ΔΥΝΑΜΕΙΣ

3.2. Σύνθεση και ανάλυση δυνάμεωνΣυνισταμένη δύο ή περισσότερων δυνάμεων

Συνισταμένη δύο ή περισσότερων δυνάμεων ονομάζεται η δύναμη η οποία προκαλεί τα ίδια αποτελέσματα με εκείνα που προκαλούν οι δύο ή περισσότερες δυνάμεις, όταν ασκούνται ταυτόχρονα όλες μαζί. Η συνισταμένη είναι η συνολική δύναμη και συμβολίζεται με Fολ ή ΣF.

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ

Το βαρίδιο του σχήματος βάρους w είναι δεμνένο στις άκρες δύο ελατηρίων και συγκρατείται ακίνητο. Αν προσέξουμε το σώμα δέχεται την επίδραση των δύο δυνάμεων F1 και F2 από τα δύοελατήρα και το βάρος του w. Μπορούμε να κρατήσουμε το ίδιο σώμα ακίνητο στον αέρα, ασκώντας πάνω του μόνο μια δύναμη. Η δύναμη ΣF έχει τα ίδια αποτελέσματα με την ταυτόχρονη δράση των F1 και F2 και ονομάζεται συνισταμένη των δυνάμεων F1 και F2.

Το μέτρο της συνισταμένης δύο δυνάμεων F1 και F2 εξαρτάται:

από τα μέτρα των δυνάμεων F1 και F2, καθώς και

από τις κατευθύνσεις των δυνάμεων F1 και F2.

Σύνθεση δυνάμεων

Η διαδικασία που ακολουθούμε για να βρούμε τη συνισταμένη δύο ή περισσότερων δυνάμεων λέγεται σύνθεση δυνάμεων. Δηλαδή, η σύνθεση δύο δυνάμεων F1 και F2 είναι η αντικατάσταση των δυνάμεων αυτών με μία άλλη δύναμη, τη συνισταμένη τους ΣF.

Σύνθεση δυνάμεων που έχουν ίδια διεύθυνση

Δύο δυνάμεις που έχουν την ίδια διεύθυνση λέγονται συγγραμμικές και μπορούν να είναι είτε ομόρροπες (ίδια διεύθυνση και φορά) είτε αντίρροπες (ίδια διεύθυνση και αντίθετη φορά).

Σύνθεση ομόρροπων δυνάμεων

Εάν δύο ή περισσότερες δυνάμεις F1, F2, … έχουν ίδια διεύθυνση και ίδια φορά τότε η συνισταμένη τους ΣF ή Fολ έχει

την ίδια διεύθυνση και φορά με τις δυνάμεις F1, F2, …

μέτρο ίσο με το άθροισμα των μέτρων τους: ΣF = F1 + F2

Σύνθεση αντίρροπων δυνάμεων

Εάν δύο δυνάμεις F1 και F2, έχουν ίδια διεύθυνση και αντίθετη φορά τότε η συνισταμένη τους, δηλαδή, η Fολ έχει

τη διεύθυνση και τη φορά της μεγαλύτερης δύναμης

μέτρο ίσο με τη διαφορά των μέτρων τους:

ΣF = F1 - F2 (αν F1 >F2) ΣF = F2 – F1 (αν F2 >F1)

Παρατήρηση

Στην ειδική περίπτωση που δύο δυνάμεις είναι αντίρροπες με ίσα μέτρα λέγονται αντίθετες. Η συνισταμένη δύο αντίθετων δυνάμεων είναι μηδέν.

Στο παραπάνω σχήμα ένα σώμα δέχεται την επίδραση δύο αντίθετων δυνάμεων F1 και F2

με αποτέλεσμα το σώμα να παραμένει ακίνητο, αφού η συνισταμένη των δύο δυνάμεων είναι ίση με μηδέν.

2

Σύνθεση δυνάμεων με διαφορετικές διευθύνσεις

Εάν δύο δυνάμεις δεν έχουν ίδια διεύθυνση, η συνισταμένη τους είναι η διαγώνιος του παραλληλογράμμου που σχηματίζουν οι δυνάμεις αυτές.

