9 [htq] de thi hsg 2

Tuyển tập đề thi học sinh giỏi Thầy Hồng Trí Quang

1

Lever 2 Cấp độ tương đương đề thi học sinh giỏi tỉnh

Đề thi phân cấp từ dễ đến khó, mức độ khó nhất là hai đề cuối cùng

Để xem đầy đủ tuyển tập 100 đề thi và đáp án, các bạn có thể tham gia Khóa luyện đề bắt đầu từ

tháng 4 đến tháng 6

ĐỀ SỐ 21

Bài 1 Cho a, b, c là các số thực khác nhau. Chứng minh rằng:

2 2 2

( )( ) ( )( ) ( )( )

b c c a a b

a b a c b c b a c a c b a b b c c a

Bài 2 a) Cho A = 111…….111 ( 2m chữ số 1)

B = 111…….111 (m + 1 chữ số 1)

C = 666…….666 (m chữ số 6)

Chứng minh A + B + C + 8 là số chính phương

b) Tìm tất cả các số tự nhiên có 3 chữ số abc sao cho:

2

2

1

2

abc n

cba n

với n là số nguyên lớn

hơn 2

Bài 3: Cho đường thẳng d có phương trình: ( 2) ( 3) 8x m m y m

a) Xác định m để đường thẳng (d) đi qua điểm P(-1;1).

b) Chứng minh rằng khi m thay đổi thì đường thẳng (d) luôn luôn đi qua một điểm cố

định.

c) Tìm m để khoảng cách từ gốc tọa độ đến đường thẳng d là lớn nhất?

Bài 4: (4,0 điểm)

a) Cho x > 0, y > 0 và x + y 1. Chứng minh bất đẳng thức 2 2

1 14

x xy y xy

.

b) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức 2 3

3 1

x xA

x

, với 1x .

Bài 5 (4 điểm). Cho đường tròn tâm O đường kính AB. M là điểm nằm trên đoạn OA, vẽ đường

tròn tâm O’ đường kính MB. Gọi I là trung điểm đoạn MA, vẽ dây cung CD vuông góc với AB

tại I. Đường thẳng BC cắt đường tròn (O’) tại J.

a) Đường thẳng IJ là gì của đường tròn (O’) ? Giải thích.


2

b) Xác định vị trí của M trên đoạn OA để diện tích tam giác IJO’ lớn nhất.

Bài 6: Cho a, b, c là độ dài 3 cạnh của một tam giác. Hãy tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

.( ) ( ) ( )

a b cS

b c a a c b a b c

ĐỀ SỐ 22

Bài 1. Tìm phần dư của phép chia đa thức p(x) cho 3(x 1)(x 1) biết p(x) chia cho x 1 thì

dư 1, p(x) chia cho 3x 1 thì dư 2x x 1 .

Bài 2. Cho phương trình 2 22 2 2 0 (1).x mx m .

1. Tìm các giá trị của m để phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt 1x và 2x thoả

mãn hệ thức 3 3

1 2

5

2x x .

2. Giả sử phương trình (1) có hai nghiệm không âm. Tìm giá trị của m để nghiệm

dương của phương trình đạt giá trị lớn nhất.

Bài 3.

a) Giải hệ phương trình

2 2

2 2

( 3)( 1) 10 0

30

203 1

x y xy

x y

x y

b) Giải phương trình 3)45(3422 22 xxxx

Bài 4. Cho nửa đường tròn (O) đường kính AB =2R và C , D là 2 điểm di động trên nửa đường

tròn sao cho C thuộc cung AD và góc COD = 600 ( C khác A và D khác B).Gọi M là giao điểm

của tia AC và BD , N là giao điểm của dây AD và BC

a) Chứng minh tứ giác CMDN nội tiếp đường tròn và tổng khoảng cách từ A,B đến đường thẳng

CD không đổi .

b) Gọi H và I lần lượt là trung điểm CD và MN . Chứng minh H , I, O thẳng hàngvà 3

3RDI

c) Tìm giá trị lớn nhất của diện tích tam giác MCD theo R

Bài 5.


