110 funciones matematicas

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FUNCIONES MATEMÁTICAS

1. FUNCIONES

Definición:

Dada una relación ¦ definida del conjunto A en el B, se dice que dicha relación es una función si y solo si se verifican las siguientes propiedades:

1. Existencia:

Todo elemento del conjunto A está relacionado con uno del conjunto B, en símbolos:

" x Î A $ y Î B / x ¦ y

2. Unicidad:

Toda relación entre un elemento del conjunto A y otro del B es única, en símbolos:

(x,y) Î ¦ Ù (x,z) Î ¦ Þ y=z

Dominio, Codominio e Imagen:

Dada una función ¦: A ® B / y = ¦(x) se llama dominio de la misma al conjunto A y codominio al conjunto B .Si y = ¦(x), se dice que y es la imagen de x a través de ¦ y que x es la preimágen de y a través de ¦.

El conjunto Imagen es un subconjunto del Codominio de la función que verifica que todos sus elementos tienen preimágen.

Función inyectiva, sobreyectiva y biyectiva:

Sea una función ¦ : A ® B / y =¦(x) se dice que es inyectiva si se verifica que :

" x Î Dom ¦ : si x1¹ x2 Þ ¦(x1) ¹ ¦ (x2)

Sea una función ¦ : A ® B / y = ¦ (x) se dice que es sobreyectiva si :

" y Î Codom ¦ , $ x Î Dom ¦ / y = ¦ (x)

Si una función ¦ : A ®B / y = ¦ (x) es inyectiva y sobreyectiva entonces es biyectiva.

Funciones Monótonas:

Función creciente:

Dada una función ¦ :A ® B / y = ¦(x) se dice que es creciente si para dos elementos cualesquiera del dominio tal que uno es menor que el otro se verifica que la imagen del menor es menor o igual a la imagen del mayor, en símbolos:

" x1 x2 Î Dom ¦ , si x1< x2 Þ ¦ (x1) £ ¦ (x2)

Función estrictamente creciente:

Sea ¦ : A ® B / y = ¦ (x) se dice que es estrictamente creciente si para dos elementos cualesquiera del dominio, tal que uno es menor que el otro, se verifica que la imagen del menor es menor que la imagen del mayor, en símbolos:

" x1 x2 Î Dom ¦ , si x1< x2 Þ ¦ (x1) < ¦ (x2)

Función decreciente:

Dada una función ¦ : A ® B / y = ¦ (x) se dice que la función es decreciente si para dos elementos cualesquiera del dominio tal que uno sea menor que otro se verifica que la imagen del menor es mayor o

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igual que la imagen del mayor, en símbolos:

" x1 , x2 Î Dom ¦ , si x1< x2 Þ ¦ (x1) ³ ¦ (x2)

Función estrictamente decreciente:

Sea ¦ : A ® B / y=¦ (x) se dice que la función es estrictamente decreciente si para dos elementos cualesquiera del dominio tal que uno es menor que el otro se verifica que la imagen del menor es mayor que la imagen del mayor, en símbolos:

" x1 , x2Î Dom ¦ , si x1< x2 Þ ¦ (x1) > ¦ (x2)

Función Par e Impar:

Dada una función f: A ® B / y = ¦ (x) se dice que es par si la imagen de los elementos opuestos tienen sus imágenes iguales, en símbolos:

" x Î Dom ¦ : ¦ (x) = ¦ (-x);

se dice que la función es impar si las imágenes de elementos opuesto son opuestas, en símbolos:

" x Î Dom ¦ : ¦ (x) = ¦ (-x)

2. FUNCIÓN CONSTANTE IDefinición:

Es una función cuyo dominio y codominio es el conjunto de números reales. Su fórmula es:

¦ : Â ® Â / x = k

y su representación gráfica es una recta paralela al eje de abscisas que intercepta al eje de ordenadas en el punto (0; k).

Clasificación:

La función constante no es inyectiva ni sobreyectiva pues:

1. Sea x1 ¹ x2, por ejemplo x1 = 1 Ù x2 = 2 Þ ¦(x1) = k Ù ¦(x2) = k \ ¦(x1) = ¦(x2) por lo tanto no es inyectiva.

2. Img ¦ = { k} y Codom ¦ = Â por lo tanto no es sobreyectiva pues y = m con m ¹ k no tiene preimágen.

Es creciente pues:

" x1, x2 Î Dom ¦, si x1 < x2 Þ ¦ ( x1) £ ¦ ( x2)

Es una función par pues:

" x Î Dom ¦ : ¦ (x) = ¦ (-x)

3. FUNCIÓN CONSTANTE II Definición:

Es una función cuyo dominio y codominio es el conjunto de números reales. Su fórmula es:

¦ : Â ® Â / ¦ ( x ) = k

y su representación gráfica es una recta paralela al eje de abscisas que intercepta al eje de ordenadas en el punto (0; k).

