Báo cáo tot nghiep chuyên ngành cơ khí

TRƯỜNG ĐẠI HỌC GIAO THÔNG VÂN TẢI

KHOA CƠ KHÍ

BỘ MÔN KĨ THUẬT MÁY

ĐỒ ÁN TỐT NGHIỆP

ĐỂ TÀI DÙNG PHƯƠNG PHÁP PHẦN TỬ HỮU HẠN VÀ PHƯƠNG

PHÁP VIRTUAL CRACK CLOSURE TECHNIQUE (VCCT) THÔNG

QUA PHẦN MỀM ANSYS ĐỂ TÍNH TOÁN KHẢ NĂNG PHÁ HỦY CỦA

MỘT KẾT CẤU HAI VẬT LIỆU

Giáo viên hướng dẫn : Th.s Trần Thanh Hải

Sinh viên thực hiện : Phạm Xuân Hiếu

Lớp : Cơ điện tử K46

HÀ NỘI - 2010


GVHD_THS.TRẦN THANH HẢI Trang 2

MỤC LỤC

TỔNG QUAN VỀ ĐỀ TÀI ……………………………………...………..4

Đặt vấn đề ............................................................................................. 4

Nội dung đề tài ...................................................................................... 6

CHƯƠNG I: CƠ HỌC PHÁ HỦY……………………………………...7

I. Giới thiệu về cơ học phá hủy (Fracture Mechanics) ......................... 7

II. Biểu đồ ứng suất – chuyển vị .......................................................... 9

III. Fracture modes (các chế độ phá hủy) ............................................. 11

IV. Năng lượng cân bằng trong vết nứt ................................................ 11

V. Lý thuyết Griffith ......................................................................... 12

CHƯƠNG II: PHƯƠNG PHÁP PHẦN TỬ HỮU HẠN………………14

I. Khái niệm chung và nội dung của phương pháp ............................. 14

1. Khái niệm chung ..................................................................... 14

2. Nội dung của phương pháp ...................................................... 15

4. Một số khái niệm sử dụng trong bài toán phần tử hữu hạn ........ 16

5. Trình tự phân tích bài toán theo phương pháp PTHH ................ 24

6. Giải bài toán hệ thanh bằng phương pháp phần tử hữu hạn ........ 26

II. Các phần tử cơ bản ....................................................................... 33

1. Giới thiệu chung ...................................................................... 33

2. Một số phần tử cơ bản và tính chất của chúng ........................... 35

CHƯƠNG III: PHƯƠNG PHÁP VIRTUAL CRACK CLOSURE

TECHNIQUE…………………………………………………………..41

I. Phương pháp VCCT 2 bước .......................................................... 41



II. Virtual Crack Closure Technique…………………………………...43

CHƯƠNG IV: PHẦN MỀM ANSYS…………………………………46

I. Giới thiệu chung ........................................................................... 46

II. Ứng dụng của Ansys ..................................................................... 48

1. Phân tích kết cấu : ................................................................... 49

2. Động lực học biến dạng lớn: .................................................... 50

3. Phân tích nhiệt......................................................................... 50

4. Phân tích điện từ...................................................................... 51

5. Tính toán động lực học dòng chảy ............................................ 53

6. Phân tích tương tác giữa các trường vật lí ................................. 54

III. Các bước thực hiện khi giải bài toán trong Ansys ........................... 54

1. Preprocessing .......................................................................... 55

2. Solution .................................................................................. 58

3. Postprocessing......................................................................... 59

CHƯƠNG V: TÍNH TOÁN KHẢ NĂNG PHÁ HỦY CỦA KẾT CẤU

HAI VẬT LIỆU (CU-EPOXY MOLDING COMPOUND)………….67

I. Nội dung bài toán và xác định phương hướng triển khai ................. 68

1. Nội dung ................................................................................. 68

2. Hướng triển khai bài toán......................................................... 69

II. Giải quyết bài toán trên Ansys ......................................................... 70

KẾT LUẬN…………………………………………………………….80

TÀI LIỆU THAM KHẢO……………………………………………...81



TỔNG QUAN VỀ ĐỀ TÀI

Đặt vấn đề

Sự tiến bộ của khoa học, kỹ thuật đòi hỏi người kỹ sư thực hiện những đề án

ngày càng phức tạp, đắt tiền và đòi hỏi độ chính xác, an toàn cao.

Phương pháp phần tử hữu hạn (PTHH) là một phương pháp rất tổng quát và hữu

hiệu cho lời giải số nhiều lớp bài toán kỹ thuật khác nhau. Từ việc phân tích trạng

thái ứng suất, biến dạng trong các kết cấu cơ khí, các chi tiết trong ô tô, máy bay,

tàu thủy, khung nhà cao tầng, dầm cầu v.v.., những bài toán của lý thuyết trường

như: lý thuyết truyền nhiệt, cơ học chất lỏng, thủy đàn hồi, khí đàn hồi, điện từ

trường v.v.. Với sự giúp đỡ của nghành Công nghệ thông tin và hệ thống CAD,

nhiều kết cấu phức tạp cũng đã được tính toán và thiết kế chi tiết một cách dễ

dàng.

Trên thế giới có nhiều phần mềm PTHH nổi tiếng như: NASTRAN, ANSYS,

MODULLEF, SAP 2000, CASTEM 2000, SAMCEF v.v..

Phần mềm ANSYS là một trong nhiều chương trình phần mềm công nghiệp

sử dụng phương pháp phần tử hữu hạn (FEM - Finite Element Method) để phân

tích các bài toán vật lý cơ học, chuyển các phương trình vi phân, phương trình

đạo hàm riêng từ dạng giải tích số, với việc sử dụng phương pháp rời rạc hóa về

dạng gần đúng để giải.

Đề tài : “Dùng phần tử hữu hạn (FEM) và phương pháp Virtual Crack Closure

Technique (VCCT) thông qua phần mềm Ansys để tính toán khả năng phá huỷ

của một kết cấu hai vật liệu (bi-material structure)” được lựa chọn để đáp ứng

mục đích kiểm nghiệm, xác định năng tỷ lệ lượng giải phóng (hay độ cứng chống

phá hủy) của kết cấu khi vết nứt hình thành, từ đó so sánh với các cấu trúc trong

thực tế nhằm đưa ra phương pháp sử dụng cấu trúc vật liệu một cách phù hợp

nhất.



Sau một quá trình tìm hiểu, nghiên cứu với nỗ lực của bản thân cùng với sự

hướng dẫn và chỉ bảo tận tình của thầy giáo Th.s Trần Thanh Hải_ BM KTM đề

tài đã được hoàn thành. Tuy vậy, do thời gian và vốn kiến thức còn hạn chế nên

đề tài còn nhiều thiếu sót. Rất mong nhận được sự chỉ bảo và góp ý sâu sắc của

các Thầy, Cô và các bạn để đề tài được hoàn thiện hơn.

Hà nội, ngày 30 tháng 4 năm 2010

Sinh viên thực hiện

Phạm Xuân Hiếu

Lớp cơ điện tử K46 _ ĐHGTVT



Nội dung đề tài

Đề tài được chia thành các chương sau:

Chương 1: Tìm hiểu cơ học phá hủy (Fracture Mechanics)

Xác định nguyên lý cơ bản của việc dùng Cơ học phá hủy (Fracture Mechanics)

trong việc đánh giá độ bền phá hủy của kết.

Chương 2: Nghiên cứu phương pháp PTHH

Trong chương này sẽ tìm hiểu khái niệm, nội dung và những ứng dụng của

phương pháp phần tử hữu hạn (PPPTHH) trong việc giải các bài toán cụ thể.

Đồng thời sẽ giới thiệu các một số phần tử cơ bản thường được sử dụng trong

phương pháp phần tử hữu hạn (PPPTHH).

Chương 3: Giới thiệu về phương pháp Virtual Crack Closure Technique

(VCCT), một phương pháp PTHH dùng để xác định tỷ lệ năng lượng giải phóng

(hay độ cứng chống phá hủy) khi có một vết nứt hình thành trong kết cấu.

Chương 4: Tìm hiểu phần mềm Ansys

Nội dung của chương này đi sâu tìm hiểu về phần mềm Ansys, những ứng dụng

của phần mềm trong các lĩnh vực công nghiệp. Thực hiện phân tích, tính toán các

cấu trúc, cấu kiện, các chi tiết máy bằng phần mềm Ansys.

Chương 5: Nghiên cứu và triển khai phương pháp VCCT trên Ansys để tính độ

bền phá hủy của kết cấu.



CHƯƠNG I

CƠ HỌC PHÁ HỦY

I. Giới thiệu về cơ học phá hủy (Fracture Mechanics)

Cơ học phá hủy (Fracture Mechanics) là môn khoa học chuyên nghiên cứu

về độ bền tuổi thọ của vật liệu, chi tiết máy hoặc cấu kiện khi có các vết nứt. Cho

phép định lượng mối quan hệ giữa tính chất vật liệu, ứng suất, sự hiện diện của

các vết nứt có thể gây phá hủy kết cấu và cơ chế lan truyền các vết nứt. Nó sử

dụng các phương pháp phân tích cơ học vật rắn để tính toán động lực trên một vết

nứt và những thử nghiệm của cơ học vật rắn để mô tả đặc điểm chống lại phá hủy

kết cấu (theo [1]).

Hầu hết các thành phần kỹ thuật và các cấu trúc chứa khuyết tật hình học.

Kích thước và hình dạng của chúng là quan trọng bởi vì chúng xác định độ bền

của cấu trúc vật liệu. Thông thường, độ bền của các thành phần hoặc cấu trúc có

chứa các khuyết tật bị ảnh hưởng bởi hai yếu tố ứng suất và độ bền uốn. Tuy

nhiên, cách tiếp cận này thường sẽ cho kết quả không chính xác nếu khuyết tật có

đặc trưng hình học lớn. Để giải thích điểm này, chúng ta hãy xem xét các trường

hợp sau (hình 1):

Hình 1. Các mẫu thử có và không có vết nứt

Tất cả các mẫu có cùng độ dày. Các lực cần thiết để phá vỡ bốn mẫu được sắp

xếp theo thứ tự sau: F4 < F3 < F1 < F2



Rõ ràng, các kích thước của các khuyết tật ở các mẫu C và D ảnh hưởng lớn đến

độ bền của mẫu, làm giảm độ bền của mẫu.

So với phương pháp thông thường có tên là tiếp cận sức bền vật liệu có hai

yếu tố ảnh hưởng, phương pháp cơ học phá hủy (Fracture mechanics) bị ảnh

hưởng bởi ba yếu tố áp dụng ứng suất, kích thước phá hủy và độ bền phá hủy.

Trong phương pháp tiếp cận này, độ bền phá hủy thay thế độ bền uốn phù hợp

tính chất vật liệu. Fracture Mechanics xác định giới hạn của ba yếu tố trên. Hình

3 cho thấy sự khác biệt giữa cách tiếp cận Fracture Mechanics với cách tiếp cận

sức bền vật liệu.

Hình 2. So sánh phương pháp Fracture Mechanics với phương pháp tiếp cận Sức

bền vật liệu

Đối với vật liệu không thay đổi theo thời gian, Fracture Mechanics có thể

được chia thành Linear Elastic Fracture Mechanics (LEFM) và Elasto Plastic

Fracture Mechanics (EPFM). LEFM cho kết quả vượt trội cho các vật liệu giòn

như thép cường độ đàn hồi cao, thủy tinh, đá, bê tông, vv... Tuy nhiên, đối với vật

liệu dễ uốn như thép carbon thấp, thép không gỉ, hợp kim nhôm, polyme, vv, tính

dẻo luôn xảy ra trước phá hủy. Tuy nhiên, khi tải trọng nhỏ, LEFM vẫn cho kết

quả gần đúng.

Sơ đồ hình cây của Fracture Mechanical có thể được nhìn thấy trong hình 3:



Hình 3. Mô hình cấu trúc hình cây đơn giản của Fracture Mechanics

II. Biểu đồ ứng suất – chuyển vị

Theo thí nghiệm đối với vật liệu dẻo (Thép CT 38) ta có được đồ thị chuyển

vị – ứng suất như hình 4 (theo [2]):

Hình 4. Đồ thị chuyển vị - ứng suất

Trong quá trình từ lúc bắt đầu kéo đến khi bị đứt, mẫu thử đã qua các điểm

đặc biệt. Dưới đây ta sẽ phân tích quá trình đó.



Giai đoạn tỉ lệ: Giai đoạn này thể hiện bằng đoạn OA. Trong giai đoạn này

vật liệu tuân theo định luật Hooke, ứng suất lớn nhất gọi là giới hạn tỉ lệ 𝜎𝑡𝑙. Độ

dốc của đoạn OA bằng giá trị của modul đàn hồi của vật liệu. Trong giai đoạn

này, vật liệu có tính đàn hồi, tức là sau khi bỏ hết tải trọng – lực kéo, mẫu thử

hoàn toàn trở lại trạng thái chiều dài ban đầu.

