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AMH XXII CONGRESO NACIONAL DE HIDRÁULICA ACAPULCO, GUERRERO, MÉXICO, NOVIEMBRE 2012

AMH

MÉTODOS PARA EL CÁLCULO DE TIRANTES NORMALES Y CRÍTICOS

Jiménez Castañeda Amado Abel, Luna Reyes Aldo y Berezowsky Verduzco Moisés

Instituto de Ingeniería, Universidad Nacional Autónoma de México

Circuito Escolar, Ciudad Universitaria, 04510, México, D. F.

E-mail: [email protected]; [email protected]; [email protected]

Introducción

En estudios de hidráulica de canales es común que se requiera

hacer el cálculo del tirante normal; por ejemplo, en el diseño

hidráulico de un canal se dispone de los datos siguientes: la

forma de la sección transversal del canal, la pendiente de la

plantilla, el coeficiente de rugosidad de Manning y el caudal

de diseño; primero, con estos datos y alguno de los métodos

del diseño hidráulico del canal, se obtiene una de las

dimensiones del canal, por ejemplo el ancho de la plantilla;

después, se calcula el tirante normal requerido para el caudal

de diseño.

Otro de los estudios clásicos donde se requiere hacer el

cálculo del tirante normal se tiene cuando se hace el estudio

del funcionamiento hidráulico de un canal, donde se requiere

conocer los tipos de perfiles hidráulicos que se presentan en

toda su longitud; para ello es necesario calcular tanto el tirante

normal como el tirante crítico. Además, en este tipo de

estudios es común que al menos una de las secciones de

control este asociada al régimen crítico. Por ello, las dos partes

fundamentales de este trabajo se dedican al cálculo del tirante

normal y del tirante crítico.

Tradicionalmente, se dispone de varios métodos que permiten

hacer el cálculo de los tirantes normal y crítico, los cuales se

basan en el empleo de tablas y gráficas que están incluidas en

casi todos los libros de hidráulica de canales; sin embargo, la

precisión que se obtiene con estos métodos no es adecuada.

También se dispone de métodos numéricos tradicionales que

se recomiendan para hacer el cálculo de los tirantes crítico y

normal, los cuales se dice que en la actualidad ya no se

emplean debido a que se dispone de modelos matemáticos que

permiten hacer el cálculo de manera sencilla, y cuyos

resultados tienen excelente aproximación. Dos herramientas

numéricas clásicas de este tipo son las hojas de cálculo y el software matemático. Sin embargo, la experiencia adquirida

en la docencia y la práctica profesional de los autores del

presente trabajo, indica que es conveniente disponer de

métodos alternativos para este tipo de cálculos; por ello, en

este trabajo se incluyen varios métodos con los que se

obtienen excelentes resultados, y tan sencillos de emplear que

solo se necesita una calculadora de bolsillo para su aplicación.

Se aclara que la mayoría de las fórmulas y métodos de cálculo

que se incluyen en este trabajo son de los años 2010 y 2011;

estos métodos se escogieron al hacer una revisión del estado

del arte con respecto a métodos de cálculo de tirantes

normales y críticos.

Cálculo del tirante normal

En casi todo el continente americano, y también a nivel

mundial, se emplea la fórmula de Manning para calcular la

velocidad media del flujo en un canal con régimen uniforme;

esta conocida expresión se escribe como:

donde , es la velocidad media del flujo, en m/s; , el radio

hidráulico, en m; , la pendiente de la plantilla del canal,

adimensional; y , el coeficiente de rugosidad de Manning.

Al multiplicar la ec. (1) por la correspondiente área hidráulica

se obtiene una ecuación, conocida como la ecuación de

continuidad para un flujo unidimensional en un canal con

régimen permanente y uniforme, la cual se expresa como:

donde , es el gasto, en m3/s y , el área hidráulica, en m2.

Es conveniente recordar que el tirante normal es aquel que se

presenta en un canal con flujo a superficie libre, en régimen

uniforme, y que satisface la ec. , por lo que para su cálculo

se requiere resolver dicha ecuación; esto indica que se

requiere resolver una ecuación del tipo no lineal e implícita;

para ello se dispone de métodos numéricos del tipo recursivo y

también de ecuaciones ajustadas del tipo explícito, cuya

solución no es matemáticamente exacta, pero los resultados

obtenidos tienen excelente aproximación.

Sección rectangular

Para este caso se dispone de dos métodos que emplean

fórmulas explícitas y un método numérico bastante sencillo.

Método propuesto por Terzidis-Srivastava (2008)

Terzidis (2005) publicó un método que emplea expresiones

del tipo explícito para calcular el tirante normal en canales de

sección rectangular, y Srivastava (2008) indica que hizo

algunas adecuaciones a esas expresiones, con las que propone

la metodología de cálculo siguiente:


AMH

1. Se calcula el parámetro

donde es el ancho de la plantilla del canal, en m.

