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Investigación de Operaciones I
Instituto Tecnológico Superior de Misantla
Ingeniería Industrial
Gregorio Fernández LambertNoviembre, 2009.
Alumno(a): _______________________________________________________
¿CÓMO SE RESUELVEN LOS PROBLEMAS EN LA REALIDAD?
Conocer todos los hechos y relaciones a la problemática
“el saber todo sobre el todo”<lo cual resulta claramente imposible> Identificar todas las alternativas
posibles de solución a un problema<en muchos de los casos esto es
posible>
Conocer todas
Estar bien informado
Ser un optimizador económico, esto es
“maximizar los beneficios económicos y minimizar los
cosos económicos”
SOLUCIÓN DE PROBLEMAS
Conocer todas las alternativas
informado
Ser objetivo
¿Cómo se toman las decisiones?
Corazonada
Preferencia
Recomendación
Presión
Temor
Conveniencia
Influencia Experimentación
Base Científica
LA DECISIONES TOMADAS PUEDEN SER BAJO:
RIESGO
INCERTIDUMBRECERTEZA
Elementos de un problema de decisión
TOMA DE DECISIONES :- POR MEDIO DE INVESTIGACIÓN DE OPERACIONES,- MEDIANTE MÉTODOS ESTADÍSTICO,- ENFOQUE BASADO EN LA INTELIGENCIA ARTIFICIAL
MODELO DE “SIMON” PARA TOMA DE DECISIONES
Defínase el problema
Muchas Soluciones(elévense los criterios)
Búsquense las soluciones
Establézcanse los criterios de solución
SOLUCIÓN SATISFACTORIA
Pocas Soluciones(disminúyanse los criterios)
“Una Solución Satisfactoria, No es siempre es una s olución óptima”
EL PAPEL DE LOS MÉTODOS CUANTITATIVOS DE DECISÓN
Guía en la Toma de decisiones;
Ayuda en la Toma de Decisiones;Ayuda en la Toma de Decisiones;
Automatizar la Toma de Decisiones.
SOLUCIÓN DE PROBLEMAS Y TOMA DE DECISIÓN
Técnica y/o herramientas
para la solución de problemas
Juicio; Experiencia;
Intuición; Habilidad;
Sentido RacionalSentido Lógico
para la solución de problemasDestreza; Conocimiento.
Solución deProblemas
TOMA DE DECISIÓN
económicosatisfactoria
CONSTRUCCIÓN DE MODELOS CUANTITATIVOS
MODELO: Representación de algún aspecto de la realidad.
“Intento de representar o explicar algo que forma parte del
mundo real usando menos que esa realidad”
CONSTRUCCIÓN DE MODELOS CUANTITATIVOS
VENTAJAS DE UN MODELO:
Explican y/o predicen el comportamiento de sistemas:
• Menos Recursos;
Financieros; Materiales; Humanos; Espacios.
DESVENTAJAS DE UN MODELO:
Por su naturaleza misma de ser modelos,
son menos que la realidad.
CONSTRUCCIÓN DE MODELOS CUANTITATIVOS
SELECCIÓN DEL MODELO:
Este dependerá tanto del SISTEMA real bajo estudio como del
propósito del estudio, su validez, confiablidad y simplicidad.
“Conjunto organizado de actividades o partes
relacionadas que se persiguen o con un fin común”
Selección del Modelo:
Un modelo es válido si lleva a los mismos resultados que se obtendrían en el mundo real.
El principio de economicidad y simplicidad está presente
La complejidad debe aceptarse sólo cuando sea necesario
El principio de economicidad y simplicidad está presente
en la selección del modelo.
CONSTRUCCIÓN DE MODELOS CUANTITATIVOS
Kennet Boulding sugiere un esquema de clasificación para los sistemas
basado en su complejidad:
Estáticos.- Poseen una estructura pero no movimiento.
Dinámicos.- Poseen estructura y movimiento (siguiendo patrones
determinados).
CONSTRUCCIÓN DE MODELOS CUANTITATIVOS
ENFOQUE DE SISTEMAS
ABIERTO.-
Interactúa con su medio ambiente. EMPRESA
medio ambiente
GobiernosHabitantesMaterialesInformaciónDinero
Bienes y Servicios
comunidad
clientes
CERRADO.-
EMPRESA Bienes y Servicios
GobiernosHabitantesMaterialesInformaciónDinero
medio ambiente excluido
Se construye como un sistema abierto y se
limita a factores relevantes
Clasificación de los modelos:
Llamados también prescriptivos (con frecuencia se usan como guía).
Normativos:
Descriptivos:
Solo describen una realidad potencial del experimento.
Concretos:
Poseen características físicas en común con la realidad que se está modelando.
Abstractos:
No poseen características físicas en común con la realidad que se está modelando.
Modelos de Toma de Decisión
CATEGORIAS
Certidumbre Determinista
CONSECUENCIAS
Riesgo Probabilística
Incertidumbre
Conflicto
Desconocidas
Influenciadas
(tendenciosas)
Uso de Datos para la Toma de Decisión
“Los hechos no dejan de existir porque se ignoren”, y
cuando se ignoran, la posibilidad de tomar una deci sión
adecuada o de alta calidad, es decreciente.
“Sólo en DIOS confío. Los demás traiganme datos”
Uso de Datos para la Toma de Decisión
Datos: Hechos o conceptos conocidos o supuestos.
Representan una base parcial sobre la que se toman
decisiones, dado que nos ayudan a describir los
sistemas del mundo real (generalmente se expresan en
forma numérica).
Continuos Discretos
¿Qué es la Investigación de Operaciones?
“ENFOQUE PARA RESOLVER PROBLEMAS ADMINISTRATIVOS
COMPLEJOS MEDIANTE EL USO DE LAS MATEMÁTICAS Y LA
COMPUTACIÓN”
ADMINISTRATIVOS
MATEMÁTICAS
COMPUTACIÓN
Desde el punto de vista del manejo de recursos.
Para desarrollar un modelo que permita resolver el problema.
Para desplegar el modelo y agilizar el resultado de l problema.
Metodología de la Investigación de Operaciones
Todas las técnicas de solución de problemas tienen algo en común,
esto es, que manejan el mismo enfoque, la misma metodología
La aplicación del METODO CIENTÍFICO.
Modelo general deProgramación Lineal (Maximización o Minimización)
Función Objetivo:
Define la efectividad del modelo como función de la variable de decisión.
Variables de Decisión:Variables de Decisión:
Restricciones:
Son las cantidades que deben deteerminarse en la solución del modelo.
Son aquellas condicionantes que imposibilitarían o restringirían el logro y objetivos del problema.
Metodología de la Investigación de Operaciones
METODO CIENTÍFICO.
Definición del problema;
Formular un modelo matemático;
que representeel problema o
situación a resolver. Estos
pueden ser Derivar una solución para el modelo;
Validar la solución del modelo;
Implementar resultados.
pueden ser lineales o
No lineales.
DEFINICIÓN DE MODELO
SistemaReal
SistemaReal
AsumidoModelo
Relevantes
Variables
Relevantes
Relaciones
Método
de
Solución
Juicio y Experienciadel tomador
de decisiones
Soluciónal
Modelo
Solución al problema del sistema real
Interpretación
Solución
Decisiones
La solución al problema se dá por la implementaciónn de la solución en el sistema real
Las partes de un MODELO MATEMÁTICO en IO , son:
Variables de Decisión: ¿Qué es lo que se va a decidir?
