150 de toan thi vao lop 10

1

SỞ GD&ĐT VĨNH PHÚC

——————

KỲ THI VÀO LỚP 10 THPT CHUYÊN NĂM HỌC 2009-2010 ĐỀ THI MÔN: TOÁN

Dành cho các thí sinh thi vào lớp chuyên Toán Thời gian làm bài: 150 phút, không kể thời gian giao đề

—————————

(Đề có 01 trang)

Câu 1: (3,0 điểm)

a) Giải hệ phương trình:

1 1 9

2

1 5

2

x yx y

xyxy

b) Giải và biện luận phương trình: | 3 | | 2 | 5x p x (p là tham số có giá trị thực).


Cho ba số thực , ,a b c đôi một phân biệt.

Chứng minh 2 2 2

2 2 22

( ) ( ) ( )

a b c

b c c a a b


Cho 2

1

4 4 1A

x x

và

2

2 2

2 1

xB

x x

Tìm tất cả các giá trị nguyên của x sao cho 2

3

A BC

là một số nguyên.


Cho hình thang ABCD (AB // CD, AB<CD). Gọi K, M lần lượt là trung điểm của BD, AC. Đường thẳng qua K và vuông góc với AD cắt đường thẳng qua M và vuông góc với BC tại Q. Chứng minh:

a) KM // AB.

b) QD = QC.

Câu 5: (1,0 điểm).

Trong mặt phẳng cho 2009 điểm, sao cho 3 điểm bất kỳ trong chúng là 3 đỉnh của một tam giác có diện tích không lớn hơn 1. Chứng minh rằng tất cả những điểm đã cho nằm trong một tam giác có diện tích không lớn hơn 4.

—Hết—

Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm

Họ tên thí sinh ..................................................................... SBD .......................

ĐỀ CHÍNH THỨC

2

SỞ GD&ĐT VĨNH PHÚC

——————

KỲ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT CHUYÊN NĂM HỌC 2009-2010 HƯỚNG DẪN CHẤM MÔN: TOÁN

Dành cho lớp chuyên Toán.

————————— Câu 1 (3,0 điểm). a) 1,75 điểm:

Nội dung trình bày Điểm

Điều kiện 0xy 0,25

Hệ đã cho 2

2[ ( ) ( )] 9 (1)

2( ) 5 2 0 (2)

xy x y x y xy

xy xy

0,25

Giải PT(2) ta được: 2 (3)

1(4)

2

xy

xy

0,50

Từ (1)&(3) có:

1

23

2 2

1

x

yx y

xy x

y

0,25

Từ (1)&(4) có:

1

13

22

1 1

2 2

1

x

yx y

xy x

y

0,25

Vậy hệ đã cho có 4 nghiệm là: ( ; ) (1; 2), (2; 1), (1; 1/ 2), (1/ 2; 1)x y 0,25

b) 1,25 điểm: Nội dung trình bày Điể

m Xét 3 trường hợp: TH1. Nếu 2 x thì PT trở thành: ( 1) 2( 1)p x p (1)

TH2. Nếu 3 2x thì PT trở thành: (1 ) 2(1 )p x p (2)

TH3. Nếu 3x thì PT trở thành: ( 1) 2( 4)p x p (3)

0,25

Nếu 1p thì (1) có nghiệm 2x ; (2) vô nghiệm; (3) có nghiệm x nếu thoả mãn: 2( 4)

3 1 11

px p

p

. 0,25

Nếu 1p thì (1) cho ta vô số nghiệm thoả mãn 2 x ; (2) vô nghiệm; (3) vô

nghiệm. 0,25

Nếu 1p thì (2) cho ta vô số nghiệm thoả mãn 3 2x ; (1) có nghiệm x=2;

(3)VN 0,25

Kết luận:

+ Nếu -1 < p < 1 thì phương trình có 2 nghiệm: x = 2 và 2( 4)

1

px

p

0,25

3

+ Nếu p = -1 thì phương trình có vô số nghiệm 2 x ¡ + Nếu p = 1 thì phương trính có vô số nghiệm 3 2x

+ Nếu 1

1

p

p

thì phương trình có nghiệm x = 2.

Câu 2 (1,5 điểm): Nội dung trình bày Điể

m + Phát hiện và chứng minh

1( )( ) ( )( ) ( )( )

bc ca ab

a b a c b a b c c a c b

1,0

+ Từ đó, vế trái của bất đẳng thức cần chứng minh bằng: 2

2 2( )( ) ( )( ) ( )( )

a b c bc ca ab

b c c a a b a b a c b c b a c a c b

0,5


m Điều kiện xác định: x 1 (do x nguyên). 0,25

Dễ thấy 1 2( 1)

;| 2 1| | 1|

xA B

x x

, suy ra:

2 1 1

3 | 2 1| | 1|

xC

x x

0,25

Nếu 1x . Khi đó 2 1 4( 1) 4( 1) 1 2

1 0 1 1 03 2 1 3(2 1) 3(2 1) 3(2 1)

x x xC C

x x x x

Suy ra 0 1C , hay C không thể là số nguyên với 1x . 0,5

Nếu 1

12

x . Khi đó: 0x (vì x nguyên) và 0C . Vậy 0x là một giá trị cần

tìm. 0,25

Nếu 1

2x . Khi đó 1x (do x nguyên). Ta có:

2 1 4( 1)1 0

3 2 1 3(2 1)

xC

x x

và

4( 1) 2 11 1 0

3(2 1) 3(2 1)

x xC

x x

, suy ra

1 0C hay 0C và 1x . Vậy các giá trị tìm được thoả mãn yêu cầu là: 0, 1x x .

0,25

Câu 4 (3,0 điểm): a) 2,0 điểm:

Nội dung trình bày Điểm

Gọi I là trung điểm AB, ,E IK CD R IM CD . Xét hai tam

giác KIB và KED có: · ·ABD BDC

0,25

KB = KD (K là trung điểm BD) 0,25 · ·IKB EKD 0,25 Suy ra KIB KED IK KE . 0,25 Chứng minh tương tự có: MIA MRC 0,25 Suy ra: MI = MR 0,25

Trong tam giác IER có IK = KE và MI = 0,25

A I B

K M

D E H R C

Q

4

MR nên KM là đường trung bình KM // CD Do CD // AB (gt) do đó KM // AB (đpcm)

0,25

b) 1,0 điểm: Nội dung trình bày Điể

m Ta có: IA=IB, KB=KD (gt) IK là đường trung bình của ABD IK//AD hay IE//AD chứng minh tương tự trong ABC có IM//BC hay IR//BC

0,25

Có: QK AD (gt), IE//AD (CM trên) QK IE . Tương tự có QM IR 0,25

Từ trên có: IK=KE, QK IE QK là trung trực ứng với cạnh IE của IER . Tương

tự QM là trung trực thứ hai của IER 0,25

Hạ QH CD suy ra QH là trung trực thứ ba của IER hay Q nằm trên trung trực

của đoạn CD Q cách đều C và D hay QD=QC (đpcm). 0,25


m

A'

B'

C'

A

B C

P

P'

Trong số các tam giác tạo thành, xét tam giác ABC có diện tích lớn nhất (diện tích S). Khi đó 1S .

0.25

Qua mỗi đỉnh của tam giác, kẻ các đường thẳng song song với cạnh đối diện, các đường thẳng này giới hạn tạo thành một tam giác ' ' 'A B C (hình vẽ). Khi đó

' ' ' 4 4A B C ABCS S . Ta sẽ chứng minh tất cả các điểm đã cho nằm trong tam giác ' ' 'A B C .

0.25

Giả sử trái lại, có một điểm P nằm ngoài tam giác ' ' ',A B C chẳng hạn như trên

hình vẽ . Khi đó ; ;d P AB d C AB , suy ra PAB CABS S , mâu thuẫn với giả thiết tam

giác ABC có diện tích lớn nhất.

0.25

Vậy, tất cả các điểm đã cho đều nằm bên trong tam giác ' ' 'A B C có diện tích không lớn hơn 4.

0.25

5

SỞ GIÁO DỤC - ĐÀO TẠO THÁI BÌNH

ĐỀ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 THPT CHUYÊN THÁI BÌNH Năm học : 2009-2010

Môn thi: TOÁN (Dành cho thí sinh thi vào chuyên Toán, Tin)

Thời gian làm bài:150 phút (không kể thời gian giao đề) Đề thi gồm : 01 trang

Bài 1. (2,0 điểm) :

a. Cho k là số nguyên dương bất kì. Chứng minh bất đẳng thức sau:

1 1 1

2( )( 1) 1k k k k

b. Chứng minh rằng: 1 1 1 1 88

2 453 2 4 3 2010 2009 L

Bài 2. (2.5 điểm): Cho phương trình ẩn x: 2 ( 1) 6 0x m x (1) (m là tham số)

a. Tìm các giá trị của m để phương trình (1) có nghiệm x 1 2

b. Tìm các giá trị của m để phương trình (1) có 2 nghiệm 1 2, x x sao cho biểu thức:

2 21 2( 9)( 4)A x x đạt giá trị lớn nhất.

Bài 3. (2,0 điểm):

a. Giải hệ phương trình sau : 2 2

3 3

3

9

x y xy

x y

b. Tìm các số nguyên x, y thỏa mãn phương trình: 3 2 32 3 2x x x y

Bài 4. (3,0 điểm): Cho hình vuông ABCD tâm O, cạnh a. M là điểm di động trên đoạn OB (M không trùng với O; B). Vẽ đường tròn tâm I đi qua M và tiếp xúc với BC tại B, vẽ đường tròn tâm J đi qua M và tiếp xúc với CD tại D. Đường tròn (I) và đường tròn (J) cắt nhau tại điểm thứ hai là N.

a. Chứng minh rằng 5 điểm A, N, B, C, D cùng thuộc một đường tròn. Từ đó suy ra 3 điểm

C, M, N thẳng hàng.

b. Tính OM theo a để tích NA.NB.NC.ND lớn nhất.

Bài 5. (0.5 điểm): Cho góc xOy bằng o120 , trên tia phân giác Oz của góc xOy lấy điểm A sao cho độ dài đoạn thẳng OA là một số nguyên lớn hơn 1. Chứng minh rằng luôn tồn tại ít nhất ba đường thẳng phân biệt đi qua A và cắt hai tia Ox, Oy lần lượt tại B và C sao cho độ dài các đoạn thẳng OB và OC đều là các số nguyên dương.

========= Hết =========

Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm

Họ và tên thí sinh:……………………………….…………………..Số báo danh:……………. SỞ GIÁO DỤC – ĐÀO TẠO THÁI BÌNH

KỲ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 THPT CHUYÊN THÁI BÌNH Năm học : 2009-2010

HƯỚNG DẪN CHẤM VÀ BIỂU ĐIỂM MÔN TOÁN CHUYÊN

®Ò chÝnh thøc

6

CÂU Ý NỘI DUNG ĐIỂM

a. Cho k là số nguyên dương bất kì. CMR:

1 1 12( )

( 1) 1k k k k

b. Chứng minh rằng: 1 1 1 1 88

2 453 2 4 3 2010 2009 L

Bđt 1 2 k 1 2 k

(k 1) k k. k 1

0.25

2k 1 2 k(k 1) 0 0.25

2( k 1 k) 0

Luôn đúng với mọi k nguyên dương.

0.25

a.

(1.0đ)

1 1 12( )

( 1) 1

k k k k 0.25

Áp dụng kết quả câu a ta có:

1 1 1 1VT

2 1 3 2 4 3 2010 2009 L

0.25

1 1 1 1 1 12 2 2

1 2 2 3 2009 2010

L 0.25

12 1

2010

0.25

Bài 1.

(2điểm)

b.

(1.0đ)

1 882 1 VP

45 45

(đpcm)

0.25

Cho phương trình ẩn x: 2 ( 1) 6 0x m x (1) (m là

tham số)

c. Tìm các giá trị của m để phương trình có nghiệm x 1 2

d. Tìm m để (1) có 2 nghiệm 1 2,x x sao cho biểu thức: 2 21 2( 9)( 4)A x x max

Bài 2 (2.5 điểm)

a. (1,5đ)

Pt (1) có nghiệm x 1 2 2

1 2 1 1 2 6 0 m 0.5

7

Tìm được 5 2 6m và KL. 1.0

Tính 2

1 24 0 m m suy ra pt (1) có 2 nghiệm phân biệt

1 2,x x . 0.5

2 2

1 2 1 26 2 3A x x x x

Theo ĐL Vi-et ta có 1 2 6x x 2

1 22 3 0A x x 0.25

b. (1,0đ)

Max A = 0 khi và chỉ khi

1 2 1 1

1 2 2 2

1 2

2 3 0 3 3

6 2 2

1 0 2

x x x x

x x x x

x x m m m

KL : Vậy m = 0 ; m = 2 là các giá trị cần tìm.

0.25

a. Giải hệ phương trình sau :

2 2

3 3

3

9

x y xy

x y

b. Tìm các số nguyên x, y thỏa mãn phương trình: 3 2 32 3 2x x x y

Hệ phương trình đã cho 2 2

22 2

3 3

( ) 3 3( )( ) 9

x yx y xy

x y xyx y x y xy

0.5

a (1.0đ)

3 1

2 2

x y x

xy y

hoặc

2

1

x

y

0.5

Ta có 2

3 3 2 3 72 3 2 2 0

4 8y x x x x x y

(1)

0.25

2

3 3 2 9 15( 2) 4 9 6 2 0 2

4 16x y x x x y x

(2)

0.25

Từ (1) và (2) ta có x < y < x+2 mà x, y nguyên suy ra y = x + 1 0.25

Bài 3 (2 điểm)

b (1.0đ)

Thay y = x + 1 vào pt ban đầu và giải phương trình tìm được x = -1; x = 1 từ đó tìm được hai cặp số (x, y) thỏa mãn bài toán là (1 ; 2), (-1 ; 0)

0.25

8

Bài 4. (3 điểm)

Cho hình vuông ABCD tâm O, cạnh a. M là điểm di động trên đoạn OB (M không trùng với O; B). Vẽ đường tròn tâm I đi qua M và tiếp xúc với BC tại B, vẽ đường tròn tâm J đi qua M và tiếp xúc với CD tại D. Đường tròn (I) và đường tròn (J) cắt nhau tại điểm thứ hai là N.

c. Chứng minh rằng 5 điểm A, N, B, C, D cùng thuộc một đường tròn. Từ đó suy ra 3 điểm C, M, N thẳng hàng.

d. Tính OM theo a để tích NA.NB.NC.ND lớn nhất.

K

H

N

O

I

J

BA

D C

M

MNB MBC ( Cùng chắn cung BM)

MND MDC ( Cùng chắn cung DM)

90BND MNB MND MBC MDC o

Do đó 5 điểm A, B, C, D, M cùng thuộc một đường tròn

1.5

a. 2.0đ

Suy ra NC là phân giác của góc BND ( do cung BC = cung BD)

Mặt khác, theo CM trên ta có NM là phân giác của góc BND

Nên M, N, C thẳng hàng.

0.5

b. 1.0đ

Gọi H, K lần lượt là hình chiếu của N trên AC và BD

NHOK là hình chữ nhật

Ta có : . . . 2NA NC NH AC NH a

. . . 2NB ND NK BD NK a

Suy ra

2 2 42 2 2 2. . . 2 . . 2 . .

2 2

NH NK aNA NB NC ND a NH NK a a NO

0.5

9

Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi 2

aNH NK

(2 2)

2

aOM

0.5

Cho góc xOy bằng o120 , trên tia phân giác Oz của góc xOy lấy điểm A sao cho độ dài đoạn thẳng OA là một số nguyên lớn hơn 1. Chứng minh rằng luôn tồn tại ít nhất ba đường thẳng phân biệt đi qua A và cắt hai tia Ox, Oy lần lượt tại B và C sao cho độ dài các đoạn thẳng OB và OC đều là các số nguyên dương.

z

x

A

O

B C

Bài 5. (0.5 điểm)

Chỉ ra đường thẳng 1d đi qua A và vuông góc với OA thỏa mãn

bài toán

Đặt OA = a > 1 (a nguyên). Trên tia Ox lấy điểm B sao cho OB = a + 1 nguyên dương. Đường thẳng 2d đi qua A, B cắt tia Oy tại

C.

Chứng minh được 1 1 1

OB OC OA

1 1 1

( 1)1

OC a aa OC a

là số nguyên

dương Suy ra 2d là một đường thẳng cần tìm.

Tương tự lấy B trên Ox sao cho OB = a(a + 1), Ta tìm được

đường thẳng 3d

Chứng minh 1 2 3, ,d d d phân biệt. ĐPCM

0.5

Hướng dẫn chung 1. Trên đây chỉ là các bước giải và khung điểm cho từng câu. Yêu cầu học sinh phải trình bầy,

lập luận và biến đổi hợp lý, chặt chẽ mới cho điểm tối đa.

2. Bài 4 phải có hình vẽ đúng và phù hợp với lời giải bài toán mới cho điểm.( không cho điểm hình vẽ )

3. Những cách giải khác đúng vẫn cho điểm tối đa.

4. Chấm điểm từng phần, điểm toàn bài là tổng các điểm thành phần( không làm tròn).

===========================

10

ĐỀ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 CHUYÊN CỦA HẢI PHÒNG

NĂM HỌC 2009-2010 Bài 1 : ( 1 điểm )

Cho 3

4 2 3 3

5 2 17 5 38 2x

tính

20092 1P x x

Bài 2 : ( 1, 5 điểm ) : cho hai phương trình x2 + b.x + c = 0 ( 1 ) và x2 - b2 x + bc = 0 (2 ) biết phương trình ( 1 ) có hai nghiệm x1 ; x2 và phương trình ( 2 ) có hai nghiệm

3 4;x x thoả mãn điều kiện 3 1 4 2 1x x x x . xác định b và c

Bài 3 : ( 2 điểm )

1. Cho các số dương a; b; c . Chứng minh rằng 1 1 1

9a b ca b c

2. Cho các số dương a; b; c thoả mãn a + b + c 3 . Chứng ming rằng

2 2 2

1 2009670

a b c ab bc ca

Bài 4 : ( 3, 5 điểm ) Cho tam giác ABC với BC = a ; CA = b ; AB = c( c < a ; c< b ) . Gọi M ; N lần lượt là các tiếp điểm của đường tròn tâm ( O) nội tiếp tam giác ABC với các cạnh AC và BC . Đường thẳng MN cắt các tia AO : BO lần lượt tại P và Q . Gọi E; F lần lượt là trung điểm của AB ; AC

1. Chứng minh tứ giác AOQM ; BOPN ; AQPB nội tiếp 2. Chứng minh Q; E; F thẳng hàng

3. Chứng minh MP NQ PQ OM

a b c OC

Bài 5 : ( 2 điểm ) 1. Giải phương trình nghiệm nguyên 3x - y3 = 1 2. Cho bảng ô vuông kích thước 2009 . 2010, trong mỗi ô lúc đầu đặt một viên

sỏi . Gọi T là thao tác lấy 2 ô bất kì có sỏi và chuyển từ mỗi ô đó một viên sỏi đưa sang ô bên cạnh ( là ô có chung cạnh với ô có chứa sỏi ) . Hỏi sau một số hữu hạn phép thực hiện các thao tác trên ta có thể đưa hết sỏi ở trên bảng về cùng một ô không

Lời giải Bài 1 :

333

3

4 2 3 3 3 1 3

5 2 17 5 38 2 5 2 (17 5 38) 2

1 11

1 217 5 38 17 5 38 2

x

vậy P = 1 Bài 2 : vì 3 1 4 2 1x x x x => 3 1 4 21; 1x x x x

11

Theo hệ thức Vi ét ta có

1 2

1 2

21 2

1 2

(1)

. (2)

1 1 (3)

1 . 1 (4)

x x b

x x c

x x b

x x bc

Từ (1 ) và ( 3 ) => b2 + b - 2 = 0 b = 1 ; b = -2 từ ( 4 ) => 1 2 1 2. 1x x x x bc => c - b + 1 = bc ( 5 )

+) với b = 1 thì ( 5 ) luôn đúng , phương trình x2 + +b x + c = 0 trở thành

X2 + x + 1 = 0 có nghiệm nếu 1

1 4 04

c c

+) với b = -2 ( 5 ) trở thành c + 3 = -2 c => c = -1 ; phương trình x2 + b x + c = 0 trở thành x2 - 2 x - 1 = 0 có nghiệm là x = 1 2

vậy b= 1; c 1

4c ;

b = -2 ; c = -1 Bài 3 : 1. Áp dụng bất đẳng thức Cô si cho 3 số dương

3a b c abc 3

1 1 1 13

a b c abc

=> 1 1 1

9a b ca b c

dấu “=” sảy ra a = b = c

2. ta có

2

2 2 2 33

a b cab bc ca a b c ab bc ca

2007669

ab bc ca

Áp dụng câu 1 ta có

2 2 2

2 2 2

1 1 12 2 2 9a b c ab bc ca

a b c ab bc ca ab bc ca

=>

22 2 2

1 1 91

a b c ab bc ca a b c

vậy 2 2 2

1 2009670

a b c ab bc ca

. dấu “=” sảy ra a = b = c = 1

Bài 4 : a) ta có

· · · µ µ

·µ

µ µ · ·

0

1

2

180 1

2 2

BOP BAO ABO A B

CPNC A B

BOP PNC

=> tứ giác BOPN nội tiếp +) tương tự tứ giác AOQM nội tiếp

+) do tứ giác AOQM nội tiếp=> · · 090AQO AMO

tứ giác BOPN nội tiếp => · · 090BPO BNO

=> · · 090AQB APB => tứ giác AQPB nội tiếp

b ) tam giác AQB vuông tại Qcó QE là trung tuyến nên QE = EB = EA

12

=> · · µ ·1

2EQB EBQ B QBC => QE //BC

Mà E F là đường trung bình của tam giác ABC nên E F //BC Q; E; F thẳng hàng

c)

~ ( )

~ ( )

~ ( )

MP OM OPMOP COB g g

a OC OB

NQ ON OMNOQ COA g g

b OC OC

PQ OP OMPOQ BOA g g

c OB OC

OM MP NQ PQ MP NQ PQ

OC a b c A B C

Bài 5 : 1) 3x - y3 = 1

23 1 1x y y y => tồn tại m; n sao cho 2

1 3 3 1

1 3 9 3.3 3 3

m m

n m m n

y y

y y

m b x m b x

+) nếu m = 0 thì y = 0 và x = 0

+) nếu m > 0 thì 9 3.3 3 3 3 3

19 3.3 3 9 3 9

m m n

m m nn

M M

M M

=> 9 3.3 3 3 3 3 3 0m m m m => m = 1 => y = 2 ; x = 2

vậy p/ trình có hai nghiệm là ( 0 ; 0 0 ; ( 2 ; 2 ) 2.Ta tô màu các ô vuông của bảng bằng hai màu đen trắng như bàn cờ vua Lúc đầu tổng số sỏi ở các ô đen bằng 1005 . 2009 là một số lẻ sau mối phép thực hiện thao tác T tổng số sỏi ở các ô đen luôn là số lẻ vậy không thể chuyển tất cả viên sỏi trên bẳng ô vuông về cùng một ô sau một số hữu hạn các phép thưc hiện thao tác T

Së gi¸o dôc-®µo t¹o Kú thi tuyÓn sinh vµo líp 10 THPT chuyªn

Hµ nam N¨m häc 2009-2010 M«n thi : to¸n(®Ò chuyªn)

13

®Ò chÝnh thøc Thêi gian lµm bµi: 120 phót(kh«ng kÓ thêi gian giao ®Ò) Bµi 1.(2,5 ®iÓm)

1) Gi¶i ph¬ng tr×nh:2

1 12

3 2 2x x x

2) Gi¶i hÖ ph¬ng tr×nh:

17

12

xx y

x

x y

Bµi 2.(2,0 ®iÓm)

Cho ph¬ng tr×nh: 6 3 2 0x x m

a) T×m m ®Ó x = 7 48 lµ nghiÖm cña ph¬ng tr×nh. b) T×m m ®Ó ph¬ng tr×nh cã 2 nghiÖm x=x1; x=x2 tho¶ m·n:

1 2

1 2

24

3

x x

x x

Bµi 3.(2,0 ®iÓm)

1) Cho ph¬ng tr×nh: 22 2 2 6 6 52 0x m x m ( víi m lµ tham sè, x lµ Èn sè). T×m

gi¸ trÞ cña m lµ sè nguyªn ®Ó phwowng tr×nh cã nghiÖm lµ sè h÷u tû.

2) T×m sè abc tho¶ m·n: 2

4abc a b c .

Bµi 4.(3,5 ®iÓm)

Cho ∆ABC nhän cã µ µC A. §êng trßn t©m I néi tiÕp ABC tiÕp xóc víi çc c¹nh AB, BC, CA lÇn lît t¹i çc ®iÓm M, N, E; gäi K lµ giao ®iÓm cña BI vµ NE.

a) Chøng minh: ·µ

0AIB 902

C .

b) Chøng minh 5 ®iÓm A, M, I, K, E cïng n»m trªn mét ®êng trßn. c) Gäi T lµ giao ®iÓm cña BI víi AC, chøng minh: KT.BN=KB.ET. d) Gäi Bt lµ tia cña ®êng th¼ng BC vµ chøa ®iÓm C. Khi 2 ®iÓm A, B vµ tia Bt

cè ®Þnh; ®iÓm C chuyÓn ®éng trªn tia Bt vµ tho¶ m·n gi¶ thiÕt, chøng minh r»ng çc ®êng th¼ng NE t¬ng øng lu«n ®i qua mét ®iÓm cè ®Þnh.

----------- HÕt---------- Hä vµ tªn thÝ sinh: ..Sè b¸o danh: Ch÷ ký gi¸m thÞ sè 1: .Ch÷ ký gi¸m thÞ sè 2 ..

Gîi ý mét sè c©u khã trong ®Ò thi: Bµi 3:

1) Ta cã ' = 224 12 68 2 3 77m m m

§Ó ph¬ng tr×nh cã nghiÖm h÷u tû th× ' ph¶i lµ sè chÝnh ph¬ng. Gi¶ sö ' = n2( trong ®ã n lµ sè tù nhiªn).

Khi ®ã ta cã 2 22 22 3 77 2 3 77 2 3 . 2 3 77m n m n m n m n

14

Do nN nªn 2m-3+n>2m-3-n Vµ do mZ, nN vµ 77=1.77=7.11=-1.(-77)=-7.(-11) Tõ ®ã xÐt 4 trêng hîp ta sÏ t×m ®îc gi¸ trÞ cña m.

2)Tõ gi¶ thiÕt bµi to¸n ta cã:

2 2

2

2 2

100 10100 10 .4 ( 4 1 0)

4 1

10 910 10

4 1 4 1

a ba b c a b c c do a b

a b

a b aa b

a b a b

Ta cã 2

4 1a b lµ sè lÎ vµ do 0 9c nªn 2

4 1a b M5.

Mµ 2

4 a b lµ sè ch½n nªn 2

4 a b ph¶i cã tËn cïng lµ 6 2

a b ph¶i cã tËn

cïng lµ 4 hoÆc 9. (*)

MÆt kh¸c 2

2.5

4( ) 1

abc

a b

vµ

2

4 1a b lµ sè lÎ 2

4 1a b <500 2

125, 25a b (**)

KÕt hîp (*) vµ (**) ta cã 2

a b {4; 9; 49; 64}

a+b {2; 3; 7; 8}

+ NÕu a+b{2; 7; 8} th× a+b cã d¹ng 3k 1(kN) khi ®ã 2

4 1a b chia hÕt

cho 3 mµ (a+b) + 9a= 3k 1+9a kh«ng chia hÕt cho 3 10 9a b a kh«ng M3

c N

+ NÕu a+b =3 ta cã 10 3 9 6 1 3

35 7

a ac

. V× 0<a<4 vµ

1+3aM71+3a=7a=2, khi ®ã c=6 vµ b=1.Ta cã sè 216 tho¶ m·n. KÕt luËn sè 216 lµ sè cÇn t×m. Bµi 4:

* ý c : Chøng minh KT.BN=KB.ET

Çch 1:C/m AKT : IETKT AK

ET IE

C/m AKB : INBKB AK

BN IN

Do IE=IN tõ ®ã ta suy ra ®iÒu ph¶i chøng minh Çch 2:

15

C/m TKE : TAIKT TA

ET TI

C/m BIM : BAKKB AB

BM BI

Theo tÝnh chÊt tia ph©n gi¸c cña ABT ta cã TA AB

TI BI

Vµ do BM=BN tõ ®ã suy ra ®iÒu ph¶i c/m

*ý d:Chøng minh NE ®i qua mét ®iÓm cè ®Þnh:Do A, B vµ tia Bt cè ®Þnh nªn ta

cã tia Bx cè ®Þnh vµ ·ABI kh«ng ®æi (tia Bx lµ tia ph©n gi¸c cña ·ABt ) XÐt ABK vu«ng t¹i K ta cã KB = AB.cos ABI=AB.cos kh«ng ®æi Nh vËy ®iÓm K thuéc tia Bx cè ®Þnh vµ çch gèc B mét kho¶ng kh«ng ®æi do ®ã K cè ®Þnh ®pcm. Së gi¸o dôc vµ ®µo t¹o

Hng yªn

®Ò chÝnh thøc

kú thi tuyÓn sinh vµo líp 10 thpt

chuyªn

N¨m häc 2009 - 2010

M«n thi: To¸n (Dµnh cho thÝ sinh thi vµo çc líp chuyªn

To¸n, Tin) Thêi gian lµm bµi: 150 phót

Bµi 1: (1,5 ®iÓm)

Cho 1 1

a 2 :7 1 1 7 1 1

H·y lËp mét ph¬ng tr×nh bËc hai cã hÖ sè nguyªn nhËn a - 1 lµ mét nghiÖm.

Bµi 2: (2,5 ®iÓm)

a) Gi¶i hÖ ph¬ng tr×nh:

x 16xy

y 3

y 9xy

x 2

b) T×m m ®Ó ph¬ng tr×nh 2

2 2x 2x 3x 6x m 0 cã 4 nghiÖm ph©n biÖt.

Bµi 3: (2,0 ®iÓm)

a) Chøng minh r»ng nÕu sè nguyªn k lín h¬n 1 tho¶ m·n 2k 4 vµ 2k 16 lµ çc sè

nguyªn tè th× k chia hÕt cho 5.

b) Chøng minh r»ng nÕu a, b, c lµ ®é dµi ba c¹nh cña mét tam gi¸c cã p lµ nöa chu vi

th× p a p b p c 3p

Bµi 4: (3,0 ®iÓm)

16

Cho ®êng trßn t©m O vµ d©y AB kh«ng ®i qua O. Gäi M lµ ®iÓm chÝnh gi÷a cña

cung AB nhá. D lµ mét ®iÓm thay ®æi trªn cung AB lín (D kh¸c A vµ B). DM c¾t AB t¹i C.

Chøng minh r»ng:

a) MB.BD MD.BC

b) MB lµ tiÕp tuyÕn cña ®êng trßn ngo¹i tiÕp tam gi¸c BCD.

c) Tæng b¸n kÝnh çc ®êng trßn ngo¹i tiÕp tam gi¸c BCD vµ ACD kh«ng ®æi.

Bµi 5: (1,0 ®iÓm)

Cho h×nh ch÷ nhËt ABCD. LÊy E, F thuéc c¹nh AB; G, H thuéc c¹nh BC; I, J thuéc

c¹nh CD; K, M thuéc c¹nh DA sao cho h×nh 8 - gi¸c EFGHIJKM cã çc gãc b»ng nhau.

Chøng minh r»ng nÕu ®é dµi çc c¹nh cña h×nh 8 - gi¸c EFGHIJKM lµ çc sè h÷u tØ th× EF =

IJ. ------------ HÕt ------------

Hä vµ tªn thÝ sinh:……………………................ Ch÷ ký cña gi¸m thÞ .............. . ... ...

Sè b¸o danh:…………………….Phßng thi sè:.............

Híng dÉn chÊm thi Bµi 1: (1,5 ®iÓm)

1 1 7 1 1 7 1 1

a 2 : 2 :77 1 1 7 1 1

0,5 ®

a = 2

2 : 77 0,25 ®

§Æt 2x a 1 x 7 1 x 1 7 x 2x 1 7 0,5 ®

2x 2x 6 0

VËy ph¬ng tr×nh 2x 2x 6 0 nhËn 7 1 lµm nghiÖm 0,25 ®

Bµi 2: (2,5 ®iÓm)

a)

x 16x 16xy (1)xy

y 3y 3

y x 5y 9(2)xy

x y 6x 2

§K: x,y 0 0,25 ®

Gi¶i (2) 2 26y 6x 5xy (2x 3y)(3x 2y) 0 0,25 ®

* NÕu 3y

2x 3y 0 x2

.

Thay vµo (1) ta ®îc 3y 3 16

y.2 2 3

0,25 ®

23y 23

2 6

(ph¬ng tr×nh v« nghiÖm) 0,25 ®

17

* NÕu 2y

3x 2y 0 x3

.

Thay vµo (1) ta ®îc 2y 9 y 3

0,25 ®

- Víi y 3 x 2 (tho¶ m·n ®iÒu kiÖn)

- Víi y 3 x 2 (tho¶ m·n ®iÒu kiÖn)

VËy hÖ ph¬ng tr×nh cã hai nghiÖm: (x; y) = (2; 3); (x; y) = (-2; -3)

0,25 ®

b) §Æt 22x 2x 1 y x 1 y x 1 y (y 0) (*)

Ph¬ng tr×nh ®· cho trë thµnh: 2

y 1 3 y 1 m 0

2y 5y m 4 0 (1)

0,25 ®

Tõ (*) ta thÊy, ®Ó ph¬ng tr×nh ®· cho cã 4 nghiÖm ph©n biÖt th× ph¬ng tr×nh

(1) cã 2 nghiÖm d¬ng ph©n biÖt 0,25 ®

0 9 4m 0

S 0 5 0

P 0 m 4 0

0,25 ®

9m 9

4 m44

m 4

VËy víi 9

4 m4

th× ph¬ng tr×nh cã 4 nghiÖm ph©n biÖt.

0,25 ®

Bµi 3: (2,0 ®iÓm)

a) V× k > 1 suy ra 2 2k 4 5; k 16 5

- XÐt 2 2 2k 5n 1 (víi n ) k 25n 10n 1 k 4 5 ¢ M 2k 4 kh«ng lµ sè nguyªn tè.

0,25 ®

- XÐt 2 2 2k 5n 2 (víi n ) k 25n 20n 4 k 16 5 ¢ M

2k 16 kh«ng lµ sè nguyªn tè. 0,25 ®

- XÐt 2 2 2k 5n 3 (víi n ) k 25n 30n 9 k 16 5 ¢ M 2k 16 kh«ng lµ sè nguyªn tè.

0,25 ®

- XÐt 2 2 2k 5n 4 (víi n ) k 25n 40n 16 k 4 5 ¢ M

2k 4 kh«ng lµ sè nguyªn tè.

Do vËy k 5M

0,25 ®

b) Ta chøng minh: Víi a,b, c th× 2 2 2 2a b c 3 a b c (*)

ThËt vËy 2 2 2 2 2 2(*) a b c 2ab 2bc 2ca 3a 3b 3c 2 2 2(a b) (b c) (c a) 0 (lu«n ®óng)

0,5 ®

¸p dông (*) ta cã: 0,5 ®

18

2

p a p b p c 3 3p a b c 3p

Suy ra p a p b p c 3p (®pcm)

Bµi 4: (3,0 ®iÓm)

JI

C

N

M

O

A B

D

a) XÐt MBC vµ MDB cã:

· ·BDM MBC (haigãc néi tiÕp ch¾n hai cung b»ng nhau)

· ·BMC BMD

0,5 ®

Do vËy MBC vµ MDB ®ång d¹ng

Suy ra MB MD

MB.BD MD.BCBC BD

0,5 ®

b) Gäi (J) lµ ®êng trßn ngo¹i tiÕp BDC · · ·BJC 2BDC 2MBC

hay ··BJC

MBC2

··0180 BJC

BCJ c©n t¹i J CBJ2

0,5 ®

Suy ra · ·· ·O

OBJC 180 BJCMBC CBJ 90 MB BJ

2 2

Suy ra MB lµ tiÕp tuyÕn cña ®êng trßn (J), suy ra J thuéc NB

0,5 ®

c) KÎ ®êng kÝnh MN cña (O) NB MB

Mµ MB lµ tiÕp tuyÕn cña ®êng trßn (J), suy ra J thuéc NB

Gäi (I) lµ ®êng trßn ngo¹i tiÕp ADC

Chøng minh t¬ng tù I thuéc AN

Ta cã · · · ·ANB ADB 2BDM BJC CJ // IN

Chøng minh t¬ng tù: CI // JN

0,5 ®

Do ®ã tø gi¸c CINJ lµ h×nh b×nh hµnh CI = NJ

Suy ra tæng b¸n kÝnh cña hai ®êng trßn (I) vµ (J) lµ:

IC + JB = BN (kh«ng ®æi)

0,5 ®

Bµi 5: (1,0 ®iÓm)

19

g

f e

d

h c

b

a

G

F

I

H

J

M

C

A B

D

E

K

Gäi EF = a ; FG = b ; GH = c ; HI = d ; IJ = e ; JK = f ; KM = g ; ME = h

(víi a, b, c, d, e, f, g, h lµ çc sè h÷u tØ d¬ng)

Do çc gãc cña h×nh 8 c¹nh b»ng nhau nªn mçi gãc trong cña h×nh 8 c¹nh cã

sè ®o lµ: O

O8 2 180135

8

( ).

0,25 ®

Suy ra mçi gãc ngoµi cña h×nh 8 c¹nh ®ã lµ: 180O - 135O = 45O

Do ®ã çc tam gi¸c MAE ; FBG ; CIH ; DKJ lµ çc tam gi¸c vu«ng c©n.

MA = AE = h

2 ; BF = BG =

b

2 ; CH = CI =

d

2 ; DK = DJ =

f

2

Ta cã AB = CD nªn: h b f d

a e2 2 2 2

(e - a) 2 = h + b - f - d

0,5 ®

NÕu e - a ≠ 0 th× h b f d

2e a

¤ (®iÒu nµy v« lý do 2 lµ sè v« tØ)

VËy e - a = 0 e = a hay EF = IJ (®pcm).

0,25 ®

------------ HÕt ------------

Së gi¸o dôc vµ ®µo t¹o

H¶I d¬ng

Kú thi tuyÓn sinh líp 10 THPT chuyªn

nguyÔn tr·i - N¨m häc 2009-2010

M«n thi : to¸n Thêi gian lµm bµi: 150 phót

Ngµy thi 08 th¸ng 7 n¨m 2009 (§Ò thi gåm: 01 trang)

C©u I (2.5 ®iÓm):

1) Gi¶i hÖ ph¬ng tr×nh:

2 2

2

x y xy 3

xy 3x 4

2) T×m m nguyªn ®Ó ph¬ng tr×nh sau cã Ýt nhÊt mét nghiÖm nguyªn:

2 24x 4mx 2m 5m 6 0

C©u II (2.5 ®iÓm):

§Ò thi chÝnh thøc

20

1) Rót gän biÓu thøc:

3 32

2

2 4 x 2 x 2 xA

4 4 x víi 2 x 2

2) Cho tríc sè h÷u tØ m sao cho 3 m lµ sè v« tØ. T×m çc sè h÷u tØ a, b, c ®Ó: 3 2 3a m b m c 0

C©u III (2.0 ®iÓm):

1) Cho ®a thøc bËc ba f(x) víi hÖ sè cña x3 lµ mét sè nguyªn d¬ng vµ biÕt f(5) f(3) 2010 . Chøng minh r»ng: f(7) f(1) lµ hîp sè.

2) T×m gi¸ trÞ lín nhÊt cña biÓu thøc: 2 2P x 4x 5 x 6x 13

C©u IV (2.0 ®iÓm):

Cho tam gi¸c MNP cã ba gãc nhän vµ çc ®iÓm A, B, C lÇn lît lµ h×nh chiÕu vu«ng gãc cña M, N, P trªn NP, MP, MN. Trªn çc ®o¹n th¼ng AC, AB lÇn lît lÊy D, E sao cho

DE song song víi NP. Trªn tia AB lÊy ®iÓm K sao cho · ·DMK NMP . Chøng minh r»ng:

1) MD = ME

2) Tø gi¸c MDEK néi tiÕp. Tõ ®ã suy ra ®iÓm M lµ t©m cña ®êng trßn bµng tiÕp gãc DAK cña tam gi¸c DAK.

C©u V (1.0 ®iÓm):

Trªn ®êng trßn (O) lÊy hai ®iÓm cè ®Þnh A vµ C ph©n biÖt. T×m vÞ trÝ cña çc ®iÓm B vµ D thuéc ®êng trßn ®ã ®Ó chu vi tø gi¸c ABCD cã gi¸ trÞ lín nhÊt.

-----------------------HÕt-----------------------

Hä vµ tªn thÝ sinh : ......................................................Sè b¸o danh :.......................

Ch÷ kÝ cña gi¸m thÞ 1 : .............................Ch÷ kÝ cña gi¸m thÞ 2:............................

Híng dÉn chÊm

C©u PhÇn néi dung §iÓm

2 2

2

x y xy 3 (1)

xy 3x 4 (2)

Tõ (2) x 0. Tõ ®ã 24 3x

yx

, thay vµo (1) ta cã:

0.25 2

2 22 4 3x 4 3x

x x. 3x x

0.25

4 27x 23x 16 0 0.25

c©u I

2,5 ®iÓm

1)

1,5®iÓm

Gi¶i ra ta ®îc 2 2 16x 1 hoÆc x =

7

0.25

21

Tõ 2x 1 x 1 y 1 ; 2 16 4 7 5 7x x y

7 7 7 m

0.25

VËy hÖ cã nghiÖm (x; y) lµ (1; 1); (-1; -1);

4 7 5 7;

7 7;

4 7 5 7;

7 7

0.25

§iÒu kiÖn ®Ó ph¬ng tr×nh cã nghiÖm: x ' 0 0.25

m 5m 6 0 (m 2)(m 3) 0 . V× (m - 2) > (m - 3) nªn:

x ' 0 m 2 0 vµ m 3 0 2 m 3, mµ m Z

m = 2 hoÆc m = 3. 0.25

Khi m = 2 x ' = 0x = -1 (tháa m·n)

Khi m = 3 x ' = 0 x = - 1,5 (lo¹i). 0.25

2)

1,0®iÓm

VËy m = 2. 0.25

§Æt a 2 x; b 2 x (a, b 0) 2 2 2 2a b 4; a b 2x 0.25

1)

1,5®iÓm

3 3 2 22 ab a b 2 ab a b a b abA

4 ab 4 ab

0.25

2 ab a b 4 abA 2 ab a b

4 ab

0.25

A 2 4 2ab a b 0.25

2 2A 2 a b 2ab a b a b a b 0.25

2 2A 2 a b 2x A x 2 0.25 3 2 3a m b m c 0 (1)

Gi¶ sö cã (1) 3 2 3b m c m am 0 (2)

Tõ (1), (2) 2 23(b ac) m (a m bc) 0.25

NÕu 2a m bc 0 2

3

2

a m bc m

b ac

lµ sè h÷u tØ. Tr¸i víi gi¶ thiÕt!

2 3

2 2

b ac 0 b abc

a m bc 0 bc am

0.25

3 3 3b a m b a m . NÕu b0 th× 3 bm

a lµ sè h÷u tØ. Tr¸i víi gi¶

thiÕt! a 0;b 0 . Tõ ®ã ta t×m ®îc c = 0. 0.25

c©u II

2,5 ®iÓm

2)

1,0®iÓm

Ngîc l¹i nÕu a = b = c = 0 th× (1) lu«n ®óng. VËy: a = b = c = 0 0.25 Theo bµi ra f(x) cã d¹ng: f(x) = ax3 + bx2 + cx + d víi a nguyªn d¬ng. 0.25 Ta cã: 2010 = f(5) - f(3) = (53 - 33)a + (52 - 32)b + (5 - 3)c = 98a + 16b + 2c 16b + 2c = (2010- 98a) 0.25 Ta cã f(7) - f(1) = (73 - 13)a + (72 - 12)b + (7 - 1)c = 342a + 48b + 6c = 342a + 3(16b + 2c) = 342a + 3(2010- 98a)= 48a + 6030 = 3.(16a + 2010) 3M 0.25

c©u III

2 ®iÓm

1)

1,0®iÓm

V× a nguyªn d¬ng nªn 16a + 2010>1 . VËy f(7)-f(1) lµ hîp sè 0.25

22

2 22 2P x 2 1 x 3 2

Trªn mÆt ph¼ng täa ®é Oxy lÊy çc ®iÓm A(x-2; 1), B(x+3; 2) 0.25

Ta chøng minh ®îc: 2 2

AB x 2 x 3 1 2 25 1 26

2 2OA x 2 1 ,

2 2OB x 3 2 0.25

MÆt kh¸c ta cã: OA OB AB 2 22 2x 2 1 x 3 2 26

0.25

2)

1,0®iÓm

DÊu “=” x¶y ra khi A thuéc ®o¹n OB hoÆc B thuéc ®o¹n OA

x 2 1x 7

x 3 2.Thö l¹i x = 7 th× A(5; 1); B(10; 2) nªn A thuéc ®o¹n

OB. VËy Max P 26 khi x = 7. 0.25 Ta dÔ dµng chøng minh tø gi¸c

MBAN néi tiÕp · · MAB MNB ,

MCAP néi tiÕp · · CAM CPM . 0.25

L¹i cã · ·BNM CPM (cïng phô gãc NMP)

· · CAM BAM (1) 0.25

1)

0,75®iÓm

Do DE // NP mÆt kh¸c MANP MA DE (2) Tõ (1), (2) ADE c©n t¹i A MA lµ trung trùc cña DE MD = ME

0.25

K

E

B

C

AN

M

P

D

Do DE//NP nªn · ·DEK NAB , mÆt kh¸c tø gi¸c MNAB néi tiÕp nªn: · · 0NMB NAB 180 · · 0NMB DEK 180 0.25

Theo gi¶ thiÕt · ·DMK NMP · · 0DMK DEK 180 Tø gi¸c MDEK néi tiÕp 0.25

c©uIV

2 ®iÓm

2)

1,25®iÓm

Do MA lµ trung trùc cña DE MEA MDA 0.25

K

E

B

C

AN

M

P

D

23

· · · · MEA MDA MEK MDC. 0.25

V× · · · · MEK MDK MDK MDC DM lµ ph©n gi¸c cña gãc CDK, kÕt hîp víi AM lµ ph©n gi¸c DABM lµ t©m cña ®êng trßn bµng tiÕp gãc DAK cña tam gi¸c DAK. 0.25

D'

B'

A'

O

CA

B

D

Kh«ng mÊt tæng qu¸t gi¶ sö:ABAC. Gäi B’ lµ ®iÓm chÝnh gi÷a cung ¼ABC AB' CB' Trªn tia ®èi cña BC lÊy ®iÓm A’ sao cho BA’ = BA AB BC CA' 0.25

Ta cã: · · · B'BC B'AC B'CA (1) ; · · 0B 'CA B'BA 180 (2)

· · 0B 'BC B 'BA' 180 (3);Tõ (1), (2), (3) · · B'BA B'BA ' 0.25 Hai tam gi¸c A’BB’ vµ ABB’ b»ng nhau A'B' B'A Ta cã B'A B'C B 'A' B'C A'C = AB + BC ( B’A + B’C kh«ng ®æi v× B’, A, C cè ®Þnh). DÊu “=” x¶y ra khi B trïng víi B’. 0.25

c©u V

1 ®iÓm

Hoµn toµn t¬ng tù nÕu gäi D’ lµ ®iÓm chÝnh gi÷a cung ¼ADC th× ta còng cã AD’ + CD’ AD + CD. DÊu “=” x¶y ra khi D trïng víi D’. Chu vi tø gi¸c ABCD lín nhÊt khi B, D lµ çc ®iÓm chÝnh gi÷a çc

cung »AC cña ®êng trßn (O) 0.25

Chó ý: NÕu thÝ sinh lµm theo çch kh¸c, lêi gi¶i ®óng vÉn cho ®iÓm tèi ®a.

së gi¸o dôc - ®µo t¹o

hµ nam

kú thi tuyÓn sinh vµo líp 10 thpt chuyªn N¨m häc 2009 - 2010

M«n thi : to¸n(§Ò chung)

®Ò chÝnh thøc Thêi gian lµm bµi: 120 phót (Kh«ng kÓ thêi gian giao ®Ò)

Bµi 1. (2 ®iÓm)

Cho biÓu thøc P =

2

1 2 3

1 1

x x x x x

x x

a) T×m ®iÒu kiÖn x¸c ®Þnh cña P b) Rót gän P c) T×m x ®Ó P > 0

Bµi 2. (1,5 ®iÓm)

24

Gi¶i hÖ ph¬ng tr×nh:

1 2 2

2 2 1

x y

x y

Bµi 3. (2 ®iÓm) 1) T×m to¹ ®é giao ®iÓm cña ®êng th¼ng y = x + 6 vµ parabol y = x2 2) T×m m ®Ó ®å thÞ hµm sè y = (m + 1)x + 2m + 3 c¾t trôc â, trôc Oy lÇn lît t¹i

çc ®iÓm A , B vµ AOB c©n ( ®¬n vÞ trªn hai trôc â vµ Oy b»ng nhau). Bµi 4. (3,5 ®iÓm) Cho ABC vu«ng ®Ønh A, ®êng cao AH, I lµ trung ®iÓm cña Ah, K lµ trung ®iÓm cña HC. §êng trßn ®êng kÝnh AH ký hiÖu (AH) c¾t çc c¹nh AB, AC lÇn lît t¹i diÓm M vµ N.

a) Chøng minh ACB vµ AMN ®ång d¹ng b) Chøng minh KN lµ tiÕp tuýn víi ®êng trßn (AH) c) T×m trùc t©m cña ABK

Bµi 5. (1 ®iÓm) Cho x, y, z lµ çc sè thùc tho¶ m·n: x + y + x = 1.

T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña biÓu thøc P = 1 1 1

16 4x y z

---------hÕt---------

Hä vµ tªn thÝ sinh: ..Sè b¸o danh: .... Ch÷ ký gi¸m thÞ sè 1: Ch÷ ký gi¸m thÞ sè 2: ..

së gi¸o dôc ®µo t¹o

hµ nam

Kú thi tuyÓn sinh vµo líp 10 thpt

chuyªn N¨m häc 2009 2010

híng dÉn chÊm thi m«n to¸n : ®Ò chung Bµi 1 (2 ®iÓm) a) (0,5 ®iÓm) §iÒu kiÖn x¸c ®Þnh cña P lµ x 0 vµ x ≠ 1 0.5

b) (1 ®iÓm) 1

1 1

x x x

x x

0,25

2

2 3 4 4 3

1 1

x x x x x x x

x x

0,25

4

1

x

x

0,25

VËy P =4

1 x 0,25

c) (0,5 ®iÓm) P>0 1 0x 0,25

25

1 0 1x x 0,25

Bµi 2 (1,5 ®iÓm)

Céng hai ph¬ng tr×nh ta cã : 3 2 2 1 2x 0,5

1 2 1

2 13 2 2 1 2

x

0,5

Víi 2 1 2 2 1 2 1 1 2 1x y 0,25

K/l VËy hÖ cã nghiÖm: 2 1

2 1

x

y

0,25

Bµi 3 (2 ®iÓm) a) (1 ®iÓm) Hoµnh ®é giao ®iÓm lµ nghiÖm cña ph¬ng tr×nh: x2 = x + 6 2 6 0 2x x x hoÆc x = 3

05

Víi x = -2 4; 3 9y x y 0,25 Hai ®iÓm cÇn t×m lµ (-2;4); (3;9) 0,25 b) (1 ®iÓm)

Víi y = 0 2 3

1 2 3 01

mm m x

m

(víi m ≠ -1)

2m+3A - ;0

m+1

Víi x = 0 2 3 B 0;2m+3y m

0,25

OAB vu«ng nªn OAB c©n khi A;B ≠ O vµ OA = OB 2 3

2 31

mm

m

0,25

+ Víi 2 3 1

2 3 2 3 1 0 01 1

mm m m

m m

hoÆc m =

3

2 (lo¹i) 0,25

+ Víi 2 3 1

2 3 2 3 1 0 21 1

mm m m

m m

hoÆc m =

3

2 (lo¹i)

K/l: Gi¸ trÞ cÇn t×m m = 0; m = -2 0,25

Bµi 4(3,5 ®iÓm) a) (1,5 ®iÓm)

E

N

M

I

KH

C

B

A

0,25

AMN vµ ACB vu«ng ®Ønh A 0,25

Cã · ·AMN AHN (cïng ch¾n cung AN) · ·AHN ACH (cïng phô víi ·HAN ) (AH lµ ®êng kÝnh) · ·AMN ACH

0,75

AMN ACB : 0,25

26

b) (1 ®iÓm) HNC vu«ng ®Ønh N v× · 0ANH 90 cã KH = KC NK = HK l¹i cã IH = IN (b¸n kÝnh ®êng trßn (AH)) vµ IK chung nªn KNI = KHI (c.c.c)

· · 090KNI KHI · 090KNI

0,75

Cã KN In, IN lµ b¸ kÝnh cña (AH) KN lµ tiÕp tuyÕn víi ®êng trßn (AH) 0,25 c) (1 ®iÓm) + Gäi E lµ giao ®iÓm cña Ak víi ®êng trßn (AH), chøng minh gãc HAK= gãc HBI

Ta cã AH2 HB.HC AH.2IH = HB.2HK HA HK

HB HI

HAK HBI: · ·HAK HBI

0,5

+ Cã · ·HAK EHK (ch¾n cung HE)

· · //HBI EHK BI HE

Cã · 090AEH (AH lµ ®êng kÝnh) BI AK

0,25

ABK cã BI AK vµ BK AI I lµ trùc t©m ABK 0,25 Bµi 5 (1 ®iÓm)

1 1 1 1 1 1 21

P=16x 4 16x 4 16 4 16 4 16

y x z x z yx y z

y z y z x y x z y z

0,5

Theo cèi víi çc sè d¬ng: 1

16 4 4

y x

x y dÊu b»ng x¶u ra khi y=2x

1

16 2

z x

x z dÊu b»ng x¶u ra khi z=4x

14

z y

y z dÊu b»ng x¶u ra khi z=2y

VËy P 49/16

0,25

P = 49/16 víi x = 1/7; y = 2/7; z = 4/7 VËy gi¸ trÞ bÐ nhÊy cña P lµ 49/16

0,25

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

TỈNH NINH BÌNH

ĐỀ CHÍNH THỨC

ĐỀ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 CHUYÊN NĂM HỌC 2009 – 2010

Môn Toán – Vòng 1 (Dùng cho tất cả các thí sinh)

Thời gian làm bài 120 phút (Không kể thời gian giao đề)

Đề thi gồm 05 câu trong 01 trang

Câu 1: (2 điểm)

Tính giá trị biểu thức:

27

x 5 2 2 5 5 250

3 3y

3 1 3 1

x x y yA x y

x xy y

Câu 2: (2,5 điểm) Cho phương trình (m + 1)x2 – 2(m – 1) + m – 2 = 0 (ẩn x, tham số m). a) Giải phương trình khi m = 2. b) Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt x1; x2 thỏa mãn:

1 2

1 1 7

x x 4

Câu 3: (1,0 điểm) Khoảng cách giữa hai bến sông A và B là 60 km. Một ca nô chạy xuôi

dòng từ bến A tới bến B, nghỉ 1 giờ 20 phút ở bến sông B và ngược dòng trở về A. Thời gian kể từ lúc khởi hành đến khi về bến A tất cả 12 giờ. Tính vận tốc riêng của ca nô và vận tốc dòng nước biết vận tốc riêng cảu ca nô gấp 4 lần vận tốc dòng nước. Câu 4: (3,5 điểm)

Cho đường tròn (O; R) và đường thẳng (d) không đi qua tâm O cắt đường tròn (O; R) tại hai điểm phân biệt A, B. Điểm M chuyển động trên (d) và nằm ngoài đường tròn (O; R), qua M kẻ hai tiếp tuyến MN và MP tới đường tròn (O; R) (N, P là hai tiếp điểm).

a) Chứng minh rằng tứ giác MNOP nội tiếp được trong một đường tròn, xác định tâm đường tròn đó.

b) Chứng minh MA.MB = MN2. c) Xác định vị trí điểm M sao cho tam giác MNP đều. d) Xác định quỹ tích tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác MNP.

Câu 5: (1 điểm)

Cho hai số thực dương x, y thỏa mãn: 4 5

23x y

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: 6 7

B 8x 18yx y

Đáp án: Câu 1: x = 10; y = 3 A = x – y = 7 Bài 2: a) Với m = 2 thì x1 = 0; x2 = 2/3. b) m = -6. Bài 3: ĐS: Vận tốc ca nô: 12 km/h Vận tốc dòng nước: 3 km/h

28

Bài 4:

a, b). c) Tam giác MNP đều khi OM = 2R d) Quỹ tích tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác MNP là đường thằng d’ song song với đường thẳng d (trừ các điểm ở bên trong đường tròn). Bài 5:

6 7B 8x 18y

x y

2 2 4 58x 18y 8 12 23 43

x y x y

Dấu bằng xảy ra khi 1 1

x;y ;2 3

.

Vậy giá trị nhỏ nhất của B là 43 khi 1 1

x;y ;2 3

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KÌ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 THPT CHUYÊN LAM SƠN THANH HOÁ NĂM HỌC: 2009-2010

MÔN: TOÁN (Dành cho học sinh thi vào lớp chuyên Toán) Thời gian: 150 phút (không kể thời gian giao đề)

Ngày thi: 19 tháng 6 năm 2009 Câu 1: (2,0 điểm)

Đề chính thức

29

1. Cho số x ( x R ; x > 0 ) thoả mãn điều kiện : 22

1x + = 7

x. Tính giá trị các biểu

thức : A = 3

3 1x +

x và B = 5

5

1x +

x.

2. Giải hệ phương trình:

1 1 + 2 - 2

yx

1 1 + 2 - 2

xy

Câu 2: (2,0 điểm) Cho phương trình: ax2 + bx + c = 0 (a 0) có hai nghiệm x1, x2 thoả mãn điều kiện:

1 20 x x 2 . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: 2 2

2

2a - 3ab + bQ =

2a - ab + ac.


1. Giải phương trình: 1

x - 2 + y + 2009 + z - 2010 = x + y + z2

.

2. Tìm tất cả các số nguyên tố p để 4p2 + 1 và 6p2 + 1 cũng là số nguyên tố. Câu 4: (3,0 điểm)

1. Cho hình vuông ABCD có hai đường chéo cắt nhau tại E. Một đường thẳng đi qua A, cắt cạnh BC tại M và cắt đường thẳng CD tại N. Gọi K là giao điểm của các đường thẳng EM và BN. Chứng minh rằng: CK BN.

2. Cho đường tròn (O) bán kính R = 1 và một điểm A sao cho OA = 2 . Vẽ các tiếp tuyến AB, AC với đường tròn (O) (B, C là các tiếp điểm). Một góc xOy có số đo bằng 450 có cạnh Ox cắt đoạn thẳng AB tại D và cạnh Oy cắt đoạn thẳng AC tại

E. Chứng minh rằng 2 2 - 2 DE < 1 . Câu 5: (1,0 điểm) Cho biểu thức P = a2 + b2 + c2 + d2 + ac + bd , trong đó ad – bc = 1. Chứng minh rằng:

P 3 . -------------------------------------------------- Hết --------------------------------------------------- Họ và tên thí sinh: ………………………………….. Số báo danh: ……………………..

Së GD&§T NghÖ An


K× thi TUYÓN sinh VµO líp 10

trêng thpt chuyªn phan béi ch©u n¨m häc 2009 - 2010

Môn thi: TOÁN

Thời gian: 150 phút, không kể thời gian giao đề

Bài 1: (3.5 điểm) a) Giải phương trình

3 32 7 3x x b) Giải hệ phương trình

30

3

3

82 3

62

xy

xy

Bài 2: (1.0 điểm) Tìm số thực a để phương trình sau có nghiệm nguyên

2 2 0x ax a .

Bài 3: (2.0 điểm) Cho tam giác ABC vuông tại A có đường phân giác trong BE (E thuộc AC).

Đường tròn đường kính AB cắt BE, BC lần lượt tại M, N (khác B). Đường thẳng AM cắt BC tại K. Chứng minh: AE.AN = AM.AK.

Bài 4: (1.5 điểm) Cho tam giác ABC có 3 góc nhọn, trung tuyến AO có độ dài bằng độ dài cạnh

BC. Đường tròn đường kính BC cắt các cạnh AB, AC thứ tự tại M, N (M khác B, N khác C). Đường tròn ngoại tiếp tam giác AMN và đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC cắt đường thẳng AO lần lượt tại I và K. Chứng minh tứ giác BOIM nội tiếp được một đường tròn và tứ giác BICK là hình bình hành.

Bài 5: (2.0 điểm) a) Bên trong đường tròn tâm O bán kính 1 cho tam giác ABC có diện tích lớn hơn hoặc bằng 1. Chứng minh rằng điểm O nằm trong hoặc nằm trên cạnh của tam giác ABC. b) Cho a, b, c là các số thực dương thay đổi thỏa mãn: 3a b c . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

2 2 2

2 2 2P

ab bc caa b c

a b b c c a

----------------------------------------Hết----------------------------------------

Họ và tên thí sinh …………………………………..……….. SBD……………..

Thí sinh không được sử dụng tài liệu.

Së GD&§T NghÖ An


K× thi TUYÓN sinh VµO líp 10 trêng thpt

chuyªn

phan béi ch©u n¨m häc 2009 - 2010

M«n thi: To¸n

Híng dÉn chÊm thi B¶n híng dÉn chÊm gåm 03 trang

Néi dung ®¸p ¸n §iÓm Bµi 1 3,5 ®

a 2,0®

3 32 7 3x x

31

3 3 3 32 7 3 2. 7 2 7 27x x x x x x 0.50®

39 9. ( 2)(7 ) 27x x 0.25®

3 ( 2)(7 ) 2x x 0.25®

( 2)(7 ) 8x x 0.25® 2 5 6 0x x 0.25®

1

6

x

x

( tháa m·n ) 0.50®

b 1,50® §Æt

2z

y 0.25®

HÖ ®· cho trë thµnh 3

3

2 3

2 3

x z

z x

0.25®

3 33 x z z x 0,25®

2 2 3 0x z x xz z 0,25®

x z (v× 2 2 3 0, ,x xz z x z ). 0,25®

Tõ ®ã ta cã ph¬ng tr×nh: 3 13 2 0

2

xx x

x

VËy hÖ ®· cho cã 2 nghiÖm: ( , ) ( 1; 2), 2,1x y 0,25®

Bµi 2: 1,0 ®

§iÒu kiÖn ®Ó ph¬ng tr×nh cã nghiÖm: 20 4 8 0a a (*). 0,25® Gäi x1, x2 lµ 2 nghiÖm nguyªn cña ph¬ng tr×nh ®· cho ( gi¶ sö x1 x2).

Theo ®Þnh lý Viet: 1 2

1 2 1 2

1 2

. 2. 2

x x ax x x x

x x a

0,25®

1 2( 1)( 1) 3x x

1

2

1 3

1 1

x

x

hoÆc 1

2

1 1

1 3

x

x

(do x1 - 1 x2 -1)

1

2

4

2

x

x

hoÆc

1

2

0

2

x

x

Suy ra a = 6 hoÆc a = -2 (tháa m·n (*) )

0,25®

Thö l¹i ta thÊy a = 6, a = -2 tháa m·n yªu cÇu bµi to¸n. 0,25® Bµi 3: 2,0 ®

V× BE lµ ph©n gi¸c gãc ·ABC nªn · · ¼ ¼ABM MBC AM MN 0,25®

· ·MAE MAN (1) 0,50®

V× M, N thuéc ®êng trßn ®êng

kÝnh AB nªn · · 090AMB ANB 0,25®

· · 090ANK AME , kÕt hîp víi (1) ta cã tam gi¸c AME ®ång 0,50®

B

A

C K N

M

E

32

d¹ng víi tam gi¸c ANK

AN AK

AM AE 0,25®

AN.AE = AM.AK (®pcm) 0,25® Bµi 4: 1,5 ®

V× tø gi¸c AMIN néi tiÕp nªn · ·ANM AIM

V× tø gi¸c BMNC néi tiÕp nªn · ·ANM ABC

· ·AIM ABC .Suy ra tø gi¸c BOIM néi tiÕp

0,25®

Tõ chøng minh trªn suy ra tam gi¸c AMI ®ång d¹ng víi tam gi¸c AOB

. .AM AI

AI AO AM ABAO AB

(1) 0,25®

Gäi E, F lµ giao ®iÓm cña ®êng th¼ng AO víi (O) (E n»m gi÷a A, O). Chøng minh t¬ng tù (1) ta ®îc: AM.AB = AE.AF = (AO - R)(AO + R) (víi BC = 2R) = AO2 - R2 = 3R2

0,25®

AI.AO = 3R2 2 23 3 3

2 2 2

R R R RAI OI

AO R (2) 0,25®

Tam gi¸c AOB vµ tam gi¸c COK ®ång d¹ng nªn OA.OK = OB.OC = R2

2 2

2 2

R R ROK

OA R (3)

0,25®

Tõ (2), (3) suy ra OI = OK Suy ra O lµ trung ®iÓm IK, mµ O lµ trung ®iÓm cña BC V× vËy BICK lµ h×nh b×nh hµnh

0,25®

Bµi 5: 2,0 ® 1,0 ® Gi¶ sö O n»m ngoµi miÒn tam gi¸c ABC. Kh«ng mÊt tÝnh tæng qu¸t, gi¶ sö A vµ O n»m vÒ 2 phÝa cña ®êng th¼ng BC

0,25®

Suy ra ®o¹n AO c¾t ®êng th¼ng BC t¹i K. KÎ AH vu«ng gãc víi BC t¹i H.

0,25®

a,

Suy ra AH AK < AO <1 suy ra AH < 1

0,25®

Suy ra

. 2.11

2 2ABC

AH BCS (m©u thuÉn

víi gi¶ thiÕt). Suy ra ®iÒu ph¶i chøng minh.

0,25®

b, 1,0®

Ta cã: 3(a2 + b2 + c2) = (a + b + c)(a2 + b2 + c2) = a3 + b3 + c3 + a2b + b2c + c2a + ab2 + bc2 + ca2

0,25®

mµ a3 + ab2 2a2b (¸p dông B§T C«si )

b3 + bc2 2b2c 0,25®

A

B C

F

O

I

M

N E

A

B C O

K H

K

33

c3 + ca2 2c2a

Suy ra 3(a2 + b2 + c2) 3(a2b + b2c + c2a) > 0

Suy ra 2 2 2

2 2 2P

ab bc caa b c

a b c

2 2 2

2 2 2

2 2 2

9 ( )P

2( )

a b ca b c

a b c

0,25®

§Æt t = a2 + b2 + c2, ta chøng minh ®îc t 3.

Suy ra 9 9 1 3 1

3 42 2 2 2 2 2 2

t t tP t

t t

P 4

DÊu b»ng x¶y ra khi vµ chØ khi a = b = c = 1 VËy gi¸ trÞ nhá nhÊt cña P lµ 4

0,25®

NÕu thÝ sinh gi¶i çch kh¸c ®óng cña mçi c©u th× vÉn cho tèi ®a ®iÓm cña

c©u ®ã

SỞ GIÁO DỤC BÌNH ĐỊNH KỲ THI TUỶÊN SINH VÀO LỚP 10 BÌNH ĐỊNH TRƯỜNG THPT CHUYÊN LÊ QUÝ ĐÔN NĂM HỌC 2009-2010 Đề chính thức Môn thi:Toán (chuyên) Ngày thi:19/06/2009 Thời gian:150 phút Bài 1(1.5điểm) Cho a,b,c là độ dài ba cạnh của một tam giác.Chứng minh rằng:

1 2a b c

b c c a a b< + + <

+ + +

Bài 2(2điểm)

Cho 3 số phân biệt m,n,p.Chứng minh rằng phương trình 1 1 1

0x m x n x p

+ + =- - -

có

hai nghiệm phân biệt. Bài 3(2điểm)

Với số tự nhiên n, 3n ³ .Đặt ( ) ( ) ( )( )

1 1 1...

3 1 2 5 2 3 2 1 1nS

n n n= + + +

+ + + + +

Chúng minhSn<1

2

Bài 4(3điểm) Cho tam giác ABC nội tiếp tròn tâm O có độ dài các cạnh BC = a, AC = b, AB = c.E là điểm nằm trên cung BC không chứa điểm A sao cho cung EB bằng cung EC.AE cắt cạnh BC tại D. a.Chúng minh:AD2 = AB.AC – DB.DC b.Tính độ dài AD theo a,b,c Bài 5(1.5điểm)

Chứng minh rằng :( )2

12

3 2

m

n n- ³

+ Với mọi số nguyên m,n.

34

c

ba

D

O

C

E

BA

**********************************************

ĐÁP ÁN MÔN TOÁN THI VÀO 10

TRƯỜNG CHUYÊN LÊ QUÝ ĐÔN NĂM 2009 Bài 1: Vì a,b,c là độ dài ba cạnh tam giác nên ta có:a,b,c >0 và a< b+c ,b< a + c , c < a+b

Nên ta có 2a a a a

b c a b c a b c

+< =

+ + + + +

Mặt khác a a

b c a b c>

+ + +

Vậy ta có 2

(1)a a a

a b c c b a b c< <

+ + + + +

Tương tự 2

(2);b b b

a b c c a a b c< <

+ + + + +

2(3)

c c a

a b c b a a b c< <

+ + + + +

Cộng (1) (2) và (3) vế theo vế ta có điều phải chứng minh. Bài 2: ĐK: , ,x m n p¹ PT đã cho Û (x-n)(x-p)+(x-m)(x-p)+(x-m)(x-n) = 0

Û 3x2 -2(m+n+p)x +mn+mp+np = 0(1) Ta có Δ' 2( ) 3( )m n p mn mp np= + + - + + = m2+n2+p2 +2mn+2mp+2np -3mn-3mp-3np

= m2+n2+p2 –mn-mp-np =1

2[(m-n)2+(n-p)2+(m-p)2] >0

Đặt f(x) = 3x2 -2(m+n+p)x + mn+ mp +np Ta có f(m) = 3m2 – 2m2 -2mn -2mp +mn +mp +np = m2 –mn –mp +np = (m-n)(m-p) ¹ 0 = >m,n,p không phải là nghiệm của pt(1) Vậy PT đã cho luôn có hai nghiệm phân biệt Bài 3

( )( ) 2

2

1 1 1Ta cã :

2 12 1 1 4 4 1

1 n +1 - n 1 1 1

22 1. 14 4

n n n n

nn n n n n

n n

n n n nn n

+ - + -= =

++ + + + +

æ ö+ - ÷ç ÷< = = -ç ÷ç ÷çè ø+ ++

Do đó 1 1 1 1 1 1 1 1 1

1 ... 12 2 22 2 3 1 1

nSn n n

æ ö æ ö÷ ÷ç ç÷ ÷< - + - + + - = - <ç ç÷ ÷ç ç÷ ÷ç çè ø è ø+ +

Bài 3:

Ta có · ·BAD CAE= ( Do cung EB = cung EC)

Và · ·AEC DBA= ( Hai góc nội tiếp cùng chắn cung AC) nên ΔBAD ΔEAC

. . (1)BA AE

AB AC AE ADAD AC

Þ = Þ =

Ta có · · · ·(§èi ®Ønh) vµ CADADC BDC DBE= =

(2 góc nội tiếp cùng chắn cung CE) nên ΔACD ΔBDE

35

. .AD DB

AD DE DB DChayDC DE

Þ = Þ =

AD(AE-AD) = DB.DC Hay AD2 = AD.AE - DB.DC=AB.AC – DB.DC (do (1))

4b)Theo tính chất đường phân giác ta cóDC

hay b

DC DB DB DC DB a

AC AB c b c b c

+= = = =

+ +

vậy ( )

2

2. . .

DC DB a a a bcDB DC

b c b c b c b c= Þ =

+ + +

theo câu a ta có AD2 = AB.AC – DB.DC = ( ) ( )

2 2

2 21

a bc abc bc

b c b c

æ ö÷ç ÷ç- = - ÷ç ÷ç ÷÷ç+ +è ø

( )

2

21

aAD bc

b c

æ ö÷ç ÷çÞ = - ÷ç ÷ç ÷÷ç +è ø

Bài 5:

Vì m

lµ sè h÷u tØ vµ 2lµ sè v« tØ nªn 2n

m

n¹

Ta xet hai trường hợp:

a) 2 2 2 2 22 Khi ®ã m 2 2 1 hay m 2n 1m

n m nn

> > Þ ³ + ³ +

Từ đó suy ra :

( )

2 2

2 22

2 2

12 2

2 1 1 1 12 2 2 2

1 1 3 22 2 2 2

m n nn n n n

nn n

+ -+

- ³ - = + - = = ³æ ö +÷ç ÷+ + + +ç ÷ç ÷÷çè ø

b) 2 2 2 2 22 Khi ®ã m 2 2 1 hay m 2n 1m

n m nn

< < Þ £ - £ -

Từ đó suy ra :

( )

2 2

2

2

22

2

12 2

2 1 12 2 2 2 2

12 2

1 1

1 3 22 2

m m n nn n n n

n

nn

n

- +-

- = - ³ - = - - =

+ -

= ³æ ö +÷ç ÷ç + - ÷ç ÷÷çè ø

************************************************ SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO

TẠO TỈNH PHÚ YÊN

ĐỀ CHÍNH THỨC

ĐỀ THI TUYỂN SINH TRUNG HỌC PHỔ THÔNG

NĂM HỌC 2009-2010 Môn thi: TOÁN CHUYÊN

Thời gian: 150 phút (không kể thời gian phát đề) *****

36

Câu 1.(4,0 điểm) Cho phương trình x4 + ax3 + x2 + ax + 1 = 0, a là tham số . a) Giải phương trình với a = 1. b) Trong trường hợp phương trình có nghiệm, chứng minh rằng a2 > 2. Câu 2.(4,0 điểm)

a) Giải phương trình: x + 3 + 6 - x (x + 3)(6 - x) = 3 .

b) Giải hệ phương trình: 2

x + y + z = 1

2x + 2y - 2xy + z = 1

.

Câu 3.(3,0 điểm) Tìm tất cả các số nguyên x, y, z thỏa mãn : 3x2 + 6y2 +2z2 + 3y2z2 -18x = 6.

Câu 4.(3,0 điểm)

a) Cho x, y, z, a, b, c là các số dương. Chứng minh rằng:

3 3 3abc + xyz (a + x)(b + y)(c + z) .

b) Từ đó suy ra : 3 33 3 33 3 3 3 2 3

Câu 5.(3,0 điểm) Cho hình vuông ABCD và tứ giác MNPQ có bốn đỉnh thuộc bốn cạnh AB, BC, CD, DA của hình vuông.

a) Chứng minh rằng SABCD AC

4 (MN + NP + PQ + QM).

b) Xác định vị trí của M, N, P, Q để chu vi tứ giác MNPQ nhỏ nhất.

Câu 6.(3,0 điểm) Cho đường tròn (O) nội tiếp hình vuông PQRS. OA và OB là hai bán kính thay đổi vuông góc với nhau. Qua A kẻ đường thẳng Ax song song với đường thẳng PQ, qua B kẻ đường thẳng By song song với đường thẳng SP. Tìm quỹ tích giao điểm M của Ax và By.

=HẾT= Họ và tên thí sinh:……………………………………….Số báo danh:…………… Chữ kí giám thị 1:………………………Chữ kí giám thị 2:….…………………… SỞ GD & ĐT PHÚ YÊN ***

KỲ THI TUYỂN SINH THPT NĂM HỌC 2009 -2010 MÔN : TOÁN (Hệ số 2)

------- ĐỀ CHÍNH THỨC

HƯỚNG DẪN CHẤM THI Bản hướng dẫn chấm gồm 04 trang

I- Hướng dẫn chung:

37

1- Nếu thí sinh làm bài không theo cách nêu trong đáp án mà vẫn đúng thì cho đủ điểm từng phần như hướng dẫn quy định.

2- Việc chi tiết hoá thang điểm (nếu có) so với thang điểm hướng dẫn chấm phải bảo đảm không sai lệch với hướng dẫn chấm và được thống nhất thực hiện trong Hội đồng chấm thi.

3- Điểm toàn bài thi không làm tròn số. II- Đáp án và thang điểm:

CÂU ĐÁP ÁN Điểm Câu 1a.

(2,0đ) Ta có phương trình : 4 3 2x + ax +x +ax + 1 = 0 (1)

Khi a =1 , (1) 4 3 2x +x +x +x+1= 0 (2)

Dễ thấy x = 0 không phải là nghiệm.

Chia 2 vế của (2) cho x2 ta được: 2

2

1 1x + + x + +1= 0

x x (3).

