Căn thức Thầy Hồng Trí Quang

1

Phần 1. Rút gọn căn thức

Bài 1. Rút gọn các biểu thức sau: A 8 8 20 40

Bài 2. Đề thi chuyên ngữ 2014

Cho biểu thức: 2 4 2 1 1 2

: 318 2 1

x x x xA

xx x x x

1. Rút gọn A

2. Tìm giá trị của x để A > 1

Kết hợp với điều kiện, kết luận: 1 4; 3x x (thiếu x khác 3 trừ 0,25đ)

Bài 3. Hsg Bình Thuận

3 32

2

1 1 . 1 1

2 1

x x x

Ax

a) Rút gọn A

b) Tìm x biết 1

2A

Bài 4. Hsg Nam Định. Cho 𝑥 ≠ 0,−1 < 𝑥 < 1, 1 x 1 x

21 x 1 x

. Chứng minh rằng:

112 2 17

1

x

x

Bài 5. Cho y x 2 x 1 x 2 x 1 . CMR, nếu 1 ≤ x ≤ 2 thì giá trị của y là một

hằng số. HD Nếu 1 ≤ x ≤ 2 thì y = 2.

Tự luyện

Bài 6. Tính giá trị của biểu thức sau bằng hai cách: 3 5 3 5A

Bài 7. Cho biểu thức 4 2A 20a 92 a 16a 64 ;

4 3 2B a 20a 102a 40a 200

a) Rút gọn A

b) Tìm a để A + B = 0

Bài 8. Hsg Thanh Hóa. Rút gọn

2

4x 1 4x 1

2 2

1 816

x x

A

x x

Căn thức Thầy Hồng Trí Quang

2

Bài 9. Cho biểu thức: xxx

xx

xx

xx

x

xP

2122 .1;0 xx

a) Rút gọn biểu thức P.

b) Tính giá trị của thức P khi 223x

c) Chứng minh rằng: với mọi giá trị của x để biểu thức P có nghĩa thì biểu thức P

7 chỉ

nhận một giá trị nguyên.

Đs a) 2 2 2x x

Px

b) 4 2 2P ; c)

14;

4x x

Bài 10. Đề thi CVA& Amsterdam 2003 – 2004

Cho biểu thức: P =

a) Rút gọn P. b) Tìm giá trị lớn nhất của P.

c) Tìm x để biểu thức Q = nhận giá trị là số nguyên.

Bài 11. Cho biểu thức 3 3

3 3

1 1 2 1 1. :

x y x x y yP

x yx y x y x y xy

a) Tìm ĐKXĐ và rút gọn P.

b) Cho 16xy . Xác định x, y để P có giá trị nhỏ nhất.

a) x y

Pxy

b) GTNN của P bằng 1 tại 4x y .

Bài 12. Hsg T.T.Huế. Cho

𝐴 = (6𝑥 + 4

3√3𝑥3 − 8−

√3𝑥

3𝑥 + 2√3𝑥 + 4)(

1 + 3√3𝑥3

1 + √3𝑥− √3𝑥)

a) Rút gọn A

b) Tìm x nguyên để A nguyên

Bài 13. Rút gọn

2x x 2x x 2(x 1)

x x 1 x x 1

2 x

P

Căn thức Thầy Hồng Trí Quang

3

a)

2

2

2a 1 xC

1 x x

với

1 1 a ax

2 a 1 a

; 0 < a < 1

b) 2 2

2

a 1 b 1D (a b)

c 1

với a, b, c > 0 và ab + bc + ca = 1

Phần 2. TÍNH GIÁ TRỊ BIỂU THỨC

Bài 14. Tính giá trị biểu thức 3 384 84

1 19 9

Bài 15. Hsg Đồng Tháp. Cho 3 10 6 3 3 1

6 2 5 5x

. Tính

20093 4x 1P x

Bài 16. Gọi a là nghiệm dương của phương trình: 22 1 0x x . Không giải phương trình, hãy

tính giá trị biểu thức:

4 2

2 3

2 2 2 3 2

aC

a a a

Bài 17. Cho hai số thực x, y thỏa mãn: (√𝑥2 + 1 + 𝑥)(√𝑦2 + 1 + 𝑦) = 1. Tính x + y

Bài 18. Biết a – b = 2 + 1 , b – c = 2 - 1, tìm giá trị của biểu thức :

A = a2 + b2 + c2 – ab – bc – ca.

