Created by :

Raning Bhaktiniah Permana

Akuntansi 1

Fungsi Kuadrat adalah fungsi yang pangkat tertinggi dari

variabelnya adalah pangkat dua. Gambar dari suatu fungsi

kuadrat dapat berupa salah satu dari empat kemungkinan

bentuk potongan kerucut : lingkaran, elips, parabola, atau

hiperbola.

Bentuk umum suatu persamaan kuadrat ialah :

𝑎𝑥2 + 𝑝𝑥𝑦 + 𝑏𝑦2+𝑐𝑥 + 𝑑𝑦 +𝑒 = 0

(setidaknya salah satu dari 𝑎 𝑎𝑡𝑎𝑢 𝑏 tidak sama dengan

nol)

Dari bentuk itu dapat di identifikasi :

Jika 𝑝 = 0 dan 𝑎 = 𝑏 ≠ 0, kurvanya sebuah lingkaran

Jika 𝑝2 − 4𝑎𝑏 < 0, kurvanya adalah elips

Jika 𝑝2 − 4𝑎𝑏 > 0, kurvanya sebuah hiperbola

Jika 𝑝2 − 4𝑎𝑏 = 0, kurvanya sebuah parabola

Apabila 𝑝 = 0 dan dalam persamaan kadrat tersebut tidak

terdapat suku yang mengandung xy, bentuk umum tadi

“berkurang” menjadi :

𝑎𝑥2 + 𝑏𝑦2 + 𝑐𝑥 + 𝑑𝑦 + 𝑒 = 0

Identifikasinya menjadi sebagai berikut :

Jika 𝑎 = 𝑏 ≠ 0, kurvanya sebuah lingkaran

Jika 𝑎 ≠ 𝑏, tetapi bertana sama, kurvanya sebuah elips

Jika 𝑎 𝑑𝑎𝑛 𝑏 berlawanan tanda, kurvanya sebuah hiperbola

Jika 𝑎 = 0 𝑎𝑡𝑎𝑢 𝑏 = 0, tetapi tidak keduanya, kurvanya

sebuah parabola

Lingkaran secara geometri ialah tempat kedudukan titik-titik yang berjarak tetap terhadap sebuah titik tertentu yang disebut pusat. Jarak titik terhadap pusat disebut jari-jari lingkaran

Bentuk umum persamaan lingkaran ialah :

Pusat dan jari-jari lingkaran dapat dicari dengan rumus baku yaitu :

Dimana i dan j adalah jarak pusat lingkaran terhadap sumbu vertikal –y dan sumbu-sumbu horizontal – x, sedangkan r adalah jari-jari

𝑎𝑥2 + 𝑏𝑦2 + 𝑐𝑥 + 𝑑𝑦 + 𝑒 = 0

(𝑥 − 𝐼)2+(𝑦 − 𝑗)2= 𝑟2

Elips ialah kedudukan titik-titik yang jumlah jaraknya

terhadap dua fokus selalu konstan. Fokus elips ialah

sebarang titikk yang terletak pada sumbu elips. Titik potong

antara sumbu-sumbu sebuah elips merupakan pusat elis

yang bersangkutan.

Bentuk umum persamaan elips :

( a setanda tapi tidak sama besar dengan b)

Pusat dan jari-jari lelips dapat dicari dengan rumus

baku yaitu :

𝑎𝑥2 + 𝑏𝑦2 + 𝑐𝑥 + 𝑑𝑦 + 𝑒 = 0

(𝑥−𝑖)2

𝑟12+

(𝑦−𝑗)2

𝑟22= 1

hiperbola ialah tempat kedudukan titik-titik yang

perbedaan jaraknya terhadap dua fokus yang selalu

konstan. Perpotongan antara sumbu simetri merupakan

pusat hiperbola. Sumbu simetri yang memotong hiperbola

disebut sumbu lintang (transverse axis).

