PEDAHULUAN

SEJARAH MATEMATIKA FUZZY

Matematika Fuzzy membentuk cabang matematika yang berhubungan dengan teori himpunan fuzzy dan fuzzy logic. Ini dimulai pada tahun 1965 setelah publikasi karya Fuzzy set oleh Lotfi Zadeh Pernyataan ini [1] Sebuah sub A himpunan fuzzy X adalah fungsi A: X → L, dimana L adalah interval [0,1]. Fungsi ini juga disebut fungsi keanggotaan. Sebuah fungsi keanggotaan adalah generalisasi dari fungsi karakteristik atau fungsi indikator subhimpunan yang ditetapkan untuk L = {0,1}. Lebih umum, kita dapat menggunakan kisi lengkap L dalam definisi fuzzy bagian A

Order Subgroup Fuzzy dan subgrup Fuzzy diperkenalkan pada tahun 1971 oleh A. Rosenfeld. Ratusan makalah tentang topik terkait telah diterbitkan. Hasil terakhir dan referensi dapat ditemukan pada Fuzzy Semigrup dan Teori fuzzy grup.Hasil utama di bidang fuzzy dan teori Galois Fuzzy diterbitkan dalam sebuah makalah tahun 1998. Topologi Fuzzy diperkenalkan oleh C.L. Chang [9] pada tahun 1968 dan selanjutnya dipelajari di banyak paper. Konsep utama dari geometri fuzzy diperkenalkan oleh Tim Poston pada tahun 1971, A. Rosenfeld pada tahun 1974, oleh JJ Buckley dan E. Eslami pada tahun 1997 dan oleh D. Ghosh dan D. Chakraborty di 2012-14

Operator yang digunakan ada 2 yaitu: 1) Operator Himpunan Union/gabungan ( È ) Intersection/irisan ( ∩ ) Difference/selisih ( – ) Cartesian Product ( X )2) Operation Relational Restrict/pemilihan tuple atau record ( s ) Project/pemilihan attribut atau field ( p ) Divide/membagi ( ¸ ) Join/menggabungkan ( q )

ALJABAR FUZZY

FUZZY SET ATAU HIMPUNAN FUZZY

Dalam bab ini, kita akan mendefinisikan operasi dasar pada fuzzy set. setiap himpunan fuzzy A didefinisikan dalam set fuzzy klasik yang relevan, X, fungsi analog dengan fungsi karakteristik, disebut fungsi keanggotaan, menetapkan untuk setiap elemen x, dari fungsi X, (x), di unit interval tertutup I yang mencirikan derajat keanggotaan dari x di A.

1.1 DEFINISI DARI HIMPUNAN FUZZY1.1.1 PERNYATAAN UNTUK HIMPUNAN FUZZYFungsi keanggotaan A di set Crisp memetakan seluruh di set umum X ke set {0, 1}.

Definisi 1.1 (fungsi Anggota dari himpunan fuzzy) di fuzzy set, masing-masing Unsur dipetakan ke [0, 1] oleh fungsi keanggotaan A: X [0,1]

di mana [0, 1] berarti bilangan real antara 0 dan 1 (termasuk 0,1) .dengan konsekuensi, set fuzzy 'fuzzy batasan himpunan' membandingkan dengan set crisp.

1.1.2 PERLUASAN HIMPUNAN FUZZYDefinisi 1.2 (tipe-n himpunan fuzzy) nilai derajat kekuasaan keanggotaan termasuk ketidakpastian. Jika nilai fungsi keanggotaan diberikan oleh himpunan fuzzy, itu adalah jenis-jenis himpunan fuzzy. konsep ini dapat diperpanjang sampai dengan mengetik-n set fuzzy.Definisi 1.3 (level-k himpunan fuzzy) istilah "tingkat-2 himpunan" menandakan fuzzy set yang berelemen himpunan fuzzy. Istilah "himpunan tingkat-1 " berlaku untuk himpunan fuzzy set yang elemennya ada himpunan fuzzy yang berelemen biasa. Dengan cara yang sama, kita bisa mendapatkan level-k pada himpunan fuzzy.