Tuy nhiên trên phía trên giới hạn đàn hồi một ít, người ta thấy vật liệu vẫn

còn đàn hồi A’.Ứng suất lớn nhất mà vật liệu còn đàn hồi được gọi là ứng suất

đàn hồi 𝜎𝑑ℎ .

Khi kéo mẫu đến điểm C, đồ thị có dạng nằm ngang CC’ gọi là mặt chảy. Trong

giai đoạn này, không tăng lực kéo, mẫu vẫn bị giãn. Ứng suất tương ứng với

điểm C gọi là giới hạn chảy 𝜎𝑐ℎ

Hết mặt chảy độ bền của kim loại được khôi phục. Đó là giai đoạn tái bền

tương ứng với đoạn C’D. Cuối giai đoạn này, trên mẫu thử đã hình thành một chỗ

thót. Chính chỗ thót này đã làm cho độ giãn của thanh rất lớn. Ứng suất cao nhất

(điểm D) gọi là giới hạn bền 𝜎𝑏

Sau điểm D, đồ thị tụt xuống đến một điểm nhất định thì mấu đứt. Sở dĩ có đoạn

tụt xuống vì lúc đó chỗ thót có diện tích tương đối bé nên lực kéo không cần lớn

như trước.

Từ sau giới hạn đàn hồi, vật liệu bao giờ cũng có biến dạng dư hay biến dạng

dẻo. Thí dụ tại điểm M ta bỏ lực, đồ thị giảm tải trọng đi theo đường MP có độ

dốc bằng độ dốc của giai đoạn đàn hồi OA. Khi hết tải trọng, thanh còn biến dạng

dẻo thể hiện bằng đoạn OP, còn đoạn PQ là biến dạng đàn hồi.



III. Fracture modes (các chế độ phá hủy)

Trong kỹ thuật ta thường gặp ba chế độ phá hủy cơ bản (theo [1]).

Hình 5. Ba chế độ phá hủy cơ bản

Chế độ I các bề mặt phá hủy bị tách theo hướng vuông góc với mặt đầu

của vết nứt.

Chế độ II các bề mặt trượt lên nhau trong một hướng vuông góc với mặt

đầu của vết nứt.

Chế độ III các bề mặt bị tách theo hướng song song với mặt đầu vết nứt.

Ngoài ra còn có các dạng phá hủy khác là các biến thể của 3 chế độ trên. Trong

đó chế độ I là loại phổ biến nhất thường gặp trong hư hỏng kỹ thuật.

IV. Năng lượng cân bằng trong vết nứt

Sự khác biệt giữa một khối nứt và một khối không nứt là trên bề mặt có các

vết nứt. Khối nứt tạo ra các bề mặt mới (vết nứt) và giải phóng ra năng lượng.

Sau đó vết nứt có phát triển ra được hay không còn phụ thuộc vào việc nó có

chứa đủ năng lượng để tạo thêm các bề mặt trong khi vẫn duy trì sự cân bằng của

nó.

Theo định luật bảo toàn năng lượng: Công thực hiện trong một đơn vị thời

gian do tác dụng của tải trọng (.

W ) phải bằng tổng tỷ lệ của biến đổi năng lượng

đàn hồi nội bộ (internal elastic energy) (�̇�𝐸), năng lượng biến dạng dẻo (�̇�𝑃),



động năng (kinetic energy) (�̇�) của vết nứt, và năng lượng cần thiết để tăng vết

nứt cho một đơn vị thời gian (�̇�). Nói cách khác (theo [1]).

. . . . .

E PW U U K (*)

Nếu vết nứt xảy ra chậm, động năng K là không đáng kể (.

0K ). Hơn nữa, vì

tất cả thay đổi theo thời gian được gây ra bởi những thay đổi kích thước các vết

nứt, chúng ta có:

AA

t A t A

với A là diện tích vết nứt. Do vậy phương trình (*) có thể được viết lại như sau:

PU

A A A

(**)

EU W là thế năng của hệ

Phương trình (**) cho thấy việc giảm thế năng bằng với năng lượng tiêu tan

trong kết cấu dẻo và tạo ra bề mặt.

V. Lý thuyết Griffith

Đối với một vật liệu giòn lý tưởng (vật liệu tuyến tính đàn hồi), năng lượng

tiêu tan trong biến dạng dẻo là không đáng kể và có thể được bỏ qua (�̇�𝑃 =0). Do

vậy, năng lượng để mở rộng một đơn vị của bề mặt vết nứt G có thể được xác

định (theo [1]):

GA A

(***)

Phương trình trạng thái cân bằng ở trên có nghĩa là thế năng trong vật thể cần

phải thắng năng lượng bề mặt của vật liệu (năng lượng cần thiết để vết nứt lớn

thêm ra). G còn được gọi là tỷ lệ giải phóng năng lượng đàn hồi hay độ cứng

chống phá hủy.



Theo lý thuyết đàn hồi tuyến tính, một vật thể không thay đổi dưới tác dụng

của tải trọng (theo định lý Clapeyron):

2 EW U

và kết hợp với (*) (�̇�=0), do đó (***) phương trình có thể được viết lại như sau:

EUG

A

Ý nghĩa vật lý đầy đủ của tỷ lệ giải phóng năng lương G là nó mô tả năng

lượng trên một đơn vị diện tích sẽ được giải phóng nếu vết nứt phát triển. Cần chỉ

ra rằng phương trình chỉ đúng khi vật thể nứt là đàn hồi tuyến tính. Nếu vật thể

đàn hồi phi tuyến hoặc có tính dẻo đáng kể, phương trình không còn giá trị và khi

đó phương trình (***) được sử dụng phù hợp hơn.



CHƯƠNG II

PHƯƠNG PHÁP PHẦN TỬ HỮU HẠN

I. Khái niệm chung và nội dung của phương pháp

1. Khái niệm chung

Phương pháp phần tử hữu hạn (PP PTHH) là một phương pháp số, đặc biệt có

hiệu quả để tìm dạng gần đúng của một hàm chưa biết trong miền xác định V của

nó. Tuy nhiên PP PTHH không tìm dạng xấp xỉ của hàm cần tìm trên toàn miền

xác định V mà chỉ trong từng miền con jV (phần tử) thuộc miền xác định V. Do

đó phương pháp này rất thích hợp với hàng loạt bài toán vật lý và kỹ thuật trong

đó có hàm cần tìm được xác định trên những miền phức tạp gồm nhiều vùng nhỏ

có đặc tính hình học, vật lý khác nhau, chịu những điều kiện biên khác nhau.

Phương pháp ra đời từ trực quan phân tích kết cấu, rồi được phát biểu một cách

chặt chẽ và tổng quát như một phương pháp biến phân.

Cơ sở của phương pháp này là làm rời rạc hóa các miền liên tục phức tạp của

bài toán. Các miền liên tục được chia thành nhiều miền con jV (phần tử). Các

miền này được liên kết với nhau bởi các điểm nút. Trên miền con này, dạng biến

phân tương đương với bài toán được giải xấp xỉ dựa trên các hàm xấp xỉ trên

từng phần tử, thoả mãn điều kiện trên biên cùng với sự cân bằng và liên tục giữa

các phần tử.

Các hàm xấp xỉ này được biểu diễn qua các giá trị của hàm (hoặc giá trị của đạo

hàm) tại các điểm nút trên phần tử. Các giá trị này được gọi là các bậc tự do của

phần tử và được xem là ẩn số cần tìm của bài toán.

Trong việc giải phương trình vi phân thường, thách thức đầu tiên là tạo ra một

phương trình xấp xỉ với phương trình cần được nghiên cứu. Có rất nhiều cách để

làm việc này, tất cả đều có những ưu điểm và nhược điểm. PP PTHH là sự lựa

http://vi.wikipedia.org/w/index.php?title=R%E1%BB%9Di_r%E1%BA%A1c_h%C3%B3a&action=edit&redlink=1

http://vi.wikipedia.org/w/index.php?title=Mi%E1%BB%81n_li%C3%AAn_t%E1%BB%A5c&action=edit&redlink=1

http://vi.wikipedia.org/w/index.php?title=Bi%E1%BA%BFn_ph%C3%A2n&action=edit&redlink=1

http://vi.wikipedia.org/w/index.php?title=Bi%E1%BA%BFn_ph%C3%A2n&action=edit&redlink=1

http://vi.wikipedia.org/w/index.php?title=H%C3%A0m_x%E1%BA%A5p_x%E1%BB%89&action=edit&redlink=1

http://vi.wikipedia.org/w/index.php?title=Ph%E1%BA%A7n_t%E1%BB%AD&action=edit&redlink=1

http://vi.wikipedia.org/wiki/%C4%90%E1%BA%A1o_h%C3%A0m

http://vi.wikipedia.org/wiki/%C4%90%E1%BA%A1o_h%C3%A0m

http://vi.wikipedia.org/w/index.php?title=B%E1%BA%ADc_t%E1%BB%B1_do&action=edit&redlink=1

http://vi.wikipedia.org/wiki/Ph%C6%B0%C6%A1ng_tr%C3%ACnh_vi_ph%C3%A2n_th%C6%B0%E1%BB%9Dng



chọn tốt cho việc giải phương trình vi phân từng phần trên những miền phức tạp

hoặc khi những yêu cầu về độ chính xác thay đổi trong toàn miền.

2. Nội dung của phương pháp

Phương pháp phần tử hữu hạn có nội dung như sau: Để giải một bài toán biên

trong miền V, ta chia thành một số hữu hạn các miền con jV (j = 1,..., n) sao cho

hai miền con bất kì không giao nhau và chỉ có thể chung nhau đỉnh hoặc các

cạnh. Mỗi miền con jV được gọi là một phần tử hữu hạn.

Người ta tìm nghiệm xấp xỉ của bài toán biên ban đầu trong một không gian

hữu hạn chiều các hàm số thoả mãn điều kiện khả vi nhất định trên toàn miền V.

Có thể chọn cơ sở của không gian này gồm các hàm số ψ1(x),..., ψn(x) có giá trị

trong một số hữu hạn phần tử jV ở gần nhau. Nghiệm xấp xỉ của bài toán ban đầu

được tìm dưới dạng:

c1ψ1(x) + ... + cnψn(x)

trong đó các ck là các số cần tìm.

Thông thường người ta đưa việc tìm các ck về việc giải một phương trình đại số

với ma trận thưa (chỉ có các phần tử trên đường chéo chính và trên một số đường

song song nằm sát với đường chéo chính là khác không) nên dễ giải. Có thể lấy

cạnh của các phần tử hữu hạn là đường thẳng hoặc đường cong để xấp xỉ các

miền có dạng hình học phức tạp. Phương pháp phần tử hữu hạn có thể dùng để

giải gần đúng các bài toán biên tuyến tính, phi tuyến và các bất phương trình.

3. Ứng dụng phương pháp phần tử hữu hạn

Với sự hỗ trợ của máy tính điện tử, phương pháp phần tử hữu hạn đang được

sử dụng rộng rãi và có hiệu quả trong nhiều lĩnh vực như lí thuyết đàn hồi và dẻo,

cơ học chất lỏng, cơ học vật rắn, cơ học thiên thể, khí tượng thuỷ văn, v.v..



Phương pháp phần tử hữu hạn thường được dùng trong các bài toán Cơ học (cơ

học kết cấu, cơ học môi trường liên tục) để xác định trường ứng suất và biến

dạng của vật thể.

Ngoài ra, phương pháp phần tử hữu hạn cũng được dùng trong vật lý học để

giải các phương trình sóng, như trong vật lý plasma, các bài toán về truyền nhiệt,

động lực học chất lỏng, trường điện từ.

4. Một số khái niệm sử dụng trong bài toán phần tử hữu hạn [3]

a. Hàm xấp xỉ

Một trong những tư tưởng cơ bản của PPPTHH là xấp xỉ hóa đại lượng cần

tìm trong mỗi miền con eV (phần tử). Điều này cho phép ta khả năng thay thế việc

tìm nghiệm vốn phức tạp trên toàn miền V bằng việc tìm nghiệm trong phạm vi

mỗi phần tử ở dạng hàm xấp xỉ đơn giản. Và vì vậy bước quan trọng đầu tiên cần

nói đến là việc chọn hàm xấp xỉ đơn giản, thường chọn ở dạng đa thức vì những

lý do sau:

Đa thức khi được xem như một tổ hợp tuyến tính của các đơn thức thì tập

hợp các đơn thức thỏa mãn yêu cầu độc lập tuyến tính.