Bentuk umum persamaan hipebola :

Pusat hiperbola dapat dicari dengan rumus baku yaitu :

𝑎𝑥2 + 𝑏𝑦2 + 𝑐𝑥 + 𝑑𝑦 + 𝑒 = 0

(𝑥−𝑖)2

𝑚2 + (𝑦−𝑗)2

𝑛2= 1

Persamaan untuk asimtot-asimtotnya dapat dicari melalui

bentuk rumus baku yaitu :

atau𝑥 − 𝑖

𝑚= ±

𝑦 − 𝑗

𝑛𝑦 − 𝑗

𝑚= ±

𝑥 − 𝑖

𝑛

Parabola adalah bentuk persamaan kudarat yang

paling penting dalam bisnis dan ekonomi. Parabola ialah

bentuk kedudukan titik-titik yang berjarak sama terhadap

sebuah titik fokus dan garis lurus yang disebut direktriks.

Setiap [parabola mempunyai sebuah sumbu simetri dan

sebuah titik ekstrim. Titik ekstrim parabola tak lain ialah titik

potong antara sumbu simetri dan parabola yang

bersangkutan.

Bentuk umum persamaan parabola :

Sumbu simetri // sumbu vertikal

atau

Sumbu simetri // sumbu horizontal

𝑦 = 𝑎𝑥2 +𝑏𝑥 + 𝑐

𝑥 = 𝑎𝑦2 +𝑏𝑦 + 𝑐

Titik ekstrim parabola (i,j) adalah :

Dimana –b/2a adalah jarak titik ekstrim dari sumbu vertikal

–y, sedangkan (𝑏2-4ac)/-4a adalah ara titik ekstrim dari

sumbu horizontal –x.

(−𝑏

2𝑎,𝑏2 − 4𝑎𝑐

−4𝑎)

Fungsi kubik atau fungsi berderajat tiga ialah fungsi

yng pangkat tertinggi variabelnya adalahpangkat tiga.

Bentuk umum persamaan fungsi kubik :

Setiap fungsi kubik setidak-tidaknya mempunyai sebuah

titik belok, yaitu titik peralihan bentuk kurva dari cekung

menjadi cembung atau sebaliknya. Selain titik belok,

sebuah fungsi kubik mungkin pula mempunyai satu titik

ekstrim atau dua titik ekstrim. Ada tidaknya titik ekstrim

tergantung pada ada besarnya nilai a,b,c, dan d pada

persamaanya.

𝑦 = 𝑎 + 𝑏𝑥 + 𝑐𝑥2 + 𝑑𝑥3

• Permintaan, Penawaran dan Keseimbangan Pasar

Pajak menyebabkan harga keseimbangan menjadi lebih

tinggi dan jumlah keseimbangan menjadi lebih sedikit.

Sebaliknya, subsidi menyebabkan harga keseimbangan

menjadi lebih rendah dan jumlah keseimbangan menjadi

banyak.

p

Pe

0

Qs

E

Qd

QQe

Keseimbangan Pasar

Qd=Qs

Qd : jumlah permintaan

Qs : jumlah penawaran

E : titik keseimbangan

Pe : Harga keseimbangan

Qe : jumlah keseimbangan

• Fungsi Biaya

Bentuk non-linear dari fungsi biaya pada umumnya berupa fungsi kuadrat parabolik dan fungsi kubik. Hubungan antara biaya total dan bagian bagiannya dapat dilihat sebagai berikut :

a) Biaya total merupakan fungsi kuadrat parabolik

Andaikan C = 𝑎𝑄2-𝑏𝑄 + 𝑐

maka

𝐶 =𝐶

𝑄= 𝑎𝑄 − 𝑏 +

𝑐

𝑄

𝐴𝑉𝐶 =𝑉𝐶

𝑄= 𝑎𝑄 − 𝑏

𝐴𝐹𝐶 =𝐹𝐶

𝑄= 𝑐/𝑄

FCVC

C

c

0

C

FC

VC

Q

(a)

C

0 Q

-b

AFCAC

AVC

(b)

b) Biaya total merupakan fungsi kubik

Andaikan 𝐶 = 𝑎𝑄3 − 𝑏𝑄2 + cQ + d

maka :