Για να καθορίσουμε τη διεύθυνση της συνισταμένης αρκεί να υπολογίσουμε τη γωνία φ ή θ που σχηματίζει η Fολ με μια από τις δυνάμεις F1 ή F2, αυτό απαιτεί μαθηματικά που θα διδαχτούμε σε μεγαλύτερες τάξεις.

Το μέτρο της συνισταμένης καθορίζεται από το μήκος της διαγωνίου, αυτό απαιτεί επίσης μαθηματικά που θα διδαχτούμε σε μεγαλύτερες τάξεις.

Στην ειδική περίπτωση που οι δυνάμεις F1 και F2 είναι κάθετες μεταξύ τους μπορούμε να υπολογίσουμε το μέτρο της συνισταμένης τους εφαρμόζοντας το Πυθαγόρειο Θεώρημα:

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ:

Δύο μαθητές ανασηκώνουν μια κασετίνα με δύο δυναμόμετρα τα οποία είναι κάθετα μεταξύ τους και έχουν ενδείξεις F1 = 4 N και F2 = 3 N αντίστοιχα. Ένας τρίτος μαθητής μπορεί να ανασηκώσει την ίδια κασετίνα με ένα δυναμόμετρο που έχει ένδειξη ίση με τη συνισταμένη των δυνάμεων F1 και F2.

.

Δύναμη που ασκείται από μια τραχιά επιφάνεια

Όταν ένα σώμα κινείται (ή πάει να κινηθεί) πάνω σε μια τραχιά επιφάνεια, δέχεται από αυτήν δύο δυνάμεις:

την κάθετη δύναμη FN και

την τριβή T

Οι δυνάμεις αυτές είναι πάντα κάθετες μεταξύ τους, οπότε για να υπολογίσουμε τη συνισταμένη τους εφαρμόζουμε τη μέθοδο του παραλληλογράμμου και το Πυθαγόρειο Θεώρημα:

3

Ανάλυση δύναμης

Η ανάλυση μιας δύναμης είναι η αντίστροφη διαδικασία από τη σύνθεση δυνάμεων. Οποιαδήποτε δύναμη μπορεί να αντικατασταθεί από δύο άλλες δυνάμεις F1 και F2 που λέγονται συνιστώσες της δύναμης F.

Ανάλυση μιας δύναμης σε δύο συνιστώσες είναι η αντικατάσταση της δύναμης από δύο άλλες δυνάμεις οι οποίες, αν ασκούνταν αντί γι’ αυτήν στο ίδιο σώμα, θα προκαλούσαν το ίδιο αποτέλεσμα.

Αναλύουμε μια δύναμη σε δύο κάθετες συνιστώσες

Για να αναλύσουμε μια δύναμη F σε δύο κάθετες συνιστώσες, δηλαδή να βρούμε δύο δυνάμεις F1 και F2 που θα προκαλούσαν τα ίδια αποτελέσματα με τη δύναμη F, ακολουθούμε την παρακάτω πορεία:

1ο: Σχεδιάζουμε δύο κάθετους άξονες, με αρχή το σημείο εφαρμογής της δύναμης F.

2ο: Από το τέλος του διανύσματος F φέρνουμε παράλληλες προς τους δύο άξονες. Τα σημεία τομής με τους άξονες είναι τα άκρα των διανυσμάτων της οριζόντιας και της κατακόρυφης συνιστώσας.

Αναλύουμε τις δυνάμεις σ’ ένα σώμα που βρίσκεται πάνω σε κεκλιμένο επίπεδο

Οι διευθύνσεις στις οποίες γίνεται η ανάλυση μιας δύναμης δεν είναι πάντοτε η κατακόρυφη και η οριζόντια. Όταν μελετάμε την κίνηση ενός σώματος σε κεκλιμένο (πλάγιο) επίπεδο, αναλύουμε τις δυνάμεις

σε έναν άξονα παράλληλο στο επίπεδο και

σε έναν άξονα κάθετο στο επίπεδο.

1. Συμπλήρωσης κενού (κάθε κενό αντιστοιχεί σε μια μόνο λέξη):

α. Η δύναμη F που προκαλεί τα ίδια αποτελέσματα με την ταυτόχρονη δράση δύο δυνάμεων F1 και F2 ονομάζεται ………………………………. των δυνάμεων F1 και F2

4

β. Δύο δυνάμεις που έχουν ίδια διεύθυνση ονομάζονται ……………………………….. Αν οι δυνάμεις αυτές έχουν και την ίδια φορά ονομάζονται ………………………………. ενώ, αν έχουν αντίθετες φορές ονομάζονται ……………………………….

