Aula carlos

A CONTA É DE MAIS OU DE MENOS?

Quase-problemas no ensino de Matemática

Carlos [email protected]

Um dos grandes mal-entendidos sobre a matemática que perpetramos em nossas salas de aula é que o professor sempre parece saber a resposta para qualquer problema que esteja sendo discutido. Isso dá ao aluno a ideia de que, em alguma parte, há um livro com todas as respostas certas para todas as questões interessantes, e que os professores conhecem essas respostas. E se conseguirmos por as mãos nesse livro, tudo estará resolvido. Isso se distancia inteiramente da verdadeira natureza da matemática.

LEON HENKIN

NOSSO PROBLEMAA ponta do iceberg

Programas de avaliaçãoIndicador Nacional de Alfabetismo

Funcional INAF

Desenvolvido pelo Instituto Paulo Montenegro e pela ONG Ação Educativa.

Oferece informações sobre as habilidades e as práticasde leitura e cálculo de jovens e adultos.

● 29% encontram muita dificuldade em resolver problemas envolvendo cálculos simples que envolvem operações (de adição, subtração, multiplicação e divisão).

● 23% são capazes de adotar e controlar uma estratégia na resolução de um problema que envolva a execução de uma série de operações envolvendo adição, subtração, multiplicação, divisão e cálculo proporcional.

Programas de avaliação

Sistema Nacional de Avaliação da Educação Básica SAEB

Desenvolvido pelo Instituto Nacional de Estudos e Pesquisas Educacionais Anísio Teixeira – INEP.

Desde 1990, avalia os estudantes brasileiros da 4ª e 8ª séries do Ensino Fundamental e 1ª e 3ª série do Ensino Médio.


● Os alunos desenvolvem algumas habilidades elementares de interpretação de problemas, mas não conseguem transpor o que é pedido no enunciado para uma linguagem matemática específica.

● Na 8ª série, por exemplo, os alunos resolvem expressões com uma incógnita, mas não interpretam os dados de um problema fazendo uso de símbolos matemáticos específicos.


Programa Internacional de Avaliação de Estudantes PISA

Avalia o desempenho de alunos de 15 anos de idade, produzindo indicadores sobre a efetividade dos sistemas educacionais em diferentes países.

Desenvolvido e coordenado internacionalmente pela Organização para Cooperação e Desenvolvimento Econômico (OCDE); no Brasil é coordenado pelo INEP.


● Os alunos apresentam dificuldades em recuperare transformar um dado matemático.

● Núcleo da dificuldade: leitura e transformaçãoda linguagem matemática.


Pontos de referência

A leitura ultrapassa a aprendizagem em língua materna.

A leitura requer uma sistematização por todosos envolvidos no processo de ensino.

A resolução de problemas deve ter ênfase no "resgate“da linguagem matemática.

A resolução de problemas não é uma questão exclusivada Matemática.

A aprendizagem como problema

No Brasil, registra-se um alto número de mortes devido a acidentes de trânsito. Além da dor e do sofrimento das vítimas e seus familiares, a violência no trânsito tem um custo social de R$ 5,3 bilhões por ano, segundo levantamento realizado pelo Instituto de Pesquisa Econômica Aplicada (Ipea), publicado em 2003. Desse total, 30% são devidos aos gastos com saúde e o restanteé devido à previdência, justiça, seguro e infraestrutura.

Um problema de todosACIDENTES DE TRÂNSITO CUSTAM R$ 5,3 BI POR ANO

De acordo com esse levantamento, de janeiro a julho de 2003, os acidentes de trânsito consumiram entre 30% e 40% do que o Sistema Único de Saúde (SUS) gastou com internações por causas externas, resultantes de acidentes e violência em geral.

Um problema de todos

Oferece suporte à curiosidade: situações reais na salade aula propiciam a descoberta do novo.

Desenvolve o raciocínio interpretativo, auxiliandona convivência com esse mundo de interpretações.

Necessita de conhecimentos adquiridos anteriormentee da percepção de novos caminhos a serem traçados.

Resolução de problemas: assim caminha a Matemática.

O problema real como método


SistemaAmericano

SistemaEuropeu

“De Fábrica” Lacinho

As disposições possíveis para os cadarços tinham sido estudadas pelo matemático John Halton: casos particulares do problema do caixeiro viajante.

Um caixeiro quer passar por um número fixo de cidades, visitando-as todas apenas uma vez e tendo fixada a cidade de partida e a de chegada.

Burkard Polster, matemático australiano, abordou o problema em estudo publicado na Nature, apontandoas disposições mais eficientes.



É paradoxal, mas a faixa do lado parece sempre ir mais depressa.

Donald A. Redelmeyer (Universidade de Toronto) e Robert J. Tibshirani (Universidade de Stanford) publicaram estudos na Nature e na Chance.

A ilusão de que a outra faixa anda mais depressa baseia-se em fatores objetivos. A subjetividade é apenas parte do problema.


O exercício

Sustenta-se num procedimento padrão: o aluno tem certo domínio na obtenção do resultado ou tem memorizadoo mecanismo resolutivo.