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Clasificación:

La función constante no es inyectiva ni sobreyectiva pues:

1. Sea x1 ¹ x2, por ejemplo x1 = 1 Ù x2 = 2 Þ ¦(x1) = k Ù ¦(x2) = k \ ¦(x1) = ¦(x2) por lo tanto no es inyectiva.

2. Img ¦ = { k} y Codom ¦ = Â por lo tanto no es sobreyectiva pues y = m con m ¹ k no tiene preimágen.

Es creciente pues:

" x1, x2 Î Dom ¦, si x1 < x2 Þ ¦ ( x1) £¦ ( x2)

Es una función par pues:

" x Î Dom ¦ : ¦ (x) = ¦ (-x

4. FUNCIÓN COSECANTE

Definición:

Es una función definida de reales en reales cuya fórmula es:

¦ : A ® Â / y = cosec x , con A = R - { x / x = k p }

El conjunto imagen es ( - ¥ ; -1] È [ 1 ; + ¥ ) .

Esta función es una de las denominadas circulares ya que la imagen para cada elemento del dominio está definida por el cociente entre los catetos e hipotenusa de un triángulo rectángulo definido por el radio vector de una circunferencia trigonométrica ( radio = 1), el eje de abscisas y el eje de ordenadas, en este caso se define cosec x = hipotenusa / cateto opuesto.

Si la definimos en función de sen x, da: cosec x = 1 / sen x.

Su período es p .

La función no tiene ceros ya que para que de existir tendría que poder anularse el numerador de la fracción 1/sen x y eso no ocurre nunca porque es una constante.

La función cosec x presenta asíntotas para los valores del dominio donde el seno de los mismos vale cero .

Estos son:

H = { x / x = kp, k Î Z }

Clasificación:

No es una función inyectiva ni sobreyectiva porque:

1. Dos elementos distintos del dominio que difieran en p tienen igual imagen, por lo tanto no es inyectiva.

2. Existe por lo menos un elemento del codominio, por ejemplo y = 1/2 tal que no tiene preimágen.

Es una función impar ya que elementos opuestos tienen imágenes opuestas.

Si se considera todo su dominio no se puede decir nada acerca de si es o no estrictamente creciente o decreciente. Hay que considerar el análisis por intervalos

5. FUNCIÓN COSENO

Definición:

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¦ : Â ® Â / y = cos x

El conjunto imagen es el intervalo [ -1; 1].

Esta función es una de las denominadas circulares ya que la imagen para cada elemento del dominio está definida por el cociente entre los catetos e hipotenusa de un triángulo rectángulo definido por el radio vector de una circunferencia trigonométrica ( radio = 1), el eje de abscisas y el eje de ordenadas, en este caso se define cos x = cateto adyacente / hipotenusa.

Su período es 2p .

Los ceros de la función son los x que responden a :

x = (2k + 1) p/2 , con k Î Z

Clasificación:


1. Dos elementos distintos del dominio que difieran en 2p tienen igual imagen, por lo tanto no es inyectiva.

2. Existe por lo menos un elemento del codominio, por ejemplo y = 2 que no tiene preimágen.

Es una función par ya que elementos opuestos tienen imágenes iguales.

Si se considera todo su dominio no se puede decir nada acerca de si es o no estrictamente creciente o decreciente. Hay que considerar el análisis por intervalos.

6. FUNCIÓN COTANGENTE

Definición:


¦ : A ® Â / y = cotan x , con A = R - { x / x = k p, k Î Z }

El conjunto imagen es R.

Esta función es una de las denominadas circulares ya que la imagen para cada elemento del dominio está definida por el cociente entre los catetos e hipotenusa de un triángulo rectángulo definido por el radio vector de una circunferencia trigonométrica ( radio = 1), el eje de abscisas y el eje de ordenadas, en este caso se define cotan x = cateto adyacente / cateto opuesto.

Si la definimos en función de sen x y cos x, da:

cotan x = cos x / sen x.

Su período es p .


x = (2k+1) p , con k Î Z

La función cotan x presenta asíntotas para los valores del dominio donde el coseno de los mismos vale cero . Estos son:

H = { x / x = (2k+1) p/2 }

Clasificación:

No es una función inyectiva pero si es sobreyectiva porque:

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2. El conjunto imagen coincide con el codominio.