1.1.3 HUBUNGAN ANTARA HIMPUNAN UNIVERSAL DAN HIMPUNAN FUZZYJika ada satu set universal dan satu set crisp, kita mempertimbangkan set sebagai subsetdari satu set universal. Dengan cara yang sama, kita menganggap himpunan fuzzy A sebagai bagian dari universal set X.Contoh 1.1 jika X = {a, b, c} menjadi set universal.A1 = {(a, 0,5), (b, 1,0), (c, 0,5)} danA2 = {(a, 1,0), (b, 1,0), (c, 0,5)}Menjadi himpunan bagian dari X.

A1⊆X , A2⊆Xkumpulan himpunan bagian tersebut dari X (termasuk himpunan fuzzy) disebut dayaset P (X).

1.2 PERLUASAN KONSEP HIMPUNAN FUZZY1.2.1 Α - CUT SETDefinisi 1.4 (α - Cut set) α - Cut set , Aa terdiri dari anggota dimana keanggotaannya yang tidak kurang dari α.

Aa={x∈ X∨μa(x)≥ a }Dengan catatan: α bisa berubah-ubah. Α cut set adalah satu set crisp (Gambar 1.1).ketika dua potong set A dan A berwujud dan jika , maka

Aa⊇ Aa '

Gambar (1.1) α-cut set

X1 X2 X3 X4 X5 X6

Definisi 1.5 (level set) nilai α yang secara eksplisit menunjukkan nilai fungsi keanggotaan, di kisaran [0, 1]. maka "Level set" diperoleh oleh α tersebut.

∧a={a∨μa ( x )=a .a≥ 0 , x∈ X }

1.2.2 CONVEX SET FUZZY (CONVEX=CEMBUNG)Definisi 1.6 (convex himpunan fuzzy) dengan asumsi yang universal set X didefinisikan dalam n-dimensi Euclidean Vector ruang n. Jika semua α - cutset convex, himpunan fuzzy dengan ini α - cut set adalahconvex (Gambar 1.2). Dengan kata lain, jika suatu relasi:

μa(t )≥ Min[μa (r ) , μa (s )]di mana t r + (1 - )s, r,s n, [0,1] dimana himpunan fuzzy A adalah convex.(Gambar. 1.3) menunjukkan himpunan fuzzy convex.

gambar. (1.2): Convex set Fuzzy

gambar. (1.3): Convex set Fuzzy a(1) a (r)

1.2.3 ANGKA FUZZY"angka Nyata" mengisyaratkan satu set yang berisi bilangan real utuh dan "nomer positif"mengisyaratkan bahwa dalam satu set memiliki nomor kecuali angka negatif."Nomor positif kurang dari atau sama dengan 10 (termasuk 0)" menunjukkan set yang memiliki angka 0 sampai 10. jadi

A = "angka positif kurang dari atau sama dengan 10 (termasuk 0)" ={x| 0 x 10, x }Atauμa (x) = 1 jika 0 x 10, xμa (x) = 0 jika x<0 atau x>10sejak batas crisp dilibatkan maka hasil dari fungsi keanggotaan adalah 1 atau 0.Definisi 1.7 (angka Fuzzy) jika himpunan fuzzy adalah cembung(convex) dan normal,dan fungsi keanggotaannya terdefinisi dan bagian demi bagian berkelanjutan, hal itu disebut sebagai "angka kabur". angka menjadi fuzzy (himpunan fuzzy) merupakan interval perbatasan bilangan real yang kabur (Gambar 1.4)

Set angka Fuzzy set "angka positif tidak melebihi 10

Set Fuzzy “angka mendekati 0” set fuzzy “angka mendekati 1Gambar (1.4):. Set yang menunjukkan interval dan bilangan fuzzy

1.2.4 BESARAN (MAGNITUDO) HIMPUNAN FUZZYUntuk menunjukkan besarnya himpunan fuzzy, ada tiga cara mengukur kardinalitas himpunan fuzzy. Pertama, kita dapat memperoleh besarannya dengan menyimpulkan derajat keanggotaan. Ini adalah "skalar kardinalitas".

|A|=∑x∈ X

μA ( x )

Kedua membandingkan besarnya fuzzy set A dengan set yang universal X dapat menjadi sebuah gambaran ide.

‖A‖=|A||X|

ini disebut "relatif kardinalitas".

