Análisis dimensional

ANALISIS DIMENSIONAL

MAGNITUDSe denomina magnitud a cualquier propiedad de un cuerpo susceptible a ser medida. Las leyes físicas establecen relaciones entre magnitudes. Para poder medir una magnitud, se precisa disponer de una magnitud de medida.

TIPOS DE MAGNITUD DEBIDO A SU ORIGEN:

1. MAGNITUDES FUNDAMENTALES:Aquellas consideradas convencionalmente como base de comparación para las demás cantidades, el sistema fundamental vigente es el S.I. que consta de 7 unidades fundamentales y 2 auxiliares.

CANTIDAD UNIDAD SÍMBOLOLONGITUD (L) Metro mMASA (M) Kilogramo kgTIEMPO (T) Segundo sTEMPERATURA (θ) Kelvin KINTENSIDAD DE CORRIENTE (I) Ampere AINTENSIDAD LUMINOSA (J) Candela cdCANTIDAD DE SUSTANCIA (N) mol mol

MAGNITUDES AUXILIARES:

ANGULO PLANO radián radANGULO SÓLIDO estereorradián sr

2. MAGNITUDES DERIVADAS:Son aquellas que resultan de combinar las cantidades fundamentales, Ej.: velocidad, trabajo, fuerza, presión, etc.

TIPOS DE MAGNITUDES POR SU NATURALEZA:

1. MAGNITUDES ESCALARES:Aquellas que quedan claramente definidas con su valor numérico y su unidad respectiva.

2. MAGNITUDES VECTORIALES:Aquellas que para quedar plenamente definidas, además del valor numérico y su unidad; se necesita su dirección. Estas pueden ser: la fuerza, velocidad, etc.

ECUACIONES DIMENSIONALES Son aquellas que expresan la relación existente entre la magnitud derivada y las magnitudes fundamentales. Son de la forma:

[Cantidad ]=LaM bT cθd I e J f N g

PROPIEDADES DE LAS ECUACIONES DIMENSIONALES:

Las constantes matemáticas (números) son aquellas que carecen de unidades; luego: la ecuación dimensional de un número es la unidad.

Las ecuaciones dimensionales se expresan generalmente en función de L, M y T, pero también pueden expresarse en función de θ, I, J y N.Principio de Homogeneidad: En una ecuación dimensionalmente correcta cada término tiene la misma ecuación dimensional. Sea la ecuación homogénea:S=A+B+C+D . ELuego:[S ]=[ A ]= [B ]=[C ]=[ D ] . [E ]Solamente se pueden sumar o restar cantidades que tienen las mismas unidades.La ecuación dimensional de una suma es igual a la ecuación dimensional de cada sumando.

[ A+B2−C3]= [ A ]=[B ]2=[C ]3

ANALISIS VECTORIAL

VECTOR:

Ente matemático que gráficamente se representa por un segmento de recta orientada. Se utiliza para representar las magnitudes vectoriales.

ELEMENTOS BASICOS NOTACIONES

I) MóduloII) DirecciónIII) sentido

I) A : VECTOR “A”

II) |A|=|A|=A : Módulo del vector “A”.

θ: Dirección del vector.

REPRESENTACION ANALITICA DE UN VECTOR:Un vector se representa fijando su origen (A) y extremo(B), luego el vector será:

V=B−A

ELISBAN JEFFERSSON VIVANCO 5TO PRE “SANTA MARIA REINA 2012”

MóduloA

θ

M

Origen

Dirección (Línea de acción)

Saeta

B

y

V

A

0

θ

x

y

VVSenθ

VCosθ

222YX RRR

VECTOR UNITARIO

El vector unitario representa la dirección del vector generatriz.Todo vector dispone de un vector unitario, esto hace ver que en todas las direcciones hay vectores unitarios.

El vector unitario se halla con:

μB=B

|B|En las direcciones x, y, z los vectores unitarios

reciben nombres especiales, estos son i , j , k .

SUMA GEOMÉTRICA DE VECTORES

1. METODO DEL PARALELOGRAMO : La suma o resta de dos vectores depende del ángulo que estos forman.

Sean A , B y θ el ángulo que forman:

Vectorialmente se cumple:R=A+BPara determinar el módulo de la resultante tenemos:

R2=|A+ B|2=A2+B2+2 ABCosθ2. METODO DEL TRIÁNGULO :

También se emplea para sumar dos vectores los cuales son ordenados secuencialmente:

Sean los vectores A , B :

El vector resultante( R ) es aquel que une el primer origen con el último extremo.

Cuando este método se aplica análogamente a tres o más vectores se denomina MÉTODO DEL POLÍGONO.

Donde: R=A+B+C3. VECTORES PARALELOS :

La relación entre dos vectores paralelos es directamente proporcional a sus módulos.

DESCOMPOSICIÓN VECTORIAL

1. DESCOMPOSICION RECTANGULAR :Consiste en representar un vector en función de dos vectores componentes mutuamente perpendiculares.