Bài 19. Hsg Hà Tĩnh. Tính tổng 𝑎1 + 𝑎2 +⋯+ 𝑎𝑛, với n = 1, 2, … 2005 biết

𝑎𝑛 =1

(𝑛 + 1)√𝑛 + 𝑛√𝑛 + 1

Tự luyện

Bài 20. Cho 3 37 50 7 50x Chứng minh rằng:

a) x là nghiệm của phương trình 3 14 3x x

b) x là số tự nhiên.

c) Tính3 3a 20 14 2 20 14 2 .

Bài 21. a) Cho 1

a8

. Tính giá trị biểu thức: 3 3a 1 8a 1 a 1 8a 1

P a a3 3 3 3

b) Cho 3b 2020 , tính giá trị biểu thức:

3 2 2 3 2 2

3 3b 3b (b 1) b 4 b 3b (b 1) b 4

Q2 2

Căn thức Thầy Hồng Trí Quang

4

Bài 22. a) Chứng minh rằng với mọi a, b, c ≠ 0 thì: 2

2 2

2

11

a aa b a b

aabb

b) Tính

2

2 20051 2005

2006

A

Bài 23. Tính giá trị biểu thức:

20122

20125 4 3

5 4 3 2012

31

2

x xA x x x

x x x

khi

5 1

2x

Đs A = 0

Bài 24. Cho hai số thực x, y thỏa mãn: (√𝑥2 + 4 − 𝑥)(√𝑦2 + 4 − 𝑦) = 4. Tính x + y

Bài 25. Cho số tự nhiên x, y thỏa mãn 2 2x 1 y y 1 x 1 . Tính giá trị của biểu

thức: 7 7 5 5 3 3P x y 2x 2y 3x 3y 4x 4y 100

Bài 26. Hsg Phú Yên. Cho 1 3

2x

,

1 3

2y

. Tính 𝑥11 + 𝑦11

Phần 3. CHỨNG MINH ĐẲNG THỨC

Bài 27. 1) Cho a + b + c = 0 ; a, b, c ≠ 0. Chứng minh đẳng thức : 2 2 2

1 1 1 1 1 1

a b c a b c

2) Cho a, b, c là các số hữu tỉ đôi một khác nhau. CM

2 2 2

1 1 1S

a b b c c a

là

số hữu tỉ

3) Rút gọn:

2 22 2 4 4 2 2

1 1 1 1 1P

x y x yx y x y

Bài 28. Hsg Phú Thọ. Cho x, y, z dương thỏa mãn xyz = 100. Tính giá trị biểu thức:

𝐴 =√𝑥

√𝑥𝑦 + √𝑥 + 10+

√𝑦

√𝑦𝑧 + √𝑦 + 1+

10√𝑧

√𝑧𝑥 + 10√𝑧 + 10

Bài 29. *Cho a, b, c là ba số thực dương thỏa mãn: a b c a b c 2 . Chứng minh

rằng:

a b c 2

1 a 1 b 1 c (1 a)(1 b)(1 c)

Căn thức Thầy Hồng Trí Quang

5

Tự luyện

Bài 30. a) Rút gọn biểu thức: 2 2

1 1A 1

a (a 1)

b) Tính giá trị của: 2 2 2 2 2 2

1 1 1 1 1 1B 1 1 ... 1

1 2 2 3 99 100

Bài 31. Với mỗi số nguyên dương 𝑛 ≤ 2008, đặt 𝑆𝑛 = 𝑎𝑛 + 𝑏𝑛 với 3 5

2a

,

3 5

2b

.

Chứng minh rằng:

a) Với 𝑛 ≥ 1, ta có:

𝑆𝑛 = (𝑎 + 𝑏)(𝑎𝑛+1 + 𝑏𝑛+1) − 𝑎𝑏(𝑎𝑛 + 𝑏𝑛)

b) Với mọi n thỏa mãn điều kiện đề bài, 𝑆𝑛 là số nguyên

c)

2

5 1 5 12

2 2

n n

nS

Tìm tất cả các giá trị của n để 𝑆𝑛 − 2 là số chính phương.