Función Objetivo: ¿Qué es lo que se quiere lograr?
Restricciones: ¿Qué es lo que nos limitapara lograr el objetivo?
Recursos Objetivos
Estructura de un problema deProgramación Lineal
¿Qué se puedecuantificar?
Requerimientos:• Demandas;• Especificaciones;• Tiempos de entrega; ....• Etcétera...
¿Qué se puedeoptimizar?
Utilidades: MAXIMIZAR
Desperdicios: MINIMIZAR
Modelo general deProgramación Lineal (Maximización o Minimización)
Z = C1X1 + C2X2 + ... + CnXn
sujeto a:a11x1 + a12x2 + ... + anxn <, =, > b1
a x a x a x ba a aa21x1 + a22x2 + ... + anxn <, =, > b2
am1x1 + am2x2 + ... + amnxn <, =, > bn
x1, x2, ... , xn > 0
Modelo general deProgramación Lineal (Maximización o Minimización)
Z = C1X1 + C2X2 + ... + CnXn
sujeto a:a11x1 + a12x2 + ... + anxn <, =, > b1
a x a x a x b
Función Objetivo
a a aa21x1 + a22x2 + ... + anxn <, =, > b2
am1x1 + am2x2 + ... + amnxn <, =, > bn
x1, x2, ... , xn > 0
Modelo general deProgramación Lineal (Maximización o Minimización)
Z = C1X1 + C2X2 + ... + CnXn
sujeto a:a11x1 + a12x2 + ... + anxn <, =, > b1
a x a x a x b
Coeficiente de la FO
a a aa21x1 + a22x2 + ... + anxn <, =, > b2
am1x1 + am2x2 + ... + amnxn <, =, > bn
x1, x2, ... , xn > 0
Modelo general deProgramación Lineal (Maximización o Minimización)
Z = C1X1 + C2X2 + ... + CnXn
sujeto a:a11x1 + a12x2 + ... + anxn <, =, > b1
a x a x a x ba a aa21x1 + a22x2 + ... + anxn <, =, > b2
am1x1 + am2x2 + ... + amnxn <, =, > bn
x1, x2, ... , xn > 0Restricciones
Modelo general deProgramación Lineal (Maximización o Minimización)
Z = C1X1 + C2X2 + ... + CnXn
sujeto a:a11x1 + a12x2 + ... + anxn <, =, > b1
a x a x a x ba a aa21x1 + a22x2 + ... + anxn <, =, > b2
am1x1 + am2x2 + ... + amnxn <, =, > bn
x1, x2, ... , xn > 0Coeficiente de restricción
Modelo general deProgramación Lineal (Maximización o Minimización)
Z = C1X1 + C2X2 + ... + CnXn
sujeto a:a11x1 + a12x2 + ... + anxn <, =, > b1
a x a x a x ba a aa21x1 + a22x2 + ... + anxn <, =, > b2
am1x1 + am2x2 + ... + amnxn <, =, > bn
x1, x2, ... , xn > 0Condición del recurso o requerimiento
Modelo general deProgramación Lineal (Maximización o Minimización)
Z = C1X1 + C2X2 + ... + CnXn
sujeto a:a11x1 + a12x2 + ... + anxn <, =, > b1
a x a x a x b
Recursoso
Requerimientos
a a aa21x1 + a22x2 + ... + anxn <, =, > b2
am1x1 + am2x2 + ... + amnxn <, =, > bn
x1, x2, ... , xn > 0
Modelo general deProgramación Lineal (Maximización o Minimización)
Z = C1X1 + C2X2 + ... + CnXn
sujeto a:a11x1 + a12x2 + ... + anxn <, =, > b1
a x a x a x ba a aa21x1 + a22x2 + ... + anxn <, =, > b2
am1x1 + am2x2 + ... + amnxn <, =, > bn
x1, x2, ... , xn > 0Restrición de No - Negatividad
Metodología de la Investigación de Operaciones
Definición del problema
a resolver
Identificar el Sistema
Desarrollar el Modelo
Observación Cuidadosa Construir el Problema
Formular el Problema
Proponer la Hipótesis
Validación de la
Implementar Resultados
Derivar una Solución
Modificar el Modelo
Es válida la solución
Hipótesis
Sí
No
Requerimientos para resolver un Modelo por PL
Plantearse una F.O. En términos de variables de decisión , es decir, X1, X2, ..., Xn
Las variables del problema deben estar interrelacionadas para generar el “resultado total”
Plantear las restricciones.
Las restricciones deberán estar relacionadas con la disponibilidad oLas restricciones deberán estar relacionadas con la disponibilidad ousos de los recursos, la satisfacción de los requerimientos o elsurtimiento de la demanda (deben ser en forma lineal).
Valores de la variables .
Estos pueden ser fracionarios, pero deben ser mayores o iguales quecero.
Tipos de soluciones
Solución
Factible Básica No-Óptima
No-Básica
Básica
Degenerada
Básica Óptima
Degenerada
No-Factible
El arte de plantear problemas
La habilidad para transformar un problema del mundo real
en un modelo de PL debidamente planteado es un ARTE
RecomendaciónRecomendación
El arte de plantear problemas se mejora con:
• paciencia,
• práctica,
• una estructura apropiada para aprobarlos.
Planteamiento de Problemas
Se tiene un proceso en el cual pueden fabricarse tres
productos distintos. El único recurso limitado para la
operación es la mano de obra, de la cual se disponen 400
horas hombre por semana.
Se sabe que el producto 1 requiere 8 horas de mano de obra
por unidad fabricada; el producto 2 requiere 4 horas por
unidad y el producto 3 requiere 2 horas por unidad.
El margen de contribución a las utilidades del producto 1 es
de $12.00 por unidad; el producto 2 contribuye con $10.00 y
el producto 3 contribuye con $8.00.
Desarrolle un modelo que MAXIMICE las ganancias a través
de la contribución total a utilidades.
Planteamiento de Problemas
Sea:
Paso 1.- Definir las variables:
x1 ≈ unidades del producto 1
x2 ≈ unidades del producto 2
x ≈ unidades del producto 3x3 ≈ unidades del producto 3
Paso 2.- Definir la Función Objetivo:
Max. Z = 12 x1+ +10
x2
8 x3
Planteamiento de Problemas
Paso 3.- Descripción de las restricciones:
Modelo de requerimientos totales:
8x1+ 4x2
+ 2x3
< 4008x1+ 4x2
+ 2x3
Relación Funcional:
Planteamiento de Problemas
Max. Z = 12 x1+ +10 x2 8 x3
< 4008 x1+ 4 x2
+ 2 x3s.a.
x1 x2, > 0
METODO GRÁFICO
• Método de solución de un problema de PL que serestringe a dos variables.
• Proporciona una mejor comprensión del problema yfacilita la interpretación de algunos pasos y resultadosobtenidos en el método de solución algebraico.
ferlam
METODO GRAFICO
La representación gráfica queda definida en el primer plano del eje
cartesiano. Esto no implica que no pueda ser utilizado otro plano
cartesiano, sin embargo, en lo general este puede ser presentado
en cualquier otro si así lo exigen las restricciones.