3

1) Cho x, y, z là các số dương thoả mãn 1 1 1

6x y y z z x

.

Chứng minh rằng: 1 1 1 3

3 3 2 3 2 3 2 3 3 2x y z x y z x y z

.

2) Cho các số thực m, n, p thoả mãn: 2 223m

2 1 n np p . Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của

biểu thức S = m + n + p.

ĐỀ SỐ 23

Bài 1. a) Cho x là số thực dương thỏa mãn 2

2

15x

x . Tính 12

12

1x

x

b) Cho 3 số dương x,y,z thoả mãn điều kiện: xy + yz + zx = 1. Tính:

T =

2

22

1

11

x

zyx

2

22

1

11

y

xzy

2

22

1

11

z

yxz

Bài 2: a) Giải phương trình: 4)11( 2

2

xx

x

b) Tìm nghiệm nguyên của hệ:

8

5

zxyzxy

zyx

Bài 3:

a) Cho x3 + y3 + 3(x2 +y2) +4(x + y) + 4 = 0 và xy > 0 . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức :

1 1M

x y

b) Cho hai dãy số cùng chiều : a1 ≤ a2 ≤ a3 ; b1 ≤ b2 ≤ b3

Chứng minh rằng : (a1+ a2 +a3)(b1 + b2 + b3 ) ≤ 3(a1b1 +a2b2+a3b3)

Áp dụng chứng minh rằng : với thì

Câu 4: Cho ABC (AB = AC). Vẽ một đường tròn có tâm(O) nằm trên BC và tiếp xúc với các

cạnh AB, AC lần lượt tại D; E. Gọi I là một điểm chuyển động trên cung nhỏ DE ( ;I D E ).

Tiếp tuyến của đường tròn tại I cắt các cạnh AB, AC tương ứng tại M, N .

a) Chứng minh rằng: Chu vi tam giác AMN không đổi.

b) Chứng minh hệ thức 24. .BM CN BC

cba 0cbacba

cba

3200620062006

200520052005


4

c) Xác định vị trí của điểm I trên cung nhỏ DE để AMN có diện tích lớn nhất.

Câu 5: Cho ABC đều điểm M nằm trong ABC sao cho AM2 = BM2 + CM2. Tính số đo góc

BMC?

ĐỀ SỐ 24

Câu 1. (3,0 điểm)

1) Cho a, b, c là các số thực thoả mãn 2 2 2a b c ab bc ca

Tính giá trị biểu thức:

22 6 2011

22 6 2011

a b cP = + +

b c a

2) Cho 3 3 3 3

3 6x = ;y = .

4 - 2 +1 4 + 4 + 16 Chứng minh rằng x + y là một số tự nhiên.


1) Giải phương trình: 2

x 3 8 x 11x x 24 1.

2) Giải hệ phương trình :

4 12

2x y 3x y

4x 12y 7 2x y 3x y

Câu 3. (1,0 điểm) Tìm tất cả các số nguyên n sao cho A n 2010 n 2011 n 2012 là

một số chính phương.


Cho tam giác ABC nội tiếp trong đường tròn (O). Gọi D là điểm thay đổi trên cung

nhỏ AB của đường tròn (O), (D không trùng với A, B).

1) Trong trường hợp ACBD là tứ giác ngoại tiếp một đường tròn, chứng minh rằng

AC + BD = AD + BC.

2) Trong trường hợp ABC là tam giác đều, chứng minh rằng DA + DB = DC.

3) Trong trường hợp tam giác ABC có AB là cạnh nhỏ nhất, trên cạnh AC và BC lấy

Các điểm M, N tương ứng sao cho AM = BD và BN = AD. Chứng minh rằng khi D

thay đổi trên cung nhỏ AB của đường tròn (O) thì trung điểm I của đoạn thẳng MN

luôn thuộc một đường tròn cố định.



