Problem Set 14.3 – AEM

1 – 4 Integrasikan (z2

−4 )/(z2+4 ) berlawanan arah jarum jam dengan lingkaran:

1. ∣z−i∣=22. ∣z−1∣=23. ∣z+ j3∣=24. ∣z∣=π/2

Jawab:Persamaan f(z) didefinisikan sebagai berikut:

f (z)=(z2

−4)

z2+4

=(z2

−4)

(z+ j2)( z− j2)

Sedangkan rumus integral tertutup:

∮C

f (z )z−z0

= j2π f (z0)

1. Untuk lingkaran ∣z−i∣=2 memiliki jari-jari sebesar 2 dengan titik pusat pada j. Maka, nilai f(z) tidak analitik pada z = -j2. Sehingga:

f (z)=(z2

−4 )

( z+ j2)(z− j2)=

(z2−4 )

(z− j2)1

( z+ j2)

f (z)=z2

−4z− j2

(Pole -j2 diluar lingkaran, hasil integrasi = 0)

∮C

(z2−4)

z2+4

= j2 π f (− j2)= j2π [ z2−4

z− j2 ]z=− j2

Substitusikan nilai -j2 ke f(z), maka

j2 π[ (− j2 )2−4

− j2− j2 ]= j2π−4−4− j4

= j 2π−8− j4

=4π

2. Untuk lingkaran ∣z−1∣=2 memiliki jari-jari sebesar 2 dengan titik pusat pada 1. Maka, nilai f(z) tidak analitik pada z = -j2 dan j2. Hal ini dikarenakan titik j2 dan -j2 berada diluar lingkaran integrasi. Sehingga:

∮C

(z2−4)

z2+4

=0

3. Untuk lingkaran ∣z+3i∣=2 memiliki jari-jari sebesar 2 dengan titik pusat pada -3j. Gambar didapatkan sebagai berikut:

Perlu diperhatikan bahwa persamaan tersebut tidak analitik pada z = 2j. Sehingga, persamaan didapatkan sebagai berikut:

f (z)=(z2

−4 )

(z+ j2)(z− j2 )=

(z2−4 )

(z+ j2)1

( z− j2 )

f (z)=z2

−4z+ j2

(Pole j2 diluar lingkaran, hasil integrasi 0)

Sehingga:

∮C

(z2−4)

z2+4

= j2 π f ( j2)= j2π[ z2−4

z+ j2 ]z= j2

j2 π [( j2)2−4j2+ j2 ]= j2 π[−4−4

j4 ]= j2π [−8j4 ]=−4π

4. Pada lingkaran ∣z∣=π/2 maka, terdapat gambar sebagai berikut:

Sama seperti no. 2, kedua pole terletak diluar lingkaran integrasi. Sehingga,

∮C

(z2−4)

z2+4

=0

5 – 10Dengan menggunakan rumus integral Cauchy, integrasikan persamaan berikut berlawanan arah jarum jam.

5. ∮C

z+2z−2

dz ,C :∣z−1∣=2

Jawab:Didapatkan sebuah lingkaran sebagai berikut:

Pole bisa diintegrasikan, sehingga:

∮C

f (z )z−z0

dz=∮C

z+2z−2

dz= j 2π f (z0)

j 2π [z+2 ]z=2= j∗2∗pi(2+2)= j8π

6. ∮C

e3z

3z−idz ,C :∣z∣=1

Jawab:Persamaan diatas memiliki kontur garis serta posisi z0 sebagai berikut:

Sehingga:

∮C

f (z )z−z0

dz=∮C

e3z

3z− jdz=∮

C

e3z

3

z−j3

dz= j2π f (z0)

j 2π[ e3z

3 ]z= j3

= j 2π(e

3 j3

3)=

j 2π e j

3=

23

jπ[cos (1)+ j sin(1)]≃−1.76237+ j1.13161

7. ∮C

sinh(π z )

z2−3z

dz ,C :∣z∣=1

Jawab:Persamaan diatas disederhanakan sebagai berikut:

∮C

sinh(π z )

z2−3z

dz=∮C

sinh(π z )

z( z−32)

dz=∮C

13 [ sinh(π z)

z−3−

sinh(π z )z ]

=13 [∮C

sinh(π z )z−3

dz−∮C

sinh(π z)z

dz ]Sehingga, pada grafik lingkaran, posisi pole sebagai berikut:

Pole z = 3 tidak termasuk dalam kurva C sehingga, hasil integrasinya adalah 0. Sedangkan, untuk z = 0 termasuk dalam lingkaran sehingga hasil integrasinya adalah j2πf(z0). Sehingga:

13 [0−∮

C

sinh (π z)z

dz ]13( j2 π f (z0))=

j2 π

3(sinh (π(0)))=0

8. ∮C

dz

z2−1

,C :∣z−1∣=π /2

Jawab:Persamaan tersebut dapat disederhanakan sebagai berikut (pecahan parsial):

∮C

dz

z2−1

=∮C

1z−1

1z+1

dz=∮C

( 1/2z−1

−1 /2z+1 )dz

12 (∮

C

1z−1

dz−∮C

1z+1

dz)Pada grafik, posisi-posisi dari z0 adalah:

Untuk z0 = -1 akan memiliki hasil integrasi 0 (karena diluar kurva C). Sedangkan untuk z0 = 1 terdapat didalam kurva dan hasil integrasinya j2πf(z0) sehingga:f (z)=1 ; f (z0)=112

( j2π f (z0)−0 )= j π (1 )= j π

9. ∮C

dz

z2−1

,C :∣z+1∣=1

Jawab:Persamaan diatas sama dengan no.8 namun memiliki C yang berbeda, sehingga penyederhanaan persamaan adalah:

∮C

dz

z2−1

=∮C

1z−1

1z+1

dz=∮C

( 1/2z−1

−1 /2z+1 )dz

12 (∮

C

1z−1

dz−∮C

1z+1

dz)dengan kurva C:

Kali ini z0 = -1 hasil integrasinya j2πf(z0) (didalam kurva). Sedangkan untuk z0 = 1 hasil integrasinya 0 sehingga:

12

(0− j2π f ( z0))=− j2 π

2(1)=− jπ

10. ∮C

ez

z− j2dz ,C :∣z− j2∣=4

Jawab:Berdasarkan persamaan diatas, diketahui nilai z0 = j2 dan f (z)=ez . Dengan melihat gambar, diketahui bahwa z0 terdapat didalam kurva C sehingga, hasil integrasinya adalah j2πf(z0).

Maka:j2 π f (z0)= j2 π(e j2

)= j2 π (cos (2)+ jsin(2))≃−5.71328− j2.61473