Hàm xấp xỉ dạng đa thức thường dễ tính toán, dễ thiết lập công thức khi

xây dựng các phương trình của PPPTHH và tính toán bằng máy tính. Đặc biệt vì

dễ đạo hàm, tích phân.

Có khả năng tăng độ chính xác bằng cách tăng số bậc của đa thức xấp xỉ

(về mặt lý thuyết thì đa thức bậc vô cùng sẽ cho nghiệm chính xác). Tuy nhiên

trong thực tế ta cũng chỉ lấy các đa thức xấp xỉ bậc nhất mà thôi.

b. Phép nội suy

Tuy nhiên, trong phương pháp PTHH các hệ số của hàm xấp xỉ dạng đa thức

được biểu diễn qua chính các giá trị của nó (hoặc cả giá trị các đạo hàm) tại một

số điểm nút được định trước trên phần tử (theo [3]).

http://vi.wikipedia.org/wiki/C%C6%A1_h%E1%BB%8Dc_k%E1%BA%BFt_c%E1%BA%A5u

http://vi.wikipedia.org/wiki/C%C6%A1_h%E1%BB%8Dc_k%E1%BA%BFt_c%E1%BA%A5u

http://vi.wikipedia.org/wiki/C%C6%A1_h%E1%BB%8Dc_m%C3%B4i_tr%C6%B0%E1%BB%9Dng_li%C3%AAn_t%E1%BB%A5c

http://vi.wikipedia.org/w/index.php?title=Ph%C6%B0%C6%A1ng_tr%C3%ACnh_s%C3%B3ng&action=edit&redlink=1

http://vi.wikipedia.org/w/index.php?title=V%E1%BA%ADt_l%C3%BD_plasma&action=edit&redlink=1



Nói cách khác là hàm xấp xỉ được nội suy theo các giá trị ( hoặc cả các đạo hàm)

của nó tại các nút phần tử. Kết quả là, trong phạm vi mỗi phần tử đại lượng cần

tìm là hàm bất kì sẽ được xấp xỉ hóa bằng một đa thức nội suy qua các giá trị

(hoặc cả các đạo hàm) của nó tại điểm nút của phần tử.

Hình 6. Dạng nội suy của các hàm xấp xỉ theo phương pháp Lagrange

Trong các ví dụ trên các hàm bất kì được biểu diễn xấp xỉ bằng các đa thức bậc 0,

bậc 1, bậc 2 theo các giá trị (chỉ theo giá trị) của hàm tại điểm định trước (điểm

nút). Phép xấp xỉ này được gọi là phép nội suy Lagrange.

Nội suy Hecmit: Khác với phép nội suy Lagrange, nội suy Hecmit là phép xấp

xỉ theo giá trị và cả đạo hàm từ bậc 1 đến bậc nào đó tại các điểm cơ sở

Hình 7. Hàm nội suy Hecmit



Bằng việc xấp xỉ hóa đại lượng cần tìm trong phạm vi mỗi phần tử thì trên toàn

miền V khảo sát, đại lượng cần tìm cũng được biểu diễn gần đúng theo các giá trị

(và có thể cả đạo hàm đến cấp nào đó) của chính nó tại các điểm nút.

Và rõ ràng nếu lưới phần tử càng mịn thì kết quả nhận được càng tiến đến sự mô

tả chính xác của nghiệm cần tìm.

Ví dụ : Với phép nội suy Lagrange

Hình 8. Hàm nội suy Lagrange khi lưới phần tử mịn

c. Dạng đa thức xấp xỉ

Như đã nói ở trên, hàm xấp xỉ được chọn dưới dạng đa thức đơn giản. Có thể

như sau. [3] :

Bài toán 1 – D (một chiều)

: u x = 1a + 2a x (xấp xỉ tuyến tính)

u x = 1a + 2a x + 2

3a x (xấp xỉ bậc hai)

u x = 1a + 2a x + 2

3a x + 3

4a x (xấp xỉ bậc ba)

Hay nếu lấy u x là một hàm xấp xỉ bậc n thì: u x = 1

1

1

ni

ia x



Hay: u x = [1 x 2x ... nx ]

1

2

3

1

...

n

a

a

a

a

Hay: u x = P x a

Trong đó : P x gọi là ma trận các đơn thức.

a gọi là véc tơ các tọa độ tổng quát hay véc tơ các tham số.

Bài toán 2 – D (hai chiều)

ví dụ : ,u x y = 2 2

1 2 3 4 5 6a a x a y a x a y a xy

= [1 x y2x

2y xy ]

1

2

6

...

a

a

a

Hay , ,u x y P x y a

d. Chọn bậc của đa thức xấp xỉ hay hàm xấp xỉ

Khi chọn bậc của đa thức xấp xỉ cần xét tới các yêu cầu sau (theo [3]):

Các đa thức xấp xỉ phải thỏa mãn điều kiện hội tụ:

Đây là một yêu cầu quan trọng vì PP PTHH là một phương pháp số và do đó phải

đảm bảo được rằng khi kích thước phần tử giảm đi thì kết quả sẽ hội tụ đến

nghiệm chính xác. Muốn vậy đa thức xấp xỉ eu phải thỏa mãn 3 điều kiện sau:

Liên tục trong phần tử ( eV ). Điều này hiển nhiên thỏa mãn khi xấp xỉ là đa

thức.



Bảo đảm tồn tại trong phần tử trạng thái đơn vị (hằng số) và đạo hàm riêng

của nó đến bậc cao nhất mà phiếm hàm I u đòi hỏi.

Vì như ta đã biết, PPPTHH có thể được xem như một phương pháp xấp xỉ khi

cực tiểu hóa một hàm dạng:

I u = , ,, ( )( , , , ,..., )r

V

F x u u u u dx

Trên biên phần tử, u và các đạo hàm của nó đến cấp (r-1) là liên tục.

Ví dụ: Khi u là chuyển vị thì phải đảm bảo khả năng phần tử dịch chuyển cứng

và muốn bảo đảm trạng thái đơn vị của đại lượng khảo sát thì chỉ cần không được

bỏ qua số hạng tự do 1a trong đa thức xấp xỉ, hay không được bỏ qua thành phần

1 trong , ,P x y z .

Với cơ học vật rắn biến dạng và kết cấu, các yêu cầu này có thể được hiểu như

yêu cầu liên tục của biến dạng, nói cách khác là phần tử biến dạng không có sự

đứt, gãy. Như với dầm, tấm, vở đòi hỏi cả chuyển vị và đạo hàm cấp 1 của

chuyển vị là liên tục. Nếu đa thức xấp xỉ thảo mãn tất cả 3 điều kiện này, thì

nghiệm xấp xỉ sẽ hội tụ tới nghiệm chính xác khi sử dụng lưới phần tử mịn hơn.

Tuy nhiên để thấy được điều này khi mịn hóa lưới phần tử cũng cần tuân theo các

qui tắc sau:

Lưới sau được mịn hơn trên cơ sở lưới trước, các điểm nút lưới trước cũng

có mặt trong tập hợp các nút lưới sau.

Các phần tử có khích thước nhỏ hơn trước nhưng dạng hình học của phần

tử vẫn phải như dạng cũ.

Dạng đa thức xấp xỉ là không đổi trong quá trình mịn hóa lưới phần tử.



Hình 9. Quy luật mịn hóa lưới phần tử

Các đa thức xấp xỉ được chọn sao cho không làm mất tính đẳng hướng

hình học.

Các số phần tử của {a} tức số tham số của đa thức xấp xỉ phải bằng số

bậc tự do của phần tử e

q . Yêu cầu này cho khả năng nội suy đa thức xấp xỉ

theo giá trị đại lượng cần tìm tại các điểm nút.

e. Ghép nối phần tử - ma trận cứng và véc tơ tải tổng thể.

Giả sử vật thể (miền V) được chia thành eN phần tử (miền con eV ) bởi R điểm

nút. Nếu mỗi nút có s bậc tự do thì số bậc tự do của cả hệ là n = R.s

Gọi q là véc tơ chuyển vị nút tổng thể (hay véc tơ chuyển vị nút kết cấu).

Nó sẽ là tập hợp của tất cả các bậc tự do của tất cả các nút của hệ và gồm n

thành phần.

Giả sử mỗi phần tử có r nút, thì số bậc tự do của r nút của phần tử gồm

en r s . Và véc tơ chuyển vị nút phần tử e

q gồm tất cả các bậc tự do của r nút

của phần tử tức là gồm en thành phần.

Rõ ràng theo mô hình tương thích, các thành phần này của e

q là nằm trong

số các thành phần của q . Và do đó sự liên hệ giữa 2 véc tơ này có thể được

biểu diễn như sau:

.

1 1

e e

e e

q L q

n n n n



Trong đó e

L là ma trận định vị của phần tử có kích thước en n . Ma trận này

cho thấy hình ảnh sắp xếp các thành phần của véc tơ eq trong q .

Ví dụ: Dầm với bốn điểm nút như hình 10 có véc tơ chuyển vị nút tổng

thể q là: 1 2 3 8, , ,...,T

q q q q q

Hình 10. Các bậc tự do của dầm 4 nút

11

22

1 13

4 8

1 0 0 0 0 0 0 0

0 1 0 0 0 0 0 0

0 0 1 0 0 0 0 0 ...

0 0 0 1 0 0 0 0

qq

qqq L q

q

q q

13

4 2

2 24

5 8

0 0 1 0 0 0 0 0

0 0 0 1 0 0 0 0

0 0 0 0 1 0 0 0 ...

0 0 0 0 0 1 0 0

qq

q qq L q

q

q q

15

6 2

3 37

8 8

0 0 0 0 1 0 0 0

0 0 0 0 0 1 0 0

0 0 0 0 0 0 1 0 ...

0 0 0 0 0 0 0 1

qq

q qq L q

q

q q

f. Xây dựng ma trận cứng và véc tơ tải tổng thể bằng ma trận chỉ số [b]

Trong phương pháp phần tử hữu hạn, ta dùng 2 hệ thống chỉ số để đánh số

cho các bậc tự do của các nút. Đó là:

Hệ thống chỉ số tổng thể: Có được bằng cách đánh số bậc tự do của toan

kết cấu. Hệ thống chỉ số tổng thể để chỉ thứ tự các bậc tự do trong tập hợp tất cả

các bậc tự do của toàn hệ, tức thứ tự của các bậc tự do đang xét trong q (hoặc

q ). Hệ thống này được đánh thứ tự từ 1, 2, 3…n = R s .



Hệ thống chỉ số phần tử: để chỉ thứ tự các bậc tự do trong phần tử hay thứ

tự của các bậc tự do trong e

q (hoặc e

q ): Được đánh số từ 1, 2, 3,..en = r s

(Trong đó R là số nút của cả hệ; r là số nút của phần tử; s là số bậc tự do của 1

nút).

Ví dụ: Để xác định sự tương ứng của mỗi phần tử thuộc e

q trong q (hoặc

e

q trong q ) người ta lập ma trận chỉ số b mà giá trị của mỗi thành phần ijb

chính là chỉ số tổng thể tương ứng bậc tự do thứ j của phần tử thứ i.

Ma trận chỉ số b có số hàng bằng số phần tử của hệ, số cột bằng số bậc tự do

của một phần tử.

Ví dụ: Ở ví dụ trong ví dụ trên thì b có kích thước (3x4). Và 23 325, 6b b

Hệ thống chỉ số tổng: 1, 2, 3, …, 8 Hệ số chỉ số phần tử 1, 2, 3, 4

Hình 11. Các hệ số chỉ số của kết cấu

Chỉ số cục bộ

Phần tử Nút i Nút j

1 2 3 4

(1) 1 2 3 4

(2) 3 4 5 6

(3) 5 6 7 8

Hay

1 2 3 4

3 4 5 6

5 6 7 8

b



Khi sử dụng ma trận chỉ số b để xây dựng ma trận cứng tổng thể K

và véc

tơ tổng thể P

(hoặc K

và P

) ta chỉ cần nhớ rằng mỗi thành phần ij

eK của

ma trận cứng phần tử e

K sẽ phải gộp thêm vào phần tử mnK của ma trận cứng

tổng thể K

với eim b và ejn b (trong đó eib , ejb là các giá trị của phần tử hàng i

cột j của ma trận b ). Tương tự, mỗi phần tử e

iP của véc tơ e

P sẽ được gộp thêm

vào phần tử mP của P với m = eib .

Ví dụ: (2)

1,3K 21 23( , ) 3,5b bK K

(3)

2,4K 32 34( , ) 6,8b bK K

5. Trình tự phân tích bài toán theo phương pháp PTHH [3]

Bước 1: Rời rạc hóa miền khảo sát

Trong bước này, miền khảo sát V được chia thành các miền con 𝑉𝑒 hay thành

các phần tử có hình dạng thích hợp.