5

Cho a, b, c là số thực dương, chứng minh rằng:

2ab 3bc 3ca a 2b 3c

.3a 8b 6c 3b 6c a 9c 4a 4b 9

ĐỀ SỐ 25

Bài 1. Chứng minh rằng nếu a, b, c là các số thoả mãn các bất đẳng thức:

2 2 2 2 2 2 2 2 2a b c c a b b c a

a b b c c a a b b c c a a b b c c a

Thì | | | | | |a b c

Bài 2.

1) Giải phương trình 3x2 + 4x + 10 = 2214 7x

2) Giải hệ phương trình

4

4

3 4

3 4

x y

y x

Bài 3.

Xác định hình vuông có độ dài cạnh là số nguyên và diện tích cũng là số nguyên gồm 4 chữ số,

trong đó các chữ số hàng đơn vị, hàng chục và hàng trăm giống nhau.

Bài 4

1) Cho đường tròn (O; R) và một điểm A ở ngoài đường tròn. Từ một điểm M di động trên đường

thẳng d OA tại A, vẽ các tiếp tuyến MB, MC với đường tròn (B, C là các tiếp điểm). Dây BC

cắt OM và OA lần lượt tại H và K.

a) Chứng minh rằng OA.OK không đổi, từ đó suy ra BC luôn đi qua một điểm cố định.

b) Chứng minh rằng H di động trên một đường tròn cố định.

c) Cho biết OA = 2R, hãy xác định vị trí của điểm M để diện tích tứ giác MBOC nhỏ nhất.

Tìm giá trị nhỏ nhất đó.

2) Từ một điểm A ở ngoài đường tròn (O ; R), ta kẻ hai tiếp tuyến AB và AC với đường tròn (B

và C là các tiếp điểm). Gọi M là một điểm bất kỳ trên đường thẳng đi qua các trung điểm của AB

và AC. Kẻ tiếp tuyến MK của đường tròn (O). Chứng minh MK = MA ./.

Bài 5. A, B, C là một nhóm ba người thân thuộc. Cha của A thuộc nhóm đó, cũng vậy con gái

của B và người song sinh của C cũng ở trong nhóm đó. Biết rằng C và người song sinh của C là

hai người khác giới tính và C không phải là con của B. Hỏi trong ba người A, B, C ai là người

khác giới tính với hai người kia ?

ĐỀ SỐ 26


6

Bài 1. Cho a, b, c là các số khác nhau thỏa mãn: a + b + c = 0. Chứng minh rằng:

4 4 4

4 2 2 2 4 2 2 2 4 2 2 2

3

( ) ( ) ( ) 4

a b c

a b c b c a c a b

2) Cho đa thức bậc ba f(x) với hệ số của x3 là một số nguyên dương và biết f(5) f(3) 2010 .

Chứng minh rằng: f(7) f(1) là hợp số.

Bài 2.

1) Giải phương trình: 2( x + 5 - x + 2)(1 + x + 7x + 10) = 3 .

2) Giải hpt: 2 2 4

7 7 6

x y

x y

Bài 3.

1) Tìm nghiệm nguyên của phương trình 6 6 6 632 16 4x y z t

2) Cho biểu thức A 3 3x y y x với ; 0; 2012x y x y Tìm GTNN của A

Bài 4. Cho đường tròn đường kính AB. Trên đoạn thẳng OA lấy điểm H bất kỳ không trùng A

và O, kẻ đường thẳng d vuông góc với AB tại H, trên d lấy điểm C nằm ngoài đường tròn, từ C

kẻ 2 tiếp tuyến CM và CN với (O) với M và N là các tiếp điểm (M thuộc nửa mặt phẳng bờ d có

chứa điểm A) Gọi P, Q lần lượt là giao điểm của CM, CN với AB

1.Chứng minh HC là tia phân giác góc MHN

2.Đường thẳng đi qua O vuông góc với AB cắt MN tại K và đường thẳng CK cắt đường thẳng

AB tại I. CM I là trung điểm PQ

3.Chứng minh PN, QM, CH đồng quy

Bài 5. Trong các hình bình hành ngoại tiếp đường tròn (O; r), hãy tìm hình bình hành có diện tích

nhỏ nhất.