Las restricciones obtenidas en cada modelación de PL, definen un área
que contienen un número infinito de puntos, la cual NO excede la
desigualdad de restricción.
METODO GRAFICO
Ilustración de la graficación de tres restricciones: A, B, C.
x1
x2
R1
x1
x2
R2
x1
x2
R3
A) B) C)
x1
x2R3
R2
R1
METODO GRAFICO
Obtención de la región factible.
La región factible queda definida por aquellos puntos que satisfacen todas lasrestricciones simultáneamente.
x2
La graficación de las restricciones proporciona la Región Factible (zona factible) y
Solución Óptima.
x1
METODO GRAFICO / procedimiento
1 En una gráfica bidimensional ubicar las restricciones de No Negatividad usando
las variables de decisión X1 , X2 como los ejes de coordenadas.
x
x2
x1
Las restricciones de No Negatividad (X1 , X2 > 0) limitan a
utilizar la parte positiva de los ejes (cuadrante I).
2 Graficar cada una de las restricciones, tomando en cuenta el tipo de restricción
de que se trate ( > , = , <) . La graficación de las restricciones sobre el cuadrante
delimitarán el área factible (espacio de solución al problema).
Ejemplo para la graficación:
Max Xo = 3X1 + 5X2
s.a 2X1 + X2 < 230
X1 + 2X2 < 250
X2 < 120
X1, X2 > 0
METODO GRAFICO / procedimiento
X1, X2 > 0
À Remplazar el signo de desigualdad con un signo de igualdad.
Á Para cada restricción: asignar arbitrariamente a cada variable el valor de cero ydeducir el valor de la otra variable.
 Trazar la línea resultante con los valores obtenidos de X1 , X2 sobre el cuadrante.
à Identificar el lado factible (dirección) de la línea.
Ä Como resultado del trazado de cada restricción, definir la región factible.
PROCEDIMIENTO:
METODO GRAFICO
Obtención de la Solución Óptima.
Una vez graficadas las restricciones y definida la Región o Zona de Factibilidad, se
grafica la Función Objetivo igualando a ésta a un valor arbitrario. El valor de la FO
puede ser uno aproximado al resultado esperado o bien puede obtenerse el par
ordenado de la Región Factible.
Definido el par ordenado (X , X ), se trazaDefinido el par ordenado (X1 , X2 ), se traza
una recta la cual representa a la FO, la cual
se desplaza paralelamente en la dirección
requerida (Maximización o Minimización)
hasta encontrar el valor (solución única) o los
valores (solución múltiple) de las variables de
decisión X1 , X2 que hagan que la función
objetivo sea óptima.x1
x2
METODO GRAFICO
Solución Óptima.
x2
Valores de las
Función Objetivo
La solución óptima queda definidapor los valores de X1 , X2 que hacende la FO la mejor.
Para Maximización sería el
punto más lejano que toque
la pendiente de la FO
x1
la pendiente de la FO
dentro de la región factible.
¡ RECUERDA !
En la resolución de problemas de PL se pueden observar las siguientes propiedades
geométricas con la consecuente interpretación real:
+ Óptima.- Es decir, que tiene una solución con el valor de las variables que
que hace de la FO la mejor.
+ Infactible.- Es decir, que no existen valores de las variables que satisfagan
todas las restricciones simultáneamente.
+ Ilimitadas.- Es decir, que existen valores factibles de las variables que hacen
la función objetivo tan grande o tan pequeña como se desee.
+ Óptimas múltiples.- Es decir, que existe más de una sola solución óptima.
METODO GRAFICO
CONCLUSIONES:
• Cada solución factible básica de un problema de PL corresponde a un
punto extremo del espacio de soluciones factibles.
• Existe un punto extremo del espacio de soluciones factibles, que puede ser
no único, para el cual la función objetivo alcanza su valor óptimo.
Identificación de los tipos de solución en el métod o gráfico
• Solución Óptima Finita Única.
• Solución Óptima Finita Alternativa o Múltiple.
• Solución Óptima No Acotada.
• Región factible Vacía.
SOLUCIÓN ÓPTIMA ÚNICA
• Sólo ocurre en un punto extremo.
Óptimo Único
Función Objetivo
Óptimo Único
Función Objetivo
Acotada No - Acotada
Región Factible Acotada
Único
Región FactibleNo - Acotada
Único
SOLUCIÓN ÓPTIMA FINITA, ALTERNATIVA O MÚLTIPLE
Óptimo Alternativos
Función Objetivo
Acotada
Rayo Óptimo
Función Objetivo
No - Acotada
Región Factible Acotada
Región FactibleNo - Acotada
SOLUCIÓN ÓPTIMA NO - ACOTADA
Función Objetivo
Óptimo = + α para Maximización
Región Factible
No - AcotadaÓptimo = - α para Minimización.
REGIÓN FACTIBLE VACÍA
También se conoce como:
• Problema No factible.
• Problema Infactible.
• Problema Inconsistente.
• Problema con región factible vacía.Ejemplo :Ejemplo :
Min Xo = - 2X1 + 3X2
s.a : - X1 + 2X2 < 2
2X1 + X2 < 3
X2 > 4
X1 , X2 > 0
REGIÓN FACTIBLE VACÍA
No se logra limitar
un área
Método Simplex
Considere el siguiente modelo en PL, yresuélvalo por el Método Simplex:
Max Z = 18.5 X1 + 20.0 X21 2
s.a. 0.05 X1 + 0.05 X2 < 1100
0.05 X1 + 0.10 X2 < 1800
0.10 X1 + 0.05 X2 < 2000
X1, X2 > 0
Método Simplex
1er. Paso:
Transforme el modelo a su forma estándar:
Z - 18.5 X1 - 20.0 X2 = 01 2
0.05 X1 + 0.05 X2 + S1 = 1100
0.05 X1 + 0.10 X2 + S2 = 1800
0.10 X1 + 0.05 X2 + S3 = 2000
X1, X2, S1, S2, S3 > 0
Método SimplexEl sistema nos muestra tres ecuaciones con cincovariables, es decir: n = 5, m = 5, por lo tanto se tiene unasistema con solución múltiple.
Cuando n=m, entonces sólo tiene un solución óptima.
El sistema de ecuaciones formado por las restricciones No tieneuna solución única dado que n>m. En general, el Número desoluciones para un sistema con n variables y m ecuaciones donden>m, es:
mCn=n!
m! (n-m)!
5!
3! (5-2)!= = 10 soluciones básicas.
Método Simplex
1er. Paso:Entran al Tableu, las variables que son unitarias (que susvectores son unitarios).
Z - 18.5 X1 - 20.0 X2 = 01 2
0.05 X1 + 0.05 X2 + S1 = 1100
0.05 X1 + 0.10 X2 + S2 = 1800
0.10 X1 + 0.05 X2 + S3 = 2000
X1, X2, S1, S2, S3 > 0
Método Simplex
2do. Paso:
Construir el Tableu:
Base Z X1 X2 S1 S2 S3 Solución
Z 1 - 18.5 - 20.0 0 0 0 0
S1 0 0.05 0.05 1 0 0 1100
S2 0 0.05 0.10 0 1 0 1800
S3 0 0.10 0.05 0 0 1 2000
Esta tabla se le conoce también como Tabla de Solución Básica Inicial, en donde:
S1 = 1100
S2 = 1800
S3 = 2000
Z = 0
En términos de resultado, diríamos que como Z = 0, no se estaría fabricando nada; los recursos materiales se conservan.