2. DESCOMPOSICION POLIGONAL :Consiste en representar un vector en función de varios vectores consecutivos.Por ejemplo: dado un vector A la descomposición se efectúa partiendo desde su origen hasta su extremo:


E

N

PA

A

B

C

A

B C

R

A

B

A

1

VμB

|V|

y

0 x

A

B

R

θ

A

B

B

A

B

A

B

A

R

R=A+B

A|A|

= B|B|

PRODUCTO ESCALAR:

Sean los vectores A=(a1 ;a2 ;a3) ,

B=(b1 ;b2 ;b3 )

a) A . B=|A||B|cosθ

b) A . B=a1b1+a2b2+a3b3

PRODUCTO VECTORIAL:Es otro vector perpendicular a los vectores a multiplicar, donde su dirección se obtiene por regla de la mano derecha.

a) R=A x B

b) A x B=−B x A

c) A x B= (AB senθ ) μ

d) |A x B|=ABsen θ=A .h=b .h=Area

e) |A x B|=Área del Paralelogramo = 2

PROBLEMAS

ANALISIS DIMENSIONAL

1. En la ecuación dimensional. Hallar [x].

x=a . tV

a: aceleración t: tiempo V: velocidad

a) L b) LT−1

c) LT d) L0

e) L1/2

2. El efecto fotoeléctrico es descrito por la ecuación:

h( v−v0 )=12mV 2

donde: “v0 ” es la frecuencia umbral del material, “m” es la masa del electrón y “V” su velocidad, halle la ecuación dimensional de la constante de Plank “h”.a) L

3MT−1b) L

2MT−1c) LMT−1

d) L2MT e) LMT

3. Seleccione la afirmación incorrecta:a) es adimensionalb) La carga eléctrica es una cantidad fundamentalc) Actualmente hay 7 cantidades fundamentalesd) La ecuación dimensional de un exponente es 1

e) La ecuación dimensional de la aceleración angular es T−2

4. Halle la ecuación dimensional de C en la expresión:

P=P0(e− mv2

2CTE−1)

Donde: v: velocidad m: masaE: energía T: temperaturaP: potencia

a) L b) Tθ c) θ-1 d) θ e) Mθ

5. En una represa, la fuerza contra la pared vertical de un dique se calcula con:

F=12ρa gb LcHd

ρ: densidad del agua L: anchog: gravedad H: profundidad del aguaCalcule: a+b+c+da) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5

6. Cuando un cilindro macizo gira alrededor de su eje, su energía cinética de rotación es:

E=12maRbωc

m: masaR: radio: Velocidad angularHalle el exponente de la velocidad angular.a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5

7. En la ecuación dimensionalmente correcta, : aceleración angular. Hállese [F]:

π √E−F2

D=

F2 α

√D−√F

a) T35

b) T15

c) T85

d) T45

e) T25

8. Hállese [K] en la ecuación homogénea:(√C+A ) K

π senπ2

+PS=ρ ( A+B2 )P log x

Donde: ρ: densidad P: potencia

a) L−2T 3

b) L−5T 3

c) L−4 T2

d) L−5T e) L

−2T 2


A

B

B

A

R

9. Si en vez de la longitud, la densidad (ρ) es considerada cantidad fundamental ¿Cómo se escribirá la ecuación dimensional de la fuerza?

a) ρ−1

3M43T−2

b) ρ−1

3M13 T−2

c) ρ−1

3M23T−2

d) ρ−2

3M43T−2

e) ρ−1

3M43T−3

10. Si M 1 y M 2 son dimensionales. Halle la relación entre [M 2 ] y [M 1 ].

V=√ h

(M 1+M 2

h )h: altura, V: velocidad.

a) L b) LT−1

c) T d) M

e) L−1

11. Con relación a la siguiente expresión:

(MV 2

2 ) tg α+senαctg α−sec α

=Pg+Wγ (cos2α+7 )

donde: P: presión g: gravedadV: velocidad M: masaW: peso

Podemos afirmar que la dimensión de es:a) L b) LT-1 c) L-2 d) Adimensionale) No podemos afirmar nada

12. Hallar las dimensiones de P en la ecuación dimensionalmente correcta.

Px2

a( x−c )+P2 x=Q

a: aceleración c: longitud

a) L−1T 2

b) LT−2

c) LT−1

d) L−1T−2

e) LT

13. Determine las dimensiones de Y en la ecuación:

√Y=x tg 37 º ( x−a )/ fDonde: a: aceleración f: frecuencia

a) L7/2T 5

b) L3/2T−5

c) L7/2T−5

d) L3/2T 5

e) L7/2T−9

14. La ecuación D’alambert de la iluminación (E) de una lámpara luminosa a cierta distancia (d) viene dada por la expresión:

