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1.2. Pruebas de Hipótesis de una
muestra.
UNIDAD I. ESTADÍSTICA BÁSICA.
Hipótesis Estadística
Es una proposición sobre los parámetros de una o más poblaciones.
Hipótesis nula, 𝐻0.
Hipótesis alternativa, 𝐻1.
Hipótesis alternativa bilateral.
Hipótesis alternativa unilateral.
Procedimiento general para la prueba de hipótesis
Es recomendable utilizar los siguientes pasos para aplicar la metodología de prueba de hipótesis:
1. Del contexto del problema, identificar el parámetro de interés.
2. Establecer la hipótesis nula, 𝐻0.
3. Especificar una apropiada hipótesis alternativa, 𝐻1.
4. Seleccionar el nivel de significancia α.
5. Establecer un estadístico de prueba apropiado.
6. Establecer la región de rechazo para el estadístico.
7. Calcular todas las cantidades muestrales necesarias, sustituirlas en la ecuación para el estadístico de prueba y calcular el valor correspondiente.
8. Decidir si se debe o no rechazar 𝐻0 y notificar esto en el contexto del problema.
Los pasos 1 a 4 deben completarse antes de examinar los datos muestrales.
Desarrollo del procedimiento de prueba de hipótesis
Desarrollo del procedimiento de prueba de hipótesis
Desarrollo del procedimiento de prueba de hipótesis
Prueba de hipótesis sobre la media, varianza conocida
Prueba de hipótesis sobre la media, varianza conocida
Prueba de hipótesis sobre la media, varianza conocida
Prueba de μ = 50 vs. ≠ 50
La desviación estándar supuesta = 2
Error
estándar
de la
N Media media IC de 95% Z P
25 51.300 0.400 (50.516, 52.084) 3.25 0.001
Decisión: Rechazar 𝐻𝑜 porque 𝛼 ≥ 𝑣𝑎𝑙𝑜𝑟 𝑃 considerando que 𝛼 = 0.05
Desarrollo del procedimiento de prueba de hipótesis
Desarrollo del procedimiento de prueba de hipótesis
Uso de valores P en la prueba de hipótesis
El valor P es el nivel de significancia más pequeño que conduce al rechazo de la hipótesis nula 𝐻𝑜
Decisión: Rechazar 𝐻𝑜 si 𝛼 ≥ 𝑣𝑎𝑙𝑜𝑟 𝑃 considerando que 𝛼 = 0.05
Error tipo II y selección del tamaño de la muestra
Prueba Z de 1 muestra
Probando la media = nula (vs. ≠ nula)
Calculando la potencia para la media = nulo + diferencia
α = 0.05 Desviación estándar asumida = 2
Tamaño
de la
Diferencia muestra Potencia
1 25 0.705418
Esto es, si el verdadero valor de la rapidez promedio de combustión es 𝜇 =
51𝑐𝑚
𝑠, entonces existe una
posibilidad del 29.45% de que esto no sea detectado por la prueba con 𝑛 = 25.
Error tipo II y selección del tamaño de la muestra
Esto es, que el tamaño necesario que debe tener la muestra es, 𝑛 = 43.
Prueba Z de 1 muestra
Probando la media = nula (vs. ≠ nula)
Calculando la potencia para la media = nulo + diferencia
α = 0.05 Desviación estándar asumida = 2
Tamaño
de la Potencia Potencia
Diferencia muestra objetivo real
1 43 0.9 0.906375
Prueba de hipótesis sobre la media de una distribución normal, varianza desconocida
211815129
7
6
5
4
3
2
1
0
C8
Fre
cu
en
cia
Histograma de C8
Variable Media Desv.Est. Varianza
C8 13.714 3.554 12.628
Prueba de μ = 10 vs. > 10
Error
estándar Límite
de la inferior
Variable N Media Desv.Est. media de 95% T P
C8 22 13.714 3.554 0.758 12.410 4.90 0.000
Decisión: Rechazar 𝐻𝑜 porque 𝛼 ≥ 𝑣𝑎𝑙𝑜𝑟 𝑃 considerando que 𝛼 = 0.05
Error tipo II y selección del tamaño de la muestra
Por lo tanto, la probabilidad de rechazar 𝐻0: 𝜇 = 10 si la media verdadera excede el valor propuesto por 1 Mpa es 0.3571 = 1 − 𝛽, donde 𝛽 = 0.6429, con lo que se concluye con un tamaño de muestra 𝑛 = 22 no es adecuado para proporcionar la sensibilidad adecuada.