ĐỀ SỐ 27

Bài 1. Cho biểu thức xx

xx

xxxx

x

xx

xxP

2

2211

1

2. Tìm tất cả các giá trị của x

sao cho giá trị của P là một số nguyên.

Bài 2.


7

a) Giải phương trình: 1232122 22 xxxxx .

b) Giải hệ phương trình:

532

512

168

22

22

xxyxx

yx

xyyx

Bài 3.

a) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho parabol (P): y = x2 và hai điểm A(-1;1), B(3; 9) nằm trên (P).

Gọi M là điểm thay đổi trên (P) và có hoành độ là m ( -1 < m < 3). Tìm m để tam giác ABM có

diện tích lớn nhất.

b) Tìm các số nguyên x, y thoả mãn: 3322 1122122 yxyxxy .

Bài 4. Cho hai đường tròn (O1) và (O2) tiếp xúc ngoài nhai tại điểm T. Hai đường tròn này nằm

trong đường tròn (O3) và tiếp xúc với (O3) tương ứng tại M và N. Tiếp tuyến chung tại T của

(O1) và (O2) cắt (O3) tại P. PM cắt đường tròn (O1) tại điểm thứ hai A và MN cắt (O1) tại điểm

thứ hai B. PN cắt đường tròn (O2) tại điểm D và MN cắt (O2) tại điểm thứ hai C.

a) Chứng minh rằng tứ giác ABCD là tứ giác nội tiếp.

b) Chứng minh rằng AB, CD và PT đồng quy.

Bài 5. Cho a, b, c > 0 thoả mãn abc = 1. Chứng minh rằng:

2 2 2

a b c 1

(ab a 1) (bc b 1) (ca c 1) a b c

. Đẳng thức xảy ra khi nào?

ĐỀ SỐ 28

Bài 1. Cho a, b, c là các số khác nhau thỏa mãn: a + b + c = 0. Chứng minh rằng:

2 2 2

2 2 2

2 2 2 2 2 2

3

2

a b c

a b c b c a c a b

Bài 2.

a) Giải phương trình 3 32 62 1 1x x x x

b) Giải hệ phương trình 2 2

2 2

8 2

16 8 16 5 4

y x x

x y x xy y


8

Bài 3.

a) Tìm tất cả các số nguyên dương n sao cho số nnnA 432 là số chính phương.

b) Cho a, b dương thỏa mãn baab 20142013 . Chứng minh: 220142013 ba

Bài 4.

Cho đường tròn (O;R) và AB là đường kính. Gọi d là đường trung trực của OB. Gọi M và N là

hai điểm phân biệt thuộc đường thẳng d. Trên các tia OM, ON lấy lần lượt các điểm M’ và N’ sao

cho OM’.OM = ON’.ON 2R .

a) Chứng minh rằng bốn điểm M, N, M’, N’ thuộc một đường tròn.

b) Khi điểm M chuyển động trên d, chứng minh rằng điểm M’ thuộc một đường tròn cố

định.

c) Tìm vị trí điểm M trên d để tổng MO + MA đạt giá trị nhỏ nhất.

d) Tìm vị trí điểm M trên d nhưng M không nằm trong đường tròn (O;R) để tổng MO +

MA đạt giá trị nhỏ nhất.

Bài 5. Cho ngũ giác lồi ABCDE. Biết các tam giác ABC, ABE, BCD, CDE và DEA có diện tích

bằng 2010 . Tính diện tích ngũ giác.


9

ĐỀ SỐ 29

Bài 1. Cho 1 1 1

; ;a x b y c xyx y xy

với các số thực x, y thỏa mãn 𝑥𝑦 ≠ 0. Chứng minh

rằng 𝐴 = 𝑎2 + 𝑏2 + 𝑐2 − 𝑎𝑏𝑐 không phụ thuộc vào x, y.

Bài 2.

a) Giải phương trình : 22x x 9 x 9 22 x 1

b) Giải hệ phương trình3

3

82 3

62

xy

xy

Bài 3.