Đặt 1 1 1

t = x+ t x+ x + 2x x x và 2 2

2

1x + t -2

x .

Phương trình (3) viết lại là : 2t + t - 1 = 0

Giải (3) ta được hai nghiệm 1

1 5t

2

và 2

1 5t

2

đều không

thỏa điều kiện |t| 2.Vậy với a = 1, phương trình đã cho vô nghiệm.

0,50

0,50

0,50

0,50

Câu1b. (2,0đ)

Vì x = 0 không phải là nghiệm của (1) nên ta cũng chia 2 vế cho

x2 ta có phương trình : 2

2

1 1x + +a x + +1= 0

x x

.

Đặt 1

t = x +x

, phương trình sẽ là : t2 + at - 1 = 0 (4).

Do phương trình đã cho có nghiệm nên (4) có nghiệm |t| 2. Từ

(4) suy ra 21- t

at

.

Từ đó : 2 2

2

2

(1 - t )a >2 2

t 2 2t (t - 4) 1 0 (5)

Vì |t| 2 nên t2 >0 và t2 – 4 0 , do vậy (5) đúng, suy ra a2 > 2.

0,50

0,50

0,50

0,50

Câu 2a. (2,0đ)

x + 3 + 6 - x - (x + 3)(6 - x) 3 (1)

Điều kiện : x+3 0

-3 x 66-x 0

.

Đặt : 2 2x + 3

, , 0 9.v = 6 - x

uu v u v

Phương trình đã có trở thành hệ :

2 2 2u + v = 9 (u + v) - 2uv = 9

u + v - uv = 3 u + v = 3 + uv

0,50

0,50

38

Suy ra : (3+uv)2-2uv = 9 uv = 0 u = 0

uv = -4 v = 0

x+3 = 0 x = -3

x = 66-x = 0

.

Vậy phương trình có nghiệm là x =-3 , x = 6.

0,50

0,50

Câu 2b.

(2,0đ)

Ta có hệ phương trình :

2 2

x+y+z=1 x+y = 1-z

2x+2y-2xy+z =1 2xy = z +2(x+y)-1

2 2

x + y = 1 - z

2xy = z - 2z + 1 = (1- z)

22xy = (x + y)

2 2x + y = 0 x = y = 0 z = 1 .

Vậy hệ phương trình chỉ có 1 cặp nghiệm duy nhất: (x ;y ;z) = (0 ;0; 1).

0,50

0,50

0,50

0,50

Câu 3. (3,0đ)

Ta có : 3x2 + 6y2 + 2z2 +3y2z2 -18x = 6 (1) 2 2 2 2 23(x-3) + 6y + 2z + 3y z 33 (2)

Suy ra : z2 M 3 và 2z2 33

Hay |z| 3. Vì z nguyên suy ra z = 0 hoặc |z| = 3. a) z = 0 , (2) (x-3)2 + 2y2 = 11 (3) Từ (3) suy ra 2y2 11 |y| 2. Với y = 0 , (3) không có số nguyên x nào thỏa mãn. Với |y| = 1, từ (3) suy ra x { 0 ; 6}. b) |z| = 3, (2) (x-3)2 + 11 y2 = 5 (4) Từ (4) 11y2 5 y = 0, (4) không có số nguyên x nào thỏa mãn. Vậy phương trình (1) có 4 nghiệm nguyên (x ;y ;z) là (0;1;0) ; (0 ;-1;0) ; (6 ;1 ;0) và (6 ;-1 ;0).

0,50

0,50

0,50

0,50

0,50

0,50

Câu 4a. (2,0đ)

3 3 3abc xyz (a+x)(b+y)(c+z) (1)

Lập phương 2 vế của (1) ta được :

2 23 3abc + xyz + 3 (abc) xyz +3 abc(xyz) (a+x)(b+y)(c+z) 2 23 3abc + xyz+ 3 (abc) xyz +3 abc(xyz)

abc+xyz+abz+ayc+ayz+xbc+xyc+xbz

2 23 33 (abc) xyz +3 abc(xyz) (abz+ayc+ xbc)+ (ayz+xbz+xyc) (2)

Theo bất đẳng thức Cauchy, ta có :

0,50

0,50

39

23(abz+ayc+ xbc) 3 (abc) xyz (3) 23(ayz+xbz+ xyc) 3 abc(xyz) (4)

Cộng hai bất đẳng thức (3) và (4) ta được bất đẳng thức (2), do đó (1) được chứng minh.

0,50

0,50

Câu4b. (1,0đ)

Áp dụng BĐT (1) với 3 3a = 3+ 3, b = 1, c = 1, x = 3 - 3, y = 1, z = 1

Ta có : abc = 3 + 3 3 , xyz = 3- 3 3 , a+ x = 6, b + y = 2, c + z = 2

Từ đó : 3 33 3 3 33+ 3 3- 3 6.2.2 2 3 (đpcm).

0,50

0,50

Câu 5a. (2,0)

Gọi I, J, K lần lượt là trung điểm của QN, MN, PQ. Khi đó :

BJ =MN

2 (trung tuyến vuông MBN)

Tương tự DK =PQ

2.

IJ = QM

2 (IJ là đtb MNQ).

Tương tự IK =PN

2.

Vì BD BJ + JI + IK + KD. Dođó:

ABCD

AC ACS .BD (BJ+JI + IK+KD)

2 2

AC= (MN+NP+PQ+QM)

4- đpcm.

0,50

0,50

0,50

0,50

Câu5b. (1,0)

Chu vi tứ giác MNPQ là : MN + NP + PQ + QM = 2BJ + 2IK +2DK + 2IJ = 2(BJ + JI + IK + KD) 2BD (cmt) Dấu bằng xảy ra khi đường gấp khúc trùng với BD, tức là MQ //NP, MN//PQ, MN=PQ (vì cùng là cạnh huyền 2 tam giác vuông cân bằng nhau), lúc đó MNPQ là hình chữ nhật.

0,50

0,50

Câu 6. (3,0đ)

Kí hiệu như hình vẽ. Phần thuận : · · 0AOB =AMB 90 (giả thiết) tứ giác AOBM luôn nội tiếp

· · 0AMO ABO 45 (vì AOB vuông cân tại O) Suy ra M luôn nằm trên đường thẳng đi qua O và tạo với đường PQ một góc 450. Trường hợp B ở vị trí B’ thì M’ nằm trên đường thẳng đi qua O và tạo với PS một góc 450. Giới hạn : *) Khi A H thì M Q, khi A K thì M S

0,50

0,50

0,50

A B

D C

M

N

P

Q

I

J

K

x

y

O

K

HP Q

RS

A

B

MM'

B'

40

*) Trường hợp B ở vị trí B’: khi A H thì M’ P, khi A K thì M’ R Phần đảo: Lấy M bất kì trên đường chéo SQ (hoặc M’ trên PR), qua M kẻ đường thẳng song song với đường thẳng PQ cắt (O) tại A. Kẻ bán kính OB OA.

Ta thấy tứ giác AOBM nội tiếp (vì · · 0AMO ABO 45 )

Suy ra : · · 0AMB AOB 90 . Mà AM//PQ , PQ PS MB//PS. Kết luận:Quỹ tích giao điểm M là 2 đường chéo của hình vuông PQRS.

0,50

0,50 0,50

=Hết=

GIAÛI ÑEÀ CHUYEÂN TOAÙN THPT HUYØNH MAÃN ÑAÏT – KIEÂN GIANG, NAÊM 2009 –

2010

Ñeà, lôøi giaûi Caùch khaùc, nhaän xeùt

Baøi 1: (1 ñieåm) Cho phöông trình ax2 + bx +

c = 0 coù 2 nghieäm phaân bieät x1, x2. Ñaët S2

= x12 + x2

2 ; S1 = x1.x2 Chöùng minh raèng:

a.S2 + b.S1 + 2c = 0

Theo Vi-eùt ta coù: x1+ x2 =b

a

; x1.x2 =

c

a

2 21 2 1 2

2

1 2 1 2 1 2

2

1 2 1 2 1 2

2

2 2

a.S2 + b.S1 + 2c = a x x 2

x 2 x x 2

x 2 x x 2

2 . . 2

2 2 0 ( 0)

x b x c

a x x b x c

a x a x b x c

b c ba a b c

a a a

b bc c do a

a a

Baøi 2: (2 ñieåm)

Cho phöông trình: 2x - 7 x + 3m – 4 = 0 (1)

a/ Ñònh m ñeå phöông trình coù moät nghieäm

baèng 9 vaø tìm taát caû nghieäm coøn laïi cuûa

phöông trình.

b/ Tìm taát caû caùc giaù trò cuûa m ñeå phöông

trình (1) coù nghieäm.

a/ Phöông trình coù 1 nghieäm x = 9 thay vaøo

41

pt ta coù:

2.9 - 7 9 +3m – 4 = 0

3m = 7

m = 7/3

Töø (1) ta coù x 0 theá vaøo (1) ta ñöôïc pt:

2

2 7 3 0 (2)x x

Ñaët 0x t ta coù pt: 2t2 – 7t + 3 = 0

Giaûi tìm ñöôïc t1 = 3 ; t2 = ½

Suy ra x1 = 9 ; x2 = ¼

b/ Töø (1) coi phöông trình vôùi aån laø x

Laäp 1 2

81 24

7

2

xm

S x x

Ñeå pt (1) coù nghieäm thì:

1 2

81 24 027

7 802

xm

mS x x

Caùch khaùc:

2

2 7 3 0 (2)x x

x1 = 9 1 3x

maø

1 2

2

2

2

7

2

73

2

7 13

2 2

1

4

x x

x

x

x

Caâu b:

Coù theå yeâu caàu tìm soá nguyeân lôùn

nhaát cuûa m ñeå phöông trình (1) coù

nghieäm.

Chuù yù: neáu thay x bôûi x ta coù

baøi toaùn töông töï.

Baøi 3: (2 ñieåm) Giaûi heä phöông trình:

1 2 2 (1)

2 3 6 (2)

3 1 3 (3)

x y

y z

z x

(I)

Nhaân (1) (2) vaø (3) ta coù:

[(x + 1)(y + 2)(z + 3)]2 = 36

(x + 1)(y + 2)(z + 3) = 6 hoaëc (x + 1)(y +

2)(z + 3) = -6

Vôùi (x + 1)(y + 2)(z + 3) = 6 heä (I) laø: 03 3

01 1

02 2

zz

xx

yy

Vôùi (x + 1)(y + 2)(z + 3) = - 6 heä (I) laø: 63 3

21 1

42 2

zz

xx

yy

Vaäy nghieäm cuûa heä laø (0 ; 0 ; 0) vaø (-2 ; -4 ;

-6)

Neáu x, y, z ñeàu laø caùc soá döông thì

heä chæ coù 1 nghieäm

Baøi 4: (2 ñieåm) Trong maët phaúng toïa ñoä

42

cho parabol (P): 2

3

xy , ñieåm I(0 ; 3) vaø

ñieåm M(m ; 0)

Vôùi m laø tham soá khaùc 0.

a/ Vieát phöông trình ñöôøng thaúng (d) ñi qua

hai ñieåm M, I

b/ Chöùng minh raèng (d) luoân luoân caét (P)

taïi hai ñieåm phaân bieät A, B vôùi AB > 6

a/ Goïi pt cuûa (d) laø y = ax + b

Khi ñi qua I(0 ; 3) vaø M(m ; 0) ta coù:

3.0 3 3

( ) : 33. 0

ba b

d y xm a b ma

m

b/ Phöông trình hoaønh ñoä giao ñieåm cuûa (d)

vaø (P):

2

2

2

2 2

33

3

9 9 ( 0)

9 9 0

9 4. . 9 81 36 0, 0

xx

m

mx x m do m

mx x m

m m m m

Vaäy (d) luoân caét (P) taïi 2 ñieåm phaân bieät.

Chöùng minh AB > 6

Vì A, B laø giao ñieåm cuûa (d) vaø (P) neân

hoaønh ñoä xA, xB phaûi thoûa maõn pt: mx2 + 9x

– 9m = 0

Theo Vi-eùt ta coù: xA+ xB = 9

m ; xA. xB = -9

Do A, B 3 3

( ) 3 ; 3A A B Bd y x y xm m

Theo coâng thöùc tính khoaûng caùch:

43

2 2

22

2 2

2

2

2

2

2

2

2

2 2

2 4 2

3 3

9

91

94 . 1

9 94( 9) 1

81 936 1

81 729 32436 36 6

A B A B

A B A B

A B A B

A B

A B A B

AB x x y y

x x x xm m

x x x xm

x xm

x x x xm

m m

m m

m m m

Baøi 5: (3 ñieåm) Cho hai ñöôøng troøn (O ; R)

vaø (O’ ; R’) caét nhau taïi A vaø B (R > R’).

Tieáp tuyeán taïi B cuûa

(O’ ; R’) caét (O ; R) taïi C vaø tieáp tuyeán taïi B

cuûa (O ; R) caét (O’ ; R’) taïi D.

a/ Chöùng minh raèng: AB2 = AC.AD vaø 2

BC AC

BD AD

b/ Laáy ñieåm E ñoái xöùng cuûa B qua A. Chöùng

minh boán ñieåm B, C, E, D thuoäc moät ñöôøng

troøn coù taâm laø K. Xaùc ñònh taâm K cuûa

ñöôøng troøn.

a/ Xeùt (O) ta coù µ ¶1 2C B (chaén cung AnB)

Xeùt (O’) ta coù ¶ µ1 1D B (chaén cung AmB)

2

2 2 2

2 2

(1)

.

.

ABC ADB

AB AC BC

AD AB BD

AB AC AD

BC AB AB AC AD AC

BD AD AD AD AD

:

b/ Töø (1) thay AE = AB ta coù

1

1

21

2

2 1

2

1

2

j

/

/

x

x=

=

K

C

D

O

B

O'

A

E

44

AE AC

AD AE (*) maët khaùc:

µ ¶ µ ¶ ¶ ¶

µ ¶1 1 1 2 2 1

1 2

;

(**)

A C B A B D

A A

Töø (*) vaø (**) suy ra:

¶ ¶

· · µ ¶ µ ¶

µ ¶ ¶ ¶

2 2

1 2 1 2

1 2 1 2

0

( )

180 ( )

AEC ADE c g c

E D

CED CBD E E B B

E D D B

xet BDE

:

Vaäy töù giaùc BCED noäi tieáp ñöôøng troøn taâm K.

Vôùi K laø gaio ñieåm 3 ñöôøng tröïc cuûa BCE

hoaëc BDE

Së Gi¸o dôc vµ ®µo t¹o

B×NH D¦¥NG

--------------------

Kú thi tuyÓn sinh líp 10

THPT Chuyªn Hïng V¬ng

N¨m häc 2009-2010

M«n thi: To¸n (Chuyªn) Thêi gian lµm bµi: 150 phót (kh«ng kÓ thêi gian ph¸t ®Ò.)

--------------------------------------

C©u1: Gi¶i ph¬ng tr×nh

2 2 2 19 2 39x x x x C©u 2: Gi¶i hÖ ph¬ng tr×nh

2

3 2 0

5 0

x y x y

x y

C©u 3: Cho a,b R tháa:

2 23 3 3a a b b

TÝnh a+ b C©u 4 Cho Ph¬ng tr×nh bËc hai , x lµ Èn, tham sè m:

2 2 1 2 0x m x m

1- Chøng minh ph¬ng tr×nh lu«n cã hai nghiÖm ph©n biÖt víi mäi gi¸ trÞ m.


45

2- Gäi x1,x2 lµ hai nghiÖm cña ph¬ng tr×nh . Chøng tá M = x1 + x2 - x1x2 kh«ng phô thuéc vµo gi¸ trÞ cña m .

C©u 5 Cho tam gi¸c ABC cã 3 gãc nhän . BE vµ CF lµ hai ®êng cao. Trùc t©m H.

Trªn HB vµ HC lÇn lît lÊy ®iÓm M , N sao cho · · 090AMC ANB . Chøng minh : AM = AN .

--------------------------------

Gi¶I ®Ò Thi

C©u1: Gi¶i ph¬ng tr×nh

2

1

2

1

2

0

4(

5(

7

5

2 2 2 19 2 39 (*)

2 2 19

(*) 2 0

2 2 19 16

2 2 35 0

t

t

x

x

x x x x

x x

t t

x x

x x

®Æt t =

nhËn)

lo¹i

C©u 2: Gi¶i hÖ ph¬ng tr×nh

12

2

(*)

1 (*) 3 2 0

2

31 25 72 2

5 3

2

23 2 0

5 0

tt t

t

xx y yx y

xx y

x yy

x y x y

x y

®Æt t = x + y

C©u 3: Cho a,b R tháa:

2 23 3 3a a b b

TÝnh a+ b

46

2 2

t

.

3

3

2 23 3 3

2 2 2 23 3 3 3 3

2 23 3

2 23 3 3

2 23 3

b b

a a b b

a a a a b b

a a b b

a a b b

a a b b

õ

vËy

ab + a + b + = 3

ab - a - b + = 3

2a + 2b = 0

a

a + b = 0

+ b = 0

v × > 0, > 0

nª n a = b = 0

2 2 2 2b + 3 a + 3 a + 3 b + 3

2 2 2 2b + 3 a + 3 a + 3 b + 3

2 2b + 3 a + 3

2 2b + 3 a + 3

2 2a + 3 b + 3

C©u 4 Cho Ph¬ng tr×nh bËc hai , x lµ Èn, tham sè m:

2 2 1 2 0x m x m

1. ’ = [-(m+1)]2-2m = m2 +2m +1 -2m = m2 + 1 > 0 Nªn ph¬ng tr×nh lu«n cã hai nghiÖm ph©n biÖt víi mäi gi¸ trÞ m

2.

1 2

1 2

1 2 1 2

TheoViet :

x + x = 2(m + 1)

x .x = 2m

M = x + x - x .x = 2(m + 1) - 2m = 2

Nªn kh«ng phô thuéc vµo gi¸ trÞ cña m .

C©u 5:

: AEB AFC(g-g)

AE

AF

. . (1)AE AC AF AB

AB

AC

NM

HF

E

A

B C

47

2

2

(2)

, : ®êng .

.

, : ®êng .

3 ( ).

vMAC ME cao

MA AE AC

vNAB NF cao

NA AF AB

Tõ (1),(2),(3) MA2 = NA2 MA = NA

---------------------------------------

48

49

50

51

52

53

Hướng dẫn

54

55

Câu 4

56

57

58

59

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐẠO TẠO KÌ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 CHUYÊN GIA LAI Năm học 2009 – 2010 ………………….. …………………………………………… ĐỀ CHÍNH THỨC.

Môn thi: Toán ( Chuyên) Thời gian làm bài: 150 phút ( Không kể thời gian phát đề )

ĐỀ BÀI:

Câu 1: ( 1 điểm) Tìm các số nguyên dương n sao cho n2 + 1 chia hết cho n + 1 Câu 2: ( 1,5 điểm)

Cho biểu thức A = 2 9 2 1 3

5 6 3 2

x x x

x x x x

a) Rút gọn A. b) Tìm các giá trị nguyên của x để A nhận giá trị nguyên.

Câu 3: ( 1,5 điểm) Giả sử x1, x2 là hai nghiệm của phương trình: x2 – 4x + 1 = 0. Tính x1

2 + x22, x1

3 + x2

3 và x15 + x2

5 ( không sử dụng máy tính cầm tay để tính). Câu 4: ( 2 điểm)

a) Vẽ đồ thị của các hàm số 1y x và 2y x trên cùng một hệ trục tọa độ

Oxy. b) Chứng tỏ phương trình 1 2x x có một nghiệm duy nhất.

Câu 5: ( 1,5 điểm) Một người dự định rào xung quanh một miếng đất hình chữ nhật có diện tích 1.600m2, độ dài hai cạnh là x mét và y mét. Hai cạnh kề nhau rào bằng gạch, còn hai cạnh kia rào bằng đá. Mỗi mét rào bằng gạch giá 200.000 đồng, mỗi mét rào bằng đá giá 500.000 đồng.

a) Tính giá tiền dự định rào ( theo x và y). b) Người ấy có 55 triệu đồng, hỏi số tiền ấy có đủ để rào không ?

Câu 6: ( 2,5 điểm) Cho tam giác ABC có ba góc nhọn nội tiếp (O;R). Các đường cao AD, BE, CF cắt nhau tại H. AO kéo dài cắt (O) tại M.

a) Chứng minh tứ giác AEHF là tứ giác nội tiếp và tứ giác BHCM là hình bình hành.

b) Chứng minh AO EF.

c) Chứng minh rằng: 2 2

4ABC

R pS

, trong đó SABC là diện tích tam giác ABC và p

là chu vi của tam giác DEF. …………Hết……….

60

Họ và tên: ……………………………………...; SBD………….; Phòng thi số:…………...... Chữ kí của giám thị 1:………………………; Chữ kí của giám thị 2:………………………... SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

LONG AN

ĐỀ CHÍNH THỨC

KỲ THI TUỂN SINH LỚP 10 NĂM HỌC 2009-2010 Môn thi : TOÁN hệ chuyên

Ngày thi : 10-7 2009 Thời gian : 150 phút ( không kể phát đề)

Câu 1 (2đ)

Rút gọn các biểu thức sau :

1) A = 4 + 2 3 + 4 - 2 3

2) B = 3

7 + 5 2 + 3

7 - 5 2 Câu 2 (2đ)

1) Giải hệ phương trình :

2xx - 1

+ y

y - 1 = 6

xx - 1

+ 3y

y - 1 = 8

2) Giải phương trình : x4 - 2x3

- x2 + 2x + 1 = 0

Câu 3 (2đ) Gọi đồ thị hàm số y = x2

là parabol (P), đồ thị của hàm số y = x - m là đường thẳng (d) . 1) Tìm giá trị của m để (d) cắt (P) tại hai điểm phân biệt . 2) Khi (d) cắt (P) tại hai điểm phân biệt A và B kí hiệu x

A và x B lần lượt là

hoành độ của A và B . Tìm các giá trị của m sao cho x3A + x3

B = 1 . Câu 4 (2đ)

1) Cho tam giác ABC . Gọi M,N,P lần lượt là trung điểm của các cạnh AB,BC,CA. Khẳng định S

ABC = 4S MNP đúng hay sai ? tại sao ?

2) Cho đường tròn (T) có đường kính AB . Gọi C là điểm đối xứng với A qua B , PQ là một đường kính thay đổi của (T) khác đường kính AB. Đường thẳng CQ cắt đường thẳng PB ở điểm M . Khẳng định CQ = 2CM đúng hay sai ? tại sao ?

Câu 5 (2đ) 1) Cho hai số thực x , y thay đổi và thoả mãn điều kiện : 2x + 3y = 5 . Tìm x ,y

để biểu thức P = 2x2 + 3y2

+ 2 đạt giá trị nhỏ nhất . Tìm giá trị nhỏ nhất đó .

2) Cho t , y là hai số thực thoả mãn điều kiện : t + y2 + y t - 5 t - 4y + 7 = 0.

Hãy tìm t , y .

Hết

61

100 §Ò ¤N TËP VµO LíP 10

I, mét sè ®Ò cã ®¸p ¸n

®Ò 1

Bài 1 : (2 điểm) a) Tính :

b) Giải hệ phương trình :

Bài 2 : (2 điểm) Cho biểu thức :

a) Rút gọn A. b) Tìm x nguyên để A nhận giá trị nguyên. Bài 3 : (2 điểm) Một ca nô xuôi dòng từ bến sông A đến bến sông B cách nhau 24 km ; cùng lúc đó, cũng từ A về B một bè nứa trôi với vận tốc dòng nước là 4 km/h. Khi đến B ca nô quay lại ngay và gặp bè nứa tại địa điểm C cách A là 8 km. Tính vận tốc thực của ca nô. Bài 4 : (3 điểm) Cho đường tròn tâm O bán kính R, hai điểm C và D thuộc đường tròn, B là trung điểm của cung nhỏ CD. Kẻ đường kính BA ; trên tia đối của tia AB lấy điểm S, nối S với C cắt (O) tại M ; MD cắt AB tại K ; MB cắt AC tại H. a) Chứng minh BMD = BAC, từ đó => tứ giác AMHK nội tiếp. b) Chứng minh : HK // CD. c) Chứng minh : OK.OS = R2. Bài 5 : (1 điểm) Cho hai số a và b khác 0 thỏa mãn : 1/a + 1/b = 1/2 Chứng minh phương trình ẩn x sau luôn có nghiệm : (x2 + ax + b)(x2 + bx + a) = 0.

Bµi 3: Do ca n« xuÊt ph¸t tõ A cïng víi bÌ nøa nªn thêi gian cña ca n« b»ng thêi gian bÌ

nøa: 8

24 (h)

Gäi vËn tèc cña ca n« lµ x (km/h) (x>4)

Theo bµi ta cã: 24 24 8 24 16

2 24 4 4 4x x x x

2 02 40 0

20

xx x

x

Vëy vËn tèc thùc cña ca n« lµ 20 km/h Bµi 4:

62

a) Ta cã » »BC BD (GT) · ·BMD BAC (2 gãc néi tiÕp ch¾n 2 cung b¨ng nhau)

* Do · ·BMD BAC A, M nh×n HK dêi 1 gãc b»ng nhau MHKA néi tiÕp.

b) Do BC = BD (do » »BC BD ), OC = OD (b¸n kÝnh) OB lµ ®êng trung trùc cña CD CDAB (1)

Xet MHKA: lµ tø gi¸c néi tiÕp, · 090AMH (gãc nt ch¾n nöa ®êng trßn) · 0 0 0180 90 90HKA (®l) HKAB (2) Tõ 1,2 HK // CD

H K

M A

B

O

C D

S

Bµi 5: 2

2 2

2

0 (*)( )( ) 0

0 (**)

x ax bx ax b x bx a

x bx a

(*) 4b , §Ó PT cã nghiÖm 2 2 1 14 0 4

2a b a b

a b (3)

(**) 2 4b a §Ó PT cã nghiÖm th× 2 1 14 0

2b a

b a (4)

Céng 3 víi 4 ta cã: 1 1 1 1

2 2a b a b

1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1

2 4 4 4 4 4 8 42 2 a b a ba b

(lu«n lu«n ®óng víi mäi a, b)

De 2 Đề thi gồm có hai trang.

Câu 1 : (4,5 điểm) 1. Cho phương trình 4 2 2( 4 ) 7 1 0x m m x m . Định m để phương trình có 4

nghiệm phân biệt và tổng bình phương tất cả các nghiệm bằng 10.

2. Giải phương trình: 2 2

4 2

35 3 ( 1)

1x x

x x

Câu 2 : (3,5 điểm)

63

1. Cho góc nhọn . Rút gọn không còn dấu căn biểu thức :

2 2cos 2 1 sin 1P

2. Chứng minh: 4 15 5 3 4 15 2

Câu 3 : (2 điểm)

Với ba số không âm a, b, c, chứng minh bất đẳng thức :

21

3a b c ab bc ca a b c

Khi nào đẳng thức xảy ra ? Câu 4 : (6 điểm)

Cho 2 đường tròn (O) và (O’) cắt nhau tại hai điểm A, B phân biệt. Đường thẳng OA cắt (O), (O’) lần lượt tại điểm thứ hai C, D. Đường thẳng O’A cắt (O), (O’) lần lượt tại điểm thứ hai E, F.

1. Chứng minh 3 đường thẳng AB, CE và DF đồng quy tại một điểm I. 2. Chứng minh tứ giác BEIF nội tiếp được trong một đường tròn. 3. Cho PQ là tiếp tuyến chung của (O) và (O’) (P (O), Q (O’)). Chứng minh

đường thẳng AB đi qua trung điểm của đoạn thẳng PQ.

-----HẾT-----

64

ĐÁP ÁN Câu 1 : (4,5 điểm) 1. Đặt X = x2 (X 0) Phương trình trở thành 2 2( 4 ) 7 1 0X m m X m (1)

Phương trình có 4 nghiệm phân biệt (1) có 2 nghiệm phân biệt dương +

0

0

0

S

P

2 2

2

( 4 ) 4(7 1) 0

4 0

7 1 0

m m m

m m

m

(I) +

Với điều kiện (I), (1) có 2 nghiệm phân biệt dương X1 , X2.

phương trình đã cho có 4 nghiệm x1, 2 = 1X ; x3, 4 = 2X 2 2 2 2 21 2 3 4 1 22( ) 2( 4 )x x x x X X m m +

Vậy ta có 2 2 12( 4 ) 10 4 5 0

5

mm m m m

m

+

Với m = 1, (I) được thỏa mãn + Với m = –5, (I) không thỏa mãn. + Vậy m = 1. 2. Đặt 4 2 1t x x (t 1)

Được phương trình 3

5 3( 1)tt +

3t2 – 8t – 3 = 0

t = 3 ; 1

3t (loại) +

Vậy 4 2 1 3x x x = 1. + Câu 2 : (3,5 điểm)

1. 2 2 2 2cos 2 1 sin 1 cos 2 cos 1P 2cos 2cos 1P (vì cos > 0) +

2(cos 1)P +

1 cosP (vì cos < 1) + 2.

2

4 15 5 3 4 15 5 3 4 15 4 15 +

65

= 5 3 4 15

= 2

5 3 4 15 +

= 8 2 15 4 15 +

= 2 + Câu 3 : (2 điểm)

2

0 2a b a b ab +

Tương tự, 2a c ac

2b c bc

1 2a a +

1 2b b

1 2c c Cộng vế với vế các bất đẳng thức cùng chiều ở trên ta được điều phải chứng minh. + Đẳng thức xảy ra a = b = c = 1 +

66

Câu 4 : (6 điểm)

+

1. Ta có : ABC = 1v ABF = 1v B, C, F thẳng hàng. + AB, CE và DF là 3 đường cao của tam giác ACF nên chúng đồng quy. ++ 2. ECA = EBA (cùng chắn cung AE của (O) + Mà ECA = AFD (cùng phụ với hai góc đối đỉnh) + EBA = AFD hay EBI = EFI + Tứ giác BEIF nội tiếp. + 3. Gọi H là giao điểm của AB và PQ Chứng minh được các tam giác AHP và PHB đồng dạng +

HP HA

HB HP HP2 = HA.HB +

Tương tự, HQ2 = HA.HB + HP = HQ H là trung điểm PQ. +

Lưu ý :

- Mỗi dấu “+” tương ứng với 0,5 điểm. - Các cách giải khác được hưởng điểm tối đa của phần đó. - Điểm từng phần, điểm toàn bài không làm tròn.

lu«n lu«n cã nghiÖm.

O O’

B

A

C

D

E

F

I

P

Q H

67

-------------------------------------------------------------------------------------------------------

---®Ò 3-- I.Tr¾c nghiÖm:(2 ®iÓm)

H·y ghi l¹i mét ch÷ çi ®øng tríc kh¼ng ®Þnh ®óng nhÊt.

C©u 1: KÕt qu¶ cña phÐp tÝnh 8 18 2 98 72 : 2 lµ :

A . 4 B . 5 2 6 C . 16 D . 44

C©u 2 : Gi¸ trÞ nµo cña m th× ph¬ng tr×nh mx2 +2 x + 1 = 0 cã hai nghiÖm ph©n biÖt :

A. 0m B.

1

4m C. 0m vµ

1

4m

D. 0m vµ 1m

C©u 3 :Cho ABCV néi tiÕp ®êng trßn (O) cã µ µ0 060 ; 45B C . S® »BC lµ:

A . 750 B . 1050 C . 1350 D . 1500

C©u 4 : Mét h×nh nãn cã b¸n kÝnh ®êng trßn ®¸y lµ 3cm, chiÒu cao lµ 4cm th× diÖn tÝch xung

quanh h×nh nãn lµ:

A 9 (cm2) B. 12 (cm2) C . 15 (cm2) D. 18 (cm2)

II. Tù LuËn: (8 ®iÓm)

C©u 5 : Cho biÓu thøc A=1 2

1 1

x x x x

x x

a) T×m x ®Ó biÓu thøc A cã nghÜa.

b) Rót gän biÓu thøc A.

c) Víi gi¸ trÞ nµo cña x th× A<1.

C©u 6 : Hai vßi níc cïng ch¶y vµo mét bÓ th× ®Çy bÓ sau 2 giê 24 phót. NÕu ch¶y riªng tõng

vßi th× vßi thø nhÊt ch¶y ®Çy bÓ nhanh h¬n vßi thø hai 2 giê. Hái nÕu më riªng tõng

vßi th× mçi vßi ch¶y bao l©u th× ®Çy bÓ?

C©u 7 : Cho ®êng trßn t©m (O) ®êng kÝnh AB. Trªn tia ®èi cña tia AB lÊy ®iÓm C

(AB>BC). VÏ ®êng trßn t©m (O') ®êng kÝnh BC.Gäi I lµ trung ®iÓm cña AC. VÏ

d©y MN vu«ng gãc víi AC t¹i I, MC c¾t ®êng trßn t©m O' t¹i D.

a) Tø gi¸c AMCN lµ h×nh g×? T¹i sao?

b) Chøng minh tø gi¸c NIDC néi tiÕp?

c) X¸c ®Þnh vÞ trÝ t¬ng ®èi cña ID vµ ®êng trßn t©m (O) víi ®êng trßn t©m (O').

§¸p ¸n

68

C©u Néi dung §iÓm 1 C 0.5 2 D 0.5 3 D 0.5 4 C 0.5 5

a) A cã nghÜa 0

1 0

x

x

0

1

x

x

0.5

b) A=

2

1 1

1 1

x x x

x x

0.5

= 1x x 0.25

=2 1x 0.25

c) A<1 2 1x <1 0.25

2 2x 0.25

1x x<1 0.25

KÕt hîp ®iÒu kiÖn c©u a) VËy víi 0 1x th× A<1 0.25 6

2giê 24 phót=12

5 giê

Gäi thêi gian vßi thø nhÊt ch¶y mét m×nh ®Çy bÓ lµ x (giê) ( §k x>0)

0.25

Thêi gian vßi thø hai ch¶y mét m×nh ®Çy bÓ lµ: x+2 (giê)

Trong 1 giê vßi thø nhÊt ch¶y ®îc : 1

x(bÓ)

0.5

Trong 1 giê vßi thø hai ch¶y ®îc :

1

2x (bÓ)

Trong 1 giê c¶ hai vßi ch¶y ®îc :

1

x+

1

2x (bÓ)

Theo bµi ra ta cã ph¬ng tr×nh:

1

x+

1

2x =

1

12

5

0.25

GiaØ ph¬ng tr×nh ta ®îc x1=4; x2=-

6

5(lo¹i)

0.75

VËy: Thêi gian vßi thø nhÊt ch¶y mét m×nh ®Çy bÓ lµ:4 giê Thêi gian vßi thø hai ch¶y mét m×nh ®Çy bÓ lµ: 4+2 =6(giê)

0.25

7 VÏ h×nh vµ ghi gt, kl ®óng

I

D

N

M

O'O

A

C

B

0.5

a) §êng kÝnh ABMN (gt) I lµ trung ®iÓm cña MN (§êng kÝnh vµ d©y 0.5

69

cung) IA=IC (gt) Tø gi¸c AMCN cã ®¬ng chÐo AC vµ MN c¾t nhau t¹i trung

®iÓm cña mçi ®êng vµ vu«ng gãc víi nhau nªn lµ h×nh thoi. 0.5

b) · 090ANB (gãc néi tiÕp ch¾n 1/2 ®êng trßn t©m (O) ) BN AN.

AN// MC (c¹nh ®èi h×nh thoi AMCN). BN MC (1)

· 090BDC (gãc néi tiÕp ch¾n 1/2 ®êng trßn t©m (O') ) BD MC (2)

Tõ (1) vµ (2) N,B,D th¼ng hµng do ®ã · 090NDC (3). · 090NIC (v× ACMN) (4)

0.5

Tõ (3) vµ (4) N,I,D,C cïng n»m trªn ®êng trßn ®êng kÝnh NC Tø gi¸c NIDC néi tiÕp 0.5 c) OBA. O'BC mµ BA vafBC lµ hai tia ®èi nhau B n»m gi÷a O vµ O' do

®ã ta cã OO'=OB + O'B ®êng trßn (O) vµ ®êng trßn (O') tiÕp xóc ngoµi t¹i B

0.5

VMDN vu«ng t¹i D nªn trung tuyÕn DI =

1

2MN =MI VMDI c©n

· ·IMD IDM .

T¬ng tù ta cã · ·' 'O DC O CD mµ · · 0' 90IMD O CD (v× · 090MIC ) 0.25

· · 0' 90IDM O DC mµ · 0180MDC · 0' 90IDO

do ®ã IDDO ID lµ tiÕp tuyÕn cña ®êng trßn (O'). 0.25 Chó ý: NÕu thÝ sinh lµm çch kh¸c ®óng vÉn cho ®iÓm tèi ®a

§Ò 4 C©u1 : Cho biÓu thøc

A=2

)1(:

1

1

1

12

2233

x

xxx

x

xx

x

xVíi x 2 ;1

.a, Ruý gän biÓu thøc A

.b , TÝnh gi¸ trÞ cña biÓu thøc khi cho x= 226 c. T×m gi¸ trÞ cña x ®Ó A=3 C©u2.a, Gi¶i hÖ ph¬ng tr×nh:

1232

4)(3)( 2

yx

yxyx

b. Gi¶i bÊt ph¬ng tr×nh:

3

15242

23

xx

xxx<0

C©u3. Cho ph¬ng tr×nh (2m-1)x2-2mx+1=0 X¸c ®Þnh m ®Ó ph¬ng tr×nh trªn cã nghiÖm thuéc kho¶ng (-1,0)

70 O

K

F

E

D

CB

A

C©u 4. Cho nöa ®êng trßn t©m O , ®êng kÝnh BC .§iÓm A thuéc nöa ®êng trßn ®ã Dng h×nh vu«ng ABCD thuéc nöa mÆt ph¼ng bê AB, kh«ng chøa ®Ønh C. Gäi Flµ giao ®iÓm cña Aevµ nöa ®êng trßn (O) . Gäi Klµ giao ®iÓm cña CFvµ ED

a. chøng minh r»ng 4 ®iÓm E,B,F,K. n»m trªn mét ®êng trßn b. Tam gi¸c BKC lµ tam gi¸c g× ? V× sao. ?

®¸p ¸n

C©u 1: a. Rót gän A=x

x 22

b.Thay x= 226 vµo A ta ®îc A= 226

224

c.A=3<=> x2-3x-2=0=> x=2

173

C©u 2 : a)§Æt x-y=a ta ®îc pt: a2+3a=4 => a=-1;a=-4

Tõ ®ã ta cã

1232

4)(3)( 2

yx

yxyx<=>

*

1232

1

yx

yx(1)

*

1232

4

yx

yx(2)

Gi¶i hÖ (1) ta ®îc x=3, y=2 Gi¶i hÖ (2) ta ®îc x=0, y=4 VËy hÖ ph¬ng tr×nh cã nghiÖm lµ x=3, y=2 hoÆc x=0; y=4

b) Ta cã x3-4x2-2x-15=(x-5)(x2+x+3) mµ x2+x+3=(x+1/2)2+11/4>0 víi mäi x VËy bÊt ph¬ng tr×nh t¬ng ®¬ng víi x-5>0 =>x>5 C©u 3: Ph¬ng tr×nh: ( 2m-1)x2-2mx+1=0 XÐt 2m-1=0=> m=1/2 pt trë thµnh –x+1=0=> x=1 XÐt 2m-10=> m 1/2 khi ®ã ta cã

, = m2-2m+1= (m-1)20 mäi m=> pt cã nghiÖm víi mäi m ta thÊy nghiÖm x=1 kh«ng thuéc (-1,0)

víi m 1/2 pt cßn cã nghiÖm x=12

1

m

mm=

12

1

m

pt cã nghiÖm trong kho¶ng (-1,0)=> -1<12

1

m<0

012

0112

1

m

m =>

012

012

2

m

m

m

=>m<0

VËy Pt cã nghiÖm trong kho¶ng (-1,0) khi vµ chØ khi m<0 C©u 4: a. Ta cã KEB= 900 mÆt kh¸c BFC= 900( gãc néi tiÕp ch¾n n÷a ®êng trßn) do CF kÐo dµi c¾t ED t¹i D => BFK= 900 => E,F thuéc ®êng trßn ®êng kÝnh BK

71

hay 4 ®iÓm E,F,B,K thuéc ®êng trßn ®êng kÝnh BK. b. BCF= BAF Mµ BAF= BAE=450=> BCF= 450 Ta cã BKF= BEF Mµ BEF= BEA=450(EA lµ ®êng chÐo cña h×nh vu«ng ABED)=> BKF=450 V× BKC= BCK= 450=> tam gi¸c BCK vu«ng c©n t¹i B

§Ò 5

Bµi 1: Cho biÓu thøc: P =

1

122:

11

x

xx

xx

xx

xx

xx

a,Rót gän P

b,T×m x nguyªn ®Ó P cã gi¸ trÞ nguyªn.

Bµi 2: Cho ph¬ng tr×nh: x2-( 2m + 1)x + m2 + m - 6= 0 (*)

a.T×m m ®Ó ph¬ng tr×nh (*) cã 2 nghiÖm ©m.

b.T×m m ®Ó ph¬ng tr×nh (*) cã 2 nghiÖm x1; x2 tho¶ m·n 3

2

3

1 xx =50

Bµi 3: Cho ph¬ng tr×nh: ax2 + bx + c = 0 cã hai nghiÖm d¬ng ph©n biÖt x1, x2Chøng

minh:

a,Ph¬ng tr×nh ct2 + bt + a =0 còng cã hai nghiÖm d¬ng ph©n biÖt t1 vµ t2.

b,Chøng minh: x1 + x2 + t1 + t2 4

Bµi 4: Cho tam gi¸c cã çc gãc nhän ABC néi tiÕp ®êng trßn t©m O . H lµ trùc t©m

cña tam gi¸c. D lµ mét ®iÓm trªn cung BC kh«ng chøa ®iÓm A.

a, X¸c ®Þnh vÞ trÝ cña ®iÎm D ®Ó tø gi¸c BHCD lµ h×nh b×nh hµnh.

b, Gäi P vµ Q lÇn lît lµ çc ®iÓm ®èi xøng cña ®iÓm D qua çc ®êng th¼ng

AB vµ AC . Chøng minh r»ng 3 ®iÓm P; H; Q th¼ng hµng.

c, T×m vÞ trÝ cña ®iÓm D ®Ó PQ cã ®é dµi lín nhÊt.

Bµi 5: Cho hai sè d¬ng x; y tho¶ m·n: x + y 1

T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña: A = xyyx

501122

§¸p ¸n

Bµi 1: (2 ®iÓm). §K: x 1;0 x

a, Rót gän: P =

1

12:

1

122

x

x

xx

xx z

<=> P = 1

1

)1(

12

x

x

x

x

72

b. P = 1

21

1

1

xx

x

§Ó P nguyªn th×

)(121

9321

0011

4211

Loaixx

xxx

xxx

xxx

VËy víi x= 9;4;0 th× P cã gi¸ trÞ nguyªn.

Bµi 2: §Ó ph¬ng tr×nh cã hai nghiÖm ©m th×:

012

06

06412

21

221

22

mxx

mmxx

mmm

3

2

1

0)3)(2(

025

m

m

mm

b. Gi¶i ph¬ng tr×nh: 50)3(2 33 mm

2

51

2

51

0150)733(5

2

1

22

m

m

mmmm

Bµi 3: a. V× x1 lµ nghiÖm cña ph¬ng tr×nh: ax2 + bx + c = 0 nªn ax12 + bx1 + c =0. .

V× x1> 0 => c. .01

.1

1

2

1

a

xb

x Chøng tá

1

1

x lµ mét nghiÖm d¬ng cña ph¬ng

tr×nh: ct2 + bt + a = 0; t1 = 1

1

x V× x2 lµ nghiÖm cña ph¬ng tr×nh:

ax2 + bx + c = 0 => ax22 + bx2 + c =0

v× x2> 0 nªn c. 01

.1

2

2

2

a

xb

x ®iÒu nµy chøng tá

2

1

x lµ mét nghiÖm d¬ng cña

ph¬ng tr×nh ct2 + bt + a = 0 ; t2 = 2

1

x

73

VËy nÕu ph¬ng tr×nh: ax2 + bx + c =0 cã hai nghiÑm d¬ng ph©n biÖt x1; x2 th×

ph¬ng tr×nh : ct2 + bt + a =0 còng cã hai nghiÖm d¬ng ph©n biÖt t1 ; t2 . t1 = 1

1

x ; t2

=2

1

x

b. Do x1; x1; t1; t2 ®Òu lµ nh÷ng nghiÖm d¬ng nªn

t1+ x1 = 1

1

x + x1 2 t2 + x2 =

2

1

x + x2 2

Do ®ã x1 + x2 + t1 + t2 4

Bµi 4

a. Gi¶ sö ®· t×m ®îc ®iÓm D trªn cung BC sao cho tø gi¸c BHCD lµ h×nh b×nh hµnh .

Khi ®ã: BD//HC; CD//HB v× H lµ trùc t©m tam gi¸c ABC nªn

CH AB vµ BH AC => BD AB vµ CD AC .

Do ®ã: ABD = 900 vµ ACD = 900 .

VËy AD lµ ®êng kÝnh cña ®êng trßn t©m O

Ngîc l¹i nÕu D lµ ®Çu ®êng kÝnh AD

cña ®êng trßn t©m O th×

tø gi¸c BHCD lµ h×nh b×nh hµnh.

b) V× P ®èi xøng víi D qua AB nªn APB = ADB

nhng ADB =ACB nhng ADB = ACB

Do ®ã: APB = ACB MÆt kh¸c:

AHB + ACB = 1800 => APB + AHB = 1800

Tø gi¸c APBH néi tiÕp ®îc ®êng trßn nªn PAB = PHB

Mµ PAB = DAB do ®ã: PHB = DAB

Chøng minh t¬ng tù ta cã: CHQ = DAC

VËy PHQ = PHB + BHC + CHQ = BAC + BHC = 1800

Ba ®iÓm P; H; Q th¼ng hµng

c). Ta thÊy APQ lµ tam gi¸c c©n ®Ønh A

Cã AP = AQ = AD vµ PAQ = 2BAC kh«ng ®æi nªn c¹nh ®¸y PQ

®¹t gi¸ trÞ lín nhÊt AP vµ AQ lµ lín nhÊt hay AD lµ lín nhÊt

D lµ ®Çu ®êng kÝnh kÎ tõ A cña ®êng trßn t©m O

HO

P

Q

D

CB

A

74

§Ò 6

Bµi 1: Cho biÓu thøc: yx

xy

xyx

y

yyx

xP

111))1)((

a). T×m ®iÒu kiÖn cña x vµ y ®Ó P x¸c ®Þnh . Rót gän P. b). T×m x,y nguyªn tháa m·n ph¬ng tr×nh P = 2.

Bµi 2: Cho parabol (P) : y = -x2 vµ ®êng th¼ng (d) cã hÖ sè gãc m ®i qua ®iÓm M(-1 ; -2) .

a). Chøng minh r»ng víi mäi gi¸ trÞ cña m (d) lu«n c¾t (P) t¹i hai ®iÓm A , B ph©n biÖt

b). X¸c ®Þnh m ®Ó A,B n»m vÒ hai phÝa cña trôc tung. Bµi 3: Gi¶i hÖ ph¬ng tr×nh :

27

1111

9

zxyzxy

zyx

zyx

Bµi 4: Cho ®êng trßn (O) ®êng kÝnh AB = 2R vµ C lµ mét ®iÓm thuéc ®êng trßn );( BCAC . Trªn nöa mÆt ph¼ng bê AB cã chøa ®iÓm C , kÎ tia Ax tiÕp xóc víi

®êng trßn (O), gäi M lµ ®iÓm chÝnh gi÷a cña cung nhá AC . Tia BC c¾t Ax t¹i Q , tia AM c¾t BC t¹i N. a). Chøng minh çc tam gi¸c BAN vµ MCN c©n . b). Khi MB = MQ , tÝnh BC theo R.

Bµi 5: Cho Rzyx ,, tháa m·n : zyxzyx

1111

H·y tÝnh gi¸ trÞ cña biÓu thøc : M = 4

3 + (x8 – y8)(y9 + z9)(z10 – x10) .

§¸p ¸n Bµi 1: a). §iÒu kiÖn ®Ó P x¸c ®Þnh lµ :; 0;1;0;0 yxyyx . *). Rót gän

P:

(1 ) (1 )

1 1

x x y y xy x yP

x y x y

( )

1 1

x y x x y y xy x y

x y x y

1 1

x y x y x xy y xy

x y x y

1 1 1 1

1 1

x x y x y x x

x y

1

x y y y x

y

1 1 1

1

x y y y y

y

.x xy y

VËy P = .yxyx

b). P = 2 .yxyx = 2

75

Q

N

M

O

C

BA

111

111

yx

yyx

Ta cã: 1 + 1y 1 1x 0 4x x = 0; 1; 2; 3 ; 4

Thay vµo ta cãçc cÆp gi¸ trÞ (4; 0) vµ (2 ; 2) tho¶ m·n Bµi 2: a). §êng th¼ng (d) cã hÖ sè gãc m vµ ®i qua ®iÓm M(-1 ; -2) . Nªn ph¬ng tr×nh ®êng th¼ng (d) lµ : y = mx + m – 2. Hoµnh ®é giao ®iÓm cña (d) vµ (P) lµ nghiÖm cña ph¬ng tr×nh: - x2 = mx + m – 2 x2 + mx + m – 2 = 0 (*) V× ph¬ng tr×nh (*) cã mmmm 04284

22 nªn ph¬ng tr×nh (*) lu«n cã hai nghiÖm ph©n biÖt , do ®ã (d) vµ (P) lu«n c¾t nhau t¹i hai ®iÓm ph©n biÖt A vµ B. b). A vµ B n»m vÒ hai phÝa cña trôc tung ph¬ng tr×nh : x2 + mx + m – 2 = 0 cã hai nghiÖm tr¸i dÊu m – 2 < 0 m < 2.

Bµi 3 :

327

)2(1111

19

xzyzxy

zyx

zyx

§KX§ : .0,0,0 zyx

2 2 2 2

2 2 2 2 2 2

2 2 2 2 2 2

2 2 2

2

2

2

81 2 81

81 2 27

2( ) 2 0

( ) ( ) ( ) 0

( ) 0

( ) 0

( ) 0

x y z x y z xy yz zx

x y z xy yz zx x y z

x y z xy yz zx x y z xy yz zx

x y y z z x

x y x y

y z y z x y z

z xz x

Thay vµo (1) => x = y = z = 3 . Ta thÊy x = y = z = 3 thâa m·n hÖ ph¬ng tr×nh . VËy hÖ ph¬ng tr×nh cã nghiÖm duy nhÊt x = y = z = 3. Bµi 4: a). XÐt ABM vµ NBM .

Ta cã: AB lµ ®êng kÝnh cña ®êng trßn (O) nªn :AMB = NMB = 90o . M lµ ®iÓm chÝnh gi÷a cña cung nhá AC nªn ABM = MBN => BAM = BNM => BAN c©n ®Ønh B.

Tø gi¸c AMCB néi tiÕp => BAM = MCN ( cïng bï víi gãc MCB). => MCN = MNC ( cïng b»ng gãc BAM). => Tam gi¸c MCN c©n ®Ønh M b). XÐt MCB vµ MNQ cã : MC = MN (theo cm trªn MNC c©n ) ; MB = MQ ( theo gt) BMC = MNQ ( v× : MCB = MNC ; MBC = MQN ).

76

=> )...( cgcMNQMCB => BC = NQ .

XÐt tam gi¸c vu«ng ABQ cã BQAC AB2 = BC . BQ = BC(BN + NQ)

=> AB2 = BC .( AB + BC) = BC( BC + 2R) => 4R2 = BC( BC + 2R) => BC = R)15(

Bµi 5:

Tõ : zyxzyx

1111

=> 01111

zyxzyx

=>

0

zyxz

zzyx

xy

yx

0)(

0)(

011

2

xzzyyx

zyxxyz

xyzzyzxyx

zyxzxyyz

Ta cã : x8 – y8 = (x + y)(x-y)(x2+y2)(x4 + y4).= y9 + z9 = (y + z)(y8 – y7z + y6z2 - .......... + z8) z10- x10 = (z + x)(z4 – z3x + z2x2 – zx3 + x4)(z5 - x5)

VËy M = 4

3+ (x + y) (y + z) (z + x).A =

4

3

§Ò 7 Bµi 1: 1) Cho ®êng th¼ng d x¸c ®Þnh bëi y = 2x + 4. §êng th¼ng d/ ®èi xøng víi ®êng th¼ng d qua ®êng th¼ng y = x lµ:

A.y = 2

1x + 2 ; B.y = x - 2 ; C.y =

2

1x - 2 ; D.y = - 2x - 4

H·y chän c©u tr¶ lêi ®óng. 2) Mét h×nh trô cã chiÒu cao gÊp ®«i ®êng kÝnh ®¸y ®ùng ®Çy níc, nhóng

ch×m vµo b×nh mét h×nh cÇu khi lÊy ra mùc níc trong b×nh cßn l¹i 3

2 b×nh. TØ sè gi÷a

b¸n kÝnh h×nh trô vµ b¸n kÝnh h×nh cÇu lµ A.2 ; B. 3 2 ; C. 3 3 ; D. mét kÕt qu¶ kh¸c.

B×a2: 1) Gi¶i ph¬ng tr×nh: 2x4 - 11 x3 + 19x2 - 11 x + 2 = 0

2) Cho x + y = 1 (x > 0; y > 0) T×m gi¸ trÞ lín nhÊt cña A = x + y

Bµi 3: 1) T×m çc sè nguyªn a, b, c sao cho ®a thøc : (x + a)(x - 4) - 7 Ph©n tÝch thµnh thõa sè ®îc : (x + b).(x + c)

2) Cho tam gi¸c nhän x©y, B, C lÇn lît lµ çc ®iÓm cè ®Þnh trªn tia Ax, Ay

sao cho AB < AC, ®iÓm M di ®éng trong gãc xAy sao cho MB

MA =

2

1

X¸c ®Þnh vÞ trÝ ®iÓm M ®Ó MB + 2 MC ®¹t gi¸ trÞ nhá nhÊt. Bµi 4: Cho ®êng trßn t©m O ®êng kÝnh AB vµ CD vu«ng gãc víi nhau, lÊy ®iÓm I bÊt kú trªn ®oan CD. a) T×m ®iÓm M trªn tia AD, ®iÓm N trªn tia AC sao cho I lag trung ®iÓm cña MN.

77

M

D

C

B

A

x

b) Chøng minh tæng MA + NA kh«ng ®æi. c) Chøng minh r»ng ®êng trßn ngo¹i tiÕp tam gi¸c AMN ®i qua hai ®iÓm cè ®Þnh.

Híng dÉn

Bµi 1: 1) Chän C. Tr¶ lêi ®óng. 2) Chän D. KÕt qu¶ kh¸c: §¸p sè lµ: 1 Bµi 2 : 1)A = (n + 1)4 + n4 + 1 = (n2 + 2n + 1)2 - n2 + (n4 + n2 + 1) = (n2 + 3n + 1)(n2 + n + 1) + (n2 + n + 1)(n2 - n + 1) = (n2 + n + 1)(2n2 + 2n + 2) = 2(n2 + n + 1)2 VËy A chia hÕt cho 1 sè chÝnh ph¬ng kh¸c 1 víi mäi sè nguyªn d¬ng n. 2) Do A > 0 nªn A lín nhÊt A2 lín nhÊt. XÐt A2 = ( x + y )2 = x + y + 2 xy = 1 + 2 xy (1)

Ta cã: 2

yx xy (BÊt ®¼ng thøc C« si)

=> 1 > 2 xy (2)

Tõ (1) vµ (2) suy ra: A2 = 1 + 2 xy < 1 + 2 = 2

Max A2 = 2 <=> x = y = 2

1, max A = 2 <=> x = y =

2

1

Bµi3 C©u 1Víi mäi x ta cã (x + a)(x - 4) - 7 = (x + b)(x + c) Nªn víi x = 4 th× - 7 = (4 + b)(4 + c) Cã 2 trêng hîp: 4 + b = 1 vµ 4 + b = 7 4 + c = - 7 4 + c = - 1 Trêng hîp thø nhÊt cho b = - 3, c = - 11, a = - 10 Ta cã (x - 10)(x - 4) - 7 = (x - 3)(x - 11) Trêng hîp thø hai cho b = 3, c = - 5, a = 2 Ta cã (x + 2)(x - 4) - 7 = (x + 3)(x - 5)

C©u2 (1,5®iÓm) Gäi D lµ ®iÓm trªn c¹nh AB sao cho:

AD = 4

1AB. Ta cã D lµ ®iÓm cè ®Þnh

Mµ AB

MA =

2

1 (gt) do ®ã

MA

AD =

2

1

XÐt tam gi¸c AMB vµ tam gi¸c ADM cã M©B (chung)

AB

MA =

MA

AD =

2

1

Do ®ã Δ AMB ~ Δ ADM => MD

MB =

AD

MA = 2

=> MD = 2MD (0,25 ®iÓm) XÐt ba ®iÓm M, D, C : MD + MC > DC (kh«ng ®æi) Do ®ã MB + 2MC = 2(MD + MC) > 2DC

78

K

O

N

M

I

D

C

BA

DÊu "=" x¶y ra <=> M thuéc ®o¹n th¼ng DC Gi¸ trÞ nhá nhÊt cña MB + 2 MC lµ 2 DC

* Çch dùng ®iÓm M.

- Dùng ®êng trßn t©m A b¸n kÝnh 2

1 AB

- Dùng D trªn tia Ax sao cho AD = 4

1AB

M lµ giao ®iÓm cña DC vµ ®êng trßn (A; 2

1 AB)

Bµi 4: a) Dùng (I, IA) c¾t AD t¹i M c¾t tia AC t¹i N

Do M©N = 900 nªn MN lµ ®êng kÝnh VËy I lµ trung ®iÓm cña MN b) KÎ MK // AC ta cã : ΔINC = ΔIMK (g.c.g) => CN = MK = MD (v× ΔMKD vu«ng c©n) VËy AM+AN=AM+CN+CA=AM+MD+CA => AM = AN = AD + AC kh«ng ®æi c) Ta cã IA = IB = IM = IN VËy ®êng trßn ngo¹i tiÕp ΔAMN ®i qua hai ®iÓm A, B cè ®Þnh .

§Ò 8 Bµi 1. Cho ba sè x, y, z tho· m·n ®ång thêi :

2 2 22 1 2 1 2 1 0x y y z z x

TÝnh gi¸ trÞ cña biÓu thøc : 2007 2007 2007A x y z .

Bµi 2). Cho biÓu thøc : 2 25 4 2014M x x y xy y .

Víi gi¸ trÞ nµo cña x, y th× M ®¹t gi¸ trÞ nhá nhÊt ? T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt ®ã

Bµi 3. Gi¶i hÖ ph¬ng tr×nh :

2 2 18

1 . 1 72

x y x y

x x y y

Bµi 4. Cho ®êng trßn t©m O ®êng kÝnh AB b¸n kÝnh R. TiÕp tuyÕn t¹i ®iÓm M bbÊt

kú trªn ®êng trßn (O) c¾t çc tiÕp tuyÕn t¹i A vµ B lÇn lît t¹i C vµ D.

a.Chøng minh : AC . BD = R2.

b.T×m vÞ trÝ cña ®iÓm M ®Ó chu vi tam gi¸c COD lµ nhá nhÊt .

Bµi 5.Cho a, b lµ çc sè thùc d¬ng. Chøng minh r»ng :

2

2 22

a ba b a b b a

Bµi 6).Cho tam gi¸c ABC cã ph©n gi¸c AD. Chøng minh : AD2 = AB . AC - BD . DC.

79

Híng dÉn gi¶i Bµi 1. Tõ gi¶ thiÕt ta cã :

2

2

2

2 1 0

2 1 0

2 1 0

x y

y z

z x

Céng tõng vÕ çc ®¼ng thøc ta cã : 2 2 22 1 2 1 2 1 0x x y y z z

2 2 2

1 1 1 0x y z

1 0

1 0

1 0

x

y

z

1x y z

2007 2007 20072007 2007 2007 1 1 1 3A x y z VËy : A = -3.

Bµi 2.(1,5 ®iÓm) Ta cã :

2 24 4 2 1 2 2 2007M x x y y xy x y

2 2

2 1 2 1 2007M x y x y

2

21 32 1 1 2007

2 4M x y y

Do 2

1 0y vµ 2

12 1 0

2x y

,x y

2007M min 2007 2; 1M x y

Bµi 3. §Æt :

1

1

u x x

v y y

Ta cã : 18

72

u v

uv

u ; v lµ nghiÖm cña ph¬ng

tr×nh : 2

1 218 72 0 12; 6X X X X

12

6

u

v

; 6

12

u

v

1 12

1 6

x x

y y

;

1 6

1 12

x x

y y

Gi¶i hai hÖ trªn ta ®îc : NghiÖm cña hÖ lµ :

(3 ; 2) ; (-4 ; 2) ; (3 ; -3) ; (-4 ; -3) vµ çc ho¸n vÞ.

Bµi 4. a.Ta cã CA = CM; DB = DM

Çc tia OC vµ OD lµ ph©n gi¸c cña hai gãc AOM vµ MOB nªn OC OD

Tam gi¸c COD vu«ng ®Ønh O, OM lµ ®êng cao thuéc c¹nh huyÒn CD nªn :

MO2 = CM . MD

R2 = AC . BD d

c

m

80

b.Çc tø gi¸c ACMO ; BDMO néi tiÕp

· · · ·;MCO MAO MDO MBO

.COD AMB g gV : V (0,25®)

Do ®ã : 1

. .

. .

Chu vi COD OM

Chu vi AMB MH

V

V (MH1 AB)

Do MH1 OM nªn 1

1OM

MH

Chu vi COD V chu vi AMBV

DÊu = x¶y ra MH1 = OM MO M lµ ®iÓm chÝnh gi÷a cña cung »AB

Bµi 5 (1,5 ®iÓm) Ta cã : 2 2

1 10; 0

2 2a b

a , b > 0

1 10; 0

4 4a a b b

1 1( ) ( ) 0

4 4a a b b a , b > 0

10

2a b a b MÆt kh¸c 2 0a b ab

Nh©n tõng vÕ ta cã : 12

2a b a b ab a b

2

2 22

a ba b a b b a

Bµi 6. (1 ®iÓm) VÏ ®êng trßn t©m O ngo¹i tiÕp ABCV

Gäi E lµ giao ®iÓm cña AD vµ (O)

Ta cã: ABD CEDV : V (g.g)

. .BD AD

AB ED BD CDED CD

2

. .

. .

AD AE AD BD CD

AD AD AE BD CD

L¹i cã : .ABD AEC g gV : V

2

. .

. .

AB ADAB AC AE AD

AE AC

AD AB AC BD CD

§Ì 9

C©u 1: Cho hµm sè f(x) = 442 xx

a) TÝnh f(-1); f(5)

b) T×m x ®Ó f(x) = 10

c) Rót gän A = 4

)(2 x

xf khi x 2

d

e

cb

a

81


)3)(72()72)(3(

)4)(2()2(

yxyx

yxyx

C©u 3: Cho biÓu thøcA =

1:

1

1

1

1

x

xx

x

x

x

xx víi x > 0 vµ x 1

a) Rót gän A

b) T×m gi¸ trÞ cña x ®Ó A = 3

C©u 4: Tõ ®iÓm P n»m ngoµi ®êng trßn t©m O b¸n kÝnh R, kÎ hai tiÕp tuyÕn PA; PB.

Gäi H lµ ch©n ®êng vu«ng gãc h¹ tõ A ®Õn ®êng kÝnh BC.

a) Chøng minh r»ng PC c¾t AH t¹i trung ®iÓm E cña AH

b) Gi¶ sö PO = d. TÝnh AH theo R vµ d.

C©u 5: Cho ph¬ng tr×nh 2x2 + (2m - 1)x + m - 1 = 0

Kh«ng gi¶i ph¬ng tr×nh, t×m m ®Ó ph¬ng tr×nh cã hai nghiÖm ph©n biÖt x1; x2 tháa

m·n: 3x1 - 4x2 = 11

®¸p ¸n

C©u 1a) f(x) = 2)2(44 22 xxxx

Suy ra f(-1) = 3; f(5) = 3

b)

8

12

102

10210)(

x

x

x

xxf

c) )2)(2(

2

4

)(2

xx

x

x

xfA

Víi x > 2 suy ra x - 2 > 0 suy ra 2

1

xA

Víi x < 2 suy ra x - 2 < 0 suy ra 2

1

xA

C©u 2

( 2) ( 2)( 4) 2 2 4 8 4

( 3)(2 7) (2 7)( 3) 2 6 7 21 2 7 6 21 0

x y x y xy x xy y x x y

x y x y xy y x xy y x x y

x -2

y 2

C©u 3 a) Ta cã: A =

1:

1

1

1

1

x

xx

x

x

x

xx=

11

)1(:

1

1

)1)(1(

)1)(1(

x

x

x

xx

x

x

xx

xxx =

82

1:

1

1

1

1

x

xxx

x

x

x

xx=

1:

1

11

x

x

x

xxx=

1:

1

2

x

x

x

x =

x

x

x

x 1

1

2

=

x

x2

b) A = 3 => x

x2 = 3 => 3x + x - 2 = 0 => x = 2/3

C©u 4

Do HA // PB (Cïng vu«ng gãc víi BC)

a) nªn theo ®Þnh lý Ta let ¸p dông cho CPB ta cã

CB

CH

PB

EH ; (1)

MÆt kh¸c, do PO // AC (cïng vu«ng gãc víi AB)

=> POB = ACB (hai gãc ®ång vÞ)

=> AHC POB

Do ®ã: OB

CH

PB

AH (2)

Do CB = 2OB, kÕt hîp (1) vµ (2) ta suy ra AH = 2EH hay E lµ trung ®iÓm cña

AH.

b) XÐt tam gi¸c vu«ng BAC, ®êng cao AH ta cã AH2 = BH.CH = (2R - CH).CH

Theo (1) vµ do AH = 2EH ta cã

.)2(2PB

AH.CB

2PB

AH.CBAH2 R

AH2.4PB2 = (4R.PB - AH.CB).AH.CB

4AH.PB2 = 4R.PB.CB - AH.CB2

AH (4PB2 +CB2) = 4R.PB.CB

2

222

222

222

2222

d

Rd.2.R

4R)R4(d

Rd.8R

(2R)4PB

4R.2R.PB

CB4.PB

4R.CB.PBAH

C©u 5 §Ó ph¬ng tr×nh cã 2 nghiÖm ph©n biÖt x1 ; x2 th× > 0

<=> (2m - 1)2 - 4. 2. (m - 1) > 0

Tõ ®ã suy ra m 1,5 (1)

MÆt kh¸c, theo ®Þnh lý ViÐt vµ gi¶ thiÕt ta cã:

O

B C

H

E

A

P

83

114x3x

2

1m.xx

2

12mxx

21

21

21

118m-26

77m4

7

4m-133

8m-26

77mx

7

4m-13x

1

1

Gi¶i ph¬ng tr×nh 118m-26

77m4

7

4m-133

ta ®îc m = - 2 vµ m = 4,125 (2)

§èi chiÕu ®iÒu kiÖn (1) vµ (2) ta cã: Víi m = - 2 hoÆc m = 4,125 th× ph¬ng

tr×nh ®· cho cã hai nghiÖm ph©n biÖt tháa m·n: x1 + x2 = 11

§Ò 10

C©u 1: Cho P = 2

1

x

x x

+

1

1

x

x x

-

1

1

x

x

a/. Rót gän P.

b/. Chøng minh: P < 1

3 víi x 0 vµ x 1.

C©u 2: Cho ph¬ng tr×nh : x2 – 2(m - 1)x + m2 – 3 = 0 ( 1 ) ; m lµ tham sè. a/. T×m m ®Ó ph¬ng tr×nh (1) cã nghiÖm. b/. T×m m ®Ó ph¬ng tr×nh (1) cã hai nghiÖm sao cho nghiÖm nµy b»ng ba lÇn

nghiÖm kia.

C©u 3: a/. Gi¶i ph¬ng tr×nh : 1

x +

2

1

2 x = 2

b/. Cho a, b, c lµ çc sè thùc thâa m·n :

0

0

2 4 2 0

2 7 11 0

a

b

a b c

a b c

T×m gi¸ trÞ lín nhÊt vµ gi¸ trÞ bÐ nhÊt cña Q = 6 a + 7 b + 2006 c. C©u 4: Cho ABCV c©n t¹i A víi AB > BC. §iÓm D di ®éng trªn c¹nh AB, ( D kh«ng trïng víi A, B). Gäi (O) lµ ®êng trßn ngo¹i tiÕp BCDV . TiÕp tuyÕn cña (O) t¹i C vµ D c¾t nhau ë K .

a/. Chøng minh tø gi¸c ADCK néi tiÕp. b/. Tø gi¸c ABCK lµ h×nh g×? V× sao? c/. X¸c ®Þnh vÞ trÝ ®iÓm D sao cho tø gi¸c ABCK lµ h×nh b×nh hµnh.

§¸p ¸n C©u 1: §iÒu kiÖn: x 0 vµ x 1. (0,25 ®iÓm)

P = 2

1

x

x x

+

1

1

x

x x

-

1

( 1)( 1)

x

x x

= 3

2

( ) 1

x

x

+

1

1

x

x x

-

1

1x

84

= 2 ( 1)( 1) ( 1)

( 1)( 1)

x x x x x

x x x

= ( 1)( 1)

x x

x x x

=

1

x

x x

b/. Víi x 0 vµ x 1 .Ta cã: P < 1

3

1

x

x x <

1

3

3 x < x + x + 1 ; ( v× x + x + 1 > 0 )

x - 2 x + 1 > 0

( x - 1)2 > 0. ( §óng v× x 0 vµ x 1) C©u 2:a/. Ph¬ng tr×nh (1) cã nghiÖm khi vµ chØ khi ’ 0.

(m - 1)2 – m2 – 3 0 4 – 2m 0 m 2.

b/. Víi m 2 th× (1) cã 2 nghiÖm. Gäi mét nghiÖm cña (1) lµ a th× nghiÖm kia lµ 3a . Theo Viet ,ta cã:

2

3 2 2

.3 3

a a m

a a m

a= 1

2

m 3( 1

2

m )2 = m2 – 3

m2 + 6m – 15 = 0 m = –3 2 6 ( thâa m·n ®iÒu kiÖn). C©u 3: §iÒu kiÖn x 0 ; 2 – x2 > 0 x 0 ; x < 2 .

§Æt y = 22 x > 0

Ta cã:

2 2 2 (1)

1 12 (2)

x y

x y

Tõ (2) cã : x + y = 2xy. Thay vµo (1) cã : xy = 1 hoÆc xy = -1

2

* NÕu xy = 1 th× x+ y = 2. Khi ®ã x, y lµ nghiÖm cña ph¬ng tr×nh: X2 – 2X + 1 = 0 X = 1 x = y = 1.

* NÕu xy = -1

2 th× x+ y = -1. Khi ®ã x, y lµ nghiÖm cña ph¬ng tr×nh:

X2 + X - 1

2 = 0 X =

1 3

2

V× y > 0 nªn: y = 1 3

2

x =

1 3

2

VËy ph¬ng tr×nh cã hai nghiÖm: x1 = 1 ; x2 = 1 3

2

C©u 4: c/. Theo c©u b, tø gi¸c ABCK lµ h×nh thang. Do ®ã, tø gi¸c ABCK lµ h×nh b×nh hµnh AB // CK

· ·BAC ACK

O

K

D

CB

A

85

Mµ ·1

2ACK s® »EC =

1

2s® »BD = ·DCB

Nªn · ·BCD BAC

Dùng tia Cy sao cho · ·BCy BAC .Khi ®ã, D lµ giao ®iÓm cña »AB vµ Cy.

Víi gi¶ thiÕt »AB > »BC th× ·BCA > ·BAC > ·BDC . D AB . VËy ®iÓm D x¸c ®Þnh nh trªn lµ ®iÓm cÇn t×m.

§Ò 11

C©u 1: a) X¸c ®Þnh x R ®Ó biÓu thøc :A = xx

xx

1

11

2

2 Lµ mét sè tù nhiªn

b. Cho biÓu thøc: P = 22

2

12

zzx

z

yyz

y

xxy

xBiÕt x.y.z = 4 , tÝnh

P . C©u 2:Cho çc ®iÓm A(-2;0) ; B(0;4) ; C(1;1) ; D(-3;2)

a. Chøng minh 3 ®iÓm A, B ,D th¼ng hµng; 3 ®iÓm A, B, C kh«ng th¼ng hµng. b. TÝnh diÖn tÝch tam gi¸c ABC.

C©u3 Gi¶i ph¬ng tr×nh: 521 3 xx

C©u 4 Cho ®êng trßn (O;R) vµ mét ®iÓm A sao cho OA = R 2 . VÏ çc tiÕp tuyÕn AB, AC víi ®êng trßn. Mét gãc xOy = 450 c¾t ®o¹n th¼ng AB vµ AC lÇn lît t¹i D vµ E. Chøng minh r»ng: a.DE lµ tiÕp tuyÕn cña ®êng trßn ( O ).

b. RDER 3

2

®¸p ¸n C©u 1: a.

A = xxxxxxxxx

xxxx 2)1(1

)1).(1(

11 22

22

22

A lµ sè tù nhiªn -2x lµ sè tù nhiªn x = 2

k

(trong ®ã k Z vµ k 0 ) b.§iÒu kiÖn x¸c ®Þnh: x,y,z 0, kÕt hpä víi x.y.z = 4 ta ®îc x, y, z > 0 vµ

2xyz

Nh©n c¶ tö vµ mÉu cña h¹ng tö thø 2 víi x ; thay 2 ë mÉu cña h¹ng tö thø 3 bëi xyz

ta ®îc:

P = 12

2

2(

2

22

xxy

xyx

xyxz

z

xxy

xy

xxy

x (1®)

1P v× P > 0 C©u 2: a.§êng th¼ng ®i qua 2 ®iÓm A vµ B cã d¹ng y = ax + b §iÓm A(-2;0) vµ B(0;4) thuéc ®êng th¼ng AB nªn b = 4; a = 2 VËy ®êng th¼ng AB lµ y = 2x + 4.

86

§iÓm C(1;1) cã to¹ ®é kh«ng tho¶ m·n y = 2x + 4 nªn C kh«ng thuéc ®êng th¼ng AB A, B, C kh«ng th¼ng hµng. §iÓm D(-3;2) cã to¹ ®é tho¶ m·n y = 2x + 4 nªn ®iÓm D thuéc ®êng th¼ng AB A,B,D th¼ng hµn b.Ta cã : AB2 = (-2 – 0)2 + (0 – 4)2 =20 AC2 = (-2 – 1)2 + (0 –1)2 =10 BC2 = (0 – 1)2 + (4 – 1)2 = 10 AB2 = AC2 + BC2 ABC vu«ng t¹i C

VËy SABC = 1/2AC.BC = 510.102

1 ( ®¬n vÞ diÖn tÝch )

C©u 3: §kx® x1, ®Æt vxux 3 2;1 ta cã hÖ ph¬ng tr×nh:

1

532 vu

vu

Gi¶i hÖ ph¬ng tr×nh b»ng ph¬ng ph¸p thÕ ta ®îc: v = 2 x = 10. C©u 4

a.¸p dông ®Þnh lÝ Pitago tÝnh ®îc AB = AC = R ABOC lµ h×nh vu«ng (0.5®) KÎ b¸n kÝnh OM sao cho BOD = MOD MOE = EOC (0.5®) Chøng minh BOD = MOD

OMD = OBD = 900 T¬ng tù: OME = 900 D, M, E th¼ng hµng. Do ®ã DE lµ tiÕp tuyÕn cña ®êng trßn (O). b.XÐt ADE cã DE < AD +AE mµ DE = DB + EC 2ED < AD +AE +DB + EC hay 2DE < AB + AC = 2RDE < R Ta cã DE > AD; DE > AE ; DE = DB + EC

Céng tõng vÕ ta ®îc: 3DE > 2R DE > 3

2R

VËy R > DE > 3

2R

§Ò 12

C©u 1: Cho hµm sè f(x) = 442 xx

a) TÝnh f(-1); f(5)

b) T×m x ®Ó f(x) = 10

c) Rót gän A = 4

)(2 x

xf khi x 2


B

M A

O

C

D

E

87

)3)(72()72)(3(

)4)(2()2(

yxyx

yxyx

C©u 3: Cho biÓu thøc

A =

1:

1

1

1

1

x

xx

x

x

x

xx víi x > 0 vµ x 1

a) Rót gän A

2) T×m gi¸ trÞ cña x ®Ó A = 3

C©u 4: Tõ ®iÓm P n»m ngoµi ®êng trßn t©m O b¸n kÝnh R, kÎ hai tiÕp tuyÕn PA; PB.