Với bài toán cụ thể thì số phần tử, hình dạng hình học của phần tử cũng như kích

thước các phần tử phải được xác định rõ. Số điểm nút mỗi phần tử không được

lấy một các tủy tiện mà tùy thuộc vào hàm xấp xỉ định chọn.

Các phần tử thường có dạng hình học đơn giản như hình dưới đây (hình 12):

Hình 12. Các dạng hình học đơn giản của phần tử



Bước 2: Chọn hàm xấp xỉ thích hợp

Vì đại lượng cần tìm là chưa biết, nên ta giả thiết dạng xấp xỉ của nó sao cho

đơn giản đối với tính toán bằng máy tính nhưng phải thỏa mãn các điều kiện tiêu

chuẩn hội tụ, và thường được chọn ở dạng đa thức.

Rồi biểu diễn hàm xấp xỉ theo một tập hợp giá trị và có thể có cả các đạo hàm

của nó tại các nút phần tử e

q

Bước 3: Xây dựng phương trình phần tử, hay thiết lập ma trận độ cứng phần tử

K e và véc tơ tải P e .

Có nhiều cách thiết lập: trực tiếp, hoặc sử dụng nguyên lý biến phân, hoặc các

phương pháp biến phân,... Kết quả nhận được có thể biểu diễn một cách hình

thức như một phương trình phần tử: e

K . e

q = e

P

Bước 4 : Ghép nối các phần tử trên cơ sở mô hình tương thức mà kết quả là hệ

thống phương trình:

K

. q = P

Trong đó:

K

: là ma trận độ cứng tổng thể (hay ma trận hệ số toàn miền)

q

: là véc tơ tập hợp các giá trị đại lượng cần tìm tại các nút (còn gọi là

véc tơ chuyển vị nút tổng thể)

P : là véc tơ các số hạng tự do tổng thể (hay véc tơ tải tổng thể)

Rồi sử dụng các điều kiện biên của bài toán, mà kết quả nhận được là hệ phương

trình sau:

*K

. *q = *P

Đây chính là phương trình hệ thống hay còn gọi là phương trình để giải



Bước 5 : Giải hệ phương trình đại số

*K

. *q = *P

Với bài toán tuyến tính việc giải hệ phương trình đại số là không khó khăn. Kết

quả là tìm được các chuyển vị của các nút. Nhưng với bài toán phi tuyến thì

nghiệm sẽ đạt được sau một chuỗi các bước lặp mà sau mỗi bước ma trận độ

cứng K

thay đổi (trong bài toán phi tuyến vật lý) hay véc tơ lực nút P thay đổi

(trong bài toán phi tuyến hình học)

6. Giải bài toán hệ thanh bằng phương pháp phần tử hữu hạn

Ví dụ : Giải bài toán thanh dưới đây theo PPPTHH

với sơ đồ hai phần tử. Biết chiều dài thanh là 2a.

Độ cứng EF không đổi. Thanh chịu tải trọng phân

bố đều dọc trục, cường độ q = const

Các bước giải

a. Thực hiện rời rạc hóa vật thể khảo sát bởi

việc định rõ các nút, các phần tử. Rồi thực hiện

đánh số nút, đánh số phần tử. Hình 13. Kết cấu thanh

Trong bài toán thanh đơn giản này, ta chia thanh thành 2 phần tử (phần tử (1) và

(2)) bởi hệ thống 3 điểm nút 1, 2, 3.

Sau đó trên sơ đồ kết cấu đã được rời rạc hóa, thiết lấp ma trận chỉ số b



Hay ma trận là

1 2

2 3b

b. Thiết lập ma trận đó cứng phần tử e

K rồi thực hiện ghép nối các phần

tử để xây dựng ma trân cứng tổng thể K

.

Nhận xét rằng do 2 phần tử có chiều dài và độ cứng như nhau nên dễ thấy là 1

K

= 2

K . Ta có

1 2 chỉ số tổng thể của phần tử (1)

1

1 1

1

EFK

dxa

1

2

2 3 chỉ số tổng thể của phần tử (2)

2

1 1

1

EFK

dxa

2

3

Thực hiện ghép nối các phần tử

1 2 3 chỉ số tổng thể toàn kết cấu

1 1

1 1 1

1

EFK

adx

1

2

3

1 1 0

2 1

1

EFK

adx

Thiết lập véc tở tải phần tử e

P rồi thực hiện ghép nối các phần tử để xây dựng

véc tơ tải tổng thể P . Dễ thấy trong bài toán này 1

P = 2

P .

chỉ số tổng thể chỉ số tổng thể

1

1

12

qaP

1

2 và

2

1

12

qaP

2

3

Thực hiện ghép nối, với chú ý là do tại các nút 2 và nút 3 không có tải trọng tập

trung cho trước, còn tại nút 1 có phản lực R.



Nên véc tơ tải trọng nút n

P là: n

P = 0

0

R

Và khi đó véc tơ tải tổng thể:

P =

1 2

1 1 02

1 0

2

qaR

Rqa

qa

qa

Vậy ta có hệ phương trình K q P

như sau :

1

2

3

1 1 0 2EF

2 1

1

2

qaRq

q qaa

dx qaq

c. Áp đặt điều kiện biên

Rõ ràng theo sơ đồ kết cấu đã cho thì chuyển vị của nút 1 là bằng 0, hay 1q =0.

Vậy hệ thống phương trình để giải sẽ nhận được bằng cách xóa đi các hàng và cột

tương ứng 1q =0, tức là xóa hàng 1, cột 1 của hệ phương trình trên.

Cuối cùng ta có: * * *K q P

như sau: 1

2

2 1 2EF

1 1 12

q qa

a q

d. Giải hệ phương trình này ta tìm được chuyển vị nút 2q và 3q , cụ thể là

2

2*

3

3

42

q qaq

EFFq

Và như vậy tất cả các chuyển vị nút là đã biết, cụ thể :



1

2*

2

3

0

32

4

qqa

q qEF

q

Từ đó véc tơ chuyển vị nút e

q của mỗi phần tử cũng hoàn toàn xác định

Cụ thể :

2

1

1

2

0

32

q qaq

EFq

và 2

2

2

3

3

42

q qaq

EFq

Và biểu đồ chuyển vị của mỗi phần tử cũng hoàn toàn xác định như sau :

1 1 1 2 21. .u x N q N x q N x q

2 1 2 2 32. .u x N q N x q N x q

Kết quả cho trên hình 14.a và hình 14.b

Hình 14.Biểu đồ chuyển vị dọc trục (u) và lực dọc (N)

e. Xác định nội lực trong các phần tử

Do hàm chuyển vị là tuyến tính nên dễ thấy rằng biến dạng dọc trục x

du

dx

hằng số phần tử.



Do đó ứng suất x xE cosnt và lực dọc trục EFe x xN F cũng là không đổi

trên suốt chiều dài mỗi phần tử. Và EF EFe x eN B q

Cụ thể, lực dọc trong phần tử (1) và phần tử (2) :

21 1

01 1 3

EF EF 32

2

N B q qaqaa a

EF

2

2 2 2

3

1 1 2EF EF

24

2

qa

qaEFN B q

a a qa

EF

Kết quả này được thể hiện ở biểu đồ lực dọc (N) ở hình 14.c

Để thấy rõ hơn bản chất của PPPTHH thông qua ví dụ này, ta thử tìm lời giải

chính xác của bải toán.

Theo Sức bền vật liệu, nếu sử dụng phương trình cân bằng biểu diễn qua chuyển

vị dọc trục u x ta sẽ nhận được phương trình vi phân chủ đạo của bài toán thanh

chịu biến dạng dọc trục, trong trường hợp tổng quát có dạng:

EF 0

à các diê kiên biê

d duq x

dx dx

v u n

trong đó q x là cường độ tải trọng phân bố dọc trục thanh.

Với bài toán đang khảo sát: EF = const, q x = q =const, phương trình vi phân

2

2EF 0

d uq

dx

và các điều kiện biên của bài toán là (0 < x < 2a).

Điều kiện biên : 00

ux



EF 0

2 2

duN

x a x adx

Sử dụng phương pháp tích phân trực tiếp phương trình vi phân và sử dụng các

điều kiện biên ở trên để xác định các hằng số tích phân. Dễ dàng nhận được kết

quả chính xác của bài toán là:

Hàm chuyển vị : 242

qu x ax x

EF 0 2x a

Lực dọc : EF 2du x

N qadx a

Biểu đồ chuyển vị (u) được biểu diễn bằng đường chấm chấm trong hình 14 ở

trên.

Biểu đồ lực dọc (N) của lời giải chính xác được biểu diễn bằng đường chấm

trong hình 14c.

So sánh 2 kết quả nhận được tử PPPTHH và từ lời giải chính xác của bài toán

ta có thể thấy một số nhận xét sau:

Giá trị chuyển vị tại các nút nhận được từ PPPTHH là trùng với kết quả

chính xác. Còn giá trị nội lực là gần đúng và chỉ là giá trị trung bình.

Nếu tăng số nút lên (tức là chia thanh thành nhiều phần tử hơn) biểu đồ

chuyển vị sẽ là một đa giác hàm nội tiếp và tiệm cận đến đường cong của nghiệm

chính xác (hình15.b). Còn biểu đồ nội lực N có dạng đường chữ chi giật bậc xung

quanh đường thẳng của nghiệm chính xác (hình 15.c). Hình vẽ 15 cho ta nghiệm

của bài toán giải theo PPPTHH với sơ đồ 4 phần tử ( hình 15a):



Hình 15.Biểu đồ chuyển vị dọc trục (u) và lực dọc (N) theo sơ đồ 4 phần tử

Tuy nhiên có thể thấy rằng giá trị nội lực được tính theo biểu thức

EFe eN B q chỉ là nội lực do chuyển vị nút

eq gây ra.

Để có được giá trị lực dọc chính xác ta cần kể thêm thành phần lực dọc do tải

trọng phân bố trong phạm vi phần tử khi xem các nút là được gắn cứng lại (hình

16). Hay : 0q

N N N

Trong đó: q

N là lực dọc do chuyển vị nút e

q gây ra

0N là lực dọc do tải trọng tác dụng trong phạm vi phần tử gây ra khi

xem xét các nút là bị gắn cứng.

Với bải toán đang xét kết quả cho trong hình 16:

Hình 16. Biểu dồ lực dọc khi có cả tải trọng phân bố



II. Các phần tử cơ bản

1. Giới thiệu chung

Mỗi phần tử có các đặc trưng sau: họ phần tử, bậc tự do, số nút v.v... Tên

của mỗi phần tử sẽ thể hiện đặc trưng của phần tử theo những mặt trên.

a. Họ phần tử

Hình 17 cho thấy các họ phần tử thường được sử dụng trong phân tích ứng

suất. Một trong những khác biệt lớn nhất đối với các họ phần tử là loại hình học

giả định của mỗi họ sử dụng.

Hình 17. Một số phần tử cơ bản

Có các họ phần tử sau: họ phần tử khối, họ phần tử vỏ, họ phần tử dầm, họ phần

tử thanh v.v.. Mỗi họ phần tử đều có những đặc trưng khác nhau, được sử dụng

trong các kết cấu khác nhau.

b. Bậc tự do

Bậc tự do (DOF) là những biến cơ bản trong tính toán phân tích. Đối với một

tính toán mô phỏng chuyển vị - ứng suất thì các bậc tự do là dịch chuyển tại mỗi

nút. Một số họ phần tử, chẳng hạn như dầm và vỏ, có bậc tự do là các chuyển

động quay. Với một mô phỏng truyển nhiệt bậc tự do là nhiệt độ tại mỗi nút. Do

đó, đòi hỏi việc sử dụng phần tử khác nhau với một phân tích ứng suất khác

nhau, thì bậc tự do là khác nhau.



Các bậc tự do được quy ước như sau:

1 Dịch chuyển theo hướng 1



4 Quay quanh trục 1



c. Số nút

Chuyển vị, nhiệt độ và các bậc tự do khác được đề cập trong phần trước chỉ

được tính toán tại các nút của phần tử. Tại bất kì các điểm khác của phần tử,

chuyển vị thu được bằng cách nội suy các chuyển vị nút. Thông thường bậc nội

suy xác định bởi số nút sử dụng trong phần tử.

Phần tử có các nút ở các đỉnh của nó, chẳng hạn như khối 8 nút (hình 18.a)

sử dụng phép nội suy tuyến tính theo mỗi hướng và được gọi là phần tử tuyến

tính hay phần tử bậc nhất.

Phần tử với các nút ở giữa mặt bên, như khối 20 nút (hình 18.b) sử dụng

phép nội suy bậc hai và được gọi là phần tử bậc hai.

