Bahan Ajar

’’VEKTOR’’

1. Pengertian vektor

a. Besaran skalar dan besaran vektor

Besaran skalar adalah besaran yang hanya memiliki nilai

(tidak memiliki arah ) contohnya massa, waktu, volume, kelajuan, massa

jenis, daya.energi,suhu, panjang pensil 20 cm, dan volume bak mandi 1.000

liter.

Besaran skalar selalu bernilai positif.

Besaran vektor adalah besaran yang memiliki nilai dan arah Misalnya Ama

menempuh perjalanan sejauh 3 km kea rah timur

Mengambar vektor

Sebuah vector digambarkan dengan sebuah anah panah yang terdiri atas

pangkal vector,panjang vector danarah vector. Arah anak panah menunjukan

nilai dan harga vector, semakin panjang gambar vector semakin besar

nilainya

b. Penulisan notasi vektor

Notasi besaran vektor dapat berupa huruf capital atau huruf kecil. Berupa

huruf yang bertanda panah diatas misalnya A

atau a

untuk tulisan cetak

notasi tersebut biasanya dicetak tebal, misalnya A atau a

Dua buah vektor dikatakan sama besar apabila nilai dan arahnya sama

perhatikan gambar dibawah vektor A sama dengan vektor B karena dua

c. Dua vector sama

vector A dan B memiliki besar dan arah sama. dua vector dikatakan sama

jika besar dan arah kedua vector sama meskipnpangkal vektornya berbeda.

Arahvektor

Pangkalvektor

Panjangvektor

4 mA

4 mB

d. Dua vector berlawanan

Vector A dan B memiliki besar yang sama tetapi berlawanan arah, dua

vector dikatkan berlawanan jika arahnya berlawanan meskipun besar

kedua vector sama.

2. Penjumlahan dan selisi vektor

Dua buah vector atau lebih dapat dijumlahkan atau dikurangkan, hail

penjumlahan dan pengurangan di sebut resultan vektor untuk menghitung

resultan vector dapat digunakan tiga metode yaitu, segitiga, jajargenjang dan

poligon

a. Melukis penjumlahan dua vector yang segaris dan searah

Misalkan dua buah vector A=5N dan vector B = 3N kedua vektor tersebutsearah dan kita dapat menjumlahkan dengan cara melukisnya.

Cara melukis penjumlahan vector tersebut adalah dengan meletakan pangkalvector B pada ujung vector A. selanjutnya pangkal vector A ditarik garislurus sampai ujung vector B hasil penjumlahan vektor tersebut adalah vektorC. arah vektor C searah dengan vektor A dan vektor B mka C=A+B

b. Melukis penjumlahan dua vector yang segaris dan berlawanan arah

A

B

3m

3m

5NA

3NB

A B

C

A

B

5N

-3N

AB

C=A+B

Melukis penjumlahan dua vector yang segaris dan berlawaan arah samadengan cara melukis penjumlahan dua vector yang segaris dan searah.Pangkal vector kedua diletakan pada ujung vector pertama besar vector hasilpenjumlahan adalah panjang garis dari pangkal vekto pertama sampai ujungvector kedua

Misalnya dua vector A= 5N dan vector B =-3N. (seperti gambar diatas) hasilpenjumlahan vector A dan B adalah vector C . Jadi vector C=A+(-B)

c. Penjumlahan dan selisih vector dengan metode segitiga

Untuk mengetahui jumlah dua buah vektor Anda dapat menggunakanmetode

segitiga. Langkah-langkahnya adalah sebagai berikut.

1) Lukislah vektor pertama sesuai dengan nilai dan arahnya, misalnya A

2) Lukislah vektor kedua, misalnya B, sesuai nilai dan arahnya dengan titik

tangkapnya berimpit pada ujung vektor pertama!

3) Hubungkan titik tangkap vektor pertama (A) dengan ujung vektorkedua

(B)!

Untuk lebih jelasnya perhatikan gambar berikut!

Selisih dua buah vektor dapat diketahui dengan cara seperti penjumlahan

vektor. Misalnya, selisih dua buah vektor A dan B adalah C, juga dapat

dinyatakan C = A – B atau C = A + (-B). Hal ini menunjukan bahwa selisih

antara vektor A dan B adalah hasil penjumlahan vektor A dan -B, dengan -B

adalah vektor yang berlawanan arah dengan B tetapi nilainya sama dengan B.

Perhatikan gambar berikut!

d. Metode jajargenjang

Anda dapat memperoleh resultan dua buah vektor dengan metode. Pada

metode jajargenjang terdapat beberapa langkah, yaitusebagai berikut.

1) Lukis vektor pertama dan vektor kedua dengan titik pangkal berimpit

2) Lukis sebuah jajargenjang dengan kedua vektor tersebut sebagai sisi-

3) Resultan kedua vektor adalah diagonal jajargenjang yang titik

pangkalnya sama dengan titik pangkal kedua vektor. Perhatikan (Gam-

e. Metode poligon

Metode poligon dapat digunakan untuk menjumlahkan dua buah vektoratau

lebih, metode ini merupakan pengembangan dari metode segitiga.

