CK-FI112.08-1

Arus Bolak-Balik

Arus bolak balik dihasilkan oleh generator yang

menghasilkan tegangan bolak-balik dan biasanya dalam

bentuk fungsi sinusoida (sinus atau cosinus).

Tegangan dan arus bolak balik dapat dinyatakan dalam

bentuk

( )tVtV ωcos)( m= atau

+=

2sin)( m

πωtVtV

( )tItI ωcos)( m= atau

+=

2sin)( m

πωtItI

Rangkaian R

Perhatikan rangkaian AC dengan

sebuah hambatan (R), rangkaian

ini dinamakan rangkaian resistif.

Misalkan ( )tVtV ωcos)( m=

Artinya ( ) ( )tVtVtVtV ωω coscos)()( mRmR ===

Dengan menggunakan aturan Kirchhoff, arus pada

rangkaian adalah

0)( =− IRtV → ( )

R

tV

RtV

tIωcos)(

)( Rm==

V(t) VR(t) R

CK-FI112.08-2

atau ( )tItI ωcos)( RmR =

Kaitan antara arus maksimum dengan tegangan

maksimum adalah

R

VI RmRm =

Grafik VR(t) dan IR(t)

Rangkaian L

Perhatikan rangkaian AC

dengan komponen induktor (L),

rangkaian ini dinamakan

rangkaian induktif.

Misalkan ( )tVtV ωcos)( m=

Maka ( ) ( )tVtVtV ωω coscos)( mLmL ==

Arus dan tegangan

pada resistor

mempunyai fasa yang

sama (sefasa)

IRm = VRm/R

t

V(t) I(t)

V(t) VL(t) L

CK-FI112.08-3

Dengan menggunakan aturan Kirchhoff

0)( =−dtdI

LtV → dtLtV

dI)(

=

Bila diintegralkan akan diperoleh

( ) ( )tL

Vdtt

L

VtI ω

ωω sincos)( LmLm == ∫

( ) ( )

−===

2cossinsin)( LmLm

LmL

πωωω

ωtItIt

L

VtI

Besaran ωL dinamakan reaktansi induktif (XL) yang

menyatakan resistansi efektif pada rangkaian induktif.

LX ω=L

Jadi L

LmLm X

VI =

Grafik VL(t) dan IL(t) pada induktor

Arus dan tegangan

mempunyai beda fasa

sebesar π/2 (tegangan

mendahului arus)

VL(t)

I(t)

ILm = VLm/ωL

CK-FI112.08-4

Rangkaian C

Perhatikan rangkaian AC dengan

komponen kapasitor (C),

rangkaian ini dinamakan

rangkaian kapasitif.

Misalkan ( )tVtV ωcos)( m=

Maka ( ) ( )tVtVtV ωω coscos)( mCmC ==

Dengan menggunakan aturan Kirchhoff

( )tCVtCVQCQ

tV ωcos)(0)( m==→=−

( )( ) ( )tCVtCVdtd

dtdQ

tI ωωω sincos)( mm −===

( ) ( )

+=−=−=

2cossinsin)( CmCmCmC

πωωωω tItItCVtI

Besaran Cω

1 dinamakan reaktansi kapasitif (XC) yang

menyatakan resistansi efektif pada rangkaian kapasitif.

CX

ω

1C =

V(t) VC(t) C

Arus dan tegangan

mempunyai beda fasa

sebesar π/2 (arus

mendahului tegangan)

ICm = ωCVCm

CK-FI112.08-5

Jadi C

CmCm X

VI =

Grafik VC(t) dan IC(t)

Rangkaian RLC seri

Perhatikan rangkaian AC yang

terdiri dari hambatan (R),

induktor (L) dan kapasitor

(C) yang tersusun seri

Misalkan tegangan sumber adalah ( )tVtV ωcos)( m= ,

sedangkan arus pada rangkaian adalah

( )ϕω += tItI cos)( m , ϕ menyatakan beda fasa antara

arus dan tegangan.

Karena rangkaian seri, maka arus pada setiap komponen

sama dengan arus total, yaitu ( )ϕω += tItI cos)( m .

Tegangan pada masing-masing komponen

VC(t)

I(t)

R L C

V(t)

VR(t) VL(t) VC(t)

CK-FI112.08-6

Komp

onen I(t) V(t)

R ( )ϕω += tItI cos)( m ( )ϕω += tVtV cos)( RmR

L ( )ϕω += tItI cos)( m

++=

2cos)( LmL

πϕωtVtV

C ( )ϕω += tItI cos)( m

−+=

2cos)( CmC

πϕωtVtV

Dengan RIRIV mRmRm ==

( )LIXIXIV ωmLmLLmLm ===

( )Cm

CmCCmCm ω

IXIXIV ===

Sehingga

( )

( )

−++

++++

=

++=

2cos

1

2coscos

cos

)()()()(

mm

CLR

πϕω

ω

πϕωωϕω

ω

tC

tLtRItV

tVtVtVtV

“hambatan efektif” total

(Vm/Im) dan beda fasa antara arus dan tegangan (ϕ) sulit

ditentukan melalui cara

aljabar trigonometri

CK-FI112.08-7

Rangkaian RLC paralel

Perhatikan rangkaian AC

yang terdiri dari hambatan

(R), induktor (L) dan

kapasitor (C) yang tersusun

paralel

Misalkan tegangan sumber adalah ( )tVtV ωcos)( m= ,

sedangkan arus pada rangkaian adalah

( )ϕω += tItI cos)( m , ϕ menyatakan beda fasa antara

arus dan tegangan.