Metode ketiga mengungkapkan kardinalitas sebagai himpunan fuzzy.Definisi 1.8 (kardinalitas fuzzy) mari kita coba untuk mendapatkan α-cut set (set crisp) Aα,dari A. jumlah elemen adalah ¿ Aa∨¿. Dalam kata lain,kemungkinan jumlah elemen di A menjadi ¿ Aa∨¿. adalah α. Kemudian tingkat keanggotaan fuzzy kardinalitas didefinisikan sebagai,

μ|A|(|Aa|)=a ,a∈∧A

dimana A adalah α-cut set dan A adalah set level.

1.2.5 SUBSET DARI HIMPUNAN FUZZYMisalkan ada dua fuzzy set A dan B. ketika ada derajat keanggotaan yang sama, kita katakan "A dan B yang setara". Itu adalah,A=B jika μA ( x )=μB (x ) ,∀ x∈XJika A (x)≠ B (x) untuk setiap elemen, maka A B. jika hubungan berikut memenuhi di himpunan fuzzy A dan B, A adalah himpunan bagian dari B (gambar.1.5)

μA ( x )≥ μB (x ) ,∀ x∈Xhubungan ini dinyatakan sebagai A B. kita sebut bahwa A adalah himpunan bagian dari B. Selain itu, jika relasi selanjutnya berlaku, A adalah himpunan bagian dari B yang sesuai.

μA ( x )<μB ( x ) ,∀ x∈ Xrelasi dapat ditulis sebagai,A B jika A B dan A B

Gambar (1.5):. Subset A B

1.3 OPERASI STANDARD DARI HIMPUNAN FUZZY

1.3.1 PELENGKAP FUZZY (KOMPLEMENT FUZZY)Komplemen himpunan A dari himpunan A membawa arti negasi. komplement himpunan set dapat didefinisikan sebagai berikut fungsi C,C: [0,1] [0,1]Fungsi komplemen C dirancang untuk memetakan fungsi keanggotaan A (x) himpunan fuzzy A ke [0,1] dan pemetaan nilai ditulis sebagai berikut C(A (x)) Untukmenjadi fungsi pelengkap fuzzy, dua aksioma harus dipenuhi.(Aksioma C1) C (0) = 1, (1) = 0 (kondisi batas) C(Aksioma C2) a, b [0,1]

jika a<b, maka C (a) C (b) (nonincreasing monoton)simbol a dan b berada pada nilai keanggotaan anggota x di A. Misalnya, ketika μA (x) = α , μA (y) = b, x, y є X, jika μA (x) < μA (y) , C(μA (x)) ≥ C(μA (y))C1 dan C2 adalah syarat mendasar untuk menjadi fungsi pelengkap. Ini dua aksioma disebut "kerangka aksiomatik". Untuk tujuan tertentu, kita dapat memasukkan persyaratan tambahan,(Aksioma C3) C adalah fungsi kontinu.(Aksioma C4) C adalah involutif.C (C (a)) = a untuk semua a [0,1]empat aksioma tersebut melengkapi standar operasiC ( A(x))= 1-μA (x) atau -A(x)= 1-A (x)Fungsi standar ini ditampilkan dalam (gambar.1.6).

Gambar. (1.6): Ilustrasi standar pelengkap Fungsi Himpunan.

1.3.2 PARTISI FUZZYMisalkan A himpunan Crisp secara umum di himpunan X dan Ᾱ adalah himpunan komplemen dari A.Kondisi A dan A ~X menghasilkan beberapa (A, Ᾱ) yang terurai X menjadi dua bagian himpunan.Definisi 1.9 (partisi Fuzzy) dengan cara yang sama, mempertimbangkan himpunan fuzzyyang memenuhi A Dan A ~X pasangan (A, Ᾱ) didefinisikan sebagai partisi fuzzy. Biasanya, jika m subhimpunan dari dalam X, m-tuple (A1, A2, ..., An) , yang memenuhi persamaan berikut, maka Kondisi ini disebut partisi fuzzy.

a) i, Ai b) Ai Aj = untuk i j

c) ∀ x∈ X ,∑i=1

m

μA i( x )=1

1.3.3 GABUNGAN FUZZY (FUZZY UNION)Dalam pengertian umum, gabungan A dan B ditentukan oleh fungsi dari bentuk,U: [0,1] [0,1] [0,1]fungsi Union (gabungan) ini menghitung derajat keanggotaan gabungan antara BA dari A dan B.