E= I

d2cosθ

Si I: intensidad luminosa; entonces la ecuación dimensional de “E” es:a) J/L b) JL2 c) JL-2 d) J-1L-2

e) J-1L-2

15. La expresión para la fuerza F sobre un cierto sistema

físico es:F=kV + AP

mgh−BV 2

Donde: V = velocidad m = masag = 9,8 m/s2 P = potenciah = altura

Encuentre las unidades del cociente kA/B en el Sistema Internacional de Unidades.a) Pascal b) Newton c) Newton/metrod) Newton/segundo e) Joule

16. La fuerza de sustentación del ala de un avión depende del área S del ala, de la densidad ρ del aire y de la velocidad V del avión. Halle la suma de los exponentes de S y ρ.a) 0 b) 1 c) 2 d) -1 e) -2

ANALISIS VECTORIAL

17. La magnitud de la resultante del sistema de vectores es:a) 2Tb) 4T

c)

20T3

d)

2T3

e) T

18. El ángulo entre dos vectores de 5 y 10 unidades de longitud, cuando su resultante forma un ángulo de 30º con el vector mayor es:a) 30º b) 45º c) 60º d) 37º e) 120º

19. Los vectores A y B forman entre sí un ángulo de 60º

y el módulo de A vale 3, hallar el módulo de B , para

que A -B sea perpendicular a A .

a) √3 b) 3 c) 6 d) 2√3 e) 1

20. Hallar la suma de todos los vectores que se muestran en la figura:

a) E

b) 2D

c) 2E

d) -E

e) D


SR

Q

T

P

A

B

G

C

DE

F

21. En el triángulo hallar el vector x en función de los vectores A y B, si se cumple que PQ=QR/2.

a) x=(2 A−B )/3 b) x=(2 A−A )/3

c) x=(B−2 A )/3 d) x=(B+2 A )/3e) x=(2 B+ A )/3

22. Encontrar el módulo de la suma de los vectores: AO ,

AB , OC y CG , sabiendo que el cubo es de lado L:

a) L√2b) 2L√2c) L√5d) L

e) 3 L

23. Determine el módulo de la resultante del siguiente sistema:

a) 3√3b) 7√7c) 8d) 13e) 0

24. Determinar el módulo del vector resultante del sistema:

a) 8b) 20c) 13d) 21e) 0

25. La máxima resultante de dos vectores es 14 y su mínima resultante es 2. ¿Cuál será la resultante cuando formen un ángulo de 90º?a) 10 b) 11 c) 12 d) 13 e) 14

26. Los puntos A, B y C determinan un triángulo equilátero de lado 2m. Hallar el módulo del vector resultante.

a) 2mb) 4mc) 6md) 8me) 0m

27. Se muestra un cuarto de circunferencia cuyo centro se ubica en uno de los vértices del cuadrado. Halle x en función de los vectores A y B .

a)

A+2 B√5

b)

A+ B√5

c)

A+2 B√2

d)

A+ B√2

e)

A+ B√6

28. Hallar el vector F en función de m y n, si ABCD es un cuadrado y A MC y DMB son cuartos de circunferencia.


A Bx

RQP

A

B C

D

EF

O

G

150º

76

A

CB

A

Bx

A D

B C

m

nF M

X

Y

18

25

83º

30º52º

10√2

a) F= m

2+(1−√3

2) n

b) F= m

2−(1+ √3

2) n

c) F= m

2+( √3

2) n

d) F=m+( √3

2−1) n

e) F=m−( √3

2−1 ) n

29. Determinar el vector paralelo al plano de los vectores B=(1;1 ;−2) y C=(−1 ;2;2 ) , y perpendicular al

vector A=(1 ;0 ;−2 )a) (0;-1; 0) b) (-1; 1; 0) c) (0;-7; 7)d) (0; 15; 0) e) (7;-15; 0)

30. En el triángulo ABC los puntos M y N trisecan al

segmento BC; además AB=2 r AN+S NC . Calcular: 4r-3S

a) 2b) 0c) -3d) 8e) 10

31. Calcular conociendo que la resultante debe tener valor mínimo.

a) 37ºb) 30ºc) 53ºd) -53ºe) -37º

32. Dado los vectores:

A=2 i− j+ k , B= i+3 j−2 k , C=−2 i+ j−3 k , D=3 i+2 j+5 k

Hallar los valores de los escalares a, b, c, de tal manera

que D=a A+b B+c C

a) a=2; b=1; c=-3b) a=-2; b=1; c=-3c) a=-2; b=-1; c=-3d) a=2; b=1; c=3e) a=2; b=2; c=-3

33. Calcular “” si la resultante se encuentra sobre la línea de 27N.

a) 10ºb) 20ºc) 36ºd) 37ºe) 8º

34. En el sistema vectorial mostrado, hallar el módulo del vector resultante. El lado de la cuadrícula es igual uno.

a) 0b) 1c) 2d) 3e) 4


B

A C

M

N

3

V

4

X

Y

25N

27N

17º

17º

15N

dc

b a

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