Bài 32. a) **Cho 2 4 2 2 2 43 3P x x y y x y . Chứng minh rằng:

3 32 2 23P x y

b) Cho a, b, c, x, y, z thỏa mãn điều kiện: 3 3 3ax by cz và

1 1 11

x y z . Chứng minh rằng:

2 2 2 3 3 33 ax by cz a b c

Bài 33. Cho ba số dương a, b, c thỏa mãn: a b c và 2( )a b a b c . Chứng

minh rằng:

2

2

( )

( )

a a c a c

b b c b c

Phần 4. BẤT ĐẲNG THỨC

Bài 34. Chứng minh: (HSG 2001) 2 2 2 2 2 1

32 2 2 2

Bài 35. Cho a, b, c là các số dương. Chứng minh rằng tồn tại một số dương trong hai số:

2a b 2 cd và 2c d 2 ab

Bài 36. Tính giá trị của biểu thức x2 + y2 biết rằng : 2 2x 1 y y 1 x 1 .

Căn thức Thầy Hồng Trí Quang

6

Bài 37. Chứng minh rằng : 1

2 n 1 2 n 2 n 2 n 1n

. Từ đó suy ra:

1 1 1

2004 1 ... 20052 3 1006009

Bài 38. a) Chứng minh *n N . Ta có :

1 1 1

1 1 1n n n n n n

b) Tính : 1 1 1 1

2 2 3 2 2 3 4 3 3 4 2012 2011 2011 2012S

Bài 39. CMR, n ≥ 1 , n N : 1 1 1 1

... 22 3 2 4 3 (n 1) n

Tự luyện

Bài 40. Chứng minh rằng: 2 3 4... 2010 2011 3

Bài 41. Tìm GTNN của biểu thức : 3 3 3 3A x 2 1 x 1 x 2 1 x 1 .

Bài 42. Tìm x, y, z biết rằng : x y z 4 2 x 2 4 y 3 6 z 5 .

Bài 43.

a) Chứng minh rằng với mọi số nguyên dương k ta có: 1 1 1

2( 1) 1k k k k

b) Chứng minh rằng: 1 1 1 1

... 22 3 2 4 3 ( 1)n n

Bài 44. Tính : 1 1 1 1

A ...2 1 1 2 3 2 2 3 4 3 3 4 100 99 99 100

.

Ta hãy chứng minh : 1 1 1 9

A10(n 1) n n n 1 n n 1

Bài 45. Tìm GTLN của biểu thức

a) A = 3 5 7 3x x b) B = 5 23x x

Bài 46. Chứng minh rằng

a) n Z+ , ta luôn có : 1 1 11 .... 2 n 1 1

2 3 n .

Căn thức Thầy Hồng Trí Quang

7

b) S không là số tự nhiên với: 1 1 1

S 1 ...2 3 100

Bài 47. Cho 25 số tự nhiên a1 , a2 , a3 , … a25 thỏa đk :

1 2 3 25

1 1 1 1... 9

a a a a .

Chứng minh rằng trong 25 số tự nhiên đó tồn tại 2 số bằng nhau.

Bài 48. Tính tổng A 1 2 3 ... 24

Bài 49. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức : 2 2A x x 1 x x 1

Phần 5. SỐ HỮU TỈ - SỐ VÔ TỈ

Bài 50. Cho a 2

Ma 2

Bài 51.

a) Chứng minh 3 là số vô tỉ

b) Xác định các số nguyên a, b sao cho một trong các nghiệm của phương trình : 3x3 + ax2 + bx

+ 12 = 0 là 1 3 .

Bài 52. Cho ba số x,y, x y là các số hữu tỉ. Chứng minh rằng mỗi số x; y đều là các số

hữu tỉ

Bài 53. Chứng minh rằng biểu thức 222221 66666 3 không thể biểu diễn được dưới dạng

2

a1 b 3 với a, b là số nguyên

Bài 54. Cho biểu thức : 1 1 1 1

P ...2 3 3 4 4 5 2n 2n 1

a) Rút gọn P. b) P có phải là số hữu tỉ không ?

Phần 6. Các bài toán khác

Bài 55. Hãy lập phương trình f(x) = 0 với hệ số nguyên có một nghiệm là : 3 3x 3 9 .

Bài 56. Xác định đa thức bậc 7 có hệ số nguyên nhận 7 73 5

5 3 là một nghiệm.

Bài 57. Cho 𝑐 = √6√3 + 103

, 𝑑 = √6√3 − 103

. Chứng minh rằng 𝑐2, 𝑑2 là hai nghiệm của một

phương trình bậc hai với hệ số nguyên.