μa∪b(x )=U [μA ( x ) , μB ( x )]Gabungan fungsi ini harus memenuhi aksioma berikutnya.(Aksioma U1) U (0,0) = 0, U (0,1) = 1, U (1,0) = 1, U (1,1) = 1sehingga gabungan fungsi ini mengikuti sifat dari operasi gabungan himpunan crisp (set crisp) (batas kondisi).(Aksioma U2) U (a, b) = U (b, a) berlaku komutatif.(Aksioma U3) jika ≤ a 'dan b ≤ b', U (a, b) ≤ U (a ', b') maka fungsi U adalah fungsi monoton.(Aksioma U4) U (U (a, b), c) = U (a, U (b, c)) berlaku Associativity,empat pernyataan aksioma diatas yang disebut sebagai "kerangka aksiomatik". Hal ini seringuntuk membatasi gabungan kelas fuzzy dengan menambahkan aksioma berikut.(Aksioma U5) fungsi kontinu U kontinu.(Aksioma U6) U (a, a) = a (idempotency)

1.3.4 IRISAN FUZZY ATAU TITIK POTONG FUZZY (FUZZY INTERSECTION)Dalam pengertian umum, perpotongan BA didefinisikan oleh fungsi I.I: [0,1] [0,1] [0,1]argumen dari fungsi ini menunjukkan kemungkinan untuk elemen x menjadi terlibat dalam kedua himpunan fuzzy A dan B.

μa ∩b(x )=I [μ A (x ) , μB ( x )]Fungsi persimpangan memenuhi aksioma berikut.(Aksioma I1) I (1,1) = 1, I (1,0) = 0, I (0,1) = 0, I (0,0) = 0fungsi I mengikuti operasi persimpangan himpunan Crisp (batas kondisi).(Aksioma I2) I (a, b) = I (b, a), berlaku komutatif.(Aksioma I3) jika ≤ a 'dan b ≤ b', maka I (a, b) ≤ I (a ', b'), fungsi I adalah fungsi monoton(Aksioma I4) I (I (a, b), c) = I (a, I (b, c)) berlaku Assosiativ, seperti dalam fungsi gabungan, empat aksioma tersebut adalah "kerangka aksiomatik ", dan berikut dua aksioma dapat ditambahkan.(Aksioma I5) I adalah fungsi kontinu.(Aksioma I6) I(a,a) = a, I berlaku idempotency.

1.3.5 SELISIH HIMPUNAN FUZZY (FUZZY SET DIFFERENCE)Selisih himpunan Crisp didefinisikan sebagai berikut di (gambar.1.7)A B AB

Gambar (1.7): selisih A - B.Di himpunan fuzzy, ada dua cara untuk memperoleh selisihnya:

1. SELISIH SEDERHANA (SIMPLE DIFFERENCE)Contoh 1.2 dengan menggunakan komplemen dan persimpangan operasi standar,selisih perbedaan operasi akan sederhana. Seperti contoh sebelumnya, A-B akan menjadi:Sebuah A = {(X1, 0.2), (X2,0.7), (X3, 1), (X4,0)} B = {(X1, 0.5), (X2, 0.3), (X3, 1), (X4,0.1)} B = {(X1,0.5), (X2,0.7), (X3, 0), (X4, 0.9)}A – B AB ={(X1, 0.2), (X2,0.7), (X3, 0), (X4,0)}

2. SELISIH PERBATASAN (BOUNDED DIFFERENCE)Definisi 1.10 (selisih perbatasan) untuk operator pemula , kita mendefinisikan fungsi keanggotaan sebagai berikut:,

μAθB(x)=MAX [0 , μA (x )−μB ( x )]dengan definisi tersebut, selisih perbatasan dari sebelumnya dua himpunan fuzzy sebagai berikut:,AθB = {(X1, 0), (X2,0.4), (X3, 0), (X4,0)}

1.3.6 JARAK DI HIMPUNAN FUZZYKonsep "jarak" untuk menggambarkan selisih. Tetapi memiliki ukuran matematika berbeda dengan "jarak" diperkenalkan di bagian sebelumnya. Langkah-langkah untuk jarak didefinisikan sebagai berikut: Jarak Hamming