Não demanda decisão sobre o procedimentoa ser utilizado para se chegar à solução.

Consolida e automatiza certas técnicas, habilidadese procedimentos necessários para posterior soluçãode problemas.

Exercício X problema

Professor: “Suponha que x seja o número de ovelhas no problema”.

Aluno: “Mas, professor, suponha que x não seja o número de ovelhas”.

John Edensor LittlewoodA Mathematician’s Miscellany

Piada filosófica profunda

O problema

Uma situação imprevisível, um obstáculo a ser superado com maior ou menor complexidade.

Uma situação onde se procura algo desconhecido e nãose tem previamente nenhum algoritmo que garanta a solução.

Exige reflexão, questionamento e tomada de decisão.

Problema X exercício

Ensinar a resolver problemas: criar a atitude de enfrentara aprendizagem como um problemapara o qual deve ser encontrada uma resposta.

Importância: a motivação natural de estudar problemas reais.

O cotidiano na sala de aula: abordagem intuitivae conceitual.

O que é desconhecido para alguns, pode ser resolvido muito rapidamente por outros.

Resolução de problemas

O problema apresentará uma situação diferente da que já se tenha trabalhado, mas que se utilize de técnicas e estratégias já aprendidas para a sua solução.

Exigência: problemas não-rotineiros e não-algorítmicos.

A grande significação da Matemática reside fora da matemática.

Resolução de problemas

Quase-problemas: aplicação direta de um ou mais algoritmos anteriormente aprendidos.

Não exigem estratégias para a sua solução.

A solução já está contida no próprio enunciado.

A tarefa básica é transformar a linguagem usual parauma linguagem matemática adequada, identificando quais operações ou algoritmos são apropriados para resolver o problema.

Problemas padrões

Objetivo: recordar e fixar os fatos básicos através dos algoritmos das quatro operações fundamentais e reforçar as relações entre estas operações e suas aplicações nas situações do cotidiano.

Problemas padrões

Julgue os itens a seguir:

1. Considere que um pedaço de fio elétrico tenha a seguinte característica: 3 vezes o seu comprimento, em metros, mais 15m é menor que duas vezes o seu comprimento, em metros, mais 27m. Nesse caso, o comprimento desse pedaço de fio elétrico é superior a 14m.Solução:

3x + 15 < 2x + 27x < 12

Problemas padrões

2. Considere que uma caixa d’água cúbica tem as arestas medindo 2m de comprimento. Então, essa caixa d’água tem capacidade para mais de 7.000 litros de água.

Solução:

V = a3 = 23 = 8m3 = 8.000dm3 = 8.000 litros

Problemas padrões

3. Considere que 6,2kg de castanhas-do-pará serão acondicionados em embalagens com capacidade para 25kg. Se, em cada embalagem, for colocado o máximo possível de castanhas, então serão necessárias menos de 250 embalagens.Solução:

Número mínimo de embalagens:

Problemas padrões

Jornais e revistasAnúncio de venda de um imóvel: a planta do apartamento e sua localização.

Escala, área, orientação espacial, perímetro, custo de materiais, confecção de maquetes, sólidos geométricos...

Pesquisas de opinião: modos de realização da pesquisa, elaboração das tabelas e dos gráficos, a motivação da pesquisa estatística.

Questionar eventuais erros de impressão, de informação, causas e consequências destes.

Fontes de problemas

No Brasil, registra-se um alto número de mortes devidoa acidentes de trânsito. Além da dor e do sofrimento das vítimas e seus familiares, a violência no trânsito tem um custo social de R$ 5,3 bilhões por ano, segundo levantamento realizado pelo Instituto de Pesquisa Econômica Aplicada (Ipea), publicado em 2003. Desse total, 30% são devidos aos gastos com saúde e o restanteé devido à previdência, justiça, seguro e infraestrutura.

De volta a um problema de todosACIDENTES DE TRÂNSITO CUSTAM R$ 5,3 BI POR

ANO

De acordo com esse levantamento, de janeiro a julho de 2003, os acidentes de trânsito consumiram entre 30% e 40% do que o Sistema Único de Saúde (SUS) gastou com internações por causas externas, resultantes de acidentese violência em geral.

De volta a um problema de todos

Considerando o texto e o tema por ele abordado, julgue os itens a seguir:

1. Do custo social de 5,3 bilhões por ano, R$ 1,59 bilhão foi gasto com saúde.

Solução:Saúde: 30% x 5,3 bilhões = 1,59 bilhão


Solução:

Redução de 10% de cada componente = redução de 10% do total

Gasto com a redução: 90% x 5,3 bilhões = 4,77 bilhões

2. Supondo que, em 2004, o gasto com cada um dos itens saúde, justiça, seguro e infraestrutura seja reduzido em 10%, é correto concluir que o gasto total com o conjunto desses itens, em 2004, será superior a 4,8 bilhões.