Phần tử khối tứ diện với các nút giữa mặt bên như phần tử tứ diện 10 nút

(hình18.c) sử dụng một thay đổi phép nội suy bậc hai và được gọi là phần tử bậc

hai thay đổi

Hình 18. Phần tử khối tuyến tính, khối bậc hai và khối tứ diện



2. Một số phần tử cơ bản và tính chất của chúng

a. Phần tử khối liên tục (Solid element)

Hình 19. Mô hình phần tử khối liên tục

Trong số các họ phần tử khác nhau, phần tử liên tục hay phần tử khối thường

được sử dụng phổ biến nhất để làm mô hình các cấu trúc. Khái niệm, phần tử liên

tục đơn giản là các mô hình khối nhỏ của vật liệu trong một thành phần. Chúng

có thể liên kết được với các phần tử khác trên bất kì bề mặt nào của chúng, các

phần tử liên tục có thể được sử dụng để xây dựng các mô hình gần giống với bất

kỳ hình dạng và chịu bất kì tải trọng nào.

Trong phần mềm Abaqus, phần tử khối có tên bắt đầu bằng chữ "C". Chữ cái thứ

hai thường cho biết chiều của phần tử nhưng không phải luôn luôn. Chữ "3D"

cho biết đó là phần tử ba chiều; "AX" cho biết phần tử có trục đối xứng; "PE"

cho biết đó là phần tử plane strain ; và "PS" là một phần tử plane stress.

Phần tử khối ba chiều

Phần tử khối ba chiều có thể là khối sáu mặt, khối hình nêm hoặc khối tứ diện.



Hình 20. Phần tử khối ba chiều: Hình nêm, tứ diện và hình chóp

Phần tử khối hai chiều

Phần tử hai chiều có thể là tứ giác hoặc tam giác. Hình 21 cho thấy ba nhóm

phần tử được sử dụng phổ biến nhất.

Hình 21. Phần tử Plane strain-biến dạng phẳng, plane stress-ứng suất phẳng,

and axisymmetric- đối xứng trục

Phần tử Plane strain

Phần tử Plane strain chúng có thể sử dụng với mô hình cấu trúc dày.

Mô hình như là khối hình trụ dài hoặc lăng trụ chịu các lực dọc trục của nó và

không thay đổi dọc theo chiều dài. Ứng suất và biến dạng trong trường hợp này

có thể được viết là:



Stress tensor

0

0

0 0

x xy

xy y

z

và strain tensor

0

0

0 0 0

x xy

xy y

Với z x y và định luật Hooke:

1

21

EE

Phần tử Plane stress

Phần tử Plane stress chúng phù hợp với mô hình cấu trúc mỏng.

Mô hình giống như tấm mỏng chịu tải với lực song song với mặt phẳng của nó và

phân bố đối xứng trên toàn bộ bề dày. Ứng suất và biến dạng trong trường hợp

này có thể được viết như:

Stress tensor

0

0

0 0 0

x xy

xy y

và strain tensor

0

0

0 0

x xy

xy y

z

Khi z x yE

và định luật Hooke:

1

1

1

x x y

y y x

xy xy

E

E

E

Phần tử Axisymmetric

Phần tử Axisymmetric – đối xứng trục, các lớp "CAX" của các phần tử, mô hình

quay 360 °; chúng thích hợp cho việc phân tích với cấu trúc hình học đối xứng và

chịu tải đối xứng.



Phần tử khối hai chiều phải được xác định trong mặt phẳng 1-2 để các nút có thứ

tự ngược chiều kim đồng hồ quanh chu vi phần tử, như trong hình 3-4.

Hình 22. Liên kết chính xác của phần tử khối hai chiều

Bậc tự do

Phần tử liên tục có bậc tự do tịnh tiến tại mỗi node. Tương ứng, bậc tự do 1, 2, và

3 có trong trong phần tử ba chiều, trong khi chỉ có bậc tự do 1 và 2 có trong các

phần tử plane strain, plane stress, và phần tử axisymmetric.

b. Phần tử tấm (Shell element)

Hình 23. Mô hình phần tử tấm

Phần tử shell được sử dụng với mô hình cấu trúc trong đó một kích thước

nào đó (độ dày) là nhỏ hơn đáng kể so với các kích thước còn lại và nhấn mạnh

theo hướng độ dày là không đáng kể.

Trong phần mềm Abaqus, tên các phần tử tấm bắt đầu bằng chữ "S." Tất cả

các phần tử tấm có trục đối xứng đều bắt đầu với chữ "SAX". Số đầu tiên trong



tên một phần tử tấm (shell) cho biết số nút trong phần tử, ngoại trừ trường hợp

của phần tử tấm có trục đối xứng số đầu tiên cho biết thứ tự của phép nội suy.

Bậc tự do

Phần tử tấm (shell) ba chiều có chữ số "5" ở cuối tên (ví dụ S4R5, STRI65) tức là

có 5 bậc tự do ở mỗi nút: ba chuyển động tịnh tiến và hai chuyển động quay

trong mặt phẳng (không quay trong mặt phẳng vuông góc với tấm). Tuy nhiên,

tất cả sáu bậc tự do được sử dụng tại một nút nếu cần thiết.

Các phần tử shell ba chiều còn lại có sáu bậc tự do ở mỗi nút (ba chuyển động

tịnh tiến và ba chuyển động quay).

c. Phần tử dầm (Beam element)

Hình 24. Dầm và một số dạng mặt cắt ngang

Phần tử dầm được sử dụng với mô hình cấu trúc trong đó một kích thước

(chiều dài) là lớn hơn đáng kể so với hai kích thước còn lại và nhấn mạnh theo

hướng dọc trục của phần tử là đáng kể.

Trong phần mềm Abaqus, tên phần tử dầm bắt đầu bằng chữ "B". Ký tự tiếp theo

cho biết chiều của phần tử, chẳng hạn như chữ số "2" cho biết dầm hai chiều và

"3" cho biết dầm ba chiều. Kí tự thứ ba cho biết phép nội suy được sử dụng như



chữ số "1" cho biết đó là phép nội suy tuyến tính, chữ số"2" cho biết phép nội suy

bậc hai, và chữ số "3" cho biết phép nội suy bậc ba.

Bậc tự do

Dầm ba chiều có sáu bậc tự do ở mỗi nút: ba bậc tự do tịnh tiến (1-3) và ba

bậc tự do quay (4-6). Dầm hai chiều có ba bậc tự do tại mỗi nút: hai bậc tự do

tịnh tiến (1 và 2) và một bậc tự do quay (6) xung quanh mặt phẳng vuông góc của

dầm.

d. Phần tử thanh (Struss element)

Hình 25. Mô hình phần tử thanh

Thanh là bộ phận mảnh (tức là có chiều dài lớn hơn rất nhiều mặt cắt ngang).

Phần tử thanh chỉ có thể chịu kéo. Nó không có khả năng chống uốn, do vậy, nó

chỉ thích hợp với mô hình cấu trúc pin-jointed. Ngoài ra, phần tử thanh (struss)

có thể được sử dụng thay thế cho cáp hoặc dây. Phần tử thanh cũng đôi khi được

sử dụng để thay thế tăng cường trong phạm vi các phần tử khác.

Tất cả các tên phần tử thanh bắt đầu bằng chữ "T". Hai kí tự tiếp theo cho

thấy chiều của phần tử: "2D" cho biết phần tử thanh hai chiều và "3D" cho biết

phần tử thanh ba chiều. Ký tự cuối thể hiện số nút trong phần tử này

Bậc tự do

Phần tử thanh có một bậc tự do tịnh tiến tại mỗi nút. Phần tử thanh ba chiều

có các bậc tự do1, 2, và 3, trong khi phần tử thanh hai chiều có bậc tự do1 và 2.



CHƯƠNG III

PHƯƠNG PHÁP VIRTUAL CRACK CLOSURE TECHNIQUE

Phương pháp Virualt Crack Closure Technique (VCCT) là một trong những

phương pháp sử dụng phương pháp phần tử hữu hạn để tính toán năng lượng giải

phóng của một vết nứt kể từ khi nó hình thành và phát triển. Virtual Crack

Closure Technique (VCCT) được đề xuất vào năm 1977 bởi Rybicki và

Kanninen (theo [1]):

I. Phương pháp VCCT 2 bước

Trước khi nghiên cứu phương pháp Virtual Crack Closure Technique, ta sẽ

nghiên cứu một phương pháp gọi là crack closure method hoặc two-step virtual

crack closure technique.

Phương pháp này được dựa trên giả định rằng năng lượng giải phóng khi

vết nứt được mở rộng (hoặc công để tăng vết nứt) một đoạn Δa từ a (hình 26)

tới a + Δa (hình 27) bằng với năng lượng cần thiết để đóng vết nứt giữa vị trí nút

l và nút i.

Hình 26. Bước 1- Crack Closure



Hình 27. Bước 2 – Crack Extended

Chỉ số "1" là chỉ rõ bước đầu tiên được miêu tả trong hình 25 và chỉ số "2"

bước thứ hai như trong hình 27. Để có vết nứt hai chiều 4 nút như trong hình 26

và hình 27 thì công để đóng vết nứt dọc theo một bên có thể được tính như

sau:

1 2 1 2

1. . w

2l l l lX u Z

(lưu ý rằng ) khi 1lX và 1lZ là lực cắt và lực mở tại nút l phải đóng (hình

26) và 2lu và 2W l là những độ chênh lệch chuyển vị tại nút l (hình 27). Phương

pháp đóng kín vết nứt quy định các điều kiện ban đầu trước khi vết nứt đã được

mở rộng. Vì vậy các lực cần thiết để đóng vết nứt giống hệt nhau giữa các lực

lượng tác động ở bên trên và dưới bề mặt của vết nứt. Các lực 1lX và 1lZ thu được

từ một phân tích phần tử hữu hạn đầu tiên nơi vết nứt đóng lại. Chuyển vị 2u và

2w thu được từ một phân tích phần tử hữu hạn thứ hai, nơi nứt đã được mở rộng

theo chiều dài đầy đủ của nó a + Δa.



II. Virtual Crack Closure Technique (Modified Crack Closure Method)

Hình 28. VCCT (or 1 step – VCCT)

VCCT được dựa trên các giả định tương tự như phương thức đóng kín vết

nứt mô tả ở trên. Ngoài ra, nó giả định rằng một phần mở rộng của vết nứt Δa từ

a + Δa (nút i) tới a+ 2Δa (nút k) không làm thay đổi đáng kể tình trạng ở đầu vết

nứt (hình 28). Vì vậy các chuyển vị phía sau đầu vết nứt tại nút i là bằng khoảng

dịch chuyển phía sau đầu vết nứt tại nút l. Hơn nữa, năng lượng giải phóng

khi vết nứt được kéo dài thêm Δa từ a + Δa tới a+ 2Δa bằng với năng lượng cần

thiết để đóng vết nứt giữa các vị trí i và k. Để tạo ra một vết nứt hai chiều bốn nút

như trong hình 28, công yêu cầu phải đóng vết nứt được tính như sau [1]:

1

w2

i l i lX u Z

(lưu ý rằng = ) với iX và iZ là lực cắt và lực mở tại điểm nút i và lu và

Δ𝑤𝑙 là chuyển vị tại nút l. Do đó, các lực và chuyển vị yêu cầu phải tính toán

năng lượng giải phóng –ΔΠ khi vết nứt được mở rộng có thể được xác định từ

một phương pháp phân tích phần tử hữu hạn.



VCCT cho phần tử bốn nút

Hình 29. VCCT cho phần tử bốn nút

Tỷ lệ năng lượng giải phóng 𝐺𝐼 và 𝐺𝐼𝐼 được tính toán cho phần tử bốn nút như

trong hình 29 [1]:

*

*

1w w

2

1

2

I i l l

II i l l

G Za

G X u ua

Với a là chiều dài của mặt trước vết nứt và iX và iZ là các lực ở đầu vết nứt (nút

i). Các chuyển vị tương đối phía sau mũi nứt được tính toán từ chuyển vị nút lu

và w l ở mặt vết nứt phía trên (nút l) và chuyển vị nút *lu và *w

lở mặt vết nứt phía

thấp hơn (nút l*) tương ứng .Bề mặt vết nứt ΔA tạo ra được tính ΔA= Δa.l mà nó

là giả định rằng độ dày của mô hình là "1" đơn vị.



VCCT cho phần tử tám nút

Hình 29’. VCCT cho phần tử tám nút

Tỷ lệ năng lượng giải phóng 𝐺𝐼 và 𝐺𝐼𝐼 được tính toán cho phần tử tám nút trong

hình 29’ [1]:

* *

* *

1. w w . w w

2

1. .