Método Simplex
3er. Paso:
Iniciar la solución del problema haciendo uso delCriterio de Optimalidad y Factibilidad.
Criterio de Optimalidad
Caso de Maximización: Se tiene una solución óptima cuando todos los elementos
del renglón Z son positivos o ceros.
Si la solución no es óptima, se selecciona para introducir a la Base,
la variable con el valor más negativo en el renglón Z.
Método Simplex
3er. Paso:
Iniciar la solución del problema haciendo uso delCriterio de Optimalidad y Factibilidad.
Criterio de Optimalidad
Caso de Minimización: Se tiene una solución óptima cuando todos los elementos
del renglón Z son negativos o ceros.
Si la solución no es óptima, se selecciona para introducir a la Base,
la variable con el valor más positivo en el renglón Z.
Método Simplex
3er. Paso:
Iniciar la solución del problema haciendo uso delCriterio de Optimalidad y Factibilidad.
Criterio de Factibilidad
La variable que se selecciona para salir de la Base es aquella con elmenor cociente de los elementos del vector solución entre loselementos del vector de la variable que entra a la Base, y que seanmayores que cero.
Método Simplex
Base
Base Z X1 X2 S1 S2 S3 Solución
Z 1 - 18.5 - 20.0 0 0 0 0
Vector Solución
Ren
gló
n Z
Variables Básicas
En este vector sólo aparecen las variables que dan solución al problema.
Z 1 - 18.5 - 20.0 0 0 0 0
S1 0 0.05 0.05 1 0 0 1100
S2 0 0.05 0.10 0 1 0 1800
S3 0 0.10 0.05 0 0 1 2000
Ren
gló
n Z
Variables que dan solución al problema
Vectores “unitarios” que como consecuencia dan solución al problema. Razón la que las variables de estos vectores
se encuentran en la Base (Vector Base)
Método Simplex
Base Z X1 X2 S1 S2 S3 Solución
Z 1 - 18.5 - 20.0 0 0 0 0
Dado que la Función es de Maximización, con base al criterio deOptimalidad, X2 es la variable que entra a la Base por ser la variable másnegativa en el renglón Z.
Z 1 - 18.5 - 20.0 0 0 0 0
S1 0 0.05 0.05 1 0 0 1100
S2 0 0.05 0.10 0 1 0 1800
S3 0 0.10 0.05 0 0 1 2000
1100/0.05 = 22,000
1800/0.10= 18,000
2000/0.05= 40,000
De acuerdo al Criterio de Factibilidad, S2 es la variable que se seleccionapara salir de la Base, ya que ella es la que tiene el menor cociente de loselementos del vector solución entre los elementos del vector de la variableque entra a la Base, y que son mayores que cero.
Método Simplex
4to. Paso:
Calcular la Nueva Solución.Para que la variable que entra a la Base forme parte de la solución, el vectorcorrespondiente de la variable en la Tableu -dentro de las variables básicas-debe hacerse unitario, para lo cual se efectuarán operaciones de “renglón” de lasiguiente forma:
1. Dividir todos los elementos del renglón de la variable que sale de Base entreel elemento pivote, el cual se encuentra en la intersección de dicho renglóncon la columna de la variable que se introduce a la Base. Esto hace que elelemento pivote se haga 1 (unitario). Para el caso de este ejercicio, sería0.10.
2. Transformar mediante operaciones de renglón los renglones diferentes al dela variables que sale de la Base, de manera que los elementos en la columnade la variable que se introduce a la Base se hagan cero.
Método Simplex
4to. Paso:
Calcular la Nueva Solución.
( 1 )
Renglón de X2 0
Z
0.5
X1
0.1
X2
0
S1
1
S2
0
S3
1800
Solución
0.10 0.10 0.10 0.10 0.10 0.10 0.10 0.10
( 2 ) Ahora, transformar todos los otros elementos del vector para hacerlo ceros.
Renglón de X2 0
Z
0.5
X1
1
X2
0
S1
10
S2
0
S3
18,000
Solución
Método Simplex4to. Paso:
Calcular la Nueva Solución.( 2 )Dado que al transformar todos los otros elementos del vector para hacerlo ceros se afecta a un
elemento de un renglón, todos los elementos del renglón también debe ser afectados por la
operación de renglón.
Base Z X X S S S SoluciónBase Z X1 X2 S1 S2 S3 Solución
Z 1 - 18.5 - 20.0 0 0 0 0
S1 0 0.05 0.05 1 0 0 1100
X2 0 0.5 1 0 10 0 18,000
S3 0 0.10 0.05 0 0 1 2000
Operación del Renglón 1 (R1) para hacer cero al elemento: R3*(20) + R1
X2) 1*(20) + (-20) = 0 ; X1) 0.5*(20) + (-18.5) = - 8.5 ; S1) 0*(20) + 0 = 0; S1) 10*(20) + 0 = 200; S3) 0*(20) + 0 = 0; Solución) 18,000 (20) + 0 = 360,000.
R2
R3
R4
R1
Método Simplex
4to. Paso:
Calcular la Nueva Solución.
Base X1 X2 S1 S2 S3 Solución
Z - 8.5 0 0 200 0 360,000
S1 0.05 0.05 1 0 0 1100R2
R1
S1 0.05 0.05 1 0 0 1100
X2 0.5 1 0 10 0 18,000
S3 0.10 0.05 0 0 1 2000
R2
R3
R4
Operación del Renglón 2 (R2) para hacer cero al elemento: R3*(-0.05) + R2
X2) 1*(-0.05) + (0.05) = 0 ; X1) 0.5*(-0.05) + (0.05) = 0.025; S1) 0*(-0.05) + 0 = 0; S1) 10*(-0.05) + 0 = - 0.5; S3) 0*(20) + 0 = 0 ; Solución) 18000*(-0.05) + 1100 = 200.
Método Simplex
4to. Paso:
Calcular la Nueva Solución.
Base X1 X2 S1 S2 S3 Solución
Z - 8.5 0 0 200 0 360,000
S1 0.025 0 1 - 0.5 0 200R2
R1
S1 0.025 0 1 - 0.5 0 200
X2 0.5 1 0 10 0 18,000
S3 0.10 0.05 0 0 1 2000
R2
R3
R4
Operación del Renglón 2 (R2) para hacer cero al elemento: R3*(-0.05) + R2
X2) 1*(-0.05) + (0.05) = 0 ; X1) 0.5*(-0.05) + (0.05) = 0.025; S1) 0*(-0.05) + 0 = 0; S1) 10*(-0.05) + 0 = - 0.5; S3) 0*(-0.05) + 0 = 0 ; Solución) 18000*(-0.05) + 1100 = 200.
Método Simplex
4to. Paso:
Calcular la Nueva Solución.
Base X1 X2 S1 S2 S3 Solución
Z - 8.5 0 0 200 0 360,000
S1 0.025 0 1 - 0.5 0 200R2
R1
S1 0.025 0 1 - 0.5 0 200
X2 0.5 1 0 10 0 18,000
S3 0.10 0.05 0 0 1 2000
R2
R3
R4
Operación del Renglón 4 (R4) para hacer cero al elemento: R3*(-0.05) + R4
X2) 1*(-0.05) + (0.05) = 0 ; X1) 0.5*(-0.05) + (0.1) = 0.075; S1) 10*(-0.05) + 0 = -0.5; S1) 0*(-0.05) + 0 = 0; S3) 0*(-0.05) + 1 = 1 ; Solución) 18000*(-0.05) + 2000 = 110.
