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C u r s o : Matemática

Material N° 16

GUÍA TEÓRICO PRÁCTICA Nº 16

UNIDAD: GEOMETRÍA

ÁNGULOS EN LA CIRCUNFERENCIA Y TEOREMAS

DEFINICIONES

CIRCUNFERENCIA: Dado un punto O y una distancia r, sellama circunferencia de centro O yradio r al conjunto de todos los puntos delplano que están a la distancia r delpunto O.

RADIO: Trazo cuyos extremos son el centro de la

circunferencia y un punto de ésta ( OA ).

CUERDA: Trazo cuyos extremos son dos puntos de

una circunferencia (DE).

DIÁMETRO: Cuerda que contiene al centro de la

circunferencia (BC ). Es la cuerda demayor longitud.

SECANTE: Recta que intersecta en dos puntos a la circunferencia (PQ)

TANGENTE: Recta que intersecta a la circunferencia en un sólo punto (TM). T punto detangencia.

ARCO: Es una parte de la circunferencia determinada por dos puntos distintos de

ella (CE ).

ÁNGULO DEL CENTRO: Es todo ángulo interior cuyo vértice es el centro de la circunferencia y susrayos son radios de la misma (EOD).

EJEMPLOS

1. ¿Cuál de las siguientes opciones es FALSA?

A) El diámetro de una circunferencia es el doble de su radioB) La mayor cuerda de una circunferencia es el diámetroC) En circunferencias congruentes los radios son congruentesD) Al intersectarse dos cuerdas en el centro de la circunferencia forman ángulos del

centro.E) Por tres puntos cualesquiera siempre pasa una circunferencia

r

O1

0: Centror: Radio

C(O,r) = (O,r)

(O,r)

cuerda

diámetro

secante

tangente

radio

arco

CA

QM

P

B

D E

T

O

2

2. ¿Cuál de las siguientes opciones es verdadera?

A) Una cuerda no puede pertenecer a una secanteB) Una cuerda puede pertenecer a una tangenteC) La tangente intersecta en más de un punto a la circunferenciaD) Los rayos de un ángulo del centro son cuerdasE) El diámetro es una cuerda

3. En la circunferencia de centro O (fig. 1) de diámetro AB , el ángulo AOC mide 54o.¿Cuál es la medida del ángulo BCO?

A) 17ºB) 24ºC) 27ºD) 32ºE) No se puede determinar

4. Según los datos de la circunferencia de centro en O (fig. 2), + es

A) 198ºB) 168ºC) 144ºD)132ºE) 126º

5. En la circunferencia de la figura 3, OD y OC son radios. ¿Cuál(es) de las siguientesrelaciones es (son) siempre verdadera(s)?

I) ODC = OCD

II) AE OE

III) DE CE

A) Sólo IB) Sólo IIC) Sólo IIID) Sólo I y IIIE) I, II y III

B

A

O

fig. 3

D

C

E

B

A

C

fig. 1O

fig. 2

39o 48o

O

A

B

C

3

MEDIDA ANGULAR DE UN ARCO

En toda circunferencia la medida angular de un arco es igual a la medida del ángulo del centro quesubtiende dicho arco.

ÁNGULO INSCRITO: Es todo ángulo cuyo vértice es un puntode la circunferencia y parte de sus rayosson cuerdas de ésta (FHG).

TEOREMA

Todo ángulo inscrito en una circunferencia tiene como medida la mitad del arco que subtiende elmismo arco.

EJEMPLOS

1. En la circunferencia de centro O (fig. 1), se cumple que el arco BA es igual al arco DC yel arco AED más el arco CB es igual a 3 veces el arco BA. Entonces, la medida del x

es

A) 45ºB) 60ºC) 72ºD) 84ºE) 90º

2. AC y BE son diámetros de la circunferencia de centro O (fig. 2). Si BOA = 2COB,

entonces el CDB mide

A) 30ºB) 35ºC) 45ºD) 60ºE) 120º

fig. 2

A B

ED

C

O

G

H

F

xO

D

A

B

C

fig. 1

E

DE = EOD =

E

DO

O: centro de la circunferencia

O

C

A B

O

A B

D

O

A B

E =

12

4

3. Según los datos entregados en la circunferencia de centro O de la figura 3, ¿cuántomide el ángulo ?

A) 35ºB) 40ºC) 70ºD) 120ºE) 150º

4. En la circunferencia de centro O de la figura 4, + = 90º. Entonces, la medida de es

A) 15ºB) 30ºC) 45ºD) 60ºE) 75º

5. En la circunferencia de centro O (fig. 5), AC es diámetro. Entonces, la medida de es

A) 10ºB) 20ºC) 40ºD) 80ºE) 140º

6. En la circunferencia de centro O y diámetro BC de la figura 6, ¿cuánto mide el BCA?

A) 22ºB) 34ºC) 36ºD) 44ºE) 68º

7. En la circunferencia de centro O de la figura 7, BOA = 70º y COB = 40º. ¿Cuánto

mide el ángulo ABC?

