n�

i=1

(Fi � P [H < hi; ⇥])2

e nel minimizzarlo

73

Stima dei parametri


R. Rigon

⇤�2(⇥j)⇤⇥j

= 0 j = 1 · · · m

Tale minimizzazione si ottiene derivando l’espressione dello scarto rispetto

agli m parametri

Ottenendo così le m equazioni in m incognite necessarie.

74

Stima dei parametri


R. Rigon

Come risultato abbiamo 3 coppie di parametri, tutti in un certo senso ottimi. Per distinguere quali tra questi insiemi di parametri è migliore, dobbiamo usare un criterio di confronto (un test non parametrico). Useremo test di Pearson.

75

Dopo l’applicazione dei vari metodi di adattamento ...

Stima dei parametri


R. Rigon

Il test di Pearson è un test NON parametrico e consiste:

1 - Nel suddividere il campo di probabilità in k parti, per esempio uguali

76

Il Test di Pearson

Stima dei parametri


R. Rigon


2 - derivarne una suddivisione del dominio

77

Il Test di Pearson

Test delle ipotesi


R. Rigon


3 - Contare il numero di dati in ciascun intervallo (tra i cinque della figura)

78

Il Test di Pearson

Test delle ipotesi


R. Rigon


3 - Contare il numero di dati in ciascun intervallo (tra i cinque della figura)

79

Il Test di Pearson

7

7

9

137

Test delle ipotesi


R. Rigon


6 - Valutare la funzione

P [H < h0] = P [H < 0]

P [H < hn+1] = P [H <�]

dove:

80

Il Test di Pearson

Test delle ipotesi


R. Rigon

Il Test di Pearson

Quindi:

e nel caso della figura delle slides precedenti

(P [H < hj+1]� P [H < hj ]) = 0.2

81

Test delle ipotesi


R. Rigon

Il Test di Pearson

6 - Scegliere la coppia di parametri per cui X2 è più piccolo

7 - Si ripetono tutte le operazioni per ogni durata (ad esempio, 1, 3, 6, 12, 24

ore): visto che tutte le procedure si riferiscono ad una singola durata

Per completare il tutto

82

Test delle ipotesi


R. Rigon

0 50 100 150

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

Precipitazione [mm]

P[h]

1h

3h

6h

12h

24h

83

Dopo aver applicato Pearsone ripetuto l’operazione per ognii durata

Le linee segnalitrici di possibilità pluviometrica


R. Rigon

0 50 100 150

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

Precipitazione [mm]

P[h]

1h

3h

6h

12h

24h

Tr = 10 anni

h1 h3 h6 h12 h24

84

Dopo aver applicato Pearsone ripetuto l’operazione per ogni durata



R. Rigon

0 5 10 15 20 25 30 35

40

60

80

100

120

140

160

180

Linee Segnalitrici di Possibilita' Pluviometrica

h [mm]

t [o

re]

85

Si ottengono infine per interpolazione le



R. Rigon

0.5 1.0 2.0 5.0 10.0 20.0

60

80

100

120

140

160

Linee Segnalitrici di Possibilita' Pluviometrica

t [ore]

h [

mm

]

86

Si ottengono infine per interpolazione le



R. Rigon

Il �2

Se una variabile X è distribuita secondo un curva normale a media nulla e

varianza unitaria, allora la variabile

e’ distribuita secondo la distribuzione del “Chi quadrato” (come fu provato

da Ernst Abbe, 1840-1905) e si indica con

che è una distribuzione monoparametrica della famiglia della distribuzione

Gamma. L’unico parametro è chiamato “gradi di libertà”

87

Ancora sul test di Pearson


R. Rigon

La distribuzione, in effetti, è:

E la sua cumulata:

dove è la funzione “gamma” incompleta�()

Il �2

from Wikipedia

88



R. Rigon

La funzione gamma incompleta

La funzione Gamma

89



R. Rigon

Il �2

from Wikipedia

90



R. Rigon

Il valore atteso della distribuzione è pari al numero di gradi di libertà

Il �2

La varianza è pari a due volte il numero di gradi di libertà

E(�k) = k

V ar(�k) = 2k

from Wikipedia

91

La moda è pari a



R. Rigon

In generale il è usato in statistica (dopo il lavoro di Pearson e Fisher) per

stimare la bontà di una inferenza, ed in particolare l’uguguglianza di una

distribuzione di dati con una distribuzione di riferimento (ipotesi zero). Il

test ha la forma generale

Il �2

�2

from Wikipedia

92



R. Rigon

Il �2

Assumendo che la radice della variabile rappresentata nella sommatoria sia

distribuita gaussianamente, allora ci si aspetta che la variabile somma dei

quadrati sia distribuita secondo il con un grado di libertà pari al numero

di addendi diminuito di 1.

�2

from Wikipedia

93

In altre parole, nell’ipotesi di ripetere un numero illimitato di volte

l’esperimento che ha prodotto i dati, ci si aspetta che la distribuzione

degli X2 , ottenuta dalla ripetizione dell’esperimento, sia un con

k-1 gradi di libertà.



R. Rigon

Ovvero

Se i dati riproducono perfettamente l’ipotesi,

Il valore atteso dell’errore però pari al numero di gradi di libertà, k.