Konsep ini ditandai sebagai,

d (a ,b )= ∑i=1, Xi∈ X

n

|μA (X i )−μB ( X i )|Jarak Hamming berisi pengertian dalam matematika biasa "Jarak"A. d (A, B) 0B. d (A, B) d (B, A) komutatifC. d (A, C) d (A, B) d (B, C) TransitivityD. d (A, A) 0 Jarak Euclidean

Istilah yang baru diatur sebagai berikut,

e (A , B )=√∑i=1

n

( μAn( x )−μB n

( x ) )2

Jarak Minkowski

dw (A ,B )=(∑x∈X

❑

|μ A ( x )−μB ( x )|w)1w , w∈(1 , ∞)

1.3.7 PRODUK CARTESIAN DARI HIMPUNAN FUZZYDefinisi 1.11 (kekuatan himpunan fuzzy) kekuatan kedua himpunan fuzzy A adalahdidefinisikan sebagai berikut:

μA2 ( x )=[μA (x )]2 ,∀ x∈X

Demikian pula kekuatan mth fuzzy set Am dapat dihitung sebagai berikut:μA

m ( x )=[μ A ( x )]m ,∀ x∈ X

Operator ini sering diterapkan ketika berhadapan dengan batasan linguistik dalam pernyataan dari himpunan fuzzy.Definisi 1.12 (produk Cartesian) produk Cartesian diterapkan ke beberapa himpunan fuzzy dapat didefinisikan sebagai berikut:Yang menunjukkan μA 1

( x ) , μA 2( x ) , …μ An

( x ) sebagai fungsi keanggotaan dari A1,A2, ... An, Dari ∀ x1∈ A1, x2∈ A2, … xn∈ An

Kemudian, probabilitas untuk n-tupel (x1,x2,....., xn) memerlukan himpunan fuzzy dari (A1xA2x,.....,x An)

μA 1 x A2 x … . xAn(x1, x2, …. xn )=Min [μ A1

(x1) ,…, μAn(xn )]

1.3.8 PENJUMLAHAN DISJUNGTIF Penjumlahan Disjungtif adalah nama operasi yang sesuai "eksklusif OR" logika, dan itu dinyatakan sebagai berikut (gambar.1.8)A B (AB) (A B)

Gambar (1.8):. Penjumlahan Disjungtif dari dua himpunan gabungan.Definisi 1.13 (penjumlahan sederhana disjungtif) Melalui gabungan fuzzy danIrisan Fuzzy, definisi penjumlahan disjungsi dihimpunan fuzzy diperbolehkan seperti di himpunan crisp.

−μA ( x )=1−μ A(x ),−μB (x )=1−μB (x)μA−B ( x )=Min [μ A ( x ) , 1−μB ( x )]μA−B ( x )=Min [1−μA ( x ) , μB ( x )]

A B (AB) (A B) kemudianμA⊕ B (x )=Max{Min [ μA ( x ) ,1−μB ( x ) ] .Min [1−μA ( x ) , μB ( x )]

(penjumlahan Disjoint) kunci pemikiran dari "Exclusive OR" adalah penghapusan umum daerah dari gabungan A dan B. dengan gagasan ini, kita dapat mendefinisikan operator untuk eksklusif OR penjumlahan penguraiannya sebagai berikut:,

μA ∆B ( x )=|μA ( x )−μB(x )|

FUZZY GROUPS, FUZZY RINGS AND FUZZY FIELDS (KELOMPOK FUZZY, RINGS FUZZY DAN BIDANG FUZZY)Rosenfield memperkenalkan konsep fuzzy Groups dan menunjukkan bahwa banyak Hasil teori grup dapat diperpanjang secara dasar untuk mengembangkan teori fuzzy groups. Logika yang mendasari teori fuzzy groups adalah untuk menyediakan struktur aljabar fuzzy yang tegas di mana tingkat subset fuzzy groups dari group G adalah subgrup dari grup. menalarkan konsep fuzzy subgrup dari Grup menggunakan t-norma secara umum. Namun, Joe digunakan t-norma 'min' dalam definisi tentang subgrup fuzzy dari grup tersebut. konsep fuzzy normal subgrup dan fuzzy Coset diperkenalkan.