2. Σωστό – Λάθος:

α. Η συνισταμένη δύναμη Fολ δύο δυνάμεων F1 και F2 είναι πάντοτε μεγαλύτερη από τις δυνάμεις αυτές.

β. Είναι αδύνατον δύο δυνάμεις να έχουν συνισταμένη ίση με μηδέν.

γ. Δύο δυνάμεις με ίδια διεύθυνση, αντίθετη φορά και ίσα μέτρα λέγονται αντίθετες.

δ. Δύο δυνάμεις έχουν συνισταμένη ίση με μηδέν αν και μόνο αν είναι αντίθετες.

ε. Οι διευθύνσεις στις οποίες γίνεται η ανάλυση μιας δύναμης είναι πάντοτε η κατακόρυφη και η οριζόντια διεύθυνση.

στ. Οι κάθετες συνιστώσες F1 και F2 μιας δύναμης F είναι πάντοτε μικρότερες από τη δύναμη F, δηλαδή, ισχύει F1 < F και F2 < F.

3. Πολλαπλής επιλογής με αιτιολόγηση:

Σ’ ένα σώμα ασκούνται δύο δυνάμεις F1 = 15 N και F2 = 20 N, οι οποίες σχηματίζουν μεταξύ τους γωνία φ. Η γωνία φ μπορεί να μεταβάλλεται από 0ο έως 180ο Η συνισταμένη αυτών των δυνάμεων έχει μέτρο

α. Fολ = 35 N για οποιαδήποτε τιμή της γωνίας φ.

β. Fολ = 5 N για οποιαδήποτε τιμή της γωνίας φ.

γ. που εξαρτάται από τη γωνία φ και ισχύει .

Να δικαιολογήσετε την επιλογή σας

4. Συμπλήρωσης κενού:

Σ’ ένα σώμα ασκούνται δύο δυνάμεις F1 = 4 N και F2 = 3 N, που σχηματίζουν μεταξύ τους γωνία φ. Να συμπληρώσετε κατάλληλα τα κενά κελιά του Πίνακα που ακολουθεί:

Γωνία φ Δυνάμεις F1, F2 Τύπος υπολογισμού της Fολ Μέτρο Fολ

κάθετες

180o

5

1. Σ’ ένα κιβώτιο, το οποίο είναι αρχικά ακίνητο πάνω σε οριζόντιο δάπεδο, ασκούνται οι πέντε δυνάμεις που έχουν σχεδιαστεί στο σχήμα. Οι δυνάμεις έχουν μέτρα , και

. Συμβολίζουμε με το βάρος του κιβωτίου και την κάθετη δύναμη που ασκείται στο κιβώτιο από το δάπεδο.

α. Ποιες από τις δυνάμεις αυτές είναι οριζόντιες και ποιες είναι κατακόρυφες;

β. Να υπολογίσετε το μέτρο και να προσδιορίσετε την κατεύθυνση της συνισταμένης των οριζόντιων δυνάμεων.

5. Να αναλύσετε το βάρος του σώματος που φαίνεται στο σχήμα, σε δύο κάθετες συνιστώσες. Η συνιστώσα να έχει τη διεύθυνση του άξονα

(παράλληλη στο κεκλιμένο επίπεδο) και η συνιστώσα να έχει τη διεύθυνση του άξονα (κάθετη στο κεκλιμένο επίπεδο). Να υπολογίσετε τα μέτρα των συνιστωσών και

.

6. Η δύναμη που ασκείται στο αμαξίδιο του διπλανού σχήματος έχει μέτρο και σχηματίζει γωνία

με τον οριζόντιο άξονα .

α. Να αναλύσετε τη δύναμη σε οριζόντια και κατακόρυφη συνιστώσα.

β. Να υπολογίσετε τα μέτρα των δύο συνιστωσών.

7. Οι δυνάμεις του διπλανού σχήματος έχουν μέτρα , , και . Να υπολογίσετε το μέτρο της

συνισταμένης των δυνάμεων αυτών.

6