Karena rangkaian paralel, maka tegangan pada setiap

komponen sama dengan tegangan sumber, yaitu

( )tVtV ωcos)( m= .

Arus pada masing-masing komponen

Komp

onen V(t) I(t)

R ( )tVtV ωcos)( m= ( )tItI ωcos)( RmR =

L ( )tVtV ωcos)( m=

+=

2cos)( LmL

πωtItI

C ( )tVtV ωcos)( m=

−=

2cos)( CmC

πωtItI

Dengan

RV

I mRm =

( )LV

XV

Iωm

L

mLm == ( )CV

XV

I ωmC

mCm ==

R L C V(t)

IR(t) IL(t)

IC(t)

CK-FI112.08-8

Sehingga

( )( )

−+

++

=+

++=

2cos

2cos

1cos

1

cos

)()()()(

mm

CLR

πωω

πω

ωω

ϕω

tC

tL

tR

VtI

tItItItI

Penggunaan diagram Phasor (Phase vector)

Analisa rangkaian AC menggunakan aljabar trigonometri

ternyata sulit dilakukan terutama bila rangkaiannya

tidak sederhana.

Dengan menggunakan diagram phasor, beberapa

kesulitan aljabar diselesaikan dengan bantuan gambar

(geometri).

Suatu phasor adalah seperti vektor biasa yang

mempunyai besar (panjang) dan arah (sudut terhadap

sumbu tertentu).

Besaran yang dinyatakan dengan fungsi harmonik (sinus

dan cosinus) seperti tegangan dan arus dapat

digambarkan sebagai sebuah phasor.

“hambatan efektif total”

dan beda fasa antara arus

dan tegangan sulit

ditentukan dengan cara

seperti ini

CK-FI112.08-9

Misalnya ( )ϕω += tVtV cos)( m dalam notasi phasor

dinyatakan sebagai ( )ϕω +∠=→

tVtV m)(

Bila digambarkan dalam diagram phasor

Tinjau kembali rangkaian RLC seri

( )

( )

−++

+++

=

++=

2cos

1

2coscos

cos

)()()()(

mm

CLR

πϕω

ω

πϕωωω

ω

tC

tLtRItV

tVtVtVtV

Bila menggunakan cara phasor →→→→

++= CLR VVVV

( ) ( )

−+∠=

−+∠=

++∠=

++∠=

+∠=+∠=

→

→

→

22

22

mCmC

mLmL

mRmR

πϕωω

πϕω

πϕω

ω

πϕω

ϕωϕω

tCVtVV

tL

VtVV

tRV

tVV

Panjang

phasor

Sudut phasor yang

menyatakan arah

(ωt + ϕ)

V(t) = Vmcos(ωt + ϕ)

Vm

CK-FI112.08-10

Penggambaran dalam diagram phasor

( ) ( )

( ) 22CLm

2Rm

2CmLmm

RXXI

VVVV

+−=

+−=

−=

−=

R

XX

V

VV

CL

Rm

CmLm

arctan

arctanδ

Dengan demikian

( ) ( )δϕωω ++== tVtVV coscos mm → artinya δϕ −=

Jadi

( )tVtV ωcos)( m=

( )

−−

−+=

R

XXt

XXR

VtI CL

2CL

2

m arctancos)( ω

(ωt + ϕ) VRm

VLm

(ωt + ϕ + π/2)

(ωt + ϕ − π/2)

VCm

VLm

VCm

VRm

VLm − VCm

VRm

Vm

δ

( )δϕω ++∠=→

tVV m

ϕ menyatakan

beda fasa antara

arus dan tegangan

Berarti tegangan

mendahului arus

CK-FI112.08-11

Besaran ( )2CL2 XXR −+ dinamakan impedansi, yang

menyatakan “hambatan efektif total” untuk rangkaian

RLC seri, dilambangkan dengan Z.

( )2CL2

seri XXRZ −+=

Daya

� Pada resistor

Daya sesaat

( )( ) ( ) ( )tRIRtIRIP ωω 22Rm

2Rm

2 coscos ===

Daya rata-rata dalam satu perioda adalah

( ) ( )

( )2

2

cos

2Rm

2

0

22Rm

0

RI

dttRI

T

PdtP

T

=

==

∫∫

ω

π

ωπ

� Pada induktor

Daya sesaat

( ) ( )( )( ) ( ) ( )

( )( )t

VI

ttVI

tVtIIVP

ω

ωω

ωω

2sin2

cossin

cossin

LmLm

LmLm

LmLmL

=

=

==

Daya rata-rata

( )

( )0

2

2sin2

2

0

LmLm

=

=∫

ωπ

ωπ

dttVI

P

Dari tabel integral

diperoleh hasilnya

adalah π

CK-FI112.08-12

� Pada kapasitor

Daya sesaat

( ) ( )( )( ) ( ) ( )

( )( )t

VI

ttVI

tVtIIVP

ω

ωω

ωω

2sin2

cossin

cossin

LmLm

LmLm

CmCmC

=

=

==

Daya rata-rata

( )

( )0

2

2sin2

2

0

LmLm

=

=∫

ωπ

ωπ

dttVI

P

Jadi daya didisipasikan hanya pada hambatan saja.

Beberapa contoh

� Tentukan beda fasa antara arus dan tegangan

serta besar impedansi pada rangkaian RLC paralel.