2

I i l j ml m

II i l j ml m

G Z Za

G X u u X u ua

trong đó a là chiều dài của mặt trước vết. Ngoài các lực iX và iZ ở mũi vết nứt

(nút i), cần xác định các lực jX và jZ tại nút giữa mặt bên phía trước của vết nứt

(nút j). Các chuyển vị phía sau vết nứt được tính toán tại nút 1 và l* với các

chuyển vị ở mặt trên lu và w l và chuyển vị ở mặt dưới *lu và *w

l. Ngoài chuyển vị

tại nút l và l*, các chuyển vị ở nút m và m* cũng cần được xác định mà chuyển vị

tại mặt trên vết nứt là mu và wm và chuyển vị *mu và *w

m ở mặt dưới của vết nứt.

Tổng tỷ lệ năng lượng giải phóng TG được tính toán từ các thành phần bằng:

T I II IIIG G G G

Khi 𝐺𝐼𝐼𝐼 =0 cho trường hợp phần tử hai chiều.



CHƯƠNG IV

PHẦN MỀM ANSYS

I. Giới thiệu chung

Trong những năm gần đây, nhờ sự phát triển của các công cụ toán cùng với

sự phát triển của máy tính điện tử, đã thiết lập và dần dần hoàn thiện các phần

mềm công nghiệp, sử dụng để giải các bài toán cơ học vật rắn, cơ học thủy khí,

các bài toán động, bài toán tường minh và không tường minh, các bài toán tuyến

tính và phi tuyến, các bài toán về trường điện từ, bài toán tướng tác đa trường vật

lý.

Hình 30. Phần mềm Ansys

ANSYS là một phần mềm mạnh được phát triển và ứng dụng rộng rãi trên

thế giới, có thể đáp ứng các yêu cầu nói trên của cơ học. trong tính toán thiết kế

cơ khí, phần mềm ANSYS có thể liên kết với các phần mềm thiết kế mô hình

hình học 2D và 3D đẻ phân tích trường ứng suất, biến dạng, trường nhiệt độ, tốc

độ dòng chảy, có thể xác định được độ mòn, mỏi và phá hủy của chi tiết. Nhờ



việc xác định đó, có thể tìm các thông số tối ưu cho công nghệ chế tạo. ANSYS

còn cung cấp phương pháp giải bài các bài toán cơ với nhiều hình dạng mô hình

vật liệu khác nhau: đàn hồi tuyến tính, đàn hồi phi tuyến, đàn dẻo, đàn nhớt, dẻo,

dẻo nhớt, chảy dẻo, vật liệu siêu đàn hồi, siêu dẻo, các chất lỏng và chất khí…

ANSYS (Analysis Systems) là một gói phần mềm phân tích phần tử hữu hạn

(Finite Element Analysis, FEA) hoàn chỉnh dùng để mô phỏng, tính toán thiết kế

công nghiệp, đã và đang được sử dụng trên thế giới trong hầu hết các lĩnh vực kỹ

thuật: kết cấu, nhiệt, dòng chảy, điện, điện từ, tương tác giữa các môi trường,

giữa các hệ vật lý.

Trong hệ thống tính toán đa năng của ANSYS, bài toán cơ kỹ thuật được giải

quyết bằng phương pháp phần tử hữu hạn lấy chuyển vị làm gốc.

Cấu trúc cơ bản một bài toán trong ANSYS, gồm 3 phần chính: tạo mô hình

tính (preprocessor), tính toán (solution) và xử lý kết quả (postprocessor). Ngoài 3

bước chính trên, quá trình phân tích bài toán trong ANSYS còn phải kể đến quá

trình chuẩn bị (preferences) chính là quá trình định hướng cho bài tính. Trong

quá trình này cần định hướng xem bài toán ta sắp giải dùng kiểu phân tích nào

(kết cấu, nhiệt hay điện từ…), mô hình bài toán như thế nào (đối xứng trục hay

đối xứng quay, mô hình 3 chiều đầy đủ…), dùng kiểu phần tử nào (Beam, Shell,

Struss,…).

Hiểu được các bước phân tích này trong ANSYS sẽ giúp ta dễ dàng hơn

trong việc giải bài toán của mình. Vấn đề đặt ra là làm sao để thể hiện được

những ý tưởng này trong ANSYS. ANSYS cung cấp 2 cách để giao tiếp với

người dùng (Graphic User Interface, GUI): công cụ trực quan dùng menu với các

thao tác click chuột hoặc viết mã lệnh trong một file văn bản rồi đọc vào từ

File/Read input from (ta cũng có thể kết hợp hai phương pháp trên một cách linh

hoạt sao cho bài toán được thực hiện một cách hiệu quả nhất).



II. Ứng dụng của Ansys

ANSYS là một gói phần mềm FEA (Finite Element Analysis) hoàn chỉnh

dùng để mô phỏng, tính toán thiết kế công nghiệp, đã và đang được sử dụng trên

toàn thế giới trong nhiều lĩnh vực khác nhau.

Kết cấu.

Nhiệt.

Dòng chảy, bao gồm cả Mô phỏng số động lực học dòng chảy

(Computational Fluid Dynamics, CFD).

Điện, Tĩnh điện.

Điện từ.

Tương tác giữa các môi trường, giữa các hệ vật lý.

ANSYS/Multiphysics là sản phẩm tổng quát nhất của ANSYS, nó chứa tất

cả các khả năng của ANSYS và bao trùm tất cả các lĩnh vực kỹ thuật.

Có 3 sản phẩm thành phần chính dẫn xuất từ ANSYS/Multiphysics là :

ANSYS/Mechanical: tính toán kết cấu và nhiệt.

ANSYS/Emag: tính toán điện từ.

ANSYS/FLOTRAN: tính toán CFD.

Ngoài ra còn có các dòng sản phẩm khác :

ANSYS/LS-DYNA: giải quyết các vấn đề kết cấu có độ phi tuyến cao

(VD: bài toán động lực học biến dạng lớn trong gia công áp lực)

DesignSpace: là một công cụ gọn nhẹ cho phép phân tích và thiết kế nhanh

trong các môi trường CAD khác nhau (ví dụ: SolidWorks, SolidEdge...)



ANSYS/ProFEA : cho phép phân tích và tối ưu thiết kế trong môi trường

CAD Pro/ENGINEER

Hình 31. Các thành phần của Ansys

1. Phân tích kết cấu :

Phân tích kết cấu được sử dụng để xác định trường chuyển vị, biến dạng, ứng

suất và các phản lực.

Phân tích tĩnh:

Sử dụng trong trường hợp tải tĩnh

Hình 32. Kết cấu trong trường hợp tải tĩnh



Ứng xử phi tuyến ví dụ như độ võng lớn, biến dạng lớn, bài toán tiếp xúc,

chảy dẻo, siêu đàn hồi, từ biến ...

Phân tích động lực học:

Bao gồm hiệu ứng khối lượng và giảm chấn.

Phân tích modal: xác định tần số riêng và dạng dao động riêng.

Phân tích điều hòa: xác định ứng xử của kết cấu khi tải trọng có dạng hình

sin với biên độ và tần số xác định.

Phân tích động lực học tức thời (Transient Dynamic Analysis): xác định

ứng xử của kết cấu khi tải trọng thay đổi theo thời gian và có thể bao gồm cả ứng

xử phi tuyến.

2. Động lực học biến dạng lớn:

Dùng để mô phỏng biến dạng rất lớn khi lực quán tính đóng vai trò quyết

định.

Dùng để mô phỏng các bài toán va chạm, phá huỷ, tạo hình nhanh,…

Hình 33. Phân tích va chạm của một thí nghiệm đối với ô tô

3. Phân tích nhiệt

Phân tích nhiệt được dùng để xác định trường phân bố nhiệt độ trong một

vật thể. Các đại lượng đáng quan tâm khác bao gồm: lượng nhiệt mất đi hoặc

tăng lên, gradient nhiệt, và dòng nhiệt.



Tất cả 3 dạng truyền nhiệt cơ bản đều có thể được phân tích và mô phỏng:

dẫn nhiệt, đối lưu, bức xạ.

Trạng thái ổn định (Steady-State): Bỏ qua các ảnh hưởng phụ thuộc thời

gian.

Trạng thái tức thời hay chưa ổn định (Transient):

Để xác định nhiệt độ và một số đại lượng khác như một hàm của thời gian.

Cho phép mô phỏng sự thay đổi pha (nóng chảy hoặc đông đặc).

Hình 34. Nhiệt độ tức thời của một kết cấu

4. Phân tích điện từ

Phân tích điện từ được sử dụng để tính toán từ trường trong các thiết bị

điện từ.

Phân tích điện từ tĩnh và tần số thấp:

Mô phỏng các thiết bị sử dụng nguồn điện 1 chiều, nguồn xoay chiều tần

số thấp, các tín hiệu tức thời ngắn tần số thấp.

Ví dụ: thiết bị khởi động từ (solenoid), các động cơ, máy biến thế.



Các thông số đáng quan tâm bao gồm : mật độ thông lượng từ, cường độ từ

trường, lực và mô men từ, trở kháng, độ tự cảm, dòng điện xoáy, công suất

mất mát, và dòng rò.

Hình 35. Từ trường trong một kết cấu từ

Phân tích điện từ tần số cao:

Mô phỏng các thiết bị truyền sóng điện từ.

Ví dụ: các thiết bị thu vi sóng và sóng radio, dẫn sóng, thiết bị kết nối đồng

trục.

Các đại lượng đáng quan tâm gồm có: các thông số S, nhân tố Q, tổn thất

đường về, tổn hao điện môi và tổn hao dẫn điện, và các trường điện và từ.

Phân tích tĩnh điện:

Tính toán trường điện khi kích thích bằng điện áp hoặc tích điện

Ví dụ: Thiết bị cao áp, các hệ vi cơ điện tử (MEMS), đường truyền.

Các đại lượng điển hình là cường độ và điện dung của trường điện.

Độ dẫn điện: để tính toán dòng điện trong dây dẫn khi áp đặt một điện áp

Kết nối mạch: để kết nối mạch điện với các thiết bị điện từ.

Các kiểu phân tích điện từ:



Phân tích tĩnh: tính toán từ trường của dòng 1 chiều hoặc nam châm vĩnh

cửu.

Phân tích điều hòa: tính toán từ trường của dòng điện xoay chiều.

Phân tích tức thời: được sử dụng với từ trường thay đổi theo thời gian.

5. Tính toán động lực học dòng chảy

Để xác định phân bố lưu lượng và nhiệt độ trong một dòng chảy.

ANSYS/FLOTRAN có thể mô phỏng dòng chảy tầng và dòng chảy rối,

dòng nén được và dòng không nén được, và nhiều dòng chảy kết hợp.

Ứng dụng cho hàng không vũ trụ, đóng gói điện tử, thiết kế ôtô.

Các đại lượng đặc trưng đáng quan tâm là vận tốc, áp suất, nhiệt độ và các

hệ số màng.

Hình 36.Vận tốc của dòng chảy trong ống dẫn và phân bố áp suất

Âm thanh:

Để phân tích và mô phỏng sự tương tác giữa 1 môi trường chất lỏng (hoặc

khí) và khối chất rắn bao quanh.

Ví dụ: loa phóng thanh, nội thất ô tô, thiết bị dò bằng siêu âm.

Các đại lượng đặc trưng bao gồm: phân bố áp suất, chuyển vị và các tần số

riêng.



Phân tích chất lỏng (hoặc khí) trong bể chứa:

Để mô phỏng hiệu ứng của một chất lỏng hoặc khí đứng yên (không chảy)

trong bể chứa, và tính toán áp suất thủy tĩnh do bị khuấy lên.

Ví dụ: Trong tầu chở dầu, các bình chứa chất lỏng khác.

Nhiệt và sự dịch chuyển khối lượng: Một phần tử 1 chiều được sử dụng để

tính toán lượng nhiệt sinh ra do sự dịch chuyển khối lượng giữa hai vị trí, ví dụ

như dịch chuyển của một khối lượng trong một cái ống.

6. Phân tích tương tác giữa các trường vật lí

Xem xét sự tương tác giữa hai hoặc nhiều trường khác nhau. Vì trên thực tế

các trường đều phụ thuộc lẫn nhau, nên không thể giải quyết chúng một cách tách

biệt, bởi vậy cần có một chương trình giải quyết đồng thời cả hai hiện tượng bằng

cách kết hợp chúng.

Phân tích nhiệt-ứng suất.