𝐴𝐶 = 𝑐𝑄 = 𝑎𝑄2 − bQ + c +d

Q

𝐴𝑉𝐶 =𝑉𝐶

𝑄= 𝑎𝑄2 − bQ + c

𝐴𝐹𝐶 =𝐹𝐶

𝑄=

𝑑

𝑄

VC FC

C

d

0

C

VC

FC

Q

(a)

C

0

AC

AVC

AFC

(b)

Q

• Fungsi Penerimaan

Bentuk fungsi penerimaan total yang non-linear

pada umumnya berupa sebuah persamaan parabola

terbuka kebawah

Mengingat R=QxP atau P=R/Q, sedangkan AR=R/Q,

berarti penerimaan rata-rata (AR) tak lain adalah harga

barang per unit (P). Secara grafik, kurva AR adalah juga

kurva permintaan dalam bentuk P = g(Q)

Penerimaan Total : 𝑅 = 𝑄 × 𝑃 = 𝑓 𝑄

Penerimaan rata-rata : 𝐴𝑅 =𝑅

𝑄

Penerimaan Marjinal : 𝑀𝑅 =∆𝑅

∆𝑄

• Keuntungan, Kerugian dan Pulang-Pokok

C,R

0Q1 Q2 Q3 Q4

Q

C=c(Q

)

R=r(Q)

TPP

TPP : Titik pulang-

pokok

• Fungsi Utilitas

pada umunya, semakin banyak jumlah suatu barang

dikonsumsi semakin besar utiltas yang diperoleh.

0 MU

Q

U=f(Q

)

Utiltas Total :

U= f(Q)

Utilitas Marjinal :

MU=∆𝑈

∆𝑄

• Fungsi produksi

Bentuk fungsi produk total, pada umumnya berupa

sebuah persamaan kubik yang mempunyai titik belok dan

sebuah titik puncak. Jika dalam suatu kegiatan produksi

dianggap hanya terdapat satu masukan variabel,

katakanlah X, sementara masukan-masukan lainnya

merukan msukan tetap, maka fungsi produksinya dapat

dinyatakan dengan notasi P = f(x)

Secara grafik, kurva produk total P mencapai puncaknya

tepat ketika kurva produk marjinal MP=0. sedangkan MP

mencapai puncaknya tepat pada posisi belok kurva P

Produk Total : P = f(x)

Produk Rata-rata : AP =𝑃

𝑋

ProdukMarjinal : MP =∆𝑃

∆𝑋

Titik belok

P = f(X)

AP

MP0

P

x

• Kurva Transformasi Produk

kurva transformasi produk ialah kurva yang

menunjukan pilihan kombinasi jumlah produksi dua macam

barang dengan menggunakan masukan yang

samasejumlah tertentu. Kurva transformasi produk

kuadratik dapat berupa potongan lingkaran, elips, hiperbola

maupun potongan parabola

• Model Distribusi Pendapatan Pareto

Menurut Vilfredo Pareto, jumlah penduduk dari suatu

populasi a yang berpendapatan melebihi x adalah :

Dimana b merupakan suatu parameter atau besaran

populasi tertentu.

𝑁 =𝑎

𝑥𝑏

Ju

mla

h P

enduduk

Berp

endapata

n m

ele

bih

i x

N

0 Pendapatan (US$)

x

𝑁 =𝑎

𝑥𝑏

a : populasi total

b : parameter populasi

x : batas pendapatan tertentu

N : bagian dari populasi yang

berpendapatan melebihi x

• Fungsi Eksponensial

fungsi eksponensial ialah fungsi dari suatu

konstanta berpangkat variabel bebas. Kurvanya terletak di

kuadran-kuadran atas (kuadran I dan kuadran II) pada

sistem koordinat.

Bentuk fungsi eksponensial yang lebih umum adalah :

Kurvanya asimtotik terhadap garis y=c. Mengingat bentuk

inimengandung bilangan e maka pengetahuan tentang

konsep logaritma khususnya logaritma napier berbasis e,

sangat diperlukan untuk menyelesaikan persamaan

eksponensial semacam ini.