Si se considera todo su dominio no se puede decir nada acerca de si es o no estrictamente creciente o decreciente.

Hay que considerar el análisis por intervalos.

FUNCIÓN EXPONENCIAL

Definición:

Es una función definida de reales en reales.

Su fórmula es:

¦ : Â ® Â / y = ax , con a > 0 y a ¹ 1

El conjunto imagen es ( 0 ; + ¥).

La base de la función exponencial debe ser un número positivo porque , por ejemplo en caso de ser x= -1/2 no tendría imagen en Â no cumpliendo con la condición de existencia.

Y debe ser distinto de 1, de lo contrario sería la función constante.

Clasificación:

La función exponencial es inyectiva y no sobreyectiva porque:

1. Para que dos expresiones exponenciales, con bases iguales sean iguales, deben serlo los exponentes; por lo tanto a elementos distintos corresponden imágenes distintas.

2. Existe por lo menos un elemento del codominio que no tiene preimágen, por ejemplo y = -2, puesto que no existe ningún elemento real que bajo las condiciones de la fórmula de la función de un número real negativo.

La función no es par ni impar, pues no cumple con ninguna de las dos definiciones.

Si a > 0 es estrictamente creciente pues se verifica que dos elementos del dominio, uno menor que el otro, el menor tiene la imagen menor que la del mayor.

Si a < 0, es estrictamente decreciente.

8. FUNCIÓN INYECTIVA

Definición:

Es una función definida de un conjunto A en reales.

Su fórmula es:

¦ :A ® Â / y = (ax + b) / (cx + d)

siendo A = { x/x Î Â Ù x ¹ -d/c }

El conjunto imagen es Â - { a/c}

La gráfica de esta función es una hipérbola equilátera y presenta dos asíntotas, una horizontal de fórmula y = a/c y una vertical de fórmula x = -d/c.

Clasificación:

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Es una función inyectiva y no es sobreyectiva porque:

1. Para dos elementos cualesquiera y diferentes del dominio se verifica que sus imágenes son distintas.

2. Existe un elemento del codominio, y = a/c, que no tiene preimágen.

No es una función par ni impar.

Solo en el caso de que a = 0, b = 1, c = 1 y d = 0 es una función impar, pues las imágenes de los elementos opuestos, son opuestas.

La gráfica de esta función es estrictamente creciente si tomamos por separado los intervalos de cada rama

9. FUNCIÓN LINEAL

Definición:

Es una función cuyo dominio y codominio es el conjunto de los números reales.

Su fórmula es:

¦: Â ® Â / y= ax + b, con a ¹ 0

y la representación gráfica es una recta.

De su fórmula se distinguen dos elementos :

a) pendiente

b) ordenada al origen

Geométricamente, la pendiente de la recta es la tangente del ángulo que forma la recta con el semieje positivo de las abscisas(x) y la ordenada al origen es el punto por donde intercepta la gráfica de la función al eje de ordenadas (0,b).

Clasificación:

La función lineal es biyectiva ( inyectiva y sobreyectiva) porque se verifican:

1. x1 ¹ x2 Þ ¦ ( x1) ¹ ¦ (x2)

2. " y Î Codom¦ , $ x Î Dom¦ / y = ¦(x)

Si a > 0, es estrictamente creciente, pues:

x1, x2 Î Dom¦ Ù x1 < x2 Þ ¦ (x1) < ¦ (x2)

si a < 0, es estrictamente decreciente porque:

x1, x2 Î Dom¦ Ù x1 < x2 Þ ¦ (x1) >¦ (x2)

No es una función par ni impar porque:

1. " x Î Dom¦ : ¦(x) ¹ ¦(-x)

2. " x Î Dom¦ : ¦(x) ¹ -¦(-x)

10. FUNCIÓN LOGARÍTMICA

Definición:

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Es una función definida de los reales positivos en los reales. Su fórmula es:

¦ : Â ® Â / y = logax , con a > 0 y a ¹ 1

El conjunto imagen es Â.

Clasificación:

Es una función biyectiva pues cumple con las condiciones de inyectividad y sobreyectividad.

No es par ni es impar.

Si la base del logaritmo es mayor que 1, la función es estrictamente creciente. Si a<1, entonces es estrictamente decreciente.

11. FUNCIÓN MÓDULO

Definición:

Es una función cuyo dominio y codominio es el conjunto de los números reales. Su fórmula es:

¦: Â ® Â / ¦ (x) = | x |

o lo que es igual

¦: Â ® Â / ¦ (x) = { x si x ³ 0

-x si x < 0

Su gráfica tiene forma de "v" centrada en el orígen del sistema de coordenadas.