Gäi H lµ ch©n ®êng vu«ng gãc h¹ tõ A ®Õn ®êng kÝnh BC.

a) Chøng minh r»ng PC c¾t AH t¹i trung ®iÓm E cña AH

b) Gi¶ sö PO = d. TÝnh AH theo R vµ d.

C©u 5: Cho ph¬ng tr×nh 2x2 + (2m - 1)x + m - 1 = 0

Kh«ng gi¶i ph¬ng tr×nh, t×m m ®Ó ph¬ng tr×nh cã hai nghiÖm ph©n biÖt x1; x2 tháa

m·n: 3x1 - 4x2 = 11

®¸p ¸n

C©u 1

a) f(x) = 2)2(44 22 xxxx

Suy ra f(-1) = 3; f(5) = 3

b)

8

12

102

10210)(

x

x

x

xxf

c) )2)(2(

2

4

)(2

xx

x

x

xfA

Víi x > 2 suy ra x - 2 > 0 suy ra 2

1

xA

Víi x < 2 suy ra x - 2 < 0 suy ra 2

1

xA

C©u 2

2y

-2x

0

4

2167221762

8422

)3)(72()72)(3(

)4)(2()2(

yx

yx

xyxyxyxy

xyxyxxy

yxyx

yxyx

88

C©u 3a) Ta cã: A =

1:

1

1

1

1

x

xx

x

x

x

xx

=

11

)1(:

1

1

)1)(1(

)1)(1(

x

x

x

xx

x

x

xx

xxx

=

1:

1

1

1

1

x

xxx

x

x

x

xx

= 1

:1

11

x

x

x

xxx

= 1

:1

2

x

x

x

x =

x

x

x

x 1

1

2

=

x

x2

b) A = 3 => x

x2 = 3 => 3x + x - 2 = 0 => x = 2/3

C©u 4

a) Do HA // PB (Cïng vu«ng gãc víi BC)

b) nªn theo ®Þnh lý Ta let ¸p dông cho tam gi¸c CPB ta cã

CB

CH

PB

EH ; (1)

MÆt kh¸c, do PO // AC (cïng vu«ng gãc víi AB)

=> POB = ACB (hai gãc ®ång vÞ)

=> AHC POB

Do ®ã: OB

CH

PB

AH (2)

Do CB = 2OB, kÕt hîp (1) vµ (2) ta suy ra AH = 2EH hay E lµ trug ®iÓm cña

AH.

O

B C

H

E

A

P

89

b) XÐt tam gi¸c vu«ng BAC, ®êng cao AH ta cã AH2 = BH.CH = (2R - CH).CH

Theo (1) vµ do AH = 2EH ta cã

.)2(2PB

AH.CB

2PB

AH.CBAH2 R

AH2.4PB2 = (4R.PB - AH.CB).AH.CB

4AH.PB2 = 4R.PB.CB - AH.CB2

AH (4PB2 +CB2) = 4R.PB.CB

2

222

222

222

2222

d

Rd.2.R

4R)R4(d

Rd.8R

(2R)4PB

4R.2R.PB

CB4.PB

4R.CB.PBAH

C©u 5 (1®)

§Ó ph¬ng tr×nh cã 2 nghiÖm ph©n biÖt x1 ; x2 th× > 0

<=> (2m - 1)2 - 4. 2. (m - 1) > 0

Tõ ®ã suy ra m 1,5 (1)

MÆt kh¸c, theo ®Þnh lý ViÐt vµ gi¶ thiÕt ta cã:

114x3x

2

1m.xx

2

12mxx

21

21

21

118m-26

77m4

7

4m-133

8m-26

77mx

7

4m-13x

1

1

Gi¶i ph¬ng tr×nh 118m-26

77m4

7

4m-133

ta ®îc m = - 2 vµ m = 4,125 (2)

§èi chiÕu ®iÒu kiÖn (1) vµ (2) ta cã: Víi m = - 2 hoÆc m = 4,125 th× ph¬ng tr×nh ®· cho cã hai nghiÖm ph©n biÖt t

§Ò 13 C©u I : TÝnh gi¸ trÞ cña biÓu thøc:

A = 53

1

+

75

1

+

97

1

+ .....+

9997

1

B = 35 + 335 + 3335 + ..... + 399

35.....3333sè

C©u II :Ph©n tÝch thµnh nh©n tö : 1) X2 -7X -18

90

2) (x+1) (x+2)(x+3)(x+4) 3) 1+ a5 + a10

C©u III : 1) Chøng minh : (ab+cd)2 (a2+c2)( b2 +d2) 2) ¸p dông : cho x+4y = 5 . T×m GTNN cña biÓu thøc : M= 4x2 + 4y2

C©u 4 : Cho tam gi¸c ABC néi tiÕp ®êng trßn (O), I lµ trung ®iÓm cña BC, M lµ mét ®iÓm trªn ®o¹n CI ( M kh¸c C vµ I ). §êng th¼ng AM c¾t (O) t¹i D, tiÕp tuyÕn cña ®êng trßn ngo¹i tiÕp tam gi¸c AIM t¹i M c¾t BD vµ DC t¹i P vµ Q.

a) Chøng minh DM.AI= MP.IB

b) TÝnh tØ sè : MQ

MP

C©u 5:

Cho P = x

xx

1

342

T×m ®iÒu kiÖn ®Ó biÓu thøc cã nghÜa, rót gän biÓu thøc.

®¸p ¸n

C©u 1 :

1) A = 53

1

+

75

1

+

97

1

+ .....+

9997

1

= 2

1( 35 + 57 + 79 + .....+ 9799 ) =

2

1( 399 )

2) B = 35 + 335 + 3335 + ..... + 399

35.....3333sè

=

=33 +2 +333+2 +3333+2+.......+ 333....33+2 = 2.99 + ( 33+333+3333+...+333...33)

= 198 + 3

1( 99+999+9999+.....+999...99)

198 + 3

1( 102 -1 +103 - 1+104 - 1+ ....+10100 – 1) = 198 – 33 +

B =

27

1010 2101

+165

C©u 2: 1)x2 -7x -18 = x2 -4 – 7x-14 = (x-2)(x+2) - 7(x+2) = (x+2)(x-9) (1®)

2)(x+1)(x+2)(x+3)(x+4) -3= (x+1)(x+4)(x+2)(x+3)-3

= (x2+5x +4)(x2 + 5x+6)-3= [x2+5x +4][(x2 + 5x+4)+2]-3 = (x2+5x +4)2 + 2(x2+5x +4)-3=(x2+5x +4)2 - 1+ 2(x2+5x +4)-2

= [(x2+5x +4)-1][(x2+5x +4)+1] +2[(x2+5x +4)-1] = (x2+5x +3)(x2+5x +7) 3) a10+a5+1

= a10+a9+a8+a7+a6 + a5 +a5+a4+a3+a2+a +1 - (a9+a8+a7 )- (a6 + a5 +a4)- ( a3+a2+a ) = a8(a2 +a+1) +a5(a2 +a+1)+ a3(a2 +a+1)+ (a2 +a+1)-a7(a2 +a+1)

-a4(a2 +a+1)-a(a2 +a+1) =(a2 +a+1)( a8-a7+ a5 -a4+a3 - a +1)

C©u 3: 4®

91

1) Ta cã : (ab+cd)2 (a2+c2)( b2 +d2) <=> a2b2+2abcd+c2d2 a2b2+ a2d2 +c2b2 +c2d2 <=> 0 a2d2 - 2cbcd+c2b2 <=> 0 (ad - bc)2 (®pcm ) DÊu = x·y ra khi ad=bc. 2) ¸p dông h»ng ®¼ng thøc trªn ta cã : 52 = (x+4y)2 = (x. + 4y) (x2 + y2) )161( =>

x2 + y2 17

25 => 4x2 + 4y2

17

100dÊu = x·y ra khi x=

17

5 , y =

17

20 (2®)

C©u 4 : 5® Ta cã : gãc DMP= gãc AMQ = gãc AIC. MÆt kh¸c gãc ADB = gãc BCA=>

MPD ®ång d¹ng víi ICA => IA

MP

CI

DM => DM.IA=MP.CI hay DM.IA=MP.IB (1).

Ta cã gãc ADC = gãc CBA, Gãc DMQ = 1800 - AMQ=1800 - gãc AIM = gãc BIA. Do ®ã DMQ ®ång d¹ng víi BIA =>

IA

MQ

BI

DM => DM.IA=MQ.IB (2)

Tõ (1) vµ (2) ta suy ra MQ

MP = 1

C©u 5 §Ó P x¸c ®Þnh th× : x2-4x+3 0 vµ 1-x >0 Tõ 1-x > 0 => x < 1 MÆt kh¸c : x2-4x+3 = (x-1)(x-3), V× x < 1 nªn ta cã : (x-1) < 0 vµ (x-3) < 0 tõ ®ã suy ra tÝch cña (x-1)(x-3) > 0 VËy víi x < 1 th× biÓu thøc cã nghÜa. Víi x < 1 Ta cã :

P = x

xx

1

342

= xx

xx

3

1

)3)(1(

§Ò 14

C©u 1 : a. Rót gän biÓu thøc . 22

1

111

aaA Víi a > 0.

b. TÝnh gi¸ trÞ cña tæng. 222222 100

1

99

11...

3

1

2

11

2

1

1

11 B

C©u 2 : Cho pt 012 mmxx

a. Chøng minh r»ng pt lu«n lu«n cã nghiÖm víi m .

b. Gäi 21 , xx lµ hai nghiÖm cña pt. T×m GTLN, GTNN cña bt.

12

32

21

2

2

2

1

21

xxxx

xxP

C©u 3 : Cho 1,1 yx Chøng minh.

92

xyyx

1

2

1

1

1

122

C©u 4 Cho ®êng trßn t©m o vµ d©y AB. M lµ ®iÓm chuyÓn ®éng trªn ®êng trßn,

tõM kÎ MH AB (H AB). Gäi E vµ F lÇn lît lµ h×nh chiÕu vu«ng gãc cña H trªn MA vµ MB. Qua M kÎ ®êng th¼ng vu«ng gãc víi Ì c¾t d©y AB t¹i D.

1. Chøng minh r»ng ®êng th¼ng MD lu«n ®i qua 1 ®iÓm cè ®Þnh khi M thay ®æi trªn ®êng trßn.

2. Chøng minh.

BH

AD

BD

AH

MB

MA.

2

2

Híng dÉn

C©u 1 a. B×nh ph¬ng 2 vÕ 1

12

aa

aaA (V× a > 0).

c. ¸p dông c©u a.

100

9999

100

1100

1

111

B

aaA

C©u 2 a. : cm m 0 B (2 ®) ¸p dông hÖ thøc Viet ta cã:

121

21

mxx

mxx

2

122

m

mP (1) T×m ®k ®Î pt (1) cã nghiÖm theo Èn.

11

22

1

12

1

mGTNN

mGTLN

P

C©u 3 : ChuyÓn vÕ quy ®ång ta ®îc.

b®t

0

1111 22

xyy

yxy

xyx

xyx

012

xyyx ®óng v× 1xy C©u 4: a - KÎ thªm ®êng phô. - Chøng minh MD lµ ®êng kÝnh cña (o) => ........ b.

Gäi E', F' lÇn lît lµ h×nh chiÕu cña D trªn MA vµ MB. §Æt HE = H1

M

o E'

E

A

F

F'

B

I

D

H

93

HF = H2

1..

...

22

21

MBhHF

MAhHE

BH

AD

BD

AH

HEF ∞ '' EDF hHEhHF .. 2

Thay vµo (1) ta cã: BH

AD

BD

AH

MB

MA.

2

2

§Ò 15

C©u 1: Cho biÓu thøc D =

ab

ba

ab

ba

11:

ab

abba

1

21

a) T×m ®iÒu kiÖn x¸c ®Þnh cña D vµ rót gän D

b) TÝnh gi¸ trÞ cña D víi a = 32

2

c) T×m gi¸ trÞ lín nhÊt cña D

C©u 2: Cho ph¬ng tr×nh 32

2

x2- mx +

32

2

m2 + 4m - 1 = 0 (1)

a) Gi¶i ph¬ng tr×nh (1) víi m = -1

b) T×m m ®Ó ph¬ng tr×nh (1) cã 2 nghiÖm tho· m·n 21

21

11xx

xx

C©u 3: Cho tam gi¸c ABC ®êng ph©n gi¸c AI, biÕt AB = c, AC = b,

)90(ˆ 0 A Chøng minh r»ng AI = cb

Cosbc

2

.2

(Cho Sin2 CosSin2 )

C©u 4: Cho ®êng trßn (O) ®êng kÝnh AB vµ mét ®iÓm N di ®éng trªn mét nöa

®êng trßn sao cho .BNAN

VÔ vµo trong ®êng trßn h×nh vu«ng ANMP.

a) Chøng minh r»ng ®êng th¼ng NP lu«n ®i qua ®iÓm cè ®Þnh Q.

b) Gäi I lµ t©m ®êng trßn néi tiÕp tam gi¸c NAB. Chøng minh tø gi¸c ABMI

néi tiÕp.

c) Chøng minh ®êng th¼ng MP lu«n ®i qua mét ®iÓm cè ®Þnh.

C©u 5: Cho x,y,z; xy + yz + zx = 0 vµ x + y + z = -1

H·y tÝnh gi¸ trÞ cña:

B = x

xyz

y

zx

z

xy

§¸p ¸n

94 c

ba

I

CB

A

2

2

C©u 1: a) - §iÒu kiÖn x¸c ®Þnh cña D lµ

1

0

0

ab

b

a

- Rót gän D

D =

ab

aba

1

22:

ab

abba

1

D = 1

2

a

a

b) a = 13)13(1

32(2

32

2 2

a

VËy D = 34

232

132

2

322

c) ¸p dông bÊt ®¼ng thøc cauchy ta cã 112 Daa

VËy gi¸ trÞ cña D lµ 1

C©u 2: a) m = -1 ph¬ng tr×nh (1) 09202

9

2

1 22 xxxx

101

101

2

1

x

x

b) §Ó ph¬ng tr×nh 1 cã 2 nghiÖm th× 4

10280 mm (*)

+ §Ó ph¬ng tr×nh cã nghiÖm kh¸c 0

234

234

0142

1

2

1

2

m

m

mm

(*)

+

01

00)1)((

11

21

21

212121

21 xx

xxxxxxxx

xx

194

194

0

038

022

m

m

m

mm

m

KÕt hîp víi ®iÒu kiÖn (*)vµ (**) ta ®îc m = 0 vµ 194 m C©u 3:

+ ;2

.2

1 cSinAIS ABI

+ ;2

.2

1 bSinAIS AIC

+ ;2

1bcSinS ABC

AICABIABC SSS

95

1

2

1

2

1

F

I

Q

P

N

M

BA

cb

bcCos

cbSin

bcSinAI

cbAISinbcSin

22

)(2

)(2

C©u 4: a) 21ˆˆ NN Gäi Q = NP )(O

QA QB ) )

Suy ra Q cè ®Þnh

b) )ˆ(ˆˆ211 AMA

Tø gi¸c ABMI néi tiÕp c) Trªn tia ®èi cña QB lÊy ®iÓm F sao cho QF = QB, F cè ®Þnh. Tam gi¸c ABF cã: AQ = QB = QF ABF vu«ng t¹i A 00 45ˆ45ˆ BFAB L¹i cã 1

01

ˆ45ˆ PAFBP Tø gi¸c APQF néi tiÕp

090ˆˆ FQAFPA

Ta cã: 000 1809090ˆˆ MPAFPA M1,P,F Th¼ng hµng

C©u 5: BiÕn ®æi B = xyz

222

111

zyx= 2

2. xyz

xyz

§Ò 16

Bµi 1: Cho biÓu thøc A = 2

4( 1) 4( 1) 1. 1

14( 1)

x x x x

xx x

a) T×m ®iÒu kiÖn cña x ®Ó A x¸c ®Þnh b) Rót gän A

Bµi 2 : Trªn cïng mét mÆt ph¼ng täa ®é cho hai ®iÓm A(5; 2) vµ B(3; -4) a) ViÕt ph¬ng t×nh ®êng th¼ng AB b) X¸c ®Þnh ®iÓm M trªn trôc hoµnh ®Ó tam gi¸c MAB c©n t¹i M

Bµi 3 : T×m tÊt c¶ çc sè tù nhiªn m ®Ó ph¬ng tr×nh Èn x sau: x2 - m2x + m + 1 = 0

cã nghiÖm nguyªn. Bµi 4 : Cho tam gi¸c ABC. Ph©n gi¸c AD (D BC) vÏ ®êng trßn t©m O qua A vµ D ®ång thêi tiÕp xóc víi BC t¹i D. §êng trßn nµy c¾t AB vµ AC lÇn lît t¹i E vµ F. Chøng minh

a) EF // BC b) Çc tam gi¸c AED vµ ADC; µD vµ ABD lµ çc tam gi¸c ®ång d¹ng. c) AE.AC = µ.AB = AC2

96

Bµi 5 : Cho çc sè d¬ng x, y tháa m·n ®iÒu kiÖn x2 + y2 x3 + y4. Chøng minh:

x3 + y3 x2 + y2 x + y 2

97

§¸p ¸n Bµi 1: a) §iÒu kiÖn x tháa m·n

2

1 0

4( 1) 0

4( 1) 0

4( 1) 0

x

x x

x x

x x

1

1

1

2

x

x

x

x

x > 1 vµ x 2

KL: A x¸c ®Þnh khi 1 < x < 2 hoÆc x > 2 b) Rót gän A

A = 2 2

2

( 1 1) ( 1 1) 2.

1( 2)

x x x

xx

A = 1 1 1 1 2

.2 1

x x x

x x

Víi 1 < x < 2 A = 2

1 x

Víi x > 2 A = 2

1x

KÕt luËn

Víi 1 < x < 2 th× A = 2

1 x

Víi x > 2 th× A = 2

1x

Bµi 2: a) A vµ B cã hoµnh ®é vµ tung ®é ®Òu kh¸c nhau nªn ph¬ng tr×nh ®êng th¼ng AB cã d¹ng y = ax + b

A(5; 2) AB 5a + b = 2 B(3; -4) AB 3a + b = -4 Gi¶i hÖ ta cã a = 3; b = -13 VËy ph¬ng tr×nh ®êng th¼ng AB lµ y = 3x - 13

b) Gi¶ sö M (x, 0) xx’ ta cã

MA = 2 2( 5) (0 2)x

MB = 2 2( 3) (0 4)x

MAB c©n MA = MB 2 2( 5) 4 ( 3) 16x x

(x - 5)2 + 4 = (x - 3)2 + 16 x = 1 KÕt luËn: §iÓm cÇn t×m: M(1; 0)

Bµi 3:

Ph¬ng tr×nh cã nghiÖm nguyªn khi = m4 - 4m - 4 lµ sè chÝnh ph¬ng Ta l¹i cã: m = 0; 1 th× < 0 lo¹i m = 2 th× = 4 = 22 nhËn m 3 th× 2m(m - 2) > 5 2m2 - 4m - 5 > 0 - (2m2 - 2m - 5) < < + 4m + 4

98

m4 - 2m + 1 < < m4 (m2 - 1)2 < < (m2)2 kh«ng chÝnh ph¬ng VËy m = 2 lµ gi¸ trÞ cÇn t×m.

Bµi 4:

a) · · »1( )

2EAD EFD sdED (0,25)

· · »1( )

2FAD FDC sdFD (0,25)

mµ · · · ·EDA FAD EFD FDC (0,25) EF // BC (2 gãc so le trong b»ng nhau)

b) AD lµ ph©n gi¸c gãc BAC nªn » »DE DF

s® · 1

2ACD s®( ¼ »AED DF ) =

1

2s® »AE = s® ·ADE

do ®ã · ·ACD ADE vµ · ·EAD DAC DADC (g.g)

T¬ng tù: s® · » ¼ »1 1( )

2 2ADF sd AF sd AFD DF = ¼ » ·1

( )2

sd AFD DE sd ABD · ·ADF ABD

do ®ã AFD ~ (g.g c) Theo trªn:

+ AED ~ DB

AE AD

AD AC hay AD2 = AE.AC (1)

+ ADF ~ ABD AD AF

AB AD

AD2 = AB.AF (2) Tõ (1) vµ (2) ta cã AD2 = AE.AC = AB.AF

Bµi 5 (1®): Ta cã (y2 - y) + 2 0 2y3 y4 + y2

(x3 + y2) + (x2 + y3) (x2 + y2) + (y4 + x3) mµ x3 + y4 x2 + y3 do ®ã

x3 + y3 x2 + y2 (1) + Ta cã: x(x - 1)2 0: y(y + 1)(y - 1)2 0

x(x - 1)2 + y(y + 1)(y - 1)2 0 x3 - 2x2 + x + y4 - y3 - y2 + y 0 (x2 + y2) + (x2 + y3) (x + y) + (x3 + y4)

mµ x2 + y3 x3 + y4 x2 + y2 x + y (2)

vµ (x + 1)(x - 1) 0. (y - 1)(y3 -1) 0 x3 - x2 - x + 1 + y4 - y - y3 + 1 0

(x + y) + (x2 + y3) 2 + (x3 + y4) mµ x2 + y3 x3 + y4

x + y 2 Tõ (1) (2) vµ (3) ta cã:

FE

A

BC

D

99

x3 + y3 x2 + y2 x + y 2 §Ò 14 C©u 1: x- 4(x-1) + x + 4(x-1) 1 cho A= ( 1 - ) x2- 4(x-1) x-1 a/ rót gän biÓu thøc A. b/ T×m gi¸ trÞ nguyªn cña x ®Ó A cã gi¸ trÞ nguyªn. C©u 2: X¸c ®Þnh çc gi¸ trÞ cña tham sè m ®Ó ph¬ng tr×nh x2-(m+5)x-m+6 =0 Cã 2 nghiÖm x1 vµ x2 tho· m·n mét trong 2 ®iÒu kiÖn sau: a/ NghiÖm nµy lín h¬n nghiÖm kia mét ®¬n vÞ. b/ 2x1+3x2=13 C©u 3T×m gi¸ trÞ cña m ®Ó hÖ ph¬ng tr×nh mx-y=1 m3x+(m2-1)y =2 v« nghiÖm, v« sè nghiÖm. C©u 4: t×m max vµ min cña biÓu thøc: x2+3x+1 x2+1 C©u 5: Tõ mét ®Ønh A cña h×nh vu«ng ABCD kÎ hai tia t¹o víi nhau mét gãc 450. Mét tia c¾t c¹nh BC t¹i E c¾t ®êng chÐo BD t¹i P. Tia kia c¾t c¹nh CD t¹i F vµ c¾t ®êng chÐo BD t¹i Q. a/ Chøng minh r»ng 5 ®iÓm E, P, Q, F vµ C cïng n»m trªn mét ®êng trßn. b/ Chøng minh r»ng: SAEF=2SAQP c/ KÎ trung trùc cña c¹nh CD c¾t AE t¹i M tÝnh sè ®o gãc MAB biÕt CPD=CM

híng dÉn C©u 1: a/ BiÓu thøc A x¸c ®Þnh khi x≠2 vµ x>1 ( x-1 -1)2+ ( x-1 +1)2 x-2 A= . ( ) (x-2)2 x-1 x- 1 -1 + x-1 + 1 x- 2 2 x- 1 2 = . = = x-2 x-1 x-1 x-1 b/ §Ó A nguyªn th× x- 1 lµ íc d¬ng cña 1 vµ 2 * x- 1 =1 th× x=0 lo¹i * x- 1 =2 th× x=5 vËy víi x = 5 th× A nhËn gi¸ trÞ nguyªn b»ng 1 C©u 2: Ta cã ∆x = (m+5)2-4(-m+6) = m2+14m+1≥0 ®Ó ph¬ng tr×nhcã hai nghiÖmph©n biÖt khi vµchØ khi m≤-7-4 3 vµ m≥-7+4 3 (*) a/ Gi¶ sö x2>x1 ta cã hÖ x2-x1=1 (1) x1+x2=m+5 (2) x1x2 =-m+6 (3)

100

11

Q

PM

F

E

D C

BA

Gi¶i hÖ ta®îc m=0 vµ m=-14 tho· m·n (*) b/ Theo gi¶ thiÕt ta cã: 2x1+3x2 =13(1’) x1+x2 = m+5(2’) x1x2 =-m+6 (3’) gi¶i hÖ ta ®îc m=0 vµ m= 1 Tho¶ m·n (*) C©u 3: *§Ó hÖ v« nghiÖm th× m/m3=-1/(m2-1) ≠1/2 3m3-m=-m3 m2(4m2- 1)=0 m=0 m=0

3m2-1≠-2 3m2≠-1 m=±1/2 m=±1/2

∀m *HÖv« sè nghiÖm th×: m/m3=-1/(m2-1) =1/2 3m3-m=-m3 m=0

3m2-1= -2 m=±1/2 V« nghiÖm Kh«ng cã gi¸ trÞ nµo cña m ®Ó hÖ v« sè nghiÖm.

C©u 4: Hµm sè x¸c ®Þnh víi ∀x(v× x2+1≠0) x2+3x+1 gäi y0 lµ 1 gi¸ trÞcña hµmph¬ng tr×nh: y0= x2+1 (y0-1)x2-6x+y0-1 =0 cã nghiÖm *y0=1 suy ra x = 0 y0 ≠ 1; ∆’=9-(y0-1)2≥0 (y0-1)2

≤ 9 suy ra -2 ≤ y0 ≤ 4 VËy: ymin=-2 vµ y max=4 C©u 5: ( Häc sinh tù vÏ h×nh) Gi¶i a/ A1 vµ B1 cïng nh×n ®o¹n QE díi mét gãc 450 tø gi¸c ABEQ néi tiÕp ®îc. FQE = ABE =1v. chøng minh t¬ng tù ta cã FBE = 1v Q, P, C cïng n»m trªn ®êng trßn ®êng kinh EF. b/ Tõ c©u a suy ra ∆AQE vu«ng c©n.

AE

AQ = 2 (1)

t¬ng tù ∆ APF còng vu«ng c©n

AF

AB = 2 (2)

tõ (1) vµ (2) AQP ~ AEF (c.g.c)

AEF

AQP

S

S = ( 2 )2 hay SAEF = 2SAQP

c/ §Ó thÊy CPMD néi tiÕp, MC=MD vµ APD=CPD MCD= MPD=APD=CPD=CMD MD=CD ∆MCD ®Òu MPD=600 mµ MPD lµ gãc ngoµi cña ∆ABM ta cã APB=450 vËy MAB=600-450=150

101

§Ò 17

Bµi 1: Cho biÓu thøc M =x

x

x

x

xx

x

2

3

3

12

65

92

a. T×m ®iÒu kiÖn cña x ®Ó M cã nghÜa vµ rót gän M b. T×m x ®Ó M = 5 c. T×m x Z ®Ó M Z. bµi 2: a) T×m x, y nguyªn d¬ng tho· m·n ph¬ng tr×nh 3x2

+10 xy + 8y2 =96 b)t×m x, y biÕt / x - 2005/ + /x - 2006/ +/y - 2007/+/x- 2008/ = 3

Bµi 3: a. Cho çc sè x, y, z d¬ng tho· m·n x

1 +

y

1+

z

1 = 4

Chøng ming r»ng: zyx 2

1 +

zyx 2

1 +

zyx 2

1

1

b. T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña biÓu thøc: B = 2

2 20062

x

xx (víi x 0 )

Bµi 4: Cho h×nh vu«ng ABCD. KÎ tia Ax, Ay sao cho yAx ˆ = 45 0 Tia Ax c¾t CB vµ BD lÇn lît t¹i E vµ P, tia Ay c¾t CD vµ BD lÇn lît t¹i F vµ Q a. Chøng minh 5 ®iÓm E; P; Q; F; C cïng n»m trªn mét ®êng trßn b. S AEF = 2 S APQ

KÎ ®êng trung trùc cña CD c¾t AE t¹i M. TÝnh sè ®o gãc MAB biÕt DPC ˆ = DMC ˆ Bµi 5: (1®)

Cho ba sè a, b , c kh¸c 0 tho· m·n: 0111

cba; H·y tÝnh P =

222 b

ac

a

bc

c

ac

®¸p ¸n

Bµi 1:M = x

x

x

x

xx

x

2

3

3

12

65

92

a.§K 9;4;0 xxx 0,5®

Rót gän M =

32

2123392

xx

xxxxx

BiÕn ®æi ta cã kÕt qu¶: M = 32

2

xx

xx M =

3

1

23

21

x

xM

xx

xx

1644

16

416

1551

351

53

15 M . b.

xx

x

xx

xx

x

x

102

c. M = 3

41

3

43

3

1

xx

x

x

x

Do M z nªn 3x lµ íc cña 4 3x nhËn çc gi¸ trÞ: -4; -2; -1; 1; 2; 4

49;25;16;4;1 x do 4x 49;25;16;1x

Bµi 2 a. 3x2 + 10xy + 8y2 = 96

<--> 3x2 + 4xy + 6xy + 8y2 = 96

<--> (3x2 + 6xy) + (4xy + 8y2) = 96

<--> 3x(x + 2y) + 4y(x +2y) = 96

<--> (x + 2y)(3x + 4y) = 96

Do x, y nguyªn d¬ng nªn x + 2y; 3x + 4y nguyen d¬ng vµ 3x + 4y > x + 2y 3

mµ 96 = 25. 3 cã çc íc lµ: 1; 2; 3; 4; 6; 8; 12; 24; 32; 48; 96 ®îc biÓu diÔn thµnh

tÝch 2 thõa sè kh«ng nhá h¬n 3 lµ: 96 = 3.32 = 4.24 = 6. 16 = 8. 12

L¹i cã x + 2y vµ 3x + 4y cã tÝch lµ 96 (Lµ sè ch½n) cã tæng 4x + 6y lµ sè ch¼n

do ®ã

2443

62

yx

yx HÖ PT nµy v« nghiÖm

HoÆc

1643

62

yx

yx

1

4

y

x

HoÆc

1243

82

yx

yx HÖ PT v« nghiÖm

VËy cÊp sè x, y nguyªn d¬ng cÇn t×m lµ (x, y) = (4, 1)

b. ta cã /A/ = /-A/ AA

Nªn /x - 2005/ + / x - 2006/ = / x - 2005/ + / 2008 - x/

3/3//20082005/ xx (1)

mµ /x - 2005/ + / x - 2006/ + / y - 2007/ + / x - 2008/ = 3 (2)

KÕt hîp (1 vµ (2) ta cã / x - 2006/ + / y - 2007/ 0 (3)

(3) s¶y ra khi vµ chØ khi

2007

2006

0/2007/

0/2006/

y

x

y

x

Bµi 3

a. Tríc hÕt ta chøng minh bÊt ®¼ng thøc phô

103

b. Víi mäi a, b thuéc R: x, y > 0 ta cã

(*)222

yx

ba

y

b

x

a

<-->(a2y + b2x)(x + y) xyba2

a2y2 + a2xy + b2 x2 + b2xy a2xy + 2abxy + b2xy

a2y2 + b2x2 2abxy

a2y2 – 2abxy + b2x2 0

(ay - bx)2 0 (**) bÊt ®¼ng thøc (**) ®óng víi mäi a, b, vµ x,y > 0

DÊu (=) x¶y ra khi ay = bx hay a b

x y

¸p dung bÊt ®¼ng thøc (*) hai lÇn ta cã

2 2 2 2 21 1 1 1 1 1 1 1

1 2 2 2 2 4 4 4 4

2 2x y z x y z x y x z x y x z

2 2 2 21 1 1 1

1 2 1 14 4 4 4

16x y x z x y z

T¬ng tù 1 1 1 2 1

2 16x y z x y z

1 1 1 1 2

2 16x y z x y z

Céng tõng vÕ çc bÊt ®¼ng thøc trªn ta cã:

1 1 1 1 2 1 1 1 1 2 1 1 1 1 2

2 2 2 16 16 16

1 4 4 4 4 1 1 1 1.4 1

16 16 4

x y z x y z x y z x y z x y z x y z

x y z x y z

V× 1 1 1

4x y z

2

2

2 20060

x xB x

x

Ta cã:x

xxB

x

xxB

2006

20062006.2200620062 22

2

2

2006

2005

2006

20052006200520062

2

2

22

x

x

x

xxB

104

V× (x - 2006)2 0 víi mäi x

x2 > 0 víi mäi x kh¸c 0

2

2

2006 2005 20050 2006

2006 2006 2006

xB B khix

x

Bµi 4a. 045EBQ EAQ EBAQ )) )

Y néi tiÕp; B̂ = 900 gãc AQE = 900 gãcEQF

= 900

T¬ng tù gãc FDP = gãc FAP = 450

Tø gi¸c FDAP néi tiÕp gãc D = 900 gãc APF = 900 gãc EPF = 900 .

0,25®

Çc ®iÓm Q, P,C lu«n nh×n díi 1gãc900 nªn 5 ®iÓm E, P, Q, F, C cïng n»m

trªn 1 ®êng trßn ®êng kÝnh EF 0,25®

b. Ta cã gãc APQ + gãc QPE = 1800 (2 gãc kÒ bï) gãc APQ = gãc AFE

Gãc AFE + gãc EPQ = 1800

Tam gi¸c APQ ®ång d¹ng víi tam gi¸c AEF (g.g)

2

2 1 12

22

APQ

APQ AEE

AEF

Sk S S

S

c. gãc CPD = gãc CMD tø gi¸c MPCD néi tiÕp gãc MCD = gãc CPD (cïng

ch¾n cung MD)

L¹i cã gãc MPD = gãc CPD (do BD lµ trung trùc cña AC)

gãc MCD = gãc MDC (do M thuéc trung trùc cña DC)

gãc CPD = gãcMDC = gãc CMD = gãcMCD tam gi¸c MDC ®Òu gãc CMD

= 600

tam gi¸c DMA c©n t¹i D (v× AD = DC = DM)

Vµ gãc ADM =gãcADC – gãcMDC = 900 – 600 = 300

gãc MAD = gãc AMD (1800 - 300) : 2 = 750

gãcMAB = 900 – 750 = 150

Bµi 5§Æt x = 1/a; y =1/b; z = 1/c x + y + z = 0 (v× 1/a = 1/b + 1/c = 0)

x = -(y + z)

x3 + y3 + z3 – 3 xyz = -(y + z)3 + y3 – 3xyz

-( y3 + 3y2 z +3 y2z2 + z3) + y3 + z3 – 3xyz = - 3yz(y + z + x) = - 3yz .0 = 0

Tõ x3 + y3 + z3 – 3xyz = 0 x3 + y3 + z3 = 3xyz

1/ a3 + 1/ b3 + 1/ c3 3 1/ a3 .1/ b3 .1/ c3 = 3/abc

105

Do ®ã P = ab/c2 + bc/a2 + ac/b2 = abc (1/a3 + 1/b3+ 1/c3) = abc.3/abc = 3

nÕu 1/a + 1/b + 1/c =o th× P = ab/c2 + bc/a2 + ac/b2 = 3

§Ò 19

Bµi 1Cho biÓu thøc A = 2

222 12)3(

x

xx + 22 8)2( xx

a. Rót gän biÓu thøc A b. T×m nh÷ng gi¸ trÞ nguyªn cña x sao cho biÓu thøc A còng cã gi¸ trÞ nguyªn. Bµi 2: (2 ®iÓm) Cho çc ®êng th¼ng: y = x-2 (d1) y = 2x – 4 (d2) y = mx + (m+2) (d3) a. T×m ®iÓm cè ®Þnh mµ ®êng th¼ng (d3 ) lu«n ®i qua víi mäi gi¸ trÞ cña m. b. T×m m ®Ó ba ®êng th¼ng (d1); (d2); (d3) ®ång quy . Bµi 3: Cho ph¬ng tr×nh x2 - 2(m-1)x + m - 3 = 0 (1) a. Chøng minh ph¬ng tr×nh lu«n cã 2 nghiÖm ph©n biÖt. b. T×m mét hÖ thøc liªn hÖ gi÷a hai nghiÖm cña ph¬ng tr×nh (1) mµ kh«ng phô thuéc vµo m. c. T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña P = x2

1 + x22 (víi x1, x2 lµ nghiÖm cña ph¬ng

tr×nh (1))

Bµi 4: Cho ®êng trßn (o) víi d©y BC cè ®Þnh vµ mét ®iÓm A thay ®æi vÞ trÝ trªn cung lín BC sao cho AC>AB vµ AC > BC . Gäi D lµ ®iÓm chÝnh gi÷a cña cung nhá BC. Çc tiÕp tuyÕn cña (O) t¹i D vµ C c¾t nhau t¹i E. Gäi P, Q lÇn lît lµ giao ®iÓm cña çc cÆp ®êng th¼ng AB víi CD; AD vµ CE. a. Chøng minh r»ng DE// BC b. Chøng minh tø gi¸c PACQ néi tiÕp c. Gäi giao ®iÓm cña çc d©y AD vµ BC lµ F

Chøng minh hÖ thøc: CE

1 =

CQ

1 +

CE

1

Bµi 5: Cho çc sè d¬ng a, b, c Chøng minh r»ng: 21

ac

c

cb

b

ba

a

®¸p ¸n Bµi 1: - §iÒu kiÖn : x 0

a. Rót gän: 4496 2

2

24

xxx

xxA

232

xx

x

106

- Víi x <0: x

xxA

322 2

- Víi 0<x 2: x

xA

32

- Víi x>2 : x

xxA

322 2

b. T×m x nguyªn ®Ó A nguyªn:

A nguyªn <=> x2 + 3 x

<=> 3 x => x = 3;1;3;1

Bµi 2: a. (d1) : y = mx + (m +2) <=> m (x+1)+ (2-y) = 0 §Ó hµm sè lu«n qua ®iÓm cè ®Þnh víi mäi m

02

01

y

x=.>

2

1

y

x

VËy N(-1; 2) lµ ®iÓm cè ®Þnh mµ (d3) ®i qua b. Gäi M lµ giao ®iÓm (d1) vµ (d2) . Täa ®é M lµ nghiÖm cña hÖ

42

2

xy

xy =>

0

2

y

x

VËy M (2; 0) . NÕu (d3) ®i qua M(2,0) th× M(2,0) lµ nghiÖm (d3)

Ta cã : 0 = 2m + (m+2) => m= -3

2

VËy m = -3

2 th× (d1); (d2); (d3) ®ång quy

Bµi 3: a. ' = m2 –3m + 4 = (m -

2

3)2 +

4

7>0 m.

VËy ph¬ng tr×nh cã 2 nghiÖm ph©n biÖt

b. Theo ViÐt:

3

)1(2

21

21

mxx

mxx =>

622

22

21

21

mxx

mxx

<=> x1+ x2 – 2x1x2 – 4 = 0 kh«ng phô thuéc vµo m a. P = x1

2 + x12 = (x1 + x2)

2 - 2x1x2 = 4(m - 1)2 – 2 (m-3)

= (2m - 2

5)2 + m

4

15

4

15

VËyPmin = 4

15víi m =

4

5

Bµi 4: VÏ h×nh ®óng – viÕt gi¶ thiÕt – kÕt luËn

a. S®CDE = 2

1S® DC =

2

1S® BD = BCD

=> DE// BC (2 gãc vÞ trÝ so le)

b. APC = 2

1 s® (AC - DC) = AQC

=> APQC néi tiÕp (v× APC = AQC cïng nh×n ®oan AC)

107

c.Tø gi¸c APQC néi tiÕp CPQ = CAQ (cïng ch¾n cung CQ) CAQ = CDE (cïng ch¾n cung DC) Suy ra CPQ = CDE => DE// PQ

Ta cã: PQ

DE =

CQ

CE (v× DE//PQ) (1)

FC

DE =

QC

QE (v× DE// BC) (2)

Céng (1) vµ (2) : 1

CQ

CQ

CQ

QECE

FC

DE

PQ

DE

=> DEFCPQ

111 (3)

ED = EC (t/c tiÕp tuyÕn) tõ (1) suy ra PQ = CQ

Thay vµo (3) : CECFCQ

111

Bµi 5:Ta cã: cba

a

<

ab

a

<

cba

ca

(1)

cba

b

<

cb

b

<

cba

ab

(2)

cba

c

<

ac

c

<

cba

bc

(3)

Céng tõng vÕ (1),(2),(3) :

1 < ba

a

+

cb

b

+

ac

c

< 2

§Ò 20

Bµi 1: (2®)

Cho biÓu thøc:

P = 11

12:

1

1

43

1

x

xx

x

x

xx

x

a) Rót gän P.

b) T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña P.

108

Bµi 2: (2®) Mét ngêi ®ù ®Þnh ®i xe ®¹p tõ A ®Õn B çch nhau 20 km trong mét

thêi gian ®· ®Þnh. Sau khi ®i ®îc 1 giê víi vËn tèc dù ®Þnh, do ®êng khã ®i

nªn ngêi ®ã gi¶m vËn tèc ®i 2km/h trªn qu·ng ®êng cßn l¹i, v× thÕ ngêi ®ã

®Õn B chËm h¬n dù ®Þnh 15 phót. TÝnh vËn tèc dù ®Þnh cña ngêi ®i xe ®¹p.

Bµi 3: (1,5®) Cho hÖ ph¬ng tr×nh:

mmyx

ymx

12

32

a) Gi¶i hÖ ph¬ng tr×nh víi m = 3

b) T×m m ®Ó hÖ cã nghiÖm duy nhÊt tho¶ m·n x + y = 1

Bµi 4: (3®) Cho nöa ®êng trßn (O; R) ®êng kÝnh AB. §iÓm M tuú ý trªn nöa

®êng trßn. Gäi N vµ P lÇn lît lµ ®iÓm chÝnh gi÷a cña cung AM vµ cung MB.

AP c¾t BN t¹i I.

a) TÝnh sè ®o gãc NIP.

b) Gäi giao ®iÓm cña tia AN vµ tia BP lµ C; tia CI vµ AB lµ D.

Chøng minh tø gi¸c DOPN néi tiÕp ®îc.

c) T×m quü tÝch trung ®iÓm J cña ®o¹n OC khi M di ®éng trªn nöa trßn

trßn t©m O

Bµi 5: (1,5®) Cho hµm sè y = -2x2 (P) vµ ®êng th¼ng y = 3x + 2m – 5 (d)

a) T×m m ®Ó (d) c¾t (P) t¹i hai ®iÓm ph©n biÖt A vµ B. T×m to¹ ®é hai

®iÓm ®ã.

b) T×m quü tÝch chung ®iÓm I cña AB khi m thay ®æi.

---------------------------------------------------

(Häc sinh kh«ng ®îc sö dông bÊt cø tµi liÖu nµo)

§¸p ¸n

M«n: To¸n 9 Bµi 1: (2®)

a) (1,5®)

109

- Thùc hiÖn ®îc biÓu thøc trong ngoÆc b»ng: )4)(1(

)1(5

xx

x

0,75®

- Thùc hiÖn phÐp chia ®óng b»ng 4

5

x

0,25®

- Thùc hiÖn phÐp céng ®óng b»ng: 4

1

x

x

0,25® - §iÒu kiÖn ®óng: x 0; x 1

0,25® b) (0,5®)

- ViÕt P = 4

51

x lËp luËn t×m ®îc GTNN cña P = -1/4 khi x = 0

0,5® Bµi 2: (2®)

1) LËp ph¬ng tr×nh ®óng (1,25®) - Gäi Èn, ®¬n vÞ, ®k ®óng

0,25® - Thêi gian dù ®Þnh

0,25® - Thêi gian thùc tÕ

0,5® - LËp luËn viÕt ®îc PT ®óng

0,25® 2) G¶i ph¬ng tr×nh ®óng

0,5® 3) ®èi chiÕu kÕt qu¶ vµ tr¶ lêi ®óng

0,25® Bµi 3: (1,5®) a) Thay m = 3 vµ gi¶i hÖ ®óng: 1®

b) (0,5®) T×m m ®Ó hÖ cã nghiÖm duy nhÊt ®óng

0,25® T×m m ®Ó hÖ cã nghiÖm tho¶ m·n x + y = 1 vµ KL

0,25® Bµi 4: (3®) VÏ h×nh ®óng 0,25®

a) TÝnh ®îc sè ®o gãc NIP = 1350 0,75®

b) (1®) VÏ h×nh vµ C/m ®îc gãc NDP = 900

0,5®

110

Chøng minh ®îc tø gi¸c DOPN néi tiÕp ®îc. 0,5® c) (1®) + C/m phÇn thuËn

KÎ JE//AC, JF//BC vµ C/m ®îc gãc EJF = 450 0,25®

LËp luËn vµ kÕt luËn ®iÓm J: 0,25®

+ C/m phÇn ®¶o 0,25®

+ KÕt luËn quü tÝch 0,25®

Bµi 5: (1,5®) a) (1®) T×m ®îc ®iÒu kiÖn cña m ®Ó (d) c¾t (P) t¹i hai ®iÓm ph©n biÖt:

0,5® T×m ®îc to¹ ®é 2 ®iÓm A, B

0,5®

b) T×m ®îc quü tÝch trung ®iÓm I:

4

118

2

4

3

2

myyy

xxx

BAI

BAI

vµ kÕt luËn

0,5® Lu ý: hai lÇn thiÒu gi¶i thÝch hoÆc ®¬n vÞ trõ 0,25®

Ii, 100 ®Ò tù «n

M¤T Sè §Ò THI VµO THPT PH¢N BAN I, PhÇn 1 : Çc ®Ò thi vµo ban c¬ b¶n

§Ò sè 1 C©u 1 ( 3 ®iÓm ) Cho biÓu thøc :

22

2 12

1.)

1

1

1

1( x

x

xxA

1) T×m ®iÒu kiÖn cña x ®Ó biÓu thøc A cã nghÜa . 2) Rót gän biÓu thøc A . 3) Gi¶i ph¬ng tr×nh theo x khi A = -2 .

C©u 2 ( 1 ®iÓm ) Gi¶i ph¬ng tr×nh : 12315 xxx

111

C©u 3 ( 3 ®iÓm ) Trong mÆt ph¼ng to¹ ®é cho ®iÓm A ( -2 , 2 ) vµ ®êng th¼ng (D) : y = - 2(x +1) .

a) §iÓm A cã thuéc (D) hay kh«ng ? b) T×m a trong hµm sè y = ax2 cã ®å thÞ (P) ®i qua A . c) ViÕt ph¬ng tr×nh ®êng th¼ng ®i qua A vµ vu«ng gãc víi (D) .

C©u 4 ( 3 ®iÓm ) Cho h×nh vu«ng ABCD cè ®Þnh , cã ®é dµi c¹nh lµ a .E lµ ®iÓm ®i chuyÓn trªn ®o¹n CD ( E kh¸c D ) , ®êng th¼ng AE c¾t ®êng th¼ng BC t¹i F , ®êng th¼ng vu«ng gãc víi AE t¹i A c¾t ®êng th¼ng CD t¹i K .

1) Chøng minh tam gi¸c ABF = tam gi¸c ADK tõ ®ã suy ra tam gi¸c AFK vu«ng c©n .

2) Gäi I lµ trung ®iÓm cña FK , Chøng minh I lµ t©m ®êng trßn ®i qua A , C, F , K .

3) TÝnh sè ®o gãc AIF , suy ra 4 ®iÓm A , B , F , I cïng n»m trªn mét ®êng trßn .

§Ò sè 2 C©u 1 ( 2 ®iÓm )

Cho hµm sè : y = 2

2

1x

1) Nªu tËp x¸c ®Þnh , chiÒu biÕn thiªn vµ vÏ ®å thi cña hµm sè. 2) LËp ph¬ng tr×nh ®êng th¼ng ®i qua ®iÓm ( 2 , -6 ) cã hÖ sè gãc a vµ tiÕp xóc

víi ®å thÞ hµm sè trªn . C©u 2 ( 3 ®iÓm ) Cho ph¬ng tr×nh : x2 – mx + m – 1 = 0 .

1) Gäi hai nghiÖm cña ph¬ng tr×nh lµ x1 , x2 . TÝnh gi¸ trÞ cña biÓu thøc .

2212

21

22

21 1

xxxx

xxM

. Tõ ®ã t×m m ®Ó M > 0 .

2) T×m gi¸ trÞ cña m ®Ó biÓu thøc P = 122

21 xx ®¹t gi¸ trÞ nhá nhÊt .

C©u 3 ( 2 ®iÓm ) Gi¶i ph¬ng tr×nh :

a) xx 44 b) xx 332

C©u 4 ( 3 ®iÓm )

112

Cho hai ®êng trßn (O1) vµ (O2) cã b¸n kÝnh b»ng R c¾t nhau t¹i A vµ B , qua A vÏ çt tuyÕn c¾t hai ®êng trßn (O1) vµ (O2) thø tù t¹i E vµ F , ®êng th¼ng EC , DF c¾t nhau t¹i P .

1) Chøng minh r»ng : BE = BF . 2) Mét çt tuyÕn qua A vµ vu«ng gãc víi AB c¾t (O1) vµ (O2) lÇn lît t¹i C,D .

Chøng minh tø gi¸c BEPF , BCPD néi tiÕp vµ BP vu«ng gãc víi EF . 3) TÝnh diÖn tÝch phÇn giao nhau cña hai ®êng trßn khi AB = R .

§Ò sè 3 C©u 1 ( 3 ®iÓm )

1) Gi¶i bÊt ph¬ng tr×nh : 42 xx

2) T×m gi¸ trÞ nguyªn lín nhÊt cña x tho¶ m·n .

12

13

3

12

xx

C©u 2 ( 2 ®iÓm ) Cho ph¬ng tr×nh : 2x2 – ( m+ 1 )x +m – 1 = 0

a) Gi¶i ph¬ng tr×nh khi m = 1 . b) T×m çc gi¸ trÞ cña m ®Ó hiÖu hai nghiÖm b»ng tÝch cña chóng .

C©u3 ( 2 ®iÓm ) Cho hµm sè : y = ( 2m + 1 )x – m + 3 (1)

a) T×m m biÕt ®å thÞ hµm sè (1) ®i qua ®iÓm A ( -2 ; 3 ) . b) T×m ®iÓm cè ®Þnh mµ ®å thÞ hµm sè lu«n ®i qua víi mäi gi¸ trÞ cña m .

C©u 4 ( 3 ®iÓm ) Cho gãc vu«ng xOy , trªn Ox , Oy lÇn lît lÊy hai ®iÓm A vµ B sao cho OA = OB . M lµ mét ®iÓm bÊt kú trªn AB . Dùng ®êng trßn t©m O1 ®i qua M vµ tiÕp xóc víi Ox t¹i A , ®êng trßn t©m O2 ®i qua M vµ tiÕp xóc víi Oy t¹i B , (O1) c¾t (O2) t¹i ®iÓm thø hai N .

1) Chøng minh tø gi¸c OANB lµ tø gi¸c néi tiÕp vµ ON lµ ph©n gi¸c cña gãc ANB .

2) Chøng minh M n»m trªn mét cung trßn cè ®Þnh khi M thay ®æi . 3) X¸c ®Þnh vÞ trÝ cña M ®Ó kho¶ng çch O1O2 lµ ng¾n nhÊt .

113

§Ò sè 4 . C©u 1 ( 3 ®iÓm )

Cho biÓu thøc :

1

2:)

1

1

1

2(

xx

x

xxx

xxA

a) Rót gän biÓu thøc . b) TÝnh gi¸ trÞ cña A khi 324 x

C©u 2 ( 2 ®iÓm )

Gi¶i ph¬ng tr×nh : xx

x

xx

x

x

x

6

1

6

2

36

22222

C©u 3 ( 2 ®iÓm )

Cho hµm sè : y = - 2

2

1x

a) T×m x biÕt f(x) = - 8 ; - 8

1 ; 0 ; 2 .

b) ViÕt ph¬ng tr×nh ®êng th¼ng ®i qua hai ®iÓm A vµ B n»m trªn ®å thÞ cã hoµnh ®é lÇn lît lµ -2 vµ 1 .

C©u 4 ( 3 ®iÓm ) Cho h×nh vu«ng ABCD , trªn c¹nh BC lÊy 1 ®iÓm M . §êng trßn ®êng kÝnh AM c¾t ®êng trßn ®êng kÝnh BC t¹i N vµ c¾t c¹nh AD t¹i E .

1) Chøng minh E, N , C th¼ng hµng . 2) Gäi F lµ giao ®iÓm cña BN vµ DC . Chøng minh CDEBCF 3) Chøng minh r»ng MF vu«ng gãc víi AC .

114

§Ò sè 5 C©u 1 ( 3 ®iÓm )

Cho hÖ ph¬ng tr×nh :

13

52

ymx

ymx

a) Gi¶i hÖ ph¬ng tr×nh khi m = 1 . b) Gi¶i vµ biÖn luËn hÖ ph¬ng tr×nh theo tham sè m . c) T×m m ®Ó x – y = 2 .

C©u 2 ( 3 ®iÓm )

1) Gi¶i hÖ ph¬ng tr×nh :

yyxx

yx22

22 1

2) Cho ph¬ng tr×nh bËc hai : ax2 + bx + c = 0 . Gäi hai nghiÖm cña ph¬ng tr×nh lµ x1 , x2 . LËp ph¬ng tr×nh bËc hai cã hai nghiÖm lµ 2x1+ 3x2 vµ 3x1 + 2x2 .

C©u 3 ( 2 ®iÓm ) Cho tam gi¸c c©n ABC ( AB = AC ) néi tiÕp ®êng trßn t©m O . M lµ mét ®iÓm chuyÓn ®éng trªn ®êng trßn . Tõ B h¹ ®êng th¼ng vu«ng gãc víi AM c¾t CM ë D . Chøng minh tam gi¸c BMD c©n C©u 4 ( 2 ®iÓm )

1) TÝnh : 25

1

25

1

2) Gi¶i bÊt ph¬ng tr×nh : ( x –1 ) ( 2x + 3 ) > 2x( x + 3 ) .

§Ò sè 6 C©u 1 ( 2 ®iÓm )

115

Gi¶i hÖ ph¬ng tr×nh :

41

2

1

5

71

1

1

2

yx

yx

C©u 2 ( 3 ®iÓm )

Cho biÓu thøc : xxxxxx

xA

2

1:

1

a) Rót gän biÓu thøc A . b) Coi A lµ hµm sè cña biÕn x vÏ ®å thi hµm sè A .

C©u 3 ( 2 ®iÓm ) T×m ®iÒu kiÖn cña tham sè m ®Ó hai ph¬ng tr×nh sau cã nghiÖm chung . x2 + (3m + 2 )x – 4 = 0 vµ x2 + (2m + 3 )x +2 =0 . C©u 4 ( 3 ®iÓm ) Cho ®êng trßn t©m O vµ ®êng th¼ng d c¾t (O) t¹i hai ®iÓm A,B . Tõ mét ®iÓm M trªn d vÏ hai tiÕp tuyÕn ME , MF ( E , F lµ tiÕp ®iÓm ) .

1) Chøng minh gãc EMO = gãc OFE vµ ®êng trßn ®i qua 3 ®iÓm M, E, F ®i qua 2 ®iÓm cè ®Þnh khi m thay ®æi trªn d .

2) X¸c ®Þnh vÞ trÝ cña M trªn d ®Ó tø gi¸c OEMF lµ h×nh vu«ng .

§Ò sè 7 C©u 1 ( 2 ®iÓm ) Cho ph¬ng tr×nh (m2 + m + 1 )x2 - ( m2 + 8m + 3 )x – 1 = 0

a) Chøng minh x1x2 < 0 . b) Gäi hai nghiÖm cña ph¬ng tr×nh lµ x1, x2 . T×m gi¸ trÞ lín nhÊt , nhá nhÊt cña

biÓu thøc : S = x1 + x2 .

116

C©u 2 ( 2 ®iÓm ) Cho ph¬ng tr×nh : 3x2 + 7x + 4 = 0 . Gäi hai nghiÖm cña ph¬ng tr×nh lµ x1 , x2

kh«ng gi¶i ph¬ng tr×nh lËp ph¬ng tr×nh bËc hai mµ cã hai nghiÖm lµ : 12

1

x

x vµ

11

2

x

x .

C©u 3 ( 3 ®iÓm ) 1) Cho x2 + y2 = 4 . T×m gi¸ trÞ lín nhÊt , nhá nhÊt cña x + y .


8

1622

yx

yx

3) Gi¶i ph¬ng tr×nh : x4 – 10x3 – 2(m – 11 )x2 + 2 ( 5m +6)x +2m = 0 C©u 4 ( 3 ®iÓm ) Cho tam gi¸c nhän ABC néi tiÕp ®êng trßn t©m O . §êng ph©n gi¸c trong cña gãc A , B c¾t ®êng trßn t©m O t¹i D vµ E , gäi giao ®iÓm hai ®êng ph©n gi¸c lµ I , ®-êng th¼ng DE c¾t CA, CB lÇn lît t¹i M , N .

1) Chøng minh tam gi¸c AIE vµ tam gi¸c BID lµ tam gi¸c c©n . 2) Chøng minh tø gi¸c AEMI lµ tø gi¸c néi tiÕp vµ MI // BC . 3) Tø gi¸c CMIN lµ h×nh g× ?

§Ò sè 8 C©u1 ( 2 ®iÓm )

T×m m ®Ó ph¬ng tr×nh ( x2 + x + m) ( x2 + mx + 1 ) = 0 cã 4 nghiÖm ph©n biÖt . C©u 2 ( 3 ®iÓm )


64

3

ymx

myx

a) Gi¶i hÖ khi m = 3 b) T×m m ®Ó ph¬ng tr×nh cã nghiÖm x > 1 , y > 0 .

C©u 3 ( 1 ®iÓm ) Cho x , y lµ hai sè d¬ng tho¶ m·n x5+y5 = x3 + y3 . Chøng minh x2 + y2 1 + xy C©u 4 ( 3 ®iÓm )

1) Cho tø gi¸c ABCD néi tiÕp ®êng trßn (O) . Chøng minh AB.CD + BC.AD = AC.BD

117

2) Cho tam gi¸c nhän ABC néi tiÕp trong ®êng trßn (O) ®êng kÝnh AD . §êng cao cña tam gi¸c kÎ tõ ®Ønh A c¾t c¹nh BC t¹i K vµ c¾t ®êng trßn (O) t¹i E .

a) Chøng minh : DE//BC . b) Chøng minh : AB.AC = AK.AD . c) Gäi H lµ trùc t©m cña tam gi¸c ABC . Chøng minh tø gi¸c BHCD lµ h×nh

b×nh hµnh .

§Ò sè 9 C©u 1 ( 2 ®iÓm ) Trôc c¨n thøc ë mÉu çc biÓu thøc sau :

232

12

A ;

222

1

B ;

123

1

C

C©u 2 ( 3 ®iÓm ) Cho ph¬ng tr×nh : x2 – ( m+2)x + m2 – 1 = 0 (1)

a) Gäi x1, x2 lµ hai nghiÖm cña ph¬ng tr×nh .T×m m tho¶ m·n x1 – x2 = 2 . b) T×m gi¸ trÞ nguyªn nhá nhÊt cña m ®Ó ph¬ng tr×nh cã hai nghiÖm kh¸c nhau

. C©u 3 ( 2 ®iÓm )

Cho 32

1;

32

1

ba

LËp mét ph¬ng tr×nh bËc hai cã çc hÖ sè b»ng sè vµ cã çc nghiÖm lµ x1 =

1;

12

a

bx

b

a

C©u 4 ( 3 ®iÓm )

Cho hai ®êng trßn (O1) vµ (O2) c¾t nhau t¹i A vµ B . Mét ®êng th¼ng ®i qua A c¾t ®êng trßn (O1) , (O2) lÇn lît t¹i C,D , gäi I , J lµ trung ®iÓm cña AC vµ AD .

1) Chøng minh tø gi¸c O1IJO2 lµ h×nh thang vu«ng . 2) Gäi M lµ giao diÓm cña CO1 vµ DO2 . Chøng minh O1 , O2 , M , B n»m trªn

mét ®êng trßn

118

3) E lµ trung ®iÓm cña IJ , ®êng th¼ng CD quay quanh A . T×m tËp hîp ®iÓm E. 4) X¸c ®Þnh vÞ trÝ cña d©y CD ®Ó d©y CD cã ®é dµi lín nhÊt .

§Ò sè 10 C©u 1 ( 3 ®iÓm )

1)VÏ ®å thÞ cña hµm sè : y = 2

2x

2)ViÕt ph¬ng tr×nh ®êng th¼ng ®i qua ®iÓm (2; -2) vµ (1 ; -4 ) 3) T×m giao ®iÓm cña ®êng th¼ng võa t×m ®îc víi ®å thÞ trªn .

C©u 2 ( 3 ®iÓm ) a) Gi¶i ph¬ng tr×nh :

21212 xxxx b)TÝnh gi¸ trÞ cña biÓu thøc

22 11 xyyxS víi ayxxy )1)(1( 22

C©u 3 ( 3 ®iÓm ) Cho tam gi¸c ABC , gãc B vµ gãc C nhän . Çc ®êng trßn ®êng kÝnh AB , AC c¾t nhau t¹i D . Mét ®êng th¼ng qua A c¾t ®êng trßn ®êng kÝnh AB , AC lÇn lît t¹i E vµ F .

1) Chøng minh B , C , D th¼ng hµng . 2) Chøng minh B, C , E , F n»m trªn mét ®êng trßn . 3) X¸c ®Þnh vÞ trÝ cña ®êng th¼ng qua A ®Ó EF cã ®é dµi lín nhÊt .

C©u 4 ( 1 ®iÓm )

Cho F(x) = xx 12 a) T×m çc gi¸ trÞ cña x ®Ó F(x) x¸c ®Þnh . b) T×m x ®Ó F(x) ®¹t gi¸ trÞ lín nhÊt .

119

§Ò sè 11 C©u 1 ( 3 ®iÓm )

1) VÏ ®å thÞ hµm sè 2

2xy

2) ViÕt ph¬ng tr×nh ®êng th¼ng ®i qua hai ®iÓm ( 2 ; -2 ) vµ ( 1 ; - 4 ) 3) T×m giao ®iÓm cña ®êng th¼ng võa t×m ®îc víi ®å thÞ trªn .

C©u 2 ( 3 ®iÓm ) 1) Gi¶i ph¬ng tr×nh :

21212 xxxx 2) Gi¶i ph¬ng tr×nh :

512

412

x

x

x

x

C©u 3 ( 3 ®iÓm ) Cho h×nh b×nh hµnh ABCD , ®êng ph©n gi¸c cña gãc BAD c¾t DC vµ BC theo thø tù t¹i M vµ N . Gäi O lµ t©m ®êng trßn ngo¹i tiÕp tam gi¸c MNC .

1) Chøng minh çc tam gi¸c DAM , ABN , MCN , lµ çc tam gi¸c c©n . 2) Chøng minh B , C , D , O n»m trªn mét ®êng trßn .

C©u 4 ( 1 ®iÓm ) Cho x + y = 3 vµ y 2 . Chøng minh x2 + y2 5

120

§Ò sè 12 C©u 1 ( 3 ®iÓm )

1) Gi¶i ph¬ng tr×nh : 8152 xx 2) X¸c ®Þnh a ®Ó tæng b×nh ph¬ng hai nghiÖm cña ph¬ng tr×nh x2 +ax +a –2 = 0

lµ bÐ nhÊt . C©u 2 ( 2 ®iÓm ) Trong mÆt ph¼ng to¹ ®é cho ®iÓm A ( 3 ; 0) vµ ®êng th¼ng x – 2y = - 2 .

a) VÏ ®å thÞ cña ®êng th¼ng . Gäi giao ®iÓm cña ®êng th¼ng víi trôc tung vµ trôc hoµnh lµ B vµ E .

b) ViÕt ph¬ng tr×nh ®êng th¼ng qua A vµ vu«ng gãc víi ®êng th¼ng x – 2y = -2 .

c) T×m to¹ ®é giao ®iÓm C cña hai ®êng th¼ng ®ã . Chøng minh r»ng EO. EA = EB . EC vµ tÝnh diÖn tÝch cña tø gi¸c OACB .

C©u 3 ( 2 ®iÓm ) Gi¶ sö x1 vµ x2 lµ hai nghiÖm cña ph¬ng tr×nh : x2 –(m+1)x +m2 – 2m +2 = 0 (1)

a) T×m çc gi¸ trÞ cña m ®Ó ph¬ng tr×nh cã nghiÖm kÐp , hai nghiÖm ph©n biÖt . b) T×m m ®Ó 2

221 xx ®¹t gi¸ trÞ bÐ nhÊt , lín nhÊt .

C©u 4 ( 3 ®iÓm ) Cho tam gi¸c ABC néi tiÕp ®êng trßn t©m O . KÎ ®êng cao AH , gäi trung ®iÓm cña AB , BC theo thø tù lµ M , N vµ E , F theo thø tù lµ h×nh chiÕu vu«ng gãc cña cña B , C trªn ®êng kÝnh AD .

a) Chøng minh r»ng MN vu«ng gãc víi HE . b) Chøng minh N lµ t©m ®êng trßn ngo¹i tiÕp tam gi¸c HEF .

§Ò sè 13 C©u 1 ( 2 ®iÓm )

So s¸nh hai sè : 33

6;

211

9

ba

C©u 2 ( 2 ®iÓm ) Cho hÖ ph¬ng tr×nh :

2

532

yx

ayx

Gäi nghiÖm cña hÖ lµ ( x , y ) , t×m gi¸ trÞ cña a ®Ó x2 + y2 ®¹t gi¸ trÞ nhá nhÊt .

121

C©u 3 ( 2 ®iÓm ) Gi¶ hÖ ph¬ng tr×nh :

7

522 xyyx

xyyx

C©u 4 ( 3 ®iÓm ) 1) Cho tø gi¸c låi ABCD çc cÆp c¹nh ®èi AB , CD c¾t nhau t¹i P vµ BC , AD c¾t nhau t¹i Q . Chøng minh r»ng ®êng trßn ngo¹i tiÕp çc tam gi¸c ABQ , BCP , DCQ , ADP c¾t nhau t¹i mét ®iÓm .

3) Cho tø gi¸c ABCD lµ tø gi¸c néi tiÕp . Chøng minh

BD

AC

DADCBCBA

CDCBADAB

..

..

C©u 4 ( 1 ®iÓm ) Cho hai sè d¬ng x , y cã tæng b»ng 1 . T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña :

xyyx

S4

3122

§Ò sè 14 C©u 1 ( 2 ®iÓm ) TÝnh gi¸ trÞ cña biÓu thøc :

322

32

322

32

P

C©u 2 ( 3 ®iÓm ) 1) Gi¶i vµ biÖn luËn ph¬ng tr×nh :

(m2 + m +1)x2 – 3m = ( m +2)x +3 2) Cho ph¬ng tr×nh x2 – x – 1 = 0 cã hai nghiÖm lµ x1 , x2 . H·y lËp ph¬ng

tr×nh bËc hai cã hai nghiÖm lµ : 2

2

2

1

1;

1 x

x

x

x

C©u 3 ( 2 ®iÓm )

T×m çc gi¸ trÞ nguyªn cña x ®Ó biÓu thøc : 2

32

x

xP lµ nguyªn .

122

C©u 4 ( 3 ®iÓm ) Cho ®êng trßn t©m O vµ çt tuyÕn CAB ( C ë ngoµi ®êng trßn ) . Tõ ®iÓm chÝnh gi÷a cña cung lín AB kÎ ®êng kÝnh MN c¾t AB t¹i I , CM c¾t ®êng trßn t¹i E , EN c¾t ®êng th¼ng AB t¹i F .

1) Chøng minh tø gi¸c MEFI lµ tø gi¸c néi tiÕp . 2) Chøng minh gãc CAE b»ng gãc MEB . 3) Chøng minh : CE . CM = CF . CI = CA . CB

§Ò sè 15 C©u 1 ( 2 ®iÓm )


044

3252

22

xyy

yxyx

C©u 2 ( 2 ®iÓm )

Cho hµm sè : 4

2xy vµ y = - x – 1

a) VÏ ®å thÞ hai hµm sè trªn cïng mét hÖ trôc to¹ ®é . b) ViÕt ph¬ng tr×nh çc ®êng th¼ng song song víi ®êng th¼ng y = - x – 1 vµ

c¾t ®å thÞ hµm sè 4

2xy t¹i ®iÓm cã tung ®é lµ 4 .

C©u 2 ( 2 ®iÓm ) Cho ph¬ng tr×nh : x2 – 4x + q = 0

a) Víi gi¸ trÞ nµo cña q th× ph¬ng tr×nh cã nghiÖm . b) T×m q ®Ó tæng b×nh ph¬ng çc nghiÖm cña ph¬ng tr×nh lµ 16 .

C©u 3 ( 2 ®iÓm ) 1) T×m sè nguyªn nhá nhÊt x tho¶ m·n ph¬ng tr×nh :

413 xx

123

2) Gi¶i ph¬ng tr×nh :

0113 22 xx C©u 4 ( 2 ®iÓm ) Cho tam gi¸c vu«ng ABC ( gãc A = 1 v ) cã AC < AB , AH lµ ®êng cao kÎ tõ ®Ønh A . Çc tiÕp tuyÕn t¹i A vµ B víi ®êng trßn t©m O ngo¹i tiÕp tam gi¸c ABC c¾t nhau t¹i M . §o¹n MO c¾t c¹nh AB ë E , MC c¾t ®êng cao AH t¹i F . KÐo dµi CA cho c¾t ®êng th¼ng BM ë D . §êng th¼ng BF c¾t ®êng th¼ng AM ë N .

a) Chøng minh OM//CD vµ M lµ trung ®iÓm cña ®o¹n th¼ng BD . b) Chøng minh EF // BC . c) Chøng minh HA lµ tia ph©n gi¸c cña gãc MHN .

§Ò sè 16 C©u 1 : ( 2 ®iÓm ) Trong hÖ trôc to¹ ®é Oxy cho hµm sè y = 3x + m (*) 1) TÝnh gi¸ trÞ cña m ®Ó ®å thÞ hµm sè ®i qua : a) A( -1 ; 3 ) ; b) B( - 2 ; 5 ) 2) T×m m ®Ó ®å thÞ hµm sè c¾t trôc hoµnh t¹i ®iÓm cã hoµnh ®é lµ - 3 . 3) T×m m ®Ó ®å thÞ hµm sè c¾t trôc tung t¹i ®iÓm cã tung ®é lµ - 5 . C©u 2 : ( 2,5 ®iÓm )

Cho biÓu thøc : 1 1 1 1 1

A= :1- x 1 1 1 1x x x x

a) Rót gän biÓu thøc A . b) TÝnh gi¸ trÞ cña A khi x = 7 4 3 c) Víi gi¸ trÞ nµo cña x th× A ®¹t gi¸ trÞ nhá nhÊt . C©u 3 : ( 2 ®iÓm )

Cho ph¬ng tr×nh bËc hai : 2 3 5 0x x vµ gäi hai nghiÖm cña ph¬ng tr×nh lµ x1 vµ x2 . Kh«ng gi¶i ph¬ng tr×nh , tÝnh gi¸ trÞ cña çc biÓu thøc sau :

a) 2 21 2

1 1

x x b) 2 2

1 2x x

c) 3 31 2

1 1

x x d) 1 2x x

C©u 4 ( 3.5 ®iÓm ) Cho tam gi¸c ABC vu«ng ë A vµ mét ®iÓm D n»m gi÷a A vµ B . §êng trßn ®-êng kÝnh BD c¾t BC t¹i E . Çc ®êng th¼ng CD , AE lÇn lît c¾t ®êng trßn t¹i çc ®iÓm thø hai F , G . Chøng minh : a) Tam gi¸c ABC ®ång d¹ng víi tam gi¸c EBD . b) Tø gi¸c ADEC vµ AFBC néi tiÕp ®îc trong mét ®êng trßn . c) AC song song víi FG . d) Çc ®êng th¼ng AC , DE vµ BF ®ång quy .

124

§Ò sè 17 C©u 1 ( 2,5 ®iÓm )

Cho biÓu thøc : A = 1 1 2

:2

a a a a a

aa a a a

a) Víi nh÷ng gi¸ trÞ nµo cña a th× A x¸c ®Þnh . b) Rót gän biÓu thøc A . c) Víi nh÷ng gi¸ trÞ nguyªn nµo cña a th× A cã gi¸ trÞ nguyªn . C©u 2 ( 2 ®iÓm ) Mét « t« dù ®Þnh ®i tõ A ®Òn B trong mét thêi gian nhÊt ®Þnh . NÕu xe ch¹y víi vËn tèc 35 km/h th× ®Õn chËm mÊt 2 giê . NÕu xe ch¹y víi vËn tèc 50 km/h th× ®Õn sím h¬n 1 giê . TÝnh qu·ng ®êng AB vµ thêi

gian dù ®Þnh ®i lóc ®Çu . C©u 3 ( 2 ®iÓm )

a) Gi¶i hÖ ph¬ng tr×nh :

1 13

2 31

x y x y

x y x y

b) Gi¶i ph¬ng tr×nh : 2 2 2

5 5 25

5 2 10 2 50

x x x

x x x x x

C©u 4 ( 4 ®iÓm ) Cho ®iÓm C thuéc ®o¹n th¼ng AB sao cho AC = 10 cm ;CB = 40 cm . VÏ vÒ cïng mét nöa mÆt ph¼ng bê lµ AB çc nöa ®êng trßn ®êng kÝnh theo thø tù lµ AB , AC , CB cã t©m lÇn lît lµ O , I , K . §êng vu«ng gãc víi AB t¹i C c¾t nöa ®êng trßn (O) ë E . Gäi M , N theo thø tù lµ giao ®iÓm cuae EA , EB víi çc nöa ®êng trßn (I) , (K) . Chøng minh : a) EC = MN . b) MN lµ tiÕp tuyÕn chung cña çc nöa ®êng trßn (I) vµ (K) . c) TÝnh ®é dµi MN .

d) TÝnh diÖn tÝch h×nh ®îc giíi h¹n bëi ba nöa ®êng trßn .

125

§Ò 18 C©u 1 ( 2 ®iÓm )

Cho biÓu thøc : A = 1 1 1 1 1

1 1 1 1 1

a a

a a a a a

1) Rót gän biÓu thøc A . 2) Chøng minh r»ng biÓu thøc A lu«n d¬ng víi mäi a . C©u 2 ( 2 ®iÓm ) Cho ph¬ng tr×nh : 2x2 + ( 2m - 1)x + m - 1 = 0 1) T×m m ®Ó ph¬ng tr×nh cã hai nghiÖm x1 , x2 tho¶ m·n 3x1 - 4x2 = 11 . 2) T×m ®¼ng thøc liªn hÖ gi÷a x1 vµ x2 kh«ng phô thuéc vµo m . 3) Víi gi¸ trÞ nµo cña m th× x1 vµ x2 cïng d¬ng . C©u 3 ( 2 ®iÓm ) Hai « t« khëi hµnh cïng mét lóc ®i tõ A ®Õn B çch nhau 300 km . ¤ t« thø nhÊt mçi giê ch¹y nhanh h¬n « t« thø hai 10 km nªn ®Õn B sím h¬n « t« thø hai 1 giê . TÝnh vËn tèc mçi xe « t« . C©u 4 ( 3 ®iÓm ) Cho tam gi¸c ABC néi tiÕp ®êng trßn t©m O . M lµ mét ®iÓm trªn cung AC ( kh«ng chøa B ) kÎ MH vu«ng gãc víi AC ; MK vu«ng gãc víi BC .

1) Chøng minh tø gi¸c MHKC lµ tø gi¸c néi tiÕp .

2) Chøng minh · ·AMB HMK 3) Chøng minh AMB ®ång d¹ng víi HMK . C©u 5 ( 1 ®iÓm )

T×m nghiÖm d¬ng cña hÖ :

( ) 6

( ) 12

( ) 30

xy x y

yz y z

zx z x

§Ó 19

( Thi tuyÓn sinh líp 10 - THPT n¨m 2006 - 2007 - H¶i d¬ng - 120 phót - Ngµy 28 / 6

/ 2006 C©u 1 ( 3 ®iÓm )

126

1) Gi¶i çc ph¬ng tr×nh sau : a) 4x + 3 = 0 b) 2x - x2 = 0

2) Gi¶i hÖ ph¬ng tr×nh : 2 3

5 4

x y

y x

C©u 2( 2 ®iÓm )

1) Cho biÓu thøc : P = 3 1 4 4

a > 0 ; a 442 2

a a a

aa a

a) Rót gän P . b) TÝnh gi¸ trÞ cña P víi a = 9 . 2) Cho ph¬ng tr×nh : x2 - ( m + 4)x + 3m + 3 = 0 ( m lµ tham sè ) a) X¸c ®Þnh m ®Ó ph¬ng tr×nh cã mét nghiÖm b»ng 2 . T×m nghiÖm cßn l¹i . b) X¸c ®Þnh m ®Ó ph¬ng tr×nh cã hai nghiÖm x1 ; x2 tho¶ m·n 3 3

1 2 0x x

C©u 3 ( 1 ®iÓm ) Kho¶ng çch gi÷a hai thµnh phè A vµ B lµ 180 km . Mét « t« ®i tõ A ®Õn B , nghØ 90 phót ë B , råi l¹i tõ B vÒ A . Thêi gian lóc ®i ®Õn lóc trë vÒ A lµ 10 giê . BiÕt vËn tèc lóc vÒ kÐm vËn tèc lóc ®i lµ 5 km/h . TÝnh vËn tèc lóc ®i cña « t« .