1) Cho x, y là các số nguyên khác -1 sao cho 4 41 1

1 1

x y

y x

là số nguyên. Chứng minh

rằng 2012 1x chia hết cho 1y

2) Cho ba số thực , ,a b c đôi một phân biệt. Chứng minh

2 2 2

2 2 22

( ) ( ) ( )

a b c

b c c a a b

Bài 4. Cho 3 điểm A, B, C cố định nằm trên một đường thẳng d (B nằm giữa A và C). Vẽ đường

tròn tâm O thay đổi nhưng luôn đi qua B và C (O không nằm trên đường thẳng d). Kẻ AM và

AN là các tiếp tuyến với đường tròn tâm O tại M và N. Gọi I là trung điểm của BC, AO cắt MN

tại H và cắt đường tròn tại các điểm P và Q (P nằm giữa A và O), BC cắt MN tại K.

a) Chứng minh 4 điểm O, M, N, I cùng nằm trên một đường tròn.

b) Chứng minh điểm K cố định khi đường tròn tâm O thay đổi.

c) Gọi D là trung điểm HQ, từ H kẻ đường thẳng vuông góc với MD cắt đường thẳng MP tại E.

Chứng minh P là trung điểm ME.

Bài 5.

a) Chứng minh rằng nếu 1x y thì 1 1

x yx y

.


10

b) Cho 1 , , 2a b c . Chứng minh rằng 1 1 1

10a b ca b c

.

ĐỀ SỐ 30

Bài 1 (3,0 điểm).

1. Cho 3

21 3 3

xf x

x x

. Hãy tính giá trị của biểu thức sau:

1 2 2010 2011...

2012 2012 2012 2012A f f f f

2. Rút gọn biểu thức:

2 2

2

5 6 3 6 8

3 12 ( 3) 6 8

x x x xA

x x x x

Bài 2

1) Giải phương trình: 2 3 25 8 3 2 5 7 6 x x x x x .

2) Cho x, y thỏa mãn:

3 2

2 2 2

2 4 3 0

2 0

x y y

x x y y

. Tính 2 2Q x y


1) Tìm tất cả các cặp số nguyên dương ; x y thỏa mãn 3 2

6x y x y .

2) Cho , , , a b c d là các số thực thỏa mãn điều kiện:

2012abc bcd cda dab a b c d

Chứng minh rằng: 2 2 2 21 1 1 1 2012a b c d .


Cho ba đường tròn 1 2, O O và O (kí hiệu X chỉ đường tròn có tâm là điểm X). Giả sử

1 2, O O tiếp xúc ngoài với nhau tại điểm I và 1 2, O O lần lượt tiếp xúc trong với O

tại 1 2,M M . Tiếp tuyến của đường tròn 1O tại điểm I cắt đường tròn O lần lượt tại các điểm

, 'A A . Đường thẳng 1AM cắt lại đường tròn 1O tại điểm 1N , đường thẳng 2AM cắt lại

đường tròn 2O tại điểm 2N .

1. Chứng minh rằng tứ giác 1 1 2 2M N N M nội tiếp và đường thẳng OA vuông góc với đường


11

thẳng 1 2N N .

2. Kẻ đường kính PQ của đường tròn O sao cho PQ vuông góc với AI (điểm P nằm

trên cung 1AM không chứa điểm

2M ). Chứng minh rằng nếu 1 2, PM QM không song song

thì các đường thẳng 1, AI PM và 2QM đồng quy.

Bài 5 (1,0 điểm)

Tất cả các điểm trên mặt phẳng đều được tô màu, mỗi điểm được tô bởi một trong 3 màu xanh,

đỏ, tím. Chứng minh rằng khi đó luôn tồn tại ít nhất một tam giác cân, có 3 đỉnh thuộc các điểm

của mặt phẳng trên mà 3 đỉnh của tam giác đó cùng màu hoặc đôi một khác màu.

Education

9 [htq] de thi hsg 2