Método Simplex
4to. Paso:
Calcular la Nueva Solución.
Base X1 X2 S1 S2 S3 Solución
Z - 8.5 0 0 200 0 360,000R1
S1 0.025 0 1 - 0.5 0 200
X2 0.5 1 0 10 0 18,000
S3 0.075 0 0 - 0.5 1 1100
R2
R3
R4
Nueva Solución:
S1 = 200
X2 = 18,000
S3 = 1100
Z = 360,000
Método Simplex
4to. Paso:
Calcular la Nueva Solución.
Base X1 X2 S1 S2 S3 Solución
Z - 8.5 0 0 200 0 360,000R1
S1 0.025 0 1 - 0.5 0 200
X2 0.5 1 0 10 0 18,000
S3 0.075 0 0 - 0.5 1 1100
R2
R3
R4
Nueva Solución:
S1 = 200
X2 = 18,000
S3 = 1100
Z = 360,000
Método Simplex
4to. Paso:
Calcular la Nueva Solución.
Base X1 X2 S1 S2 S3 Solución
Z 0 0 340 30 0 428,000R1
X1 1 0 40 - 20 0 8,000
X2 0 1 0 20 0 14,000
S3 0 0 - 3 1 1 500
R2
R3
R4
Solución óptima:
X1 = 8,000
X2 = 14,000
S3 = 500
Z = 428,000
Solución por Gauss-JordanMax Z = 18.5 X1 + 20.0 X2
s.a. 0.05 X1 + 0.05 X2 < 11000.05 X1 + 0.10 X2 < 18000.10 X1 + 0.05 X2 < 2000
X1, X2 > 0
El sistema de ecuaciones formado por las restricciones No tieneEl sistema de ecuaciones formado por las restricciones No tieneuna solución única dado que n>m. En general, el Número desoluciones para un sistema con n variables y m ecuaciones donden>m, es:
mCn=n!
m! (n-m)!
5!
3! (5-2)!= = 10 soluciones básicas.
Dado que n-m = 2; para la construcción de la matriz, debemosasignar le 0 (cero) en cada interacción a dos variables.
Solución por Gauss-Jordan
Solución
BásicaX1 X2 S1 S2 S3 F.O.
1 0 0
2 0 0
3 0 0
4 0 0
Creación de la Tabla: por cada solución básica se asignan ceros a dos variables.
4 0 0
5 0 0
6 0 0
7 0 0
8 0 0
9 0 0
10 0 0
Solución por Gauss-JordanZ - 18.5 X1 - 20.0 X2 = 0
0.05 X1 + 0.05 X2 + S1 = 1100
0.05 X1 + 0.10 X2 + S2 = 1800
0.10 X1 + 0.05 X2 + S3 = 2000
X1, X2, S1, S2, S3 > 0
Solución Básica Inicial:
S1 S2 S3 Solución
1 0 0 1100
0 1 0 1800
0 0 1 2000
Solución por Gauss-Jordan
Solución
BásicaX1 X2 S1 S2 S3 F.O.
1 0 0 1100 1800 2000 0
2 0 0
3 0 0
Solución Básica Inicial:
4 0 0
5 0 0
6 0 0
7 0 0
8 0 0
9 0 0
10 0 0
Solución por Gauss-Jordan
Solución 2:
X2 S2 S3 Solución
0.05 0 0 1100
0.10 1 0 1800
0.05 0 1 2000
X2 S2 S3 Solución
0.05 0 0 1100
0.10 1 0 1800
0.05 0 1 2000
R1
0.05
0.05 0 1 2000
R1*(-0.10) + R2
X2 S2 S3 Solución
1 0 0 22000
0.10 1 0 1800
0.05 0 1 2000R1*(-0.05) + R3
X2 S2 S3 Solución
1 0 0 22000
0 1 0 - 400
0 0 1 900
Solución por Gauss-Jordan
Solución
BásicaX1 X2 S1 S2 S3 F.O.
1 0 0 1100 1800 2000 0
2 0 22000 0 - 400 900 440,000
3 0 0
4 0 0
Solución No factible
4 0 0
5 0 0
6 0 0
7 0 0
8 0 0
9 0 0
10 0 0
Solución por Gauss-JordanSolución
BásicaX1 X2 S1 S2 S3 F.O.
1 0 0 1100 1800 2000 0
2 0 22000 0 - 400 900 440,000
3 0 18000 200 0 1100 360,000
4 0 40000 -900 - 2200 0 800,000
5 22000 0 0 700 -200 407,000
Solución No factible
Solución No factible
Solución No factible
Solución No factible6 36000 0 -700 0 -1600 666,000
7 20000 0 100 800 0 370,000
8 8000 14000 0 0 500 428,000
9 18000 4000 0 500 0 413,000
10 14676.6 10666.6 - 166.6 0 0
Solución No factible
Solución No factible
5 Soluciones Básicas No Factibles;
1 Solución Básica Factible Óptima;
4 Soluciones Básicas Factibles No Óptimas;
0 Soluciones Básica Degeneradas.
Z = 428,000;
X1 = 8,0001;
X2 = 14,000;
S3 = 500.
Método Gráfico
Max Z = 18.5 X1 + 20.0 X2
s.a. 0.05 X1 + 0.05 X2 < 11000.05 X1 + 0.10 X2 < 18000.10 X + 0.05 X < 2000
Importante:
Este método de solución es sólo para modelos con dos variables de decisión.
0.10 X1 + 0.05 X2 < 2000
X1, X2 > 0
Método Gráfico
Max Z = 18.5 X1 + 20.0 X2
s.a. 0.05 X1 + 0.05 X2 < 11000.05 X1 + 0.10 X2 < 18000.10 X + 0.05 X < 2000
Importante:
Este método de solución es sólo para modelos con dos variables de decisión.
0.10 X1 + 0.05 X2 < 2000
X1, X2 > 0
0.05 X1 + 0.05 X2 < 1100
Obtención de pares ordenados a partir de cada restricción:
Sí , X1 = 0, X2 = 22000
Haciendo X1 = 0
Sí , X2 = 0, X1 = 22000
Haciendo X2 = 0
Punto 2: (22000, 0)Punto 1: (0, 22000)
Método Gráfico
Graficar en el Primer Plano:
Punto 2: (22000, 0)Punto 1: (0, 22000)
X2
Restricción:
0.05 X1 + 0.05 X2 < 1100
X10
(0, 22000)
(22000, 0)
VARIANTE DEL MÉTODO SIMPLEX“Método de Penalización o Método de las EMES”
Ejemplo: Hallar la solución óptima del siguiente problema:
Máx X0 = 3X1 + 2X2 + 3X3
s.a. 2X + X + X < 2s.a. 2X1 + X2 + X3 < 23X1 + 4X2 + 2X3 > 82X1 + 3X2 + X3 = 6
Xj > 0
VARIANTE DEL MÉTODO SIMPLEX“Método de Penalización o Método de las EMES”
PROCEDIMIENTO:PASO 1:Escribir el problema en forma estándar e incorporar la función objetivo a las restricciones:
X - 3X - 2X - 3X = 0X0 - 3X1 - 2X2 - 3X3 = 02X1 + X2 + X3 + S1 = 23X1 + 4X2 + 2X3 - S2 = 82X1 + 3X2 + X3 = 6
VARIANTE DEL MÉTODO SIMPLEX“Método de Penalización o Método de las EMES”
PROCEDIMIENTO:PASO 2:Como existen tres restricciones, deben existir tres vectores unitarios. Observamos en el caso que sólo existe uno (S1), ya que S2 es negativo, debemos insertar variables artificiales.