Phân tích áp điện (điện và kết cấu)

Âm thanh (dòng chảy và kết cấu)

Phân tích nhiệt - điện

Cảm ứng nhiệt (từ và nhiệt)

Phân tích tĩnh điện - kết cấu

III. Các bước thực hiện khi giải bài toán trong Ansys

ANSYS có hai cách giải quyết bài toán: sử dụng trên giao diện đồ họa

(Graphical User Interface) và sử dụng trình soạn thảo câu lệnh. Tuy nhiên cả hai

cách này đều có chung trình tự các bước giải đó là: Preprocessing > Solution >

Postprocessing. (theo [5]):

Thứ tự các bước này được trình bày trong ví dụ dưới đây.



Ví dụ: Ống có chiều dài 500 mm, một đầu được ngàm cố định, một đầu tự do.

Đường kính ngoài của ống 25mm, độ dày của ống 2mm, đầu tự do của ống chịu

tác dụng của tải trọng P = 100 N (hình 37):

Hình 37. Ống chịu lực

Yêu cầu: xác định biến dạng và ứng suất của kết cấu trên bằng phương pháp

phần tử hữu hạn thực hiện trên phần mêm Ansys.

Các bược giải bài toán như sau: (sử dụng Graphical User Interface).

1. Preprocessing

Trong phần này yêu cầu phải thiết lập mô hình hình học và vật liệu cho kết cấu.

a. Give the Simplified Version a Title (Đặt tên cho bài toán)

Utility Menu > File > Change Title

b. Enter Keypoints (Xác định các keypoint)

Preprocessor > Modeling > Create > Keypoints > In Active CS

Các keypoint được xác định theo bảng



c. Form Lines (Tạo đường thẳng từ keypoint đã xác định trước)

Preprocessor > Modeling> Create > Lines > Lines > Straight Line.

Lần lượt chọn Keypoint 1, Keypoint 2. Khi đó xuất hiện một đường thẳng nối hai

keypoint đó.

d. Define the Type of Element (Xác định dạng phần tử)

Từ Preprocessor Menu, chọn: Element Type > Add/Edit/Delete. Click 'Add', Hộp

thoại Library of Element Types xuất hiện (hình 38)

Hình 38. Hộp thoại Library of Element Types

Trong ví dụ này, sử dụng dạng phần tử ống thẳng đàn hồi, ta lựa chọn trong hình

trên. Chọn dạng phần tử và click 'OK'. Chúng ta sẽ thấy phần tử có dạng 'Type 1

PIPE16' trong cửa sổ 'Element Types'.

Click vào 'Options...' trong hộp thoại 'Element Types'. Cửa sổ sau sẽ xuất hiện

(hình 39).



Hình 39. Hộp thoại Pipe 16 element type options

Trong K6, và chọn 'Include Output' và click 'OK'. Điều này cho phép chúng ta

đưa ra kết quả của lực và mômen.

Click vào 'Close' để đóng hộp thoại 'Element Types' lại.

e. Define Geometric Properties (Xác định đặc tính hình học)

Trong Preprocessor menu, chọn Real Constants > Add/Edit/Delete

Click Add và chọn 'Type 1 PIPE16' (trên thực tế nó đã được chọn). Click 'OK'.

Nhập các thông số sau:

Outside diameter OD: 25

Wall thickness TKWALL: 2

f. Element Material Properties (Xác định tính chất vật liệu)

Trong 'Preprocessor' menu, chọn Material Props > Material Models. Click vào

Structural > Linear > Elastic và chọn 'Isotropic'

Đóng cửa sổ 'Define Material Model Behavior' lại. Nhập vào các giá trị sau:

EX 70000



PRXY 0.33

Đặt xong đặc tính và click 'OK'.

g. Mesh Size (Chia kích thước lưới)

Trong ‘Preprocessor’ menu chọn Meshing > Size Cntrls > ManualSize > Lines >

All Lines

h. Mesh (Hiện lưới)

Trong Preprocessor menu, chọn Meshing > Mesh > Lines và click 'Pick All'

trong cửa sổ 'Mesh Lines'.

i. Saving Your Work (Lưu các nội dung đã thực hiện)

Utility Menu > File > Save as chọn tên và vị trí để lưu file.

2. Solution

a. Define Analysis Type (Xác định dạng phân tích)

Từ ‘Solution’ Menu, chọn Analysis Type > New Analysis.

Chọn 'Static' và click 'OK'.

b. Apply Constraints (Đặt các ràng buộc cho kết cấu)

Trong ‘Solution’, chọn Define Loads > Apply > Structural > Displacement > On

Keypoints

Chọn Keypoint 1(đây là vị trí ngàm cố định) rồi click 'OK' trong cửa sổ 'Apply

U,ROT KPs'. Sau đó, chọn 'All DOF' bằng cách click vào nó và nhập giá trị '0'

trong dải giá trị và click 'OK'.

c. Apply Loads (Đặt tải trọng)

Trong ‘Structural’ menu, chọn Force/Moment > on Keypoints.

Chọn Keypoint 2 (vị trí đầu tự do) và click 'OK' trong cửa sổ 'Apply F/M'.



Click vào 'Direction of force/mom' và chọn FY. Nhập giá trị -100 (do tải trọng

hướng xuống) trong hộp thoại 'Force/moment value' và click 'OK'.

Lực xuất hiện là một mũi tên mầu đỏ. Tải trọng và các ràng buộc sẽ xuất hiện

(hình 40):

Hình 40. Ràng buộc và tải trọng được đặt vào kết cấu

d. Solving the System

Bây giờ Ansys sẽ tính toán: Solution > Solve > Current LS

3. Postprocessing

a. Deformation (Biến dạng)

Từ ‘General Postproc’ trong 'ANSYS Main’ Menu. Chọn Plot Results >

Deformed Shape.



Chọn 'Def + undef edge' và click 'OK' để xác định biểu đồ biến dạng của ống

(hình 41):

Hình 41. Biến dạng của kết cấu

b. Deflection (Độ võng)

Từ 'General Postprocessing' menu chọn Plot results > Contour Plot > Nodal

Solution.

Chọn 'DOF solution' and 'USUM'. Các giá trị khác để mặc định. Click 'OK'.

Kết quả như trong hình 42:



Hình 42. Độ võng của kết cấu

c. Stresses (Ứng suất)

Từ ‘General Postprocessor’ chọn Element Table > Define Table...

Click vào 'Add...' xuất hiện hộp thoại ‘Define Additonal Elenment Table Items’

(hình 43):

Hình 43. Hộp thoại Define Additonal Elenment Table Items



Trong 'Item, Comp' ở cửa sổ trên, chọn 'Stress' và 'von Mises SEQV'. Click 'OK'

để đóng cửa sổ 'Define Additonal Elenment Table Items’.

Plot the Stresses bằng cách chọn Plot Elem Table trong ‘Element Table’ Menu

Hộp thoại Contour Plot of Element Table Data xuất hiện (hình 44). Chắc chắn

rằng 'SEQV' được chọn và click 'OK'

Hình 44. Hộp thoại Contour Plot of Element Table Data

Ứng suất của kết cấu được xác định như hình dưới đây (hình 45).

Hình 45. Ứng suất của kết cấu



d. Bending Moment Diagrams (Biểu đồ mômen uốn)

Phần tử Pipe 16 có hai nút: I và J, như hình 46:

Hình 46. Mô hình hai nút của phần tử ống

Để thu được mômem uốn của phần tử này, ta phải sử dụng bảng Element Table.

The Element Table chứa đựng hầu hết các dữ liệu của phần tử bao gồm dữ liệu

mô men uốn cho phần tử tại các nút I và nút J. Đầu tiên chúng ta cần xác định mô

men uốn tại hai nút I và J.

Trong ANSYS Main menu chọn: General Postproc > Element Table > Define

Table... . Click 'Add...'.

Hình 47. Hộp thoại Define Additonal Elenment Table Items

Trong hộp thoại ‘Define Additonal Elenment Table Items’ (hình 47) ta cần:

A. Nhập Imoment trong 'User label for item'

B. Chọn 'By sequence num' trong Item



C. Chọn 'SMISC' trong Comp đầu tiên

D. Enter SMISC,6 trong Comp thứ hai

Việc này sẽ lưu mô men uốn tại điểm I (Keypoint 1) của phần tử.

Tiếp tục xác định mô men uốn tại điểm J (Keypoint 2) của phần tử.

Làm lại như trên, click 'Add’ trong cửa sổ 'Element Table Data'.

Tương tự nhưng thay Imoment bằng Jmoment và SMISC,6 bằng SMISC,12.

Click 'Close' trong cửa sổ 'Element Table Data' và đóng cửa sổ 'Element Table'

Menu.

Chọn tiếp Plot Results > Contour Plot > Line Elem Res...

Hình 48. Hộp thoại Plot Line – Element Results

Từ cửa sổ 'Plot Line-Element Results' (hình 48), chọn 'Imoment’ từ trình đơn

LabI, và 'Jmoment' từ trình đơn LabJ. Click 'OK'.

Ta được biểu đồ mô men uốn (hình 49):



hình 49. Biểu đổ mô men uốn của ống

Sử dụng câu trong Ansys

Ví dụ vừa rồi được sử dụng trên Graphical User Interface (hay GUI) của ANSYS.

Vấn đề này cũng có thể giải quyết bằng câu lệnh được sử dụng trong Ansys.

/clear

/filname,CT,on

/title, Structure pipe

/PREP7 ! Preprocessor

K,1,0,0,0, ! Keypoint, 1, x, y, z

K,2,500,0,0, ! Keypoint, 2, x, y, z

L,1,2 ! Line from keypoint 1 to 2

ET,1,PIPE16 ! Element Type = pipe 16



KEYOPT,1,6,1 ! This is the changed option to give the extra force and moment

output

R,1,25,2, ! Real Constant, Material 1, Outside Diameter, Wall thickness

MP,EX,1,70000 ! Material Properties, Young's Modulus, Material 1, 70000 MPa

MP,PRXY,1,0.33 ! Material Properties, Major Poisson's Ratio, Material 1, 0.33

LESIZE,ALL,20 ! Element sizes, all of the lines, 20 mm

LMESH,1 ! Mesh the lines

FINISH ! Exit preprocessor

/SOLU ! Solution

ANTYPE,0 ! The type of analysis (static)

DK,1, ,0, ,0,ALL ! Apply a Displacement to Keypoint 1 to all DOF

FK,2,FY,-100 ! Apply a Force to Keypoint 2 of -100 N in the y direction

/STATUS,SOLU

SOLVE ! Solve the problem

FINISH

Phần câu lệnh trên để xây dựng mô hình tính toán, thiết lập các đặc tính vật liệu

cho kết cấu. Để có được các kết quả chuyển vị, ứng suất hay mômen uốn (dưới

dạng ảnh đồ) ta phải thực hiện theo các bước như đã nói ở trên (postprocessing).



CHƯƠNG V

TÍNH TOÁN KHẢ NĂNG PHÁ HỦY CỦA KẾT CẤU HAI VẬT LIỆU

(CU-EPOXY MOLDING COMPOUND)

EMC (Epoxy Molding Compound)

EMC là vật liệu phi kim loại sử dụng rộng rãi trong các gói vi điện tử. Nó

được tạo ra từ thành phần chủ yếu là nhựa Epoxy kết hợp với các vật liệu khác

như chất đóng rắn, cao su lưu hóa…

EMC có đặc tính gần giống với tính chất của Epoxy như độ bền cơ học cao,

chịu nước và hóa chất cao.

Epoxy là gì ?

Epoxy là một loại nhựa tổng hợp rất cứng và có độ bền cao. Epoxy không

giống với các loại nhựa khác được dùng trong ngành đóng thuyền, độ bám dính

của nó cao hơn nhiều so với Polyester (nhựa composite). Ngoài ra, Epoxy có độ

bền cơ học cao, do đó nó chịu nước và hóa chất tốt hơn các loại nhựa khác.

Cũng giống như nhựa Polyester, Epoxy được hình thành từ một phản ứng hóa

học giữa 2 thành phần riêng biệt: Nhựa (resin) và chất đóng rắn (hardener).

Polyester đóng rắn khi ta trộn một lượng nhỏ chất đóng rắn vào, nhưng Epoxy

cần một lượng chất đóng rắn nhiều hơn. Thông thường tỷ lệ giữa chất đóng rắn

với nhựa Polyester là 2 phần ngàn, trong khi với Epoxy là 1:1 (1 Epoxy + 1 chất

đống rắn), 1:2, 1:3, 1:4, 1:5.

Trong ngành đóng thuyền, Epoxy được sử dụng như một chất keo dán, bột trét và

nó còn có thể kết hợp với sợi thủy tinh để tạo nên một lớp vỏ bọc chắc chắn cho

vỏ thuyền. Trong ngành đóng thuyền kỹ thuật cao người ta phân Epoxy thành

những loại khác nhau dựa trên mục đích sử dụng và các đặc tính kỹ thuật như: độ

đặc (viscosity), độ chắc. Trong phần lớn các ứng dụng thông thường, người ta

dùng nhựa Epoxy phổ thông. Nhựa Epoxy phổ thông dùng để đóng thuyền có độ



đặc thấp giúp chúng thấm nhanh vào lớp sợi thủy tinh và tạo ra một lớp vật liệu

có tính năng kỹ thuật tốt hơn nhiều so với lớp vật liệu làm từ nhựa Polyester và

sợi thủy tinh.