2.1 SUBGRUP FUZZYDefinisi 2.1.1: Misalkan grup G. Sebuah subhimpunan fuzzy A dari kelompok G disebut subgrup fuzzy dari kelompok G jika

i. μA (xy) = min {μA (x), μA (y)} untuk setiap x, y Gdan

ii. μA (x -1) = μA (x) untuk setiap x G.Definisi 2.1.2: Misalkan G grup dan e menunjukkan elemen identitaskelompok G. A fuzzy bagian A dari grup G disebut subgrup fuzzy dari kelompok G jika:

i. μA (xy -1) min {μA (x), μA (y)} untuk setiap x, y Gdan

ii. μA (e) = 1.Teorema 2.1.1: Sebuah subhimpunan A fuzzy dari kelompok G adalah subgrup fuzzy dari Kelompok G jika dan hanya jika μA (xy -1) min {μA (x), μA (y)} untuk setiap x, y G.Teorema 2.1.2: Misalkan A subgrup fuzzy dari kelompok G dan x G. Kemudian μA (xy) = μA (y) untuk setiap yG jika dan hanya jika: μA (x) = μA (e).

2.1.1 TINGKAT SUBHIMPUNAN DARI SUBHIMPUNAN FUZZYDefinisi 2.1.3: Misalkan A subhimpunan fuzzy S. Untuk t [0,1] Pada himpunan At= {s S / μA (x) = t} disebut subhimpunan level fuzzy bagian A.Teorema 2.1.3: Misalkan G grup dan A menjadi subgrup fuzzy dari G. Kemudian subhimpunan level At, untuk t [0,1], t μA (e) adalah subgrup G, dimana e adalah identitas G.Teorema 2.1.4: Misalkan A subhimpunan fuzzy kelompok G. Kemudian A adalah fuzzy subgrup G jika dan hanya jika tA. G adalah subgrup (disebut tingkat subgrup) dari kelompok G untuk setiap t [0, μA (e)], dimana e adalah elemen identitas kelompok G.

2.1.2 TINGKAT KESALAHAN DALAM SUBGRUP FUZZYDefinisi 2.1.4: Sebuah subGrup A fuzzy dari kelompok G disebut tidak tepat jikaμA adalah konstan pada kelompok G, jika A disebut sebagai tepat.

2.1.3 URUTAN DARI SUBGRUP FUZZYDefinisi 2.1.5: Misalkan A subgrup fuzzy dari grup G dan H = {x G | μ (x) = μ (e)} maka o (A), (urutan A) didefinisikan sebagai o (A) = o (H).Teorema 2.1.5: Misalkan A subgrup fuzzy dari grup terbatas G maka: o (A) = o (G). Bukti: Misalkan A subgrup fuzzy dari grup terbatas dengan e sebagai identitasnya elemen. Jelas H = {x G | μ (x) = μ (e)} adalah subgrup dari Grup G dari H adalah bagian t-level grup G dimana t = μ (e). Berdasarkan Teorema Lagranges o (H) = o (G). Oleh karena itu didefinisikan dengan urutan subgrup fuzzy dari grup G mempunyai o (A) = o (G).

2.1.4 FUZZY SUBGRUP NORMALdugaan dari subgrup normal adalah salah satu konsep sentral teori klasik dari Grup. Ini berfungsi instrumen yang kuat untuk mempelajari struktur umum Grup. Hanya sebagai subgrup normal memainkan peran penting dalam teori grup klasik, subgrup fuzzy biasa memainkan peran serupa dalam teori subgrup fuzzy.Definisi 2.1.6: Misalkan Grup G. Sebuah subgrup A fuzzy G disebut normal jika μA (x) = μA (y -1 xy) untuk semua x, y G.Definisi 2.1.7: Dengan menentukan fuzzy subgrup A dari grup G menjadi fuzzy subgrup normal dari grup G jika μA (xy) = μA(yx) untuk setiap x, y G. Ini hanya