Al incorporar las variables artificiales, recordar que debemos penalizar la función objetivo con “un valor muy superior a cero” al que definiremos como “M”. Para ello primero, insertemos las variables artificiales en las restricciones que sea necesario, y ello es en donde no se tenga un vector unitario:
X0 - 3X1 - 2X2 - 3X3 = 02X1 + X2 + X3 + S1 = 23X1 + 4X2 + 2X3 - S2 + A1 = 82X1 + 3X2 + X3 + A2 = 6
VARIANTE DEL MÉTODO SIMPLEX“Método de Penalización o Método de las EMES”
PROCEDIMIENTO:PASO 2:
Una vez colocadas las variables artificiales en las restricciones, ahora penalizar la función objetivo con una valor “Muy Grande” a través de “M”:
Max X0 = 3X1 + 2X2 + 3X3 -MA1 -MA2 = 0
entonces:
X0 - 3X1 - 2X2 - 3X3 + MA1 + MA2 = 02X1 + X2 + X3 + S1 = 23X1 + 4X2 + 2X3 - S2 + A1 = 82X1 + 3X2 + X3 + A2 = 6
VARIANTE DEL MÉTODO SIMPLEX“Método de Penalización o Método de las EMES”
PROCEDIMIENTO:PASO 3:Incorporar el sistema al Tableu: Como A1 y A2 alteran las ecuaciones, en la primera oportunidad deben salir del sistema.
Base X0 X1 X2 X3 S1 S2 A1 A2 Solución
X0 1 -3 -2 -3 0 0 M M 0
X0` 1-3M-3-5M-3
-4M-2-7M-2
-2M-3-3M-3
00
MM
00
M0
-8M-14M
S1 0 2 1 1 1 0 0 0 2
A1 0 3 4 2 0 - 1 1 0 8
A2 0 2 3 1 0 0 0 1 6
R1
R2
R3
R4
R3(-M)+R1 R4(-M)+R1
VARIANTE DEL MÉTODO SIMPLEX“Método de Penalización o Método de las EMES”
PROCEDIMIENTO:PASO 4:Resolver el problema aplicando el criterio de optimalidad y factibilidad.
Base X0 X1 X2 X3 S1 S2 A1 A2 Solución
X0` 1 -5M-3 -7M-2 -3M-3 0 M 0 0 -14M
S1 0 2 1 1 1 0 0 0 2
A1 0 3 4 2 0 - 1 1 0 8
A2 0 2 3 1 0 0 0 1 6
Cociente
2/1= 2
8/4= 2
6/3= 2
¿cuál sale?
VARIANTE DEL MÉTODO SIMPLEX“Método de Penalización o Método de las EMES”
PROCEDIMIENTO:PASO 4:Resolver el problema aplicando el criterio de optimalidad y factibilidad.
Base X0 X1 X2 X3 S1 S2 A1 A2 Solución
X ` 1 -5M-3 -7M-2 -3M-3 0 M 0 0 -14M
Cociente
X0` 1 -5M-3 -7M-2 -3M-3 0 M 0 0 -14M
S1 0 2 1 1 1 0 0 0 2
A1 0 3 4 2 0 - 1 1 0 8
A2 0 2 3 1 0 0 0 1 6
2/1= 2
8/4= 2
6/3= 2
Como los tres cocientes son iguales, es recomendable utilizar algún método de“desempate”, de tal forma que no se cicle el proceso de solución. Para elloestudiaremos dos métodos:
• PERTURBACIÓN.• LEXICOGRÁFICO.
VARIANTE DEL MÉTODO SIMPLEX“Método de Desempate”
PERTURBACIÓN:
Este método modifica los recursos (bi).
bi = bi + âi1ε1 + a
i2ε2 + a
i1ε3 + . . . + â
inεn
en donde ε adopta valores cercanos a cero : ε→ 0
Supongamos que ε = 0.01
Ѣ1
= 2 + 2(0.01)1 + 1(0.01)2 + 1(0.01)3 + 1(0.01)4 + 0(0.01)5 + 0(0.01)6 + 0(0.01)7 = 2.02
Ѣ2
= 8 + 3(0.01)1 + 4(0.01)2 + 2(0.01)3 + 0(0.01)4 - 1(0.01)5 + 1(0.01)6 + 0(0.01)7 = 8.03
Ѣ3
= 6 + 2(0.01)1 + 3(0.01)2 + 1(0.01)3 + 0(0.01)4 + 0(0.01)5 + 0(0.01)6 + 1(0.01)7 = 6.01
VARIANTE DEL MÉTODO SIMPLEX“Método de Desempate”
PERTURBACIÓN:Una vez obtenidos los valores br afectados, recalcular los cocientes con los nuevos valores b
r:
S1
= 2.02/1 = 2.02S1
= 2.02/1 = 2.02
A1
= 8.03/4 = 2.0075
A2
= 6.02/3 = 2.006
Sale de la Base
VARIANTE DEL MÉTODO SIMPLEX“Método de Desempate”
LEXICOGRÁFICO:
Considera los elementos de los vectores unitarios para obtener cocientes básicos. Si el producto cociente no logra ser desempatado, se proseguirá con el siguiente vector.
En nuestro caso tenemos tres vectores. El vector primario es S1 , el
secundario A1
, y el terciario A2. Ellos se aprecian en la Base del Tableu, en
el orden de aparición de sus restricciones respectivas.A cuerdo a nuestro caso, el primer desempate se da como sigue:
Ѳ1 = 1er vector básico/yrk ,si existe empate, se prosigue con el
segundo vector Ѳ2 , hasta su agotamiento.
VARIANTE DEL MÉTODO SIMPLEX“Método de Desempate”
LEXICOGRÁFICO:
Variable en la
Base
Ѳ1 Ѳ2 Ѳ3
S1 2/1 = 2 1/1 = 1
A 8/4 = 2 0/4 = 0 ¼ = 0.25A1 8/4 = 2 0/4 = 0 ¼ = 0.25
A2 6/3 = 2 0/3 = 0 0/3 = 0
Menor cociente
VARIANTE DEL MÉTODO SIMPLEX“Método de Penalización o Método de las EMES”
PROCEDIMIENTO:PASO 4:Resolver el problema aplicando el criterio de optimalidad y factibilidad.
Base X0 X1 X2 X3 S1 S2 A1 A2 Solución
X0` 1 -5M-3 -7M-2 -3M-3 0 M 0 0 -14M
S1 0 2 1 1 1 0 0 0 2
A1 0 3 4 2 0 - 1 1 0 8
A2 0 2 3 1 0 0 0 1 6
Cociente
2/1= 2
8/4= 2
6/3= 2
¿cuál sale?