C©u 4 ( 3 ®iÓm ) Tø gi¸c ABCD néi tiÕp ®êng trßn ®êng kÝnh AD . Hai ®êng chÐo AC , BD c¾t nhau t¹i E . H×nh chiÕu vu«ng gãc cña E trªn AD lµ F . §êng th¼ng CF c¾t ®êng trßn t¹i ®iÓm thø hai lµ M . Giao ®iÓm cña BD vµ CF lµ N Chøng minh : a) CEFD lµ tø gi¸c néi tiÕp . b) Tia FA lµ tia ph©n gi¸c cña gãc BFM . c) BE . DN = EN . BD C©u 5 ( 1 ®iÓm )

T×m m ®Ó gi¸ trÞ lín nhÊt cña biÓu thøc 2

2

1

x m

x

b»ng 2 .

§Ó 20 C©u 1 (3 ®iÓm ) 1) Gi¶i çc ph¬ng tr×nh sau : a) 5( x - 1 ) = 2 b) x2 - 6 = 0 2) T×m to¹ ®é giao ®iÓm cña ®êng th¼ng y = 3x - 4 víi hai trôc to¹ ®é . C©u 2 ( 2 ®iÓm ) 1) Gi¶ sö ®êng th¼ng (d) cã ph¬ng tr×nh : y = ax + b .

X¸c ®Þnh a , b ®Ó (d) ®i qua hai ®iÓm A ( 1 ; 3 ) vµ B ( - 3 ; - 1) 2) Gäi x1 ; x2 lµ hai nghiÖm cña ph¬ng tr×nh x2 - 2( m - 1)x - 4 = 0 ( m lµ tham sè ) T×m m ®Ó : 1 2 5x x

127

3) Rót gän biÓu thøc : P = 1 1 2

( 0; 0)2 2 2 2 1

x xx x

x x x

C©u 3( 1 ®iÓm) Mét h×nh ch÷ nhËt cã diÖn tÝch 300 m2 . NÕu gi¶m chiÒu réng ®i 3 m , t¨ng chiÒu dµi thªm 5m th× ta ®îc h×nh ch÷ nhËt míi cã diÖn tÝch b»ng diÖn tÝch b»ng diÖn tÝch h×nh ch÷ nhËt ban ®Çu . TÝnh chu vi h×nh ch÷ nhËt ban ®Çu . C©u 4 ( 3 ®iÓm )

Cho ®iÓm A ë ngoµi ®êng trßn t©m O . KÎ hai tiÕp tuyÕn AB , AC víi ®êng trßn (B , C lµ tiÕp ®iÓm ) . M lµ ®iÓm bÊt kú trªn cung nhá BC ( M B ; M C ) . Gäi D , E , F t¬ng øng lµ h×nh chiÕu vu«ng gãc cña M trªn çc ®êng th¼ng AB , AC , BC ; H lµ giao ®iÓm cña MB vµ DF ; K lµ giao ®iÓm cña MC vµ EF .

1) Chøng minh : a) MECF lµ tø gi¸c néi tiÕp . b) MF vu«ng gãc víi HK . 2) T×m vÞ trÝ cña M trªn cung nhá BC ®Ó tÝch MD . ME lín nhÊt . C©u 5 ( 1 ®iÓm ) Trong mÆt ph¼ng to¹ ®é ( Oxy ) cho ®iÓm A ( -3 ; 0 ) vµ Parabol (P) cã ph¬ng tr×nh y = x2 . H·y t×m to¹ ®é cña ®iÓm M thuéc (P) ®Ó cho ®é dµi ®o¹n th¼ng AM nhá nhÊt .

II, Çc ®Ò thi vµo ban tù nhiªn

§Ò 1

C©u 1 : ( 3 ®iÓm ) i¶i çc ph-¬ng tr×nh

a) 3x2 – 48 = 0 . b) x2 – 10 x + 21 = 0 .

c) 5

203

5

8

xx

C©u 2 : ( 2 ®iÓm ) a) T×m çc gi¸ trÞ cña a , b biÕt r»ng ®å thÞ cña hµm sè y = ax + b ®i qua hai

®iÓm

A( 2 ; - 1 ) vµ B ( )2;2

1

b) Víi gi¸ trÞ nµo cña m th× ®å thÞ cña çc hµm sè y = mx + 3 ; y = 3x –7 vµ ®å thÞ cña hµm sè x¸c ®Þnh ë c©u ( a ) ®ång quy .

C©u 3 ( 2 ®iÓm ) Cho hÖ ph¬ng tr×nh .

nyx

nymx

2

5

a) Gi¶i hÖ khi m = n = 1 .

b) T×m m , n ®Ó hÖ ®· cho cã nghiÖm

13

3

y

x

C©u 4 : ( 3 ®iÓm )

128

Cho tam gi¸c vu«ng ABC ( µC = 900 ) néi tiÕp trong ®êng trßn t©m O . Trªn cung nhá AC ta lÊy mét ®iÓm M bÊt kú ( M kh¸c A vµ C ) . VÏ ®êng trßn t©m A b¸n kÝnh AC , ®êng trßn nµy c¾t ®êng trßn (O) t¹i ®iÓm D ( D kh¸c C ) . §o¹n th¼ng BM c¾t ®êng trßn t©m A ë ®iÓm N .

a) Chøng minh MB lµ tia ph©n gi¸c cña gãc ·CMD . b) Chøng minh BC lµ tiÕp tuyÕn cña ®êng trßn t©m A nãi trªn . c) So s¸nh gãc CNM víi gãc MDN . d) Cho biÕt MC = a , MD = b . H·y tÝnh ®o¹n th¼ng MN theo a vµ b .

®Ò sè 2 C©u 1 : ( 3 ®iÓm )


3 2x ( P )

a) TÝnh gi¸ trÞ cña hµm sè t¹i x = 0 ; -1 ; 3

1 ; -2 .

b) BiÕt f(x) = 2

1;

3

2;8;

2

9 t×m x .

c) X¸c ®Þnh m ®Ó ®êng th¼ng (D) : y = x + m – 1 tiÕp xóc víi (P) . C©u 2 : ( 3 ®iÓm )


2

2 2

yx

mmyx

a) Gi¶i hÖ khi m = 1 . b) Gi¶i vµ biÖn luËn hÖ ph¬ng tr×nh . C©u 3 : ( 1 ®iÓm ) LËp ph¬ng tr×nh bËc hai biÕt hai nghiÖm cña ph¬ng tr×nh lµ :

2

321

x

2

322

x

C©u 4 : ( 3 ®iÓm ) Cho ABCD lµ mét tø gi¸c néi tiÕp . P lµ giao ®iÓm cña hai ®êng chÐo AC vµ

BD . a) Chøng minh h×nh chiÕu vu«ng gãc cña P lªn 4 c¹nh cña tø gi¸c lµ 4 ®Ønh

cña mét tø gi¸c cã ®êng trßn néi tiÕp .

129

b) M lµ mét ®iÓm trong tø gi¸c sao cho ABMD lµ h×nh b×nh hµnh . Chøng minh r»ng nÕu gãc CBM = gãc CDM th× gãc ACD = gãc BCM .

c) T×m ®iÒu kiÖn cña tø gi¸c ABCD ®Ó :

)..(2

1BCADCDABS ABCD

§Ò sè 3 C©u 1 ( 2 ®iÓm ) .

Gi¶i ph¬ng tr×nh a) 1- x - x3 = 0 b) 0322 xx

C©u 2 ( 2 ®iÓm ) .

Cho Parabol (P) : y = 2

2

1x vµ ®êng th¼ng (D) : y = px + q .

X¸c ®Þnh p vµ q ®Ó ®êng th¼ng (D) ®i qua ®iÓm A ( - 1 ; 0 ) vµ tiÕp xóc víi (P) . T×m to¹ ®é tiÕp ®iÓm . C©u 3 : ( 3 ®iÓm )

Trong cïng mét hÖ trôc to¹ ®é Oxy cho parabol (P) : 2

4

1xy

vµ ®êng th¼ng (D) : 12 mmxy

a) VÏ (P) . b) T×m m sao cho (D) tiÕp xóc víi (P) . c) Chøng tá (D) lu«n ®i qua mét ®iÓm cè ®Þnh . C©u 4 ( 3 ®iÓm ) .

Cho tam gi¸c vu«ng ABC ( gãc A = 900 ) néi tiÕp ®êng trßn t©m O , kÎ ®êng kÝnh AD .

1) Chøng minh tø gi¸c ABCD lµ h×nh ch÷ nhËt . 2) Gäi M , N thø tù lµ h×nh chiÕu vu«ng gãc cña B , C trªn AD , AH lµ ®êng

cao cña tam gi¸c ( H trªn c¹nh BC ) . Chøng minh HM vu«ng gãc víi AC . 3) X¸c ®Þnh t©m ®êng trßn ngo¹i tiÕp tam gi¸c MHN . 4) Gäi b¸n kÝnh ®êng trßn ngo¹i tiÕp vµ ®êng trßn néi tiÕp tam gi¸c ABC lµ

R vµ r . Chøng minh ACABrR .

130

§Ò sè 4

C©u 1 ( 3 ®iÓm ) . Gi¶i çc ph¬ng tr×nh sau .

a) x2 + x – 20 = 0 .

b) xxx

1

1

1

3

1

c) 131 xx

C©u 2 ( 2 ®iÓm ) Cho hµm sè y = ( m –2 ) x + m + 3 .

a) T×m ®iÒu kiÖm cña m ®Ó hµm sè lu«n nghÞch biÕn . b) T×m m ®Ó ®å thÞ hµm sè c¾t trôc hoµnh t¹i ®iÓm cã hµnh ®é lµ 3 . c) T×m m ®Ó ®å thÞ çc hµm sè y = - x + 2 ; y = 2x –1vµ y = (m – 2 )x + m + 3

®ång quy . C©u 3 ( 2 ®iÓm )

Cho ph¬ng tr×nh x2 – 7 x + 10 = 0 . Kh«ng gi¶i ph¬ng tr×nh tÝnh . a) 2

221 xx

b) 22

21 xx

c) 21 xx

C©u 4 ( 4 ®iÓm )

Cho tam gi¸c ABC néi tiÕp ®êng trßn t©m O , ®êng ph©n gi¸c trong cña gãc A c¾t c¹nh BC t¹i D vµ c¾t ®êng trßn ngo¹i tiÕp t¹i I .

a) Chøng minh r»ng OI vu«ng gãc víi BC . b) Chøng minh BI2 = AI.DI . c) Gäi H lµ h×nh chiÕu vu«ng gãc cña A trªn BC . Chøng minh gãc BAH = gãc CAO .

d) Chøng minh gãc HAO = µ µB C

131

§Ò sè 5

C©u 1 ( 3 ®iÓm ) . Cho hµm sè y = x2 cã ®å thÞ lµ ®êng cong Parabol (P) .

a) Chøng minh r»ng ®iÓm A( - )2;2 n»m trªn ®êng cong (P) .

b) T×m m ®Ó ®Ó ®å thÞ (d ) cña hµm sè y = ( m – 1 )x + m ( m R , m 1 ) c¾t ®êng cong (P) t¹i mét ®iÓm .

c) Chøng minh r»ng víi mäi m kh¸c 1 ®å thÞ (d ) cña hµm sè y = (m-1)x + m lu«n ®i qua mét ®iÓm cè ®Þnh .

C©u 2 ( 2 ®iÓm ) .


13

52

ymx

ymx

a) Gi¶i hÖ ph¬ng tr×nh víi m = 1 b) Gi¶i biÖn luËn hÖ ph¬ng tr×nh theo tham sè m . c) T×m m ®Ó hÖ ph¬ng tr×nh cã nghiÖm tho¶ m·n x2 + y2 = 1 . C©u 3 ( 3 ®iÓm )

Gi¶i ph¬ng tr×nh

5168143 xxxx

C©u 4 ( 3 ®iÓm ) Cho tam gi¸c ABC , M lµ trung ®iÓm cña BC . Gi¶ sö gãcBAM = Gãc BCA. a) Chøng minh r»ng tam gi¸c ABM ®ång d¹ng víi tam gi¸c CBA . b) Chøng minh minh : BC2 = 2 AB2 . So s¸nh BC vµ ®êng chÐo h×nh vu«ng

c¹nh lµ AB . c) Chøng tá BA lµ tiÕp tuyÕn cña ®êng trßn ngo¹i tiÕp tam gi¸c AMC . d) §êng th¼ng qua C vµ song song víi MA , c¾t ®êng th¼ng AB ë D . Chøng

tá ®êng trßn ngo¹i tiÕp tam gi¸c ACD tiÕp xóc víi BC .

132

§Ò sè 6 . C©u 1 ( 3 ®iÓm ) a) Gi¶i ph¬ng tr×nh : 231 xx

c) Cho Parabol (P) cã ph¬ng tr×nh y = ax2 . X¸c ®Þnh a ®Ó (P) ®i qua ®iÓm A( -1; -2) . T×m to¹ ®é çc giao ®iÓm cña (P) vµ ®êng trung trùc cña ®o¹n OA .

C©u 2 ( 2 ®iÓm ) a) Gi¶i hÖ ph¬ng tr×nh

11

3

2

2

22

1

1

1

xy

yx

1) X¸c ®Þnh gi¸ trÞ cña m sao cho ®å thÞ hµm sè (H) : y = x

1 vµ ®êng th¼ng

(D) : y = - x + m tiÕp xóc nhau . C©u 3 ( 3 ®iÓm ) Cho ph¬ng tr×nh x2 – 2 (m + 1 )x + m2 - 2m + 3 = 0 (1).

a) Gi¶i ph¬ng tr×nh víi m = 1 . b) X¸c ®Þnh gi¸ trÞ cña m ®Ó (1) cã hai nghiÖm tr¸i dÊu . c) T×m m ®Ó (1) cã mét nghiÖm b»ng 3 . T×m nghiÖm kia .

C©u 4 ( 3 ®iÓm ) Cho h×nh b×nh hµnh ABCD cã ®Ønh D n»m trªn ®êng trßn ®êng kÝnh AB . H¹ BN vµ DM cïng vu«ng gãc víi ®êng chÐo AC .

Chøng minh : a) Tø gi¸c CBMD néi tiÕp .

b) Khi ®iÓm D di ®éng trªn trªn ®êng trßn th× · ·BMD BCD kh«ng ®æi . c) DB . DC = DN . AC

§Ò sè 7 C©u 1 ( 3 ®iÓm ) Gi¶i çc ph¬ng tr×nh :

a) x4 – 6x2- 16 = 0 .

133

b) x2 - 2 x - 3 = 0

c) 09

813

12

xx

xx

C©u 2 ( 3 ®iÓm ) Cho ph¬ng tr×nh x2 – ( m+1)x + m2 – 2m + 2 = 0 (1)

a) Gi¶i ph¬ng tr×nh víi m = 2 . b) X¸c ®Þnh gi¸ trÞ cña m ®Ó ph¬ng tr×nh cã nghiÖm kÐp . T×m nghiÖm kÐp

®ã . c) Víi gi¸ trÞ nµo cña m th× 2


C©u 3 ( 4 ®iÓm ) . Cho tø gi¸c ABCD néi tiÕp trong ®êng trßn t©m O . Gäi I lµ giao ®iÓm cña hai ®êng chÐo AC vµ BD , cßn M lµ trung ®iÓm cña c¹nh CD . Nèi MI kÐo dµi c¾t c¹nh AB ë N . Tõ B kÎ ®êng th¼ng song song víi MN , ®êng th¼ng ®ã c¾t çc ®êng th¼ng AC ë E . Qua E kÎ ®êng th¼ng song song víi CD , ®êng th¼ng nµy c¾t ®êng th¼ng BD ë F .

a) Chøng minh tø gi¸c ABEF néi tiÕp . b) Chøng minh I lµ trung ®iÓm cña ®o¹n th¼ng BF vµ AI . IE = IB2 .

c) Chøng minh 2

2

NA IA=

NB IB

®Ò sè 8 C©u 1 ( 2 ®iÓm ) Ph©n tÝch thµnh nh©n tö .

a) x2- 2y2 + xy + 3y – 3x . b) x3 + y3 + z3

- 3xyz .

134


53

3

myx

ymx

a) Gi¶i hÖ ph¬ng tr×nh khi m = 1 .

b) T×m m ®Ó hÖ cã nghiÖm ®ång thêi tho¶ m·n ®iÒu kiÖn ; 13

)1(72

m

myx

C©u 3 ( 2 ®iÓm ) Cho hai ®êng th¼ng y = 2x + m – 1 vµ y = x + 2m .

a) T×m giao ®iÓm cña hai ®êng th¼ng nãi trªn . b) T×m tËp hîp çc giao ®iÓm ®ã .

C©u 4 ( 3 ®iÓm ) Cho ®êng trßn t©m O . A lµ mét ®iÓm ë ngoµi ®êng trßn , tõ A kÎ tiÕp tuyÕn AM , AN víi ®êng trßn , çt tuyÕn tõ A c¾t ®êng trßn t¹i B vµ C ( B n»m gi÷a A vµ C ) . Gäi I lµ trung ®iÓm cña BC .

1) Chøng minh r»ng 5 ®iÓm A , M , I , O , N n»m trªn mét ®êng trßn . 2) Mét ®êng th¼ng qua B song song víi AM c¾t MN vµ MC lÇn lît t¹i E vµ

F . Chøng minh tø gi¸c BENI lµ tø gi¸c néi tiÕp vµ E lµ trung ®iÓm cña EF .

§Ò sè 9 C©u 1 ( 3 ®iÓm ) Cho ph¬ng tr×nh : x2 – 2 ( m + n)x + 4mn = 0 .

a) Gi¶i ph¬ng tr×nh khi m = 1 ; n = 3 . b) Chøng minh r»ng ph¬ng tr×nh lu«n cã nghiÖm víi mäi m ,n .

c) Gäi x1, x2, lµ hai nghiÖm cña ph¬ng tr×nh . TÝnh 22

21 xx theo m ,n .

C©u 2 ( 2 ®iÓm ) Gi¶i çc ph¬ng tr×nh .

a) x3 – 16x = 0

135

b) 2 xx

c) 19

14

3

12

xx

C©u 3 ( 2 ®iÓm ) Cho hµm sè : y = ( 2m – 3)x2 .

1) Khi x < 0 t×m çc gi¸ trÞ cña m ®Ó hµm sè lu«n ®ång biÕn . 2) T×m m ®Ó ®å thÞ hµm sè ®i qua ®iÓm ( 1 , -1 ) . VÏ ®å thÞ víi m võa t×m ®îc

. C©u 4 (3®iÓm ) Cho tam gi¸c nhän ABC vµ ®êng kÝnh BON . Gäi H lµ trùc t©m cña tam gi¸c ABC , §êng th¼ng BH c¾t ®êng trßn ngo¹i tiÕp tam gi¸c ABC t¹i M .

1) Chøng minh tø gi¸c AMCN lµ h×nh thanng c©n . 2) Gäi I lµ trung ®iÓm cña AC . Chøng minh H , I , N th¼ng hµng . 3) Chøng minh r»ng BH = 2 OI vµ tam gi¸c CHM c©n .

®Ò sè 10 . C©u 1 ( 2 ®iÓm ) Cho ph¬ng tr×nh : x2 + 2x – 4 = 0 . gäi x1, x2, lµ nghiÖm cña ph¬ng tr×nh .

TÝnh gi¸ trÞ cña biÓu thøc : 2

21

221

2122

21 322

xxxx

xxxxA

C©u 2 ( 3 ®iÓm)

Cho hÖ ph¬ng tr×nh

12

72

yx

yxa

a) Gi¶i hÖ ph¬ng tr×nh khi a = 1 b) Gäi nghiÖm cña hÖ ph¬ng tr×nh lµ ( x , y) . T×m çc gi¸ trÞ cña a ®Ó x + y =

2 . C©u 3 ( 2 ®iÓm )

136

Cho ph¬ng tr×nh x2 – ( 2m + 1 )x + m2 + m – 1 =0. a) Chøng minh r»ng ph¬ng tr×nh lu«n cã nghiÖm víi mäi m . b) Gäi x1, x2, lµ hai nghiÖm cña ph¬ng tr×nh . T×m m sao cho : ( 2x1 – x2 )( 2x2

– x1 ) ®¹t gi¸ trÞ nhá nhÊt vµ tÝnh gi¸ trÞ nhá nhÊt Êy . c) H·y t×m mét hÖ thøc liªn hÖ gi÷a x1 vµ x2 mµ kh«ng phô thuéc vµo m .

C©u 4 ( 3 ®iÓm ) Cho h×nh thoi ABCD cã gãc A = 600 . M lµ mét ®iÓm trªn c¹nh BC , ®êng th¼ng AM c¾t c¹nh DC kÐo dµi t¹i N .

a) Chøng minh : AD2 = BM.DN . b) §êng th¼ng DM c¾t BN t¹i E . Chøng minh tø gi¸c BECD néi tiÕp . c) Khi h×nh thoi ABCD cè ®Þnh . Chøng minh ®iÓm E n»m trªn mét cung trßn

cè ®Þnh khi m ch¹y trªn BC .

§Ò thi vµo 10 hÖ THPT chuyªn 1999 §¹i häc khoa häc tù nhiªn. Bµi 1. Cho çc sè a, b, c tháa m·n ®iÒu kiÖn:

2 2 20

14a b ca b c

.H·y tÝnh gi¸ trÞ biÓu thøc 4 4 41P a b c .

Bµi 2. a) Gi¶i ph¬ng tr×nh 3 7 2 8x x x

b) Gi¶i hÖ ph¬ng tr×nh :

1 1 9

21 5

2

x yx y

xyxy

Bµi 3. T×m tÊt c¶ çc sè nguyªn d¬ng n sao cho n2 + 9n – 2 chia hÕt cho n + 11. Bµi 4. Cho vßng trßn (C) vµ ®iÓm I n»m trong vßng trßn. Dùng qua I hai d©y cung bÊt

kú MIN, EIF. Gäi M’, N’, E’, F’ lµ çc trung ®iÓm cña IM, IN, IE, IF. a) Chøng minh r»ng : tø gi¸c M’E’N’F’ lµ tø gi¸c néi tiÕp. b) Gi¶ sö I thay ®æi, çc d©y cung MIN, EIF thay ®æi. Chøng minh r»ng vßng trßn ngo¹i tiÕp tø gi¸c M’E’N’F’ cã b¸n kÝnh kh«ng ®æi. c) Gi¶ sö I cè ®Þnh, çc day cung MIN, EIF thay ®æi nhng lu«n vu«ng gãc víi nhau. T×m vÞ trÝ cña çc d©y cung MIN, EIF sao cho tø gi¸c M’E’N’F’ cã diÖn tÝch lín nhÊt.

Bµi 5. Çc sè d¬ng x, y thay ®æi tháa m·n ®iÒu kiÖn: x + y = 1. T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt

cña biÓu thøc : 2 2

2 2

1 1P x y

y x

137

§Ò thi vµo 10 hÖ THPT chuyªn to¸n 1992 §¹i häc tæng hîp Bµi 1. a) Gi¶i ph¬ng tr×nh (1 + x)4 = 2(1 + x4).

b) Gi¶i hÖ ph¬ng tr×nh

2 2

2 2

2 2

7287

x xy yy yz zz xz x

Bµi 2. a) Ph©n tÝch ®a thøc x5 – 5x – 4 thµnh tÝch cña mét ®a thøc bËc hai vµ mét ®a thøc bËc ba víi hÖ sè nguyªn.

b) ¸p dông kÕt qu¶ trªn ®Ó rót gän biÓu thøc 4 4

2

4 3 5 2 5 125P

.

Bµi 3. Cho ABC ®Òu. Chøng minh r»ng víi mäi ®iÓm M ta lu«n cã MA ≤ MB + MC.

Bµi 4. Cho xOy cè ®Þnh. Hai ®iÓm A, B kh¸c O lÇn lît ch¹y trªn Ox vµ Oy t¬ng øng sao cho OA.OB = 3.OA – 2.OB. Chøng minh r»ng ®êng th¼ng AB lu«n ®I qua mét ®iÓm cè ®Þnh.

Bµi 5. Cho hai sè nguyªn d¬ng m, n tháa m·n m > n vµ m kh«ng chia hÕt cho n. BiÕt r»ng sè d khi chia m cho n b»ng sè d khi chia m + n cho m – n. H·y tÝnh tû sè m

n.

138

§Ò thi vµo 10 hÖ THPT chuyªn 1996 §¹i häc khoa häc tù nhiªn.

Bµi 1. Cho x > 0 h·y t×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña biÓu thøc

6 6

6

3 3

3

1 12

1 1

( ) ( )

( )

x xx xP

x xx x

.

Bµi 2. Gi¶i hÖ ph¬ng tr×nh

1 12 2

1 12 2

yx

xy

Bµi 3. Chøng minh r»ng víi mäi n nguyªn d¬ng ta cã : n3 + 5n M 6.

Bµi 4. Cho a, b, c > 0. Chøng minh r»ng : 3 3 3a b c

ab bc cab c a .

Bµi 5. Cho h×nh vu«ng ABCD c¹nh b»ng a. Gäi M, N, P, Q lµ çc ®iÓm bÊt kú lÇn lît n»m trªn çc c¹nh AB, BC, CD, DA. a) Chøng minh r»ng 2a2 ≤ MN2 + NP2 +PQ2 + QM2 ≤ 4a2 . b) Gi¶ sö M lµ mét ®iÓm cè ®Þnh trªn c¹nh AB. H·y x¸c ®Þnh vÞ trÝ çc ®iÓm N, P, Q lÇn lît trªn çc c¹nh BC, CD, DA sao cho MNPQ lµ mét h×nh vu«ng.

139

D C

BAE

F

§Ò thi vµo 10 hÖ THPT chuyªn 2000 §¹i häc khoa häc tù nhiªn

Bµi 1. a) TÝnh 1 1 1

1 2 2 3 1999 2000....

. . .S .

b) Gi¶I hÖ ph¬ng tr×nh :

2

2

13

13

xx

y yx

xy y

Bµi 2. a) Gi¶i ph¬ng tr×nh 3 2 44 1 1 1x x x x x b) T×m tÊt c¶ çc gi¸ trÞ cña a ®Ó ph¬ng tr×nh

2 2112 4 4 7 0

2( )x a x a cã Ýt nhÊt mét nghiÖm nguyªn.

Bµi 3. Cho ®êng trßn t©m O néi tiÕp trong h×nh thang ABCD (AB // CD), tiÕp xóc víi c¹nh AB t¹i E vµ víi c¹nh CD t¹i F nh h×nh

a) Chøng minh r»ng BE DF

AE CF .

b) Cho AB = a, CB = b (a < b), BE = 2AE. TÝnh diÖn tÝch h×nh thang ABCD.

Bµi 4. Cho x, y lµ hai sè thùc bÊt k× kh¸c kh«ng.

Chøng minh r»ng 2 2 2 2

2 2 8 2 2

43( )

( )

x y x y

x y y x

. DÊu ®¼ng thøc x¶y ra khi nµo ?

140

§Ò thi vµo 10 hÖ THPT chuyªn 1998 §¹i häc khoa häc tù nhiªn

Bµi 1. a) Gi¶I ph¬ng tr×nh 2 28 2 4x x .

b) Gi¶I hÖ ph¬ng tr×nh : 2 2

4 2 2 47

21x xy yx x y y

Bµi 2. Çc sè a, b tháa m·n ®iÒu kiÖn : 3 2

3 23 193 98

a abb ba

H·y tÝnh gi¸ trÞ biÓu thøc P = a2 + b2 . Bµi 3. Cho çc sè a, b, c [0,1]. Chøng minh r»ng {Mê} Bµi 4. Cho ®êng trßn (O) b¸n kÝnh R vµ hai ®iÓm A, B cè ®Þnh trªn (O) sao cho AB <

2R. Gi¶ sö M lµ ®iÓm thay ®æi trªn cung lín »AB cña ®êng trßn . a) KÎ tõ B ®êng trßn vu«ng gãc víi AM, ®êng th¼ng nµy c¾t AM t¹i I vµ (O) t¹i N. Gäi J lµ trung ®iÓm cña MN. Chøng minh r»ng khi M thay ®æi trªn ®êng trßn th× mçi ®iÓm I, J ®Òu n»m trªn mét ®êng trßn cè ®Þnh. b) X¸c ®Þnh vÞ trÝ cña M ®Ó chu vi AMB lµ lín nhÊt.

Bµi 5. a) T×m çc sè nguyªn d¬ng n sao cho mçi sè n + 26 vµ n – 11 ®Òu lµ lËp ph¬ng cña mét sè nguyªn d¬ng. b) Cho çc sè x, y, z thay ®æi th¶o m·n ®iÒu kiÖn x2 + y2 +z2 = 1. H·y t×m gi¸ trÞ

lín nhÊt cña biÓu thøc 2 2 2 2 2 21

2( ) ( ) ( )P xy yz zx x y z y z x z x y .

141

§Ò thi vµo 10 hÖ THPT chuyªn 1993-1994 §¹i häc tæng hîp

Bµi 1. a) Gi¶I ph¬ng tr×nh 1 1

22 4

x x x .

b) Gi¶I hÖ ph¬ng tr×nh : 3 2

3 22 12 0

8 12x xy yy x

Bµi 2. T×m max vµ min cña biÓu thøc : A = x2y(4 – x – y) khi x vµ y thay ®æi tháa m·n ®iÒu kiÖn : x 0, y 0, x + y ≤ 6.

Bµi 3. Cho h×nh thoi ABCD. Gäi R, r lÇn lît lµ çc b¸n kÝnh çc ®êng trßn ngo¹i tiÕp çc tam gi¸c ABD, ABC vµ a lµ ®é dµi c¹nh h×nh thoi. Chøng minh r»ng

2 2 2

1 1 4

R r a .

Bµi 4. T×m tÊt c¶ çc sè nguyªn d¬ng a, b, c ®«I mét kh¸c nhau sao cho biÓu thøc 1 1 1 1 1 1

Aa b c ab ac bc

nhËn gi¸ trÞ nguyªn d¬ng.

142

§Ò thi vµo 10 hÖ THPT chuyªn 1991-1992 §¹i häc tæng hîp

Bµi 1. a) Rót gän biÓu thøc 3 62 3 4 2 44 16 6.A .

b) Ph©n tÝch biªu thøc P = (x – y)5 + (y-z)5 +(z - x )5 thµnh nh©n tö.

Bµi 2. a) Cho çc sè a, b, c, x, y, z th¶o m·n çc ®iÒu kiÖn 00

0

a b cx y zx y z

a b c

h·y tÝnh gi¸

trÞ cña biÓu thøc A = xa2 + yb2 + zc2. b) Cho 4 sè a, b, c, d mçi sè ®Òu kh«ng ©m vµ nhá h¬n hoÆc b»ng 1. Chøng minh r»ng 0 ≤ a + b + c + d – ab – bc – cd – da ≤ 2. Khi nµo ®¼ng thøc x¶y ra dÊu b»ng.

Bµi 3. Cho tríc a, d lµ çc sè nguyªn d¬ng. XÐt çc sè cã d¹ng : a, a + d, a + 2d, … , a + nd, … Chøng minh r»ng trong çc sè ®ã cã Ýt nhÊt mét sè mµ 4 ch÷ sè ®Çu tiªn cña nã lµ 1991.

Bµi 4. Trong mét cuéc héi th¶o khoa häc cã 100 ngêi tham gia. Gi¶ sö mçi ngêi ®Òu quen biÕt víi Ýt nhÊt 67 ngêi. Chøng minh r»ng cã thÓ t×m ®îc mét nhãm 4 ngêi mµ bÊt k× 2 ngêi trong nhãm ®ã ®Òu quen biÕt nhau.

Bµi 5. Cho h×nh vu«ng ABCD. LÊy ®iÓm M n»m trong h×nh vu«ng sao cho MAB = MBA = 150 . Chøng minh r»ng MCD ®Òu.

Bµi 6. H·y x©y dùng mét tËp hîp gåm 8 ®iÓm cã tÝnh chÊt : §êng trung trùc cña ®o¹n th¼ng nèi hai ®iÓm bÊt k× lu«n ®I qua Ýt nhÊt hai ®iÓm cña tËp hîp ®ã.

143

§Ò thi vµo 10 hÖ THPT chuyªn Lý 1989-1990

Bµi 1. T×m tÊt c¶ çc gi¸ trÞ nguyªn cña x ®Ó biªu thøc 22 36

2 3

x x

x

nguyªn.

Bµi 2. T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña biÓu thøc P = a2 + ab + b2 – 3a – 3b + 3. Bµi 3. a) Chøng minh r»ng víi mäi sè nguyªn d¬ng m th× biÓu thøc m2 + m + 1

kh«ng ph¶I lµ sè chÝnh ph¬ng. b) Chøng minh r»ng víi mäi sè nguyªn d¬ng m th× m(m + 1) kh«ng thÓ b»ng tÝch cña 4 sè nguyªn liªn tiÕp.

Bµi 4. Cho ABC vu«ng c©n t¹i A. CM lµ trung tuyÕn. Tõ A vÏ ®êng vu«ng gãc víi

MC c¾t BC t¹i H. TÝnh tØ sè BH

HC.

Bµi 5. Cã 6 thµnh phè, trong ®ã cø 3 thµnh phè bÊt k× th× cã Ýt nhÊt 2 thnµh phè liªn l¹c ®îc víi nhau. Chøng minh r»ng trong 6 thµnh phè nãi trªn tån t¹i 3 thµnh phè liªn l¹c ®îc víi nhau.

144

§Ò thi vµo 10 hÖ THPT chuyªn n¨m 2004 §¹i häc khoa häc tù nhiªn(vßng1) Bµi 1. a) Gi¶I ph¬ng tr×nh 21 1 1 1x x x

b) T×m nghiÖm nguyªn c¶u hÖ 3 3

2 28

2 2 2 7x y x y

y x xy y x

Bµi 2. Cho çc sè thùc d¬ng a vµ b tháa m·n a100 + b100 = a101 + b101 = a102 + b102 .H·y tÝnh gi¸ trÞ biÓu thøc P = a2004 + b2004 .

Bµi 3. Cho ABC cã AB=3cm, BC=4cm, CA=5cm. §êng cao, ®êng ph©n gi¸c, ®êng trung tuyÕn cña tam gi¸c kÎ tõ ®Ønh B chia tam gi¸c thµnh 4 phÇn. H·y tÝnh diÖn tÝch mçi phÇn.

Bµi 4. Cho tø gi¸c ABCD néi tiÕp trong ®êng trßn, cã hai ®êng chÐo AC, BD vu«ng gãc víi nhau t¹i H (H kh«ng trïng víi t©m c¶u ®êng trßn ). Gäi M vµ N lÇn lît lµ ch©n çc ®êng vu«ng gãc h¹ tõ H xuèng çc ®êng th¼ng AB vµ BC; P vµ Q lÇn lît lµ çc giao ®iÓm cña çc ®êng th¼ng MH vµ NH víi çc ®êng th¼ng CD vµ DA. Chøng minh r»ng ®êng th¼ng PQ song song víi ®êng th¼ng AC vµ bèn ®iÓm M, N, P, Q n»m trªn cïng mét ®êng trßn .

Bµi 5. T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña biÓu thøc 10 10

16 16 2 2 2

2 2

1 11

2 4( ) ( ) ( )x y

Q x y x yy x

§Ò thi vµo 10 hÖ THPT chuyªn n¨m 2004 §¹i häc khoa häc tù nhiªn(vßng 2) Bµi 1. gi¶I ph¬ng tr×nh 3 1 2x x

Bµi 2. Gi¶I hÖ ph¬ng tr×nh 2 2

2 2153

( )( )( )( )x y x yx y x y

Bµi 3. T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña biÓu thøc 3 3 2 2

1 1

( ) ( )

( )( )

x y x yP

x y

víi x, y lµ çc sè thùc

lín h¬n 1. Bµi 4. Cho h×nh vu«ng ABCD vµ ®iÓm M n»m trong h×nh vu«ng.

a) T×m tÊt c¶ çc vÞ trÝ cña M sao cho MAB = MBC = MCD = MDA. b) XÐt ®iÓm M n»m trªn ®êng chÐo AC. Gäi N lµ ch©n ®êng vu«ng gãc h¹ tõ

M xuèng AB vµ O lµ trung ®iÓm cña ®o¹n AM. Chøng minh r»ng tØ sè OB

CN cã

gi¸ trÞ kh«ng ®æi khi M di chuyÓn trªn ®êng chÐo AC. c) Víi gi¶ thiÕt M n»m trªn ®êng chÐo AC, xÐt çc ®êng trßn (S) vµ (S’) cã çc ®êng kÝnh t¬ng øng AM vµ CN. Hai tiÕp tuyÕn chung cña (S) vµ (S’) tiÕp xóc víi (S’) t¹i P vµ Q. Chøng minh r»ng ®êng th¼ng PQ tiÕp xóc víi (S).

Bµi 5. Víi sè thùc a, ta ®Þnh nghÜa phÇn nguyªn cña sè a lµ sè nguyªn lín nhÊt kh«ng vît qu¸ a vµ kÝ hiÖu lµ [a]. D·y sè x0, x1, x2 …, xn, … ®îc x¸c ®Þnh bëi c«ng

thøc 1

2 2n

n nx

. Hái trong 200 sè {x1, x2, …, x199} cã bao nhiªu sè kh¸c

0 ?

145

§Ò thi thö vµo THPT Chu V¨n An 2004

Bµi 1. Cho biÓu thøc 2 3 2 2 4

42 2 2 2( ) : ( )

x x x xP

xx x x x x

a) Rót gän P

b) Cho 2

311

4

x

x

. H·y tÝnh gi¸ trÞ cña P.

Bµi 2. Cho ph¬ng tr×nh mx2 – 2x – 4m – 1 = 0 (1) a) T×m m ®Ó ph¬ng tr×nh (1) nhËn x = 5 lµ nghiÖm, h·y t×m nghiÖm cßn l¹i.

b) Víi m 0 Chøng minh r»ng ph¬ng tr×nh (1) lu«n cã hai nghiÖm x1, x2 ph©n biÖt. Gäi A, B lÇn lît lµ çc ®iÓm biÓu diÔn cña çc nghiÖm x1, x2 trªn trôc sè. Chøng minh r»ng ®é dµi ®o¹n th¼ng AB kh«ng ®æi (Kh«ng ch¾c l¾m)

Bµi 3. Cho ®êng trßn (O;R) ®êng kÝnh AB vµ mét ®iÓm M di ®éng trªn ®êng trßn (M kh¸c A, B) Gäi CD lÇn lît lµ ®iÓm chÝnh gi÷a cung nhá AM vµ BM. a) Chøng minh r»ng CD = R 2 vµ ®êng th¼ng CD lu«n tiÕp xóc víi mét ®êng trßn cè ®Þnh. b) Gäi P lµ h×nh chiÕu vu«ng gãc cña ®iÓm D lªn ®êng th¼ng AM. ®êng th¼ng OD c¾t d©y BM t¹i Q vµ c¾t ®êng trßn (O) t¹i giao ®iÓm thø hai S. Tø gi¸c APQS lµ h×nh g× ? T¹i sao ? c) ®êng th¼ng ®I qua A vµ vu«ng gãc víi ®êng th¼ng MC c¾t ®êng th¼ng OC t¹i H. Gäi E lµ trung ®iÓm cña AM. Chøng minh r»ng HC = 2OE. d) Gi¶ sö b¸n kÝnh ®êng trßn néi tiÕp MAB b»ng 1. Gäi MK lµ ®êng cao h¹ tõ M ®Õn AB. Chøng minh r»ng :

1 1 1 1

2 2 2 3MK MA MA MB MB MK

146

§Ò thi vµo 10 hÖ THPT chuyªn n¨m 2003 §¹i häc khoa häc tù nhiªn(vßng 2) Bµi 1. Cho ph¬ng tr×nh x4 + 2mx2 + 4 = 0. T×m gi¸ trÞ cña tham sè m ®Ó ph¬ng tr×nh

cã 4 nghiÖm ph©n biÖt x1, x2, x3, x4 tháa m·n x14 + x2

4 + x34 + x4

4 = 32.

Bµi 2. Gi¶i hÖ ph¬ng tr×nh : 2 2

2 22 5 2 0

4 0x xy y x y

x y x y

Bµi 3. T×m çc sè nguyªn x, y tháa m·n x2 + xy + y2 = x2y2 . Bµi 4. ®êng trßn (O) néi tiÕp ABC tiÕp xóc víi BC, CA, AB t¬ng øng t¹i D, E, F.

§êng trßn t©m (O’) bµng tiÕp trong gãc BAC cña ABC tiÕp xóc víi BC vµ phÇn kÐo dµi cña AB, AC t¬ng øng t¹i P, M, N. a) Chøng minh r»ng : BP = CD. b) Trªn ®êng th¼ng MN lÊy çc ®iÓm I vµ K sao cho CK // AB, BI // AC. Chøng minh r»ng : tø gi¸c BICE vµ BKCF lµ h×nh b×nh hµnh. c) Gäi (S) lµ ®êng trßn ®i qua I, K, P. Chøng minh r»ng (S) tiÕp xóc víi BC, BI, CK.

Bµi 5. Sè thùc x thay ®æi vµ tháa m·n ®iÒu kiÖn : 2 23 5( )x x

T×m min cña 4 4 2 23 6 3( ) ( )P x x x x .

§Ò thi vµo 10 hÖ THPT chuyªn n¨m 2003 §¹i häc khoa häc tù nhiªn

Bµi 1. Gi¶i ph¬ng tr×nh 25 2 1 7 110 3( )( )x x x x .

Bµi 2. Gi¶i hÖ ph¬ng tr×nh 3 2

3 22 3 5

6 7x yx

y xy

Bµi 3. TÝm çc sè nguyªn x, y tháa m·n ®¼ng thøc : 2 2 22 1 2y x x y x y xy . Bµi 4. Cho nöa ®êng trßn (O) ®êng kÝnh AB = 2R. M, N lµ hai ®iÓm trªn nöa ®êng

trßn (O) sao cho M thuéc cung AN vµ tæng çc kho¶ng çch tõ A, B ®Õn ®êng th¼ng MN b»ng 3R a) TÝnh ®é dµi MN theo R. b) Gäi giao ®iÓm cña hai d©y AN vµ BM lµ I. Giao ®iÓm cña çc ®êng th¼ng AM vµ BN lµ K. Chøng minh r»ng bèn ®iÓm M, N, I, K cïng n»m trªn mét ®êng trßn , TÝnh b¸n kÝnh cña ®êng trßn ®ã theo R. c) T×m gi¸ trÞ lín nhÊt cña diÖn tÝch KAB theo R khi M, N thay ®æi nhng vÉn tháa m·n gi¶ thiÕt cña bµi to¸n.

Bµi 5. Cho x, y, z lµ çc sè thùc tháa m·n ®iÒu kiÖn : x + y + z + xy + yz + zx = 6. Chøng minh r»ng : x2 + y2 + z2 3.

147


Bµi 1. a) Gi¶i ph¬ng tr×nh : 2 23 2 3 2 3 2x x x x x x . b) T×m nghiÖm nguyªn cña ph¬ng tr×nh : x + xy + y = 9


3 31

3x y xyx y x y

{M}

Bµi 3. Cho mêi sè nguyªn d¬ng 1, 2, …, 10. S¾p xÕp 10 sè ®ã mét çch tïy ý vµo mét hµng. Céng mçi sè víi sè thø tù cña nã trong hµng ta ®îc 10 tæng. Chøng minh r»ng trong 10 tæng ®ã tån t¹i Ýt nhÊt hai tæng cã ch÷ sè tËn cïng gièng nhau.

Bµi 4. T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña biÓu thøc : 4 3 16 or 5ba b c

Pb c a a c b a b c

Trong ®ã a, b, c lµ ®é dµi ba c¹nh cña mét tam gi¸c. Bµi 5. §êng trßn (C) t©m I néi tiÕp ABC tiÕp xóc víi çc c¹nh BC, CA, AB

t¬ng øng t¹i A’, B’, C’ . a) Gäi çc giao ®iÓm cña ®êng trßn (C) víi çc ®o¹n IA, IB, IC lÇn lît t¹i M, N, P. Chøng minh r»ng çc ®êng th¼ng A’M, B’N, C’P ®ång quy. b) Kðo dµi ®o¹n AI c¾t ®êng trßn ngo¹i tiÕp ABC t¹i D (kh¸c A). Chøng

minh r»ng .IB IC

rID

trong ®ã r lµ b¸n kÝnh ®êng trßn (C) .


Bµi 1. a) Gi¶i ph¬ng tr×nh : 8 5 5x x

b) Gi¶i hÖ ph¬ng tr×nh : 1 1 81 1 17

( )( )( ) ( )x y

x x y y xy

Bµi 2. Cho a, b, c lµ ®é dµi ba c¹nh cña mét tam gi¸c. Chøng minh r»ng ph¬ng tr×nh x2 + (a + b + c)x + ab + bc + ca = 0 v« nghiÖm.

Bµi 3. T×m tÊt c¶ çc sè nguyªn n sao cho n2 + 2002 lµ mét sè chÝnh ph¬ng.

Bµi 4. T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña biÓt thøc: 1 1 1

1 1 1S

xy yz zx

Trong ®ã x,

y, z lµ çc sè d¬ng thay ®æi tháa m·n ®iÒu kiÖn x2 + y2 + z2 ≤ 3. Bµi 5. Cho h×nh vu«ng ABCD. M lµ ®iÓm thay ®æi trªn c¹nh BC (M kh«ng

trïng víi B) vµ N lµ ®iÓm thay ®æi trªn c¹nh CD (N kh«ng trïng D) sao cho MAN = MAB + NAD. a) BD c¾t AN, AM t¬ng øng t¹i p vµ Q. Chøng minh r»ng 5 ®iÓm P, Q, M, C, N cïng n»m trªn mét ®êng trßn. b) Chøng minh r»ng ®êng th¼ng MN lu«n lu«n tiÕp xóc víi mét ®êng trßn cè ®Þnh khi M vµ N thay ®æi. c) Ký hiÖu diÖn tÝch cña APQ lµ S vµ diÖn tÝch tø gi¸c PQMN lµ S’. Chøng

minh r»ng tû sè '

S

S kh«ng ®æi khi M, N thay ®æi.

148

§Ò thi vµo 10 hÖ THPT chuyªn n¨m 2001 §¹i häc khoa häc tù nhiªn Bµi 1. T×m çc gia trÞ nguyªn x, y tháa m·n ®¼ng thøc: (y + 2)x2 + 1 = y2 .

Bµi 2. a) Gi¶i ph¬ng tr×nh : 23 1 1 2( ) ( )x x x x x .

b) Gi¶i hÖ ph¬ng tr×nh : 2

2 22 32

x xy x yx y

Bµi 3. Cho nöa vßng trßn ®êng kÝnh AB=2a. Trªn ®o¹n AB lÊy ®iÓm M. Trong nöa mÆt ph¼ng bê AB chøa nöa vßng trßn, ta kÎ 2 tia Mx vµ My sao cho AMx = BMy =300 . Tia Mx c¾t nöa vßng trßn ë E, tia My c¾t nöa vßng trßn ë F. KÎ EE’, FF’ vu«ng gãc víi AB. a) Cho AM= a/2, tÝnh diÖn tÝch h×nh thang vu«ng EE’F’F theo a. b) Khi M di ®éng trªn AB. Chøng minh r»ng ®êng th¼ng EF lu«n tiÕp xóc víi mét vßng trßn cè ®Þnh.

Bµi 4. Gi¶ sö x, y, z lµ çc sè thùc kh¸c 0 tháa m·n :

3 3 3

1 1 1 1 1 12

1

( ) ( ) ( )x y zy z z x x y

x y z

.H·y tÝnh gi¸ trÞ cña 1 1 1

Px y z

.

Bµi 5. Víi x, y, z lµ çc sè thùc d¬ng, h·y t×m gi¸ trÞ lín nhÊt cña biÓu thøc:

( )( )( )

xyzM

x y y z z x

149

§Ò thi vµo 10 n¨m 1989-1990 Hµ Néi

Bµi 1. XÐt biÓu thøc 2 2

2 5 1 11

1 2 4 1 1 2 4 4 1:

x xA

x x x x x

a) Rót gän A. b) T×m gi¸ trÞ x ®Ó A = -1/2 .

Bµi 2. Mét « t« dù ®Þnh ®i tõ A ®Õn B víi vËn tèc 50 km/h. Sau khi ®i ®îc 2/3 qu·ng ®êng víi vËn tèc ®ã, v× ®êng khã ®i nªn ngêi l¸i xe ph¶i gi¶m vËn tèc mçi giê 10 km trªn qu·ng ®êng cßn l¹i. Do ®ã « t« ®Õn B chËm 30 phót so víi dù ®Þnh. TÝnh qu·ng ®êng AB.

Bµi 3. Cho h×nh vu«ng ABCD vµ mét ®iÓm E bÊt k× trªn c¹nh BC. Tia Ax AE c¾t c¹nh CD kÐo dµi t¹i F. KÎ trung tuyÕn AI cña AEF vµ kÐo dµi c¾t c¹nh CD t¹i K. §êng th¼ng qua E vµ song song víi AB c¾t AI t¹i G. a) Chøng minh r»ng AE = AF. b) Chøng minh r»ng tø gi¸c EGFK lµ h×nh thoi. c) Chøng minh r»ng hai tam gi¸c AKF , CAF ®ång d¹ng vµ AF2 = KF.CF. d) Gi¶ sö E ch¹y trªn c¹nh BC. Chøng minh r»ng EK = BE + ®iÒu kiÖn vµ chu vi ECK kh«ng ®æi.

Bµi 4. T×m gi¸ trÞ cña x ®Ó biÓu thøc 2

2

2 1989x xy

x

®¹t gi¸ trÞ nhá nhÊt vµ t×m

gi¸ trÞ ®ã.

150

§Ò thi tuyÓn sinh vµo líp 10 chuyªn n¨m häc 2000-2001. (1) Bµi 1. T×m n nguyªn d¬ng tháa m·n :

1 1 1 1 1 20001 1 1 1

2 1 3 2 4 3 5 2 2001( )( )( )......( )

. . . ( )n n

Bµi 2. Cho biÓu thøc

2

4 4 4 4

16 81

x x x xA

x x

a) Víi gi¸ trÞ nµo cña x th× A x¸c ®Þnh. b) T×m x ®Ó A ®¹t gi¸ trÞ nhá nhÊt. c) T×m çc gi¸ trÞ nguyªn cña x ®Ó A nguyªn.

Bµi 3. Cho ABC ®Òu c¹nh a. §iÓm Q di ®éng trªn AC, ®iÓm P di ®éng trªn tia ®èi cña tia CB sao cho AQ. BP = a2 . §êng th¼ng AP c¾t ®êng th¼ng BQ t¹i M. a) Chøng minh r»ng tø gi¸c ABCM néi tiÕp ®êng trßn . b) T×m gi¸ trÞ lín nhÊt cña MA + MC theo a.

Bµi 4. Cho a, b, c > 0. Chøng minh r»ng a b c a b c

b a c b a c b c c a a b

Bµi 5. Chøng minh r»ng sin750 = 6 2

4

151

§Ò thi tuyÓn sinh vµo líp 10 chuyªn n¨m häc 2000-2001. (2)

Bµi 1. Cho biÓu thøc 2

1 1 1 2

1 1 1 1 1( ) : ( )

x x xP

x x x x x

.

a) Rót gän P. b) Chøng minh r»ng P < 1 víi mäi gi¸ trÞ cña x 1.

Bµi 2. Hai vßi níc cïng ch¶y vµo bÓ th× sau 4 giê 48 phót th× ®Çy. Nðu ch¶y cïng mét thêi gian nh nhau th× lîng níc cña vßi II b»ng 2/3 l¬ng níc cña vßi I ch¶y ®îc. Hái mçi vßi ch¶y riªng th× sau bao l©u ®Çy bÓ.

Bµi 3. Chøng minh r»ng ph¬ng tr×nh : 2 6 1 0x x cã hai nghiÖm

x1 = 2 3 vµ x2 = 2 3 . Bµi 4. Cho ®êng trßn t©m O ®êng kÝnh AB = 2R vµ mét ®iÓm M di ®éng trªn

mét nöa ®êng trßn ( M kh«ng trïng víi A, B). Ngêi ta vÏ mét ®êng trßn t©m E tiÕp xóc víi ®êng trßn (O) t¹i M vµ tiÕp xóc víi ®êng kÝnh AB. §êng trßn (E) c¾t MA, MB lÇn lît t¹i çc ®iÓm thø hai lµ C, D. a) Chøng minh r»ng ba ®iÓm C, E, D th¼ng hµng. b) Chøng minh r»ng ®êng th¼ng MN ®i qua mét ®iÓm cè ®Þnh K vµ tÝch KM.KN kh«ng ®æi. c) Gäi giao ®iÓm cña çc tia CN, DN víi KB, KA lÇn lît lµ P vµ Q. X¸c ®Þnh vÞ trÝ cña M ®Ó diÖn tÝch NPQ ®¹t gi¸ trÞ lín nhÊt vµ chøng tá khi ®ã chu vi NPQ ®¹i gi¸ trÞ nhá nhÊt. d) T×m quü tÝch ®iÓm E.

152

§Ò thi vµo 10 hÖ THPT chuyªn n¨m 2001 §¹i häc khoa häc tù nhiªn Bµi 1. a) Cho f(x) = ax2 + bx + c cã tÝnh chÊt f(x) nhËn gi¸ trÞ nguyªn khi x lµ

sè nguyªn hái çc hÖ sè a, b, c cã nhÊt thiÕt ph¶i lµ çc sè nguyªn hay kh«ng ? T¹i sao ? b) T×m çc sè nguyªn kh«ng ©m x, y tháa m·n ®¼ng thøc : 2 2 1x y y

Bµi 2. Gi¶i ph¬ng tr×nh 24 1 5 14x x x

Bµi 3. Cho çc sè thùc a, b, x, y tháa m·n hÖ : 2 2

3 3

4 4

35917

ax byax byax byax by

TÝnh gi¸ trÞ cña çc biÓu thøc 5 5A ax by vµ 2001 2001B ax by

Bµi 4. Cho ®o¹n th¼ng Ab cã trung ®iÓm lµ O. Gäi d, d’ lµ çc ®êng th¼ng vu«ng gãc víi AB t¬ng øng t¹i A, B. Mét gãc vu«ng ®Ønh O cã mét c¹nh c¾t d ë M, cßn c¹nh kia c¾t d’ ë N. kÎ OH MN. Vßng trßn ngo¹i tiÕp MHB c¾t d ë ®iÓm thø hai lµ E kh¸c M. MB c¾t NA t¹i I, ®êng th¼ng HI c¾t EB ë K. Chøng minh r»ng K n»m trªn mét ®êng trßn cè ®inh khi gãc vu«ng uqay quanh ®Ønh O.

Bµi 5. Cho 2001 ®ång tiÒn, mçi ®ång tiÒn ®îc s¬n mét mÆt mµu ®á vµ mét mÆt mµu xanh. XÕp 2001 ®ång tiÒn ®ã theo mét vßng trßn sao cho tÊt c¶ çc ®ång tiÒn ®Òu cã mÆt xanh ngöa lªn phÝa trªn. Cho phÐp mçi lÇn ®æi mÆt ®ång thêi 5 ®ång tiÒn liªn tiÕp c¹nh nhau. Hái víi çnh lµm nh thÕ sau mét sè h÷u h¹n lÇn ta cã thÓ lµm cho tÊt c¶ çc ®ång tiÒn ®Òu cã mÆt ®á ngöa lªn phÝa trªn ®îc hay kh«ng ? T¹i sao ?

153

§Ò thi tuyÓn sinh vµo líp 10 chuyªn To¸n Tin n¨m 2003-2004 §¹i häc s ph¹m HN

Bµi 1. Chøng minh r»ng biÓu thøc sau cã gi¸ trÞ kh«ng phô théc vµo x

3 6

4

2 3 7 4 3

9 4 5 2 5

.

.

xA x

x

Bµi 2. Víi mçi sè nguyªn d¬ng n, ®Æt Pn = 1.2.3….n. Chøng minh r»ng a) 1 + 1.P1 + 2.P2 + 3.P3 +….+ n.Pn = Pn+1 .

b) 1 2 3

1 2 3 11.....

n

n

P P P P

Bµi 3. T×m çc sè nguyªn d¬ng n sao cho hai sè x = 2n + 2003 vµ y = 3n + 2005 ®Òu lµ nh÷ng sè ch×nh ph¬ng.

Bµi 4. XÐt ph¬ng tr×nh Èn x : 2 22 4 5 2 1 1 0( )( )( )x x a x x a x a

a) Gi¶i ph¬ng tr×nh øng víi a = -1. b) T×m a ®Ó ph¬ng tr×nh trªn cã ®óng ba nghiÖm ph©n biÖt.

Bµi 5. Qua mét ®iÓm M tïy ý ®· cho trªn ®¸y lín AB cña h×nh thang ABCD ta kÎ çc ®êng th¼ng song song víi hai ®êng chÐo AC vµ BD. Çc ®êng th¼ng song song nµy c¾t hai c¹nh BC vµ AD lÇn lît t¹i E vµ F. §o¹n EF c¾t AC vµ BD t¹i I vµ J t¬ng øng. a) Chøng minh r»ng nÕu H lµ trung ®iÓm cña IJ th× H cïng lµ trung ®iÓm cña EF. b) Trong trêng hîp AB = 2CD, h·y chØ ra vÞ trÝ cña mét ®iÓm M trªn AB sao cho EJ = JI = IF.

154

§Ò thi tuyÓn sinh vµo líp 10 chuyªn To¸n Tin n¨m 2004 §¹i häc s ph¹m HN Bµi 1. Cho x, y, z lµ ba sè d¬ng thay ®æi tháa m·n ®iÒu kiÖn x + y + z = 3. T×m gi¸

trÞ nhá nhÊt cña biÓu thøc : 1 1 1

Px y z

.

Bµi 2. T×m tÊt c¶ bé ba sè d¬ng tháa m·n hÖ ph¬ng tr×nh :

2004 6 6

2004 6 6

2004 6 6

222

x y zy z xz x y

Bµi 3. Gi¶i ph¬ng tr×nh :

2 2 3 3 1 3 4 1 2

3 41 2 1 3 2 1 2 3 3 1 3 2

( )( ) ( )( ) ( )( )

( )( ) ( )( ) ( )( )

x x x x x xx

.

Bµi 4. Mçi bé ba sè nguyªn d¬ng (x,y,z) tháa m·n ph¬ng tr×nh x2+y2+z2=3xyz ®îc gäi lµ mét nghiÖm nguyªn d¬ng cña ph¬ng tr×nh nµy. a) H·y chØ ra 4 nghiÖm nguyªn d¬ng kh¸c cña ph¬ng tr×nh ®· cho. b) Chøng minh r»ng ph¬ng tr×nh ®· cho cã v« sè nghiÖm nguyªn d¬ng.

Bµi 5. Cho ABC ®Òu néi tiÕp ®êng trßn (O). Mét ®êng th¼ng d thay ®æi lu«n ®i qua A c¾t çc tiÕp tuyÕn t¹i B vµ C cña ®êng trßn (O) t¬ng øng t¹i M vµ N. Gi¶ sö d c¾t l¹i ®êng trßn (O) t¹i E (kh¸c A), MC c¾t BN t¹i F. Chøng minh r»ng : a) ACN ®ång d¹ng víi MBA. MBC ®ång d¹ng víi BCN. b) tø gi¸c BMEF lµ tø gi¸c néi tiÕp c) §êng th¼ng EF lu«n ®i qua mét ®iÓm cè ®Þnh khi d thay ®æi nhng lu«n ®i qua A.

§Ò 1

C©u 1 : ( 3 ®iÓm ) Gi¶i çc ph¬ng tr×nh

a) 3x2 – 48 = 0 . b) x2 – 10 x + 21 = 0 .

c) 5

203

5

8

xx

C©u 2 : ( 2 ®iÓm ) a) T×m çc gi¸ trÞ cña a , b biÕt r»ng ®å thÞ cña hµm sè y = ax + b ®i qua hai

®iÓm

A( 2 ; - 1 ) vµ B ( )2;2

1

b) Víi gi¸ trÞ nµo cña m th× ®å thÞ cña çc hµm sè y = mx + 3 ; y = 3x –7 vµ ®å thÞ cña hµm sè x¸c ®Þnh ë c©u ( a ) ®ång quy .


nyx

nymx

2

5

a) Gi¶i hÖ khi m = n = 1 .

155

b) T×m m , n ®Ó hÖ ®· cho cã nghiÖm

13

3

y

x

C©u 4 : ( 3 ®iÓm )

Cho tam gi¸c vu«ng ABC ( µC = 900 ) néi tiÕp trong ®êng trßn t©m O . Trªn cung nhá AC ta lÊy mét ®iÓm M bÊt kú ( M kh¸c A vµ C ) . VÏ ®êng trßn t©m A b¸n kÝnh AC , ®êng trßn nµy c¾t ®êng trßn (O) t¹i ®iÓm D ( D kh¸c C ) . §o¹n th¼ng BM c¾t ®êng trßn t©m A ë ®iÓm N .

a) Chøng minh MB lµ tia ph©n gi¸c cña gãc ·CMD . b) Chøng minh BC lµ tiÕp tuyÕn cña ®êng trßn t©m A nãi trªn . c) So s¸nh gãc CNM víi gãc MDN . d) Cho biÕt MC = a , MD = b . H·y tÝnh ®o¹n th¼ng MN theo a vµ b .

®Ò sè 2

C©u 1 : ( 3 ®iÓm )


3 2x ( P )

a) TÝnh gi¸ trÞ cña hµm sè t¹i x = 0 ; -1 ; 3

1 ; -2 .

b) BiÕt f(x) = 2

1;

3

2;8;

2

9 t×m x .

c) X¸c ®Þnh m ®Ó ®êng th¼ng (D) : y = x + m – 1 tiÕp xóc víi (P) . C©u 2 : ( 3 ®iÓm )


2

2 2

yx

mmyx

a) Gi¶i hÖ khi m = 1 . b) Gi¶i vµ biÖn luËn hÖ ph¬ng tr×nh . C©u 3 : ( 1 ®iÓm ) LËp ph¬ng tr×nh bËc hai biÕt hai nghiÖm cña ph¬ng tr×nh lµ :

2

321

x

2

322

x

C©u 4 : ( 3 ®iÓm ) Cho ABCD lµ mét tø gi¸c néi tiÕp . P lµ giao ®iÓm cña hai ®êng chÐo AC vµ

BD . a) Chøng minh h×nh chiÕu vu«ng gãc cña P lªn 4 c¹nh cña tø gi¸c lµ 4 ®Ønh

cña mét tø gi¸c cã ®êng trßn néi tiÕp .

156

b) M lµ mét ®iÓm trong tø gi¸c sao cho ABMD lµ h×nh b×nh hµnh . Chøng minh r»ng nÕu gãc CBM = gãc CDM th× gãc ACD = gãc BCM .

c) T×m ®iÒu kiÖn cña tø gi¸c ABCD ®Ó :

)..(2

1BCADCDABS ABCD

§Ò sè 3

C©u 1 ( 2 ®iÓm ) .

Gi¶i ph¬ng tr×nh a) 1- x - x3 = 0 b) 0322 xx

C©u 2 ( 2 ®iÓm ) .

Cho Parabol (P) : y = 2

2

1x vµ ®êng th¼ng (D) : y = px + q .

X¸c ®Þnh p vµ q ®Ó ®êng th¼ng (D) ®i qua ®iÓm A ( - 1 ; 0 ) vµ tiÕp xóc víi (P) . T×m to¹ ®é tiÕp ®iÓm . C©u 3 : ( 3 ®iÓm )

Trong cïng mét hÖ trôc to¹ ®é Oxy cho parabol (P) : 2

4

1xy

vµ ®êng th¼ng (D) : 12 mmxy

a) VÏ (P) . b) T×m m sao cho (D) tiÕp xóc víi (P) . c) Chøng tá (D) lu«n ®i qua mét ®iÓm cè ®Þnh . C©u 4 ( 3 ®iÓm ) .

Cho tam gi¸c vu«ng ABC ( gãc A = 900 ) néi tiÕp ®êng trßn t©m O , kÎ ®êng kÝnh AD .

1) Chøng minh tø gi¸c ABCD lµ h×nh ch÷ nhËt . 2) Gäi M , N thø tù lµ h×nh chiÕu vu«ng gãc cña B , C trªn AD , AH lµ ®êng

cao cña tam gi¸c ( H trªn c¹nh BC ) . Chøng minh HM vu«ng gãc víi AC . 3) X¸c ®Þnh t©m ®êng trßn ngo¹i tiÕp tam gi¸c MHN . 4) Gäi b¸n kÝnh ®êng trßn ngo¹i tiÕp vµ ®êng trßn néi tiÕp tam gi¸c ABC lµ R

vµ r . Chøng minh ACABrR .

157

§Ò sè 4

C©u 1 ( 3 ®iÓm ) . Gi¶i çc ph¬ng tr×nh sau .

a) x2 + x – 20 = 0 .

b) xxx

1

1

1

3

1

c) 131 xx

C©u 2 ( 2 ®iÓm ) Cho hµm sè y = ( m –2 ) x + m + 3 .

a) T×m ®iÒu kiÖm cña m ®Ó hµm sè lu«n nghÞch biÕn . b) T×m m ®Ó ®å thÞ hµm sè c¾t trôc hoµnh t¹i ®iÓm cã hµnh ®é lµ 3 . c) T×m m ®Ó ®å thÞ çc hµm sè y = - x + 2 ; y = 2x –1vµ y = (m – 2 )x + m + 3

®ång quy . C©u 3 ( 2 ®iÓm )

Cho ph¬ng tr×nh x2 – 7 x + 10 = 0 . Kh«ng gi¶i ph¬ng tr×nh tÝnh . a) 2

221 xx

b) 22

21 xx

c) 21 xx

C©u 4 ( 4 ®iÓm )

Cho tam gi¸c ABC néi tiÕp ®êng trßn t©m O , ®êng ph©n gi¸c trong cña gãc A c¾t c¹nh BC t¹i D vµ c¾t ®êng trßn ngo¹i tiÕp t¹i I .

a) Chøng minh r»ng OI vu«ng gãc víi BC . b) Chøng minh BI2 = AI.DI . c) Gäi H lµ h×nh chiÕu vu«ng gãc cña A trªn BC . Chøng minh gãc BAH = gãc CAO .

d) Chøng minh gãc HAO = µ µB C

§Ò sè 5

C©u 1 ( 3 ®iÓm ) . Cho hµm sè y = x2 cã ®å thÞ lµ ®êng cong Parabol (P) . a) Chøng minh r»ng ®iÓm A( - )2;2 n»m trªn ®êng cong (P) .

b) T×m m ®Ó ®Ó ®å thÞ (d ) cña hµm sè y = ( m – 1 )x + m ( m R , m 1 ) c¾t ®êng cong (P) t¹i mét ®iÓm .

158

c) Chøng minh r»ng víi mäi m kh¸c 1 ®å thÞ (d ) cña hµm sè y = (m-1)x + m lu«n ®i qua mét ®iÓm cè ®Þnh .

C©u 2 ( 2 ®iÓm ) .


13

52

ymx

ymx

a) Gi¶i hÖ ph¬ng tr×nh víi m = 1 b) Gi¶i biÖn luËn hÖ ph¬ng tr×nh theo tham sè m . c) T×m m ®Ó hÖ ph¬ng tr×nh cã nghiÖm tho¶ m·n x2 + y2 = 1 . C©u 3 ( 3 ®iÓm )

Gi¶i ph¬ng tr×nh

5168143 xxxx

C©u 4 ( 3 ®iÓm )

Cho tam gi¸c ABC , M lµ trung ®iÓm cña BC . Gi¶ sö · ·BAM BCA . a) Chøng minh r»ng tam gi¸c ABM ®ång d¹ng víi tam gi¸c CBA . b) Chøng minh minh : BC2 = 2 AB2 . So s¸nh BC vµ ®êng chÐo h×nh vu«ng

c¹nh lµ AB . c) Chøng tá BA lµ tiÕp tuyÕn cña ®êng trßn ngo¹i tiÕp tam gi¸c AMC . d) §êng th¼ng qua C vµ song song víi MA , c¾t ®êng th¼ng AB ë D . Chøng tá

®êng trßn ngo¹i tiÕp tam gi¸c ACD tiÕp xóc víi BC .

§Ò sè 6 .

C©u 1 ( 3 ®iÓm ) a) Gi¶i ph¬ng tr×nh : 231 xx

c) Cho Parabol (P) cã ph¬ng tr×nh y = ax2 . X¸c ®Þnh a ®Ó (P) ®i qua ®iÓm A( -1; -2) . T×m to¹ ®é çc giao ®iÓm cña (P) vµ ®êng trung trùc cña ®o¹n OA .

C©u 2 ( 2 ®iÓm ) a) Gi¶i hÖ ph¬ng tr×nh

11

3

2

2

22

1

1

1

xy

yx

1) X¸c ®Þnh gi¸ trÞ cña m sao cho ®å thÞ hµm sè (H) : y = x

1 vµ ®êng th¼ng (D)

: y = - x + m tiÕp xóc nhau .

159

C©u 3 ( 3 ®iÓm ) Cho ph¬ng tr×nh x2 – 2 (m + 1 )x + m2 - 2m + 3 = 0 (1).

a) Gi¶i ph¬ng tr×nh víi m = 1 . b) X¸c ®Þnh gi¸ trÞ cña m ®Ó (1) cã hai nghiÖm tr¸i dÊu . c) T×m m ®Ó (1) cã mét nghiÖm b»ng 3 . T×m nghiÖm kia .

C©u 4 ( 3 ®iÓm ) Cho h×nh b×nh hµnh ABCD cã ®Ønh D n»m trªn ®êng trßn ®êng kÝnh AB . H¹ BN vµ DM cïng vu«ng gãc víi ®êng chÐo AC .

Chøng minh : a) Tø gi¸c CBMD néi tiÕp .

b) Khi ®iÓm D di ®éng trªn trªn ®êng trßn th× · ·BMD BCD kh«ng ®æi . c) DB . DC = DN . AC

§Ò sè 7 C©u 1 ( 3 ®iÓm ) Gi¶i çc ph¬ng tr×nh :

a) x4 – 6x2- 16 = 0 . b) x2 - 2 x - 3 = 0

c) 09

813

12

xx

xx

C©u 2 ( 3 ®iÓm ) Cho ph¬ng tr×nh x2 – ( m+1)x + m2 – 2m + 2 = 0 (1)

a) Gi¶i ph¬ng tr×nh víi m = 2 . b) X¸c ®Þnh gi¸ trÞ cña m ®Ó ph¬ng tr×nh cã nghiÖm kÐp . T×m nghiÖm kÐp ®ã

. c) Víi gi¸ trÞ nµo cña m th× 2


C©u 3 ( 4 ®iÓm ) . Cho tø gi¸c ABCD néi tiÕp trong ®êng trßn t©m O . Gäi I lµ giao ®iÓm cña hai ®êng chÐo AC vµ BD , cßn M lµ trung ®iÓm cña c¹nh CD . Nèi MI kÐo dµi c¾t c¹nh AB ë N . Tõ B kÎ ®êng th¼ng song song víi MN , ®êng th¼ng ®ã c¾t çc ®êng th¼ng AC ë E . Qua E kÎ ®êng th¼ng song song víi CD , ®êng th¼ng nµy c¾t ®êng th¼ng BD ë F .

a) Chøng minh tø gi¸c ABEF néi tiÕp . b) Chøng minh I lµ trung ®iÓm cña ®o¹n th¼ng BF vµ AI . IE = IB2 .

c) Chøng minh 2

2

NA IA=

NB IB

160

®Ò sè 8 C©u 1 ( 2 ®iÓm ) Ph©n tÝch thµnh nh©n tö .

a) x2- 2y2 + xy + 3y – 3x . b) x3 + y3 + z3

- 3xyz . C©u 2 ( 3 ®iÓm ) Cho hÖ ph¬ng tr×nh .

53

3

myx

ymx

a) Gi¶i hÖ ph¬ng tr×nh khi m = 1 .

b) T×m m ®Ó hÖ cã nghiÖm ®ång thêi tho¶ m·n ®iÒu kiÖn ; 13

)1(72

m

myx

C©u 3 ( 2 ®iÓm ) Cho hai ®êng th¼ng y = 2x + m – 1 vµ y = x + 2m .

a) T×m giao ®iÓm cña hai ®êng th¼ng nãi trªn . b) T×m tËp hîp çc giao ®iÓm ®ã .

C©u 4 ( 3 ®iÓm ) Cho ®êng trßn t©m O . A lµ mét ®iÓm ë ngoµi ®êng trßn , tõ A kÎ tiÕp tuyÕn AM , AN víi ®êng trßn , çt tuyÕn tõ A c¾t ®êng trßn t¹i B vµ C ( B n»m gi÷a A vµ C ) . Gäi I lµ trung ®iÓm cña BC .

1) Chøng minh r»ng 5 ®iÓm A , M , I , O , N n»m trªn mét ®êng trßn . 2) Mét ®êng th¼ng qua B song song víi AM c¾t MN vµ MC lÇn lît t¹i E vµ F .

Chøng minh tø gi¸c BENI lµ tø gi¸c néi tiÕp vµ E lµ trung ®iÓm cña EF . §Ò sè 9 C©u 1 ( 3 ®iÓm ) Cho ph¬ng tr×nh : x2 – 2 ( m + n)x + 4mn = 0 .

a) Gi¶i ph¬ng tr×nh khi m = 1 ; n = 3 . b) Chøng minh r»ng ph¬ng tr×nh lu«n cã nghiÖm víi mäi m ,n .

c) Gäi x1, x2, lµ hai nghiÖm cña ph¬ng tr×nh . TÝnh 22

21 xx theo m ,n .

C©u 2 ( 2 ®iÓm ) Gi¶i çc ph¬ng tr×nh .

a) x3 – 16x = 0 b) 2 xx

c) 19

14

3

12

xx

C©u 3 ( 2 ®iÓm ) Cho hµm sè : y = ( 2m – 3)x2 .

1) Khi x < 0 t×m çc gi¸ trÞ cña m ®Ó hµm sè lu«n ®ång biÕn .

161

2) T×m m ®Ó ®å thÞ hµm sè ®i qua ®iÓm ( 1 , -1 ) . VÏ ®å thÞ víi m võa t×m ®îc . C©u 4 (3®iÓm ) Cho tam gi¸c nhän ABC vµ ®êng kÝnh BON . Gäi H lµ trùc t©m cña tam gi¸c ABC , §êng th¼ng BH c¾t ®êng trßn ngo¹i tiÕp tam gi¸c ABC t¹i M .

1) Chøng minh tø gi¸c AMCN lµ h×nh thanng c©n . 2) Gäi I lµ trung ®iÓm cña AC . Chøng minh H , I , N th¼ng hµng . 3) Chøng minh r»ng BH = 2 OI vµ tam gi¸c CHM c©n .

®Ò sè 10 . C©u 1 ( 2 ®iÓm ) Cho ph¬ng tr×nh : x2 + 2x – 4 = 0 . gäi x1, x2, lµ nghiÖm cña ph¬ng tr×nh .

TÝnh gi¸ trÞ cña biÓu thøc : 2

21

221

2122

21 322

xxxx

xxxxA

C©u 2 ( 3 ®iÓm)

Cho hÖ ph¬ng tr×nh

12

72

yx

yxa

a) Gi¶i hÖ ph¬ng tr×nh khi a = 1 b) Gäi nghiÖm cña hÖ ph¬ng tr×nh lµ ( x , y) . T×m çc gi¸ trÞ cña a ®Ó x + y = 2

. C©u 3 ( 2 ®iÓm ) Cho ph¬ng tr×nh x2 – ( 2m + 1 )x + m2 + m – 1 =0.

a) Chøng minh r»ng ph¬ng tr×nh lu«n cã nghiÖm víi mäi m . b) Gäi x1, x2, lµ hai nghiÖm cña ph¬ng tr×nh . T×m m sao cho : ( 2x1 – x2 )( 2x2

– x1 ) ®¹t gi¸ trÞ nhá nhÊt vµ tÝnh gi¸ trÞ nhá nhÊt Êy . c) H·y t×m mét hÖ thøc liªn hÖ gi÷a x1 vµ x2 mµ kh«ng phô thuéc vµo m .

C©u 4 ( 3 ®iÓm ) Cho h×nh thoi ABCD cã gãc A = 600 . M lµ mét ®iÓm trªn c¹nh BC , ®êng th¼ng AM c¾t c¹nh DC kÐo dµi t¹i N .

a) Chøng minh : AD2 = BM.DN . b) §êng th¼ng DM c¾t BN t¹i E . Chøng minh tø gi¸c BECD néi tiÕp . c) Khi h×nh thoi ABCD cè ®Þnh . Chøng minh ®iÓm E n»m trªn mét cung trßn

cè ®Þnh khi m ch¹y trªn BC . §Ò sè 11 C©u 1 ( 3 ®iÓm ) Cho biÓu thøc :

22

2 12

1.)