Solução:Gasto com acidentes: entre 2 bilhões e 2,5 bilhões.Acidentes de trânsito levaram entre 30% e 40% do gasto do SUS:30% x 2 bilhões = 0,600 bilhão = 600 milhões40% x 2,5 bilhões = 1 bilhão

3. Considerando que, de janeiro a julho de 2003, o gasto total do SUS com internações por causas externas, resultantes de acidentes e violência em geral, tenha sido entre R$ 2 bilhões e R$ 2,5 bilhões, é correto concluir que a parte desse gasto que foi consumida pelos acidentes de trânsito foi superior a R$ 500 milhões e inferior a R$ 1,1 bilhão.


Solução:

Os percentuais de gasto 25%, 20%, 15% e 10% formam uma PA de razão -5% = - 0,05% do gasto total.

Razão = -0,05 x 5,3 bilhões = -0,265 bilhão = -265 milhões

4. Se os gastos, em reais, com previdência, justiça, seguro e infraestrutura correspondem, respectivamente, a 25%, 20%, 15% e 10% do custo social de 5,3 bilhão, então os gastos com saúde, previdência, justiça, seguro e infraestrutura foram, nessa ordem, uma progressão aritmética de razão igual a R$ 265 milhões.


FICOU PIOR PARA QUEM BEBE

O governo ainda espera a consolidação dos dados do primeiro mês de aplicação da Lei Seca para avaliar seu impacto sobre a cassação de CNHs. As primeiras projeções indicam, porém, que as apreensões subirão, no mínimo, 10%. Antes da vigência da Lei Seca, eram suspensas ou cassadas, em média, aproximadamente 155.000 CNHs por ano. Se as previsões estiverem corretas, a média anual deve subir para próximo de 170.000. A tabela a seguir mostra esses resultados nos últimos anos.

Mais um problema de todos


* dados de janeiro a junho

Veja, ed. 2.072, 6/8/2008, p.51 (com adaptações)

1. Para que a média de CNHs suspensas ou cassadas, de 2003 a 2008, atinja o valor previsto de 170.000, será necessário que, em 2008, a quantidade de CNHs suspensas ou cassadas seja um número:

a) Inferior a 180.000.b) Superior a 180.000 e inferior a 200.000.c) Superior a 200.000 e inferior a 220.000.d) Superior a 220.000 e inferior a 240.000.e) Superior a 240.000.


2. Suponha que, em 2006, nenhuma CNH tenha sofrido simultaneamente as penalidades de suspensão e de cassação e que, nesse mesmo ano, para cada 5 CNHs suspensas, 3 eram cassadas. Nessa situação, é correto afirmar que a diferença entre o número de CNHs suspensas e o de cassadas é:

a) Inferior a 24.000.b) Superior a 24.000 e inferior a 25.000.c) Superior a 25.000 e inferior a 26.000.d) Superior a 26.000 e inferior a 27.000.e) Superior a 27.000.


Os alunos se dão conta que nem sempre uma discrepância no resultado é falha deles. Isso lhes dá maior segurança para resolverem problemas em outras situações.

O erro passa a ser visto como uma possibilidadee ocorrência natural.

Na resolução de problemas não há somente uma solução, pode-se chegar a um determinado lugar por diferentes caminhos; assim os alunos formarão diversificadas opiniões.

Fontes de problemas

DANTE, L. R. Didática da Resolução de Problemas de Matemática. 2 ed. São Paulo: Ática, 1991;

_______. Criatividade e resolução na prática educativa Matemática. Rio Claro: Instituto de Geociências e Ciências Exatas, Tese de Livre Docência, 1988;

DEMO, P. Educação e qualidade. Campinas: Papirus, 1996;

INSTITUTO NACIONAL DE ESTUDOS E PESQUISAS EDUCACIONAIS ANÍSIO TEIXEIRA (2003). Resultados do SAEB 2003. Sistema Nacional de Avaliação da Educação Básica (SAEB), Brasília-DF.

Referências

INSTITUTO PAULO MONTENEGRO (2004). Avaliação de habilidades matemáticas. IV Indicador Nacional de Alfabetismo Funcional (INAF), São Paulo-SP.

KLINE, Morris. O fracasso da Matemática moderna. Tradução Leônidas Gontijo de Carvalho. São Paulo: IBRASA, 1976;

Letramento em leitura, matemática e ciência. Programa Internacional de Avaliação de Alunos (PISA), Ministério da Educação e do Desporto. Brasília-DF.

Referências

LOPES, A. J. et al. Resolução de Problemas: observações a partir do desempenho dos alunos. A educação Matemática em revista. Revista da Sociedade Brasileira de Educação Matemática (SBEM) Ano II – n. 3 e 2, semestre 94, p. 33-40.

MANDEL, Ambrogio Giacomo. A filosofia da Matemática. Lisboa: Edições 70, sem data.

MEC (1998) Parâmetros Curriculares Nacionais, terceiro e quarto ciclos: apresentação dos temas transversais – 1998. Secretaria de Educação Fundamental, Ministério da Educação e do Desporto, Brasília, DF.

Referências

Deus existe pois a matemática é consistente, e o demônio existe pois não podemos provar isso.

ANDRE WEIL

Education

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