2. Se obtiene el parámetro


4. Se obtiene el valor del tirante normal, en m

Método propuesto por Vatankhah y Easa (2011)

1. Se obtiene el parámetro

2. Se calcula

3. Se obtiene el valor del tirante normal

Con esta expresión se obtienen errores menores que el 0.08%,

por lo que se considera que es bastante precisa.

Ecuación recursiva propuesta por Knight et al (2010)

En Knight et al (2010) se presenta una expresión del tipo

recursivo para calcular el tirante normal en una sección

transversal de forma trapecial. Esa misma expresión se

simplifica para el caso de una sección rectangular, puesto que

, donde es el talud de la pared lateral del canal,

adimensional. Así, la expresión simplificada se expresa de la

manera siguiente:

donde el superíndice es un contador de las iteraciones.

Un criterio de convergencia comúnmente empleado para

suspender el proceso iterativo es cuando se cumple la

condición siguiente:

Este mismo criterio es válido para las otras fórmulas

recursivas que se incluyen en el presente trabajo. Este método

se distingue porque con pocas iteraciones se obtiene una

solución tan precisa como sea requerida por el usuario. El

método permite que el valor inicial propuesto sea inclusive

Sección trapecial

Para canales de sección trapecial se dispone de un método que

emplea expresiones del tipo explícito, y otro que es numérico

del tipo recursivo.


En Srivastava (2008) se presenta un método del tipo explícito

para calcular el tirante normal en canales de sección

transversal de forma trapecial. Este autor aclara que el método

se basa en el presentado por Terzidis (2005), con una

adecuación sencilla propuesta por Srivastava; la metodología

de cálculo es la siguiente:


2. Se calcula

3. Se obtiene

4. Se calcula

5. Se calcula el tirante normal

Al aplicar este método se ha observado que el error máximo es

menor que 0.01%, por lo que es ampliamente recomendado en

aplicaciones prácticas.


AMH


Este método emplea la expresión recursiva siguiente:

Para comenzar el proceso iterativo es necesario proponer un

valor inicial del tirante, por ejemplo, . El proceso

iterativo se suspende cuando se cumple con el criterio de

convergencia ya citado.

Sección circular

Método propuesto por Srivastava (2008)

Para una sección de forma circular, se recomienda la

expresión del tipo explícito siguiente:

donde

y es el diámetro del conducto, en m.

Esta expresión es válida para tirantes normales que tienen un

porcentaje de llenado menor que 0.94, y el error en el tirante

normal calculado es menor que el 0.85%.

Cálculo del tirante crítico

El tirante crítico, , se obtiene al resolver la ecuación general

del tirante crítico, la cual se expresa como:

donde , es el área hidráulica del tirante crítico, en m2; , el

ancho de la superficie libre del agua, en m; g, la aceleración de

la gravedad, en m/s2.

También esta ecuación es del tipo no lineal e implícita cuando

se requiere calcular el tirante para secciones transversales de

forma trapecial y circular.

Sección trapecial

Para este tipo de sección se dispone de dos expresiones del

tipo explícito y un sencillo método numérico, del tipo

recursivo.

Ecuación propuesta por Swamee (1993)

La fórmula propuesta, que es del tipo explícito, es la siguiente:

Los resultados obtenidos con esta expresión tienen errores

menores que el 2%.

Ecuación explicita propuesta por Vatankhah y Easa

(2011)

El error relativo máximo en porcentaje que se obtiene con esta

expresión es menor que 0.27 %.


En el caso particular de que se requiera mayor precisión en el

cálculo del tirante crítico de una sección trapecial, se

recomienda emplear el método numérico recursivo de Punto

Fijo que se basa en la expresión siguiente:

Para utilizar la ec. (12) se requiere proponer un valor inicial

del tirante; en este caso se puede proponer un valor inicial de

cero, es decir, , sin embargo, al proponer como valor

inicial del tirante calculado con la ec. (10), el número de

iteraciones para obtener un valor bastante preciso del tirante

crítico es del orden tres. El criterio tradicional de convergencia

para suspender el proceso iterativo es el mismo que ya se citó.

Sección circular


Aunque esta expresión ya tiene casi veinte años de haber sido

publicada, se considera que es útil presentarla por su sencillez

y su amplio rango de aplicación, que es desde el 2 hasta el

100% del porcentaje de llenado.


AMH

Los resultados obtenidos con esta expresión son bastante

precisos, ya que el error que se obtiene al emplearla es menor

que 1.27%, lo cual es comúnmente aceptado en la práctica

profesional.


(2011)

Esta expresión, del tipo explícito, es de las más recientemente

publicadas. El rango de aplicación es desde el 1 hasta el 100%

del porcentaje de llenado.

Los resultados obtenidos con esta expresión tienen un error

menor que 0.27%, por lo que se considera que es bastante

precisa.

Ejemplos de aplicación para el cálculo del tirante normal

Calcular el tirante normal que se tiene con un gasto de

, en los canales cuyas características se indican a

continuación. Considerar ; y .

Sección rectangular con ancho de plantilla .