Langkah-langkah menentukan resultan beberapa vektor dengan metode

1) poligon adalah sebagai berikut.

2) Lukis vektor pertama

3) Lukis vektor kedua, dengan pangkalnya berimpit di ujung vektor pertama

4) Lukis vektor ketiga, dengan pangkalnya berimpit di ujung vektor

keduadan seterusnya hingga semua vektor yang akan dicari resultannya

telah dilukis

5) Vektor resultan atau vektor hasil penjumlahannya diperoleh dengan

menghubungkan pangkal vektor pertama dengan ujung dari vektor yang

terakhir dilukis

3. Metode analitis

1) Menentukan resultan vector dengan mengunakan rumus kosinus

Untuk menentukan vektor resultan secara matematis dapat Anda gunakan

rumus kosinus, yaitu sebagai berikut.

cos.2 2121 FFFFR

Keterangan:

R = Resultan

F1 = Vektor pertama

F2 = vector kedua

α = sudut apit

contoh soal

Diketahui dua buah vektor, masing-masing besarnya 8 N dan 6 N.Tentukan

nilai resultan kedua α vektor tersebut, jika titik pangkalnya berimpit dan

membentuk sudut 600!

Diketahui : F1 = 8 N, F2 = 6 N, α = 60

Ditanyakan : R = ...?

Penyelesaian

N

FFFFR

148

483664

60cos6.8.268

cos.2

022

2121

Jadi resultanya adalah N148

2) Menentukan arah resultan vector dengan rumus sinus

Anda ketahui bahwa vektor merupakan besaran yang mempunyai nilai dan

arah. Untuk menentukan arah dari vektor resultan terhadap salah sa-tu

vektor komponennya dapat digunakan persamaan sinus.

PerhatikanGambar dibawah ini

Diketahui dua buah vektor, F1 dan F2 membentuk sudut α. Sudut antara

vektor resultan (R) dengan vektor F1 adalah β, sedangkan sudut antara

resultan (R) dan vektor F2 adalah α-β. Secara matematis persamaan ini dapat

ditulis sebagai berikut:

21

sinsin

FFR

α

α-β

βR

F2

F2

Contoh Soal :

Diketahui dua buah vektor masing-masing panjangnya 8 cm dan 6

cm.Jika kedua vektor berimpit dan saling tegak lurus, maka tentukan

arah resultan vektor tersebut terhadap kedua vektor tersebut!

Diketahui :

F1 = 8 cm

F2 = 6 cm

α = 90° (tegak lurus)

Ditanya:

a. β

b. α

cari terlebihdahulu resultan kedua vector

N

FFFFR

10

100

03664

90cos6.8.268

cos.2

022

2121

a. Arah vektor resultan (R) terhadap vektor F1.

0

0

2

2

2

53

8,0sin10

90sin8

sinsin

sinsin

sinsin

R

F

FR

FR

b. Arah resultan vektor (R) terhadap vektor F1.

0

00

37

5390

4. Mengurai Vektor

Setelah memahami cara menjumlahkan vektor, Anda akanmempelajari cara

menguraikan sebuah vektor. Sebuah vektor dapatdiuraikan menjadi dua buah

vektor atau lebih. Pada materi ini, Anda

hanya akan mempelajari cara menguraikan sebuah vektor menjadi duabuah

vektor yang saling tegak lurus, yaitu pada sumbu X dan sumbu Y.

1) Menentukan komponen vektor yang besar dan arahnya diketahui

Vektor komponen adalah dua buah vektor atau lebih yang menyusun sebuah

vektor. Setiap vektor dapat diuraikan menjadi dua buah vektoryang saling

tegak lurus. Perhatikan Gambar dibawah

Misalkan, diketahui sebuah vektor F yang dapat diuraikan menjadi vektor

komponen pada sumbu X, yaitu Fx dan vector komponen pada sumbu Y,

yaitu Fy. Jika sudut antara vektor F dengan sumbu X positif adalah α ,

maka besar vektor komponen Fx dan Fy dapat Anda peroleh dengan

menggunakan persamaan sinusdan kosinus.

sin

cos

FF

FF

y

x

Contoh soal :

Tentukan besar komponen-komponen vektor dari sebuah vector gaya

sebesar 20 N pada arah 60° terhadap sumbu X positif!

Diketahui : F = 20 N

α = 60°

Ditanyakan :

a. Fx = ...?

b. Fy = ...?

Jawab :

y

x

Fy

Fx

F

α

N

FFx

102

1.20

60cos20

cos0

N

FFy

310

321.20

60cos20

sin0

2) Menentukan besar dan arah sebuah vector jika kedua vector komponennya

diketahui

Misalkan, jika komponen-komponen vektor F adalah Fx dan Fy, maka besar

vektor F dapat ditentukan dengan menggunakan dalil Phytagoras pada

segitiga siku-siku. Arah vektor tersebut dapat ditentukan dengan

menggunakan perbandingan trigonometri tangen.