Por su definición todas las imágenes de los elementos del dominio son positivas o cero.

Clasificación:

La función módulo no es inyectiva ni sobreyectiva porque:

1. Las imágenes de elementos opuestos, son iguales;

2. El conjunto Imagen de la función es [0; +¥ ) y su Codominio es el conjunto de los números reales, por lo tanto existen elementos de él que no tienen preimágen.

Es estrictamente decreciente en el intervalo (-¥ , 0) y estrictamente creciente en (0, + ¥).

La función módulo es par porque los elementos opuestos tienen sus imágenes iguales (la gráfica es simétrica respecto del eje de ordenadas).

12. FUNCIÓN PARÁBOLA

Definición:

Es una función cuyo dominio y codominio es el conjunto de los números reales. Su fórmula es:

¦: Â ® Â / ¦ (x) = ax²+ bx + c , con a ¹ 0

y su representación gráfica es una curva que recibe el nombre de parábola.

Los elementos de dicha función son:

a) coeficiente principal

b) coeficiente lineal

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c) término independiente

Análisis de la fórmula y = ax² + bx + c

Los elementos de la gráfica de la función ( eje, ceros, vértice, ordenada al origen y concavidad) se obtienen a partir de la fórmula, de la siguiente manera:

Eje: es una recta perpendicular al eje de abscisas (x) que responde a la siguiente expresión:

X = -b / 2a

La parábola es simétrica respecto de su eje y el vértice de la misma se encuentra "sobre" él .

Ceros: son los puntos de la gráfica donde la misma intercepta al eje de abscisas.

Una parábola puede tener a lo sumo dos ceros distintos.

Si el discriminante b² - 4ac es mayor que cero, la parábola tiene dos ceros; si es igual a cero, tiene uno y si es menor que cero, no tiene.

La fórmula para determinarlos es

x = [ -b ± ( b² - 4ac)½ ] / 2a

En el caso que tenga dos ceros se dice que la función tiene dos raíces reales distintas, si tiene uno se dice que tiene dos raíces reales iguales y si no tiene ninguno se dice que no tiene raíces reales.

Vértice:

Es el punto donde la función pasa de ser creciente a decreciente o viceversa.

Se verifica también que es el único punto unido de la parábola pues el simétrico de sí es él mismo.

Sus coordenadas son:

y=[-b/2a ; ¦ ( -b/2a)]

Ordenada al origen:

Como en las demás gráficas, es el punto donde la misma intercepta al eje de ordenadas (y). Su coordenada es:

ord = ( 0 ; c)

Concavidad:

La determina el coeficiente principal (a).

Si a>0 entonces la parábola es cóncava hacia el semieje positivo de las ordenadas (y) ; si a<0 entonces es cóncava hacia el semieje negativo de las ordenadas.

Clasificación:

La función potencial no es inyectiva ni sobreyectiva porque:

1. Las imágenes de elementos distintos pero simétricos respecto del eje , son iguales;

2. El conjunto Imagen de una parábola es ( -¥ ; yv] si a < 0 o [yv; +¥ ) si a > 0 y su Codominio es el conjunto de los números reales, por lo tanto existen elementos de él que no tienen preimágen.

Si a > 0, es estrictamente decreciente de ( -¥ ; xv) y estrictamente creciente de (xv; +¥ ).

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Si a < 0, es estrictamente creciente de (-¥; xv) y estrictamente decreciente de (xv; +¥).

La función potencial no es ni impar excepto cuando b es igual a cero.

En este último caso la gráfica es simétrica respecto del eje de ordenadas.

Por lo tanto ¦(x)

13. FUNCIÓN POLINOMIO

Definición:

Es una función definida de reales en reales:

¦ : Â ® Â / y = å mxª , a Î N Ù a = 1,...n

Su gráfica depende del grado del polinomio que conforme su fórmula.

Tiene tantos ceros (intersecciones con el eje de abscisas) como el grado del polinomio de la fórmula.

Para dibujar su gráfica es necesario recurrir a elementos y conceptos de Análisis Matemático.

14. FUNCIÓN RAÍZ CUADRADA

Definición:

Es una función cuyo dominio es el conjunto de los reales positivos con el cero y el codominio es el conjunto de los números reales.