𝑦 = 𝑛𝑒𝑘𝑥+ c 𝑛 ≠ 0𝑘, 𝑐 ∶ 𝑘𝑜𝑛𝑠𝑡𝑎𝑛𝑡𝑎

• Fungsi Logaritmik

Fungsi Logaritmik adalah kebalikan dari fungsi

eksponensial, variabel bebsanya merupakan logaritma.

Bentuk fungsi loaritmik yang paling sederhana :

Y = n log X

Bentuk fungsi logaritmik yang lebih umum :

Y = a1n (1 + x ) + b

• Model Bunga Majemuk

Untuk menghitung jumlah di masa datang dari

jumlah sekarang suatu pinjaman atau tabungan, kita dapat

menggunakan model bung majemuk

Dimana 𝐹𝑛 melambangkan jumlah pinjaman atau tabungan

setelah n tahun, P melambangkan jumlahnya sekarang

(tahun ke-0), i adalah tingkat bunga pertahun, m adalah

frekuensi pembayaran bunga dalam setahun dan n adalah

jumlah tahun

𝐹𝑛 = 𝑃 (1 +𝑖

𝑚)𝑚𝑛

• Model Pertumbuhan Penduduk

Model pertumbuhan penduduk merupakan bentuk

fungsi eksponensial. Model semacam ini tidak saja relevan

bagi penaksiran variabel kependudukan, tetapi juga dapat

diterapkan untuk menaksir variabel- variabel lain

berkenaan dengan pertumbuhannya.

Notasi model pertumbuhan :

Dimana N melambangkan variabel yang sering diamati, r

ialah persentase pertumbuhannya per satuan waktu

tertentu, sedangkan t adalah indeks waktu.

𝑁𝑡 = 𝑁1𝑅𝑡−1 R = 1 + 𝑟

• Kurva Gompertz

Untuk menganalisis variabel yang gejalanya

asimtotik terhadap batas-jenuh tertentu), model

pertumbuhan yang tetap untuk diterapkan adalah model

pertumbuhan Gompertz. Model ini didasarkan atas bentuk

atau pola kurva Gompertz, yang bentuk persamaannya.

Dimana N melambangkan jumlah variabel tertentu yang

sedang diamati, r melambangkan tingkat pertumbuhan

rata-rata (0<r<1), a melambangkan proporsi pertumbuhan

awal, c melambangkan batas-jenuh pertumbuhan N

(merupakan asimtot atas), sedangkan t adalah indeks

waktu.

𝑁 = 𝑐𝑎𝑟1

Kurva Gompertz mempunyai dua tipe dasar yakni :

N

0

t

N= c

Batas jenuh𝑁 = 𝑐𝑎𝑟

1

Tipe I : 0 <a<1

𝑒

Tipe II : 1

𝑒≤ 𝑎 < 1

• Kurva Belajar

Dalam ekonomi, kurva belajar cocok untuk menggambarkan

perilaku produksi dan biaya dalam hubungannya dengan variabel

waktu

Bentuk dasar persamaan kurva belajar :

y

0x

𝑦 = 𝑚s

(0,m-s)

𝑦 = 𝑚 − 𝑠𝑒−𝑘𝑥

𝑘,𝑚, 𝑠 > 0Konstanta m

melambangkan batas-

jenuh y, atau y

tertinggi yang dapat

tercapai. Perhatikan

bahwa jika x=0, y=m-s

• Model Efisiensi Wright

bentuk anti-log persamaan yang disebut model

efisiensi Wright, yakni :

dimana ;

𝑎 : waktu yang diperlukan untuk memproduksi unit pertama

dari produk yang dihasilkan

𝑞 ∶ jumlah produksi

𝑟 ∶ tingkat efisiensi waktu produksi

𝑡 ∶ waktu produksi rata-rata kumulatif

𝑡 = 𝑎 𝑞𝑏 𝑏 =log 𝑟

0,3010

waktu produksi total dapat dihitung dengan cara

mengalikan waktu produksi rata-rata kumulatif (t) tadi

terhadap jumlah produksinya (q)

𝑇 = 𝑡 × 𝑞 = 𝑎𝑞𝑏 × 𝑞 = 𝑎𝑞1+𝑏

SEKIAN DAN

TERIMAKASIH