Besar vektor F adalah sebagai berikut :

Arah vektor F adalah sebagai berikut :x

y

F

Ftan

Untuk menentukan arah vektor (sudut yang dibentuk terhadap sumbu X

positif) kamu harus memperhatikan tanda Fx dan Fy, tanda tersebut akan

membantu Anda dalam menentukan kuadran dalam vektor koordinat.

Perhatikan tabel dan gambar berikut!

Kuadran I II III IV

Fx + - - +

Fy + + - -

22yx FFF

Kuadran II900≤θ≤1800

Kuadran III1800≤θ≤2700

Kuadran I00 ≤θ≤900

Kuadran I2700 ≤θ≤900

Contoh soal

Tentukan resultan dan arah vector gaya F, jika diketahui vector komponenya

sebesar 8N dan 6N

Diketahui : Fx = 8 N

Fy = 6 N

Ditanyakan:

a. F = ...?

b. tanα = ...?

Jawab :

a.

N

FFF yx

10

100

68 22

22

b.

098,36

6

8

tan

x

y

F

F

3) Menjumlahkan vektor melalui vektor-vektor komponennyaMenjumahkan sejumlah vektor dapat dilakukan dengan menguraikansetiap vektor menjadi komponen-komponennya ke sumbu x dan sumbu ypda koordinat kartesius, metode seperti ini disebut meted uraianBerikut ini adalah tahap-tahap untuk mencari besra dan arah vektorresultan dengan metode uraian1. Buat koordinat ksrtesius x-y2. Letakan titik tangkap semua vektor terhadap titik asal (0,0). Ingat arah

vektor tidak boleh diubah3. Uraikan setiap vektor, yang tidak berimpit dengan sumbu x dan sumbu

ymenjadi komponen- komponenya pada sumbu x dan sumbu y4. Tentukan komponen resultan vektor pada setiap sumbu misalnya:

a. ∑Rx= resultan vektor-vektor komponen pada sumbu xb. ∑Ry= resultan vektor-vektor komponen pada sumbu y

5. Besar resultan vektornya

22 YX RRR

Dan arahnya terhadap sumbu X positif

Y

X

R

Rtan

contoh soal

Tiga buah vektor gaya masing-masing besarnya F1= 10 N, F2 = 30 N, danF3 = 20 N.Arah ketiga vektor tersebut ditunjukkan pada gambar. Tentukanlahresultan ketigavektor tersebut (besar dan arahnya).

Diketahui : F1= 10 N, F2 = 30 N, dan F3 = 20 N.Ditanya : Resultan dan arah vektor dengan menguraikan vektorberdasarkan komponennya?

Besaran komponen- komponen setiap vektor adalah

NNFF X 88,01037cos 011

NNcFF YY 66,01037sin 01

NNFF X 186,03053cos 022

NNFF y 248,03053sin 022

NNFF X 128,02037cos 033

NNFF y 168,02037sin 033

Resultan pada sumbu X dan Y

NFFFR XXXX 2212188321

NFFFR YYYY 1812186321

maka besarnya resultan 3 buah vektor adalah…

N

N

NN

RRR YX

4,28

808

324484

1822 22

22

Arah Terhadap Sumbu X Positif

021982,022

18tan

N

N

R

R

Y

X

RANGKUMAN

Soal Latihan

1. Diketahui vektor M lukislah vektor-vektor berikuta. –Mb. 3Mc. -2M

2. Dua buah vektor gaya F1 dan F2 masing-masing besarnya 3N dan 4N dan bekerjapada suatu benda dengan titik angkap berimpit, jika sudut apit antara jkedua buahvektor itu 600 tentukan resultan vektor dan arah vektor

3. Tentukan besar dan arah vektor serta gambarkan jika komponenya sebagai berikuta. Vx =4cm dan Vy =6cmb. Fx =6N dan Fx =-8 N

4. Tiga vektor masing-masing F1= 10 N, F2= 16 N, dan F3= 12 N, disusun sepertipada gambar. Jikaα=370 ,hitunglah besar resultan dan arah ketiga vektor tersebut

2cm

1. Besaran scalar adalah bearan yang hanya memiliki besar atau nilai dan tidak

memiliki arah contohnya massa waktu,suhu, jarak, massa jenis, dan lain-lain

2. Besaran vektor adalah besaran yang memiliki nilai dan arah contohnya

perpindahan,kecepatan, percepatan,momentum dan momen

3. Resultan vektor merupakan jumlah dari dua atau lebih vektor.

4. Resultan vektor dapat diperoleh dengan beberapa metode, antar lain, metode,

poligon, jajar genjang dan analitis.

5. Menentukan resultan dan arah vektor dengan mengunakan rumus kosinus dan

sinus

cos.2 2121 FFFFR

21

sinsin

FFR

6. Sebuah vektor f dapat diuraikan kedalam komponennya misalya vektor Fx dan Fy

pada bidang koordinad kartesian Fx adalah kompnen vektor F pada sumu x dan Fx

adaah komponen vektor F pada sumbu y

7. komponen vektor adalah dua buah vektor atau lebih yang menyusun sebuh vector

8. Rumus mencari resultan vektor dan arah vektor berdasarkan omponennya adalah

22YX FFF

Arah vektor F adalah sebagai berikut :x

y

F

Ftan