setara dengan pembentukan subgrup fuzzy normal. Misalkan A sebuahfuzzy subgrup normal dari grup G.Untuk t [0,1], himpunan At = {(x, y) G × G / μA (xy -1) = t} disebut relasi level t dari A. Untuk fuzzy subgrup A normal G dan t [0,1], At adalah keselarasan relasi pada grup G.Teorema 2.1.6: Misalkan A adalah subgrup normal fuzzy kelompok G. Kemudian untuk setiap g G kita memiliki μA (GXG-1) = μA (g-1 xg) untuk setiap x G.Teorema 2.1.7: Sebuah subgrup A fuzzy dari grup G dinormalisasikan jika dan hanya jika μA (e) = 1, di mana e adalah elemen identitas kelompok G.Bukti: Jika A normalisasi dari x G sehingga μA (x) = 1, tetapi dengan sifat dari fuzzy subgrup A dari grup G, μA (x) μA (e) untuk setiap x G. kemudian μA (x) = 1 dan μA (e) μA (x) maka menjadi μA (e) 1. teTapi μA (e) 1. Oleh karena itu μA (e) = 1. Sebaliknya jika μA (e) = 1maka normalisasi fuzzy tersebut harus dinormalisasikan.

2.1.5 SUBGRUP FUZZY DARI GRUP CYCLICTeorema 2.1.8: Misalkan G grup siklik Order pertama. Maka fuzzy subgrup A dari G sehingga μA (e) = T0, dan μA (x) untuk semua x e dalam G, dan T0 > t1..Teorema 2.1.9: Misalkan G adalah grup order terunggul pertama. Maka G adalah siklik jika dan hanya jika fuzzy subgrup A berada di G untuk x,y є G,i. Jika μA(x) = μA (y) maka x = y

ii. Jika μA(x) > μA (y) maka x y Teorema 2.1.10: Misalkan G adalah grup order persegi bebas. Misalkan A sebuah subGrup fuzzy normal G. untuk x, y G.a. jika o (x) / o (y) maka μA (y) μA (x).b. jika o (x) = o (y) maka μA (y) = μA (x).Teorema 2.1.11: Misalkan G adalah grup terbatas dan G memiliki rangakain komposisi e = A0 A1 ... Ar G dimana Ai / ai-1 adalah siklik dari urutan utama, i = 1, 2, ..., r. Kemudian terdapat rangkaian komposisi subgrup level dari beberapa fuzzy subgrup A dengan G dan rangkaian komposisi ini setara dengan e = A0 A1 ... Ar G.

2.1.6 KONJUGASI SUBGROUPS FUZZYDefinisi 2.1.8: jika A dan B menjadi dua sub Fuzzy dari grup G. Kemudian A dan B dikatakan sub Fuzzy konjugasinya dari G. jika untuk beberapa g G, μA (x) = μB (g-1 xg) untuk setiap x G.Teorema 2.1.12: Jika A dan B adalah sub fuzzy konjugasi dari grup G dengan o (A) = o (B).Teorema 2.1.13: Misalkan A dan B menjadi dua sub Fuzzy yang tidak teratur darigrup G. Kemudian A dan B adalah sub Fuzzy konjugasinya dari grup G jika dan hanya jika μA = μB.Definisi 2.1.9: Misalkan A dan B menjadi dua himpunan bagian fuzzy grup G. Kita mengatakan bahwa A dan B adalah himpunan bagian Fuzzy konjugasinya dari grup G jika untuk beberapa g G maka μA (x), μB (g-1 xg) untuk setiapx G.Teorema 2.1.14: Misalkan A dan B menjadi dua himpunan bagian fuzzy grup abelian G. Kemudian A dan B adalah himpunan bagian Fuzzy konjugasi darigrup G jika dan hanya jika μA = μB. Bukti: Misalkan A dan B menjadi subhimpunan Fuzzy konjugasi dari grup G dengan g G kami memilikiμA (x) = μB (g–1 xg) untuk x G

= μB (g –1 gx) untuk x G= μB (x) untuk x G.Oleh sebab itu μA (x) = μB (x).Sebaliknya jika μA (x) = μB (x) maka untuk e unsur identitas dari grup G, maka μA (x) = μB (e-1 xe) untuk setiap x G. Oleh karena itu A dan B adalah himpunan bagian konjugasi fuzzy dari grup G.Teorema 2.1.15: Misalkan A sub fuzzy dari grup G dan B menjadibagian fuzzy dari grup G. Jika A dan B. adalah konjungasisubhimpunan fuzzy grup G kemudian B. adalah sub fuzzy grup G.