Augstāku kārtu atvasinājumi un diferenciāļi

y’ = f’(x) – pirmās kārtas atvasinājumsy’’ = (y’)’ = (f’(x))’ = f’’(x)y’’’ = (y’’)’ = (f’’(x))’ = f’’’(x)y(n) = (y(n – 1))’ = (f(n – 1)(x)); = f(n)(x)

Otrās kārtas atvasinājumu apzīmē y’’, f’’(x) vai

2

2

dx

yd

Otrās kārtas atvasinājums mehāniskā interpretācija

X = x(t) – materiāla punkta taisnvirziena kustības likums

Funkcijas x(t) atvasinājums x’(t) = v(t) – punkta momentānais ātrums, laika funkcija

v = v(t + t) – v(t) – momentānā ātruma pieaugums laika intervālā t

materiālā punkta vidējaispaātrinājums intervālā t

vidat

y

Otrās kārtas atvasinājums mehāniskā interpretācija

Materiāla punkta paātrinājums a laika momentā t ir vidējā paātrinājums robeža, kad t 0

Tā kā v = xt’, tad a = vt’ = (xt’)t’ = xtt’’

Ja x = x(t) ir materiāla punkta taisnvirziena kustības likums, tad punkta momentānais ātrums ir funkcijas x(t) otrās kārtas atvasinājums

'limlim00

tt

vidt

vt

vaa

FUNKCIJU PĒTĪŠANA

1. Noteikt funkcijas definīcijas apgabalu, pārtraukuma punktus un nepārtrauktības intervālus.

2. Noteikt funkcijas paritāti, un vai funkcija ir periodiska.

3. Noteikt grafika krustpunktus ar koordinātu asīm un intervālus, kuros funkcija ir pozitīva, kuros ir negatīva.

4. Noteikt funkcijas monotonitātes intervālus un ekstrēmus.

5. Noteikt funkcijas grafika izliekuma un ieliekuma intervālus, kā arī pārliekuma punktu koordinātas.

6. Atrast funkcijas grafika asimptotas.

12

3

x

xy

Pārtraukuma punkti: x = 1

Definīcijas apgabals: x (-; -1) (-1; 1) (1; +)

Dotā funkcija ir nepāra.

xfx

x

x

x

x

xxf

111 2

3

2

3

2

3

Grafiks simetrisks pret koordinātu sākumpunktu

Funkcijas grafika krustpunkts ar Ox asi (0; 0).Funkcijas grafika krustpunkts ar Oy asi (0; 0).

x (-; -1) (-1; 0) (0; 1) (1; +)y - + - +

Negatīvas vērtības

Pozitīvas vērtības

Negatīvas vērtības

Pozitīvas vērtības

12

3

x

xy

22

22

22

24

22

424

22

322

22

2323

1

3

1

3

1

233

1

213

1

'11''

x

xx

x

xx

x

xxx

x

xxxx

x

xxxxy

130

01030

0103222

2222

xxx

xxx

xxx

x 0 (0; 1) 1 (1; 3) 3 (3; +)

y’ 0 - Neeksistē - 0 +y max

0↘ Pārtraukta ↘ min ↗

x (-; -3) -3 (-3; -1) -1 (-1; 0)y’ - 0 + Neeksistē +y ↘ min ↗ Pārtraukta ↗

2

33

2

33

12

3

x

xy 22

24

1

3'

x

xxy

42

24232

42

2224223

42

22242224

1

2231641

1

'123164

1

'131'3'

x

xxxxxxx

x

xxxxxxx

x

xxxxxxy

12

3

x

xy 22

24

1

3'

x

xxy

32

2

32

3

32

35335

32

2423

42

24232

1

32

1

62

1

1246644

1

43164

1

431641

x

xx

x

xx

x

xxxxxx

x

xxxxxx

x

xxxxxxx

12

3

x

xy 22

24

1

3'

x

xxy

32

2

1

32''

x

xxy

130

01030

0103

2

222

3222

xxx

xxx

xxx

x (-; -1) -1 (-1; 0) 0 (0; 1) 1 (1; +)

y - + 0 - + Pārtrau

kuma punkts

Pārliekuma

punkts

Pārtraukuma

punkts

Funkcijas vertikālās asimptotas ir x = -1 un x = 1.Slīpā asimptota y = kx + b

11

1

1

11

233

3

3

3

3

3

2

32

3

limlimlim

limlimlim

xxx

xxxx

xx

x

xx

x

xxx

x

xfk

xxx

xxx

Slīpā asimptota y = kx + bk = 1 b = 0Slīpā asimptota y = x

01111

1

22

2

2

22

3

2

3

2

3

limlimlim

limlim

xxxxx

x

x

x

xx

x

x

xx

xkxxfb

xxx

xx

TEILORA FORMULA

Dots polinoms:

nnn xxAxxAxxAAxP 02

02010 ...

nnn xaxaxaaxP ...2

210

Ja x = x0, tad Pn(x0) = A0

10

203021 ...32' n

nn xxnAxxAxxAAxP

Ja x = x0, tad Pn’(x0) = A1

Dots polinoms: nnn xaxaxaaxP ...2

210

20032 1...3221'' n

nn xxnAnxxAAxP

Ja x = x0, tad Pn’’(x0) = 1 2∙ A2

Ja x = x0, tad Pn’’’(x0) = 1 2 3∙ ∙ A3

Ja x = x0, tad Pn(n)(x0) = 1 2 3 … n∙ ∙ ∙ ∙ An=n!

∙An !0

n

xPA

nn

n

Teilora formula n-tās pakāpes polinomam Pn(x) pēc binoma x – x0 pakāpēm

Dots polinoms: nnn xaxaxaaxP ...2

210

nn

n

nnnn

xxn

xP

xxxP

xxxP

xPxP

00

20

00

00

!

...!2

''

!1

'

Teilora koeficienti

Teilora formula polinomam P3(x) = 5 + 3x - 2x2 + x3 pēc binoma x - 2

62'''6'''

92''64''

72'343'

112235

33

33

32

3

332

3

PxP

PxxP

PxxxP

PxxxxP

3232 2!3

62

!2

82

!1

711235 xxxxxx

3232 2242711235 xxxxxx

Teilora formula funkcijai

xRxxn

xf

xxxf

xxxf

xfxf

nn

n

00

20

00

00

!

...!2

''

!1

'

Atlikuma loceklis jeb n-tais atlikums

00 , xxxxoxPxf nn

0...' 000 xRxRxR nnnn

Ja x0 = 0, tad Teilora formulu sauc par Maklorena formulu

xRxn

f

xf

xf

fxf

nn

n

!

0

...!2

0''

!1

0'0 2

xcxn

cfxR n

n

n

0,!1

11

Atlikuma loceklisLagranža formā

Teilora formula svarīgākajām elementārajām funkcijām

xxf

xxf

xxf

xxf

exf x

1

1ln

cos

sin

Uzrakstīt Teilora formulu un aprēķināt ar precizitāti 0,001