VARIANTE DEL MÉTODO SIMPLEX“Método de Penalización o Método de las EMES”
PROCEDIMIENTO:PASO 4:Resolver el problema aplicando el criterio de optimalidad y factibilidad.
Base X1 X2 X3 S1 S2 A1 Solución
X0-1/3 M – 5/3 0
-2/3 M–7/3
0 M 0 4
S14/3 0 2/3 1 0 0 0
A11/3 0 2/3 0 - 1 1 0
X22/3 1 1/3 0 0 0 2
VARIANTE DEL MÉTODO SIMPLEX“Método de Penalización o Método de las EMES”
PROCEDIMIENTO:PASO 4:Resolver el problema aplicando el criterio de optimalidad y factibilidad.
Base X1 X2 X3 S1 S2 Solución
X0-1/2 0 0 0 -7/2 M 4
S11 0 0 1 1 0
X31/2 0 1 0 - 3/2 0
X21/2 1 0 0 1/2 2
VARIANTE DEL MÉTODO SIMPLEX“Método de Penalización o Método de las EMES”
PROCEDIMIENTO:PASO 4:Resolver el problema aplicando el criterio de optimalidad y factibilidad.
Solución Factible Óptima Degenerada:
Base X1 X2 X3 S1 S2 Solución
X03 0 0 7/2 0 4
S21 0 0 1 1 0
X32 0 1 3/2 0 0
X20 1 0 - 1/2 0 2
X0 = 4;S2=0;X3=0;X2=2.
MÉTODO DOBLE FASE
Este método surge como alternativa a la resolución con el método
de la “M”, y como su nombre lo indica, se resuelve, en dos fases.
Este método atiende casos en los que puede encontrarse restricciones
no sólo del tipo <, sino también del tipo >, o en su forma estándar ( = ).
MÉTODO DOBLE FASE
En la fase I, se intenta determinar una solución básicafactible a partir de la minimización de la función objetivoartificial, obtenida ésta como suma de todas las variablesartificiales consideradas (o maximización con signoartificiales consideradas (o maximización con signonegativo de las variables artificiales).
Si el valor de este objetivo artificial es cero, tendremosuna solución inicial para el problema original, y entoncesse pasa a la fase II. En otro caso, el problema esinfactible.
MÉTODO DOBLE FASE
En la fase II, se aplica el método simplex al problemaoriginal (si no se tienen variables artificiales en la base alfinal de la fase I), utilizando la solución básica obtenida enla primera fase, como solución de partida.
Si al final de la fase I existen en la base variablesartificiales (con valor a cero), la función objetivo que seconsidera es la original del problema más esas variablesartificiales, a las que se les asigna un coeficiente cj nulo.
Cuidar que al principio de la fase II se prescinda de lascolumnas correspondiente a las variables artificiales queestuviesen en la base al final de la fase I.
MÉTODO DOBLE FASE
Algoritmo de solución
Paso 0. Poner el modelo en la forma estándar.
Modelo Forma E stándar
Min X0 = 4 X1 + X2
s.a. 3 X1 + X2 = 34 X1 + 3 X2 > 6
X1 + 2 X2 < 4
X1, X2 > 0
X0 - 4X1 - X2 – A1 + 0S1 – A2 + 0S2 = 03 X1 + X2 + A1 = 34 X1 + 3 X2 - S1 + A2 = 6
X1 + 2 X2 + S2 = 4
MÉTODO DOBLE FASE
Algoritmo de solución
Paso 1.
Modificar el objetivo considerando la maximización de
FASE I.
Modificar el objetivo considerando la maximización dela función objetivo artificial Zº, la cual se construyecambiando los coeficientes de la función objetivo delPaso 0 colocándoles -1 a las variables artificiales, y 0 alresto.
X0 - 4X1 - X2 – 1 A1 + 0S1 – 1A2 + 0S2 = 0
MÉTODO DOBLE FASE
Algoritmo de solución
Paso 2.
• Construir el Tableu.
FASE I.
• Construir el Tableu.• Colocar la función objetivo artificial Zº (penalizada)
como una fila (renglón) dentro del Tableu.• Sumar los elementos de filas (renglones) de las
variables artificiales que se encuentren en la base acada elemento de cada vector a la función objetivooriginal, y crear una nueva función objetivo Z*.
MÉTODO DOBLE FASE
Algoritmo de solución
Paso 2.
FASE I.
Base X1 X2 S1 S2 A1 A2 Solución
Zº 0 0 0 0 -1 -1 0
Z* 7 4 -1 0 0 0 9
A1 3 1 0 0 1 0 3
A2 4 3 -1 0 0 1 6
S2 1 2 0 1 0 0 4
X1 = 4 + 3 + 0 = 7; S1 = -1 + 0 + 0 = -1; A1 = 0 + 1 - 1 = 0
MÉTODO DOBLE FASE
Algoritmo de solución
Paso 2: Iniciar el proceso.
FASE I.
Recordar que para eliminar del problema a las varia bles artificiales, la FO se reemplaza Temporalmente por la
Minimización de la suma de dichas variables”
Base X1 X2 S1 S2 A1 A2 Solución
Z* 7 4 -1 0 0 0 9
A1 3 1 0 0 1 0 3
A2 4 3 -1 0 0 1 6
S2 1 2 0 1 0 0 4
Minimización de la suma de dichas variables”
MÉTODO DOBLE FASE
Algoritmo de solución
Paso 2: Iteración Nº 1. La solución no es óptima.
FASE I.
Observe que como A1 salió de la base,ésta ya no aparece en el Tableu actual.
Base X1 X2 S1 S2 A2 Solución
Z* 0 5/3 -1 0 0 2
X1 1 1/3 0 0 0 3
A2 0 5/3 -1 0 1 6
S2 0 5/3 0 1 0 4
ésta ya no aparece en el Tableu actual.
MÉTODO DOBLE FASE
Algoritmo de solución
Paso 2: Iteración Nº 2. Solución óptima de la Fase I.
FASE I.
Base X1 X2 S1 S2 SoluciónBase X1 X2 S1 S2 Solución
Z* 0 0 0 0 0
X1 1 0 1/5 0 3/5
X2 0 1 -3/5 0 6/5
S2 0 0 1 1 1
MÉTODO DOBLE FASE
Algoritmo de solución
Conclusión:
Dado que se tiene una solución óptima en la fase I, y las
FASE I.
Dado que se tiene una solución óptima en la fase I, y las
variables artificiales A1, y A2 han sido eliminadas,
entonces el problema original sí tiene una solución
factible, y para determinar ésta, se continua con la fase II.
MÉTODO DOBLE FASE
Algoritmo de solución
Conclusión:
Si se llegase a presentar una solución óptima y las
FASE I.
Si se llegase a presentar una solución óptima y las
variables artificiales no lograran ser eliminadas, puede
ocurrir que no exista una solución factible para el
problema, y puedan darse contradicciones, por ejemplo
que X1 < 5, y X1 > 20, lo cual No puede ser; o bien que el
problema inicial no esté adecuadamente planteado.
MÉTODO DOBLE FASE
Algoritmo de solución
El proceso inicia con la incorporación de la funciónobjetivo original al Tableu óptimo de la fase I, y seprocede a efectuar los ajustes necesarios para que las
FASE II.
procede a efectuar los ajustes necesarios para que lasvariables que deciden al problema continúen siendounitarias.