A) 140ºB) 125ºC) 120ºD) 110ºE) 95º

A

B

OC

20º fig. 5

68º

O

C

A B

fig. 6

Ofig. 4

x + 50°

x

fig. 32x + 30°

O

O

B

A C

fig. 7

5

TEOREMA

Todos los ángulos inscritos en una circunferencia que subtienden un mismo arco tienen igual medida.

TEOREMA

Todo ángulo inscrito en una semicircunferencia es recto.

TEOREMA

En todo cuadrilátero inscrito en una circunferencia, los ángulos opuestos son suplementarios.

TEOREMA

La recta tangente a una circunferencia es perpendicular al radio en el punto de tangencia.

EJEMPLOS

1. En la figura 1, TPQ = 140º y QRP = 15º. ¿Cuánto mide el PQT?

A) 15ºB) 20ºC) 25ºD) 30ºE) 35º

2. Si en la circunferencia de la figura 2, + + = 90°, entonces la medida de es

A) 15ºB) 30ºC) 45ºD) 60ºE) 90º

O

P

Qr QP tangente en P QP OP

P Q

RT

fig. 1

=

BCA = 90º

+ = 180º

+ = 180º

A

C

B

D

OA B

C

O: centro de la circunferencia

PQ

fig. 2

6

3. En la figura 3, el cuadrilátero ABCD está inscrito en la circunferencia. Entonces, x =

A) 30ºB) 65ºC) 115ºD) 130ºE) 230º

4. En la figura 4, AC es diámetro de la circunferencia de centro O. ¿Cuánto mide el ángulo BCA?

A) 15ºB) 25ºC) 35ºD) 55ºE) 70º

5. En la figura 5, PT es tangente a la circunferencia de centro O, en T. ¿Cuánto mide el OPT?

A) 10ºB) 20ºC) 30ºD) 40ºE) 50º

6. En la circunferencia de centro O de la figura 6, PA y PB son tangentes en A y B,respectivamente. ¿Cuánto mide el ángulo BCA?

A) 25ºB) 50ºC) 65ºD) 100ºE) 130º

7. En la figura 7, el cuadrilátero ABCD está inscrito en la circunferencia. Si = 145° y = – ,entonces es igual a

A) 35ºB) 45ºC) 55ºD) 60ºE) 70º

B

55ºO

A C

fig. 4

T

P

O

fig. 5

40º

CB

D

fig. 7

A

fig. 3

35º x

30º

A B

D C

A

B

POC

fig. 6

50ºO

7

ANGULO INTERIOR EN LA CIRCUNFERENCIA

El ángulo interior de la circunferencia es aquel que se forma al intersectarseinteriormente dos cuerdas, como se muestra en la figura 1, y su medida corresponde a lasemisuma de los arcos que subtiende.

ANGULO EXTERIOR EN LA CIRCUNFERENCIA

El ángulo exterior es aquel que tiene su vértice en un punto exterior de lacircunferencia, pudiendo ser sus rayos, tangentes o secantes a la misma ,como se muestraen la figura 2, y su medida corresponde a la semidiferencia de los arcos que subtiende.

ANGULO SEMI INSCRITO

El ángulo semi-inscrito es aquel cuyo vértice está sobre la circunferencia, sus rayos loforman una cuerda AC y una recta L tangente en A , como se muestra en la figura 3, sumedida corresponde a la mitad del arco que subtiende.

EJEMPLO

1. En la circunferencia de la figura 4, la recta L es tangente en B, el ángulo DBC mide 50ºy el arco EB mide 140º, entonces el valor de x + y es

A) 70ºB) 80ºC) 90ºD) 100ºE) 120º

= BA + CD

2

BA

CD

fig. 1

= DC AB

2 fig. 2

P

B

AC

D

=AC2

A

L

Cfig. 3

y

L

B

x C

D

E

fig. 4

8

2. AD y BC son cuerdas que se intersectan en E (fig. 5). Si el arco BA mide 60º y el arcoCD mide 100º, ¿cuánto mide el ángulo ?

A) 20ºB) 60ºC) 80ºD) 100ºE) 160º

3. La recta L tangente a la circunferencia en el punto A (fig. 6). Si el triángulo ABC esisósceles de base AB, entonces el ángulo DAC mide

A) 20ºB) 25ºC) 35ºD) 40ºE) 70º

4. En la circunferencia de la figura 7, ángulo CPA mide 40º, si el arco AC es el triple delarco DB, entonces ¿cuánto suman los arcos CD y BA?

A) 40ºB) 80ºC) 120ºD) 160ºE) 200º

RESPUESTAS

EjemplosPágs. 1 2 3 4 5 6 7

1 y 2 E E C B A

3 y 4 C A D D C A B

5 y 6 C B C C A C E

7 y 8 B C E E

DMTRMA16

fig. 5

A

E

C

D

B

fig. 7

A

B

CD

P

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fig. 6

B

A

C40º

D

L