Upload
cristian-mihai-pomohaci
View
226
Download
4
Embed Size (px)
DESCRIPTION
slide-uri Curs Matematică - Facultatea de Management USAMV - Lect.univ.dr. Livia David
Citation preview
Elemente de analiza matematica
pentru economisti
Educatia nu este raspunsul la o intrebare, educatiaeste calea spre raspunsul la toate intrebarile
“Nimic nu costa mai mult decat nestiinta”
Grigore Moisil (1906-1973)
Functii
• Euler (in anul 1794): functia este o marime variabila care depinde de altamarime variabila.
• Definitie: Functia este relatia prin care asociem oricarui element din domeniul de definitie un unic element in codomeniu.
• Notatie: f: A → B, unde A=domeniul de definitie, B=codomeniul, A si B sunt multiminevide.
• x f(x) y
• x = argument, variabila independenta, punct;
• y=f(x) = imaginea lui x prin functia f, variabila dependenta dex, valoarea lui f in punctul x;
• Definitie: Graficul functiei f :A → B este multimea
• Observatie:
( , ) / , , ( )fG x y x A y B y f x
fG A B
Notatie
Output
InputNumele
functiei
y f x
Functii reale
Fie functia f: A→ B
Daca A si B sunt multimi de numere reale, atunci f se numeste functie reala de o variabilareala.
Daca , atunci f se numestefunctie reala de mai multe variabile reale (saude variabila vectoriala).
nA R siB R
Parabolaestereprezentarea grafica a functiei degradul al II- lea
2
:
: , ( )
exeplu
f R R f x x
Dreaptaeste reprezentarea grafica a functiei de gradul I
: , ( ) 3,45 10,2f R R f x x
Testul dreptei verticale
Daca orice verticala intersecteaza graficulin cel mult un punct, atunci relatia este
functie
functie functie Nu e functie
Nu e functieFUNCTIE!
FUNCTIE
Nu e functie
Fiind dat h(z) = z2 - 4z + 9, calculati h(-3)
(-3)2-4(-3)+9-3 30
9 + 12 + 9
h(-3) = 30
Fiind dat f(x) = 3x - 2, gasiti:1) f(3)
2) f(-2)
3(3)-23 7
3(-2)-2-2 -8
= 7
= -8
Functii reale de mai multe variabilereale
z
y
x
f(x, y) = x2 + y2
x2 + y2 = 0
x2 + y2 = 1
x2 + y2 = 4
x2 + y2 = 9
x2 + y2 = 16
Functii reale de doua variabile reale
Moduri de a descrie o functie reala de douavariabile reale:
Grafic sau diagrama
Tabel de valori
Exprimare prin text
Analitic (printr-o formula sau ecuatiealgebrica)
O functie reala de doua variabile reale este o functie definita pe o submultime cu valori in R prin care asociem oricarei perechiordonate (x,y) din D un unic numar real notatz= f(x,y)
D R R
Exemple1. Fie functia f definita prin
• Calculati f(0, 0), f(1, 2), si f(2, 1).Solutie:
• Domeniul de definitie al unei functii reale de douavariabile reale este o submultime a planului xOy, iarreprezentarea grafica a functiei este o multime de puncte in spatiul fizic .
2( , ) 2f x y x xy y
2(0,0) 0 (0)(0) 0 2 2f
2(1,2) 1 (1)(2) 2 2 9f
2(2,1) 2 (2)(1) 1 2 7f
Example 1, page 536
16
2.2 3( , ) 3 2f x y x y y
2 3
(0,3) 3 0 (3) 2 3f
25
2 3
(2, 1) 3 2 ( 1) 2 1f
15
17
3.
Se da functia f sub forma tabelara .Calculati:f(20, 10) = ? f(40, 20) = ? f(10, 20) f(20, 10) = ?
Solutie:
x
y
10 20 30 40
10 1 107 162 3
20 6 194 294 14
30 11 281 426 25
40 16 368 558 36
1071020 ,f
142040 ,f
113107610202010 ,, ff
4. In regions with severe winter weather, the wind-chill index is often used to describe the apparent severity of the cold.
• This index W is a subjective temperature that depends on the actual temperature T and the wind speed v.
• So W is a function of T and v, and we can write W = f (T, v).
• Table 1 records values of W compiled by the National Weather Service of the US and the Meteorological Service of Canada.
Wind-chill index as a function of air temperature and wind speed
Table 1
Domeniul de definitie al functiilor de doua variabile
1. Aflati domeniul de definitie al functiei
Solutie: Domeniul este intregul plan xOy.
3( , ) 2 0,3 7f x y x xy y y
Reprezentarea grafica a functiei3( , ) 2 0,3 7f x y x xy y y
Exemplul 2
Domeniul de definitie al functiei
este planul xOy mai putin dreapta y=x
1( , )f x y
x y
Reprezentarea grafica a functiei1
( , )f x yx y
Exemplul 3
Solutie:
• Observam ca 1 – x2 – y2 0 este echivalent cu x2 + y2 1 care este multimea punctelor (x, y)ce se afla in interiorul cercului de raza 1 cu centrul in origine:
2 2( , ) 1h x y x y
x
y
x2 + y2 = 1
–1 1
1
–1
Example 2, page 536
Reprezentarea grafica a functiilor realede doua variabile reale
• Reprezentarea grafica a functiei z=f(x,y) este o suprafata in spatiu.
(x, y)
(x, y, z)
Pentru fiecare(x, y) din domeniul lui f, exista o valoare z pesuprafata.
z
y
x
z = f(x, y)
Derivate partiale
ff
x
x
y
y
f
x
f
x
f
y
f
y
x
x
y
y
2f f
x y x y
2f f
x y x y
2
2
f f
y y y
2
2
f f
y y y
x
x
y
y
2
2
f f
x x x
2
2
f f
x x x
2f f
y x y x
2f f
y x y x
2 2f f
y x x y
2 2f f
y x x y
When both are continuous
Derivate partiale de ordinul intai
• Presupunem ca f(x, y) este o functie de douavariabile x si y.
• Atunci, derivata partiala a lui f in raport cu x in punctul (x, y) este
presupunand ca limita exista.• Derivata partiala a lui f in raport cu y in
punctul (x, y) este
daca limita exista.
0
( , ) ( , )limh
f f x h y f x y
x h
0
( , ) ( , )limk
f f x y k f x y
y k
z
Interpretarea geometrica aderivatelorpartiale
f(x, y)
y = b plan
a
x
yb
(a, b)
( , )f
panta f x bx
dreptei
f(x, b)
f
x
Ce inseamna ?
x
y
Interpretarea geometrica aderivatelorpartiale
f(x, y)
c(c, d)
x = c plan
f(c, y) ( , )f
panta dreptei f c yy
f
y
Ce inseamna ?
z
d