1

1

1

1( x

x

xxA

162

4) T×m ®iÒu kiÖn cña x ®Ó biÓu thøc A cã nghÜa . 5) Rót gän biÓu thøc A . 6) Gi¶i ph¬ng tr×nh theo x khi A = -2 .

C©u 2 ( 1 ®iÓm ) Gi¶i ph¬ng tr×nh : 12315 xxx C©u 3 ( 3 ®iÓm ) Trong mÆt ph¼ng to¹ ®é cho ®iÓm A ( -2 , 2 ) vµ ®êng th¼ng (D) : y = - 2(x +1) .

d) §iÓm A cã thuéc (D) hay kh«ng ? e) T×m a trong hµm sè y = ax2 cã ®å thÞ (P) ®i qua A . f) ViÕt ph¬ng tr×nh ®êng th¼ng ®i qua A vµ vu«ng gãc víi (D) .

C©u 4 ( 3 ®iÓm ) Cho h×nh vu«ng ABCD cè ®Þnh , cã ®é dµi c¹nh lµ a .E lµ ®iÓm ®i chuyÓn trªn ®o¹n CD ( E kh¸c D ) , ®êng th¼ng AE c¾t ®êng th¼ng BC t¹i F , ®êng th¼ng vu«ng gãc víi AE t¹i A c¾t ®êng th¼ng CD t¹i K .

4) Chøng minh tam gi¸c ABF = tam gi¸c ADK tõ ®ã suy ra tam gi¸c AFK vu«ng c©n .

5) Gäi I lµ trung ®iÓm cña FK , Chøng minh I lµ t©m ®êng trßn ®i qua A , C, F , K .

6) TÝnh sè ®o gãc AIF , suy ra 4 ®iÓm A , B , F , I cïng n»m trªn mét ®êng trßn .

§Ò sè 12 C©u 1 ( 2 ®iÓm )


2

1x

3) Nªu tËp x¸c ®Þnh , chiÒu biÕn thiªn vµ vÏ ®å thi cña hµm sè. 4) LËp ph¬ng tr×nh ®êng th¼ng ®i qua ®iÓm ( 2 , -6 ) cã hÖ sè gãc a vµ tiÕp xóc

víi ®å thÞ hµm sè trªn . C©u 2 ( 3 ®iÓm ) Cho ph¬ng tr×nh : x2 – mx + m – 1 = 0 .

3) Gäi hai nghiÖm cña ph¬ng tr×nh lµ x1 , x2 . TÝnh gi¸ trÞ cña biÓu thøc .

2212

21

22

21 1

xxxx

xxM

. Tõ ®ã t×m m ®Ó M > 0 .

4) T×m gi¸ trÞ cña m ®Ó biÓu thøc P = 122

21 xx ®¹t gi¸ trÞ nhá nhÊt .

C©u 3 ( 2 ®iÓm ) Gi¶i ph¬ng tr×nh :

c) xx 44 d) xx 332

C©u 4 ( 3 ®iÓm ) Cho hai ®êng trßn (O1) vµ (O2) cã b¸n kÝnh b»ng R c¾t nhau t¹i A vµ B , qua A vÏ çt tuyÕn c¾t hai ®êng trßn (O1) vµ (O2) thø tù t¹i E vµ F , ®êng th¼ng EC , DF c¾t nhau t¹i P .

163

4) Chøng minh r»ng : BE = BF . 5) Mét çt tuyÕn qua A vµ vu«ng gãc víi AB c¾t (O1) vµ (O2) lÇn lît t¹i C,D .

Chøng minh tø gi¸c BEPF , BCPD néi tiÕp vµ BP vu«ng gãc víi EF . 6) TÝnh diÖn tÝch phÇn giao nhau cña hai ®êng trßn khi AB = R .

§Ò sè 13 C©u 1 ( 3 ®iÓm )

3) Gi¶i bÊt ph¬ng tr×nh : 42 xx

4) T×m gi¸ trÞ nguyªn lín nhÊt cña x tho¶ m·n .

12

13

3

12

xx

C©u 2 ( 2 ®iÓm ) Cho ph¬ng tr×nh : 2x2 – ( m+ 1 )x +m – 1 = 0

c) Gi¶i ph¬ng tr×nh khi m = 1 . d) T×m çc gi¸ trÞ cña m ®Ó hiÖu hai nghiÖm b»ng tÝch cña chóng .

C©u3 ( 2 ®iÓm ) Cho hµm sè : y = ( 2m + 1 )x – m + 3 (1)

c) T×m m biÕt ®å thÞ hµm sè (1) ®i qua ®iÓm A ( -2 ; 3 ) . d) T×m ®iÓm cè ®Þnh mµ ®å thÞ hµm sè lu«n ®i qua víi mäi gi¸ trÞ cña m .

C©u 4 ( 3 ®iÓm ) Cho gãc vu«ng xOy , trªn Ox , Oy lÇn lît lÊy hai ®iÓm A vµ B sao cho OA = OB . M lµ mét ®iÓm bÊt kú trªn AB . Dùng ®êng trßn t©m O1 ®i qua M vµ tiÕp xóc víi Ox t¹i A , ®êng trßn t©m O2 ®i qua M vµ tiÕp xóc víi Oy t¹i B , (O1) c¾t (O2) t¹i ®iÓm thø hai N .

4) Chøng minh tø gi¸c OANB lµ tø gi¸c néi tiÕp vµ ON lµ ph©n gi¸c cña gãc ANB .

5) Chøng minh M n»m trªn mét cung trßn cè ®Þnh khi M thay ®æi . 6) X¸c ®Þnh vÞ trÝ cña M ®Ó kho¶ng çch O1O2 lµ ng¾n nhÊt .

§Ò sè 14 . C©u 1 ( 3 ®iÓm )

Cho biÓu thøc :

1

2:)

1

1

1

2(

xx

x

xxx

xxA

c) Rót gän biÓu thøc . d) TÝnh gi¸ trÞ cña A khi 324 x

C©u 2 ( 2 ®iÓm )

Gi¶i ph¬ng tr×nh : xx

x

xx

x

x

x

6

1

6

2

36

22222

C©u 3 ( 2 ®iÓm )

164

Cho hµm sè : y = - 2

2

1x

c) T×m x biÕt f(x) = - 8 ; - 8

1 ; 0 ; 2 .

d) ViÕt ph¬ng tr×nh ®êng th¼ng ®i qua hai ®iÓm A vµ B n»m trªn ®å thÞ cã hoµnh ®é lÇn lît lµ -2 vµ 1 .

C©u 4 ( 3 ®iÓm ) Cho h×nh vu«ng ABCD , trªn c¹nh BC lÊy 1 ®iÓm M . §êng trßn ®êng kÝnh AM c¾t ®êng trßn ®êng kÝnh BC t¹i N vµ c¾t c¹nh AD t¹i E .

4) Chøng minh E, N , C th¼ng hµng . 5) Gäi F lµ giao ®iÓm cña BN vµ DC . Chøng minh CDEBCF 6) Chøng minh r»ng MF vu«ng gãc víi AC .

§Ò sè 15 C©u 1 ( 3 ®iÓm )


13

52

ymx

ymx

d) Gi¶i hÖ ph¬ng tr×nh khi m = 1 . e) Gi¶i vµ biÖn luËn hÖ ph¬ng tr×nh theo tham sè m . f) T×m m ®Ó x – y = 2 .

C©u 2 ( 3 ®iÓm )


yyxx

yx22

22 1

4) Cho ph¬ng tr×nh bËc hai : ax2 + bx + c = 0 . Gäi hai nghiÖm cña ph¬ng tr×nh lµ x1 , x2 . LËp ph¬ng tr×nh bËc hai cã hai nghiÖm lµ 2x1+ 3x2 vµ 3x1 + 2x2 .

C©u 3 ( 2 ®iÓm ) Cho tam gi¸c c©n ABC ( AB = AC ) néi tiÕp ®êng trßn t©m O . M lµ mét ®iÓm chuyÓn ®éng trªn ®êng trßn . Tõ B h¹ ®êng th¼ng vu«ng gãc víi AM c¾t CM ë D . Chøng minh tam gi¸c BMD c©n C©u 4 ( 2 ®iÓm )

3) TÝnh : 25

1

25

1

4) Gi¶i bÊt ph¬ng tr×nh : ( x –1 ) ( 2x + 3 ) > 2x( x + 3 ) .

§Ò sè 16 C©u 1 ( 2 ®iÓm )


41

2

1

5

71

1

1

2

yx

yx

165

C©u 2 ( 3 ®iÓm )

Cho biÓu thøc : xxxxxx

xA

2

1:

1

c) Rót gän biÓu thøc A . d) Coi A lµ hµm sè cña biÕn x vÏ ®å thi hµm sè A .

C©u 3 ( 2 ®iÓm ) T×m ®iÒu kiÖn cña tham sè m ®Ó hai ph¬ng tr×nh sau cã nghiÖm chung . x2 + (3m + 2 )x – 4 = 0 vµ x2 + (2m + 3 )x +2 =0 . C©u 4 ( 3 ®iÓm ) Cho ®êng trßn t©m O vµ ®êng th¼ng d c¾t (O) t¹i hai ®iÓm A,B . Tõ mét ®iÓm M trªn d vÏ hai tiÕp tuyÕn ME , MF ( E , F lµ tiÕp ®iÓm ) .

3) Chøng minh gãc EMO = gãc OFE vµ ®êng trßn ®i qua 3 ®iÓm M, E, F ®i qua 2 ®iÓm cè ®Þnh khi m thay ®æi trªn d .

4) X¸c ®Þnh vÞ trÝ cña M trªn d ®Ó tø gi¸c OEMF lµ h×nh vu«ng . §Ò sè 17 C©u 1 ( 2 ®iÓm ) Cho ph¬ng tr×nh (m2 + m + 1 )x2 - ( m2 + 8m + 3 )x – 1 = 0

c) Chøng minh x1x2 < 0 . d) Gäi hai nghiÖm cña ph¬ng tr×nh lµ x1, x2 . T×m gi¸ trÞ lín nhÊt , nhá nhÊt cña

biÓu thøc : S = x1 + x2 .

C©u 2 ( 2 ®iÓm ) Cho ph¬ng tr×nh : 3x2 + 7x + 4 = 0 . Gäi hai nghiÖm cña ph¬ng tr×nh lµ x1 , x2

kh«ng gi¶i ph¬ng tr×nh lËp ph¬ng tr×nh bËc hai mµ cã hai nghiÖm lµ : 12

1

x

x vµ

11

2

x

x .

C©u 3 ( 3 ®iÓm ) 4) Cho x2 + y2 = 4 . T×m gi¸ trÞ lín nhÊt , nhá nhÊt cña x + y .


8

1622

yx

yx

6) Gi¶i ph¬ng tr×nh : x4 – 10x3 – 2(m – 11 )x2 + 2 ( 5m +6)x +2m = 0 C©u 4 ( 3 ®iÓm ) Cho tam gi¸c nhän ABC néi tiÕp ®êng trßn t©m O . §êng ph©n gi¸c trong cña gãc A , B c¾t ®êng trßn t©m O t¹i D vµ E , gäi giao ®iÓm hai ®êng ph©n gi¸c lµ I , ®-êng th¼ng DE c¾t CA, CB lÇn lît t¹i M , N .

4) Chøng minh tam gi¸c AIE vµ tam gi¸c BID lµ tam gi¸c c©n . 5) Chøng minh tø gi¸c AEMI lµ tø gi¸c néi tiÕp vµ MI // BC . 6) Tø gi¸c CMIN lµ h×nh g× ?

§Ò sè 18

166

C©u1 ( 2 ®iÓm )

T×m m ®Ó ph¬ng tr×nh ( x2 + x + m) ( x2 + mx + 1 ) = 0 cã 4 nghiÖm ph©n biÖt . C©u 2 ( 3 ®iÓm )


64

3

ymx

myx

c) Gi¶i hÖ khi m = 3 d) T×m m ®Ó ph¬ng tr×nh cã nghiÖm x > 1 , y > 0 .

C©u 3 ( 1 ®iÓm ) Cho x , y lµ hai sè d¬ng tho¶ m·n x5+y5 = x3 + y3 . Chøng minh x2 + y2 1 + xy C©u 4 ( 3 ®iÓm )

4) Cho tø gi¸c ABCD néi tiÕp ®êng trßn (O) . Chøng minh AB.CD + BC.AD = AC.BD

5) Cho tam gi¸c nhän ABC néi tiÕp trong ®êng trßn (O) ®êng kÝnh AD . §êng cao cña tam gi¸c kÎ tõ ®Ønh A c¾t c¹nh BC t¹i K vµ c¾t ®êng trßn (O) t¹i E .

d) Chøng minh : DE//BC . e) Chøng minh : AB.AC = AK.AD . f) Gäi H lµ trùc t©m cña tam gi¸c ABC . Chøng minh tø gi¸c BHCD lµ h×nh

b×nh hµnh . §Ò sè 19 C©u 1 ( 2 ®iÓm ) Trôc c¨n thøc ë mÉu çc biÓu thøc sau :

232

12

A ;

222

1

B ;

123

1

C

C©u 2 ( 3 ®iÓm ) Cho ph¬ng tr×nh : x2 – ( m+2)x + m2 – 1 = 0 (1)

c) Gäi x1, x2 lµ hai nghiÖm cña ph¬ng tr×nh .T×m m tho¶ m·n x1 – x2 = 2 . d) T×m gi¸ trÞ nguyªn nhá nhÊt cña m ®Ó ph¬ng tr×nh cã hai nghiÖm kh¸c nhau

. C©u 3 ( 2 ®iÓm )

Cho 32

1;

32

1

ba

LËp mét ph¬ng tr×nh bËc hai cã çc hÖ sè b»ng sè vµ cã çc nghiÖm lµ x1 =

1;

12

a

bx

b

a

C©u 4 ( 3 ®iÓm )

Cho hai ®êng trßn (O1) vµ (O2) c¾t nhau t¹i A vµ B . Mét ®êng th¼ng ®i qua A c¾t ®êng trßn (O1) , (O2) lÇn lît t¹i C,D , gäi I , J lµ trung ®iÓm cña AC vµ AD .

5) Chøng minh tø gi¸c O1IJO2 lµ h×nh thang vu«ng . 6) Gäi M lµ giao diÓm cña CO1 vµ DO2 . Chøng minh O1 , O2 , M , B n»m trªn

mét ®êng trßn

167

7) E lµ trung ®iÓm cña IJ , ®êng th¼ng CD quay quanh A . T×m tËp hîp ®iÓm E. 8) X¸c ®Þnh vÞ trÝ cña d©y CD ®Ó d©y CD cã ®é dµi lín nhÊt .

§Ò sè 20 C©u 1 ( 3 ®iÓm )

1)VÏ ®å thÞ cña hµm sè : y = 2

2x

2)ViÕt ph¬ng tr×nh ®êng th¼ng ®i qua ®iÓm (2; -2) vµ (1 ; -4 ) 6) T×m giao ®iÓm cña ®êng th¼ng võa t×m ®îc víi ®å thÞ trªn .

C©u 2 ( 3 ®iÓm ) a) Gi¶i ph¬ng tr×nh :

21212 xxxx b)TÝnh gi¸ trÞ cña biÓu thøc

22 11 xyyxS víi ayxxy )1)(1( 22

C©u 3 ( 3 ®iÓm ) Cho tam gi¸c ABC , gãc B vµ gãc C nhän . Çc ®êng trßn ®êng kÝnh AB , AC c¾t nhau t¹i D . Mét ®êng th¼ng qua A c¾t ®êng trßn ®êng kÝnh AB , AC lÇn lît t¹i E vµ F .

4) Chøng minh B , C , D th¼ng hµng . 5) Chøng minh B, C , E , F n»m trªn mét ®êng trßn . 6) X¸c ®Þnh vÞ trÝ cña ®êng th¼ng qua A ®Ó EF cã ®é dµi lín nhÊt .

C©u 4 ( 1 ®iÓm ) Cho F(x) = xx 12

c) T×m çc gi¸ trÞ cña x ®Ó F(x) x¸c ®Þnh . d) T×m x ®Ó F(x) ®¹t gi¸ trÞ lín nhÊt .

§Ò sè 21 C©u 1 ( 3 ®iÓm )

4) VÏ ®å thÞ hµm sè 2

2xy

5) ViÕt ph¬ng tr×nh ®êng th¼ng ®i qua hai ®iÓm ( 2 ; -2 ) vµ ( 1 ; - 4 ) 6) T×m giao ®iÓm cña ®êng th¼ng võa t×m ®îc víi ®å thÞ trªn .

C©u 2 ( 3 ®iÓm ) 3) Gi¶i ph¬ng tr×nh :

21212 xxxx 4) Gi¶i ph¬ng tr×nh :

512

412

x

x

x

x

168

C©u 3 ( 3 ®iÓm ) Cho h×nh b×nh hµnh ABCD , ®êng ph©n gi¸c cña gãc BAD c¾t DC vµ BC theo thø tù t¹i M vµ N . Gäi O lµ t©m ®êng trßn ngo¹i tiÕp tam gi¸c MNC .

3) Chøng minh çc tam gi¸c DAM , ABN , MCN , lµ çc tam gi¸c c©n . 4) Chøng minh B , C , D , O n»m trªn mét ®êng trßn .

C©u 4 ( 1 ®iÓm ) Cho x + y = 3 vµ y 2 . Chøng minh x2 + y2 5 §Ò sè 22 C©u 1 ( 3 ®iÓm )

4) Gi¶i ph¬ng tr×nh : 8152 xx 5) X¸c ®Þnh a ®Ó tæng b×nh ph¬ng hai nghiÖm cña ph¬ng tr×nh x2 +ax +a –2 = 0

lµ bÐ nhÊt . C©u 2 ( 2 ®iÓm ) Trong mÆt ph¼ng to¹ ®é cho ®iÓm A ( 3 ; 0) vµ ®êng th¼ng x – 2y = - 2 .

d) VÏ ®å thÞ cña ®êng th¼ng . Gäi giao ®iÓm cña ®êng th¼ng víi trôc tung vµ trôc hoµnh lµ B vµ E .

e) ViÕt ph¬ng tr×nh ®êng th¼ng qua A vµ vu«ng gãc víi ®êng th¼ng x – 2y = -2 .

f) T×m to¹ ®é giao ®iÓm C cña hai ®êng th¼ng ®ã . Chøng minh r»ng EO. EA = EB . EC vµ tÝnh diÖn tÝch cña tø gi¸c OACB .

C©u 3 ( 2 ®iÓm ) Gi¶ sö x1 vµ x2 lµ hai nghiÖm cña ph¬ng tr×nh : x2 –(m+1)x +m2 – 2m +2 = 0 (1)

c) T×m çc gi¸ trÞ cña m ®Ó ph¬ng tr×nh cã nghiÖm kÐp , hai nghiÖm ph©n biÖt . d) T×m m ®Ó 2


C©u 4 ( 3 ®iÓm ) Cho tam gi¸c ABC néi tiÕp ®êng trßn t©m O . KÎ ®êng cao AH , gäi trung ®iÓm cña AB , BC theo thø tù lµ M , N vµ E , F theo thø tù lµ h×nh chiÕu vu«ng gãc cña cña B , C trªn ®êng kÝnh AD .

c) Chøng minh r»ng MN vu«ng gãc víi HE . d) Chøng minh N lµ t©m ®êng trßn ngo¹i tiÕp tam gi¸c HEF .

§Ò sè 23 C©u 1 ( 2 ®iÓm )

So s¸nh hai sè : 33

6;

211

9

ba

C©u 2 ( 2 ®iÓm ) Cho hÖ ph¬ng tr×nh :

169

2

532

yx

ayx

Gäi nghiÖm cña hÖ lµ ( x , y ) , t×m gi¸ trÞ cña a ®Ó x2 + y2 ®¹t gi¸ trÞ nhá nhÊt . C©u 3 ( 2 ®iÓm ) Gi¶ hÖ ph¬ng tr×nh :

7

522 xyyx

xyyx

C©u 4 ( 3 ®iÓm ) 1) Cho tø gi¸c låi ABCD çc cÆp c¹nh ®èi AB , CD c¾t nhau t¹i P vµ BC , AD c¾t nhau t¹i Q . Chøng minh r»ng ®êng trßn ngo¹i tiÕp çc tam gi¸c ABQ , BCP , DCQ , ADP c¾t nhau t¹i mét ®iÓm .

6) Cho tø gi¸c ABCD lµ tø gi¸c néi tiÕp . Chøng minh

BD

AC

DADCBCBA

CDCBADAB

..

..

C©u 4 ( 1 ®iÓm ) Cho hai sè d¬ng x , y cã tæng b»ng 1 . T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña :

xyyx

S4

3122

§Ò sè 24 C©u 1 ( 2 ®iÓm ) TÝnh gi¸ trÞ cña biÓu thøc :

322

32

322

32

P

C©u 2 ( 3 ®iÓm ) 3) Gi¶i vµ biÖn luËn ph¬ng tr×nh :

(m2 + m +1)x2 – 3m = ( m +2)x +3 4) Cho ph¬ng tr×nh x2 – x – 1 = 0 cã hai nghiÖm lµ x1 , x2 . H·y lËp ph¬ng

tr×nh bËc hai cã hai nghiÖm lµ : 2

2

2

1

1;

1 x

x

x

x

C©u 3 ( 2 ®iÓm )

T×m çc gi¸ trÞ nguyªn cña x ®Ó biÓu thøc : 2

32

x

xP lµ nguyªn .

C©u 4 ( 3 ®iÓm ) Cho ®êng trßn t©m O vµ çt tuyÕn CAB ( C ë ngoµi ®êng trßn ) . Tõ ®iÓm chÝnh gi÷a cña cung lín AB kÎ ®êng kÝnh MN c¾t AB t¹i I , CM c¾t ®êng trßn t¹i E , EN c¾t ®êng th¼ng AB t¹i F .

4) Chøng minh tø gi¸c MEFI lµ tø gi¸c néi tiÕp . 5) Chøng minh gãc CAE b»ng gãc MEB . 6) Chøng minh : CE . CM = CF . CI = CA . CB

170

§Ò sè 25 C©u 1 ( 2 ®iÓm )


044

3252

22

xyy

yxyx

C©u 2 ( 2 ®iÓm )

Cho hµm sè : 4

2xy vµ y = - x – 1

c) VÏ ®å thÞ hai hµm sè trªn cïng mét hÖ trôc to¹ ®é . d) ViÕt ph¬ng tr×nh çc ®êng th¼ng song song víi ®êng th¼ng y = - x – 1 vµ

c¾t ®å thÞ hµm sè 4

2xy t¹i ®iÓm cã tung ®é lµ 4 .

C©u 2 ( 2 ®iÓm ) Cho ph¬ng tr×nh : x2 – 4x + q = 0

c) Víi gi¸ trÞ nµo cña q th× ph¬ng tr×nh cã nghiÖm . d) T×m q ®Ó tæng b×nh ph¬ng çc nghiÖm cña ph¬ng tr×nh lµ 16 .

C©u 3 ( 2 ®iÓm ) 3) T×m sè nguyªn nhá nhÊt x tho¶ m·n ph¬ng tr×nh :

413 xx

4) Gi¶i ph¬ng tr×nh :

0113 22 xx C©u 4 ( 2 ®iÓm ) Cho tam gi¸c vu«ng ABC ( gãc A = 1 v ) cã AC < AB , AH lµ ®êng cao kÎ tõ ®Ønh A . Çc tiÕp tuyÕn t¹i A vµ B víi ®êng trßn t©m O ngo¹i tiÕp tam gi¸c ABC c¾t nhau t¹i M . §o¹n MO c¾t c¹nh AB ë E , MC c¾t ®êng cao AH t¹i F . KÐo dµi CA cho c¾t ®êng th¼ng BM ë D . §êng th¼ng BF c¾t ®êng th¼ng AM ë N .

d) Chøng minh OM//CD vµ M lµ trung ®iÓm cña ®o¹n th¼ng BD . e) Chøng minh EF // BC . f) Chøng minh HA lµ tia ph©n gi¸c cña gãc MHN .

§Ò sè 26 C©u 1 : ( 2 ®iÓm ) Trong hÖ trôc to¹ ®é Oxy cho hµm sè y = 3x + m (*) 1) TÝnh gi¸ trÞ cña m ®Ó ®å thÞ hµm sè ®i qua : a) A( -1 ; 3 ) ; b) B( - 2 ; 5 )

171

2) T×m m ®Ó ®å thÞ hµm sè c¾t trôc hoµnh t¹i ®iÓm cã hoµnh ®é lµ - 3 . 3) T×m m ®Ó ®å thÞ hµm sè c¾t trôc tung t¹i ®iÓm cã tung ®é lµ - 5 . C©u 2 : ( 2,5 ®iÓm )

Cho biÓu thøc : 1 1 1 1 1

A= :1- x 1 1 1 1x x x x

a) Rót gän biÓu thøc A . b) TÝnh gi¸ trÞ cña A khi x = 7 4 3 c) Víi gi¸ trÞ nµo cña x th× A ®¹t gi¸ trÞ nhá nhÊt . C©u 3 : ( 2 ®iÓm )

Cho ph¬ng tr×nh bËc hai : 2 3 5 0x x vµ gäi hai nghiÖm cña ph¬ng tr×nh lµ x1 vµ x2 . Kh«ng gi¶i ph¬ng tr×nh , tÝnh gi¸ trÞ cña çc biÓu thøc sau :

a) 2 21 2

1 1

x x b) 2 2

1 2x x

c) 3 31 2

1 1

x x d) 1 2x x

C©u 4 ( 3.5 ®iÓm ) Cho tam gi¸c ABC vu«ng ë A vµ mét ®iÓm D n»m gi÷a A vµ B . §êng trßn ®-êng kÝnh BD c¾t BC t¹i E . Çc ®êng th¼ng CD , AE lÇn lît c¾t ®êng trßn t¹i çc ®iÓm thø hai F , G . Chøng minh : a) Tam gi¸c ABC ®ång d¹ng víi tam gi¸c EBD . b) Tø gi¸c ADEC vµ AFBC néi tiÕp ®îc trong mét ®êng trßn . c) AC song song víi FG . d) Çc ®êng th¼ng AC , DE vµ BF ®ång quy .

§Ò sè 27 C©u 1 ( 2,5 ®iÓm )

Cho biÓu thøc : A = 1 1 2

:2

a a a a a

aa a a a

a) Víi nh÷ng gi¸ trÞ nµo cña a th× A x¸c ®Þnh . b) Rót gän biÓu thøc A . c) Víi nh÷ng gi¸ trÞ nguyªn nµo cña a th× A cã gi¸ trÞ nguyªn . C©u 2 ( 2 ®iÓm )

172

Mét « t« dù ®Þnh ®i tõ A ®Òn B trong mét thêi gian nhÊt ®Þnh . NÕu xe ch¹y víi vËn tèc 35 km/h th× ®Õn chËm mÊt 2 giê . NÕu xe ch¹y víi vËn tèc 50 km/h th× ®Õn sím h¬n 1 giê . TÝnh qu·ng ®êng AB vµ thêi

gian dù ®Þnh ®i lóc ®Çu . C©u 3 ( 2 ®iÓm )

a) Gi¶i hÖ ph¬ng tr×nh :

1 13

2 31

x y x y

x y x y

b) Gi¶i ph¬ng tr×nh : 2 2 2

5 5 25

5 2 10 2 50

x x x

x x x x x

C©u 4 ( 4 ®iÓm ) Cho ®iÓm C thuéc ®o¹n th¼ng AB sao cho AC = 10 cm ;CB = 40 cm . VÏ vÒ cïng mét nöa mÆt ph¼ng bê lµ AB çc nöa ®êng trßn ®êng kÝnh theo thø tù lµ AB , AC , CB cã t©m lÇn lît lµ O , I , K . §êng vu«ng gãc víi AB t¹i C c¾t nöa ®êng trßn (O) ë E . Gäi M , N theo thø tù lµ giao ®iÓm cuae EA , EB víi çc nöa ®êng trßn (I) , (K) . Chøng minh : a) EC = MN . b) MN lµ tiÕp tuyÕn chung cña çc nöa ®êng trßn (I) vµ (K) . c) TÝnh ®é dµi MN .

d) TÝnh diÖn tÝch h×nh ®îc giíi h¹n bëi ba nöa ®êng trßn .

§Ò 28

C©u 1 ( 2 ®iÓm )

Cho biÓu thøc : A = 1 1 1 1 1

1 1 1 1 1

a a

a a a a a

1) Rót gän biÓu thøc A . 2) Chøng minh r»ng biÓu thøc A lu«n d¬ng víi mäi a . C©u 2 ( 2 ®iÓm ) Cho ph¬ng tr×nh : 2x2 + ( 2m - 1)x + m - 1 = 0 1) T×m m ®Ó ph¬ng tr×nh cã hai nghiÖm x1 , x2 tho¶ m·n 3x1 - 4x2 = 11 . 2) T×m ®¼ng thøc liªn hÖ gi÷a x1 vµ x2 kh«ng phô thuéc vµo m . 3) Víi gi¸ trÞ nµo cña m th× x1 vµ x2 cïng d¬ng . C©u 3 ( 2 ®iÓm ) Hai « t« khëi hµnh cïng mét lóc ®i tõ A ®Õn B çch nhau 300 km . ¤ t« thø nhÊt mçi giê ch¹y nhanh h¬n « t« thø hai 10 km nªn ®Õn B sím h¬n « t« thø hai 1 giê . TÝnh vËn tèc mçi xe « t« . C©u 4 ( 3 ®iÓm ) Cho tam gi¸c ABC néi tiÕp ®êng trßn t©m O . M lµ mét ®iÓm trªn cung AC ( kh«ng chøa B ) kÎ MH vu«ng gãc víi AC ; MK vu«ng gãc víi BC .

1) Chøng minh tø gi¸c MHKC lµ tø gi¸c néi tiÕp .

2) Chøng minh · ·AMB HMK 3) Chøng minh AMB ®ång d¹ng víi HMK . C©u 5 ( 1 ®iÓm )

173

T×m nghiÖm d¬ng cña hÖ :

( ) 6

( ) 12

( ) 30

xy x y

yz y z

zx z x

§Ó 29 ( Thi tuyÓn sinh líp 10 - THPT n¨m 2006 - 2007 - 120 phót - Ngµy 28 / 6 / 2006

C©u 1 ( 3 ®iÓm )

1) Gi¶i çc ph¬ng tr×nh sau : a) 4x + 3 = 0 b) 2x - x2 = 0

2) Gi¶i hÖ ph¬ng tr×nh : 2 3

5 4

x y

y x

C©u 2( 2 ®iÓm )

1) Cho biÓu thøc : P = 3 1 4 4

a > 0 ; a 442 2

a a a

aa a

a) Rót gän P . b) TÝnh gi¸ trÞ cña P víi a = 9 . 2) Cho ph¬ng tr×nh : x2 - ( m + 4)x + 3m + 3 = 0 ( m lµ tham sè ) a) X¸c ®Þnh m ®Ó ph¬ng tr×nh cã mét nghiÖm b»ng 2 . T×m nghiÖm cßn l¹i . b) X¸c ®Þnh m ®Ó ph¬ng tr×nh cã hai nghiÖm x1 ; x2 tho¶ m·n 3 3

1 2 0x x

C©u 3 ( 1 ®iÓm ) Kho¶ng çch gi÷a hai thµnh phè A vµ B lµ 180 km . Mét « t« ®i tõ A ®Õn B , nghØ 90 phót ë B , råi l¹i tõ B vÒ A . Thêi gian lóc ®i ®Õn lóc trë vÒ A lµ 10 giê . BiÕt vËn tèc lóc vÒ kÐm vËn tèc lóc ®i lµ 5 km/h . TÝnh vËn tèc lóc ®i cña « t« .

C©u 4 ( 3 ®iÓm ) Tø gi¸c ABCD néi tiÕp ®êng trßn ®êng kÝnh AD . Hai ®êng chÐo AC , BD c¾t nhau t¹i E . H×nh chiÕu vu«ng gãc cña E trªn AD lµ F . §êng th¼ng CF c¾t ®êng trßn t¹i ®iÓm thø hai lµ M . Giao ®iÓm cña BD vµ CF lµ N Chøng minh : a) CEFD lµ tø gi¸c néi tiÕp . b) Tia FA lµ tia ph©n gi¸c cña gãc BFM . c) BE . DN = EN . BD C©u 5 ( 1 ®iÓm )

T×m m ®Ó gi¸ trÞ lín nhÊt cña biÓu thøc 2

2

1

x m

x

b»ng 2 .

174

§Ó 29

( Thi tuyÓn sinh líp 10 - THPT n¨m 2006 - 2007 - 120 phót - Ngµy 30 / 6 / 2006 C©u 1 (3 ®iÓm ) 1) Gi¶i çc ph¬ng tr×nh sau : a) 5( x - 1 ) = 2 b) x2 - 6 = 0 2) T×m to¹ ®é giao ®iÓm cña ®êng th¼ng y = 3x - 4 víi hai trôc to¹ ®é . C©u 2 ( 2 ®iÓm ) 1) Gi¶ sö ®êng th¼ng (d) cã ph¬ng tr×nh : y = ax + b .

X¸c ®Þnh a , b ®Ó (d) ®i qua hai ®iÓm A ( 1 ; 3 ) vµ B ( - 3 ; - 1) 2) Gäi x1 ; x2 lµ hai nghiÖm cña ph¬ng tr×nh x2 - 2( m - 1)x - 4 = 0 ( m lµ tham sè ) T×m m ®Ó : 1 2 5x x

3) Rót gän biÓu thøc : P = 1 1 2

( 0; 0)2 2 2 2 1

x xx x

x x x

C©u 3( 1 ®iÓm) Mét h×nh ch÷ nhËt cã diÖn tÝch 300 m2 . NÕu gi¶m chiÒu réng ®i 3 m , t¨ng chiÒu dµi thªm 5m th× ta ®îc h×nh ch÷ nhËt míi cã diÖn tÝch b»ng diÖn tÝch b»ng diÖn tÝch h×nh ch÷ nhËt ban ®Çu . TÝnh chu vi h×nh ch÷ nhËt ban ®Çu . C©u 4 ( 3 ®iÓm )

Cho ®iÓm A ë ngoµi ®êng trßn t©m O . KÎ hai tiÕp tuyÕn AB , AC víi ®êng trßn (B , C lµ tiÕp ®iÓm ) . M lµ ®iÓm bÊt kú trªn cung nhá BC ( M B ; M C ) . Gäi D , E , F t¬ng øng lµ h×nh chiÕu vu«ng gãc cña M trªn çc ®êng th¼ng AB , AC , BC ; H lµ giao ®iÓm cña MB vµ DF ; K lµ giao ®iÓm cña MC vµ EF .

1) Chøng minh : a) MECF lµ tø gi¸c néi tiÕp . b) MF vu«ng gãc víi HK . 2) T×m vÞ trÝ cña M trªn cung nhá BC ®Ó tÝch MD . ME lín nhÊt . C©u 5 ( 1 ®iÓm ) Trong mÆt ph¼ng to¹ ®é ( Oxy ) cho ®iÓm A ( -3 ; 0 ) vµ Parabol (P) cã ph¬ng tr×nh y = x2 . H·y t×m to¹ ®é cña ®iÓm M thuéc (P) ®Ó cho ®é dµi ®o¹n th¼ng AM nhá nhÊt .

D¹ng 2 Mét sè ®Ò kh¸c

ĐỀ SỐ 1

175

Câu 1.

1.Chứng minh 9 4 2 2 2 1 .

2.Rút gọn phép tính A 4 9 4 2 .

Câu 2. Cho phương trình 2x2 + 3x + 2m – 1 = 0 1.Giải phương trình với m = 1. 2.Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt. Câu 3. Một mảnh vườn hình chữ nhật có diện tích là 1200m2. Nay người ta tu bổ bằng cách tăng chiều rộng của vườn thêm 5m, đồng thời rút bớt chiều dài 4m thì mảnh vườn đó có diện tích 1260m2. Tính kích thước mảnh vườn sau khi tu bổ. Câu 4. Cho đường tròn tâm O đường kính AB. Người ta vẽ đường tròn tâm A bán kính nhỏ hơn AB, nó cắt đường tròn (O) tại C và D, cắt AB tại E. Trên cung nhỏ CE của (A), ta lấy điểm M. Tia BM cắt tiếp (O) tại N. a) Chứng minh BC, BD là các tiếp tuyến của đường tròn (A). b) Chứng minh NB là phân giác của góc CND. c) Chứng minh tam giác CNM đồng dạng với tam giác MND. d) Giả sử CN = a; DN = b. Tính MN theo a và b. Câu 5. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P = 2x2 + 3x + 4.

ĐỀ SỐ 2 Câu 1. Tìm hai số biết hiệu của chúng bằng 10 và tổng của 6 lần số lớn với 2 lần số bé là 116. Câu 2. Cho phương trình x2 – 7x + m = 0 a) Giải phương trình khi m = 1. b) Gọi x1, x2 là các nghiệm của phương trình. Tính S = x1

2 + x22.

c) Tìm m để phương trình có hai nghiệm trái dấu. Câu 3. Cho tam giác DEF có D = 600, các góc E, F là góc nhọn nội tiếp trong đường tròn tâm O. Các đường cao EI, FK, I thuộc DF, K thuộc DE. a) Tính số đo cung EF không chứa điểm D. b) Chứng minh EFIK nội tiếp được. c) Chứng minh tam giác DEF đồng dạng với tam giác DIK và tìm tỉ số đồng dạng. Câu 4. Cho a, b là 2 số dương, chứng minh rằng

2 2

2 2 2 2 a b a ba b a a b b

2

ĐỀ SỐ 3 Câu 1.Thực hiện phép tính

176

1a) 2 6 4 3 5 2 8 .3 6

4

2 2b)

3 5 3 5

Câu 2. Cho phương trình x2 – 2x – 3m2 = 0 (1). a) Giải phương trình khi m = 0. b) Tìm m để phương trình có hai nghiệm trái dấu. c) Chứng minh phương trình 3m2x2 + 2x – 1 = 0 (m ≠ 0) luôn có hai nghiệm phân biệt và mỗi nghiệm của nó là nghịch đảo của một nghiệm của phương trình (1). Câu 3. Cho tam giác ABC vuông cân tại A, AD là trung tuyến. Lấy điểm M bất kỳ trên đoạn AD (M ≠ A; M ≠ D). Gọi I, K lần lượt là hình chiếu vuông góc của M trên AB, AC; H là hình chiếu vuông góc của I trên đường thẳng DK. a) Tứ giác AIMK là hình gì? b) Chứng minh 5 điểm A, I, M, H, K cùng nằm trên một đường tròn. Xác định tâm của đường tròn đó. c) Chứng minh ba điểm B, M, H thẳng hàng.

Câu 4. Tìm nghiệm hữu tỉ của phương trình 2 3 3 x 3 y 3

ĐỀ SỐ 4

Câu 1. Cho biểu thức

a 3 a 2 a a 1 1P :

a 1 a 1 a 1a 2 a 1

a) Rút gọn P.

b) Tìm a để 1 a 1

1P 8

Câu 2. Một ca nô xuôi dòng từ A đến B dài 80km, sau đó lại ngược dòng đến C cách B 72km, thời gian ca nô xuôi dòng ít hơn thời gian ngược dòng là 15 phút. Tính vận tốc riêng của ca nô, biết vận tốc của dòng nước là 4km/h. Câu 3. Tìm tọa độ giao điểm A và B của hai đồ thị các hàm số y = 2x + 3 và y = x2. Gọi D và C lần lượt là hình chiếu vuông góc của A và B lên trục hoành. Tính diện tích tứ giác ABCD. Câu 4. Cho (O) đường kính AB = 2R, C là trung điểm của OA và dây MN vuông góc với OA tại C. Gọi K là điểm tùy ý trên cung nhỏ BM, H là giao điểm của AK và MN. a) Chứng minh tứ giác BCHK nội tiếp được. b) Tính tích AH.AK theo R. c) Xác định vị trí của K để tổng (KM + KN + KB) đạt giá trị lớn nhất và tính giá trị lớn nhất đó. Câu 5. Cho hai số dương x, y thoả mãn điều kiện x + y = 2. Chứng minh x2y2(x2 + y2) 2

ĐỀ SỐ 5

177

Câu 1. Cho biểu thức x 1 2 x

P 1 : 1x 1 x 1 x x x x 1

a) Tìm điều kiện để P có nghĩa và rút gọn P.

b) Tìm các giá trị nguyên của x để biểu thức P x nhận giá trị nguyên. Câu 2. a) Giải phương trình x4 – 4x3 – 2x2 + 4x + 1 = 0.

b) Giải hệ 2 2

2

x 3xy 2y 0

2x 3xy 5 0

Câu 3. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho (P) có phương trình 2x

y2

. Gọi (d) là

đường thẳng đi qua điểm I(0; - 2) và có hệ số góc k. a) Viết phương trình dường thẳng (d). Chứng minh rằng (d) luôn cắt (P) tại hai điểm phân biệt A và B khi k thay đổi. b) Gọi H, K theo thứ tự là hình chiếu vuông góc của A, B lên trục hoành. Chứng minh rằng tam giác IHK vuông tại I. Câu 4. Cho (O; R), AB là đường kính cố định. Đường thẳng (d) là tiếp tuyến của (O) tại B. MN là đường kính thay đổi của (O) sao cho MN không vuông góc với AB và M ≠ A, M ≠ B. Các đường thẳng AM, AN cắt đường thẳng (d) tương ứng tại C và D. Gọi I là trung điểm của CD, H là giao điểm của AI và MN. Khi MN thay đổi, chứng minh rằng: a) Tích AM.AC không đổi. b) Bốn điểm C, M, N, D cùng thuộc một đường tròn. c) Điểm H luôn thuộc một đường tròn cố định. d) Tâm J của đường tròn ngoại tiếp tam giác HIB luôn thuộc một đường thẳng cố định. Câu 5. Cho hai số dương x, y thỏa mãn điều kiện x + y = 1. Hãy tìm giá trị nhỏ

nhất của biểu thức 2 2

1 1A

x y xy

.

ĐỀ SỐ 6 Câu 1. a) Giải phương trình 5x2 + 6 = 7x – 2.

b) Giải hệ phương trình 3x y 5

x 2y 4

c) Tính 18 12

2 3

Câu 2. Cho (P) y = -2x2 a) Trong các điểm sau điểm nào thuộc, không thuộc (P)? tại sao?

178

A(-1; -2); B(1 1

;2 2

); C( 2; 4 )

b) Tìm k để đường thẳng (d): y = kx + 2 cắt (P) tại hai điểm phân biệt. c) Chứng minh điểm E(m; m2 + 1) không thuộc (P) với mọi giá trị của m. Câu 3. Cho tam giác ABC vuông tại A, góc B lớn hơn góc C. Kẻ đường cao AH. Trên đoạn HC đặt HD = HB. Từ C kẻ CE vuông góc với AD tại E. a) Chứng minh các tam giác AHB và AHD bằng nhau. b) Chứng minh tứ giác AHCE nội tiếp và hai góc HCE và HAE bằng nhau. c) Chứng minh tam giác AHE cân tại H. d) Chứng minh DE.CA = DA.CE e) Tính góc BCA nếu HE//CA. Câu 4.Cho hàm số y = f(x) xác định với mọi số thực x khác 0 và thỏa mãn

21f x 3f x

x

với mọi x khác 0. Tính giá trị f(2).

ĐỀ SỐ 7 Câu 1.

a) Tính 9 1

2 1 5 : 1616 16

b) Giải hệ 3x y 2

x y 6

c) Chứng minh rằng 3 2 là nghiệm của phương trình x2 – 6x + 7 = 0.

Câu 2. Cho (P): 21y x

3 .

a) Các điểm 1A 1; ; B 0; 5 ; C 3;1

3

, điểm nào thuộc (P)? Giải thích?

b) Tìm k để (d) có phương trình y = kx – 3 tiếp xúc với (P).

c) Chứng tỏ rằng đường thẳng x = 2 cắt (P) tại một điểm duy nhất. Xác định tọa độ giao điểm đó. Câu 3. Cho (O;R), đường kính AB cố định, CD là đường kính di động. Gọi d là tiếp tuyến của (O) tại B; các đường thẳng AC, AD cắt d lần lượt tại P và Q. a) Chứng minh góc PAQ vuông. b) Chứng minh tứ giác CPQD nội tiếp được. c) Chứng minh trung tuyến AI của tam giác APQ vuông góc với đường thẳng CD. d) Xác định vị trí của CD để diện tích tứ giác CPQD bằng 3 lần diện tích tam giác ABC.

Câu 4. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức 2 2A 2x 2xy y 2x 2y 1 .

179


1.Cho a a a a

P 1 1 ; a 0, a 1a 1 1 a

a) Rút gọn P.

b) Tìm a biết P > 2 .

c) Tìm a biết P = a .

2.Chứng minh rằng 13 30 2 9 4 2 5 3 2

Câu 2. Cho phương trình mx2 – 2(m-1)x + m = 0 (1) a) Giải phương trình khi m = - 1. b) Tìm m để phương trình (1) có 2 nghiệm phân biệt.

c) Gọi hai nghiệm của (1) là x1 , x2. Hãy lập phương trình nhận 1 2

2 1

x x;

x x làm

nghiệm. Câu 3.Cho tam giác nhọn ABC (AB < AC) nội tiếp đường tròn tâm O, đường kính AD. Đường cao AH, đường phân giác AN của tam giác cắt (O) tương ứng tại các điểm Q và P. a) Chứng minh: DQ//BC và OP vuông góc với QD. b) Tính diện tích tam giác AQD biết bán kính đường tròn là R và tgQAD = 3

4.

Câu 4. a)Giả sử phương trình ax2 + bx + c = 0 có nghiệm dương x1. Chứng minh

rằng phương trình cx2 + bx + a = 0 cũng có nghiệm dương là x2 và x1 + x2 0. b)Tìm cặp số (x, y) thỏa mãn phương trình x2y + 2xy – 4x + y = 0 sao cho y

đạt giá trị lớn nhất.


1.Cho

2 2

2

1 2x 16x 1P ; x

1 4x 2

a) Chứng minh 2

P1 2x

b) Tính P khi 3

x2

2.Tính 2 5 24

Q12

Câu 2. Cho hai phương trình ẩn x sau:

2 2x x 2 0 (1); x 3b 2a x 6a 0 (2)

180

a) Giải phương trình (1). b) Tìm a và b để hai phương trình đó tương đương. c) Với b = 0. Tìm a để phương trình (2) có nghiệm x1, x2 thỏa mãn x1

2 + x22

= 7 Câu 3. Cho tam giác ABC vuông ở a và góc B lớn hơn góc C, AH là đường cao, AM là trung tuyến. Đường tròn tâm H bán kính HA cắt đường thẳng AB ở D và đường thẳng AC ở E. a) Chứng minh D, H, E thẳng hàng. b) Chứng minh MAE DAE; MA DE .

c) Chứng minh bốn điểm B, C, D, E nằm trên đường tròn tâm O. Tứ giác AMOH là hình gì? d) Cho góc ACB bằng 300 và AH = a. Tính diện tích tam giác HEC.

Câu 4.Giải phương trình 2 2ax ax - a 4a 1

x 2a

. Với ẩn x, tham số a.


1.Rút gọn 2 3 2 2 3 2 3 2 3 2 2 .

2.Cho a b

xb a

với a < 0, b < 0.

a) Chứng minh 2x 4 0 .

b) Rút gọn 2F x 4 .

Câu 2. Cho phương trình 2 2x 2 x 2mx 9 0 (*) ; x là ẩn, m là tham số.

a) Giải (*) khi m = - 5. b) Tìm m để (*) có nghiệm kép. Câu 3. Cho hàm số y = - x2 có đồ thị là (P); hàm số y = 2x – 3 có đồ thị là (d). 1.Vẽ đồ thị (P) và (d) trên cùng một hệ trục tọa độ Oxy. Tìm tọa độ các giao điểm của (P) và (d). 2.Cho điểm M(-1; -2), bằng phép tính hãy cho biết điểm M thuộc ở phía trên hay phía dưới đồ thị (P), (d). 3.Tìm những giá trị của x sao cho đồ thị (P) ở phái trên đồ thị (d). Câu 4. Cho tam giác nhọn ABC nội tiếp (O), E là hình chiếu của B trên AC. Đường thẳng qua E song song với tiếp tuyến Ax của (O) cắt AB tại F. 1.Chứng minh tứ giác BFEC nội tiếp. 2.Góc DFE (D thuộc cạnh BC) nhận tia FC làm phân giác trong và H là giao điểm của BE với CF. Chứng minh A, H, D thẳng hàng. 3.Tia DE cắt tiếp tuyến Ax tại K. Tam giác ABC là tam giác gì thì tứ giác AFEK là hình bình hành, là hình thoi? Giải thích.

Câu 5. Hãy tính 1999 1999 1999F x y z theo a. Trong đó x, y, z là nghiệm của

phương trình:

181

x y z a xy yz zx a xyz 0; a 0

ĐỀ SỐ 11 Câu 1. 1.Giải bất phương trình, hệ phương trình, phương trình

22x 3y 12

a) 2x 6 0 b) x x 6 0 c)3x y 7

2.Từ kết quả của phần 1. Suy ra nghiệm của bất phương trình, phương trình, hệ phương trình sau:

2 p 3 q 12

a) 2 y 6 0 b) t t 6 0 c)3 p q 7

Câu 2.

1.Chứng minh 2 2

1 2a 3 12a 2 2a .

2.Rút gọn

2 3 2 3 3 2 32 24 8 6

3 2 4 2 2 3 2 3 2 3

Câu 3. Cho tam giác ABC (AC > AB) có AM là trung tuyến, N là điểm bất kì trên đoạn AM. Đường tròn (O) đường kính AN. 1.Đường tròn (O) cắt phân giác trong AD của góc A tại F, cắt phân giác ngoài góc A tại E. Chứng minh FE là đường kính của (O). 2.Đường tròn (O) cắt AB, AC lần lượt tại K, H. Đoạn KH cắt AD tại I. Chứng minh hai tam giác AKF và KIF đồng dạng. 3.Chứng minh FK2 = FI.FA. 4.Chứng minh NH.CD = NK.BD. Câu 4. Rút gọn

2 2 2 2 2 2 2 2

1 1 1 1 1 1 1 1T 1 1 1 ... 1

2 3 3 4 4 5 1999 2000

ĐỀ SỐ 12 Câu 1.Giải các phương trình sau

1) 4x – 1 = 2x + 5 2) x2 – 8x + 15 = 0 3) 2x 8x 15

02x 6

Câu 2.

1.Chứng minh 2

3 2 2 1 2 .

2.Rút gọn 3 2 2 .

3.Chứng minh 2 2

1 13 2 17 2 2 17

2 2 7 2 2 17

182

Câu 3. Cho ba điểm A, B, C thẳng hàng (điểm B thuộc đoạn AC). Đường tròn (O) đi qua B và C, đường kính DE vuông góc với BC tại K. AD cắt (O) tại F, EF cắt AC tại I. 1.Chứng minh tứ giác DFIK nội tiếp được. 2.Gọi H là điểm đối xứng với I qua K. Chứng minh góc DHA và góc DEA bằng nhau. 3.Chứng minh AI.KE.KD = KI.AB.AC. 4.AT là tiếp tuyến (T là tiếp điểm) của (O). Điểm T chạy trên đường nào khi (O) thay đổi nhưng luôn đi qua hai điểm B, C. Câu 4. 1.Cho tam giác ABC có BC = a, AC = b, AB = c, G là trọng tâm. Gọi x, y, z

lần lượt là khoảng cách từ G tới các cạnh a, b, c. Chứng minh x y z

bc ac ab

2.Giải phương trình

25 4 2025

x 1 y 3 z 24 104x 1 y 3 z 24

ĐỀ SỐ 13

Câu 1.Giải hệ phương trình

2 2

2

x 2x y 0

x 2xy 1 0

Câu 2. Giải bất phương trình (x – 1)(x + 2) < x2 + 4. Câu 3.

1.Rút gọn biểu thức 1

P 175 2 28 7

.

2.Với giá trị nào của m thì phương trình 2x2 – 4x – m + 3 = 0 (m là tham số) vô nghiệm. Câu 4. Cho tam giác ABC có ba góc nhọn. Vẽ trung tuyến AM, phân giác AD của góc BAC. Đường tròn ngoại tiếp tam giác ADM cắt AB tại P và cắt AC tại Q. 1.Chứng minh BAM PQM; BPD BMA .

2.Chứng minh BD.AM = BA.DP.

3.Giả sử BC = a; AC = b; BD = m. Tính tỉ số BP

BM theo a, b, m.

4.Gọi E là điểm chính giữa cung PAQ và K là trung điểm đoạn PQ. Chứng minh ba điểm D, K, E thẳng hàng.

183

ĐỀ SỐ 14 Câu 1. 1.Giải bất phương trình (x + 1)(x – 4) < 0. 2.Giải và biện luận bất phương trình 1 x mx m với m là tham số.

Câu 2. Giải hệ phương trình

3 61

2x y x y

1 10

2x y x y

Câu 3. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức 2 2P x 26y 10xy 14x 76y 59 .

Khi đó x, y có giá trị bằng bao nhiêu? Câu 4. Cho hình thoi ABCD có góc nhọn BAD . Vẽ tam giác đều CDM về phía ngoài hình thoi và tam giác đều AKD sao cho đỉnh K thuộc mặt phẳng chứa đỉnh B (nửa mặt phẳng bờ AC). 1.Tìm tâm của đường tròn đi qua 4 điểm A, K, C, M.

2.Chứng minh rằng nếu AB = a, thì BD = 2a.sin2

.

3.Tính góc ABK theo . 4.Chứng minh 3 điểm K, L, M nằm trên một đường thẳng.

Câu 5. Giải phương trình 2

x x 2 1 1 x

ĐỀ SỐ 15 Câu 1.Tính

22 2 4m 4m 1

a) 5 1 5 1 b)4m 2

Câu 2.

1.Vẽ đồ thị (P) của hàm số y = 2x

2.

2.Tìm a, b để đường thẳng y = ax + b đi qua điểm (0; -1) và tiếp xúc với (P)

Câu 3. Cho hệ phương trình

mx my 3

1 m x y 0

a)Giải hệ với m = 2. b) Tìm m để hệ có nghiệm âm (x < 0; y < 0). Câu 4. Cho nửa đường tròn đường kính AB = 2r, C là trung điểm của cung AB. Trên cung AC lấy điểm F bất kì. Trên dây BF lấy điểm E sao cho BE = AF. a) Hai tam giác AFC và BEC qua hệ với nhau như thế nào? Tại sao? b) Chứng minh tam giác EFC vuông cân.

184

c) Gọi D là giao điểm của AC với tiếp tuyến tại B của nửa đường tròn. Chứng minh tứ giác BECD nội tiếp được. d) Giả sử F di động trên cung AC. Chứng minh rằng khi đó E di chuyển trên một cung tròn. Hãy xác định cung tròn và bán kính của cung tròn đó.

ĐỀ SỐ 16 Câu 1. 1.Tìm bốn số tự nhiên liên tiếp, biết rằng tích của chúng bằng 3024. 2.Có thể tìm được hay không ba số a, b, c sao cho:

2 2 2

a b c a b c0

a b b c c a a b b c c a

Câu 2.

1.Cho biểu thức x 1 x 1 8 x x x 3 1

B :x 1 x 1x 1 x 1 x 1

a) Rút gọn B.

b) Tính giá trị của B khi x 3 2 2 . c) Chứng minh rằng B 1 với mọi giá trị của x thỏa mãn x 0; x 1 .

2.Giải hệ phương trình

2 2

2 2

x y x y 5

x y x y 9

Câu 3. Cho hàm số: 2 2 2y x 1 2 x 2 3 7 x

1.Tìm khoảng xác định của hàm số. 2. Tính giá trị lớn nhất của hàm số và các giá trị tương ứng của x trong khoảng xác định đó. Câu 4. Cho (O; r) và hai đường kính bất kì AB và CD. Tiếp tuyến tại A của (O) cắt đường thẳng BC và BD tại hai điểm tương ứng là E, F. Gọi P và Q lần lượt là trung điểm của EA và AF. 1.Chứng minh rằng trực tâm H của tam giác BPQ là trung điểm của đoạn OA. 2.Hai đường kính AB và Cd có vị trí tương đối như thế nào thì tam giác BPQ có diện tích nhỏ nhất? Hãy tính diện tích đó theo r.

ĐỀ SỐ 17 Câu 1. Cho a, b, c là ba số dương.

Đặt 1 1 1

x ; y ; zb c c a a b

Chứng minh rằng a + c = 2b x + y = 2z. Câu 2. Xác định giá trị của a để tổng bình phương các nghiệm của phương trình:

x2 – (2a – 1)x + 2(a – 1) = 0, đạt giá trị nhỏ nhất.

185

Câu 3. Giải hệ phương trình:

2 2 2 2

2 2 2 2

x xy y x y 185

x xy y x y 65

Câu 4. Cho hai đường tròn (O1) và (O2) cắt nhau tại A và B. Vẽ dây AE của (O1) tiếp xúc với (O2) tại A; vẽ dây AF của (O2) tiếp xúc với (O1) tại A.

1. Chứng minh rằng 2

2

BE AE

BF AF .

2.Gọi C là điểm đối xứng với A qua B. Có nhận xét gì về hai tam giác EBC và FBC. 3.Chứng minh tứ giác AECF nội tiếp được.

ĐỀ SỐ 18 Câu 1. 1.Giải các phương trình:

2

2

2 1 9 31

5 2 10 4a) b) 2x 1 5x 4x 1

22

2.Giải các hệ phương trình:

x y 3 3x 2y 6za) b)

xy 10 x y z 18

Câu 2.

1.Rút gọn

5 3 50 5 24

75 5 2

2.Chứng minh a 2 a 1; a 0 .

Câu 3. Cho tam giác ABC cân tại A nội tiếp trong đường tròn, P là một điểm trên cung nhỏ AC ( P khác A và C). AP kéo dài cắt đường thẳng BC tại M. a) Chứng minh ABP AMB . b) Chứng minh AB2 = AP.AM. c) Giả sử hai cung AP và CP bằng nhau, Chứng minh AM.MP = AB.BM. d) Tìm vị trí của M trên tia BC sao cho AP = MP. e) Gọi MT là tiếp tuyến của đường tròn tại T, chứng minh AM, AB, MT là ba cạnh của một tam giác vuông.

Câu 4. Cho 1 2 1996

1 2 1996

a a a 27...

b b b 7 . Tính

19971997 1997

1 2 1996

19971997 1997

1 2 1996

a 2 a ... 1996 a

b 2 b ... 1996 b

186

ĐỀ SỐ 19 Câu 1. 1.Giải hệ phương trình sau:

1 32

2x 3y 1 x 2 ya) b)

x 3y 2 2 11

x 2 y

2.Tính 6 2 5a) 3 2 2 3 3 2 2 3 b)

2 20

Câu 2. 1.Cho phương trình x2 – ax + a + 1 = 0. a) Giải phương trình khi a = - 1.

b) Xác định giá trị của a, biết rằng phương trình có một nghiệm là 1

3x

2 .

Với giá trị tìm được của a, hãy tính nghiệm thứ hai của phương trình. 2.Chứng minh rằng nếu a b 2 thì ít nhất một trong hai phương trình sau đây có nghiệm: x2 + 2ax + b = 0; x2 + 2bx + a = 0. Câu 3. Cho tam giác ABC có AB = AC. Các cạnh AB, BC, CA tiếp xúc với (O) tại các điểm tương ứng D, E, F. 1.Chứng minh DF//BC và ba điểm A, O, E thẳng hàng. 2.Gọi giao điểm thứ hai của BF với (O) là M và giao điểm của DM với BC là N. Chứng minh hai tam giác BFC và DNB đồng dạng; N là trung điểm của BE. 3.Gọi (O’) là đường tròn đi qua ba điểm B, O, C. Chứng minh AB, AC là các tiếp tuyến của (O’).

Câu 4. Cho 2 2x x 1999 y y 1999 1999 . Tính S = x + y.

ĐỀ SỐ 20

Câu 1.

1.Cho 2

1 1M 1 a : 1

1 a 1 a

a) Tìm tập xác định của M. b) Rút gọn biểu thức M.

c) Tính giá trị của M tại 3

a2 3

.

187

2.Tính 40 2 57 40 2 57

Câu 2. 1.Cho phương trình (m + 2)x2 – 2(m – 1) + 1 = 0 (1) a) Giải phương trình khi m = 1. b) Tìm m để phương trình (1) có nghiệm kép. c) Tìm m để (1) có hai nghiệm phân biệt, tìm hệ thức liên hệ giữa các nghiẹm không phụ thuộc vào m. 2.Cho ba số a, b, c thỏa mãn a > 0; a2 = bc; a + b + c = abc. Chứng minh:

2 2 2a) a 3, b 0, c 0. b) b c 2a

Câu 3. Cho (O) và một dây ABM tùy ý trên cung lớn AB. 1.Nêu cách dựng (O1) qua M và tiếp xúc với AB tại A; đường tròn (O2) qua M và tiếp xúc với AB tại B. 2.Gọi N là giao điểm thứ hai của hai đường tròn (O1) và (O2). Chứng minh

0AMB ANB 180 . Có nhận xét gì về độ lớn của góc ANB khi M di động. 3.Tia MN cắt (O) tại S. Tứ giác ANBS là hình gì? 4.Xác định vị trí của M để tứ giác ANBS có diện tích lớn nhất.

Câu 4. Giả sử hệ

ax+by=c

bx+cy=a

cx+ay=b

có nghiệm. Chứng minh rằng: a3 + b3 + c3 = 3abc.

ĐỀ SỐ 21 c©u 1:(3 ®iÓm) Rót gän çc biÓu thøc sau:

.7

1;

3

1

491

1694

223312

22

3

323

2

15120

4

156

2

1

2

2

2

xxx

xxxC

B

A

c©u 2:(2,5 ®iÓm)

Cho hµm sè )(2

1 2 Pxy

a. VÏ ®å thÞ cña hµm sè (P) b. Víi gi¸ trÞ nµo cña m th× ®êng th¼ng y=2x+m c¾t ®å thÞ (P) t¹i 2 ®iÓm ph©n biÖt A vµ B. Khi ®ã h·y t×m to¹ ®é hai ®iÓm A vµ B.

c©u 3: (3 ®iÓm) Cho ®êng trßn t©m (O), ®êng kÝnh AC. Trªn ®o¹n OC lÊy ®iÓm B (B≠C) vµ vÏ ®êng trßn t©m (O’) ®êng kÝnh BC. Gäi M lµ trung ®iÓm cña ®o¹n AB. Qua M kÎ mét d©y cung DE vu«ng gãc víi AB. CD c¾t ®êng trßn (O’) t¹i ®iÓm I. a. Tø gi¸c ADBE lµ h×nh g×? T¹i sao? b. Chøng minh 3 ®iÓm I, B, E th¼ng hµng. c. Chøng minh r»ng MI lµ tiÕp tuyÕn cña ®êng trßn (O’) vµ MI2=MB.MC.

188

c©u 4: (1,5®iÓm) Gi¶ sö x vµ y lµ 2 sè tho¶ m·n x>y vµ xy=1.

T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña biÓu thøc .22

yx

yx

.

ĐỀ SỐ 22 c©u 1:(3 ®iÓm)

Cho hµm sè xy . a.T×m tËp x¸c ®Þnh cña hµm sè.

b.TÝnh y biÕt: a) x=9 ; b) x= 221 c. Çc ®iÓm: A(16;4) vµ B(16;-4) ®iÓm nµo thuéc ®å thÞ cña hµm sè, ®iÓm nµo kh«ng thuéc ®å thÞ cña hµm sè? T¹i sao? Kh«ng vÏ ®å thÞ, h·y t×m hoµnh ®é giao ®iÓm cña ®å thÞ hµm sè ®· cho vµ ®å thÞ hµm sè y=x-6.

c©u 2:(1 ®iÓm) XÐt ph¬ng tr×nh: x2-12x+m = 0 (x lµ Èn). T×m m ®Ó ph¬ng tr×nh cã 2 nghiÖm x1, x2 tho¶ m·n ®iÒu kiÖn x2 =x1

2. c©u 3:(5 ®iÓm)

Cho ®êng trßn t©m B b¸n kÝnh R vµ ®êng trßn t©m C b¸n kÝnh R’ c¾t nhau t¹i A vµ D. KÎ çc ®êng kÝnh ABE vµ ACF. a.TÝnh çc gãc ADE vµ ADF. Tõ ®ã chøng minh 3 ®iÓm E, D, F th¼ng hµng. b.Gäi M lµ trung ®iÓm cña ®o¹n th¼ng BC vµ N lµ giao ®iÓm cña çc ®êng th¼ng AM vµ EF. Chøng minh tø gi¸c ABNC lµ h×nh b×nh hµnh. c.Trªn çc nöa ®êng trßn ®êng kÝnh ABE vµ ACF kh«ng chøa ®iÓm D ta lÇn lît lÊy çc ®iÓm I vµ K sao cho gãc ABI b»ng gãc ACK (®iÓm I kh«ng thuéc ®êng th¼ng NB;K kh«ng thuéc ®êng th¼ngNC) Chøng minh tam gi¸c BNI b»ng tam gi¸c CKN vµ tam gi¸c NIK lµ tam gi¸c c©n. d.Gi¶ sö r»ng R<R’. 1. Chøng minh AI<AK. 2. Chøng minh MI<MK.

c©u 4:(1 ®iÓm) Cho a, b, c lµ sè ®o cña çc gãc nhän tho¶ m·n: cos2a+cos2b+cos2c≥2. Chøng minh: (tga. tgb. tgc)2 ≤ 1/8.

189

ĐỀ SỐ 23 c©u 1: (2,5 ®iÓm)

Gi¶i çc ph¬ng tr×nh sau: a. x2-x-12 = 0 b. 43 xx

c©u 2: (3,5 ®iÓm) Cho Parabol y=x2 vµ ®êng th¼ng (d) cã ph¬ng tr×nh y=2mx-m2+4. a. T×m hoµnh ®é cña çc ®iÓm thuéc Parabol biÕt tung ®é cña chóng b. Chøng minh r»ng Parabol vµ ®êng th¼ng (d) lu«n c¾t nhau t¹i 2 ®iÓm ph©n biÖt. T×m to¹ ®é giao ®iÓm cña chóng. Víi gi¸ trÞ nµo cña m th× tæng çc tung ®é cña chóng ®¹t gi¸ trÞ nhá nhÊt?

c©u 3: (4 ®iÓm) Cho ∆ABC cã 3 gãc nhän. Çc ®êng cao AA’, BB’, CC’ c¾t nhau t¹i H; M lµ trung ®iÓm cña c¹nh BC. 1. Chøng minh tø gi¸c AB’HC’ néi tiÕp ®îc trong ®êng trßn. 2. P lµ ®iÓm ®èi xøng cña H qua M. Chøng minh r»ng:

a. Tø gi¸c BHCP lµ h×nh b×nh hµnh. b. P thuéc ®êng trßn ngo¹i tiÕp ∆ABC.

3. Chøng minh: A’B.A’C = A’A.A’H.

4. Chøng minh: 8

1'''

HC

HC

HB

HB

HA

HA

ĐỀ SỐ 24 c©u 1: (1,5 ®iÓm)

Cho biÓu thøc:

190

x

xxA

24

442

1. Víi gi¸ trÞ nµo cña x th× biÓu thøc A cã nghÜa? 2. TÝnh gi¸ trÞ cña biÓu thøc A khi x=1,999

c©u 2: (1,5 ®iÓm) Gi¶i hÖ phêng tr×nh:

52

34

12

11

yx

yx

c©u 3: (2 ®iÓm) T×m gi¸ trÞ cña a ®Ó ph¬ng tr×nh: (a2-a-3)x2 +(a+2)x-3a2 = 0 nhËn x=2 lµ nghiÖm. T×m nghiÖm cßn l¹i cña ph¬ng tr×nh?

c©u 4: (4 ®iÓm) Cho ∆ABC vu«ng ë ®Ønh A. Trªn c¹nh AB lÊy ®iÓm D kh«ng trïng víi ®Ønh A vµ ®Ønh B. §êng trßn ®êng kÝnh BD c¾t c¹nh BC t¹i E. §êng th¼ng AE c¾t ®êng trßn ®êng kÝnh BD t¹i ®iÓm thø hai lµ G. ®êng th¼ng CD c¾t ®êng trßn ®êng kÝnh BD t¹i ®iÓm thø hai lµ F. Gäi S lµ giao ®iÓm cña çc ®êng th¼ng AC vµ BF. Chøng minh: 1. §êng th¼ng AC// FG. 2. SA.SC=SB.SF 3. Tia ES lµ ph©n gi¸c cña AEF .

c©u 5: (1 ®iÓm) Gi¶i ph¬ng tr×nh:

361122 xxx

ĐỀ SỐ 24 c©u 1: (2 ®iÓm)

Cho biÓu thøc:

1,0;11

11

aa

a

aa

a

aaA .

1. Rót gän biÓu thøc A. 2. T×m a ≥0 vµ a≠1 tho¶ m·n ®¼ng thøc: A= -a2

c©u 2: (2 ®iÓm) Trªn hÖ trôc to¹ ®é Oxy cho çc ®iÓm M(2;1), N(5;-1/2) vµ ®êng th¼ng (d) cã ph¬ng tr×nh y=ax+b 1. T×m a vµ b ®Ó ®êng th¼ng (d) ®i qua çc ®iÓm M vµ N?

191

2. X¸c ®Þnh to¹ ®é giao ®iÓm cña ®êng th¼ng MN víi çc trôc Ox vµ Oy. c©u 3: (2 diÓm)

Cho sè nguyªn d¬ng gåm 2 ch÷ sè. T×m sè ®ã, biÕt r»ng tæng cña 2 ch÷ sè b»ng 1/8 sè ®· cho; nÕu thªm 13 vµo tÝch cña 2 ch÷ sè sÏ ®îc mét sè viÕt theo thø tù ngîc l¹i sè ®· cho.

c©u 4: (3 ®iÓm) Cho ∆PBC nhän. Gäi A lµ ch©n ®êng cao kÎ tõ ®Ønh P xuèng c¹nh BC. §êng trßn ®êng khinh BC c¾t c¹nh PB vµ PC lÇn lît ë M vµ N. Nèi N víi A c¾t ®êng trßn ®êng kÝnh BC t¹i ®iÓm thø 2 lµ E. 1. Chøng minh 4 ®iÓm A, B, N, P cïng n»m trªn mét ®êng trßn. X¸c ®Þnh t©m cña ®êng trßn Êy? 2. Chøng minh EM vu«ng gãc víi BC. 3. Gäi F lµ ®iÓm ®èi xøng cña N qua BC. Chøng minh r»ng: AM.AF=AN.AE

c©u 5: (1 ®iÓm) Gi¶ sö n lµ sè tù nhiªn. Chøng minh bÊt ®¼ng thøc:

2

1

1

23

1

2

1

nn

ĐỀ SỐ 25 c©u 1: (1,5 ®iÓm)

Rót gän biÓu thøc:

1,0;1

1

1

1

aa

aa

a

aaM .

c©u 2: (1,5 ®iÓm) T×m 2 sè x vµ y tho¶ m·n ®iÒu kiÖn:

12

2522

xy

yx

c©u 3:(2 ®iÓm) Hai ngêi cïng lµm chung mét c«ng viÖc sÏ hoµn thµnh trong 4h. NÕu mçi ngêi lµm riªng ®Ó hoµn thµnh c«ng viÖc th× thêi gian ngêi thø nhÊt lµm Ýt h¬n ngêi thø 2 lµ 6h. Hái nÕu lµm riªng th× mçi ngêi ph¶i lµm trong bao l©u sÏ hoµn thµnh c«ng viÖc?

c©u 4: (2 ®iÓm) Cho hµm sè:

y=x2 (P) y=3x=m2 (d)

1. Chøng minh r»ng víi bÊt kú gi¸ trÞ nµo cña m, ®êng th¼ng (d) lu«n c¾t (P) t¹i 2 ®iÓm ph©n biÖt.

192

2. Gäi y1 vµ y2 lµ tung ®é çc giao ®iÓm cña ®êng th¼ng (d) vµ (P). T×m m ®Ó cã ®¼ng thøc y1+y2 = 11y1y2

c©u 5: (3 ®iÓm) Cho ∆ABC vu«ng ë ®Ønh A. Trªn c¹nh AC lÊy ®iÓm M ( kh¸c víi çc ®iÓm A vµ C). VÏ ®êng trßn (O) ®êng kÝnh MC. GäiT lµ giao ®iÓm thø hai cña c¹nh BC víi ®êng trßn (O). Nèi BM vµ kÐo dµi c¾t ®êng trßn (O) t¹i ®iÓm thø hai lµ D. §êng th¼ng AD c¾t ®êng trßn (O) t¹i ®iÓm thø hai lµ S. Chøng minh: 1. Tø gi¸c ABTM néi tiÕp ®îc trong ®êng trßn. 2. Khi ®iÓm M di chuyÓn trªn c¹nh AC th× gãc ADM cã sè ®o kh«ng ®æi. 3. §êng th¼ng AB//ST.

ĐỀ SỐ 26 c©u 1: (2 ®iÓm)

Cho biÓu thøc:

yxyxyx

xy

xyx

y

xyx

yS

,0,0;

2: .

1. Rót gän biÓu thøc trªn. 2. T×m gi¸ trÞ cña x vµ y ®Ó S=1.

c©u 2: (2 ®iÓm)

Trªn parabol 2

2

1xy lÊy hai ®iÓm A vµ B. BiÕt hoµnh ®é cña ®iÓm A lµ xA=-2

vµ tung ®é cña ®iÓm B lµ yB=8. ViÕt ph¬ng tr×nh ®êng th¼ng AB. c©u 3: (1 ®iÓm)

X¸c ®Þnh gi¸ trÞ cña m trong ph¬ng tr×nh bËc hai: x2-8x+m = 0

®Ó 34 lµ nghiÖm cña ph¬ng tr×nh. Víi m võa t×m ®îc, ph¬ng tr×nh ®· cho cßn mét nghiÖm n÷a. T×m nghiÖm cßn l¹i Êy?

c©u 4: (4 ®iÓm) Cho h×nh thang c©n ABCD (AB//CD vµ AB>CD) néi tiÕp trong ®êng trßn (O).TiÕp tuyÕn víi ®êng trßn (O) t¹i A vµ t¹i D c¾t nhau t¹i E. Gäi I lµ giao ®iÓm cña çc ®êng chÐo AC vµ BD. 1. Chøng minh tø gi¸c AEDI néi tiÕp ®îc trong mét ®êng trßn. 2. Chøng minh EI//AB. 3. §êng th¼ng EI c¾t çc c¹nh bªn AD vµ BC cña h×nh thang t¬ng øng ë R vµ S. Chøng minh r»ng:

a. I lµ trung ®iÓm cña ®o¹n RS.

b. RSCDAB

211

c©u 5: (1 ®iÓm) T×m tÊt c¶ çc cÆp sè (x;y) nghiÖm ®óng ph¬ng tr×nh:

(16x4+1).(y4+1) = 16x2y2

193

ĐỀ SỐ 27 c©u 1: (2 ®iÓm)

Gi¶i hÖ ph¬ng tr×nh

7,113

252

yxx

yxx

c©u 2: (2 ®iÓm)

Cho biÓu thøc 1,0;1

1

xx

xx

x

xA .

1. Rót gän biÓu thøc A.

2 TÝnh gi¸ trÞ cña A khi 2

1x

c©u 3: (2 ®iÓm) Cho ®êng th¼ng d cã ph¬ng tr×nh y=ax+b. BiÕt r»ng ®êng th¼ng d c¾t trôc hoµnh t¹i ®iÓm cã hoµnh b»ng 1 vµ song song víi ®êng th¼ng y=-2x+2003. 1. T×m a vÇ b.