Su fórmula es:

¦: [0; +¥ ) ® Â / ¦ (x) = Ö(x)

Clasificación:

La función raíz cuadrada es inyectiva pero no sobreyectiva porque:

1. A elementos distintos corresponden imágenes distintas;

2. El conjunto Imagen de la función es [0; +¥ ) y su Codominio es el conjunto de los números reales, por lo tanto existen elementos de él que no tienen preimágen.

Es estrictamente creciente.

La funciónraíz cuadrada no es par ni impar pues los elementos del dominio no verifican ninguna de las dos definiciones.

15. FUNCIÓN SENO

Definición:


¦ : Â ® Â / y = sen x

El conjunto imagen es el intervalo [ -1; 1].

Esta función es una de las denominadas circulares ya que la imagen para cada elemento del dominio está definida por el cociente entre los catetos e hipotenusa de un triángulo rectángulo determinado por el radio vector de una circunferencia trigonométrica ( radio = 1), el eje de abscisas y el eje de ordenadas, en este caso es sen x = cateto opuesto / hipotenusa.

Su período es 2p .


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x = kp , con k Î Z

Clasificación:


1. Dos elementos distintos del dominio que difieran en 2p tienen igual imagen, por lo tanto no es inyectiva.

2. Existe por lo menos un elemento del codominio, por ejemplo y = 2 que no tiene preimágen.

Es una función impar ya que elementos opuestos tienen imágenes opuestas.

Si se considera todo su dominio no se puede decir nada acerca de si es o no estrictamente creciente o decreciente. Hay que considerar el análisis por intervalos.

16. FUNCIÓN SECANTE

Definición:

Es una función definida de un conjunto A en los reales cuya fórmula es:

¦ : A ® Â / y = sec x , con A = Â - { x / x = (2k+1) p/2 }

El conjunto imagen es ( - ¥ ; -1] + [ 1 ; + ¥ ) .

Esta función es una de las denominadas circulares ya que la imagen para cada elemento del dominio está definida por el cociente entre los catetos e hipotenusa de un triángulo rectángulo definido por el radio vector de una circunferencia trigonométrica ( radio = 1), el eje de abscisas y el eje de ordenadas; en este caso se define sec x = hipotenusa / cateto adyacente.

Si la definimos en función de cos x, da: sec x = 1 / cos x.

Su período es p .

La función no tiene ceros ya que para que de existir tendría que poder anularse el numerador de la fracción 1/cos x y eso no ocurre nunca porque es una constante.

La función sec x presenta asíntotas para los valores del dominio donde el coseno de los mismos vale cero .

Estos son:

H = { x / x = (2k+1) p/2 }

Clasificación:



2. Existe por lo menos un elemento del codominio, por ejemplo y = 1/2 tal que no tiene preimágen.




17. FUNCIÓN SIGNO

Definición:

Es un función definida de los reales menos el cero en los reales.

Su fórmula es:

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¦ : Â-{0} ® Â / y = 1 si x > 0

-1 si x < 0

El conjunto imagen es { -1, 1}

Clasificación:

La función no es inyectiva ni sobreyectiva porque:

1. Para elementos distintos del dominio corresponden imágenes iguales, por ejemplo x1 = 3 y x2 = 4 la imagen de ambos es y = 1.

2. Existe por lo menos un elemento del codominio que no tiene preimágen, por ejemplo y = 2.

Es impar ya que elementos opuestos tienen imágenes opuestas.

Se puede considerar que es creciente o decreciente pues la definición de ambas es cierta por la condición de igualdad de las dos.

18. FUNCIÓN TANGENTE

Definición:

Es una función definida de un conjunto A en los reales cuya fórmula es:

¦ : A ® Â / y = tan x , con A = Â - { x / x = (2k+1) p/2 }

El conjunto imágen es R.

Esta función es una de las denominadas circulares ya que la imagen para cada elemento del dominio está definida por el cociente entre los catetos e hipotenusa de un triángulo rectágulo determinado por el radio vector de una circunferencia trigonométrica ( radio = 1), el eje de abscisas y el eje de ordenadas, en este caso se define tan x = cateto opuesto / cateto adyacente.

Si la definimos en función de sen x y cos x, da: tan x = sen x / cos x.

Su período es p .


x = k p , con k Î Z

La función tan x presenta asíntotas para los valores del dominio donde el coseno de los mismos vale cero .

Estos son:

H = { x / x = (2k+1) p/2 }

Clasificación:

No es una función inyectiva pero si es sobreyectiva porque:

1. Dos elementos distintos del dominio que difieran en p tienen igual imágen, por lo tanto no es inyectiva.

2. El conjunto imagen coincide con el codominio.




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