Un certo numero di campioni “sfortunati” avrà un elevato

94



R. Rigon

Ovvero

Ci sono due modi per ottenere un valore elevato di X2:

•se i dati provengono dalla distribuzione ipotizzata, ma il campione è

relativamente raro

•se i dati NON sono rari MA provengono da un’altra distribuzione95



R. Rigon

Il ha importanza perchè possiamo fare due ipotesi mutuamente esclusive. L’ipotesi zero:

Il �2

�2

from Wikipedia

E il suo contrario, l’ ipotesi alternativa:

che campione e popolazione abbiano la medesima distribuzione

che campione e popolazione NON abbiano la medesima distribuzione

96



R. Rigon

Non c’è possibilità di distinguere un caso dall’altro

L’analisi statistica NON è in grado di distinguere il falso dal

vero con certezza

Però ci si può accordare che, per esempio, il nostro campione ha una

differenza dal campione di riferimento (misurata secondo Pearson),

ovvero un X2, che si rivela più di una volta su venti su possibili

ripetizioni dell’esperimento probabilistico (un periodo di ritorno di venti

tentativi) non possiamo rigettare (falsificare statisticamente) l’ipotesi che

i nostri dati provengano dalla distribuzione ipotizzata.

Dunque l’ipotesi zero si accetta e si rigetta l’ipotesi alternativa, con una

confidenza, nel caso descritto, di 1/20=0.05

97



R. Rigon

L’accettazione dell’ipotesi zero

E’ dunque legata ad una scelta soggettiva (il margine di confidenza), assegnato

secondo un criterio assunto come “ragionevole”.

Per questo si usa tradizionalmente la dizione: “non si può rigettare”, invece di “si

accetta”.

A ben vedere però, la questione di come si dice, non è veramente sostanziale.

Il criterio per quanto soggettivo è organizzato quantitativamente, e dà risultati

ripetibili.

98



R. Rigon

In pratica

Si assegna il grado di confidenza, c e si inverte la probabilità

ovvero:

99



R. Rigon

Se

Si rigetta l’ipotesi zero

Viceversa

si accetta (nel gergo statistico: non si può rigettare)

100



R. Rigon

Corollario

Avendo a disposizione più ipotesi zero valide

Si accetta

Quella con più piccolo

Che corrisponde ad eventi non rigettati (accettati!) con maggior grado di

confidenza.

101



Le precipitazioni estreme - GEV

Riccardo Rigon

Mic

hel

angel

o, I

l d

ilu

vio,

15

08

-15

09


R. Rigon

A little more formal

L’uso della distribuzione di Gumbel non deriva da un capriccio ma da un

Teorema, il quale afferma che, sotto ipotesi abbastanza generali, la

distribuzione dei massimi scelti da campioni di opportuna numerosità

non può che appartenere ad una delle seguenti famiglie di distribuzioni:

I) Distribuzione di Gumbel

G(z) = e�e�z�b

a �⇥ < z <⇥a > 0

103

Distribuzioni dei valori estremi


R. Rigon



distribuzione dei massimi scelti da campioni di opportuna numerosità non

può che appartenere ad una delle seguenti famiglie di distribuzioni:

II) Distribuzione di Frechèt

G(z) =

�0 z � b

e�( z�ba )��

z > b

� > 0a > 0


104



R. Rigon

Media

Moda

Mediana

Varianza

P [X < x] = e�x��


II) Distribuzione di Frechèt from Wikipedia

105



R. Rigon

dfrechet(x, loc=0, scale=1, shape=1, log = FALSE) pfrechet(q, loc=0, scale=1, shape=1, lower.tail = TRUE) qfrechet(p, loc=0, scale=1, shape=1, lower.tail = TRUE)rfrechet(n, loc=0, scale=1, shape=1)

R:


106



R. Rigon



distribuzione dei massimi scelti da campioni di opportuna numerosità non

può che appartenere ad una delle seguenti famiglie di distribuzioni:

� > 0a > 0

G(z) =

�e�[�( z�b

a )]��

z < b1 z � b


III) Distribuzione di Weibull

107



R. Rigon

from Wikipedia

III) Distribuzione di Weibull(P. Rosin and E. Rammler, 1933)


108



R. Rigon

Quando k = 1, la distribuzione di Weibull

si riduce alla distribuzione esponenziale.

Quando k = 3.4, la distribuzione Weibull

diventa molto simile alla distribuzione

normale.

Media

Moda

Mediana

Varianza

from Wikipedia

III) Distribuzione di Weibull(P. Rosin and E. Rammler, 1933)


109



R. Rigon

dweibull(x, shape, scale = 1, log = FALSE)pweibull(q, shape, scale = 1, lower.tail = TRUE, log.p = FALSE)qweibull(p, shape, scale = 1, lower.tail = TRUE, log.p = FALSE)rweibull(n, shape, scale = 1)

R:


110



R. Rigon

Il teorema suddetti tuttavia può essere riformulato in funzione di una

distribuzione a tre parametri detta Generalized Extreme Values o GEV

G(z) = e�[1+�( z�µ⇤ )]�1/⇥

z : 1 + ⇥(z � µ)/⇤ > 0�⇥ < µ <⇥ ⇤ > 0

�⇥ < ⇥ <⇥

Per la distribuzione degenera nella distribuzione di Gumbel

Per la distribuzione diviene una distribuzione di Frechèt

Per la distribuzione diviene una Weibull

� = 0� > 0� < 0


111



R. Rigon



G(z) = e�[1+�( z�µ⇤ )]�1/⇥

z : 1 + ⇥(z � µ)/⇤ > 0�⇥ < µ <⇥ ⇤ > 0

�⇥ < ⇥ <⇥


112



R. Rigon

gk = �(1� k�)




113



R. Rigon

dgev(x, loc=0, scale=1, shape=0, log = FALSE) pgev(q, loc=0, scale=1, shape=0, lower.tail = TRUE) qgev(p, loc=0, scale=1, shape=0, lower.tail = TRUE)rgev(n, loc=0, scale=1, shape=0)

R


114



R. Rigon

Grazie per l’attenzione!

G.U

lric

i, 2

00

0 ?

115


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