2. T×m to¹ ®é çc ®iÓm chung (nÕu cã) cña d vµ parabol 2

2

1xy

c©u 4: (3 ®iÓm) Cho ®êng trßn (O) cã t©m lµ ®iÓm O vµ mét ®iÓm A cè ®Þnh n»m ngoµi ®êng trßn. Tõ A kÎ çc tiÕp tuyÕn AP vµ AQ víi ®êng trßn (O), P vµ Q lµ çc tiÕp ®iÓm. §êng th¼ng ®i qua O vµ vu«ng gãc víi OP c¾t ®êng th¼ng AQ t¹i M. 1. Chøng minh r»ng MO=MA. 2. LÊy ®iÓm N trªn cung lín PQ cña ®êng trßn (O) sao cho tiÕp tuyÕn t¹i N cña ®êng trßn (O) c¾t çc tia AP vµ AQ t¬ng øng t¹i B vµ C.

a. Chøng minh r»ng AB+AC-BC kh«ng phô thuéc vÞ trÝ ®iÓm N. b.Chøng minh r»ng nÕu tø gi¸c BCQP néi tiÕp ®êng trßn th× PQ//BC.

c©u 5: (1 ®iÓm)

Gi¶i ph¬ng tr×nh 323232 22 xxxxxx

ĐỀ SỐ 28 c©u 1: (3 ®iÓm)

1. §¬n gi¶n biÓu thøc:

56145614 P 2. Cho biÓu thøc:

194

1,0;1

1

2

12

2

xx

x

x

x

x

xx

xQ .

a. Chøng minh 1

2

xQ

b. T×m sè nguyªn x lín nhÊt ®Ó Q cã gi¸ trÞ lµ sè nguyªn. c©u 2: (3 ®iÓm)

Cho hÖ ph¬ng tr×nh:

ayax

yxa

2

41 (a lµ tham sè)

1. Gi¶i hÖ khi a=1. 2. Chøng minh r»ng víi mäi gi¸ trÞ cña a, hÖ lu«n cã nghiÖm duy nhÊt (x;y) sao cho x+y≥ 2.

c©u 3: (3 ®iÓm) Cho ®êng trßn (O) ®êng kÝnh AB=2R. §êng th¼ng (d) tiÕp xóc víi ®êng trßn (O) t¹i A. M vµ Q lµ hai ®iÓm ph©n biÖt, chuyÓn ®éng trªn (d) sao cho M kh¸c A vµ Q kh¸c A. Çc ®êng th¼ng BM vµ BQ lÇn lît c¾t ®êng trßn (O) t¹i çc ®iÓm thø hai lµ N vµ P. Chøng minh:

1. BM.BN kh«ng ®æi. 2. Tø gi¸c MNPQ néi tiÕp ®îc trong ®êng trßn. 3. BÊt ®¼ng thøc: BN+BP+BM+BQ>8R.

c©u 4: (1 ®iÓm) T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña hµm sè:

52

622

2

xx

xxy

ĐỀ SỐ 29 c©u 1: (2 ®iÓm)

1. TÝnh gi¸ trÞ cña biÓu thøc 347347 P .

2. Chøng minh:

0,0;4

2

baba

ab

abba

ba

abba.

c©u 2: (3 ®iÓm) Cho parabol (P) vµ ®êng th¼ng (d) cã ph¬ng tr×nh:

(P): y=x2/2 ; (d): y=mx-m+2 (m lµ tham sè). 1. T×m m ®Ó ®êng th¼ng (d) vµ (P) cïng ®i qua ®iÓm cã hoµnh ®é b»ng x=4. 2. Chøng minh r»ng víi mäi gi¸ trÞ cña m, ®êng th¼ng (d) lu«n c¾t (P) t¹i 2 ®iÓm ph©n biÖt.

195

3. Gi¶ sö (x1;y1) vµ (x2;y2) lµ to¹ ®é çc giao ®iÓm cña ®êng th¼ng (d) vµ (P). Chøng minh r»ng 2121 122 xxyy .

c©u 3: (4 ®iÓm) Cho BC lµ d©y cung cè ®Þnh cña ®êng trßn t©m O, b¸n kÝnh R(0<BC<2R). A lµ ®iÓm di ®éng trªn cung lín BC sao cho ∆ABC nhän. Çc ®êng cao AD, BE, CF cña ∆ABC c¾t nhau t¹i H(D thuéc BC, E thuéc CA, F thuéc AB). 1. Chøng minh tø gi¸c BCEF néi tiÕp trong mét ®êng trßn. Tõ ®ã suy ra AE.AC=AF.AB. 2. Gäi A’ lµ trung ®iÓm cña BC. Chøng minh AH=2A’O. 3. KÎ ®êng th¼ng d tiÕp xóc víi ®êng trßn (O) t¹i A. §Æt S lµ diÖn tÝch cña ∆ABC, 2p lµ chu vi cña ∆DEF.

a. Chøng minh: d//EF. b. Chøng minh: S=pR.

c©u 4: (1 ®iÓm)

Gi¶i ph¬ng tr×nh: xxx 24422169 2

ĐỀ SỐ 30 bµi 1: (2 ®iÓm)

Cho biÓu thøc:

4,1,0;2

1

1

2:

1

11

xxx

x

x

x

x

xxA .

1. Rót gän A. 2. T×m x ®Ó A = 0.

bµi 2: (3,5 ®iÓm) Trong mÆt ph¼ng to¹ ®é Oxy cho parabol (P) vµ ®êng th¼ng (d) cã ph¬ng tr×nh:

(P): y=x2 (d): y=2(a-1)x+5-2a ; (a lµ tham sè)

1. Víi a=2 t×m to¹ ®é giao ®iÓm cña ®êng th¼ng (d) vµ (P). 2. Chøng minh r»ng víi mäi a ®êng th¼ng (d) lu«n c¾t (P) t¹i 2 ®iÓm ph©n biÖt. 3. Gäi hoµnh ®é giao ®iÓm cña ®êng th¼ng (d) vµ (P) lµ x1, x2. T×m a ®Ó x1

2+x22=6.

bµi 3: (3,5 ®iÓm) Cho ®êng trßn (O) ®êng kÝnh AB. §iÓm I n»m gi÷a A vµ O (I kh¸c A vµ O).KÎ d©y MN vu«ng gãc víi AB t¹i I. Gäi C lµ ®iÓm tuú ý thuéc cung lín MN (C kh¸c M, N, B). Nèi AC c¾t MN t¹i E. Chøng minh: 1. Tø gi¸c IECB néi tiÕp.

196

2. AM2=AE.AC 3. AE.AC-AI.IB=AI2

bµi 4:(1 diÓm) Cho a ≥ 4, b ≥ 5, c ≥ 6 vµ a2+b2+c2=90 Chøng minh: a + b + c ≥ 16.

ĐỀ SỐ 31 c©u 1: (1,5 ®iÓm)

Rót gän biÓu thøc:

1,0;1

21

2

3

1

2

35

xxx

xx

x

xx

c©u 2: (2 ®iÓm) Qu·ng ®êng AB dµi 180 km. Cïng mét lóc hai «t« khëi hµnh tõ A ®Ó ®Õn B. Do vËn tèc cña «t« thø nhÊt h¬n vËn tèc cña «t« thø hai lµ 15 km/h nªn «t« thø nhÊt ®Õn sím h¬n «t« thø hai 2h. TÝnh vËn tèc cña mçi «t«?

c©u 3: (1,5 ®iÓm) Cho parabol y=2x2. Kh«ng vÏ ®å thÞ, h·y t×m: 1. To¹ ®é giao ®iÓm cña ®êng th¼ng y=6x- 4,5 víi parabol. 2. Gi¸ trÞ cña k, m sao cho ®êng th¼ng y=kx+m tiÕp xóc víi parabol t¹i ®iÓm A(1;2).

c©u 4: (5 ®iÓm) Cho ∆ABC néi tiÕp trong ®êng trßn (O). Khi kÎ çc ®êng ph©n gi¸c cña çc gãc B, gãc C, chóng c¾t ®êng trßn lÇn lît t¹i ®iÓm D vµ ®iÓm E th× BE=CD. 1. Chøng minh ∆ABC c©n. 2. Chøng minh BCDE lµ h×nh thang c©n. 3. BiÕt chu vi cña ∆ABC lµ 16n (n lµ mét sè d¬ng cho tríc), BC b»ng 3/8 chu vi ∆ABC.

a. TÝnh diÖn tÝch cña ∆ABC. b. TÝnh diÖn tÝch tæng ba h×nh viªn ph©n giíi h¹n bëi ®êng trßn (O) vµ ∆ABC.

197

ĐỀ SỐ 32 bµi 1:

TÝnh gi¸ trÞ cña biÓu thøc sau:

332

1332

132;1

3

31

5

31

15

22

x

xx

xx

x

bµi 2: Cho hÖ ph¬ng tr×nh(Èn lµ x, y ):

ayx

anyx

3

72

219

1. Gi¶i hÖ víi n=1. 2. Víi gi¸ trÞ nµo cña n th× hÖ v« nghiÖm.

bµi 3: Mét tam gi¸c vu«ng chu vi lµ 24 cm, tØ sè gi÷a c¹nh huyÒn vµ mét c¹nh gãc vu«ng lµ 5/4. TÝnh c¹nh huyÒn cña tam gi¸c.

bµi 4: Cho tam gi¸c c©n ABC ®Ønh A néi tiÕp trong mét ®êng trßn. Çc ®êng ph©n gi¸c BD, CE c¾t nhau t¹i H vµ c¾t ®êng trßn lÇn lît t¹i I, K. 1. Chøng minh BCIK lµ h×nh thang c©n. 2. Chøng minh DB.DI=DA.DC. 3. BiÕt diÖn tÝch tam gi¸c ABC lµ 8cm2, ®¸y BC lµ 2cm. TÝnh diÖn tÝch cña tam gi¸c HBC. 4. BiÕt gãc BAC b»ng 450, diÖn tÝch tam gi¸c ABC lµ 6 cm2, ®¸y BC lµ n(cm). TÝnh diÖn tÝch mçi h×nh viªn ph©n ë phÝa ngoµi tam gi¸c ABC.

ĐỀ SỐ 33 c©u I: (1,5 ®iÓm) 1. Gi¶i ph¬ng tr×nh 42 xx

2. Tam gi¸c vu«ng cã c¹nh huyÒn b»ng 5cm. DiÖn tÝch lµ 6cm2. TÝnh ®é dµi çc c¹nh gãc vu«ng.

c©u II: (2 ®iÓm)

198

Cho biÓu thøc: 0;1

1

x

xx

xxA

1. Rót gän biÓu thøc. 2. Gi¶i ph¬ng tr×nh A=2x.

3. TÝnh gi¸ trÞ cña A khi 223

1

x .

c©u III: (2 ®iÓm) Trªn mÆt ph¼ng víi hÖ to¹ ®é Oxy cho parabol (P) cã ph¬ng tr×nh y=-2x2 vµ ®êng th¼ng (d) cã ph¬ng tr×nh y=3x+m. 1. Khi m=1, t×m to¹ ®é çc giao ®iÓm cña (P) vµ (d). 2. TÝnh tæng b×nh ph¬ng çc hoµnh ®é giao ®iÓm cña (P) vµ (d) theo m.

c©u IV:(3 ®iÓm) Cho tam gi¸c ABC vu«ng c©n t¹i A. M lµ mét ®iÓm trªn ®o¹n BC ( M kh¸c B vµ C). ®êng th¼ng ®I qua M vµ vu«ng gãc víi BC c¾t çc ®êng th¼ng AB t¹i D, AC t¹i E. Gäi F lµ giao ®iÓm cña hai ®êng th¼ng CD vµ BE. 1. Chøng minh çc tø gi¸c BFDM vµ CEFM lµ çc tø gi¸c néi tiÕp. 2. Gäi I lµ ®iÓm ®èi xøng cña A qua BC. Chøng minh F, M, I th¼ng hµng.

c©u V: (1,5 ®iÓm) Tam gi¸c ABC kh«ng cã gãc tï. Gäi a, b, c lµ ®é dµi çc c¹nh, R lµ b¸n kÝnh cña ®êng trßn ngo¹i tiÕp, S lµ diÖn tÝch cña tam gi¸c. Chøng minh bÊt ®¼ng thøc:

cba

SR

4

DÊu b»ng x¶y ra khi nµo?

ĐỀ SỐ 34 c©u I: 1. Rót gän biÓu thøc

1;11

1

1

1 3

22

a

a

aa

aaaaa

aA .

2. Chøng minh r»ng nÕu ph¬ng tr×nh axxxx 139139 22 cã nghiÖm th× -1< a <1.

c©u II: Cho ph¬ng tr×nh x2+px+q=0 ; q≠0 (1)

1. Gi¶i ph¬ng tr×nh khi 2;12 qp .

2. Cho 16q=3p2. Chøng minh r»ng ph¬ng tr×nh cã 2 nghiÖm vµ nghiÖm nµy gÊp 3 lÇn nghiÖm kia. 3. Gi¶ sö ph¬ng tr×nh cã 2 nghiÖm tr¸i dÊu, chøng minh ph¬ng tr×nh qx2+px+1=0 (2) còng cã 2 nghiÖm tr¸i dÊu. Gäi x1 lµ nghiÖm ©m cña ph¬ng tr×nh (1), x2 lµ nghiÖm ©m cña ph¬ng tr×nh (2). Chøng minh x1+x2≤-2.

c©u III: Trong mÆt ph¼ng Oxy cho ®å thÞ (P) cña hµm sè y=-x2 vµ ®êng th¼ng (d) ®I qua ®iÓm A(-1;-2) cã hÖ sè gãc k. 1. Chøng minh r»ng víi mäi gi¸ trÞ cña k ®êng th¼ng (d) lu«n c¾t ®å thÞ (P) t¹i 2 ®iÓm A, B. T×m k cho A, B n»m vÒ hai phÝa cña trôc tung.

199

2. Gäi (x1;y1) vµ (x2;y2) lµ to¹ ®é cña çc ®iÓm A, B nãi trªn t×m k cho tæng S=x1+y1+x2+y2 ®¹t gi¸ trÞ lín nhÊt.

c©u IV: Cho ba ®iÓm A, B, C th¼ng hµng theo thø tù ®ã. Gäi (T) lµ ®êng trßn ®êng kÝnh BC; (d) lµ ®êng th¼ng vu«ng gãc víi AC t¹i A; M lµ mét ®iÓm trªn (T) kh¸c B vµ C; P, Q lµ çc giao ®iÓm cña çc ®êng th¼ng BM, CM víi (d); N lµ giao ®iÓm (kh¸c C) cña CP vµ ®êng trßn. 1. Chøng minh 3 ®iÓm Q, B, N th¼ng hµng. 2. Chøng minh B lµ t©m ®êng trßn néi tiÕp tam gi¸c AMN. 3. Cho BC=2AB=2a (a>0 cho tríc). TÝnh ®é dµi nhá nhÊt cña ®o¹n PQ khi M thay ®æi trªn (T).

c©u V: Gi¶i ph¬ng tr×nh

3;034321 222 mmmxmxxm , x lµ Èn.

ĐỀ SỐ 35 c©u I: (2 ®iÓm)

Cho biÓu thøc: F= 1212 xxxx 1. T×m çc gi¸ trÞ cña x ®Ó biÓu thøc trªn cã nghÜa. 2. T×m çc gi¸ trÞ x≥2 ®Ó F=2.

c©u II: (2 ®iÓm)


12

12zxy

zyx (ë ®ã x, y, z lµ Èn)

1. Trong çc nghiÖm (x0,y0,z0) cña hÖ ph¬ng tr×nh, h·y t×m tÊt c¶ nh÷ng nghiÖm cã z0=-1. 2. Gi¶i hÖ ph¬ng tr×nh trªn.

c©u III:(2,5 ®iÓm) Cho ph¬ng tr×nh: x2- (m-1)x-m=0 (1) 1. Gi¶ sö ph¬ng tr×nh (1) cã 2 nghiÖm lµ x1, x2. LËp ph¬ng tr×nh bËc hai cã 2 nghiÖm lµ t1=1-x1 vµ t2=1-x2. 2. T×m çc gi¸ trÞ cña m ®Ó ph¬ng tr×nh (1) cã 2 nghiÖm x1, x2 tho¶ m·n ®iÒu kiÖn: x1<1<x2.

c©u IV: (2 ®iÓm) Cho nöa ®êng trßn (O) cã ®êng kÝnh AB vµ mét d©y cung CD. Gäi E vµ F t¬ng øng lµ h×nh chiÕu vu«ng gãc cña A vµ B trªn ®êng th¼ng CD. 1. Chøng minh E vµ F n»m phÝa ngoµi ®êng trßn (O). 2. Chøng minh CE=DF.

c©u V: (1,5 ®iÓm) Cho ®êng trßn (O) cã ®êng kÝnh AB cè ®Þnh vµ d©y cung MN ®i qua trung ®iÓm H cña OB. Gäi I lµ trung ®iÓm cña MN. Tõ A kÎ tia Ax vu«ng gãc víi MN c¾t tia BI t¹i C. T×m tËp hîp çc ®iÓm C khi d©y MN quay xung quanh ®iÓm H.

200

ĐỀ SỐ 36 c©u 1: (2,5 ®iÓm)

1. Gi¶i çc ph¬ng tr×nh:

3221.

822063. 22

xxxxxxb

xxxxa

2. LËp ph¬ng tr×nh bËc 2 cã çc nghiÖm lµ: 2

53;

2

5321

xx .

3. TÝnh gi¸ trÞ cña P(x)=x4-7x2+2x+1+ 5 , khi 2

53x .

c©u 2 : (1,5 ®iÓm) T×m ®iÒu kiÖn cña a, b cho hai ph¬ng tr×nh sau t¬ng ®¬ng:

x2+2(a+b)x+2a2+b2 = 0 (1) x2+2(a-b)x+3a2+b2 = 0 (2)

c©u 3: (1,5 ®iÓm) Cho çc sè x1, x2…,x1996 tho¶ m·n:

499

1...

2...

2

1996

2

2

2

1

199621

xxx

xxx

c©u 4: (4,5 ®iÓm) Cho tam gi¸c ABC cã ba gãc nhän, çc ®êng cao AA1,BB1, CC1 c¾t nhau t¹i I. Gäi A2, B2, C2 lµ çc giao ®iÓm cña çc ®o¹n th¼ng IA, IB, IC víi ®êng trßn ngo¹i tiÕp tam gi¸c A1B1C1. 1. Chøng minh A2 lµ trung ®iÓm cña IA. 2. Chøng minh SABC=2.SA1C2B1A2C1B2.

3. Chøng minh ABC

S

CBAS

111 =sin2A+sin2B+sin2C - 2 vµ

sin2A+sin2B+sin2C≤ 9/4. ( Trong ®ã S lµ diÖn tÝch cña çc h×nh).

ĐỀ SỐ 37 c©u 1: (2,5 ®iÓm)

1. Cho 2 sè sau:

623

623

b

a

Chøng tá a3+b3 lµ sè nguyªn. T×m sè nguyªn Êy.

201

2. Sè nguyªn lín nhÊt kh«ng vît qu¸ x gäi lµ phÇn nguªn cña x vµ ký hiÖu lµ [x]. T×m [a3].

c©u 2: (2,5 ®iÓm) Cho ®êng th¼ng (d) cã ph¬ng tr×nh lµ y=mx-m+1. 1. Chøng tá r»ng khi m thay ®æi th× ®êng th¼ng (d) lu«n ®i qua mét ®iÓm cè ®Þnh. T×m ®iÓm cè ®Þnh Êy. 2. T×m m ®Ó ®êng th¼ng (d) c¾t y=x2 t¹i 2 ®iÓm ph©n biÖt A vµ B sao cho

3AB . c©u 3: (2,5 ®iÓm)

Cho tam gi¸c nhän ABC néi tiÕp trong ®êng trßn (O). Gäi t lµ tiÕp tuyÕn víi dêng trßn t©m (O) t¹i ®Ønh A. Gi¶ sö M lµ mét ®iÓm n»m bªn trong tam gi¸c ABC sao cho MCAMBC . Tia CM c¾t tiÕp tuyÕn t ë D. Chøng minh tø gi¸c AMBD néi tiÕp ®îc trong mét ®êng trßn. T×m phÝa trong tam gi¸c ABC nh÷ng ®iÓm M sao cho:

MCAMBCMAB c©u 4: (1 ®iÓm)

Cho ®êng trßn t©m (O) vµ ®êng th¼ng d kh«ng c¾t ®êng trßn Êy. trong çc ®o¹n th¼ng nèi tõ mét ®iÓm trªn ®êng trßn (O) ®Õn mét ®iÓm trªn ®êng th¼ng d, T×m ®o¹n th¼ng cã ®é dµi nhá nhÊt?

c©u 5: (1,5 ®iÓm) T×m m ®Ó biÓu thøc sau:

1

1

mmx

mxmH cã nghÜa víi mäi x ≥ 1.

ĐỀ SỐ 38 bµi 1: (1 ®iÓm)

Gi¶i ph¬ng tr×nh: 0,5x4+x2-1,5=0. bµi 2: (1,5 ®iÓm)

§Æt 24057;24057 NM TÝnh gi¸ trÞ cña çc biÓu thøc sau:

1. M-N 2. M3-N3

bµi 3: (2,5 ®iÓm) Cho ph¬ng tr×nh: x2-px+q=0 víi p≠0. Chøng minh r»ng: 1. NÕu 2p2- 9q = 0 th× ph¬ng tr×nh cã 2 nghiÖm vµ nghiÖm nµy gÊp ®«i nghiÖm kia. 2. NÕu ph¬ng tr×nh cã 2 nghiÖm vµ nghiÖm nµy gÊp ®«i nghiÖm kia th× 2p2- 9q = 0.

bµi 4:( 3,5 ®iÓm)

202

Cho tam gi¸c ABC vu«ng ë ®Ønh A. Gäi H lµ ch©n ®êng vu«ng gãc kÎ tõ ®Ønh A xuèng c¹nh huyÒn BC. §êng trßn(A, AH) c¾t çc c¹nh AB vµ AC t¬ng øng ë M vµ N. §êng ph©n gi¸c gãc AHB vµ gãc AHC c¾t MN lÇn lît ë I vµ K. 1. Chøng minh tø gi¸c HKNC néi tiÕp ®îc trong mét ®êng trßn.

2. Chøng minh: AC

HK

AB

HI

3. Chøng minh: SABC≥2SAMN. bµi 5: (1,5 ®iÓm)

T×m tÊt c¶ çc gi¸ trÞ x≥ 2 ®Ó biÓu thøc: x

xF

2 , ®¹t gi¸ trÞ lín nhÊt. T×m

gi¸ trÞ lín nhÊt Êy.

ĐỀ SỐ 38

bµi 1: (2 ®iÓm) Cho hÖ ph¬ng tr×nh:

22 121 mmyxm

mymx

1. Chøng tá ph¬ng tr×nh cã nghiÖm víi mäi gi¸ trÞ cña m. 2. Gäi (x0;y0) lµ nghiÖm cña ph¬ng tr×nh, xhøng minh víi mäi gi¸ trÞ cña m lu«n cã: x0

2+y02=1

bµi 2: (2,5 ®iÓm) Gäi u vµ v lµ çc nghiÖm cña ph¬ng tr×nh: x2+px+1=0 Gäi r vµ s lµ çc nghiÖm cña ph¬ng tr×nh : x2+qx+1=0

ë ®ã p vµ q lµ çc sè nguyªn. 1. Chøng minh: A= (u-r)(v-r)(u+s)(v+s) lµ sè nguyªn. 2. T×m ®iÒu kiÖn cña p vµ q ®Ó A chia hÕt cho 3.

bµi 3: (2 ®iÓm) Cho ph¬ng tr×nh:

(x2+bx+c)2+b(x2+bx+c)+c=0. NÕu ph¬ng tr×nh v« nghiÖm th× chøng tá r»ng c lµ sè d¬ng.

bµi 4: (1,5 ®iÓm) Cho h×nh vu«ng ABCD víi O lµ giao ®iÓm cña hai ®êng chÐo AC vµ BD. §-êng th¼ng d thay ®æi lu«n ®i qua ®iÓm O, c¾t çc c¹nh AD vµ BC t¬ng øng ë M vµ N. Qua M vµ N vÏ çc ®êng th¼ng Mx vµ Ny t¬ng øng song song víi BD vµ AC. Çc ®êng th¼ng Mx vµ Ny c¾t nhau t¹i I. Chøng minh ®êng th¼ng ®i qua I vµ vu«ng gãc víi ®êng th¼ng d lu«n ®i qua mét ®iÓm cè ®Þnh.

bµi 5: (2 ®iÓm)

203

Cho tam gi¸c nhän ABC cã trùc t©m lµ H. PhÝa trong tam gi¸c ABC lÊy ®iÓm M bÊt kú. Chøng minh r»ng: MA.BC+MB.AC+MC.AB ≥ HA.BC+HB.AC+HC.AB

ĐỀ SỐ 39 bµi 1(2 ®iÓm):

Cho biÓu thøc: ab

ba

aab

b

bab

aN

víi a, b lµ hai sè d¬ng kh¸c nhau. 1. Rót gän biÓu thøc N.

2. TÝnh gi¸ trÞ cña N khi: 526;526 ba . bµi 2(2,5 ®iÓm)

Cho ph¬ng tr×nh: x4-2mx2+m2-3 = 0

1. Gi¶i ph¬ng tr×nh víi m= 3 . 2. T×m m ®Ó ph¬ng tr×nh cã ®óng 3 nghiÖm ph©n biÖt.

bµi 3(1,5 ®iÓm): Trªn hÖ trôc to¹ ®é Oxy cho ®iÓm A(2;-3) vµ parabol (P) cã ph¬ng tr×nh lµ

: 2

2

1xy

1. ViÕt ph¬ng tr×nh ®êng th¼ng cã hÖ sè gãc b»ng k vµ ®i qua ®iÓm A. 2. Chøng minh r»ng bÊt cø ®êng th¼ng nµo ®I qua ®iÓm A vµ kh«ng song song víi trôc tung bao giê còng c¾t (P) t¹i 2 ®iÓm ph©n biÖt.

bµi 4(4 ®iÓm): Cho ®êng trßn (O,R) vµ ®êng th¼ng d c¾t ®êng trßn t¹i 2 ®iÓm A vµ B. Tõ ®iÓm M n»m trªn ®êng th¼ng d vµ ë phÝa ngoµi ®êng trßn (O,R) kÎ 2 tiÕp tuyÕn MP vµ MQ ®Õn ®êng trßn (O,R), ë ®ã P vµ Q lµ 2 tiÕp ®iÓm. 1. Gäi I lµ giao ®iÓm cña ®o¹n th¼ng MO víi ®êng trßn (O,R). Chøng minh I lµ t©m ®êng trßn néi tiÕp tam gi¸c MPQ. 2. X¸c ®Þnh vÞ trÝ cña ®iÓm M trªn ®êng th¼ng d ®Ó tø gi¸c MPOQ lµ h×nh vu«ng. 3. Chøng minh r»ng khi ®iÓm M di chuyÓn trªn ®êng th¼ng d th× t©m ®êng trßn ngo¹i tiÕp tam gi¸c MPQ ch¹y trªn mét ®êng th¼ng cè ®Þnh.

ĐỀ SỐ 40

204

bµi 1(1,5 ®iÓm):

Víi x, y, z tho¶ m·n: 1

yx

z

xz

y

zy

x.

H·y tÝnh gi¸ trÞ cña biÓu thøc sau: yx

z

xz

y

zy

xA

222

bµi 2(2 ®iÓm):

T×m m ®Ó ph¬ng tr×nh v« nghiÖm: 01

122

x

mxx

bµi 3(1,5 ®iÓm): Chøng minh bÊt ®¼ng thøc sau:

9303030306666

bµi 4(2 ®iÓm): Trong çc nghiÖm (x,y) tho¶ m·n ph¬ng tr×nh:

(x2-y2+2)2+4x2y2+6x2-y2=0 H·y t×m tÊt c¶ çc nghiÖm (x,y) sao cho t=x2+y2 ®¹t gi¸ trÞ nhá nhÊt.

bµi 5(3 ®iÓm): Trªn mçi nöa ®êng trßn ®êng kÝnh AB cña ®êng trßn t©m (O) lÊy mét ®iÓm t-¬ng øng lµ C vµ D tho¶ m·n: AC2+BD2=AD2+BC2. Gäi K lµ trung ®iÓm cña BC. H·y t×m vÞ trÝ çc ®iÓm C vµ D trªn ®êng trßn (O) ®Ó ®êng th¼ng DK ®i qua trung ®iÓm cña AB.

ĐỀ SỐ 41 bµi 1(2,5 ®iÓm):

Cho biÓu thøc: 1,0;1

1

1

1

1

2

xx

x

x

xx

x

xx

xT .

1. Rót gän biÓu thøc T. 2. Chøng minh r»ng víi mäi x > 0 vµ x≠1 lu«n cã T<1/3.

bµi 2(2,5 ®iÓm): Cho ph¬ng tr×nh: x2-2mx+m2- 0,5 = 0 1. T×m m ®Ó ph¬ng tr×nh cã nghiÖm vµ çc nghiÖm cña ph¬ng tr×nh cã gi¸ trÞ tuyÖt ®èi b»ng nhau.

205

2. T×m m ®Ó ph¬ng tr×nh cã nghiÖm vµ çc nghiÖm Êy lµ sè ®o cña 2 c¹nh gãc vu«ng cña mét tam gi¸c vu«ng cã c¹nh huyÒn b»ng 3.

bµi 3(1 ®iÓm): Trªn hÖ trôc to¹ ®é Oxy cho (P) cã ph¬ng tr×nh: y=x2 ViÕt ph¬ng tr×nh ®êng th¼ng song song víi ®êng th¼ng y=3x+12 vµ cã víi (P) ®óng mét ®iÓm chung.

bµi 4(4 ®iÓm): Cho ®êng trßn (O) ®êng kÝnh Ab=2R. Mét ®iÓm M chuyÓn ®éng trªn ®êng trßn (O) (M kh¸c A vµ B). Gäi H lµ h×nh chiÕu vu«ng gãc cña M trªn ®êng kÝnh AB. VÏ ®êng trßn (T) cã t©m lµ M vµ b¸n kÝnh lµ MH. Tõ A vµ B lÇn lît kÎ çc tiÕp tuyÕn AD vµ BC ®Õn ®ßng trßn (T) (D vµ C lµ çc tiÕp ®iÓm). 1. Chøng minh r»ng khi M di chuyÓn trªn ®êng trßn (O) th× AD+BC cã gi¸ trÞ kh«ng ®æi. 2. Chøng minh ®êng th¼ng CD lµ tiÕp tuyÕn cña ®êng trßn (O). 3. Chøng minh víi bÊt kú vÞ trÝ nµo cña M trªn ®êng trßn (O) lu«n cã bÊt ®¼ng thøc AD.BC≤R2. X¸c ®Þnh vÞ trÝ cña M trªn ®êng trßn (O) ®Ó ®¼ng thøc x¶y ra. 4. Trªn ®êng trßn (O) lÊy ®iÓm N cè ®Þnh. Gäi I lµ trung ®iÓm cña MN vµ P lµ h×nh chiÕu vu«ng gãc cña I trªn MB. Khi M di chuyÓn trªn ®êng trßn (O) th× P ch¹y trªn ®êng nµo?


Gi¶i ph¬ng tr×nh: 11 xx bµi 2(1,5 ®iÓm):

T×m tÊt c¶ çc gi¸ trÞ cña x kh«ng tho¶ m·n ®¼ng thøc: (m+|m|)x2- 4x+4(m+|m|)=1

dï m lÊy bÊt cø çc gi¸ trÞ nµo. bµi 3(2,5 ®iÓm):


01

121

2yxyxmyx

yx

1. T×m m ®Ó ph¬ng tr×nh cã nghiÖm (x0,y0) sao cho x0 ®¹t gi¸ trÞ lín nhÊt. T×m nghiÖm Êy? 2. Gi¶i hÖ ph¬ng tr×nh kho m=0.

bµi 4(3,5 ®iÓm): Cho nöa ®êng trßn ®êng kÝnh AB. Gäi P lµ ®iÓm chÝnh gi÷a cña cung AB, M lµ ®iÓm di ®éng trªn cung BP. Trªn ®o¹n AM lÊy ®iÓm N sao cho AN=BM. 1. Chøng minh tØ sè NP/MN cã gi¸ trÞ kh«ng ®æi khi ®iÓm M di chuyÓn trªn cung BP. T×m gi¸ trÞ kh«ng ®æi Êy? 2. T×m tËp hîp çc ®iÓm N khi M di chuyÓn trªn cung BP.

bµi 5(1,5 ®iÓm): Chøng minh r»ng víi mçi gi¸ trÞ nguyªn d¬ng n bao giê còng tån t¹i hai sè nguyªn d¬ng a vµ b tho¶ m·n:

206

n

n

ba

ba

20012001

200120011

22



12

2

yax

ayx (x, y lµ Èn, a lµ tham sè)

1. Gi¶i hÖ ph¬ng tr×nh trªn. 2. T×m sè nguyªn a lín nhÊt ®Ó hÖ ph¬ng tr×nh cã nghiÖm (x0,y0) tho¶ m·n bÊt ®¼ng thøc x0y0 < 0.

bµi 2(1,5 ®iÓm): LËp ph¬ng tr×nh bËc hai víi hÖ sè nguyªn cã 2 nghiÖm lµ:

53

4;

53

421

xx

TÝnh: 44

53

4

53

4

P

bµi 3(2 ®iÓm): T×m m ®Ó ph¬ng tr×nh: 0122 mxxx , cã ®óng 2 nghiÖm ph©n biÖt.

bµi 4(1 ®iÓm): Gi¶ sö x vµ y lµ çc sè tho¶ m·n ®¼ng thøc:

555 22 yyxx

TÝnh gi¸ trÞ cña biÓu thøc: M = x+y. bµi 5(3,5 ®iÓm):

Cho tø gi¸c ABCD cã AB=AD vµ CB=CD. Chøng minh r»ng: 1. Tø gi¸c ABCD ngo¹i tiÕp ®îc mét ®êng trßn. 2. Tø gi¸c ABCD néi tiÕp ®îc trong mét ®êng trßn khi vµ chØ khi AB vµ BC vu«ng gãc víi nhau. 3. Gi¶ sö BCAB . Gäi (N,r) lµ ®êng trßn néi tiÕp vµ (M,R) lµ ®êng trßn ngo¹i tiÕp tø gi¸c ABCD.Chøng minh:

22222

22

4.

4.

RrrrRMNb

RrrBCABa

207

ĐỀ SỐ 43 bµi 1(2 diÓm):

T×m a vµ b tho¶ m·n ®¼ng thøc sau:

2

1

11

1 2

bb

a

aaa

a

aa

bµi 2(1,5 ®iÓm): T×m çc sè h÷u tØ a, b, c ®«i mét kh¸c nhau sao cho biÓu thøc:

222

111

accbbaH

nhËn gi¸ trÞ còng lµ sè h÷u tØ. bµi 3(1,5 ®iÓm):

Gi¶ sö a vµ b lµ 2 sè d¬ng cho tríc. T×m nghiÖm d¬ng cña ph¬ng tr×nh:

abxbxxax

bµi 4(2 ®iÓm): Gäi A, B, C lµ çc gãc cña tam gi¸c ABC. T×m ®iÒu kiÖn cña tam gi¸c ABC ®Ó biÓu thøc:

2sin

2sin

2sin

CBAP

®¹t gi¸ trÞ lín nhÊt. T×m gi¸ trÞ lín nhÊt Êy? bµi 5(3 ®iÓm):

Cho h×nh vu«ng ABCD. 1.Víi mçi mét ®iÓm M cho tríc trªn c¹nh AB ( kh¸c víi ®iÓm A vµ B), t×m trªn c¹nh AD ®iÓm N sao cho chu vi cña tam gi¸c AMN gÊp hai lÇn ®é dµi c¹nh h×nh vu«ng ®· cho. 2. KÎ 9 ®êng th¼ng sao cho mçi ®êng th¼ng nµy chia h×nh vu«ng ®· cho thµnh 2 tø gi¸c cã tý sè diÖn tÝch b»ng 2/3. Chøng minh r»ng trong 9 ®ßng th¼ng nãi trªn cã Ýt nhÊt 3 ®êng th¼ng ®ång quy.


1. Chøng minh r»ng víi mäi gi¸ trÞ d¬ng cña n, ku«n cã:

1

11

11

1

nnnnnn

2. TÝnh tæng:

1009999100

1...

4334

1

3223

1

22

1

S

208

bµi 2(1,5 ®iÓm): T×m trªn ®ßng th¼ng y=x+1 nh÷ng ®iÓm cã to¹ ®é tho¶ m·n ®¼ng thøc:

0232 xxyy bµi 3(1,5 ®iÓm):

Cho hai ph¬ng tr×nh sau: x2-(2m-3)x+6=0 2x2+x+m-5=0

T×m m ®Ó hai ph¬ng tr×nh ®· cho cã ®óng mét nghiÖm chung. bµi 4(4 ®iÓm):

Cho ®êng trßn (O,R) víi hai ®êng kÝnh AB vµ MN. TiÕp tuyÕn víi ®êng trßn (O) t¹i A c¾t çc ®êng th¼ng BM vµ BN tong øng t¹i M1 vµ N1. Gäi P lµ trung ®iÓm cña AM1, Q lµ trung ®iÓm cña AN1. 1. Chøng minh tø gi¸c MM1N1N néi tiÕp ®îc trong mét ®êng trßn. 2. NÕu M1N1=4R th× tø gi¸c PMNQ lµ h×nh g×? Chøng minh. 3. §êng kÝnh AB cè ®Þnh, t×m tËp hîp t©m çc ®êng trßn ngo¹i tiÕp tam gi¸c BPQ khi ®êng kÝnh MN thay ®æi.

bµi 5(1 ®iÓm): Cho ®êng trßn (O,R) vµ hai ®iÓm A, B n»m phÝa ngoµi ®êng trßn (O) víi OA=2R. X¸c ®Þnh vÞ trÝ cña ®iÓm M trªn ®êng trßn (O) sao cho biÓu thøc: P=MA+2MB, ®¹t gi¸ trÞ nhá nhÊt. t×m gi¸ trÞ nhá nhÊt Êy.


1. Víi a vµ b lµ hai sè d¬ng tho¶ m·n a2-b>0. Chøng minh:

22

22 baabaaba

2. Kh«ng sö dông m¸y tÝnh vµ b¶ng sè, chøng tá r»ng:

20

29

322

32

322

32

5

7

bµi 2(2 ®iÓm): Gi¶ sö x, y lµ çc sè d¬ng tho¶ m·n ®¼ng thøc x+y= 10 . TÝnh gi¸ trÞ cña x vµ y ®Ó biÓu thøc sau: P=(x4+1)(y4+1), ®¹t gi¸ trÞ nhá nhÊt. T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt Êy?

bµi 3(2 ®iÓm): Gi¶i hÖ ph¬ng tr×nh:

0

0

222xz

z

zy

y

yx

x

xz

z

zy

y

yx

x

209

bµi 4(2,5 ®iÓm): Cho tam gi¸c nhän ABC néi tiÕp trong ®êng trßn (O,R) víi BC=a, AC=b, AB=c. LÊy ®iÓm I bÊt kú ë phÝa trong cña tam gi¸c ABC vµ gäi x, y, z lÇn lît lµ kho¶ng çch tõ ®iÓm I ®Õn çc c¹nh BC, AC vµ AB cña tam gi¸c. Chøng minh:

R

cbazyx

2

222

bµi 5(1,5 ®iÓm): Cho tËp hîp P gåm 10 ®iÓm trong ®ã cã mét sè cÆp ®iÓm ®îc nèi víi nhau b»ng ®o¹n th¼ng. Sè çc ®o¹n th¼ng cã trong tËp P nèi tõ ®iÓm a ®Õn çc ®iÓm kh¸c gäi lµ bËc cña ®iÓm A. Chøng minh r»ng bao giê còng t×m ®îc hai ®iÓm trong tËp hîp P cã cïng bËc.

ĐỀ SỐ 47 bµi 1.(1,5 ®iÓm)

Cho ph¬ng tr×nh: x2-2(m+1)x+m2-1 = 0 víi x lµ Èn, m lµ sè cho tríc. 1. Gi¶i ph¬ng tr×nh ®· cho khi m = 0. 2. T×m m ®Ó ph¬ng tr×nh ®· cho cã 2 nghiÖm d¬ng x1,x2 ph©n biÖt tho¶ m·n ®iÒu kiÖn x1

2-

x22= 24

bµi 2.(2 ®iÓm) Cho hÖ ph¬ng tr×nh:

1

22axy

yx

trong ®ã x, y lµ Èn, a lµ sè cho tríc. 1. Gi¶i hÖ ph¬ng tr×nh ®· cho víi a=2003. 2. T×m gi¸ trÞ cña a ®Ó hÖ ph¬ng tr×nh ®· cho cã nghiÖm.

bµi 3.(2,5 ®iÓm)

Cho ph¬ng tr×nh: mxx 95 víi x lµ Èn, m lµ sè cho tríc. 1. Gi¶i ph¬ng tr×nh ®· cho víi m=2. 2. Gi¶ sö ph¬ng tr×nh ®· cho cã nghiÖm lµ x=a. Chøng minh r»ng khi ®ã ph¬ng tr×nh ®· cho cßn cã mét nghiÖm n÷a lµ x=14-a. 3. T×m tÊt c¶ çc gi¸ trÞ cña m ®Ó ph¬ng tr×nh ®· cho cã ®óng mét nghiÖm.

bµi 4.(2 ®iÓm) Cho hai ®êng trßn (O) vµ (O’) cã b¸n kÝnh theo thø tù lµ R vµ R’ c¾t nhau t¹i 2 ®iÓm A vµ B. 1. Mét tiÕp tuyÕn chung cña hai ®êng trßn tiÕp xóc víi (O) vµ(O’) lÇn lît t¹i C vµ D. Gäi H vµ K theo thø tù lµ giao ®iÓm cña AB víi OO’ vµ CD. Chøng minh r»ng:

a. AK lµ trung tuyÕn cña tam gi¸c ACD.

b. B lµ träng t©m cña tam gi¸c ACD khi vµ chØ khi '2

3' RROO

2. Mét çt tuyÕn di ®éng qua A c¾t (O) vµ (O’) lÇn lît t¹i E vµ F sao cho A n»m trong ®o¹n EF. x¸c ®Þnh vÞ trÝ cña çt tuyÕn EF ®Ó diÖn tÝch tam gi¸c BEF ®¹t gi¸ trÞ lín nhÊt.

bµi 5. (2 ®iÓm) Cho tam gi¸c nhän ABC. Gäi D lµ trung diÓm cña c¹nh BC, M lµ ®iÓm tuú ý trªn c¹nh AB (kh«ng trïng víi çc ®Ønh A va B). Gäi H lµ giao ®iÓm cña çc ®o¹n th¼ng AD vµ CM. Chøng minh r»ng nÕu tø gi¸c BMHD néi tiÕp ®îc trong mét ®êng trßn th× cã bÊt ®¼ng thøc

ACBC 2 .

210


Cho ph¬ng tr×nh x2+x-1=0. Chøng minh r»ng ph¬ng tr×nh cã hai nghiÖm tr¸i dÊu. Gäi x1 lµ nghiÖm ©m cña ph¬ng tr×nh. H·y tÝnh gi¸ trÞ cña biÓu thøc:

11

8

1 1310 xxxP

Bµi 2.(2 ®iÓm) Cho biÓu thøc: xxxxP 235

T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt vµ lín nhÊt cña P khi 0 ≤ x ≤ 3. Bµi 3.(2 ®iÓm)

1. Chøng minh r»ng kh«ng tån t¹i çc sè nguyªn a, b, c sao cho: a2+b2+c2=2007

2. Chøng minh r»ng kh«ng tån t¹i çc sè h÷u tû x, y, z sao cho: x2+y2+z2+x+3y+5z+7=0

Bµi 4.(2,5 ®iÓm) Cho tam gi¸c ABC vu«ng t¹i A. VÏ ®êng cao AH. Gäi (O) lµ vßng trßn ngo¹i tiÕp tam gi¸c AHC. Trªn cung nhá AH cña vßng trßn (O) lÊy ®iÓm M bÊt kú kh¸c A. Trªn tiÕp tuyÕn t¹i M cña vßng trßn (O) lÊy hai ®iÓm D vµ E sao cho BD=BE=BA. §êng th¼ng BM c¾t vßng trßn (O) t¹i ®iÓm thø hai lµ N. 1. Chøng minh r»ng tø gi¸c BDNE néi tiÕp mét vßng trßn. 2. Chøng minh vßng trßn ngo¹i tiÕp tø gi¸c BDNE vµ vßng trßn (O) tiÕp xóc víi nhau.

Bµi 5.(2 ®iÓm) Cã n ®iÓm, trong ®ã kh«ng cã ba ®iÓm nµo th¼ng hµng. Hai ®iÓm bÊt kú nèi víi nhau b»ng mét ®o¹n th¼ng, mçi ®o¹n th¼ng ®îc t« mét mµu xanh, ®á hoÆc vµng. BiÕt r»ng: cã Ýt nhÊt mét ®o¹n mµu xanh, mét ®o¹n mµu ®á, vµ mét ®o¹n mµu vµng; kh«ng cã ®iÓm nµo mµ çc ®o¹nth¼ng xuÊt ph¸t tõ ®ã cã ®ñ c¶ ba mµu vµ kh«ng cã tam gi¸c nµo t¹o bëi çc ®o¹n th¼ng ®· nèi cã ba c¹nh cïng mµu. 1. Chøng minh r»ng kh«ng tån t¹i ba ®o¹n th¼ng cïng mµu xuÊt ph¸t tõ cïng mét ®iÓm. 2. H·y cho biÕt cã nhiÒu nhÊt bao nhiªu ®iÓm tho¶ m·n ®Ò bµi.

ĐỀ SỐ 49 Bµi 1.(2 ®iÓm)

Rót gän çc biÓu thøc sau:

.0;0;:.2

.;0,;2

.1

22

baba

ba

ab

abbaQ

nmnmnm

mnnm

nm

nmP

Bµi 2.(1 ®iÓm) Gi¶i ph¬ng tr×nh:

211

226 xx Bµi 3.(3 ®iÓm)

Cho çc ®o¹n th¼ng: (d1): y=2x+2 (d2): y=-x+2 (d3): y=mx (m lµ tham sè)

1. T×m to¹ ®é çc giao ®iÓm A, B, C theo thø tù cña (d1) víi (d2), (d1) víi trôc hoµnh vµ (d2) víi trôc hoµnh. 2. T×m tÊt c¶ çc gi¸ trÞ cña m sao cho (d3) c¾t c¶ hai ®êng th¼ng (d1), (d2). 3. T×m tÊt c¶ çc gi¸ trÞ cña m sao cho (d3) c¾t c¶ hai tia AB vµ AC.

bµi 4.(3 ®iÓm) Cho tam gi¸c ®Òu ABC néi tiÕp ®êng trßn (O) vµ D lµ ®iÓm n»m trªn cung BC kh«ng chøa ®iÓm A. Trªn tia AD ta lÊy ®iÓm E sao cho AE=CD. 1. Chøng minh ∆ABE = ∆CBD. 2. X¸c ®Þnh vÞ trÝ cña D sao cho tæng DA+DB+DC lín nhÊt.

Bµi 5.(1 ®iÓm) T×m x, y d¬ng tho¶ m·n hÖ:

51

8

1

44

xyyx

yx

ĐỀ SỐ 50 Bµi 1.(2 ®iÓm)

Cho biÓu thøc:

.1;0;1

1

1

13

xx

xx

x

x

xM

1. Rót gän biÓu thøc M. 2. T×m x ®Ó M ≥ 2.

Bµi 2.(1 ®iÓm) Gi¶i ph¬ng tr×nh: .12 xx

bµi 3.(3 ®iÓm) Cho parabol (P) vµ ®êng th¼ng (d) cã ph¬ng tr×nh:

(P): y=mx2 (d): y=2x+m

trong ®ã m lµ tham sè, m≠0. 1. Víi m= 3 , t×m to¹ ®é giao ®iÓm cña ®êng th¼ng (d) vµ (P). 2. Chøng minh r»ng víi mäi m≠0, ®êng th¼ng (d) lu«n c¾t (P) t¹i hai ®iÓm ph©n biÖt. 3. T×m m ®Ó ®êng th¼ng (d) c¾t (P) t¹i 2 ®iÓm cã hoµnh ®é lµ

.)21(;21 33

Bµi 4.(3 ®iÓm)

212

Cho tam gi¸c ®Òu ABC néi tiÕp ®êng trßn (O) vµ D lµ mét ®iÓm n»m trªn cung BC kh«ng chøa A(D kh¸c B vµ C). Trªn tia DC lÊy ®iÓm E ssao cho DE=DA. 1. Chøng minh ADE lµ tam gi¸c ®Òu. 2. Chøng minh ∆ABD=∆ACE. 3. Khi D chuyÓn ®éng trªn cung BC kh«ng chøa A(D kh¸c B vµ C) th× E ch¹y trªn ®êng nµo?

Bµi 5.(1 ®iÓm) Cho ba sè d¬ng a, b, c tho¶ m·n: a+b+c≤2005.

Chøng minh: 20053

5

3

5

3

52

33

2

33

2

33

cca

ac

bbc

cb

aab

ba


BiÕt a, b, c lµ çc sè thùc tho¶ m·n a+b+c=0 vµ abc≠0. 1. Chøng minh: a2+b2-c2=-2ab 2. TÝnh gi¸ trÞ cña biÓu thøc:

222222222

111

bacacbcbaP

bµi 2.(1,5 ®iÓm) T×m çc sè nguyªn d¬ng x, y, z sao cho:

13x+23y+33z=36. bµi 3.(2 ®iÓm)

1. Chøng minh: 18161443 2 xxxx

bµi 4.(4 ®iÓm) 21443 xx víi mäi x tho¶ m·n: 4

3

4

1

x .

2. Gi¶i ph¬ng tr×nh: Cho tam gi¸c ®Òu ABC. D vµ E lµ çc ®iÓm lÇn lît n»m trªn çc c¹nh AB vµ AC. ®êng ph©n gi¸c cña gãc ADE c¾t AE t¹i I vµ ®êng ph©n gi¸c cña gãc AED c¾t AD t¹i K. Gäi S, S1, S2, S3 lÇn lît lµ diÖn tÝch cña çc tam gi¸c ABC, DEI, DEK, DEA. Gäi H lµ ch©n ®êng vu«ng gãckÎ tõ I ®Õn DE. Chøng minh:

SSS

AEDE

S

ADDE

S

DE

SS

IH

ADDE

S

21

3321

3

.3

.2

2.1

BµI 5.(1 diÓm) Cho çc sè a, b, c tho¶ m·n: 0≤ a ≤2; 0 ≤b ≤2; 0≤ c ≤2 vµ a+b+c=3 Chøng minh bÊt ®¼ng thøc: 2 cabcab

213

ĐỀ SỐ 53

Cho A=3

1

933

43222

xxxxxxx

xx

1. Chøng minh A<0. 2. t×m tÊt c¶ çc gi¸ trÞ x ®Ó A nguyªn.

c©u 2.

Ngêi ta trén 8g chÊt láng nµy víi 6g chÊt láng kh¸c cã khèi lîng riªng nhá h¬n 200kg/m3 ®îc hçn hîp cã khèi lîng riªng lµ 700kg/m3. TÝnh khèi lîng riªng mçi chÊt láng.

c©u 3.

Cho ®êng trßn t©m O vµ d©y AB. Tõ trung ®iÓm M cña cung AB vÏ hai d©y MC, MD c¾t AB ë E, F (E ë gi÷a A vµ F). 1. Cã nhËn xÐt g× vÒ tø gi¸c CDFE? 2. KÐo dµi MC, BD c¾t nhau ë I vµ MD, AC c¾t nhau ë K. Chøng minh: IK//AB.

c©u 4. Cho tø gi¸c ABCD néi tiÕp ®êng trßn ®êng kÝnh AD. BiÕt r»ng AB=BC= 52 cm, CD=6cm. TÝnh AD.

ĐỀ SỐ 54 c©u 1.

Cho 129216 22 xxxx

TÝnh 22 29216 xxxxA . c©u 2.


24121

1213

yxm

ymx

1. Gi¶i hÖ ph¬ng tr×nh. 2. T×m m ®Ó hÖ ph¬ng tr×nh cã mét nghiÖm sao cho x<y.

c©u 3. Cho nöa ®êng trßn (O) ®êng kÝnh AB=2R, vÏ d©y AD=R, d©y BC= R2 .KÎ AM vµ BN vu«ng gãc víi CD kÐo dµi. 1. So s¸nh DM vµ CN. 2. TÝnh MN theo R. 3. Chøng minh SAMNB=SABD+SACB.

c©u 4.

Cho nöa ®êng trßn (O) ®êng kÝnh AB. Tõ ®iÓm M trªn tiÕp tuyÕn t¹i A kÎ tiÕp tuyÕn thø hai MC víi ®êng trßn, kÎ CH vu«ng gãc víi AB. Chøng minh MB chia CH thµnh hai phÇn b»ng nhau.

214



8050)4(

16)4(2

yxn

ynx

1. Gi¶i hÖ ph¬ng tr×nh. 2. T×m n ®Ó hÖ ph¬ng tr×nh cã mét nghiÖm sao cho x+y>1.

c©u 2. Cho 5x+2y=10. Chøng minh 3xy-x2-y2<7.

c©u 3. Cho tam gi¸c ABC ®Òu vµ ®êng trßn t©m O tiÕp xóc víi AB t¹i B vµ AC t¹i C. Tõ ®iÓm M thuéc cung nhá BC kÎ MH, MI, MK lÇn lît vu«ng gãc víi BC, AB, AC.

1. Chøng minh: MH2=MI.MK 2. Nèi MB c¾t AC ë E. CM c¾t AB ë F. So s¸nh AE vµ BF?

c©u 4.

Cho h×nh thang ABCD(AB//CD). AC c¾t BD ë O. §êng song song víi AB t¹i O c¾t AD, BC ë M, N.

1. Chøng minh: MNCDAB

211

2. SAOB=a ; SCOD=b2. TÝnh SABCD.

ĐỀ SỐ 55

c©u 1.


01

33

xy

xyyx

c©u 2. Cho parabol y=2x2 vµ ®êng th¼ng y=ax+2- a. 1. Chøng minh r»ng parabol vµ ®êng th¼ng trªn lu«n x¾t nhau t¹i ®iÓm A cè ®Þnh. T×m ®iÓm A ®ã. 2. T×m a ®Ó parabol c¾t ®êng th¼ng trªn chØ t¹i mét ®iÓm.

c©u 3.

Cho ®êng trßn (O;R) vµ hai d©y AB, CD vu«ng gãc víi nhau t¹i P. 1. Chøng minh:

a. PA2+PB2+PC2+PD2=4R2 b. AB2+CD2=8R2- 4PO2

2. Gäi M, N lÇn lît lµ trung ®iÓm cña AC vµ BD. Cã nhËn xÐt g× vÒ tø gi¸c OMPN.

c©u 4.

215

Cho h×nh thang c©n ngo¹i tiÕp ®êng trßn(O;R), cã AD//BC. Chøng minh:

2222

2

1111.3

4..2

2.1

ODOCOBOA

RBCAD

BCADAB

ĐỀ SỐ 56 c©u1.

Cho 222224

222224

)9(9

)49(36

baxbax

baxbaxA

1. Rót gän A. 2. T×m x ®Ó A=-1.

c©u 2. Hai ngêi cïng khëi hµnh ®i ngîc chiÒu nhau, ngêi thø nhÊt ®i tõ A ®Õn B. Ng-êi thø hai ®i tõ B ®Õn A. Hä gÆo nhau sau 3h. Hái mçi ngêi ®i qu·ng ®êng AB trong bao l©u. NÕu ngêi thø nhÊt ®Õn B muén h¬n ngêi thø hai ®Õn A lµ 2,5h.

c©u 3. Cho tam gi¸c ABC ®êng ph©n gi¸c trong AD, trung tuyÕn AM, vÏ ®êng trßn (O) qua A, D, M c¾t AB, AC, ë E, F. 1. Chøng minh:

a. BD.BM=BE.BA b. CD.CM=CF.CA

2. So s¸nh BE vµ CF. c©u 4.

Cho ®êng trßn (O) néi tiÕp h×nh thoi ABCD gäi tiÕp ®iÓm cña ®êng trßn víi BC lµ M vµ N. Cho MN=1/4 AC. TÝnh çc gãc cña h×nh thoi.

ĐỀ SỐ 86 c©u1.

T×m a ®Ó ph¬ng tr×nh sau cã hai nghiÖm: (a+2)x2+2(a+3)|x|-a+2=0

c©u 2.

Cho hµm sè y=ax2+bx+c 1. T×m a, b, c biÕt ®å thÞ c¾t trôc tung t¹i A(0;1), c¾t trôc hoµnh t¹i B(1;0) vµ qua C(2;3). 2. T×m giao ®iÓm cßn l¹i cña ®å thÞ hµm sè t×m ®îc víi trôc hoµnh. 3. Chøng minh ®å thÞ hµm sè võa t×m ®îc lu«n tiÕp xóc víi ®êng th¼ng y=x-1.

c©u 3.

Cho ®êng trßn (O) tiÕp xóc víi hai c¹nh cña gãc xAy ë B vµ C. §êng th¼ng song song víi Ax t¹i C c¾t ®êng trßn ë D. Nèi AD c¾t ®êng trßn ë M, CM c¾t AB ë N. Chøng minh: 1. ∆ANC ®ång d¹ng ∆MNA.

216

2. AN=NB. c©u 4.

Cho ∆ABC vu«ng ë A ®êng cao AH. VÏ ®êng trßn (O) ®êng kÝnh HC. KÎ tiÕp tuyÕn BK víi ®êng trßn( K lµ tiÕp ®iÓm). 1. So s¸nh ∆BHK vµ ∆BKC 2. TÝnh AB/BK.



2

211

axy

ayx

c©u 2.

Cho A(2;-1); B(-3;-2) 1. T×m ph¬ng tr×nh ®êng th¼ng qua A vµ B. 2. T×m ph¬ng tr×nh ®êng th¼ng qua C(3;0) vµ song song víi AB.

c©u 3.

Cho nöa ®êng trßn (O) ®êng kÝnh AB=2R. C lµ mét ®iÓm thuéc cung AB, trªn AC kÐo dµi lÊy CM=1/2 AC. Trªn BC kÐo dµi lÊy CN=1/2 CB. Nèi AN vµ BM kÐo dµi c¾t nhau ë P. Chøng minh:

1. P, O, C th¼ng hµng. 2. AM2+BN2=PO2

c©u 4.

Cho h×nh vu«ng ABCD. Trªn AB vµ AD lÊy M, N sao cho AM=AN. KÎ AH vu«ng gãc víi MD. 1. Chøng minh tam gi¸c AHN ®ång d¹ng víi tam gi¸c DHC. 2. Cã nhËn xÐt g× vÒ tø gi¸c NHCD.


Cho 12

132

2

xx

xx

1. T×m x ®Ó A=1. 2. T×m gi¸ trÞ lín nhÊt, gi¸ trÞ nhá nhÊt ( nÕu cã ) cña A.

c©u 2.

Chøng minh r»ng nÕu a, b, c lµ ba c¹nh cña mét tam gi¸c th×

cb

a

c

a

b

a

.

2

c©u 3.

217

Cho tam gi¸c ABC, vÒ phÝa ngoµi dùng 3 tam gi¸c ®ång d¹ng ABM, ACN, BCP. Trong ®ã:

PBCCANABM

BPCANCAMB

Gäi Q lµ ®iÓm ®èi xøng cña P qua BC. 1. Chøng minh: Tam gi¸c QNC ®ång d¹ng tam gi¸c QBM. 2. Cã nhËn xÐt g× vÒ tø gi¸c QMAN.

c©u 4.

Cho ®êng trßn (O;R) vµ mét d©y AB= R3 . Gäi M lµ ®iÓm di ®éng trªn cung AB. T×m tËp hîp trùc t©m H cña tam gi¸c MAB vµ tËp hîp t©m ®êng trßn néi tiÕp I cña tam gi¸c MAB.

ĐỀ SỐ 86 I. Tr¾c nghiÖm

H·y chän c©u tr¶ lêi ®óng trong çc c©u sau: 1. C¨n bËc hai sè häc cña sè a kh«ng ©m lµ :

A. sè cã b×nh ph¬ng b»ng a B. a

C. a D. B, C ®Òu ®óng

2. Cho hµm sè ( ) 1y f x x . BiÕn sè x cã thÓ cã gi¸ trÞ nµo sau ®©y: A. 1x B. 1x C. 1x D. 1x

3. Ph¬ng tr×nh 2 10

4x x cã mét nghiÖm lµ :

A. 1 B. 1

2 C.

1

2 D. 2

4. Trong h×nh bªn, ®é dµi AH b»ng:

A. 5

12

B. 2,4 C. 2 D. 2,4

II. Tù luËn Bµi 1: Gi¶i çc hÖ ph¬ng tr×nh vµ ph¬ng tr×nh sau:

a) 17 4 2

13 2 1

x y

x y

b) 2 1

2 02

x x c) 4 2151 0

4x x

Bµi 2: Cho Parabol (P) 2y x vµ ®êng th¼ng (D): 2y x a) VÏ (P) vµ (D) trªn cïng mÆt ph¼ng to¹ ®é. b) T×m to¹ ®é giao ®iÓm A, B cña (P) vµ (D) b»ng phÐp tÝnh. c) TÝnh diÖn tÝch AOB (®¬n vÞ trªn 2 trôc lµ cm). Bµi 3: Mét xe «t« ®i tõ A ®Õn B dµi 120 km trong mét thêi gian dù ®Þnh. Sau khi ®îc nöa qu·ng ®êng th× xe t¨ng vËn tèc thªm 10 km/h nªn xe ®Õn B sím h¬n 12 phót so víi dù ®Þnh. TÝnh vËn tèc ban ®Çu cña xe. Bµi 4: TÝnh:

4

3

B

A C

H

218

a) 2 5 125 80 605

b) 10 2 10 8

5 2 1 5

Bµi 5: Cho ®êng trßn (O), t©m O ®êng kÝnh AB vµ d©y CD vu«ng gãc víi AB t¹i trung ®iÓm M cña OA. a) Chøng minh tø gi¸c ACOD lµ h×nh thoi.

b) Chøng minh : MO. MB = 2CD

4

c) TiÕp tuyÕn t¹i C vµ D cña (O) c¾t nhau t¹i N. Chøng minh A lµ t©m ®êng trßn néi tiÕp CDN vµ B lµ t©m ®êng trßn bµng tiÕp trong gãc N cña CDN. d) Chøng minh : BM. AN = AM. BN

------------------------------------------------------------------------------ Hä vµ tªn:………………………………………… SBD:……………………


H·y chän c©u tr¶ lêi ®óng trong çc c©u sau: 1. C¨n bËc hai sè häc cña 2( 3) lµ : A. 3 B. 3 C. 81 D. 81

2. Cho hµm sè: 2

( )1

y f xx

. BiÕn sè x cã thÓ cã gi¸ trÞ nµo sau ®©y:

A. 1x B. 1x C. 0x D. 1x 3. Cho ph¬ng tr×nh : 22 1 0x x cã tËp nghiÖm lµ:

A. 1 B. 1

1;2

C. 1

1;2

D.

4. Trong h×nh bªn, SinB b»ng :

A. AH

AB

B. CosC

C. AC

BC

D. A, B, C ®Òu ®óng. II. PhÇn tù luËn Bµi 1: Gi¶i çc hÖ ph¬ng tr×nh vµ ph¬ng tr×nh sau:

a) 1 2

42 3

3 2 6

x y

x y

b) 2 0,8 2, 4 0x x c) 4 24 9 0x x

Bµi 2: Cho (P): 2

2

xy

vµ ®êng th¼ng (D): 2y x .

a) VÏ (P) vµ (D) trªn cïng mÆt ph¼ng to¹ ®é. b) T×m to¹ ®é giao ®iÓm cña (D) vµ (P) b»ng phÐp to¸n. c) ViÕt ph¬ng tr×nh ®êng th¼ng (D') biÕt (D') // (D) vµ (D') tiÕp xóc víi (P). Bµi 3: Mét h×nh ch÷ nhËt cã chiÒu dµi h¬n chiÒu réng lµ 7 m vµ cã ®é dµi ®êng chÐo lµ 17 m. TÝnh chu vi, diÖn tÝch cña h×nh ch÷ nhËt.

B

A C

H

219

Bµi 4: TÝnh:

a) 15 216 33 12 6

b) 2 8 12 5 27

18 48 30 162

Bµi 5: Cho ®iÓm A bªn ngoµi ®êng trßn (O ; R). Tõ A vÏ tiÕp tuyÕn AB, AC vµ çt tuyÕn ADE ®Õn ®êng trßn (O). Gäi H lµ trung ®iÓm cña DE. a) Chøng minh n¨m ®iÓm : A, B, H, O, C cïng n»m trªn mét ®êng trßn.

b) Chøng minh HA lµ tia ph©n gi¸c cña ·BHC . c) DE c¾t BC t¹i I. Chøng minh : 2AB AI.AH .

d) Cho AB=R 3 vµ R

OH=2

. TÝnh HI theo R.

------------------------------------------------------------------------------ Hä vµ tªn:………………………………………… SBD:……………………


H·y chän c©u tr¶ lêi ®óng trong çc c©u sau: 1. C¨n bËc hai sè häc cña 2 25 3 lµ: A. 16 B. 4 C. 4 D. B, C ®Òu ®óng. 2. Trong çc ph¬ng tr×nh sau, ph¬ng tr×nh nµo lµ ph¬ng tr×nh bËc nhÊt hai Èn x, y:

A. ax + by = c (a, b, c R) B. ax + by = c (a, b, c R, c0) C. ax + by = c (a, b, c R, b0 hoÆc c0) D. A, B, C ®Òu ®óng. 3. Ph¬ng tr×nh 2 1 0x x cã tËp nghiÖm lµ :

A. 1 B. C. 1

2

D. 1

1;2

4. Cho 0 00 90 . Trong çc ®¼ng thøc sau, ®¼ng thøc nµo ®óng: A. Sin + Cos = 1 B. tg = tg(900 ) C. Sin = Cos(900 ) D. A, B, C ®Òu ®óng. II. PhÇn tù luËn. Bµi 1: Gi¶i çc hÖ ph¬ng tr×nh vµ ph¬ng tr×nh sau:

a) 12 5 9

120 30 34

x y

x y

b) 4 26 8 0x x c)

1 1 1

2 4x x

Bµi 2: Cho ph¬ng tr×nh : 213 2 0

2x x

a) Chøng tá ph¬ng tr×nh cã 2 nghiÖm ph©n biÖt.

b) Kh«ng gi¶i ph¬ng tr×nh, tÝnh :1 2

1 1

x x ; 1 2x x (víi 1 2x x )

220

B

AC

Bµi 3: Mét h×nh ch÷ nhËt cã chiÒu réng b»ng 3

7 chiÒu dµi. NÕu gi¶m chiÒu dµi 1m vµ

t¨ng chiÒu réng 1m th× diÖn tÝch h×nh ch÷ nhËt lµ 200 m2. TÝnh chu vi h×nh ch÷ nhËt lóc ban ®Çu. Bµi 4: TÝnh

a) 2 3 2 3

2 3 2 3

b)

16 1 42 3 6

3 27 75

Bµi 5: Cho ®êng trßn (O ; R) vµ d©y BC, sao cho · 0120BOC . TiÕp tuyÕn t¹i B, C cña ®êng trßn c¾t nhau t¹i A. a) Chøng minh ABC ®Òu. TÝnh diÖn tÝch ABC theo R. b) Trªn cung nhá BC lÊy ®iÓm M. TiÕp tuyÕn t¹i M cña (O) c¾t AB, AC lÇn lît t¹i E, F. TÝnh chu vi AEF theo R.

c) TÝnh sè ®o cña ·EOF . d) OE, OF c¾t BC lÇn lît t¹i H, K. Chøng minh FH OE vµ 3 ®êng th¼ng FH, EK, OM ®ång quy.

------------------------------------------------------------------------------

Hä vµ tªn:………………………………………… SBD:……………………


H·y chän c©u tr¶ lêi ®óng trong çc c©u sau: 1. C¨n bËc ba cña 125 lµ : A. 5 B. 5 C. 5 D. 25 2. Cho hµm sè ( )y f x vµ ®iÓm A(a ; b). §iÓm A thuéc ®å thÞ cña hµm sè ( )y f x

khi: A. ( )b f a B. ( )a f b C. ( ) 0f b D. ( ) 0f a

3. Ph¬ng tr×nh nµo sau ®©y cã hai nghiÖm ph©n biÖt: A. 2 1 0x x B. 24 4 1 0x x C. 2371 5 1 0x x D. 24 0x 4. Trong h×nh bªn, ®é dµi BC b»ng:

A. 2 6 B. 3 2 300

C. 2 3 D. 2 2

6 II. PhÇn tù luËn Bµi 1: Gi¶i çc ph¬ng tr×nh sau:

221

a) 2 3 2x x b) 4 5

31 2x x

c) 2 3 2 1 3 2 0x x

Bµi 2: Cho (P): 2

4

xy vµ (D): 1y x

a) VÏ (P) vµ (D) trªn cïng mÆt ph¼ng to¹ ®é. b) Chøng tá (D) tiÕp xóc (P), t×m to¹ ®é tiÕp ®iÓm b»ng phÐp to¸n. Bµi 3: Mét h×nh ch÷ nhËt cã chiÒu dµi b»ng 2,5 lÇn chiÒu réng vµ cã diÖn tÝch lµ 40m2. TÝnh chu vi cña h×nh ch÷ nhËt. Bµi 4: Rót gän:

a) 2

2

4 4

2 4 4

x

x x

víi x 2.

b) :a a b b a b b a a b

a b a b a b

(víi a; b 0 vµ a b)

Bµi 5: Cho hai ®êng trßn (O ; 4cm) vµ (O' ; 3cm) víi OO' = 6cm. a) Chøng tá ®êng trßn (O ; 4cm) vµ (O' ; 3cm) c¾t nhau. b) Gäi giao ®iÓm cña (O) vµ (O') lµ A, B. VÏ ®êng kÝnh AC cña (O) vµ ®êng kÝnh AD cña (O'). Chøng minh C, B, D th¼ng hµng. c) Qua B vÏ ®êng th¼ng d c¾t (O) t¹i M vµ c¾t (O') t¹i N (B n»m gi÷a M vµ

N). TÝnh tØ sè AN

AM.

d) Cho » 0120sd AN . TÝnh AMNS ?

------------------------------------------------------------------------------ Hä vµ tªn:………………………………………… SBD:……………………


H·y chän c©u tr¶ lêi ®óng trong çc c©u sau:

1. KÕt qu¶ cña phÐp tÝnh 25 144 lµ: A. 17 B. 169 C. 13 D. Mét kÕt qu¶ kh¸c 2. Cho hµm sè ( )y f x x¸c ®Þnh víi mäi gi¸ trÞ cña x thuéc R. Ta nãi hµm sè

( )y f x ®ång biÕn trªn R khi:

A. Víi 1 2 1 2 1 2, ; ( ) ( )x x R x x f x f x B. Víi

1 2 1 2 1 2, ; ( ) ( )x x R x x f x f x

C. Víi 1 2 1 2 1 2, ; ( ) ( )x x R x x f x f x D. Víi

1 2 1 2 1 2, ; ( ) ( )x x R x x f x f x

3. Cho ph¬ng tr×nh 22 2 6 3 0x x ph¬ng tr×nh nµy cã : A. 0 nghiÖm B. NghiÖm kÐp

222

C. 2 nghiÖm ph©n biÖt D. V« sè nghiÖm 4. T©m ®êng trßn ngo¹i tiÕp tam gi¸c lµ: A. Giao ®iÓm 3 ®êng ph©n gi¸c cña tam gi¸c B. Giao ®iÓm 3 ®êng cao cña tam gi¸c C. Giao ®iÓm 3 ®êng trung tuyÕn cña tam gi¸c D. Giao ®iÓm 3 ®êng trung trùc cña tam gi¸c II. PhÇn tù luËn Bµi 1: Gi¶i çc hÖ ph¬ng tr×nh vµ ph¬ng tr×nh sau:

a) 2 1 10

6 9x x b) 23 4 3 4 0x x c)

2 2

5 3 5 2

x y

x y

Bµi 2: Cho ph¬ng tr×nh : 2 4 1 0x x m (1) (m lµ tham sè) a) T×m ®iÒu kiÖn cña m ®Ó ph¬ng tr×nh (1) cã 2 nghiÖm ph©n biÖt. b) T×m m sao cho ph¬ng tr×nh (1) cã hai nghiÖm 1 2;x x tho¶ m·n biÓu thøc:

2 21 2 26x x

c) T×m m sao cho ph¬ng tr×nh (1) cã hai nghiÖm 1 2;x x tho¶ m·n 1 23 0x x

Bµi 3: Mét h×nh ch÷ nhËt cã diÖn tÝch lµ 240 m2. NÕu t¨ng chiÒu réng thªm 3m vµ gi¶m chiÒu dµi ®i 4m th× diÖn tÝch kh«ng ®æi. TÝnh chu vi h×nh ch÷ nhËt ban ®Çu. Bµi 4: TÝnh

a) 4 3

2 27 6 753 5

b) 3 5 . 3 5

10 2

Bµi 5: Cho tam gi¸c ®Òu ABC néi tiÕp ®êng trßn (O). M lµ ®iÓm di ®éng trªn cung nhá BC. Trªn ®o¹n th¼ng MA lÊy ®iÓm D sao cho MD = MC. a) Chøng minh DMC ®Òu. b) Chøng minh MB + MC = MA. c) Chøng minh tø gi¸c ADOC néi tiÕp ®îc. d) Khi M Di ®éng trªn cung nhá BC th× D di ®éng trªn ®êng cè ®Þnh nµo ?

------------------------------------------------------------------------------ Hä vµ tªn:………………………………………… SBD:……………………



1. BiÓu thøc 2

3

1

x

x

x¸c ®Þnh khi vµ chØ khi:

A. 3x vµ 1x B. 0x vµ 1x C. 0x vµ 1x C. 0x vµ 1x

223

2. CÆp sè nµo sau ®©y lµ nghiÖm cña ph¬ng tr×nh 2 3 5x y

A. 2;1 B. 1; 2 C. 2; 1 D. 2;1

3. Hµm sè 2100y x ®ång biÕn khi : A. 0x B. 0x C. x R D. 0x

4. Cho 2

3Cos ; 0 00 90 ta cã Sin b»ng:

A. 5

3 B.

5

3 C.

5

9 D. Mét kÕt qu¶ kh¸c.

II. PhÇn tù luËn Bµi 1: Gi¶i çc hÖ ph¬ng tr×nh vµ ph¬ng tr×nh sau:

a) 2

2

0,5 2 3

3 1 3 1 1 9

x x x

x x x

b)

3 1 2 1

1 2 3 1

x y

x y

Bµi 2: Cho Parabol (P): 2

2

xy vµ ®êng th¼ng (D):

1

2y x m (m lµ tham sè)

a) Kh¶o s¸t vµ vÏ ®å thÞ (P) cña hµm sè : 2

2

xy

b) T×m ®iÒu kiÖn cña m ®Ó (D) vµ (P) c¾t nhau t¹i hai ®iÓm ph©n biÖt A, B. c) Cho m = 1. TÝnh diÖn tÝch cña AOB. Bµi 3: Hai ®éi c«ng nh©n A vµ B cïng lµm mét c«ng viÖc trong 3 giê 36 phót th× xong. Hái nÕu lµm riªng (mét m×nh) th× mçi ®éi ph¶i mÊt bao l©u míi xong c«ng viÖc trªn. BiÕt r»ng thêi gian lµm mét m×nh cña ®éi A Ýt h¬n thêi gian lµm mét m×nh cña ®éi B lµ 3 giê. Bµi 4: TÝnh :

a) 8 3 2 25 12 4 192 b) 2 3 5 2

Bµi 5: Cho tam gi¸c ABC cã ba gãc ®Òu nhän. VÏ ®êng trßn t©m O ®êng kÝnh BC c¾t AB, AC lÇn lît ë D, E. Gäi giao ®iÓm cña CD vµ BE lµ H. a) Chøng minh AH BC b) Chøng minh ®êng trung trùc cña DH ®i qua trung ®iÓm I cña ®o¹n th¼ng AH. c) Chøng minh ®êng th¼ng OE lµ tiÕp tuyÕn cña ®êng trßn ngo¹i tiÕp ADE. d) Cho biÕt BC = 2R vµ AB = HC. TÝnh BE, EC theo R.

------------------------------------------------------------------------------ Hä vµ tªn:………………………………………… SBD:……………………


224


1. NÕu 2a a th× : A. 0a B. 1a C. 0a D. B, C ®Òu ®óng. 2. Cho hµm sè ( )y f x x¸c ®Þnh víi x R . Ta nãi hµm sè ( )y f x nghÞch biÕn

trªn R khi: A. Víi 1 2 1 2 1 2, ; ( ) ( )x x R x x f x f x B. Víi

1 2 1 2 1 2, ; ( ) ( )x x R x x f x f x

C. Víi 1 2 1 2 1 2, ; ( ) ( )x x R x x f x f x D. Víi

1 2 1 2 1 2, ; ( ) ( )x x R x x f x f x

3. Cho ph¬ng tr×nh : 2 0ax bx c ( 0)a . NÕu 2 4 0b ac th× ph¬ng tr×nh cã 2

nghiÖm lµ:

A. 1 2;b b

x xa a

B. 1 2;

2 2

b bx x

a a

C. 1 2;2 2

b bx x

a a

D. A, B, C ®Òu sai.

4. Cho tam gi¸c ABC vu«ng t¹i C. Ta cã cot

SinA tgA

CosB gB b»ng:

A. 2 B. 1 C. 0 D. Mét kÕt qu¶ kh¸c. II. PhÇn tù luËn: Bµi 1: Gi¶i ph¬ng tr×nh:

a) 2

2 21 4 1 5x x b) 2 2 2 1x x

Bµi 2: Cho ph¬ng tr×nh : 2 2 1 3 1 0x m x m (m lµ tham sè)

a) T×m m ®Ó ph¬ng tr×nh cã nghiÖm 1 5x . TÝnh 2x .

b) Chøng tá ph¬ng tr×nh cã nghiÖm víi mäi gi¸ trÞ cña m. Bµi 3: T×m hµm sè bËc nhÊt 0y ax b a biÕt ®å thÞ (D) cña nãi ®i qua hai ®iÓm

3; 5A vµ 1,5; 6B .