Una ves arreglado el Tableu, se continua con laaplicación de los criterios de Optimalidad yFactibilidad según la FO original , hasta llegar a lasolución óptima final.
MÉTODO DOBLE FASE
Algoritmo de solución
Paso 3: Incorporación de Z 0 original al Tableu.
FASE II.
Base X1 X2 S1 S2 SoluciónBase X1 X2 S1 S2 Solución
Z0 -4 -1 0 0 0
Z0 0 0 1/5 0 18/5
X1 1 0 1/5 0 3/5
X2 0 1 -3/5 0 6/5
S2 0 0 1 1 1
Incorporación de Z0 original.
Renglón Z0 ajustado.
El ajuste se realizamediante operaciónde renglón.
MÉTODO DOBLE FASE
Algoritmo de solución
Paso 4: Continuar aplicando los criterios deOptimalidad y Factibilidad..
FASE II.
Base X1 X2 S1 S2 Solución
Z0 0 0 1/5 0 18/5
X1 1 0 1/5 0 3/5
X2 0 1 -3/5 0 6/5
S2 0 0 1 1 1
MÉTODO DOBLE FASE
Algoritmo de solución
Solución óptima
FASE II.
Base X1 X2 S1 S2 Solución
Z0 0 0 0 -1/5 17/5
X1 1 0 0 -1/5 2/5
X2 0 1 0 3/5 9/5
S1 0 0 1 1 1
Z0 = 17/5
X1 = 2/5
X2 = 9/5
DUALIDAD
• La programación lineal puede ser usada para resolver unaextensa variedad de problemas propios de los negocios, ya seapara maximizar utilidades o minimizar costos.
Antecedentes:
para maximizar utilidades o minimizar costos.
• Las variables de decisión, en cada caso la solución óptima,explica cómo podrían ser asignados los recursos para obtenerun objetivo establecido.
DUALIDAD
Todo problema de PL tiene asociado a él otro
problema cuya formulación se deriva del
primero. Un problema es llamado “primo”
(primero) y el otro dual.(primero) y el otro dual.
Ahora veremos que a cada problema de programación lineal se le asocia otro problema de programación lineal, llamado el problema de
programación dual.
DUALIDAD
La “solución óptima” del problema de programación dual, proporcionainformación respecto del problema de programación original, tal como:
1. los precios en el mercado o los beneficios de los recursos escasosasignados en el problema original.asignados en el problema original.
2. la solución óptima del problema original y viceversa.
Normalmente llamamos al problema de programación lineal original el problema de programación primal.
DUALIDAD
Problema Dual cuando el primo está en la forma canó nica:
Primo: Max X0 = ∑ Cj Xj Dual: Min X0 = ∑ bi YI
s.a. ∑ aij Xj < bi ; i = 1, 2, …, m. ∑ aij Xi > Cjj=1
n
j=1
n
s.a. ∑ aij Xj < bi ; i = 1, 2, …, m. ∑ aij Xi > Cj
Xj > 0 Yi > 0
en donde Yi , es la variable dual asociada a la i-ésima restricción primal.
“A PARTIR DEL DUAL PODEMOS TOMAR DECISIONES”
j=1
n
j=1
j=1
n
j=1
DUALIDAD
El problema DUAL se obtiene del problema primo de la siguiente manera, y viceversa:
1. Cada restricción en un problema corresponda a una variabl e en el otro.2. Los elementos del lado derecho de las restricciones en el p roblema son iguales a los
coeficientes respectivos de la F.O. en el otro.3. Un problema busca Maximizar y el otro Minimizar.4. El problema de Maximizar tiene problemas de “ < “ y el de Minimizar, tiene “ > “.5. Las variables en ambos problemas son No-Negativas .5. Las variables en ambos problemas son No-Negativas .
Max X0 = C1 X1 + C2 X2
s.a. a11 X1 + a12 X2 < b1
a21 X1 + a22 X2 < b2
X1 , X2 > 0
Min X0 = b1 Y1 + b2 Y2
s.a. a11 y1 + a12 y2 > C1
a21 Y1 + a22 Y2 > C2
Y1 , Y2 > 0
PRIMO: DUAL:
DUALIDAD
del primo al Dual del Dual al Primo
Max Min
Restricción < Variables >
Restricciones = Variables irrestrictas
Correspondencia Primal-Dual
Restricciones = Variables irrestrictas
Restricciones > Variables < 0
Variables > 0 Restricciones >
Variables irrestrictas Restricciones =
Variables negativas (0 < ) Restricciones <
DUALIDAD
Durante una solución PRIMO, encontraremos que los valores d e lasiteraciones en el Primo SERÁN MAYORES que los valores de laiteraciones del DUAL, sin embargo al final (la última iterac ión) se llega almismo resultado.
Tipos de soluciones
PRIMO DUAL
Óptimo Óptimo
No Factible o No Acotado No Factible
No Factible No Acotado o No Factible
DUALIDAD
“Precio Sombra”
Se define como la proporción con que mejora el valor de la función
objetivo a partir de la i - ésima restricción , dependiendo si se trata
de maximización tiende a aumentar, y a disminuir cuando es de
minimización.
DUALIDADESTUDIO DE UN CASO PARA LA INTERPRETACIÓN ECONÓMICA DEL
MODELO DUAL”
Una compañía produce dos tipos de artículos: la unidad del Ti po I quese vende a $106 pesos, y la del Tipo II a $144 pesos.
Para el presente mes la empresa cuenta con 2000 minutos de man o deobra en el departamento de ensamble, 1800 minutos en eldepartamento de revisión, y con 1000 minutos en el departame nto deempaque .empaque .
El número de minutos requeridos en cada departamento para lafabricación de una unidad de cada uno de los artículos se prop orcionaen la siguiente Tabla.
ArtículoTiempo disponible (min) en los departamentos
Ensamble Revisión Empaque
Tipo I 3 2 1
Tipo II 2 3 2
DUALIDADESTUDIO DE UN CASO PARA LA INTERPRETACIÓN ECONÓMICA DEL
MODELO DUAL”
Otros datos:
Pago por cada minuto de trabajo en departamentos
Ensamble Revisión Empaque
$10 $8 $20
El administrador de la empresa desea determinar el programa deproducción que maximice la utilidad total del mes de la compa ñía.
DUALIDADESTUDIO DE UN CASO PARA LA INTERPRETACIÓN ECONÓMICA DEL
MODELO DUAL”
Tabla de costos, y determinación de la utilidad neta por artí culo:
ConceptoArtículo
Tipo I Tipo II
Precio de Venta 106 144Precio de Venta 106 144
Costo de producción 66 84
Costo de ensamble 30 20
Costo de revisión 16 24
Costo de empaque 20 40
Utilidad unitaria neta 66 84
DUALIDAD
Construcción del modelo
Definición de la variable:
Sea Xi, el número de artículos del Tipo i (i= 1, 2) que deben producirse
mensualmente, a fin de maximizar la utilidad de la compañía.
Máx X0 = 40X1 + 80X2
s.a. 3X1 + 2X2 < 2000 min (depto. ensamble)2X1 + 3X2 < 1800 min (depto. revisión)X1 + 2X2 < 1000 min (depto. empaque)
Xi > 0; Vi
DUALIDAD
Win QSB
DUALIDAD
Solución mediante Win QSB
Incremento en $ por cada minuto que se incremente en los departamentos.