1. Se calcula el parámetro con la ec.

2. Se calcula con la ec.


4. Se obtiene el tirante normal con la ec.


1. Se obtiene el parámetro con la ec.


3. Se obtiene el valor del tirante normal con la ec.


Al sustituir los correspondientes valores en la ec se

obtiene

Los valores obtenidos al emplear la expresión anterior en

forma recursiva se reportan en la tabla siguiente:

Tabla 1. Cálculo del tirante normal con la ec.

0.0 0.6246 0.6246

0.6246 0.7180 0.0934

0.7180 0.7304 0.0124

0.7304 0.7321 0.0017

0.7321 0.7323 0.0002

Se suspenden las iteraciones con ya que se

cumple la condición de convergencia siguiente:

La comparación de los resultados obtenidos con los métodos

anteriores se incluye en la tabla siguiente, donde el caudal se

obtiene al emplear la ec. , mientras que es el error

relativo.


AMH

Tabla 2. Comparación de resultados

Método o ecuación

Terzidis - Srivastava 0,7323 4,9999 0,002

Vatankhah y Easa 0,7326 5,0028 0,056

Knight 0,7323 4,9999 0,002

Sección trapecial con y


1. Se calcula el parámetro con la ec

2. Se calcula la variable

3. Con la ec se obtiene

4. Se obtiene con la ec

5. Se calcula con la ec

6. Se calcula el tirante normal con la ec


Mediante la expresión recursiva

Tabla 3. Cálculo del tirante normal con la ec. (7)

0.0 0.6246 0.6246

0.6246 0.5738 0.0508

0.5738 0.5785 0.0047

0.5785 0.5781 0.0004

Se suspenden las iteraciones, ya que para se

cumple que . En este caso particular,

los dos métodos dan resultados prácticamente iguales. En la

tabla siguiente se presenta la comparación de los resultados al

emplear los correspondientes métodos, donde se nota que la

aproximación es excelente.


Método o ecuación

Terzidis-Srivastava 0.5781 4.9997 0.006

Knight 0.5781 4.9997 0.006

Sección circular con diámetro


Se calcula con la ec. (8b)


AMH

Al Sustituir el parámetro anterior en la ec. se obtiene

Ejemplos de aplicación para el cálculo del tirante crítico Calcular el tirante crítico que se tiene con un gasto de

, en los canales cuyas características se indican a

continuación. Considerar .

Sección trapecial, y


Mediante la ec.


(2011)

Se calcula la variable

Al emplear la ec. se obtiene


Con base en la ec. recursiva

Tabla 5. Cálculo del tirante normal con la ec.

0.0 0.6567 0.6567

0.6567 0.5632 0.0934

0.5632 0.5754 0.0122

0.5754 0.5738 0.0016

0.5738 0.5740 0.0002

Se suspenden las iteraciones ya que se cumple para

que .

Una forma alternativa de revisar la aproximación de cada

método, se basa en emplear el valor del tirante crítico para

calcular el gasto con la ec. .


Ecuación

Swamme 0.5647 4.8635 2.730

Vatankhah y Easa 0.5739 4.9986 0.028

Knight 0.5740 5.0003 0.006

Sección circular con diámetro


Con base en la ec.


(2011)

Se calcula la variable


AMH

Mediante la ec.


Ecuación

Swamme 0.9594 5.0917 1.834

Vatankhah y Easa 0.9495 4.9904 0.192

Conclusiones

En este trabajo se reportan varios métodos para el cálculo del

tirante crítico y el tirante normal de secciones transversales de

forma rectangular, trapecial y circular, las cuales son

ampliamente empleadas en estudios de hidráulica de canales.

La mayoría de estos métodos fueron publicados en los últimos

años. Unos métodos se basan en ecuaciones ajustadas del tipo

explícito, y otros emplean ecuaciones sencillas del tipo

recursivo. La aproximación que se obtiene en los resultados al

emplear cualquiera de estos métodos es excelente.

Se considera que estos métodos son de gran utilidad tanto en

la docencia como en la práctica profesional.

Referencias

1.- Knight W.R., Gahey MC.C., Lamb R. and Samuels G.P. (2010). Practical channel hydraulics. CRC Press. UK.

2.- Srivastava, R. (2008). Flow Through Open Channels.

Oxford University Press. India.

3.- Swamme, P.K. (1993). “Critical depth equations for

irrigation canals”. Journal of Irrigation and Drainage

Engineering, ASCE, Vol. 119 (2), pp. 400-409.

4.- Terzidis, G.A. (2005). “Explicit method to calculate the

normal depth of trapezoidal open channel”. Greece.

5.- Vatankhah, R.A. and Easa, M.S. (2011). “Explicit

solutions for critical and normal depths in channels with

different shapes”. Journal of Flow Measurement and

Instrumentation Vol. 22, 2011, pp. 43-49.

Reconocimientos

Se agradece al personal de la Unidad de Servicios de

Información, del Instituto de Ingeniería, UNAM, por su apoyo

para obtener la mayor parte de las publicaciones que se

incluyen en las referencias del presente trabajo.

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