Prueba t de 1 muestra
Probando la media = nula (vs. > nula)
Calculando la potencia para la media = nulo + diferencia
α = 0.05 Desviación estándar asumida = 3.55
Tamaño
de la
Diferencia muestra Potencia
1 22 0.357103
Error tipo II y selección del tamaño de la muestra
El tamaño de muestra correspondiente es 𝑛 = 80.
Para determinar el tamaño de la muestra necesario para tener el grado de sensibilidad deseada, utilizar 𝛽 = 0.2 o 𝑝𝑜𝑡𝑒𝑛𝑐𝑖𝑎 = 0.8
Prueba t de 1 muestra
Probando la media = nula (vs. > nula)
Calculando la potencia para la media = nulo + diferencia
α = 0.05 Desviación estándar asumida = 3.55
Tamaño
de la Potencia Potencia
Diferencia muestra objetivo real
1 80 0.8 0.803167
Prueba de hipótesis sobre la varianza
Método
Hipótesis nula σ-cuadrado = 0.01
Hipótesis alterna σ-cuadrado > 0.01
El método de chi-cuadrada sólo se utiliza
para la distribución normal.
El método de Bonett no se puede calcular con
datos resumidos.
Estadísticas
N Desv.Est. Varianza
20 0.124 0.0153
95% Intervalos de confianza unilaterales
Límite Límite
inferior inferior
para para
Método Desv.Est. varianza
Chi-cuadrada 0.098 0.0096
Pruebas
Estadística
Método de prueba GL Valor p
Chi-cuadrada 29.07 19 0.065
Error tipo II y selección del tamaño de la muestra
Por lo tanto, la probabilidad de rechazar 𝐻0: 𝜎 = 0.1 si la 𝜎 verdadera excede el valor propuesto por un 25% ( es decir, 𝜎 = 0.125) es 0.4382 = 1 − 𝛽, donde 𝛽 = 0.5618, con lo que se concluye con un tamaño de muestra 𝑛 = 20 no es adecuado para proporcionar la sensibilidad solicitada.
Prueba de una desviación estándar
Probando la Desv.Est. = nula (versus > nula)
Calculando la potencia para (Desv.Est. / nula) = relación
α = 0.05
Tamaño
de la
Relación muestra Potencia
1.25 20 0.438262
Error tipo II y selección del tamaño de la muestra
El tamaño de muestra correspondiente es al menos 𝑛 = 61.
Para determinar el tamaño de la muestra necesario para tener el grado de sensibilidad deseada, utilizar 𝛽 = 0.2 o 𝑝𝑜𝑡𝑒𝑛𝑐𝑖𝑎 = 0.8
Prueba de una desviación estándar
Probando la Desv.Est. = nula (versus > nula)
Calculando la potencia para (Desv.Est. / nula) = relación
α = 0.05
Tamaño
de la Potencia Potencia
Relación muestra objetivo real
1.25 61 0.8 0.800805
Prueba de hipótesis sobre una proporción
Prueba de p = 0.05 vs. p < 0.05
Límite
superior Valor p
Muestra X N Muestra p de 95% exacto
1 4 200 0.020000 0.045180 0.026
Error tipo II y selección del tamaño de la muestra
Por lo tanto, la probabilidad de rechazar 𝐻0: 𝑝 = 0.05 si la verdadera 𝑝 = 0.05 es 0.3287 = 1 − 𝛽, donde 𝛽 = 0.6712.
Prueba para una proporción
Probando p = 0.05 (versus < 0.05)
α = 0.05
Tamaño
p de de la
comparación muestra Potencia
0.03 200 0.328725
Error tipo II y selección del tamaño de la muestra
Prueba para una proporción
Probando p = 0.05 (versus < 0.05)
α = 0.05
Tamaño
p de de la Potencia Potencia
comparación muestra objetivo real
0.03 833 0.9 0.900135