Bµi 4: Rót gän:

a)

2 1

4

2 1

x x

x

víi

1

2x b)

3 3 2 2:

ab b ab a a b

a ba b a b

víi

, 0;a b a b

Bµi 5: Cho ®êng trßn t©m O b¸n kÝnh R vµ ®êng kÝnh AB cè ®Þnh. CD lµ ®êng kÝnh di ®éng (CD kh«ng trïng víi AB, CD kh«ng vu«ng gãc víi AB). a) Chøng minh tø gi¸c ACBD lµ h×nh ch÷ nhËt. b) Çc ®êng th¼ng BC, BD c¾t tiÕp tuyÕn t¹i A cña ®êng trßn (O) lÇn lît t¹i E, F. Chøng minh tø gi¸c CDEF néi tiÕp. c) Chøng minh : AB2 = CE. DF. EF d) Çc ®êng trung trùc cña hai ®o¹n th¼ng CD vµ EF c¾t nhau t¹i I. Chøng minh khi CD quay quanh O th× I di ®éng trªn mét ®êng cè ®Þnh.

------------------------------------------------------------------------------ Hä vµ tªn:………………………………………… SBD:……………………

225



2x y xyx y

.

Bµi 2. Gi¶i ph¬ng tr×nh : 4 3 2 3 2 11x x x . Bµi 3. T×m nghiÖm nguyªn cña ph¬ng tr×nh : x2 + 17y2 + +34xy + 51(x + y) = 1740. Bµi 4. Cho hai ®êng trßn (O) vµ (O’) n»m ngoµi nhau. Mét tiÕp tuyÕn chung cña hai

®êng trßn tiÕp xóc víi (O) t¹i A vµ (O’) t¹i B. Mét tiÕp tuyÕn chung trong cña hai ®êng trßn c¾t AB t¹i I, tiÕp xóc (O) t¹i C vµ (O’) t¹i D. BiÕt r»ng C n»m gi÷a I vµ D. a) Hai ®êng th¼ng OC vµ O’B c¾t nhau t¹i M. Chøng minh r»ng OM > O’M. b) Ký hiÖu (S) lµ ®êng trßn ®i qua A, C, B vµ (S’) lµ ®êng trßn ®i qua A, D, B. §êng th¼ng CD c¾t (S) t¹i E kh¸c C vµ c¾t (S’) t¹i F kh¸c D. Chøng minh r»ng AF BE.

Bµi 5. Gi¶ sö x, y, z lµ çc sè d¬ng thay ®æi vµ tháa m·n ®iÒu kiÖn xy2z2 + x2z + y =

3z2 . H·y t×m gi¸ trÞ lín nhÊt cña biÓu thøc : 4

4 4 41 ( )

zP

z x y

.

LuyÖn thi vµo líp 10 thpt

®Ò thi sè 1

PhÇn ii ( tù luËn)

Câu 13: (1,5 điểm)

Tìm điều kiện xác định và rút gọn biểu thức P : P =1 1 1 2

:1 2 1

a a

a a a a

Câu 14: (1,5 điểm)

a) Hãy cho hai đường thẳng cắt nhau tại một điểm A trên trục hoành. Vẽ hai đường thẳng đó. b) Giả sử giao điểm thứ hai của hai đường thẳng đó với trục tung là B, c). Tính các khoảng cách AB, BC, CA và diện tích tam giác ABC.

Câu 15: (3 điểm) Cho tam giác ABC vuông tại A , BC = 5, AB = 2AC

a) Tính AC

b) Từ A hạ đường cao AH, trên AH lấy một điểm I sao cho AI = 1

3AH. Từ C kẻ Cx //

AH. Gọi giao điểm của BI với Cx là D. Tính diện tích của tứ giác AHCD.

226

c) Vẽ hai đường tròn (B, AB) và (C, AC). Gọi giao điểm khác A của hai đường tròn này là E. Chứng minh CE là tiếp tuyến của đườn tròn (B).

®Ò thi sè 2


Câu 13: (1,5 điểm)

Giải phương trình:

Câu 14: (1,5 điểm)

Cho hàm số

a) Với giá trị nào của m thì (1) là hàm số bậc nhất? b) Với điều kiện của câu a, tìm các giá trị của m và n để đồ thị hàm số (1) trùng với đường thẳng y – 2x + 3 = 0?

Câu 15: (3 điểm) Cho tam giác ABC vuông tại A. Đường cao AH chia cạnh huyền thành hai đoạn: BH = 4cm; CH = 9cm. Gọi D, E theo thứ tự đó là chân đường vuông góc hạ từ H xuống AB và AC.

a) Tính độ dài đoạn thẳng DE? b) Chứng minh đẳng thức AE.AC = AD.AB? c) Gọi các đường tròn (O), (M), (N) theo thứ tự ngoại tiếp các tam giác ABC, DHB, EHC. Xác định vị trí tương đối giữa các đường tròn: (M) và (N); (M) và (O); (N) và (O)? d) Chứng minh DE là tiếp tuyến chung của hai đường tròn (M) và (N) và là tiếp tuyến của đường tròn đường kính MN?

®Ò thi sè 3


Câu 15: (2 điểm) Giải bài toán sau bằng cách lập hệ phương trình: Hai vòi nước cùng chảy vào một cái bể không có nước trong 4 giờ 48 phút sẽ đầy bể.

Nếu mở vòi thứ nhất trong 3 giờ và vòi thứ hai trong 4 giờ thì được 3

4bể nước. Hỏi

mỗi vòi chảy một mình thì trong bao lâu mới đầy bể?

Câu 16: (1 điểm) Cho phương trình x2 - (2k - 1)x +2k -2 = 0 (k là tham số). Chứng minh rằng phương trình luôn luôn có nghiệm.

Câu 17: (3 điểm) Cho đường tròn tâm O đường kính AB. Trên đường tròn lấy điểm D khác A và B. Trên đường kính AB lấy điểm C và kẻ CH AD. Đường phân giác trong của góc DAB cắt đường tròn tại E và cắt CH tại F, đường thẳng DF cắt đường tròn tại N.

a) Chứng minh tứ giác AFCN nội tiếp được? b) Chứng minh ba điểm N, C, E thẳng hàng?

227

®Ò thi sè 4


Câu 13: (2,0 điểm) Chứng minh biểu thức A sau không phụ thuộc vào x:

A = 6 2

. 6 : 63

xx x x

x

(với x > 0)

Câu 14: (1,5 điểm) Cho hai đường thẳng :

y = -x ( 1d ) ; y = (1 – m)x + 2 (m - 1) ( 2d )

a) Vẽ đường thẳng 1d

b) Xác định giá trị của m để đường thẳng 2d cắt đường thẳng 1d tại điểm M có toạ độ

(-1; 1). Với m tìm được hãy tính diện tích tam giác AOB, trong đó A và B lần lượt là giao điểm của đường thẳng 2d với hai trục toạ độ Ox và Oy.

Câu 15: (3,5 điểm) Cho hai đường tròn (O) và (O’), tiếp xúc ngoài tại A. Kẻ tiếp tuyến chung ngoài DE, D (O), E (O’). Kẻ tiếp tuyến chung trong tại A, cắt DE tại I. Gọi M là giao điểm của OI và AD, M là giao điểm của O’I và AE.

a) Tứ giác AMIN là hình gì? Vì sao? b) Chứng minh hệ thức IM.IO = IN.IO’ c) Chứng minh OO’ là tiếp tuyến của đường tròn có đường kính DE d) Tính DE biết OA = 5cm; O’A = 3,2cm

®Ò thi sè 5


Câu 17: (1,5 điểm) Giải phương trình

Câu 18: (2 điểm)

Giải bài toán sau bằng cách lập phương trình: Một nhóm học sinh tham gia lao động chuyển 105 bó sách về thư viện của trường. Đến buổi lao động có hai bạn bị ốm không tham gia được, vì vậy mỗi bạn phải chuyển thêm 6 bó nữa mới hết số sách cần chuyển. Hỏi số học sinh của nhóm đó?

Câu 19: (2,5 điểm)

228

Cho tam giác PMN có PM = MN, . Trên nửa mặt phẳng bờ PM không chứa

điểm N lấy điểm Q sao cho

a) Chứng minh tứ giác PQMN nội tiếp được b) Biết đường cao MH của tam giác PMN bằng 2cm. Tính diện tích tam giác PMN.

®Ò thi sè 6



Xác định các hệ số a và b trong hệ phương trình4

8

ax by

bx ay

, biết rằng hệ có nghiệm

duy nhất là (1 ; -2)


Tổng hai chữ số của một số có hai chữ số bằng 10, tích của chúng nhỏ hơn số đã cho là 16. Tìm hai chữ số đó.


Cho tam giác PNM. Các đường phân giác trong của các góc M và N cắt nhau tại K, các đường phân giác ngoài của các góc M và N cắt nhau tại H.

a) Chứng minh KMHN là tứ giác nội tiếp. b) Biết bán kính đường tròn ngoại tiếp tứ giác KMHN bằng 10cm và đoạn KM bằng 6cm, hãy tính diện tích tam giác KMH.

®Ò thi sè 7

N¨m häc 1999- 2000

§Ò thi vµo líp 10 ptth - tØnh Nam ®Þnh M«n to¸n ( Thêi gian 150’)

Bµi I ( 1,5 ®iÓm) :

Cho biÓu thøc x

xxA

24

442

1) Víi gi¸ trÞ nµo cña x th× biÓu thøc A cã nghÜa? 2) TÝnh gi¸ trÞ cña biÓu thøc A khi : x = 1,999

Bµi II ( 1,5 ®iÓm) :

229

Gi¶i hÖ ph¬ng tr×nh

52

34

12

11

yx

yx

Bµi III ( 2 ®iÓm) : T×m çc gi¸ rÞ cña a ®Ó ptr×nh : 032)3( 222 axaxaa

NhËn x=2 lµ nghiÖm .T×m nghiÖm cßn l¹i cña ptr×nh ?

Bµi IV( 4 ®iÓm): Cho tam gi¸c ABC vu«ng ë ®Ønh A .Trªn c¹nh AB lÊy ®iÓm D kh«ng trïng víi ®Ønh Avµ ®Ønh B . §êng trßn ®¬ng kÝnh BD c¾t c¹nh BC t¹i E . §êng th¼ng AE c¾t ®trßn ®êng kÝnh BD t¹i ®iÓm thø hai lµ G . §¬ng th¼ng CD c¾t ®trßn ®êng kÝnh BD t¹i ®iÓm thø hai lµ F . Gäi S lµ giao ®iÓm cña çc ®êng th¼ng AC vµ BF . Chøng minh : 1) §êng th¼ng AC song song víi ®êng th¼ng FO. 2) SA.SC = SB.SF 3) Tia ES lµ ph©n gi¸c cña gãc AEF.

Bµi V( 1 ®iÓm):

Gi¶i ph¬ng tr×nh : x2 + x + 12 301 x

®Ò thi sè 8

N¨m häc 2000 2001

§Ò thi vµo líp 10 ptth - tØnh Nam ®Þnh

M«n to¸n - ( thêi gian 150’)

Bµi I ( 2 ®iÓm) :

Cho A =

1

1.1

1 a

aa

a

aa Víi a 0 , a 1

a) Rót gän A. b) Víi a 0 , a 1 . T×m a sao cho A = - a2.

Bµi II ( 2 ®iÓm) :

Trªn hÖ trôc to¹ ®é Oxy cho çc ®iÓm : M(2;1) vµ N(5;-2

1) vµ ®êng th¼ng (d): y = ax + b.

a) T×m a vµ b ®Ó ®êng th¼ng (d) ®i qua M vµ N . b) X¸c ®Þnh to¹ ®é giao ®iÓm cña ®êng th¼ng (d) víi hai trôc Oy vµ Ox .

Bµi III ( 2 ®iÓm) :

Cho sè nguyªn d¬ng gåm hai ch÷ sè. T×m sè ®ã biÕt r»ng tæng cña hai ch÷ sè b»ng 8

1 sè ®·

cho vµ nÕu thªm 13 vµo tÝch hai ch÷ sè sÏ ®îc mét sè míi viÕt theo thø tù ngîc l¹i víi sè ®· cho.

Bµi IV ( 4 ®iÓm) :

230

Cho tam gi¸c nhän PBC , PA lµ ®êng cao . §êng trßn ®êng kÝnh BC c¾t PB , PC lÇn

luît ë M vµ N . NA c¾t ®êng trßn t¹i ®iÓm thø hai lµ E .

a) Chøng minh 4 ®iÓm A , B, P ,N cïng thuéc mét ®êng trßn. X¸c ®Þnh t©m vµ b¸n kÝnh cña ®êng trßn ®ã . b) Chøng minh : EM BC . c) Gäi F lµ ®iÓm ®èi xøng cña N qua BC. Chøng minh : AM . AF = AN . AE.

®Ò thi sè 9

N¨m häc 2001 - 2002



Bµi I ( 1,5 ®iÓm) :

Rót gän biÓu thøc : M = 1 1

.1 1

a aa

a a

víi a 0 vµ a 1

Bµi iI ( 1,5 ®iÓm) :

T×m hÖ sè x, y tho¶ m·n çc ®iÒu kiÖn : 2 2 25

12

x y

xy

Bµi iiI ( 2 ®iÓm) : Hai ngêi cïng lµm chung mét c«ng viÖc sÏ hoµn thµnh trong 4 giê . NÕu mçi ngêi lµm riªng ®Ó hoµn thµnh c«ng viÖc th× thêi gian ngßi thø nhÊt lµm Ýt h¬n ngêi thø hai 6 giê . Hái nÕu lµm riªng th× mçi ngßi ph¶I lµm trong bao l©u sÏ hoµn thµnh c«ng viÖc?

Bµi Iv ( 2 ®iÓm) :

Cho çc hµm sè : y = 2x (P) vµ y = 3x + 2m (d) ( x lµ biÕn sè , m lµ sè cho tríc) 1) CMR víi bÊt kú gi¸ trÞ nµo cña m , ®g th¼ng (d) lu«n c¾t parabol (P) t¹i 2 ®iÓm ph©n bÞªt 2) Gäi 1 2;y y lµ tung ®é çc giao ®iÓm cña ®êng th¼ng (d) vµ parabol (P) . T×m m ®Ó cã ®¼ng

thøc : 1 2 1 211y y y y

Bµi v ( 3 ®iÓm) :

231

Cho tam gi¸c ABC vu«ng ë ®Ønh A . Trªn c¹nh AC lÊy ®iÓm M ( kh¸c víi çc ®iÓm A vµ C)

VÏ ®êng trßn (O) ®êng kÝnh MC . Gäi T lµ giao ®iÓm thø hai cña c¹nh BC víi ®êng trßn

(O). Nèi BM vµ kÐo dµi c¾t ®êng trßn (O) t¹i ®iÓm thø hai lµ D . §êng th¼ng AD c¾t ®êng

trßn (O) t¹i ®iÓm thø hai lµ S . Chøng minh :

1) Tø gi¸c ABTM néi tiÕp ®îc trong mét ®ßng trßn. 2) Khi ®iÓm M di chuyÓn trªn c¹nh AC th× gãc ADM cã sè ®o kh«ng ®æi. 3) §êng th¼ng AB song song víi ®êng th¼ng ST.

®Ò thi sè 10

N¨m häc 2002 - 2003




Cho biÓu thøc : S = 2

:y xyx

x yx xy x xy

víi x > 0 , y > 0 vµ x y

a) Rót gän biÓu thøc trªn . b) T×m gi¸ trÞ cña x vµ y ®Ó S = 1.

Bµi iI ( 2 ®iÓm) :

Trªn parabol y = 21

2x lÊy hai ®iÓm A, B . BiÕt hoµnh ®ä cña ®iÓm A lµ 2Ax vµ tung ®é

cña ®iÓm B lµ 8By . ViÕt ph¬ng tr×nh ®êng th¼ng AB.

Bµi Iii ( 1 ®iÓm) :

X¸c ®Þnh gi¸ trÞ cña m trong ph¬ng tr×nh bËc hai : 2 8 0x x m ®Ó 4 + 3 lµ nghiÖm cña ph¬ng tr×nh . Víi m võa t×m ®îc , ph¬ng tr×nh ®· cho cßn mét nghiÖm n÷a . T×m nghiÖm cßn l¹i Êy?

Bµi Iv ( 4 ®iÓm) : Cho h×nh thang c©n ABCD ( AB // CD vµ AB > CD ) néi tiÕp trong mét ®êng trßn (O) . TiÕp tuyÕn víi ®êng trßn (O) t¹i A vµ t¹i D c¾t nhau t¹i E . Gäi I lµ giao ®iÓm cña çc ®êng chÐo AC vµ BD . 1) Chøng minh tø gi¸c AEDI néi tiÕp trong mét ®êng trßn . 2) Chøng minh çc ®êng th¼ng EI , AB song song víi nhau. 3) §êng th¼ng EI c¾t çc c¹nh bªn AD vµ BC cña h×nh thang t¬ng øng ë R vµ S . CMR :

232

a) I lµ trung ®iÓm cña ®o¹n RS .

b) 1 1 2

AB CD RS

Bµi v ( 1 ®iÓm) : T×m tÊt c¶ çc cÆp sè ( x , y ) nghiÖm ®óng ph¬ng tr×nh :

4 4 2 216 1 1 16x y x y

®Ò thi sè 11

N¨m häc 2003 - 2004





2 52

3 11,7

x x y

x x y

Bµi Ii ( 2 ®iÓm) :

Cho biÓu thøc P = 1

1

x

x x x

víi x > 0 ; x 1

a) Rót gän biÓu thøc P.

b) TÝnh gi¸ trÞ cña P khi x = 1

2

Bµi Iii ( 2 ®iÓm) : Cho ®êng th¼ng d cã ph¬ng tr×nh y = ax + b. BiÕt r»ng ®êng th¼ng d c¾t trôc hoµnh t¹i ®iÓm cã hoµnh ®é b»ng 1 vµ song song víi ®êng th¼ng y = -2x + 2003. a) T×m a , b .

b) T×m to¹ ®é çc ®iÓm chung ( nÕu cã ) cña d vµ parabol y = 21

2x .

Bµi Iv ( 3 ®iÓm) :

Cho ®êng trßn (O) cã t©m lµ ®iÓm O vµ mét ®iÓm A cè ®Þnh n»m ngoµi ®êng trßn . Tõ A kÎ çc tiÕp tuyÕn AP , AQ víi ®êng trßn (O) , P vµ Q lµ çc tiÕp ®iÓm . §êng th¼ng ®i qua O vµ vu«ng gãc víi OP c¾t ®êng th¼ng AQ t¹i M . a) CMR : MO = MA . b) LÊy ®iÓm N trªn cung lín PQ cña ®êng trßn (O) sao cho tiÕp tuyÕn t¹i N cña ®êng

trßn (O) c¾t çc tia AP vµ AQ t¬ng øng t¹i B vµ C .

233

1) CMR : AB + AC – BC kh«ng phô thuéc vµo vÞ trÝ ®iÓm N . 2) CMR nÕu tø gi¸c BCQP néi tiÕp ®êng trßn th× PQ // BC.


Gi¶i ph¬ng tr×nh : 2 22 3 2 3 2 3x x x x x x

®Ò thi sè 12

N¨m häc 2004 - 2005



Bµi I ( 3 ®iÓm) : 1)§¬n gi¶n biÓu thøc :

P = 14 6 5 14 6 5 2) Cho biÓu thøc :

Q = 2 2 1

.12 1

x x x

xx x x

víi x > 0 ; x 1

a) Chøng minh Q = 2

1x

b) T×m sè nguyªn lín nhÊt ®Ó Q cã gi¸ trÞ lµ sè nguyªn .

Bµi Ii ( 3 ®iÓm) : Cho hÖ ph¬ng tr×nh :

1 4

2

a x y

ax y a

( a lµ tham sè )

1) Gi¶i hÖ khi a = 1. 2) Chøng minh r»ng víi mäi gi¸ trÞ cña a , hÖ lu«n cã nghiÖm duy nhÊt (x , y) sao cho x + y 2

Bµi iiI ( 3 ®iÓm) : Cho ®êng trßn (O) ®êng kÝnh AB = 2R . §êng th¼ng (d) tiÕp xóc víi ®êng trßn (O) t¹i A . M vµ Q lµ hai ®iÓm ph©n biÖt , chuyÓn ®éng trªn (d) sao cho M kh¸c A vµ Q kh¸c A . Çc ®êng th¼ng BM vµ BQ lÇn lît c¾t ®êng trßn (O) t¹i çc ®iÓm thø hai lµ N vµ P . Chøng minh :

1) TÝch BM . BN kh«ng ®æi . 2) Tø gi¸c MNPQ néi tiÕp ®îc trong ®êng trßn . 3) BÊt ®¼ng thøc : BN + BP + BM + BQ > 8R

Bµi iv ( 1 ®iÓm) :

234

T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña hµm sè : 2

2

2 6

2 5

x xy

x x

®Ò thi sè 13

N¨m häc 2005 - 2006



Bµi I ( 2 ®iÓm) : 1) TÝnh gi¸ trÞ cña biÓu thøc :

P = 7 4 3 7 4 3

2) Chøng minh :

2

4.

a b ab a b b aa b

a b ab

víi a > 0 vµ b > 0.

Bµi iI ( 3 ®iÓm) : Cho parabol (P) vµ ®êng th¼ng (d) cã ph¬ng tr×nh :

y = 2

2

x (P) vµ y = mx – m + 2 (d) m lµ tham sè

1) T×m m ®Ó ®êng th¼ng (d) vµ parabol (P) cïng ®i qua ®iÓm cã hoµnh ®é x = 4 . 2) CMR víi mäi gi¸ trÞ cña m , ®êng th¼ng (d) lu«n c¾t (P) t¹i hai ®iÓm ph©n biÖt. 3) Gi¶ sö 1 1 2 2; , ;x y x y lµ to¹ ®é giao ®iÓm cña cña ®êng th¼ng (d) vµ parabol (P) .

CMR 1 2 1 22 2 1 .y y x x

Bµi iiI ( 4 ®iÓm) :

Cho BC lµ d©y cung cè ®Þnh cña ®êng trßn t©m O , b¸n kÝnh R ( 0 < BC < 2R ) .A lµ ®iÓm di ®éng trªn cung lín BC sao cho tam gi¸c ABC nhän . Çc ®êng cao AD , BE , CF cña tam gi¸c ABC c¾t nhau t¹i H ( , , )D BC E CA F AB .

1) Chøng minh tø gi¸c BCEF néi tiÕp ®îc trong mét ®êng trßn. Tõ ®ã suy ra AE . AC = AF . AB

2) Gäi A’ lµ trung ®iÓm cña BC . Chøng minh AH = 2 A’O . 3) KÎ ®êng th¼ng d tiÕp xóc víi ®êng trßn (O) t¹i A . §Æt S lµ diÖn tÝch cña tam gi¸c

ABC , 2p lµ chu vi cña tam gi¸c DEF. a) Chøng minh : d // EF. b) Chøng minh : S = p . R .

Bµi v ( 1®iÓm) :

Gi¶i ph¬ng tr×nh : 29 16 2 2 4 4 2x x x .

235

®Ò thi sè 14

N¨m häc 2006 - 2007




Cho biÓu thøc : 1 1 2 1

:1 1 2

x xA

x x x x

víi x > 0 vµ x 4.

1) Rót gän A. 2) T×m x ®Ó A = 0 .

Bµi iI ( 3,5 ®iÓm) : Trong mÆt ph¼ng to¹ ®é Oxy cho parabol (P) vµ ®êng th¼ng (d) cã ph¬ng tr×nh: Y = 2x (P) vµ y = 2(a – 1 ) x +5 – 2a ( a lµ tham sè ) 1) Víi a = 2 t×m to¹ ®é giao ®iÓm cña parabol (P) vµ ®êng th¼ng (d) 2) Chøng minh r»ng víi mäi a ®êng th¼ng (d) lu«n c¾t parabol (P) t¹i hai ®iÓm ph©n biÖt. 3) Gäi hoµnh ®é giao ®iÓm cña ®êng th¼ng (d) lu«n c¾t parabol (P) lµ 1 2,x x . T×m a ®Ó

2 21 2 6x x

Bµi iIi ( 3,5 ®iÓm) : Cho ®êng trßn (O) ®êng kÝnh AB . §iÓm I n»m gi÷a A vµ O ( I kh¸c A vµ O ) . KÎ d©y MN vu«ng gãc víi AB t¹i I . Gäi C lµ ®iÓm tuú ý thuéc cung lín MN ( C kh¸c M , N vµ B ) Nèi AC c¾t MN t¹i E . Chøng minh :

1) Tø gi¸c IECB néi tiÕp . 2) 2 .AM AE AC 3) AE . AC – AI . IB = AI2 .


Cho 4, 5, 6a b c vµ 2 2 2 90a b c

Chøng minh : a + b + c 16

236

®Ò thi sè 15

N¨m häc 2007- 2008



Bµi I ( 2,5 ®iÓm) :

Cho biÓu thøc : 5 2 4

1 .2 3

x xP x

x x

víi 0; 4x x

1) Rót gän P .

2) T×m x ®Ó P > 1 .


Cho ph¬ng tr×nh : 2 2( 1) 4 0x m x m (1) , (m lµ tham sè).

1) Gi¶i ph¬ng tr×nh (1) víi m = -5. 2) Chøng minh r»ng ph¬ng tr×nh (1) lu«n cã hai nghiÖm 1 2,x x ph©n biÖt mäi m.

3) T×m m ®Ó 1 2x x ®¹t gi¸ trÞ nhá nhÊt ( 1 2,x x lµ hai nghiÖm cña ph¬ng tr×nh (1) nãi trong

phÇn 2/ ) .

Bµi Iii ( 3,5 ®iÓm) :

Cho ®êng trßn (O) vµ hai ®iÓm A , B ph©n biÖt thuéc (O) sao cho ®êng th¼ng AB kh«ng ®i qua t©m O . Trªn tia ®èi cña tia AB lÊy ®iÓm M kh¸c ®iÓm A , tõ ®iÓm M kÎ hai tiÕp tuyÕn ph©n biÖt ME , MF víi ®êng trßn (O) , ( E , F lµ hai tiÕp ®iÓm ) . Gäi H lµ trung ®iÓm cña d©y cung AB ; çc ®iÓm K ,I theo thø tù lµ giao ®iÓm cña ®êng th¼ng EF víi çc ®êng th¼ng OM vµ OH .

1) Chøng minh 5 ®iÓm M , H , O , E , F cïng n»m trªn mét ®êng trßn . 2) Chøng minh : OH . OI = OK . OM 3) Chøng minh IA , IB lµ çc tiÕp tuyÕn cña ®êng trßn (O).

Bµi Iv( 1 ®iÓm) :

T×m tÊt c¶ çc cÆp sè (x;y ) tho¶ m·n : 2 22 2 5 5 6x y xy x y ®Ó x+ y lµ sè nguyªn.

237

®Ò thi sè 16

N¨m häc 2007- 2008

ĐỀ TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 THPT – TP hµ néi

Bài 1: (2,5 điểm)

Cho biểu thức P=

1. Rút gọn biểu thức P

2. Tìm x để P < 1

2

Bài 2: (2,5 điểm) Giải bài toán sau bằng cách lập phương trình Một người đi xe đạp từ A đến B cách nhau 24km. Khi từ B trở về A người đó tăng vận tốc thêm 4km/h so với lúc đi, vì vậy thời gian về ít hơn thời gian đi 30 phút. Tính vận tốc của xe đạp khi đi từ A đến B. Bài 3: (1 điểm)

Cho phương trình

1. Giải phương trình khi b= -3 và c=2 2. Tìm b,c để phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt và tích của chúng bằng 1

Bài 4: (3,5 điểm) Cho đường tròn (O; R) tiếp xúc với đường thẳng d tại A. Trên d lấy điểm H không trùng với điểm A và AH <R. Qua H kẻ đường thẳng vuông góc với d, đường thẳng này cắt đường tròn tại hai điểm E và B ( E nằm giữa B và H)

1. Chứng minh góc ABE bằng góc EAH và tam giác ABH đồng dạng với tam giác EAH. 2. Lấy điểm C trên d sao cho H là trung điểm của đoạn AC, đường thẳng CE cắt AB tại K. Chứng minh AHEK là tứ giác nội tiếp. 3. Xác định vị trí điểm H để AB= R .

Bài 5: (0,5 điểm) Cho đường thẳng y = (m-1)x+2 Tìm m để khoảng cách từ gốc tọa độ đến đường thẳng đó là lớn nhất.

238

Gợi ý một phương án bài giải đề thi tuyển sinh lớp 10 THPT- Hà Nội

Năm học 2007-2008

Bài 1:

P=

1. Kết quả rút gọn với điều kiện xác định của biểu thức P là

2. Yêu cầu . Đối chiếu với

điều kiện xác định của P có kết quả cần tìm là

Bài 2:

Gọi vận tốc khi đi là x (đơn vị tính km/h, điều kiện là x>0) ta có phương trình

. Giải ra ta có nghiệm x=12(km/h)

Bài 3:

1. Khi b=-3, c= 2 phương trình x2-3x+2=0 có nghiệm là x=1, x=2

2. Điều kiện cần tìm là

Bài 4:

1. vì cùng chắn cung AE. Do đó tam giác ABH và EHA đồng dạng.

2. nên

hay . Vậy tứ giác AHEK là nội tiếp đường tròn đường kính AE. 3. M là trung điểm EB thì OM vuông góc BE, OM=AH. Ta có

239

đều cạnh R. Vậy AH= OM=

Bài 5:

Đường thẳng y = (m-1)x+2 mx= y+x-2đi qua điểm cố định A(0;2). Do đố OA=2. Khoảng cách lớn nhất từ gốc tọa độ đến đường thẳng d là OA=2, xảy ra khi d vuông góc với OA hay hệ số góc đường thẳng d là 0 tức là m-1.

®Ò thi sè 17

N¨m häc 2007- 2008

240

KÌ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT – TP HO CHI MINH

(TG: 120 phút)

Câu 1: (1, 5 điểm) Giải các phương trình và hệ phương trình sau:

a) x2 – 2 x + 4 = 0

b) x4 – 29x2 + 100 = 0

c) 5 6 17

9 7

x y

x y

Câu 2: (1, 5 điểm) Thu gọn các biểu thức sau:

a)

b)

Câu 3: (1 điểm) Một khu vườn hình chữ nhật có diện tích bằng 675 m2 và có chu vi bằng 120 m. Tìm chiều dài và chiều rộng của khu vườn. Câu 4: (2 điểm) Cho phương trình x2 – 2mx + m2 – m + 1 = 0 với m là tham số và x là ẩn số.

a) Giải phương trình với m = 1. b) Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt x1 ,x2. c) Với điều kiện của câu b hãy tìm m để biểu thức A = x1 x2 - x1 - x2 đạt giá trị nhỏ nhất.

Câu 5: (4 điểm) Cho tam giác ABC có ba góc nhọn (AB < AC). Đường tròn đường kính BC cắt AB, AC theo thứ tự tại E và F. Biết BF cắt CE tại H và AH cắt BC tại D.

a) Chứng minh tứ giác BEFC nội tiếp và AH vuông góc với BC. b) Chứng minh AE.AB = AF.AC. c) Gọi O là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC và K là trung điểm của BC.

Tính tỉ số OK

BCkhi tứ giác BHOC nội tiếp.

d) Cho HF = 3 cm, HB = 4 cm, CE = 8 cm và HC > HE. Tính HC.

Gợi ý một phương án bài giải đề thi tuyển sinh lớp 10 THPT Năm học 2007-2008

Câu 1: a) Ta có Δ’ = 1 nên phương trình có 2 nghiệm phân biệt là x1 = 5 – 1 và x2 = 5 + 1.

241

b) Đặt t = x2 ≥ 0, ta được phương trình trở thành t2 – 29t + 100 = 0 t = 25 hay t =2. * t = 25 x2 = 25 x = ± 5. * t = 4 x2 = 4 x = ± 2. Vậy phương trình đã cho có 4 nghiệm là ± 2; ±5.

c) Câu 2:

a) b)

Câu 3: Gọi chiều dài là x (m) và chiều rộng là y (m) (x > y > 0).

Theo đề bài ta có: Ta có: (*) x2 – 60x + 675 = 0 x = 45 hay x = 15. Khi x = 45 thì y = 15 (nhận) Khi x = 15 thì y = 45 (loại) Vậy chiều dài là 45(m) và chiều rộng là 15 (m) Câu 4: Cho phương trình x2 – 2mx + m2 – m + 1 = 0 (1) a) Khi m = 1 thì (1) trở thành: x2 – 2x + 1 = 0 (x – 1)2 = 0 x = 1. b) (1) có hai nghiệm phân biệt x1, x2

Δ’ = m – 1 > 0 m > 1. Vậy (1) có hai nghiệm phân biệt x1, x2 m > 1. c) Khi m > 1 ta có: S = x1 + x2 = 2m và P = x1x2 = m2 – m + 1

Do đó: A = P – S = m2 – m + 1 – 2m = m2 – 3m + 1 = − ≥ – .

Dấu “=” xảy ra m= (thỏa điều kiện m > 1)

Vậy khi m = thì A đạt giá trị nhỏ nhất và GTNN của A là – . Câu 5:

242

a) * Ta có E, F lần lượt là giao điểm của AB, AC với đường tròn đường kính BC.

Tứ giác BEFC nội tiếp đường tròn đường kính BC.

* Ta có (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)

BF, CE là hai đường cao của ΔABC. H là trực tâm của Δ ABC. AH vuông góc với BC.

b) Xét Δ AEC và Δ AFB có:

chung và Δ AEC đồng dạng với Δ AFB

c) Khi BHOC nội tiếp ta có:

mà và (do AEHF nội tiếp)

Ta có: K là trung điểm của BC, O là tâm đường tròn ngoại tiếp ABC

OK vuông góc với BC mà tam giác OBC cân tại O (OB = OC )

Vậy mà BC = 2KC nên d) d) Xét Δ EHB và Δ FHC có:

(đối đỉnh) Δ EHB đồng dạng với Δ FHC

HE.HC = HB.HF = 4.3 = 12 HC(CE – HC) = 12 HC2 – 8.HC + 12 = 0 HC = 2 hoặc HC = 6.

* Khi HC = 2 thì HE = 6 (không thỏa HC > HE) * Khi HC = 6 thì HE = 2 (thỏa HC > HE) Vậy HC = 6 (cm).

®Ò thi sè 18

243

N¨m häc 1999- 2000

§Ò thi vµo líp 10 trêng PTTH chuyªn Lª Hång phong – Nam ®Þnh

M«n to¸n (®Ò chung) - ( Thêi gian 150’)


Cho biÓu thøc ab

ba

aab

b

bab

aN

Víi a,b lµ 2 sè d¬ng kh¸c nhau

1) Rót gän biÓu thøc N

2) TÝnh gi¸ trÞ cña biÓu thøcN khi : 526 a vµ 526b

Bµi II ( 2,5 ®iÓm) : Cho ph¬ng tr×nh ( Èn x) : x4 - 2mx2 + m2

– 3 = 0 1) Gi¶i ph¬ng tr×nh víi m = 3 2) T×m m ®Ó ph¬ng tr×nh cã ®óng 3 nghiÖm ph©n biÖt

Bµi III ( 1,5 ®iÓm) :

Trªn hÖ trôc to¹ ®é Oxy cho ®iÓm A (2;3) vµ Parapol (P) cã ptr×nh lµ : 2

2

1xy

(P) 1) ViÕt ptr×nh ®êng th¼ng cã hÖ sè gãc b»ng k vµ ®i qua ®iÓm A(2;-3). 2) CMR bÊt cø ®êng th¼ng nµo ®i qua ®iÓm A(2;-3) vµ kh«ng song song víi

trôc tung bao giê còng c¾t parabol 2

2

1xy t¹i 2 ®iÓm ph©n biÖt.

Bµi IV( 4 ®iÓm): Cho ®trßn (O,R) vµ ®êng th¼ng (d) c¾t ®trßn t¹i 2 ®iÓm A vµ B . Tõ ®iÓm M n»m trªn ®êng th¼ng (d) vµ ë ngoµi ®trßn (O,R) kÎ 2 tiÕp tuyÕn MP vµ MQ ®Õn ®trßn , trong ®ã P vµ Q lµ çc tiÕp ®iÓm .

1) Gäi I lµ giao ®iÓm cña ®o¹n th¼ng MO víi ®trßn (O,R) . CMR I lµ t©m ®trßn néi tiÕp tam gi¸c MPQ.

2) X¸c ®Þnh vÞ trÝ cña M trªn ®êng thÈng (d) ®Ó tø gi¸c MPOQ lµ h×nh vu«ng. 3) CMR khi ®iÓm M di chuyÓn trªn ®êng th¼ng (d) th× t©m ®trßn ngo¹i tiÕp tam

gi¸c MPQ ch¹y trªn mét ®êng th¼ng cè ®Þnh.

®Ò thi sè 19

N¨m häc 2000 - 2001


M«n to¸n (®Ò chung) - ( Thêi gian 150’)

244

Bµi I ( 2,5 ®iÓm) :

Cho biÓu thøc 1

1

1

1

1

2

x

x

xx

x

xx

xT Víi x > 0 vµ x 1

1) Rót gän biÓu thøc T

2) CMR víi mäi x > 0 vµ x 1 lu«n cã T < 3

1

Bµi II ( 2,5 ®iÓm) :

Cho ph¬ng tr×nh ( Èn x) : x2 - 2mx + m2 –

2

1 = 0 (1)

1) T×m m ®Ó ph¬ng tr×nh (1) cã nghiÖm vµ çc nghiÖm cña ptr×nh cã gi¸ trÞ tuyÖt ®èi b»ng nhau 2) T×m m ®Ó ph¬ng tr×nh (1) cã nghiÖm vµ çc nghiÖm Êy lµ sè ®o cña 2 c¹nh gãc vu«ng cña mét tam gi¸c vu«ng cã c¹nh huyÒn b»ng 3.

Bµi III ( 1 ®iÓm) :

Trªn hÖ trôc to¹ ®é Oxy Parapol (P) cã ptr×nh lµ : 2xy (P)

ViÕt ptr×nh ®th¼ng song song víi ®th¼ng y = 3x + 12 vµ cã víi parabol (P) ®óng mét ®iÓm chung.

Bµi IV( 4 ®iÓm): Cho ®trßn (O) ®êng kÝnh AB = 2R . Mét ®iÓm M chuyÓn ®éng trªn ®trßn (O) (M kh¸c Avµ B). Gäi H lµ h×nh chiÕu vu«ng gãc cña M trªn ®êng kÝnh AB . VÏ ®trßn (T) cã t©m lµ M vµ b¸n kÝnh lµ MH . Tõ A vµ B lÇn lît kÎ çc tiÕp tuyÕn AD , BC ®Õn ®trßn (T) ( D vµ C lµ çc tiÕp ®iÓm ) .

1) CMR khi M di chuyÓn trªn ®trßn (O) th× AD + BC cã gi¸ trÞ kh«ng ®æi. 2) CM ®th¼ng CD lµ tiÕp tuyÕn cña ®trßn (O) . 3) CM víi bÊt kú vÞ trÝ nµo cña M trªn ®trßn (O) lu«n cã bÊt ®¼ng thøc AD. BC

R2. X¸c ®Þnh vÞ trÝ cña M trªn ®trßn (O) ®Ó ®¼ng thøc x¶y ra. 4) Trªn ®trßn (O) lÊy ®iÓm N cè ®Þnh . Gäi I lµ trung ®iÓm cña MN vµ P lµ h×nh

chiÕu vu«ng gãc cña I trªn AB . Khi M di chuyÓn trªn ®trßn (O) th× P ch¹y trªn ®êng nµo?

®Ò thi sè 20

N¨m häc 2001 - 2002

§Ò thi vµo líp 10 PTTH chuyªn Lª Hång phong – Nam ®Þnh

M«n to¸n (®Ò chung) ( thêi gian 150’)


245


12

2

yax

ayx ( x,y lµ Èn , a lµ tham sè)

2) Gi¶i hÖ ph¬ng tr×nh trªn. 3) T×m sè nguyªn a lín nhÊt ®Ó hÖ ph¬ng tr×nh cã nghiÖm ( x0 ; y0 )tho¶ m·n bÊt

®¼ng thøc x0 y0 < 0.


1) LËp ph¬ng tr×nh bËc hai víi hÖ sè nguyªn cã hai nghiÖm lµ: 53

41

x vµ

53

42

x

2) TÝnh : P = 44

53

4

53

4

3)

Bµi iIi ( 2 ®iÓm) : T×m m ®Ó ph¬ng tr×nh : 0122 mxxx cã ®óng hai nghiÖm ph©n biÖt.

Bµi iV ( 1 ®iÓm) : Gi¶ sö x vµ y lµ çc sè tho¶ m·n ®¼ng thøc :

555 22 yyxx

TÝnh gi¸ trÞ cña biÓu thøc : M = x + y.

Bµi V ( 3,5 ®iÓm) : Cho tø gi¸c ABCD cã AB = AD vµ CB = CD. 1) Chøng minh r»ng :

b) Tø gi¸c ABCD ngo¹i tiÕp ®îc ®êng trßn . c) Tø gi¸c ABCD néi tiÕp ®îc trong mét ®êng trßn khi vµ chØ khi AB vµ BC

vu«ng gãc víi nhau. 2) Gi¶ sö AB BC . Gäi ( N ; r) lµ ®êng trßn néi tiÕp vµ ( M; R ) lµ ®êng trßn

ngo¹i tiÕp tø gi¸c ABCD . Chøng minh:

a) AB + BC = r + 22 4Rr

b) 22222 4RrrrRMN

®Ò thi sè 21

N¨m häc 2002 - 2003


M«n to¸n (®Ò chung) ( Thêi gian 150’)

Bµi I ( 2 ®iÓm) : 1) CMR víi mäi gi¸ trÞ d¬ng cña n ta lu«n cã :

246

1 1 1

1 1 1n n n n n n

2) TÝnh tæng : S = 1 1 1 1

.....2 2 3 2 2 3 4 3 3 4 100 99 99 100

Bµi Ii( 1,5 ®iÓm) : Trªn ®êng th¼ng y = x + 1, t×m nh÷ng ®iÓm cã to¹ ®é tho¶ m·n ®¼ng thøc :

2 3 2 0y y x x

Bµi Iii( 1,5 ®iÓm) :

Cho hai ph¬ng tr×nh sau : 2

2

(2 3) 6 0

2 5 0

x m x

x x m

( x lµ Èn , m lµ tham sè )

T×m m ®Ó hai ph¬ng tr×nh ®· cho cã ®óng mét nghiÖm chung.

Bµi Iv( 4 ®iÓm) : Cho ®êng trßn (O;R) víi hai ®êng kÝnh AB vµ MN . TiÕp tuyÕn víi ®êng trßn (O) t¹i A c¾t çc ®êng th¼ng BM vµ BN t¬ng øng t¹i 1 1,M N . Gäi P lµ trung ®iÓm

cña AM1 , Q lµ trung ®iÓm cña AN1. 1) CMR tø gi¸c MM1N1N néi tiÕp ®îc trong mét ®êng trßn. 2) NÕu M1N1 = 4R th× tø gi¸c PMNQ lµ h×nh g×? 3) §êng kÝnh AB cè ®Þnh , t×m tËp hîp t©m çc ®êng trßn ngo¹i tiÕp tam gi¸c

BPQ khi ®êng kÝnh MN thay ®æi.

Bµi v( 1 ®iÓm) : Cho ®êng trßn (O;R) vµ hai ®iÓm A,B n»m phÝa ngoµi ®êng trßn (O) víi OA = 2R. X¸c ®Þnh vÞ trÝ cña M trªn ®êng trßn (O) sao cho biÓu thøc : P = MA + 2 MB ®¹t gi¸ trÞ nhá nhÊt . T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt Êy.

®Ò thi sè 22

N¨m häc 2003 - 2004



Bµi I ( 1,5 ®iÓm) : Cho ph¬ng tr×nh : 2 22( 1) 1 0x m x m víi x lµ Èn , m lµ tham sè cho tríc

1) Gi¶i ph¬ng tr×nh ®· cho kho m = 0.

247

2) T×m m ®Ó ph¬ng tr×nh ®· cho cã hai nghiÖm d¬ng 1 2,x x ph©n biÖt tho¶ m·n ®iÒu

kiÖn 2 21 2 4 2x x


Cho hÖ ph¬ng tr×nh : 2

2

1

x y

xy a

trong ®ã x,y lµ Èn , a lµ sè cho tríc.

1) Gi¶i hÖ ph¬ng tr×nh ®· cho víi a = 2003 . 2) T×m gi¸ trÞ cña a ®Ó hÖ ph¬ng tr×nh ®· cho cã nghiÖm.

Bµi iiI ( 2,5 ®iÓm) :

Cho ph¬ng tr×nh : 5 9x x m víi x lµ Èn , m lµ sè cho tríc . 1) Gi¶i ph¬ng tr×nh ®· cho víi m = 2. 2) Gi¶ sö ph¬ng tr×nh ®· cho cã nghiÖm x = a . CMR khi ®ã ph¬ng trÝnh ®· cho

cßn cã mét nghiÖm n÷a lµ x = 14 – a. 3) T×m tÊt c¶ çc gi¸ trÞ cña m ®Ó ph¬ng tr×nh ®· cho cã ®óng mét nghiÖm .

Bµi Iv ( 2 ®iÓm) : Cho hai ®êng trßn (O) vµ (O’) cã b¸n kÝnh theo thø tù lµ R , R’ c¾t nhau t¹i hai ®iÓm A vµ B . 1) Mét tiÕp chung cña hai ®êng trßn tiÕp xóc víi (O) vµ (O’) lÇn lît t¹i C vµ D .

Gäi H vµ K theo thø tù lµ giao ®iÓm cña AB víi OO’ vµ CD . CMR : a) AK lµ trung tuyÕn cña tam gi¸c ACD .

b) B lµ träng t©m cña tam gi¸c ACD khi vµ chØ khi OO’ = 3

( ')2

R R

2) Mét çt tuyÕn di ®éng qua A c¾t (O) vµ (O’) lÇn lît tai E vµ F sao cho A n»m trong ®o¹n EF. X¸c ®Þnh vÞ trÝ cña çt tuyÕn EF ®Ó diÖn tÝch tam gi¸c BEF ®¹t gi¸ trÞ lín nhÊt .

Bµi v ( 2 ®iÓm) : Cho tam gi¸c nhän ABC . Gäi D lµ trung ®iÓm cña c¹nh BC , M lµ ®iÓm tuú ý trªn c¹nh AB ( kh«ng trïng víi çc ®Ønh A, B ) . GoÞu H lµ giao ®iÓm cña çc ®o¹n th¼ng AD vµ CM . CMR nÕu tø gi¸c BMHD néi tiÕp ®ùoc trong mét ®êng trßn th× cã bÊt ®¼ng thøc 2BC AC .

®Ò thi sè 23

N¨m häc 2004 - 2005



Bµi I ( 2 ®iÓm) : Rót gän çc biÓu thøc sau :

1) P = 2m n m n mn

m n m n

v¬Ý 0, 0,m n m n .

2) Q = 2 2

:a b ab a b

ab a b

víi 0, 0a b .

248


Gi¶i ph¬ng tr×nh : 6 2 2x x

Bµi Iii ( 3 ®iÓm) : Cho çc ®êng th¼ng : ( 1d ) : y = 2x + 2 ;

( 2d ) : y = -x + 2;

( 3d ) : y = mx ( m lµ tham sè )

1) T×m to¹ ®é çc giao ®iÓm A ,B , C theo thø tù cña ( 1d ) víi ( 2d ) ; ( 1d ) víi trôc hoµnh

vµ ( 2d ) víi trôc hoµnh.

2) T×m tÊt c¶ çc gi¸ trÞ cña m sao cho ( 3d ) c¾t c¶ hai ®êng th¼ng ( 1d ) vµ ( 2d ).

3) T×m tÊt c¶ çc gi¸ trÞ cña m sao cho ( 3d ) c¾t c¶ hai tia AB vµ AC.

Bµi Iv ( 3 ®iÓm) : Cho tam gi¸c ®Òu ABC néi tiÕp ®êng trßn (O) vµ D lµ ®iÓm n»m trªn cung BC kh«ng chøa ®iÓm A . Trªn tia AD ta lÊy ®iÓm E sao cho AE = DC. 1) Chøng minh ABE CBD . 2) X¸c ®Þnh vÞ trÝ cña D sao cho tæng DA + DB + DC lín nhÊt.

Bµi v ( 1 ®iÓm) : T×m x , y d¬ng tho¶ m·n hÖ

4 4

1

18( ) 5

x y

x yxy

®Ò thi sè 24

N¨m häc 2005 - 2006




Cho biÓu thøc :

3

11

1 1

xxM

x x x

víi 0; 1.x x

1) Rót gän biÓu thøc M . 2) T×m x ®Ó M 2.


Gi¶i ph¬ng tr×nh : 12x x

249

Bµi iiI ( 3 ®iÓm) : Cho parabol (P) vµ ®êng th¼ng (d) cã ph¬ng tr×nh : y = mx2 (P) ; y = 2x +m (d) trong ®ã m lµ tham sè , m 0. 1) Víi m = 3 , t×m to¹ ®é giao ®iÓm cña ®êng th¼ng (d) vµ parabol (P) . 2) CMR víi mäi m 0 , ®êng th¼ng (d) lu«n c¾t parabol (P) t¹i hai ®iÓm ph©n

biÖt. 3) T×m m ®Ó ®êng th¼ng (d) lu«n c¾t parabol (P) t¹i hai ®iÓm cã hoµnh ®é lµ

3 3

1 2 ; 1 2 .

Bµi iv( 3 ®iÓm) : Cho tam gi¸c ®Òu ABC néi tiÕp ®êng trßn (O) vµ D lµ ®iÓm trªn cung BC kh«ng chøa A ( D kh¸c B vµ D kh¸c C). Trªn tia DC lÊy ®iÓm E sao cho DE = DA . 1) Chøng minh ADE lµ tam gi¸c ®Òu . 2) Chøng minh ABD ACE . 3) Khi D chuyÓn ®éng trªn cung BC kh«ng chøa A ( D kh¸c B vµ D kh¸c C) th× E

ch¹y trªn ®êng nµo ?

Bµi v( 1 ®iÓm) : Cho 3 sè d¬ng a, b, c tho¶ m·n : a + b + c 2005.

Chøng minh : 3 3 3 3 3 3

2 2 2

5 5 52005

3 3 3

a b b c c a

ab a bc b ac c

®Ò thi sè 25

N¨m häc 2006 - 2007




Cho biÓu thøc : 1 1 1

1 1

x xQ x

x x x

víi x > 0 vµ x 1 .

1) Rót gän Q. 2) T×m x ®Ó Q = 8 .


Gi¶i ph¬ng tr×nh : 1 1x x


250

Cho ph¬ng tr×nh : 22 1 2 3 0m x m x m ( x lµ Èn ; m lµ tham sè ).

1) Gi¶i ph¬ng tr×nh khi m = - 9

2

2) CMR ph¬ng tr×nh ®· cho cã nghiÖm víi mäi m. 3) T×m tÊt c¶ çc gi¸ trÞ cña m sao cho ph¬ng tr×nh cã hai nghiÖm ph©n biÖt vµ

nghiÖm nµy gÊp ba lÇn nghiÖm kia.


Cho tam gi¸c ABC ( AB AC ) néi tiÕp ®êng trßn (O) . §êng ph©n gi¸c trong AD vµ ®êng trung tuyÕn AM cña tam gi¸c ( D ; )BC M BC t¬ng øng c¾t ®êng trßn (O) t¹i P vµ Q ( P ,Q kh¸c A ) . Gäi I lµ ®iÓm ®èi xøng víi D qua M .

1) KÎ ®êng cao AH cña tam gi¸c ABC . Chøng minh AD lµ ph©n gi¸c cña gãc OAH .

2) Chøng minh tø gi¸c PMIQ néi tiÕp . 3) So s¸nh DP vµ MQ.


T×m x , y tho¶ m·n hÖ : 2 2

3 2 2

1

2

4 ( 1) 2 2

x y

x x x x y xy

®Ò thi sè 26

N¨m häc 2007 - 2008 §Ò thi vµo líp 10 PTTH chuyªn Lª Hång phong – Nam ®Þnh



Cho biÓu thøc : 21 1

1 1 1 1

x x x x xP x

x x x x x

víi x 0; 1x .

1) Rót gän biÓu thøc ®· cho. 2) T×m xlµ sè nguyªn ®Ó P nhËn gi¸ trÞ nguyªn tho¶ m·n biÓu thøc ®· cho.


Trong mÆt ph¼ng to¹ ®é Oxy , cho ®êng parabol : y = x2 (P) vµ ®êng th¼ng : y = 2(m - 1) x + m + 1 (d) .

1) Khi m = 3 , h·y t×m hoµnh ®é giao ®iÓm cña (d) vµ (P) . 2) CMR : (d) vµ (P) lu«n c¾t nhau t¹i hai ®iÓm ph©n biÖt víi mäi m . Gäi hai giao

®iÓm cña (d) vµ (P) lµ 1 1 2 2( , ); ( , )A x y B x y . H·y x¸c ®Þnh m ®Ó : 1 2 2 1 1y x y x

251


Cho nöa ®êng trßn t©m O b¸n kÝnh R víi ®êng kÝnh AB ; C lµ ®iÓm chÝnh gi÷a cña cung AB ; ®iÓm M thuéc cung AC sao cho M kh¸c A vµ C . KÎ tiÕp tuyÕn (d) cña (O,R) t¹i tiÕp ®iÓm M. Gäi H lµ giao ®iÓm cña BM vµ OC . Tõ H kÎ mét ®êng th¼ng song song víi AB , ®êng th¼ng ®ã c¾t (d) t¹i E .

1) Chøng minh tø gi¸c OHME lµ tø gi¸c néi tiÕp. 2) Chøng minh EH = R . 3) KÎ MK vu«ng gãc víi OC t¹i K . Chøng minh ®êng trßn ngo¹i tiÕp tam gi¸c

OBC ®i qua t©m ®êng trßn néi tiÕp tam gi¸c OMK .


1) Gi¶i hÖ ph¬ng tr×nh : 2 4( 1)( 1)

3

4

x y x y

x y xy

2) Gi¶i ph¬ng tr×nh : 2 28. ( 1) 3( 1)x x x x

Bµi v ( 1 ®iÓm) : Cho çc sè x, y thay ®æi tho¶ m·n ®iÒu kiÖn : 2 1x y . T×m gi¸ trÞ

nhá nhÊt cña biÓu thøc M = 2

2 2 2y x .

®Ò thi sè 27

N¨m häc 1999- 2000


M«n to¸n (®Ò chuyªn) ( Thêi gian 150’)

Bµi I ( 1,5 ®iÓm):

Víi x, y, z tho¶ m·n : 1

xy

z

zx

y

zy

x

H·y tÝnh gi¸ trÞ cña biÓu thøc sau xy

z

zx

y

zy

xA

222

Bµi Ii ( 2 ®iÓm):

T×m m ®Ó ptr×nh : 01

122

x

mxx v« nghiÖm.

Bµi III ( 1,5 ®iÓm): Chøng minh bÊt ®¼ng thøc sau:

9303030306666

252

Bµi IV ( 2 ®iÓm): Trong çc nghiÖm (x,y) cña ph¬ng tr×nh :

0642 2222222 yxyxyx H·y t×m tÊt c¶ çc nghiÖm (x,y) sao cho A= x2 +y2 ®¹t gi¸ trÞ nhá nhÊt.

Bµi V ( 3 ®iÓm): Trªn mçi nöa ®trßn ®êng kÝnh AB cña ®trßn (O) lÊy mét ®iÓm t¬ng øng lµ C vµ D tho¶ m·n : AC2 + BD2 = AD2 + BC2 Gäi K lµ trung ®iÓm cña BC. H·y x¸c ®Þnh vÞ trÝ çc ®iÓm C vµ D trªn ®trßn (O) ®Ó ®êng th¼ng DK ®i qua trung ®iÓm cña AB.

®Ò thi sè 28

N¨m häc 2000 - 2001


M«n to¸n (®Ò chuyªn) - ( Thêi gian 150’)


Gi¶i ptr×nh : x + 1x =1

Bµi II ( 1,5 ®iÓm) : T×m tÊt c¶ çc gi¸ trÞ cña x kh«ng tho¶ m·n ®¼ng thøc : 1)(44)( 2 mmxxmm

dï m lÊy bÊt cø gi¸ trÞ nµo. Bµi III ( 2,5 ®iÓm) :

Cho hÖ ptr×nh :

01

121

2yxyxmyx

yx

1) T×m m ®Ó hÖ ptr×nh cã nghiÖm (x0; y0) sao cho x0 ®¹t gi¸ trÞ lín nhÊt . T×m nghiÖm Êy?

2) Gi¶i hÖ ptr×nh khi m = 0.

Bµi IV( 3,5 ®iÓm):

253

Cho nöa ®trßn ®kÝnh AB .Gäi P lµ ®iÓm chÝnh gi÷a cña cung AB , M lµ ®iÓm chuyÓn ®éng trªn cung BP .Trªn ®o¹n AM lÊy ®iÓm N sao cho AN = BM .

1) CM tû sè NP/ MN cã gi¸ trÞ kh«ng ®æi khi ®iÓm M di chuyÓn trªn cung BP. TÝnh gi¸ trÞ kh«ng ®æi Êy ?

2) T×m tËp hîp çc ®iÓm N khi M di chuyÓn trªn cung BP.

Bµi V( 1,5 ®iÓm): CMR víi mèi sè nguyªn d¬ng n bao giê còng tån t¹i hai sè nguyªn d¬ng a,b tho¶ m·n:

n

n

ba

ba

20002001

200120011

22

®Ò thi sè 29

N¨m häc 2001 - 2002



Bµi I ( 2 ®iÓm) : T×m a vµ b tho¶ m·n ®¼ng thøc sau:

2

1

1.

1

1 2

bb

a

aaa

a

aa

Bµi iI ( 1,5 ®iÓm) : T×m çc sè h÷u tû a, b ,c ®«i mét kh¸c nhau sao cho biÓu thøc :

222

111

accbbaH

nhËn gi¸ trÞ còng lµ sè h÷u tû.

Bµi iiI ( 1,5 ®iÓm) : Gi¶ sö a vµ b lµ lµ hai sè d¬ng cho tríc . T×m nghiÖm d¬ng cña ph¬ng tr×nh: abxbxxax

Bµi Iv ( 2 ®iÓm) : Gäi A, B , C lµ çc gãc cña tam gi¸c ABC . t×m ®iÒu kiÖn cña tam gi¸c ABC ®ÓbiÓu thøc:

254

P = Sin2

A. Sin

2

B. Sin

2

C ®¹t gi¸ trÞ lín nhÊt. T×m gi¸ trÞ lín nhÊt Êy ?

Bµi v ( 3 ®iÓm) : Cho h×nh vu«ng ABCD. 1) Víi mçi ®iÓm M cho tríc trªn c¹nh AB ( kh¸c A vµ B). Trªn c¹nh AD lÊy ®iÓm N sao cho chu vi cña tam gi¸c AMN gÊp hai lÇn chu vi h×nh vu«ng ®· cho. 2) KÎ 9 ®êng th¼ng sao cho mçi ®êng th¼ng nµy chia h×nh vu«ng ®· cho thµnh 2

tø gi¸c cã tû sè diÖn tÝch b»ng 2

3. Chøng minh r»ng trong 9 ®êng th¼ng trªn cã Ýt

nhÊt 3 ®êng ®ång quy.

®Ò thi sè 30

N¨m häc 2002 - 2003



Bµi I a) Víi a, b lµ hai sè d¬ng tho¶ m·n a2 - b > 0 . H·y chøng minh :

2 2

2 2

a a b a a ba b

b) Kh«ng sö dông m¸y tÝnh vµ b¶ng sè , CMR

7 2 3 2 3 29

5 202 2 3 2 2 3

Bµi Ii

Gi¶ sö x , y lµ çc sè d¬ng tho¶ m·n x + y = 10 . TÝnh gi¸ trÞ cña x , y ®Ó biÓu

thøc 4 41 1P x y ®¹t gi¸ trÞ nhá nhÊt . T×m gi¸ trÞ Êy .

Bµi Iii


2 2 2

0

0( ) ( ) ( )

x y z

x y y z z x

x y z

x y y z z x

Bµi Iv

255

Cho tam gi¸c nhän ABC néi tiÕp ®êng trßn (O) b¸n kÝnh R víi BC = a , AC = b , BA = c . LÊy ®iÓm I bÊt kú ë phÝa trong cña tam gi¸c ABC . Gäi x ,y ,z lÇn lît lµ kho¶ng çch tõ ®iÓm I ®Õn BC , AC vµ AB cña tam gi¸c ABC .

Chøng minh : 2 2 2

2

a b cx y z

R

Bµi v Cho tËp hîp P gåm 10 ®iÓm trong ®ã cã mét sè cÆp ®iÓm ®îc nèi víi nhau b»ng ®o¹n th¼ng . Sè çc ®o¹n th¼ng cã trong tËp P nèi tõ ®iÓm A ®Õn çc ®iÓm kh¸c gäi lµ bËc cña ®iÓm A . CMR bao giê còng t×m ®îc hai ®iÓm trong tËp hîp P cã cïng bËc.

®Ò thi sè 31

N¨m häc 2003 - 2004



Bµi I ( 1,5 ®iÓm) : Cho ph¬ng tr×nh x2 + x – 1 = 0 . Chøng minh r»ng ph¬ng tr×nh cã hai nghiÖm tr¸i dÊu . Gäi 1x lµ nghiÖm ©m cña ph¬ng tr×nh . H·y tÝnh gi¸ trÞ biÓu thøc :

81 1 110 13P x x x


Cho biÓu thøc P = 5 (3 ). 2x x x x . T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt vµ lín nhÊt cña P khi 0 3x .

Bµi iiI ( 2 ®iÓm) : a) Chøng minh r»ng kh«ng tån t¹i çc sè nguyªn a ,b, c sao cho : 2 2 2 2007a b c b) Chøng minh r»ng kh«ng tån tai çc sè h÷u tû x , y , z sao cho

2 2 2 3 5 7 0x y z x y z

Bµi iv( 2,5 ®iÓm) : Cho tam gi¸c ABC vu«ng t¹i A . VÏ ®êng cao AH . Gäi (O) lµ vßng trßn ngo¹i tiÕp tam gi¸c AHC . Trªn cung nhá AH cña vßng trßn (O) lÊy ®iÓm M bÊt kú kh¸c A . Trªn tiÕp tuyÕn t¹i M cña vßng trßn (O) lÊy hai ®iÓm D vµ E sao cho BD = BE = BA . §êng th¼ng BM c¾t vßng trßn (O) t¹i ®iÓm thø hai N .

a) CMR tø gi¸c BDNE néi tiÕp mét vßng trßn.

256

b) Chøng minh vßng trßn ngo¹i tiÕp tø gi¸c BDNE vµ vßng trßn (O) tiÕp xóc víi nhau .

Bµi v ( 2 ®iÓm) : Cã n ®iÓm , trong ®ã kh«ng cã ba ®iÓm nµo th¼ng hµng . Hai ®iÓm bÊt kú ®îc nèi víi nhau b»ng mét ®o¹n th¼ng , mçi ®o¹n th¼ng ®îc t« mét mµu xanh , ®á hoÆc vµng. BiÕt r»ng : cã Ýt nhÊt mét ®o¹n mµu xanh , mét ®o¹n mµu ®á ,vµ mét ®o¹n mµu vµng ; kh«ng cã ®iÓm nµo mµ çc ®o¹n xuÊt ph¸t tõ ®ã cã ®ñ c¶ ba mµu vµ kh«ng cã tam gi¸c nµo t¹o bëi çc ®o¹n th¼ng ®ã ®· nèi cã ba c¹nh cïng mµu.

a) CMR kh«ng tån t¹i ba ®o¹n th¼ng cïng mµu xuÊt ph¸t tõ cïng mét ®iÓm. b) H·y cho biÕt cã nhiÒu nhÊt bao nhiªu ®iÓm tho¶ m·n ®iÒu kiÖn ®Ò bµi .

®Ò thi sè 32

N¨m häc 2004 - 2005



Bµi I ( 2 ®iÓm) : 1) Chøng minh r»ng víi mäi x tho¶ m·n 1 5x , ta cã : 5 1 2x x

2) Gi¶i ph¬ng tr×nh : 25 1 2 1x x x x

Bµi Ii ( 2 ®iÓm) : Cho x, y , z lµ çc sè d¬ng tho¶ m·n xy + yz + zx = 1

1) CMR : 1 + x2 = ( x + y )( x + z ) 2) TÝnh gi¸ trÞ cña biÓu thøc :

2 2 2 2 2 2

2 2 2

1 1 1 1 1 1. . .

1 1 1

y z x z y xP x y z

x y z

Bµi Iii ( 3 ®iÓm) : Cho hai ®êng trßn (O) vµ (O’) c¾t nhau t¹i A vµ B sao cho hai t©m O vµ O’ n»m vÒ hai phÝa kh¸c nhau ®èi víi ®êng th¼ng AB . §êng th¼ng (d) quay quanh B , c¾t çc ®êng trßn (O) vµ (O’) lÇn lît t¹i C vµ D ( C kh¸c A , B vµ D kh¸cA , B )

1) CMR sè ®o çc gãc ACD , ADC vµ CAD kh«ng ®æi . 2) X¸c ®Þnh vÞ trÝ cña (d) sao cho ®o¹n th¼ng CD cã ®é dµi lín nhÊt. 3) Çc ®iÓm M, N lÇn luît ch¹y trªn (O) vµ (O’) , ngîc chiÒu nhau sao cho çc

gãc MOA , NO’A b»ng nhau . CMR ®êng trung trùc cña ®o¹n th¼ng MN lu«n ®i qua mét ®iÓm cè ®Þnh .

257

Bµi Iv ( 2®iÓm) : T×m a , b ®Ó hÖ sau cã nghiÖm duy nhÊt.

2

2 2 2 4

xyz z a

xyz z b

x y z

Bµi v ( 1 ®iÓm) : Cho ba sè a , b , c tho¶ m·n : 0 2;0 2;0 2a b c vµ a + b + c = 3.

Chøng minh r»ng : 3 3 3 9a b c

®Ò thi sè 33

N¨m häc 2005 - 2006



Bµi I ( 1,5 ®iÓm) : BiÕt a ,b , c lµ çc sè thùc tho¶ m·n a + b + c = 0 vµ abc 0.

1) Chøng minh 2 2 2 2a b c ab

2) TÝnh gi¸ trÞ cña biÓu thøc

2 2 2 2 2 2 2 2 2

1 1 1P

a b c b c a c a b

Bµi iI ( 1,5 ®iÓm) : T×m çc sè nguyªn d¬ng x , y ,z sao cho :

3 3 31 2 3 36x y z


1) Chøng minh : 3 4 4 1 2x x víi mäi x tho¶ m·n : 1 3

4 4x

2) Gi¶ ph¬ng tr×nh : 23 4 4 1 16 8 1x x x x

Bµi iv ( 4 ®iÓm) : Cho tam gi¸c ®Òu ABC . D vµ E lµ çc ®iÓm lÇn luît n»m trªn çc c¹nh AB vµ AC. §êng ph©n gi¸c cña gãc ADE c¾t E t¹i I vµ ®êng ph©n gi¸c cña gãc AED c¾t AD t¹i K . Gäi S , 1 2 3, ,S S S lÇn lît lµ diÖn tÝch cña çc tam gi¸c ABC , DEI , DEK , vµ

DEA . Gäi H lµ ch©n ®êng vu«ng gãc kÎ tõ I ®Õn DE . Chøng minh :

1) 3

2

S IH

DE AD

2) 3 31 2 S SS S

DE DE AD DE AE

258

3) 1 2S S S

Bµi v ( 1 ®iÓm) : Cho çc sè a , b, c tho¶ m·n : 0 2;0 2;0 2a b c vµ a + b + c = 3.

Chøng minh bÊt ®¼ng thøc : 2ab bc ca

®Ò thi sè 34

N¨m häc 2006 - 2007





2 21 1 10

x y m

x y

( m lµ tham sè )

a) Gi¶i hÖ ph¬ng tr×nh víi m = 4. b) T×m ®Ó hÖ ph¬ng tr×nh cã nghiÖm .


a) BiÕt r»ng 1

5xx

. TÝnh gi¸ trÞ cña biÓu thøc 4

4

1x

x

b) CMR ph¬ng tr×nh sau cã nghÖm víi mäi gi¸ trÞ cña m:

2 2 2

1 1 20

5 11 35x mx x mx x mx


Cho ®a thøc 35 2( ) 2 . 3P x x x . KÝ hiÖu A lµ tæng tÊt c¶ çc hÖ sè cña P(x) vµ B lµ

tæng çc hÖ sè cña çc sè h¹ng bËc lÎ cña P(x) ( sau khi khai triÓn ) . TÝnh A , B.

Bµi Iv ( 3,5®iÓm) : Cho tam gi¸c nhän ABC ,®êng cao AH . §iÓm M di ®éng trªn ®o¹n th¼ng BC ( M kh¸c B vµ C) . §êng trung trùc cña ®o¹n BM c¾t ®êng th¼ng AB t¹i E vµ ®êng trung trùc cña ®o¹n CM c¾t ®êng th¼ng AC t¹i F . Qua M dung ®êng th¼ng Mx vu«ng gãc víi EF . Mx c¾t ®êng trßn t©m E b¸n kÝnh EM t¹i ®iÓm thø hai N .

a) Chøng minh r»ng N n»m trªn ®êng trßn ngo¹i tiÕp tam gi¸c ABC vµ ®êng th¼ng Mx lu«n ®i qua mét ®iÓm cè ®Þnh K .

b) X¸c ®Þnh d¹ng cña tam gi¸c ABC ®Ó KM . KN cã gi¸ trÞ kh«ng ®æi.

Bµi v ( 1,5®iÓm) :

259

CMR tån t¹i çc sè thùc a , b , x , y sao cho a + b = 2 , ax = by = 3 , 2 2 4ax by , 3 3 11ax by .

H·y tÝnh 7 7ax by .

®Ò thi sè 35

N¨m häc 2007 - 2008



260

®Ò thi sè 36

N¨m häc 2007 - 2008

§Ò thi vµo líp 10 PTTH chuyªn nguyÔn bØnh khiªm – vÜnh long

M«n to¸n (®Ò chung) - ( Thêi gian 150’) (S 56 tr 11)

Bµi I ( 2 ®iÓm) : Cho ph¬ng tr×nh víi Èn sè thùc x: x2 - 2(m - 2 ) x + m - 2 =0. (1) T×m m ®Ó ph¬ng tr×nh (1) cã nghiÖm kÐp. TÝnh nghiÖm kÐp ®ã.

Bµi II ( 2 ®iÓm) :

Cho biÓu thøc : 2 1 3 11

93 3

x x xP

xx x

víi x 0 vµ x 9

a) Rót gän biÓu thøc P b) T×m x ®Ó P < 1.

Bµi iiI ( 2 ®iÓm) : Trong n¨m häc 2005-2006 , trêng chuyªn NBK tuyÓn 80 häc sinh vµo hai líp 10 To¸n vµ Tin. BiÕt r»ng nÕu chuyÓn 10 HS cña líp 10 To¸n sang líp 10 Tin th× sè HS cña hai líp b»ng nhau. TÝnh sè HS ban ®Çu cña mçi líp.

Bµi Iv ( 3 ®iÓm) : Cho ®êng trßn t©m O b¸n kÝnh R vµ ®êng trßn t©m O’ b¸n kÝnh R’tiÕp xóc ngoµi víi nhau t¹i A ( R > R’ ). VÏ çc ®êng kÝnh AOB cña ®êng trßn (O) vµ AO’C cña ®êng trßn (O’) . D©y DE cña ®êng trßn (O) vu«ng gãc víi BC t¹i trung ®iÓm K cña BC. a) Chøng minh tø gi¸c BDCE lµ h×nh thoi. b) Gäi I lµ giao ®iÓm cña EC víi ®êng trßn (O’) . Chøng minh ba ®iÓm D, A, I th¼ng hµng. c) Chøng minh KI lµ tiÕp tuyÕn cña ®êng trßn (O’).

Bµi v ( 1 ®iÓm) : Cho nöa ®êng trßn t©m O , ®êng kÝnh BC = 2R . §iÓm A di ®éng trªn nöa ®êng trßn . Gäi H lµ h×nh chiÕu vu«ng gãc cña A trªn BC. Gäi D vµ E lÇn lît lµ h×nh chiÕu vu«ng gãc cña H trªn AC vµ AB. X¸c ®Þnh vÞ trÝ cña A sao cho tø gi¸c AEHD cã diÖn tÝch lín nhÊt.

261

®Ò thi sè 37

N¨m häc 2007 - 2008

§Ò thi vµo líp 10 PTTH chuyªn nguyÔn bØnh khiªm – vÜnh long

M«n to¸n (®Ò chuyªn) - ( Thêi gian 150’) (S59 tr 11)

Bµi I ( 2 ®iÓm) : Cho ph¬ng tr×nh : x2 + 2(m-1) x +2m - 5 =0. (1) a) CMR ph¬ng tr×nh (1) lu«n cã 2 nghiÖm ph©n biÖt víi mäi m. b) T×m m ®Ó 2 nghiÖm 1 2,x x cña (1) tho¶ m·n : 2 2

1 2 14x x .

Bµi Ii ( 2 ®iÓm)

a) CMR : n3 – n + 2 kh«ng chia hÕt cho 6 víi mäi sè tù nhiªn n.

b) Rót gän biÓu thøc :

2 3 3 2 2

: 193 3 3

x x x xP

xx x x

; víi 0, 9x x .

Bµi Iii ( 2 ®iÓm) Mét m¶nh ®Êt h×nh ch÷ nhËt cã diÖn tÝch 360 m2 . NÕu t¨ng chiÒu réng 2m vµ gi¶m chiÒu dµi 6m th× diÖn tÝch m¶nh ®Êt kh«ng ®æi . TÝnh chu vi cña m¶nh ®Êt ban ®Çu?

Bµi Iv ( 3 ®iÓm) Cho ®trßn t©m O , b¸n kÝnh R . Qua ®iÓm A n»m ngoµi ®trßn (O) vÏ ®êng th¼ng d vu«ng gãc víi OA . Trªn d lÊy ®iÓm M kh¸c A . Tõ M vÏ çc tiÕp tuyÕn MP , MP’ víi ®trßn (O) . D©y PP’ c¾t OM , OA lÇn lît t¹i N vµ B . a) CMR tø gi¸c MNBA néi tiÕp . b) Chøng minh OA.OB = OM .ON = R2. c) Cho 0' 60PMP vµ R = 5cm . TÝnh diiÖn tÝch tø gi¸c MPOP’.

Bµi v ( 1 ®iÓm) Cho ABCV . Trªn tia ®èi cña tia AC , BA , CB lÇn lît lÊy çc ®iÓm 1 2 3, ,A A A sao cho

1 1 1, ,AA BC BB CA CC AB . CMR : 1 1 1

6 .ABC BCA CAB ABCS S S S

262

®Ò thi sè 38

N¨m häc 2007 - 2008

§Ò thi vµo líp 10 PTTH n¨ng khiÕu ®hqg tp. Hå chÝ minh

M«n to¸n - ( Thêi gian 150’) (S 55 tr 11)

Bµi I ( 2 ®iÓm) : a) T×m sè gåm hai ch÷ sè biÕt r»ng tæng cña hai ch÷ sè ®ã lµ 7 vµ tæng b×nh ph¬ng cña hai sè ®ã lµ 25. b) Gi¶ sö 1 2,x x lµ nghiÖm cña ph¬ng tr×nh 2 2( 1) 3 0mx m x vµ 1 2x x . TÝnh

3 31 2A x x theo m.


a) Gi¶i hÖ ph¬ng tr×nh : 2 5 5

2 0

x y

y y

b) Gi¶i ph¬ng tr×nh : 12 4 3 3 4x x


Gi¶i ph¬ng tr×nh : 2

2

900 102 48

4 6

x x

x x

Bµi Iv ( 3 ®iÓm) : Cho tam gi¸c ABC c©n t¹i ®Ønh A , ®iÓm I thuéc c¹nh AC sao cho AI = 2 IC.§êng trßn t©m O ngoaÞ tiÕp tam gi¸c BCI c¾t c¹nh AB t¹i K.

a) TÝnh AK

KB.

b) Ph©n gi¸c cña gãc CKB c¾t ®êng trßn (O) tai E ( E kh¸c K) . CMR : .EA KI c) Ph©n gi¸c cña gãc KBC c¾t KE t¹i F. So s¸nh EF vµ EC.

Bµi v ( 2 ®iÓm) Cã 3 vßi níc cïng cung cÊp níc cho mét hå níc c¹n . §óng 8 h, c¶ 3 vßi cïng ch¶y ®ù¬c më, ®Õn 10 giê ngêi ta ®ãng vßi níc thø hai, ®Õn 13giê 40 phót th× hå ®Çy níc.

BiÕt r»ng nÕu mçi vßi ch¶y mét m×nh lµm ®Çy mét phÇn ba hå th× ph¶I mÊt tÊt c¶ 4

149

giê míi ®Çy hå vµ lu lîng cña vßi thø hai lµ trung b×nh céng cña lu lîng cña vßi thø nhÊt vµ vßi thø ba. Hái nÕu mçi vßi níc ®îc më mét m×nh vµo ®óng 8 giê th× ®Õn lóc nµo hå sÏ ®Çy?

®Ò thi sè 39

263

N¨m häc 2007 - 2008

§Ò thi vµo líp 10 PTTH n ¨ng khiÕu ®hqg tp. Hå chÝ minh

M«n to¸n - ( Thêi gian 150’) (T7/07 tr 5)

Bµi I :

Cho ph¬ng tr×nh 2 2 2 1 3

01

x x m m m

x

(1)

a) T×m m ®Ó x = -1 lµ mét nghiÖm cña ph¬ng tr×nh (1) . b) T×m m ®Ó ph¬ng tr×nh (1) v« nghiÖm.

Bµi iI :

a) Gi¶i bÊt ph¬ng tr×nh : 23 1 2 1 7x x x x

b) Gi¶i hÖ ph¬ng tr×nh : 2 3 2 1

2 3 2 1

x y y x x x

y x y y y

Bµi iiI : a) Cho a , b lµ çc sè thùc tho¶ m·n ®iÒu kiÖn 2 2 2 23 2 2 5 7 0.a ab b a b a ab b a b Chøng tá r»ng ab – 12a + 15b = 0 .

b) Cho

2 24 2 1 4 2 2 1

1

x x x x x xA

x x x

H·y t×m tÊt c¶ çc gi¸ trÞ cña x ®Ó A 0 .

Bµi iv : Cho tam gi¸c ABC nhän cã trùc t©m lµ H vµ gãc BAC = 600 . Gäi M , N , p lÇn lît lµ ch©n çc ®êng cao h¹ tõ A , B , C cña tam gi¸c ABC vµ I lµ trung ®iÓm cña BC . a) CMR tam gi¸c INP ®Òu . b) Gäi E vµ K lÇn lît lµ trung ®iÓm cña PB vµ NC . CMR çc ®iÓm I ,M ,E ,K cïng thuéc mét ®êng trßn., c) Gi¶ sö IA lµ ph©n gi¸c cña gãc NIP . H·y tÝnh sè ®o cña gãc BCP.

Bµi v : Mét c«ng ty may giao cho tæ A may 16800 s¶n phÈm , tæ B may 16500 s¶n phÈm vµ b¾t ®Çu c«ng viÖc cïng mét lóc. NÕu sau s¸u ngµy, tæ A ®îc hç trî thªm 10 c«ng nh©n may th× hä hoµn thµnh c«ng viÖc cïng lóc víi tæ B . NÕu tæ A ®îc hç trî 10 c«ng nh©n ngay tõ ®Çu th× hä sÏ hoµn thµnh c«ng viÖc sím h¬n tæ B mét ngµy . H·y x¸c ®Þnh sè c«ng nh©n ban ®Çu cña mçi tæ . BiÕt r»ng mçi c«ng nh©n mçi ngµy may ®îc 20 s¶n phÈm.

®Ò thi sè 40

N¨m häc 2007 - 2008

§Ò thi vµo líp 10

264

PTTH n ¨ng khiÕu ®hqg tp. Hå chÝ minh

M«n to¸n - ( Thêi gian 150’) (T1/08 tr 6)

Bµi I :

a) Gi¶i hÖ ph¬ng tr×nh : 2

2

6 6

9 2

x y x

y xy

b) Cho a = 11 6 2 , 11 6 2b . CMR a, ,b lµ hai nghiÖm cña ph¬ng tr×nh bËc hai víi hÖ sè nguyªn.

c) Cho 3 36 3 10, 6 3 10c d . CMR 2 2,c d lµ hai nghiÖm cña ph¬ng tr×nh bËc hai víi hÖ sè nguyªn.

Bµi Ii : Cho tam gi¸c ABC néi tiÕp trong ®êng trßn . P lµ ®iÓm di ®éng trªn cung BC kh«ng chøa A . H¹ AM , AN lÇn lît vu«ng gãc víi PB vµ PC. a) CMR ®êng th¼ng MN lu«n ®i qua mét ®iÓm cè ®Þnh. b) X¸c ®Þnh vÞ trÝ cña ®iÓm P sao cho biÓu thøc AM . PB + AN . PC ®¹t gi¸ trÞ lín nhÊt.

Bµi Iii : a) Cho a, b , c, d lµ çc sè d¬ng tho¶ m·n ®iÒu kiÖn ab = cd = 1. Chøng minh bÊt ®¼ng thøc ( )( ) 4 2( )a b c d a b c d .

b) Cho a, b , c, d lµ çc sè d¬ng tho¶ m·n ®iÒu kiÖn ab cd = 1> Chøng minh bÊt ®¼ng thøc ( )( ) ( )( )ac bd ad bc a b c d .

Bµi Iv : Cho h×nh thang ABCD cã ®¸y AB vµ CD . BiÕt r»ng ®êng trßn ®êng kÝnh CD ®i qua trung ®iÓm çc c¹nh bªn AD , BC vµ tiÕp xóc víi c¹nh AB. H·y t×m sè ®o çc gãc cña h×nh thang.

Bµi v : a) Cho a, b, c lµ çc sè thùc d¬ng ph©n biÖt cã tæng b»ng 3. CMR trong 3 ph¬ng tr×nh

2 2 22 0; 2 0; 2 0x ax b x bx c x cx a cã Ýt nhÊt mét ph¬ng tr×nh cã hai nghiÖm ph©n biÖt vµ Ýt nhÊt mét ph¬ng tr×nh v« nghiÖm. b) Cho S lµ mét tËp hîp gåm 3 sè tù nhiªncã tÝnh chÊt : tæng hai phÇn tö tuú ý cña S lµ mét sè chÝnh ph¬ng ( VÝ dô S = 5;20;44 hoÆc 10;54;90S lµ çc tËp hîp tho¶ m·n ç

®iÒu kiÖn trªn) . Chøng minh r»ng trong tËp S cã kh«ng qu¸ mèt sè lÎ.

®Ò thi sè 41

N¨m häc 2007 - 2008

§Ò thi vµo líp 10 PTTH chuyªn tØnh th¸I nguyªn


265

Bµi I:

Cho hÖ ph¬ng tr×nh : ( ) ( ) 1

(2 ) (2 ) 2

a b x a b y

a b x a b y

a) Gi¶i hÖ ph¬ng tr×nh víi a = 2 vµ b = 1. b) T×m tÊt c¶ çc gi¸ trÞ cña a , b Z ®Ó hÖ cã nghiÖm x ,y nguyªn.

Bµi iI: Cho biÓu thøc

2 2

2 2 2 2

1 ( ) 2: 1

2 1 1 2

ax a x x a ax xP

ax a x a x ax

a) Víi a=1, h·y rót gän P.

b) H·y t×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña a ®Ó P 1

2 víi mäi x mµ P x¸c ®Þnh.

Bµi iIi: H·y t×m tÊt c¶ çc gi¸ trÞ a, b, c lµ çc sè cïng d¬ng hoÆc cïng ©m sao cho biÓu thøc P ®¹t gi¸ trÞ nhá nhÊt vµ t×m gi¸ trÞ nhá nhÊt ®ã , víi :

2003 2004 2005

1 . 1 . 12004 2005 2003

a b cP

b c a

Bµi iv: Cho tam gi¸c ABC cã gãc A = 300, AB = c, AC = b, M lµ trung ®iÓm BC. Mét ®êng th¼ng (d) quay xung quanh träng t©m G cña tam gi¸c ABC sao cho (d) c¾t ®o¹n AB t¹i ®iÓm P vµ (d) c¾t ®o¹n AC t¹i ®iÓm Q. a) §Æt AP = x, h·y t×m tËp hîp gi¸ trÞ cña x.

b) TÝnh gi¸ trÞ cña biÓu thøc .AB AC

AP AQ

c) H·y t×m gi¸ trÞ nhá nhÊt, gi¸ trÞ lín nhÊt cña diÖn tÝch tam gi¸c APQ theo b , c.

®Ò thi sè 42

N¨m häc 2007 - 2008

§Ò thi vµo líp 10 PTTH chuyªn tØnh th¸I nguyªn

M«n to¸n (®Ò chuyªn) - ( Thêi gian 150’) (S 58 tr 11)

Bµi I:

266

Gi¶i ph¬ng tr×nh : 2( 1) ( 2) 2x x x x x

Bµi Ii: Cho ph¬ng tr×nh bËc hai : 2 22( 1) 1 0x m x m m (x lµ Èn, m lµ tham sè). 1) T×m tÊt c¶ çc gi¸ trÞ cña tham sè m ®Ó ph¬ng tr×nh cã 2 nghiÖm ph©n biÖt ®Òu ©m. 2) T×m tÊt c¶ çc gi¸ trÞ cña tham sè m ®Ó ph¬ng tr×nh cã 2 nghiÖm 1 2,x x tho¶ m·n :

1 2 3x x .

3) T×m tÊt c¶ çc gi¸ trÞ cña tham sè m ®Ó tËp gi¸ trÞ cña hµm sè y = 2 22( 1) 1x m x m m chøa ®o¹n 2;3 .

Bµi Iii:

Cho a, b lµ hai sè tho¶ m·n ®iÒu kiÖn 3 2

2 2 2

2 4 3 0

2 0

a b b

a a b b

H·y tÝnh gi¸ trÞ cña biÓu thøc T = 2 2a b

Bµi IV: Chøng minh r»ng n N ta cã 2 2 6 13 2n n

nB chia hÕt cho 11.

Bµi V: Cho nöa ®êng trßn t©m O , ®êng kÝnh AB . Gäi C lµ ®iÓm chÝnh gi÷a cña cung AB ; M lµ ®iÓm bÊt kú trªn cung BC ( M kh«ng trïng víi B,C). §êng ph©n gi¸c cña gãc COM c¾t AM t¹i I.

1) Gi¶ sö AM ®i qua trung ®iÓm cña d©y cung BC , h·y tÝnh tØ sè AM

BM.

2) T×m quü tÝch ®iÓm I khi M di ®éng trªn cung BC.

®Ò thi sè 43

N¨m häc 2007 - 2008

§Ò thi vµo líp 10 PTTH chuyªn tØnh vÜnh phóc


Bµi I ( 2 ®iÓm) : Cho ph¬ng tr×nh : x2 - 2(m-1) x +2m - 3 =0. a) T×m m ®Ó ph¬ng tr×nh cã 2 nghiÖm tr¸i dÊu. b) T×m m ®Ó ph¬ng tr×nh cã 2 nghiÖm nµy b»ng b×nh ph¬ng nghiÖm kia.

267


a) Rót gän biÓu thøc : 2008 2007 2008 2007

2008 2007 2008 2007M

b) Cho biÓu thøc : 2 1 1

1 1 1

x xN

x x x x x

T×m x ®Ó biÓu thøc N cã nghÜa . Khi ®ã CMR : N < 1

3.

Bµi iiI ( 2 ®iÓm) : a) Hai « t« cïng xuÊt ph¸t tõ hai ®Þa ®iÓm A, B , ®i ngîc chiÒu nhau trªn mét qu·ng ®êng . ¤ t« xuÊt ph¸t tõ A sau khi ®i ®îc mét phÇn ba qu·ng ®êng th× t¨ng vË tèc lªn gÊp ®«i nªn hai « t« gÆp nhau ë chÝnh gi÷a qu·ng ®êng . TÝnh vËn tèc ban ®Çu cña mçi « t« , biÕt r»ng vËn tèc cña « t« xuÊt ph¸t tõ B lín h¬n vËn tèc ban ®Çu cña « t« xuÊt ph¸t tõ A lµ 10 km/h. b) T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña biÓu thøc :

2 1

1A

x x

, víi 0 < x < 1.

Bµi iv ( 2,5 ®iÓm) : Tõ mét ®iÓm M n»m ngoµi ®êng trßn t©m O kÎ çc tiÕp tuyÕn MC , MD víi ®êng trßn ( C, D lµ çc tiÕp ®iÓm ). Mét çt tuyÕn qua M c¾t ®êng trßn (O) t¹i hai ®iÓm A, B ( B n»m gi÷a A vµ M ). Ph©n gi¸c cña gãc ACB c¾t AB ë E . Gäi I lµ trung ®iÓm cña AB. a) CMR : MC = ME. b) CMR : DE lµ ph©n gi¸c cña gãc ADB. c) CMR : CMI CDI .

Bµi v ( 1 ®iÓm) : Cho x , y tho¶ m·n ®iÒu kiÖn : 2 3 3 4x y x y . CMR 3 3 2x y

®Ò thi sè 44

N¨m häc 2007 - 2008

§Ò thi vµo líp 10 PTTH chuyªn §HSp hµ néi


Bµi I:

Cho a > 2 , chøng minh ®¼ng thøc 2 2

2 2

3 ( 1) 4 2 2 1

2 13 ( 1) 4 2

a a a a a a

a aa a a a

268

Bµi iI: Cho hµm sè y = x2, y = -x + 2. 1) X¸c ®Þnh to¹ ®é çc giao ®iÓm A, B cña ®å thÞ hai hµm sè ®· cho vµ to¹ ®é trung ®iÓm I cña ®o¹n th¼ng AB, biÕt r»ng A cã hoµnh ®é d¬ng . 2) X¸c ®Þnh to¹ ®é ®iÓm M thuéc ®å thÞ hµm sè y = x2 sao cho tam gi¸c AMB c©n t¹i M.

Bµi iIi: Cho ph¬ng tr×nh : 2 26 6 0.x x a a 1) Víi gi¸ trÞ nµo cña a th× ph¬ng tr×nh cã nghiÖm. 2) Gi¶ sö 1 2,x x lµ nghiÖm cña ph¬ng tr×nh nµy. H·y t×m gi¸ trÞ cña a sao cho 3

2 1 18x x x

Bµi iv: Cho tam gi¸c ABC c©n t¹i A. Mét ®êng trßn (O) cã t©m O n»m trong tam gi¸c , tiÕp xóc víi AB , AC lÇn lît t¹i X, Y vµ c¾t BC t¹i hai ®iÓm , mét trong hai ®iÓm nµy ®îc ký hiÖu lµ Z. Gäi H lµ h×nh chiÕu vu«ng gãc cña O trªn AZ . CMR : 1) Çc tø gi¸c HXBZ, HYCZ néi tiÕp. 2) HB , HC theo thø tù ®i qua trung ®iÓm cña XZ, YZ.

Bµi iIi:

Gi¶i ph¬ng tr×nh :

22

23 6 3

2

xx x

x

®Ò thi sè 45

N¨m häc 2007 - 2008

§Ò thi vµo líp 10 PTTH chuyªn §HSp hµ néi

M«n to¸n (®Ò chuyªn To¸n + Tin) - ( Thêi gian 150’) (S 61 tr 11)

Bµi I:

Cho biÓu thøc : 4 2

2

1 1: , 7 15

xP Q x x

x x x x x x

víi x > 0 , x 1.

1) Rót gän P. 2) Víi gi¸ trÞ nµo cña x th× Q- 4P ®¹t GTNN?

Bµi Ii: Çc sè x, y tho¶ m·n : 4 2 2 4 4x x y y , 8 4 4 8 8.x x y y

269

H·y tÝnh gi¸ trÞ cña biÓy thøc 12 2 2 12A x x y y

Bµi Iii: 1) T×m tÊt c¶ çc sè nguyªn d¬ng x , y sao cho 2(x + y ) + xy = x2 + y2. 2) Cho tam gi¸c ABC cã ®é dµi çc c¹nh lµ a, b, c tho¶ m·n 2 2 25a b c . Chøng minh r»ng : c < a , c < b .

Bµi IV: Cho ®êng trßn (O) cã t©m O vµ ®iÓm A n»m bªn ngoµi ®êng trßn . Qua A kÎ hai ®êng th¼ng c¾t ®êng trßn (O) t¹i cÊc ®iÓm B, C vµ D, E t¬ng øng ( B n»m gi÷a A vµ C, D n»m gi÷a A vµ E) . §ßng th¼ng qua D vµ song song víi BC c¾t ®êng trßn (O) t¹i ®iÓm thø hai F. §êng th¼ng AF c¾t ®êng trßn (O) t¹i ®iÓm thø hai G. Hai ®êng th¼ng EG vµ BCc¾t nhau t¹i ®iÓm M . CMR: 1) AM2 = MG. ME.

2) 1 1 1

AM AB AC

Bµi v: S¸u ®iÓm ph©n biÖt thuéc mét h×nh ch÷ nhËt cã ®é dµi çc c¹nh lµ 3 cm vµ 4 cm ( çc ®iÓm nµy cã thÓ n»m bªn trong hay trªn c¹nh cña h×nh ch÷ nhËt ) . CMR lu«n tån t¹i hai ®iÓm trong 6 ®iÓm nµy mµ kho¶ng çch gi÷a chóng nhá h¬n hoÆc b»ng 5cm

N¨m häc 2007 2008 ®Ò thi sè 46

§Ò thi vµo líp 10 - PTTH chuyªn §H vinh ( Tg 150’) (T8/07 tr 6)

Vßng 1 Bµi I ( 2 ®iÓm) :

Cho biÓu thøc : 2

1 1 1

4 4 1 1

x x xA

x x x

a) Rót gän A. b) T×m x ®Ó 2A + x = 5

4.

Bµi iI ( 3 ®iÓm) : a) X¸c ®Þnh gi¸ trÞ cña m ®Ó ph¬ng tr×nh sau cã nghiÖm kÐp: 2 2 ( 3) 1 0x x m m

b) Gi¶i hÖ ph¬ng tr×nh: 3 3

4

30

x y

x y xy

Bµi iiI ( 1,5 ®iÓm) : Cho çc sè thùc x,y tho¶ m·n 2 2 6x y . H·y t×m gi¸ trÞ nhá nhÊt vµ gi¸ trÞ lín nhÊt cña

biÓu thøc P = x - 5y .

270

Bµi iv ( 3,5 ®iÓm) : Cho tam gi¸c nhän ABC néi tiÕp trong ®êng trßn t©m O. Gäi AA’, BB’ , CC’ lµ çc ®êng cao vµ H lµ trùc t©m cña tam gi¸c ABC. a) CMR : AA’ lµ ®êng ph©n gi¸c cña gãc B’A’C’. b) Cho gãc BAC = 060 . Chøng minh tam gi¸c AOH lµ tam gi¸c c©n.

Vßng 2 Bµi v ( 3,5 ®iÓm) : a) T×m nghiÖm nguyªn cña ph¬ng tr×nh 5x - 2007y = 1, trong ®ã x (1 ; 3000). b) CMR 3 2 2 35 2 11,n n M víi mäi sè tù nhiªn n.

Bµi vi ( 1 ®iÓm) : X¸c ®Þnh çc sè nguyªn tè p ,q sao cho 2 22p q q vµ 2 22 p pq q lµ çc sè nguyªn tè cïng nhau.

Bµi vii ( 1,5 ®iÓm) : Cho çc sè thùc d¬ng a, b, c tho¶ m·n a + b + c =6.

CMR :5 4 3

61 2 3

b c c a a b

a b c

. DÊu ®¼ng thøc x¶y ra khi nµo?

Bµi viii ( 3 ®iÓm) : Cho ®êng trßn t©m O b¸n kÝnh R vµ mét ®iÓm H n»m trong ®êng trßn . Qua H ta vÏ hai d©y cung AB , CD vu«ng gãc víi nhau.

a) TÝnh 2 2AB CD theo R, biÕt r»ng OH = 2

R.

b) Gäi M, N, P lÇn lît lµ trung ®iÓm cña çc ®o¹n th¼ng AC, BD , OH. CMR: M, N, P th¼ng hµng.

Bµi ix ( 1 ®iÓm) : Trong mét tam gi¸c cã c¹nh lín nhÊt b»ng 2 , ngêi ta lÊy 5 ®iÓm ph©n biÖt . CMR trong 5 ®iÓm ®ã lu«n tån t¹i hai ®iÓm mµ kho¶ng çch gi÷a chóng kh«ng vît qu¸ 1.

®Ò thi sè 47

N¨m häc 2007 - 2008

§Ò thi vµo líp 10 PTTH chuyªn lª quý ®«n - §µ n½ng

M«n to¸n (®Ò chung) - ( Thêi gian 150’) (T 9/07 tr 4)

Bµi I ( 1,5 ®iÓm) :

Cho biÓu thøc : 1x x

A xx

a) T×m ®iÒu kiÖn cña x ®Ó biÓu thøc A cã nghÜa. Víi ®iÒu kiÖn ®ã , h·y rót gän biÓu thøc A. b) T×m x ®Ó A + x - 8 = 0.


Cho hÖ ph¬ng tr×nh : ( 1) 3a x y

ax y a

( a lµ tham sè).

a) Gi¶i hÖ ph¬ng tr×nh khi a = -2. b) X¸c ®Þnh tÊt c¶ çc gi¸ trÞ cña a ®Ó hÖ cã nghiÖm duy nhÊt tho¶ m·n ®iÒu kiÖn x + y > 0.

271


Gi¶i bÊt ph¬ng tr×nh : 10 2 1x x

Bµi Iv ( 2,5 ®iÓm) : Cho ph¬ng tr×nh : mx2 - 5x - ( m + 5) = 0 (1) trong ®ã m lµ tham sè, x lµ Èn. a) Gi¶i ph¬ng tr×nh khi m = 5. b) Chøng tá r»ng ph¬ng tr×nh (1) lu«n cã nghiÖm víi mäi m. c) Trong trêng hîp ph¬ng tr×nh (1) cã hai nghiÖm ph©n biÖt 1 2,x x , h·y tÝnh theo m gi¸

trÞ cña biÓu thøc B = 2 21 2 1 210 3( )x x x x . T×m m ®Ó B = 0.

Bµi v ( 3,5 ®iÓm) : Cho h×nh vu«ng ABCD cã AB = 1 cm . Gäi M, N lµ çc ®iÓm lÇn lît di ®éng trªn çc c¹nh BC vµ CD cña h×nh vu«ng, P lµ ®iÓm n»m trªn tia ®èi cña tia BC sao cho BP = DN. a) CMR tø gi¸c ANCP néi tiÕp ®îc trong mét ®êng trßn. b) Gi¶ sö DN = x cm ( 0 1)x . TÝnh theo x ®é dµi ®êng trßn ngo¹i tiÕp tø gi¸c ANCP. c) CMR: 045MAN khi vµ chØ khi MP = MN. d) KHi M vµ N di ®éng trªn çc c¹nh BC , CD sao cho 045MAN , t×m gi¸ trÞ lín nhÊt vµ gi¸ trÞ nhá nhÊt cña diÖn tÝch tam gi¸c MAN.

®Ò thi sè 48

N¨m häc 2007 - 2008

§Ò thi vµo líp 10 PTTH chuyªn lª quý ®«n - §µ n½ng

M«n to¸n (®Ò chuyªn) - ( Thêi gian 150’) (T 9/07 tr 4)


a) Gi¶i ph¬ng tr×nh : 2 6 6x x

b) Gi¶i hÖ ph¬ng tr×nh : 3 2 5

2 3 0

x y

xy x y

Bµi Ii ( 2 ®iÓm) : a) Cho a lµ sè thùc kh¸c 0 . Gi¶ sö b vµ c lµ hai nghiÖn ( Ph©n biÖt) cña ph¬ng tr×nh

2

2

10.

2x ax

a CMR: 4 4 2 2.b c

b) Víi çc gi¸ trÞ nµo cña çc tham sè m, n th× hµm sè y = mx + n x ®ång biÕn trªn R.

Bµi Iii ( 2 ®iÓm) : a) Cho ph¬ng tr×nh : 2 22 1 0x mx m ( m lµ tham sè ,x lµ Èn sè). T×m tÊt c¶ çc gi¸ trÞ nguyªn cña m ®Ó ph¬ng tr×nh cã hai nghiÖm 1 2,x x tho¶ m·n ®iÒu kiÖn

1 22000 2007x x

b) Cho a, b, c, d R . CMR Ýt nhÊt mét trong 4 ph¬ng tr×nh sau cã nghiÖm

272

2

2

2

2

2 0;

2 0;

2 0;

2 0;

ax bx c

bx cx d

cx dx a

dx ax b

H·y tæng qu¸t ho¸ bµi to¸n.

Bµi Iv( 2 ®iÓm) :

Cho m , n , p , q Z ; n > 0, q > 0 vµ m P

n q .

a) CMR : m km hp p

n kn hq q

víi mäi k, h nguyªn d¬ng .

b) §¶o l¹i, H·y chøng tá r»ng mäi sè h÷u tû trong kho¶ng ;m p

n q

®Òu cã d¹ng

km hp

kn hq

,

víi h, k lµ çc sè nguyªn d¬ng nµo ®ã.

Bµi v( 2 ®iÓm) : a) Cho b¸t gi¸c låi ABCDEFGH néi tiÕp trong ®êng trßn (C) vµ cã AB = BC = GH = HA = 3 cm, CD = DE = EF = FG = 2 cm . H·y tÝnh diÖn tÝch S cña b¸t gi¸c låi ®ã. b) CMR nÕu ®a gi¸c låi (H) cã mäi ®Ønh n»m trong hoÆc n»m trªn ®ßng trßn (C) th× chu vi cña (H) bÐ h¬n chu vi cña (C)

®Ò thi sè 49

N¨m häc 2007 - 2008

§Ò thi vµo líp 10 PTTH chuyªn nguyÔn tr·I - h¶I d¬ng

M«n to¸n - ( Thêi gian 150’) (T 10/07 tr 5)


a) Gäi a lµ nghiÖm d¬ng cña ph¬ng tr×nh 22 1 0x x . Kh«ng gi¶i ph¬ng tr×nh

h·y tÝnh gi¸ trÞ cña biÓu thøc 4 2

2 3

2(2 2 3) 2

aA

a a a

b) T×m çc sè h÷u tû a, b tho¶ m·n 3 2

7 20 33 3a b a b

Bµi Ii ( 1,5 ®iÓm) :

Gi¶i hÖ ph¬ng tr×nh 2 2

2 2

1 1 8 0

1

1 1 4

x y xy

x y

x y

Bµi iiI ( 2,5 ®iÓm) : 1) Cho a, b , c, lµ çc sè d¬ng tho¶ m·n ®¼ng thøc 2 2 2a b ab c . CMR ph¬ng tr×nh 2 2 ( )( ) 0x x a c b c cã hai nghiÖm ph©n biÖt.

2) Cho ph¬ng tr×nh 2 0x x p cã hai nghiÖm d¬ng 1 2,x x . X¸c ®Þnh gi¸ trÞ cña p

khi 4 4 5 51 2 1 2x x x x ®¹t gi¸ trÞ lín nhÊt.

273

Bµi Iv ( 3 ®iÓm) : Cho tam gi¸c nhän ABC ( AB < AC ), hai ®êng cao BD vµ CE c¾t nhau t¹i H ( D trªn c¹nh AC, E trªn c¹nh AB) . Gäi I lµ trung ®iÓm cña BC , ®êng trßn ®i qua B, E, I vµ ®êng trßn ®i qua C, D, I c¾t nhau t¹i K ( K kh¸c I ). 1) CMR : BDK CEK 2) §êng th¼ng DE c¾t BC t¹i M. Chøng minh ba ®iÎm M, H , K th¼ng hµng. 3) Chøng minh tø gi¸c BKDM lµ tø gi¸c néi tiÕp.

Bµi v( 1 ®iÓm) : Cho 19 ®iÓm trong dè kh«ng cã 3 ®iÓm nµo th¼ng hµng n»m trong lôc gi¸c ®Òu cã c¹nh b»ng 1. CMR lu«n tån t¹i mét tam gi¸c cã Ýt nhÊt mét gãc kh«ng lín h¬n 450 vµ n»m trong mét ®êng trßn cã b¸n kÝnh nhá h¬n 3/5 ( ®Ønh cña tam giÊctä böi 3 trong 19 ®iÓm ®· cho)

®Ò thi sè 50

N¨m häc 2007 - 2008

§Ò thi vµo líp 10 PTTH chuyªn to¸n- trêng §hKH huÕ


Bµi I ( 1,5 ®iÓm) :

CMR nÕu a, b,c tho¶ m·n a + b + c = 2007 vµ 1 1 1 1

2007a b c th× mét trong ba sè ®ã ph¶i

cã mét sè b»ng 2007


a) CMR : A = 3

3 32 1

2 13

lµ mét sè nguyªn.

b) Gi¶i hÖ ph¬ng tr×nh : 3 3 2 2

1x y

x y x y

Bµi iiI ( 1 ®iÓm) : Cho hai ®a thøc : 4 3( ) 1, ( ) 1.P x x ax Q x x ax H·y x¸c ®Þnh gi¸ trÞ cña a ®Ó P(x) vµ Q(x) cã nghiÖm chung.

Bµi Iv ( 3 ®iÓm) : Cho h×nh vu«ng ABCD c¹nh lµ a. Trªn hai c¹nh AD vµ CD lÇn lît lÊy çc ®iÓm M vµ N sao cho gãc MBN = 450 . BM vµ BN c¾t AC theo thø tù t¹i E vµ F. a) Chøng tá r»ng M, E , F, N cïng n»m trªn mét ®êng trßn.

274

b) MF vµ NE c¾t nhau t¹i H , BH c¾t MN t¹i I . TÝnh BI theo a ; c) TÝnh vÞ trÝ cña M vµ N sao cho diÖn tÝch tam gi¸c MDN lín nhÊt .

Bµi v ( 1,5 ®iÓm) : Cho a, b, c lµ çc sè d¬ng

a) Chøng minh r»ng 3

2

a b c

b c c a a b

;

b) T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña biÓu thøc : a b c b c c a a b

Ab c c a a b a b c

.

Bµi vI ( 1 ®iÓm) : T×m nghiÖm nguyªn d¬ng cña ph¬ng tr×nh : 5 ( x + y + z) = 4xyz – 24.

®Ò thi sè 51

N¨m häc 2007 - 2008

§Ò thi vµo líp 10 PTTH chuyªn lª quý ®«n – b×nh ®Þnh


Bµi I ( 1,5 ®iÓm) :

Cho x > y vµ xy = 1. CMR : 2 2

2 2x y

x y


Gi¶i çc ph¬ng tr×nh sau:

2

2 2

) 2 ;

) 4 5 1 2 1 9 3

a x x x

b x x x x x

Bµi iii ( 2 ®iÓm) : Chøng minh r»ng nÕu çc sè thùc x, y, a, b tho¶ m·n çc ®iÒu kiÖn x + y = a + b vµ

4 4 4 4x y a b th× n n n nx y a b , víi mäi sè nguyªn d¬ng n.

Bµi Iv ( 3 ®iÓm) : Cho tam gi¸c ABC vu«ng t¹i A . Dùng h×nh ch÷ nhËt MNPQ sao cho M , N lµ çc ®iÓm trªn c¹nh BC , cßn P ,Q lÇn lît lµ çc ®iÓm trªn c¹nh AC , AB . Gäi 1 2 3, ,R R R theo thø tù

lµ b¸n kÝnh ®êng trßn néi tiÕp çc tam gi¸c BQM , CPN , vµ AQP . CMR: a) Tam gi¸c AQP ®ång d¹ng víi tam gi¸c MPQ vµ tam gi¸c MBQ ®ång d¹ng víi tam gi¸c NPC ; b) DiÖn tÝch tø gi¸c MNPQ lín nhÊt khi vµ chØ khi 2 2 2

1 2 3R R R .

275

®Ò thi sè 52

N¨m häc 2007 - 2008

§Ò thi vµo líp 10 PTTH chuyªn hµ tÜnh

M«n to¸n (Vßng 1)- ( Thêi gian 150’) (T 2-08 tr 3)

Bµi I : Cho ph¬ng tr×nh : (m + 1 ) x2

- ( 2m + 3 ) x +2 = 0 , víi m lµ tham sè. a) Gi¶i ph¬ng tr×nh víi m = 1. b) T×m m ®Ó ph¬ng tr×nh cã hai nghiÖm ph©n biÖt sao cho nghiÖm nµy gÊp 4 lÇn nghiÖm kia.

Bµi iI :

a) Gi¶i ph¬ng tr×nh : 22 2 1 4 1x x x

b) Gi¶i hÖ ph¬ng tr×nh : 2 2

2 6

x x y y

y x

Bµi iiI :

Cho x, y tho¶ m·n ®¼ng thøc 2 24 4 4x x y y . TÝnh x +y ?

Bµi Iv : Cho ®êng trßn t©m O ®êng kÝnh AB vµ mét ®iÓm M bÊt kú thuéc ®êng trßn ( M kh¸c A vµ B) . Gäi H lµ h×nh chiÕu vu«ng gãc cña ®iÓm M trªn AB . §êng trßn ®êng kÝnh HM c¾t çc d©y cung MA , MB lÇn lît t¹i P vµ Q . a) CMR : 090PHQ vµ MP . MA = MQ . MB .

b) Gäi E , F lÇn lît lµ trung ®iÓm cña AH , BH . Tø gi¸c EPQF lµ h×nh g× ? c) X¸c ®Þnh vÞ trÝ cña M ®Ó tø gi¸c EPQF cã diÖn tÝch lín nhÊt .

Bµi vI :

276

Cho ba sè d¬ng a , b, c tho¶ m·n a + b + c =1. CMR : 1 1

16.ac bc

®Ò thi sè 53

N¨m häc 2007 - 2008

§Ò thi vµo líp 10 PTTH chuyªn hµ tÜnh

M«n to¸n (Vßng 2)- ( Thêi gian 150’) (T 2-08 tr 3)

Bµi I : a) Gi¶i ph¬ng tr×nh : 4 3 22 4 3 4 0.x x x x b) T×m nh÷ng ®iÓm M(x;y) trªn ®êng th¼ng y = x + 1 cã to¹ ®é tho¶ m·n ®¼ng thøc :

2 3 2 0y y x x

Bµi iI : Çc sè x , y, z kh¸c 0 , tho¶ m·n xy + yz + zx = 0 . TÝnh gi¸ trÞ cña biÓu thøc

2 2 2

yz zx xyP

x y z

Bµi Iii : T×m nghiÖm nguyªn cña ph¬ng tr×nh: 2 2 2 3 2x xy y x y

Bµi Iv :

T×m tÊt c¶ çc bé ba sè d¬ng ( x; y ; z ) tho¶ m·n hÖ:

2008 2007 2006

2008 2007 2006

2008 2007 2006

2

2

2

x y z

y z x

z x y

Bµi v : Tõ mét ®iÓm P n»m ngoµi ®êng trßn t©m O , vÏ hai tiÕp tuyÕn PE , PF tíi ®êng trßn ( E , F lµ çc tiÕp ®iÓm ) . Tia PO c¾t ®êng trßn t¹i A ,B sao cho A n»m gi÷a P vµ O . KÎ EH vu«ng gãc víi FB ( H FB ) . Gäi I lµ trung ®iÓm cña EH . Tia BI c¾t ®êng trßn t¹i M ( M B ) , EF c¾t AB t¹i N . CMR : a) 090EMN .

277

b) §êng th¼n AB lµ tiÕp tuyÕn cña ®êng trßn ®i qua ba ®iÓm P , E , M .

Bµi vi : T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña biÓu thøc

2 2 2x y z

Py z z x x y

trong ®ã x , y , z lµ çc sè d¬ng tho¶ m·n ®iÒu kiÖn x + y + z 4

®Ò thi sè 54

N¨m häc 2007 - 2008

§Ò thi vµo líp 10 PTTH amsterdam vµ chu v¨n an hµ néi

M«n to¸n - ( Thêi gian 150’) (T 3-08 tr 4)

Bµi I (3 ®iÓm) : Cho ph¬ng tr×nh : 2 23 2 2 10 4 0x y xy x y (1)

1) T×m nghiÖm ( x ; y ) cña ph¬ng tr×nh ( 1 ) tho¶ m·n 2 2 10x y 2) T×m nghiÖm nguyªn cña ph¬ng tr×nh (1).

Bµi iI (4 ®iÓm) : Cho ®iÓm A di chuyÓn trªn ®êng trßn t©m O ®êng kÝnh BC = R ( A kh«ng trïng víi B vµ C ) . Trªn tia AB lÊy ®iÓm M sao cho B lµ trung ®iÓm cña AM . Gäi H lµ h×nh chiÕu vu«ng gãc cña A lªn BC vµ I lµ trung ®iÓm cña HC . 1) CMR : M chuyÓn ®éng trªn mét ®êng trßn cè ®Þnh . 2) CMR : AHM ®ång d¹ng víi CIA . 3) CMR : MH AI 4) HM c¾t ®êng trßn (O) t¹i E vµ F , AI c¾t ®êng trßn (O) t¹i ®iÓm thø hai lµ G . CMR tæng çc b×nh ph¬ng çc c¹nh cña tø gi¸c AEGF kh«ng ®æi.

Bµi Iii (1 ®iÓm) : T×m sè nhá nhÊt trong çc sè nguyªn d¬ng lµ béi cña 2007 vµ cã bèn ch÷ sè cuèi cïng lµ 2008.

Bµi Iv (1 ®iÓm) : Cho líi « vu«ng kÝch thíc 5x5 . Ngêi ta ®iÒn vµo mçi « vu«ng cña líi mét trong çc sè -1 ; 0 ; 1 . XÐt tæng cña çc sè tÝnh theo tõng cét , theo tõng hµng vµ theo tõng ®êng chÐo. CMR trong tÊt c¶ çc tæng ®ã lu«n tån t¹i hai tæng cã gi¸ trÞ b»ng nhau.

Bµi v(1 ®iÓm) : TÝnh tæng sau theo n ( *n N ) 1 2 32 2.2 3.2 ... ( 1).2n n nS n n

278

N¨m häc 2008- 2009

®Ò thi sè 55



Bµi I (2 ®iÓm) : Çc c©u díi ®©y , sau mçi c©u cã nªu 4 ph¬ng ¸n tr¶ lêi ( A, B, C, D) , trong ®ã chØ cã mét ph¬ng ¸n ®óng . H·y viÕt vµo bµi lµm cña m×nh ph¬ng ¸n tr¶ lêi mµ em cho lµ ®óng ( ChØ cÇn viÕt ch÷ çi øng víi ph¬ng ¸n tr¶ lêi ®ã ) .

C©u 1: Trªn mÆt ph¼ng to¹ ®é Oxy,cho hai ®êng th¼ng 1 : 2 1d y x vµ 2 : 1d y x . Hai ®êng

th¼ng ®· cho c¾t nhau t¹i ®iÓm cã to¹ ®é lµ :

A . (-2;-3) B. (-3;-2) C. (0;1) D . ( 2;1)

C©u 2: Trong çc hµm sè sau ®©y, hµm sè nµo ®ång biÕn khi x < 0 ?

A . y = -2x B. y = -x + 10 C. y = 33x D . y = 23 2 x

C©u 3: Trªn mÆt ph¼ng to¹ ®é Oxy,cho çc ®å thÞ hµm sè 2 3y x vµ 2y x . Çc ®å thÞ ®· cho c¾t nhau t¹i hai ®iÓm cã hoµnh ®é lÇn lît lµ :

A . 1 vµ -3 B. -1 vµ -3 C. 1 vµ 3 D . -1 vµ 3

C©u 4: Trong çc ph¬ng tr×nh sau ®©y , ph¬ng tr×nh nµo cã tæng hai nghiÖm b»ng 5?

A . 2 5 25 0x x B. 22 10 2 0x x C. 2 5 0x D . 22 10 1 0x x

C©u 5: Trong çc ph¬ng tr×nh sau ®©y , ph¬ng tr×nh nµo cã hai nghiÖm ©m?

A . 2 2 3 0x x B. 2 2 1 0x x C. 2 3 1 0x x D . 2 5 0x

C©u 6: Trong hai ®êng trßn (O,R) vµ (O,R’) cã OO’ = 4 cm; R = 7 cm, R’ = 3 cm. Hai ®êng trßn ®· cho

A . c¾t nhau B. tiÕp xóc trong C. ë ngoµi nhau D . tiÕp xóc ngoµi

C©u 7: Cho ABC vu«ng ë A cã AB = 4 cm; AC = 3 cm. §trßn ngo¹i tiÕp ABC cã b¸n b»ng

A . 5 cm B. 2 cm C. 2,5 cm D . 5 cm

C©u 8: Mét h×nh trô cã b¸n kÝnh ®¸y lµ 3 cm, chiÒu cao lµ 5 cm . Khi ®ã , diÖn tÝch xung quanh cña h×nh trô ®· cho b»ng

A . 30 cm2 B. 30 cm2 C. 45 cm2 D . 15 cm2

Bµi iI (1,5 ®iÓm) :

Cho biÓu thøc 2 1

1 :1 1

x x xP

x x x x

víi x 0.

a) Rót gän P. b) T×m x ®Ó P < 0.

Bµi iII (2 ®iÓm) :

279

Cho ph¬ng tr×nh 2 2 1 0.x mx m a) Gi¶i ph¬ng tr×nh víi m = 2. b) CM : ph¬ng tr×nh lu«n cã hai nghiÖm ph©n biÖt, víi mäi m . H·y x¸c ®Þnh m ®Ó ph¬ng tr×nh

cã nghiÖm d¬ng .

Bµi iV (3 ®iÓm) : Cho ®êng trßn (O,R) cã ®êng kÝnh AB ; ®iÓm I n»m gi÷a hai ®iÓm A vµ O . KÎ ®êng th¼ng vu«ng gãc víi AB t¹i I , ®êng th¼ng nµy c¾t ®êng trßn (O;R) t¹i M vµ N . Gäi S lµ giao ®iÓm cña hai ®êng th¼ng BM vµ AN . Qua S kÎ ®êng th¼ng song song víi MN, ®êng th¼ng nµy c¾t çc ®êng th¼ng AB vµ AM lÇn lît ë K vµ H . H·y chøng minh : a) Tø gi¸c SKAM lµ tø gi¸c néi tiÕp vµ HS.HK = HA.HM . b) KM lµ tiÕp tuyÕn cña ®êng trßn (O;R). c) Ba ®iÓm H , N, B th¼ng hµng.

Bµi V (1,5 ®iÓm) :

a) Gi¶i hÖ ph¬ng tr×nh 2

2

6 12

3

xy y

xy x

b) Gi¶i ph¬ng tr×nh 4 43. 2 2008 2008x x x x

280

N¨m häc 2008- 2009

®Ò thi sè 56

§Ò thi vµo líp 10 ptth tp hµ néi


Bµi I

Cho biÓu thøc 1

:1

x xP

x x x x

1) Rót gän biÓu thøc P 2) TÝnh gi¸ trÞ cña biÓu thøc P khi x = 4

3) T×m x ®Ó P = 13

3

Bµi II : Gi¶i bµi to¸n b»ng çch lËp ph¬ng tr×nh Th¸ng thø nhÊt hai tæ s¶n xuÊt ®îc 900 chi tiÕt m¸y . Th¸ng thø hai tæ I vît møc 15% vµ tæ hai vît møc 10 % so víi th¸ng thø nhÊt , v× vËy hai tæ s¶n xuÊt ®îc 1010 chi tiÕt m¸y .Hái th¸ng thø nhÊt mçi tæ s¶n xuÊt ®îc bao nhiªu chi tiÕt m¸y?

Bµi III :

Trªn hÖ trôc to¹ ®é Oxy, cho Parapol (P) cã ptr×nh lµ : 21

2y x vµ ®êng th¼ng (d)

cã ph¬ng tr×nh y = mx + 1 a) CMR: víi mäi gi¸ trÞ cña m ®êng th¼ng (d) lu«n c¾t Parabol (P) t¹i hai ®iÓm

ph©n biÖt . b) Gäi A ,B lµ hai giao ®iÓm cña (d) vµ (P) .TÝnh diÖn tÝch AOB theo m ( O lµ gèc

to¹ ®é )

Bµi IV: Cho ®trßn (O), ®êng kÝnh AB = 2R vµ E lµ ®iÓm bÊt k× n»m trªn ®êng trßn ®ã ( E kh¸c A vµ B). §êng ph©n gi¸c gãc AEB c¾t ®o¹n th¼ng AB t¹i F vµ c¾t ®êng trßn (O) t¹i ®iÓm thø hai lµ K.

a) Chøng minh KAF ®ång d¹ng KEA . b) Gäi I lµ giao ®iÓm cña ®êng trung trùc ®o¹n EF víi OE. Chøng minh ®êng

trßn (I) b¸n kÝnh IE tiÕp xóc víi ®êng trßn (O) t¹i E vµ tiÕp xóc víi ®êng th¼ng AB t¹i F.

c) Chøng minh MN // AB , trong ®ã M vµ N lÇn lît lµ giao ®iÓm thø hai cña AE , BE víi ®êng trßn (I).

d) TÝnh gi¸ trÞ nhá nhÊt chu vi cña KPQ theo R khi E di chuyÓn trªn ®êng trßn (O), víi P lµ giao ®iÓm cña NE vµ AK, Q lµ giao ®iÓm cña MF vµ BK.

Bµi V: T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña biÓu thøc A biÕt

4 4 2 2

1 3 6 1 3A x x x x

281

Đáp án Đề thi tuyển sinh vào lớp 10 thành phố Hà Nội 2008 - 2009

Câu I. 1. Rút gọn P Điều kiện:

2. Với 3. Tìm x để:

Đặt

Với Với

Vậy nghiệm là : và Câu II . Gọi tháng thứ nhất tổ I sản xuất được x ( chi tiết máy) Do tháng thứ nhất hai tổ sản xuất được 900 chi tiết máy nên tháng thứ hai tổ II sản xuất được 900 – x (chi tiết máy) (Điều kiện: 0< x < 900) Tháng thứ hai tổ I vượt mức 15% nên tổ I sản xuất được số chi tiết máy là: x + x.15%= x.115% (chi tiết máy) (1) Tháng thứ hai tổ II vượt mức 10% nên tổ II sản xuất được số chi tiết máy là: (900 - x) + (900 – x).10% = (900 – x). 110% ( chi tiết máy) (2) Trong tháng hai cả hai tổ sản xuất được 1010 chi tiết máy, nên từ (1) và (2) ta có phương trình:

Vậy tháng thứ nhất tổ I sản xuất được 400 (chi tiết máy)

282

Vậy tháng thứ nhất tổ II sản xuất được: 900 – 400 = 500 (chi tiết máy) Câu III. 1. Phương trình hoành độ giao điểm của (P) và (d) là nghiệm của phương trình:

(1) (1) có hai nghiệm phân biệt với mọi m vì a.c = - 4 < 0 (2) Vậy (d) luôn cắt (P) tại hai điểm phân biệt

2.Phương trình (1) có: Phương trình (1) có 2 nghiệm:

và

Ta chọn: và

Thay vào (d): ta được:

và Gọi A’ và B’ lần lượt là hình chiếu của A và B lên trục Ox Gọi S1 là diện tích của hình thang ABB’A’

Gọi S2 là diện tích của tam giác AOA’

(vì )

Gọi S3 là diện tích của tam giác BOB’

Vậy (vì )

Diện tích:

(đvdt)

283

Câu IV. 1) Xét hai và có: Góc chung (1)

( góc nội tiếp ) (2) Từ (1) và (2) suy ra:

(g.g) 2. Do EK là đường phân giác của góc

nên K là điểm chính giữa của cung AB suy ra Mà OK = OE nên cân tại O

(3)

Mặt khác: I là giao điểm của đường trung trực EF và OE nên IF = IE vậy

cân tại (4)

Từ (3) và (4) suy ra Vậy IF // OK ( Do ) Vậy đường tròn ( I; IE ) tiếp xúc với AB +) Ta có: E, I, O thẳng hàng và OI = OE – IE = R – IE nên đường tròn ( I; IE ) tiếp xúc với (O; R) 3. AE cắt (I) tại M, BE cắt (I) tại N

Mà suy ra MN là đường kính của đường tròn ( I ) nên MN đi qua I

Hơn nữa EF là phân giác của góc Theo chứng minh tương tự câu a ta suy ra Vậy MN // AB 4. Theo đề bài ta có NF cắt AK tại P, MF cắt BK tại Q

Suy ra ( vì hai góc đối đỉnh)

Mà góc ( góc nội tiếp chắn nửa đường tròn ( O ) ) Vậy tứ giác PKQF là tứ giác nội tiếp đường tròn

Suy ra ( vì cùng chắn cung KQ )

Mà ( đối đỉnh)

Mặt khác ( do cùng chắn cung ME và MN // AB )

Hơn nữa ( vì cùng chắn cung AE )

Suy ra và (chắn cung FQ)

Vậy suy ra PKQF là hình chữ nhật

284

Mặt khác: vuông cân tại P Suy ra AP = PF = KQ Suy ra: PK + KQ = AK Mà vuông cân tại K Vậy chu vi tam giác KPQ là:

( do PQ = KF) Vậy trùng với O hay E là điểm chính giữa của cung AB Câu V. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức A

(*) Đặt

Khi đó (*)

(vì )

Vậy

N¨m häc 2008- 2009

®Ò thi sè 57

§Ò thi vµo líp 10 ptth tp Hå chÝ minh


Bµi I Gi¶I çc ph¬ng tr×nh vµ hÖ ph¬ng tr×nh sau : a) 22 3 5 0x x .

285

b) 4 23 4 0x x

c) 2 1

3 4 1

x y

x y

Bµi II : a) VÏ ®å thÞ (P) cña hµm sè y = - x2 vµ ®êng th¼ng (d) y = x - 2 trªn cïng mét hÖ

trôc to¹ ®é . b) T×m to¹ ®é çc giao ®iÓm cña (P) vµ (d) ë c©u trªn b»ng phÐp tÝnh.

Bµi III : Thu gän biÓu thøc sau :

a) 7 4 3 7 4 3A

b) 1 1 2 4 8

.4 4 4

x x x x x xB

x x x x

víi x > 0, x 4

Bµi IV: Cho ph¬ng tr×nh x2 - 2mx - 1 = 0 ( m lµ tham sè ) a) Chøng minh ph¬ng tr×nh trªn lu«n cã hai nghiÖm víi mäi m. b) Gäi 1 2,x x lµ hai nghiÖm cña ph¬ng tr×nh trªn . T×m m ®Ó 2 2

1 2 1 2 7x x x x

Bµi V: Tõ mét ®iÓm M n»m ngoµi ®êng trßn (O) vÏ çt tuyÕn MCD kh«ng ®i qua t©m O vµ hai tuyÕn tuyÕn MA , MB ®Õn ®êng trßn (O) ë ®©y A , B lµ çc tiÕp ®iÓm vµ C n»m gi÷a M vµ D. a) Chøng minh : MA2 = MC.MD b) Gäi I lµ trung ®iÓm cña CD . Chøng minh 5 ®iÓm M, A, O, I, B cïng n»m trªn

mét ®êng trßn . c) Gäi H lµ giao ®iÓm cña AB vµ MO . Chøng minh tø gi¸c CHOD néi tiÕp ®êng

trßn . Suy ra AB lµ ®êng ph©n gi¸c cña gãc CHD. d) Gäi K lµ giao ®iÓm cña çc tiÕp tuyÕn t¹i C vµ D cña ®êng trßn (O) . Chøng

minh 3 ®iÓm A, B, K th¼ng hµng.

Đáp án

KỲ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT NĂM HỌC: 2008 – 2009 TP.HCM Môn thi : TOÁN

Câu 1:

a) có a + b + c = 0 nên có nghiệm là x = 1 hay b) Ðặt , phương trình : (1) thành Phương trình này có dạng a - b + c = 0 nên có nghiệm là t = -1 (loại) hay

. Do đó,

286

c) Câu 2: a) Vẽ đồ thị:

b) Phương trình hoành độ giao điểm của (P) và (D) là nghiệm của phương trình:

Ta có: y(1) = 1 - 2 = -1; y(-2) = -2 - 2 = -4 Tọa độ giao điểm của (D) và (P) là (1; -1); (-2; -4) Câu 3:

a)

b) Điều kiện: x - 4 ≠ 0; x + 4 + 4 ≠ 0; ≠ 0; x 0 x ≠ 4; x > 0 (*) Với điều kiện (*) thì:

Câu 4:

287

a) Ta có : a.c = -1 < 0, phương trình có 2 nghiệm phân biệt trái dấu với

b) Theo định lý Viet ta có

;

với

Câu 5:

a) Chứng minh : Vì tính chất phương tích của tiếp tuyến nên ta có

b) Chứng minh: M, A, O, I, B cùng nằm trên đuờng tròn

Vì nên 3 điểm B, A, I cùng nhìn OM dưới một góc vuông. Vậy 5 điểm B, A, I, M, O cùng nội tiếp đường tròn đường kính OM c) Từ hệ thức lượng trong tam giác vuông ta có:

(c.g.c)

nội tiếp

Ta có: (chứng minh trên)

( cùng chắn cung DO)

Mà (tam giác COD cân tại O)

là phân giác của góc CHD

d) K là trực tâm của tam giác CDO thẳng hàng.

( chắn nửa đường tròn đường kính KO)

Mà Dễ dàng suy ra A, H, K thẳng hàng suy ra A, B, K thẳng hàng.

288

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KỲ THI TUYỂN SINH LỚP 10 TRƯỜNG THPT QUẢNG NAM Năm học 2008 -2009

Môn: TOÁN Thời gian làm bài 120 phút (không kể thời gian giao đề)

I. Phần trắc nghiệm (4, 0 điểm) Chọn ý đúng mỗi câu sau và ghi vào giấy làm bài.Ví dụ: Nếu chọn ý A câu 1 thì ghi 1A.

Câu 1. Giá trị của biểu thức 2(3 5 ) bằng

A. 3 5 B. 5 3 C. 2 D. 3 5 Câu 2. Đường thẳng y = mx + 2 song song với đường thẳng y = 3x 2 khi A. m = 2 B. m = 2 C. m = 3 D. m = 3 Câu 3. x 3 7 khi x bằng

A. 10 B. 52 C. 4 6 D. 14 Câu 4. Điểm thuộc đồ thị hàm số y = 2x2 là A. ( 2; 8) B. (3; 12) C. (1; 2) D. (3; 18) Câu 5. Đường thẳng y = x 2 cắt trục hoành tại điểm có toạ độ là A. (2; 0) B. (0; 2) C. (0; 2) D. ( 2; 0) Câu 6. Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH. Ta có

A. AC

sin BAB

B. AH

sin BAB

C. AB

sin BBC

D. BH

sin BAB

Câu 7. Một hình trụ có bán kính đáy bằng r và chiều cao bằng h. Diện tích xung quanh của hình trụ đó bằng

A. r2h B. 2r2h C. 2rh D. rh Câu 8. Cho hình vẽ bên, biết BC là đường kính của đường tròn (O), điểm A nằm trên

đường thẳng BC, AM là tiếp tuyến của (O) tại M và · 0MBC 65= . Số đo của góc MAC bằng A. 150 B. 250 C. 350 D. 400 II. Phần tự luận (6,0 điểm)

Bài 1. (1,5 điểm) a) Rút gọn các biểu thức: M 2 5 45 2 20= - + ;

1 1 5 1 N

3 5 3 5 5 5

-= - ×

- + -

æ ö÷ç ÷ç ÷çè ø.

b) Tổng của hai số bằng 59. Ba lần của số thứ nhất lớn hơn hai lần của số thứ hai là 7. Tìm hai sè đó.

Bài 2. (1,5 điểm) Cho phương trình bậc hai x2 - 5x + m = 0 (1) với x là ẩn số.

a) Giải phương trình (1) khi m = 6. b) Tìm m để phương trình (1) có hai nghiệm dương x1, x2 thoả mãn 1 2 2 1x x x x 6 .

Bài 3. (3,0 điểm) Cho đường tròn (O) đường kính AB bằng 6cm. Gọi H là điểm nằm giữa A và B sao cho AH = 1cm. Qua H vẽ đường thẳng vuông góc với AB, đường thẳng này cắt đường tròn (O) tại C và D. Hai đường thẳng BC và DA cắt nhau tại M. Từ M hạ đường vuông góc MN với đường thẳng AB (N thuộc đường thẳng AB).

®Ò thi sè 58

A B O

C

M

650

289

a) Chứng minh MNAC là tứ giác nội tiếp.

b) Tính độ dài đoạn thẳng CH và tính tg ·ABC . c) Chứng minh NC là tiếp tuyến của đường tròn (O). d) Tiếp tuyến tại A của đường tròn (O) cắt NC ở E. Chứng minh đường thẳng EB đi qua trung điểm của đoạn thẳng CH.

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

KỲ THI TUYỂN SINH LỚP 10 TRƯỜNG THPT

QUẢNG NAM Năm học 2008 -2009 HƯỚNG DẪN CHẤM MÔN TOÁN

I. Hướng dẫn chung 1) Nếu thí sinh làm bài không theo cách nêu trong đáp án mà vẫn đúng thì cho đủ điểm từng phần như hướng dẫn quy định. 2) Việc chi tiết hóa thang điểm (nếu có) so với thang điểm trong hướng dẫn chấm phải đảm bảo không sai lệch với hướng dẫn chấm và được thống nhất trong Hội đồng chấm thi. 3) Điểm toàn bài lấy điểm lẻ đến 0,25. II. Đáp án và thang điểm 1. Phần trắc nghiệm (4,0 điểm) - HS chọn đúng mỗi câu cho 0,5 điểm. - Đáp án

Câu 1 Câu 2 Câu 3 Câu 4 Câu 5 Câu 6 Câu 7 Câu 8 A C B D A B C D

2. Phần tự luận (6,0 điểm) Bài Đáp án Điểm

a) Biến đổi

M 2 5 3 5 4 5 3 5

1 1 5 1 3 5 (3 5 ) 5 1N

9 53 5 3 5 5 5 5 ( 5 1)

æ ö - + - - -÷ç= - × = ×÷ç ÷÷çè ø -- + - -

2 5 1 1

4 25= × =

0,25đ 0,25đ 0,25đ

1 (1,5đ)

b) Gọi x là số thứ nhất, y là số thứ hai.

Theo đề bài ta có: x y 59

3x 2y 7

ì + =ïïíï - =ïî

Giải hệ phường trình tìm được x = 25, y = 34. Kết luận hai số cần tìm là 25 và 34.

0,25đ 0,25đ 0,25đ

a) Khi m = 6, ta có PT x2 - 5x + 6 = 0 Lập ∆ = 52 - 4.6 = 1 Tìm được hai nghiệm: x1 = 2; x2 = 3

0,25đ 0,5đ

2 (1,5đ)

b) Lập ∆ = 25 - 4m

Phương trình có 2 nghiệm x1, x2 khi ∆ ≥ 0 hay m 25

4

Áp dụng hệ thức Viet, ta có x1 + x2 = 5 ; x1.x2 = m

Hai nghiệm x1, x2 dương khi 1 2

1 2

x x 0

x x 0

ì + >ïïíï >ïî

hay m > 0.

Điều kiện để phương trình có 2 nghiệm dương x1, x2 là

0,25đ

290

0 < m 25

4 (*)

Ta có: ( )2

1 2 1 2 1 2x x x x 2 x .x 5 2 m+ = + + = +

Suy ra 1 2x x 5 2 m+ = +

Ta có 1 2 2 1 1 2 1 2x x x x 6 x .x x x 6

Hay m 5 2 m 6 2m m 5m 36 0 (1)

Đặt t m 0 , khi đó (1) thành: 2t3 + 5t2 - 36 = 0 (t - 2)(2t2 + 9t + 18) = 0 t - 2 = 0 hoặc 2t2 + 9t + 18 = 0 * t - 2 = 0 => t = 2 => m = 4 (thoả mãn (*)). * 2t2 + 9t + 18 = 0 : phương trình vô nghiệm. Vậy với m = 4 thì phương trình đã cho có hai nghiệm dương x1, x2

thoả mãn 1 2 2 1x x x x 6 .

0,25đ 0,25đ

Hình vẽ phục vụ a) Hình vẽ phục vụ b), c), d)

0,25đ 0,25đ

a) Lí luận được · ·0 0ACM 90 , ANM 90= =

Kết luận ANMC là tứ giác nội tiếp.

0.25đ 0.25đ

b) Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông ABC ta có:

CH2 = AH.HB CH = AH.HB 5 (cm)

· CH 5t gABC

HB 5= =

0,5đ 0,25đ

c) Lí luận được: · ·ACN=AMN

· · ·ADC=ABC BCO=

· ·ADC=AMN

Suy ra được · ·ACN=BCO

Lí luận · 0NCO=90 Kết luận NC là tiếp tuyến của đường tròn (O).

0,25đ 0,25đ

3 (3,0đ)

d) Gọi I là giao điểm của BE và CH và K là giao điểm của tiếp tuyến AE và BM. Lí luận được OE//BM. Từ đó lí luận suy ra E là trung điểm của AK

Lý luận được IC IH

EK EA (cùng bằng

BI

BE )

Mà EK = EA

0,25đ 0,25đ

I E

O B

M

N A H

C

D

K

291

Do đó IC = IH. Kết luận: Đường thẳng BE đi qua trung điểm của đoạn thẳng CH.

0,25đ

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KỲ THI TUYỂN SINH LỚP 10 TRƯỜNG THPT CHUYÊN

QUẢNG NAM Năm học 2008-2009 Môn TOÁN Thời gian làm bài 150 phút ( không kể thời gian

giao đề ) Bài 1 ( 1 điểm ):

a) Thực hiện phép tính: 35

126320103

.

b) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức 2008xx .

Bài 2 ( 1,5 điểm ):

Cho hệ phương trình:

5myx3

2ymx

a) Giải hệ phương trình khi 2m . b) Tìm giá trị của m để hệ phương trình đã cho có nghiệm (x; y) thỏa mãn hệ

thức 3m

m1yx

2

2

.

Bài 3 (1,5 điểm ):

a) Cho hàm số 2x2

1y , có đồ thị là (P). Viết phương trình đường thẳng đi

qua hai điểm M và N nằm trên (P) lần lượt có hoành độ là 2 và 1.

b) Giải phương trình: 1xx2x3x3 22 .

Bài 4 ( 2 điểm ): Cho hình thang ABCD (AB // CD), giao điểm hai đường chéo là O. Đường thẳng qua O song song với AB cắt AD và BC lần lượt tại M và N.

a) Chứng minh: 1AB

MO

CD

MO .

b) Chứng minh: .MN

2

CD

1

AB

1

c) Biết 2COD

2AOB nS;mS . Tính ABCDS theo m và n (với CODAOB S,S ,

ABCDS lần lượt là diện tích tam giác AOB, diện tích tam giác COD, diện tích tứ giác

ABCD).

Bài 5 ( 3 điểm ): Cho đường tròn ( O; R ) và dây cung AB cố định không đi qua tâm O; C và D là hai điểm di động trên cung lớn AB sao cho AD và BC luôn song song. Gọi M là giao điểm của AC và BD. Chứng minh rằng:

a) Tứ giác AOMB là tứ giác nội tiếp.

b) OM BC.

®Ò thi sè 59

292

c) Đường thẳng d đi qua M và song song với AD luôn đi qua một điểm cố định.

Bài 6 ( 1 điểm ):

a) Cho các số thực dương x; y. Chứng minh rằng: yxx

y

y

x 22

.

b) Cho n là số tự nhiên lớn hơn 1. Chứng minh rằng n4 4n là hợp số.


QUẢNG NAM Năm học 2008-2009 Môn TOÁN Thời gian làm bài 150 phút ( không kể thời gian

giao đề ) HƯỚNG DẪN CHẤM MÔN TOÁN

I. Hướng dẫn chung: 1) Nếu thí sinh làm bài không theo cách nêu trong đáp án mà vẫn đúng thì cho đủ điểm từng phần như hướng dẫn quy định. 2) Việc chi tiết hóa thang điểm (nếu có) so với thang điểm trong hướng dẫn chấm phải đảm bảo không sai lệch với hướng dẫn chấm và được thống nhất trong Hội đồng chấm thi. 3) Điểm toàn bài lấy điểm lẻ đến 0,25. II. Đáp án:

Bài Nội dung Điểm

a) Biến đổi được:

223

35

)223)(35(

0,25

0,25

1 (1đ)

b) Điều kiện 2008x

4

8031

4

8031)

2

12008x(

4

12008)

4

12008x.

2

1.22008x(2008xx

2

Dấu “ = “ xảy ra khi 4

8033x

2

12008x (thỏa mãn). Vậy giá trị

nhỏ nhất cần tìm là 4

8033xkhi

4

8031 .

0,25 0,25

a) Khi m = 2 ta có hệ phương trình

5y2x3

2yx2

2x2y

5

522x

5y2x3

22y2x2

0,25 0,25

CH NH

293

5

625y

5

522x

0,25 2 (1,5đ)

b) Giải tìm được: 3m

6m5y;

3m

5m2x

22

Thay vào hệ thức 3m

m1yx

2

2

; ta được

3m

m1

3m

6m5

3m

5m22

2

22

Giải tìm được 7

4m

0,25 0,25 0,25

a) Tìm được M(- 2; - 2); N )2

1:1(

Phương trình đường thẳng có dạng y = ax + b, đường thẳng đi qua M và N nên

2

1ba

2ba2

Tìm được 1b;2

1a . Vậy phương trình đường thẳng cần tìm là

1x2

1y

0,25 0,25 0,25

3 (1,5đ)

b) Biến đổi phương trình đã cho thành 01xx2)xx(3 22

Đặt xxt 2 ( điều kiện t 0 ), ta có phương trình 01t2t3 2

Giải tìm được t = 1 hoặc t = 3

1 (loại)

Với t = 1, ta có 01xx1xx 22 . Giải ra được 2

51x

hoặc 2

51x

.

0,25 0,25 0,25

Hình vẽ

O

A B

CD

NM

0,25

a) Chứng minh được AD

MD

AB

MO;

AD

AM

CD

MO

Suy ra 1AD

AD

AD

MDAM

AB

MO

CD

MO

(1)

0,25

294

0,50

b) Tương tự câu a) ta có 1AB

NO

CD

NO (2)

(1) và (2) suy ra 2AB

MN

CD

MNhay2

AB

NOMO

CD

NOMO

Suy ra MN

2

AB

1

CD

1

0,25 0,25

4 (2đ)

c)

n.mSn.mS

S

S

S

S

OC

OA

OD

OB;

OC

OA

S

S;

OD

OB

S

S

AOD222

AOD

COD

AOD

AOD

AOB

COD

AOD

AOD

AOB

Tương tự n.mSBOC . Vậy 222ABCD )nm(mn2nmS

0,25

0,25 Hình vẽ (phục vụ câu a)

OI

C

D

M

B

A

0,25

a) Chứng minh được: - hai cung AB và CD bằng nhau

- sđ góc AMB bằng sđ cung AB Suy ra được hai góc AOB và AMB bằng nhau O và M cùng phía với AB. Do đó tứ giác AOMB nội tiếp

0,25 0,25 0,25 0,25

b) Chứng minh được: - O nằm trên đường trung trực của BC (1) - M nằm trên đường trung trực của BC (2) Từ (1) và (2) suy ra OM là đường trung trực của BC, suy ra

BCOM

0,25 0,25 0,25

5 (3đ)

c) Từ giả thiết suy ra OMd Gọi I là giao điểm của đường thẳng d với đường tròn ngoại tiếp tứ giác AOMB, suy ra góc OMI bằng 090 , do đó OI là đường kính của đường tròn này Khi C và D di động thỏa mãn đề bài thì A, O, B cố định, nên đường tròn ngoại tiếp tứ giác AOMB cố định, suy ra I cố định. Vậy d luôn đi qua điểm I cố định.

0,25 0,25 0,25 0,25

a) Với x và y đều dương, ta có yxx

y

y

x 22

(1)

0)yx)(yx()yx(xyyx 233 (2)

(2) luôn đúng với mọi x > 0, y > 0. Vậy (1) luôn đúng với mọi 0y,0x

0,25 0,25

295

6 (1đ)

b) n là số tự nhiên lớn hơn 1 nên n có dạng n = 2k hoặc n = 2k + 1, với k là số tự nhiên lớn hơn 0. - Với n = 2k, ta có k24n4 4)k2(4n lớn hơn 2 và chia hết cho 2.

Do đó n4 4n là hợp số. -Với n = 2k+1, tacó 2k2k22k4k24n4 )2.n.2()4.2n()4.2(n4.4n4n

= (n2 + 22k+1 + n.2k+1)(n2 + 22k+1 – n.2k+1) = [( n+2k)2 + 22k ][(n – 2k)2 + 22k ]. Mỗi thừa số đều lớn hơn hoặc bằng 2. Vậy n4 + 4n là hợp số

0,25

0,25

======================= Hết =======================

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KỲ THI TUYỂN SINH LỚP 10 TRƯỜNG THPT

CHUYÊN QUẢNG NAM Năm học 2008-2009

Môn TOÁN ( Dành cho học sinh chuyên Tin)

Thời gian làm bài 150 phút ( không kể thời gian giao đề )

Bài 1 (1,5 điểm ):

a) Thực hiện phép tính: 35

126320103

.

b) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức 2008xx .

Bài 2 (2 điểm ):

Cho hệ phương trình:

5myx3

2ymx

a) Giải hệ phương trình khi 2m .

b) Tìm giá trị của m để hệ phương trình đã cho có nghiệm (x; y) thỏa mãn hệ

thức 3m

m1yx

2

2

.

Bài 3 (2 điểm ):

a) Cho hàm số 2x2

1y , có đồ thị là (P). Viết phương trình đường thẳng đi

qua hai điểm M và N nằm trên (P) lần lượt có hoành độ là 2 và 1.

b) Giải phương trình: 1xx2x3x3 22 .

®Ò thi sè 60

296

Bài 4 ( 1,5 điểm ):

Cho hình thang ABCD (AB // CD), giao điểm hai đường chéo là O. Đường thẳng qua O song song với AB cắt AD và BC lần lượt tại M và N.

a) Chứng minh: 1AB

MO

CD

MO .

b) Chứng minh: .MN

2

CD

1

AB

1

Bài 5 ( 3 điểm ):

Cho đường tròn ( O; R ) và dây cung AB cố định không đi qua tâm O; C và D là hai điểm di động trên cung lớn AB sao cho AD và BC luôn song song. Gọi M là giao điểm của AC và BD. Chứng minh rằng:

a) Tứ giác AOMB là tứ giác nội tiếp.

b) OM BC.

c) Đường thẳng d đi qua M và song song với AD luôn đi qua một điểm cố định.

======================= Hết =======================


QUẢNG NAM Năm học 2008-2009 Môn TOÁN

(Dành cho học sinh chuyên Tin) Thời gian làm bài 150 phút ( không kể thời gian

giao đề ) HƯỚNG DẪN CHẤM MÔN TOÁN

I. Hướng dẫn chung: 1) Nếu thí sinh làm bài không theo cách nêu trong đáp án mà vẫn đúng thì cho đủ điểm từng phần như hướng dẫn quy định. 2) Việc chi tiết hóa thang điểm (nếu có) so với thang điểm trong hướng dẫn chấm phải đảm bảo không sai lệch với hướng dẫn chấm và được thống nhất trong Hội đồng chấm thi. 3) Điểm toàn bài lấy điểm lẻ đến 0,25. II. Đáp án:

Bài Nội dung Điểm

a) Biến đổi được:

223

35

)223)(35(

0,50

0,25

1 (1,5đ)

b) Điều kiện 2008x

H v tên thí sinh: S báo danh: ..

CH NH

297

4

8031

4

8031)

2

12008x(

4

12008)

4

12008x.

2

1.22008x(2008xx

2

Dấu “ = “ xảy ra khi 4

8033x

2

12008x (thỏa mãn). Vậy giá trị

nhỏ nhất cần tìm là 4

8033xkhi

4

8031 .

0,50 0,25

a) Khi m = 2 ta có hệ phương trình

5y2x3

2yx2

2x2y

5

522x

5y2x3

22y2x2

5

625y

5

522x

0,25 0,25 0,25 0,25

2 (2đ)

b) Giải tìm được: 3m

6m5y;

3m

5m2x

22

Thay vào hệ thức 3m

m1yx

2

2

; ta được

3m

m1

3m

6m5

3m

5m22

2

22

Giải tìm được 7

4m

0,50 0,25 0,25

a) Tìm được M(- 2; - 2); N )2

1:1(

Phương trình đường thẳng có dạng y = ax + b, đường thẳng đi qua M và N nên

2

1ba

2ba2

Tìm được 1b;2

1a .

Vậy phương trình đường thẳng cần tìm là 1x2

1y

0,25 0,25

0,25 0,25

3 (2đ)

b) Biến đổi phương trình đã cho thành 01xx2)xx(3 22

Đặt xxt 2 ( điều kiện t 0 ), ta có phương trình 01t2t3 2

Giải tìm được t = 1 hoặc t = 3

1 (loại)

0,25

0,25

0,25

298

Với t = 1, ta có 01xx1xx 22 . Giải ra được 2

51x

hoặc 2

51x

.

0,25

Hình vẽ

O

A B

CD

NM

0,25

a) Chứng minh được AD

MD

AB

MO;

AD

AM

CD

MO

Suy ra 1AD

AD

AD

MDAM

AB

MO

CD

MO

(1)

0,25 0,50

4 (1,5đ) b) Tương tự câu a) ta có 1

AB

NO

CD

NO (2)

(1) và (2) suy ra 2AB

MN

CD

MNhay2

AB

NOMO

CD

NOMO

Suy ra MN

2

AB

1

CD

1

0,25 0,25

Hình vẽ (phục vụ câu a)

OI

C

D

M

B

A

0,25

a) Chứng minh được: - hai cung AB và CD bằng nhau

- sđ góc AMB bằng sđ cung AB Suy ra được hai góc AOB và AMB bằng nhau O và M cùng phía với AB. Do đó tứ giác AOMB nội tiếp

0,25 0,25 0,25 0,25

b) Chứng minh được: - O nằm trên đường trung trực của BC (1) - M nằm trên đường trung trực của BC (2) Từ (1) và (2) suy ra OM là đường trung trực của BC, suy ra

BCOM

0,25 0,25 0,25

5 (3đ)

c) Từ giả thiết suy ra OMd Gọi I là giao điểm của đường thẳng d với đường tròn ngoại tiếp tứ giác AOMB, suy ra góc OMI bằng 090 , do đó OI là đường kính của

0,25 0,25

299

đường tròn này. Khi C và D di động thỏa mãn đề bài thì A, O, B cố định, nên đường tròn ngoại tiếp tứ giác AOMB cố định, suy ra I cố định. Vậy d luôn đi qua điểm I cố định.

0,25 0,25

======================= Hết =======================

®Ò thi sè 61

Đề thi tuyển sinh lớp 10 PTNK năm học 2008-2009_Môn toán AB

Thời gian : 150'

Câu 1. Cho phươhg trình : (1) a) Giải phương trình khi b)Tìm tất cả các giá trị của để phương trình (1) có nghiệm. Câu 2. a)Giải phương trình :

b) giải hệ phương trình : Câu 3. a) chứng minh rằng giá trị của biểu thức sau không phụ thuộc vào biến x (x > 1)

b) Cho a , b , c là các số thực khác 0 thoả mản điều kiện :

Chứng minh rằng : Câu 4. Cho tứ giác có góc A nhọn và 2 đường chéo AC , BD vuông góc vói nhau tại là trung điểm và là trực tâm tam giác .

a) Hãy tính tỉ số : PM

DH

b)Gọi N, Klần lượt là chân đường cao kẻ từ B và D của tam giác ; Q là giao điểm của hai đường và . CMR : MN = MQ . c) Chừng minh rằng tứ giác BQNK nội tiÕp được.

300

Câu 5. Một nhóm học sinh cần chia đều một lương kẹo thành các phần quà để tặng các em nhỏ ở một đơn vị trẻ mồ côi. Nếu mỗi phần quà giảm đi viên thì các em có thêm 5 phần quà , nếu giam đi 10 viên mỗi phần quà thì có thêm 10 phần quà. HỎi số kẹo mà nhóm học sinh này có.

Education

150 de toan thi vao lop 10