I. Nội dung bài toán và xác định phương hướng triển khai

1. Nội dung

Dùng phương pháp phần tử hữu hạn và phương pháp Virtual Crack Closure

Technique thông qua phần mềm Ansys để tính toán khả năng phá hủy của kết cấu

hai vật liệu (bi-material)

Kết cấu được làm từ hai vật liệu là Cu có E = 135 GPa và ν = 0,34 và hợp chất

EMC (Epoxy Molding Compound) có E = 30 GPa và ν = 0,24.

Mô hình kết cấu như hình 50:

Hình 50. Kết cấu hai vật liệu (Cu-EMC)

Các kích thước: chiều dải của mẫu l = 48 mm, chiều rộng của mẫu b = 8,8 mm,

chiều dày của lớp vật liệu Đồng tcu = 0.28 mm, chiều dày của Epoxy Molding

Compound temc = 2.1mm, khoảng cách giữa hai gối c = 20 mm, khoảng cách

giữa hai điểm đặt lực d = 40 mm.

Biết chiều dài vết nứt a = 5 mm, tải trọng tác dụng là P = 5N, xác định tỷ lệ năng

lượng giải phóng của vết nứt hay độ cứng chống phá huỷ của kết cấu.



2. Hướng triển khai bài toán

Trên Ansys ta thực hiện như sau:

Do tính đối xứng nên ta chỉ xây dựng và tính toán đối với một nửa của mô hình

(hình 51)

Hình 51. Một nửa mô hình cấu trúc Đồng – Epoxy Molding Compound

Ta xác định tỷ lệ năng lượng giải phóng khi vết nứt được tạo ra theo phương

pháp Virtual Crack Closure Technique cho phần tử 8 nút (hình 52)

Hình 52. Phương pháp VCCT cho phần tử 8 nút

Ở bài toán này ta xét với phần tử hai chiều nên chỉ có tỷ lệ năng lượng giải phóng

theo hai phương X và Z là 𝐺𝐼 và 𝐺𝐼𝐼 .

Ta có tỷ lệ năng lượng giải phóng được tính theo công thức sau:



* *

* *

1. w w . w w

2

1. .

2

I i l j ml m

II i l j ml m

G Z Za

G X u u X u ua

Tổng tỷ lệ năng lượng giải phóng TG được tính toán từ các tỷ lệ năng lượng giải

phóng thành phần bằng:

TG = 𝐺𝐼 + 𝐺𝐼𝐼

Ta chọn điểm Crack Tip là nút i (đầu vết nứt hay mũi nứt), khoảng cách giữa

các nút Δa = delr = a/190 (bán kính của dãy phần tử thứ nhất tại điểm Crack

Tip).

Trong đó a = 5 (mm) là chiều dài vết nứt.

II. Giải quyết bài toán trên Ansys

Chương trình tính toán khả năng phá hủy của kết cấu hai vật liệu theo phương

pháp Virtual Crack Closure Technique thông qua phần mềm Ansys được viết như

sau:

fini

/clear

/filname,CT,on

/title, Structure bi_material

! Geometry parameters

l = 24*1e-3 ! half of length (m)

b = 8.8*1e-3 ! thickness

temc = 2.1*1e-3 ! thickness of EMC

tcu = 0.25*1e-3 ! thickness of Cu

c = 10*1e-3 ! distance from the support to the notch

d = 20*1e-3 ! distance from the load to the notch

a = 5*1e-3 ! crack length

ECu = 135e9



vCu = .34

EEMC = 30e9

vEMC = .24

! Loading parameters

load = 5/(2*b) ! load (N),

! Meshing parameters

mes = a/40 ! define maximum elementsize

! KSCON parameters !Specifies a keypoint about which an area mesh will be skewed

npt1 = 8 ! keypoint at crack-tip

npt2 = 81

delr = a/190 ! radius of 1st row elements at crack tip

kctip = 0 ! 0 -> normal elements

nthet = 16 ! elements in circumferential direction

rrat = 0.75 ! element size ratio: 1st row to 2nd row

tol = 1e-12

da = delr

/prep7 ! thiet lap mo hinh hinh hoc va vat lieu

ET,1,PLANE183 ! xac dinh dang phan tu duoc su dung

KEYOPT,1,3,2 ! lua chon keyo cua phan tu

mp,ex,1,ECu ! Cu youngs's modulus = 135e9 (Pa)

mp,nuxy,1,vCu

mp,ex,2,EEMC ! EMC youngs's modulus = 30e9 (Pa)

mp,nuxy,2,vEMC

k,1,0,0

k,2,c,0

k,3,l,0

k,4,l,(tcu+temc)

k,5,d,(tcu+temc)

k,6,,(tcu+temc)



k,7,,tcu

k,71,,tcu

k,8,a,tcu

k,81,a,tcu

k,9,l,tcu

k,91,l,tcu

l,1,2

l,2,3

l,3,9

l,9,8

l,8,7

l,7,1

al,all !tao ra mot be mat tu cac duong da chon

l,71,81

l,81,91

l,91,4

l,4,5

l,5,6

l,6,71

lsel,s,line,,7,12 !Selects a subset of lines

al,all

lsel,all

esize,mes !xac dinh kich thuoc cua luoi

kscon,npt1,delr,kctip,nthet,rrat

kscon,npt2,delr,kctip,nthet,rrat

MSHKEY,0 !xac dinh dang luoi duoc su dung

mat,1

amesh,1

mat,2

amesh,2

fini



/solu ! giai bai toan PTHH

Save

antype, static

!Coupling nodes

nsel,s,loc,x,a,l ! selecting those nodes that must be couples including crack tip

nsel,r,loc,y,tcu

cpintf,all,5e-6

nsel,s,loc,x,0

nsel,r,loc,y,0,tcu

d,all,ux,0

nsel,s,loc,y,0

nsel,r,loc,x,c

d,all,uy,0

allsel

fk,5,fy,-load

solve

finish

/post1 ! xuat ket qua tuon ung voi doi tuong tai mot thoi diem khao sat

PLESOL, S,EQV, 0,1.0

! Select node at the crack tip

ksel,s,kp,,8

nslk,s

fsum !Sums the nodal force and moment contributions of elements

*get,F_i1_lower,fsum,fy

*get,F_i2_lower,fsum,fx

!not neccessary to get the reaction forces

ksel,s,kp,,81

nslk,s




*get,F_i1_upper,fsum,fy

*get,F_i2_upper,fsum,fx

! Select first node behind the crack tip (1st right node)

asel,s,area,,2

nsla,s,1

nsel,r,loc,y,tcu

nsel,r,loc,x,a-delr-tol,a-delr+tol

*GET,n_upper,NODE,0,num,max !Highest or lowest node number in the selected set

!get the displacement of the selected node

*get,U_l1_upper,node,n_upper,u,y

*get,U_l2_upper,node,n_upper,u,x

asel,s,area,,1

nsla,s,1

nsel,r,loc,y,tcu


*GET,n_lower,NODE,0,num,max !Highest or lowest node number in the selected set


*get,U_l1_lower,node,n_lower,u,y

*get,U_l2_lower,node,n_lower,u,x

asel,s,area,,2

nsla,s,1

nsel,r,loc,y,tcu

nsel,r,loc,x,a+delr/2-tol,a+delr/2+tol


*get,F_k1_upper,fsum,fy

*get,F_k2_upper,fsum,fx



asel,s,area,,1

nsla,s,1

nsel,r,loc,y,tcu

nsel,r,loc,x,a+delr/2-tol,a+delr/2+tol


*get,F_k1_lower,fsum,fy

*get,F_k2_lower,fsum,fx

!!!!! Select second node behind the crack tip (2nd right node)

asel,s,area,,2

nsla,s,1

nsel,r,loc,y,tcu


*GET,h_upper,NODE,0,num,max


*get,U_m1_upper,node,h_upper,u,y

*get,U_m2_upper,node,h_upper,u,x

asel,s,area,,1

nsla,s,1

nsel,r,loc,y,tcu


*GET,h_lower,NODE,0,num,min


*get,U_m1_lower,node,h_lower,u,y

*get,U_m2_lower,node,h_lower,u,x

!!!!!!!!!!From left to right l,m,i,k

G1=-(abs(F_i1_upper)*abs(U_m1_upper)-abs(F_i1_lower)*abs(U_m1_lower)+

abs(F_k1_upper)*abs(U_l1_upper)-abs(F_k1_lower)*abs(U_l1_lower))/(delr*2)



G2=-(abs(F_i2_upper)*abs(U_m2_upper)-abs(F_i2_lower)*abs(U_m2_lower)+

abs(F_k2_upper)*abs(U_l2_upper)-abs(F_k2_lower)*abs(U_l2_lower))/(delr*2)

G=(G1+G2)

*status

Kết quả

Mô hình kết cấu tính toán của bài toán được mô phỏng trên Ansys như hình

dưới đây (hình 53).

Hình 53. Mô hình tính toán trong Ansys

Sau quá trình phân tích tính toán ta thu được các biểu đồ biến dạng, độ

võng, ứng suất và biểu đồ phân bố lưới và ứng suất ở đầu vết nứt (điểm

Crack Tip) của kết cấu như trong các hình dưới đây:



Hình 54. Biến dạng của kết cấu

Hình 55. Độ võng của kết cấu



Hình 56. Ứng suất phân bố của kết cấu

Hình 57. Sơ đồ lưới và phân bố ứng suất ở đầu vết nứt



Lưu ý: trong các biểu đồ trên, giá trị của độ võng, ứng suất được thể hiện qua các

mầu: theo thứ tự từ trái qua phải các giá trị đó tăng dần.

Kết quả cuối cùng tính ra được tỷ lệ năng lượng giải phóng (độ cứng chống phá

hủy kết cấu theo các phương và tổng tỷ lệ năng lượng giải phóng năng lượng của

kết cấu.

ABBREVIATION STATUS-

NAME VALUE TYPE

DIMENSIONS

G -12.0958248 SCALAR

G1 -12.5962238 SCALAR

G2 0.500399027 SCALAR

Tổng tỷ lệ năng lượng giải phóng: G = G1 + G2 = -12.0958248 2/J m



KẾT LUẬN

Việc ứng dụng phương pháp phần tử hữu hạn vào phân tích, tính toán ....với

sự hỗ trợ của Ansys có ý nghĩa quan trọng trong việc phân tích, đánh giá độ bền

phá hủy của các kết cấu được làm vật liệu khác nhau sử dụng các ngành kỹ thuật,

công trình cũng như trong đời sống hàng ngày.

Trong thời gian qua, với sự nỗ lực của bản thân cùng với sự giúp đỡ tận tình

của thầy giáo Ths.Trần Thanh Hải và các thầy cô giáo trong bộ môn Kỹ Thuật

Máy em đã hoàn thành đồ án của mình.

Đồ án đã đạt được các kết quả sau:

1. Nghiên cứu, tìm hiểu ứng dụng của phương pháp phần tử hữu hạn vào việc

tính toán. Tìm hiểu đặc điểm cũng như tính chất của một số phần tử cơ bản

2. Nghiên cứu một phương pháp để tính toán năng lượng giải phóng của một

vết nứt khi nó được hình thành - VCCT

3. Tìm hiểu phần mềm Ansys, một số ứng dụng của nó trong các lĩnh vực đời

sống. Tiếp cận và sử dụng một phần trong các modul của nó để hỗ trợ cho việc

phân tích, tính toán trạng thái của kết cấu (biến dạng, ứng suất,..) và xác định

năng lượng giải phóng khi hình thành một vết nứt của một cấu trúc hai vật liệu.

Sau quá trình thực hiện đề tài, em đã thu được những kết quả yêu cầu. Tuy

nhiên, do trình độ bản thân và thời gian có hạn nên việc thực hiện đề tài vẫn còn

những hạn chế.

Để hoàn thiện đề tài em rất mong nhận được sự đóng góp, đánh giá của các

thầy cô giáo cùng toàn thể các bạn.

Em xin chân thành cảm ơn !



TÀI LIỆU THAM KHẢO

[1]. FRACTURE MECHANICS – FUNDAMENTALS AND APPLICATINONS

T.L. Anderson - 2nd Edition, CRC Press, Boca Raton, Florida, USA, 1995

[2]. SỨC BỀN VẬT LIỆU

Vũ Đình Lai, Nguyễn Xuân Lựu, Bùi Đình Nghi – NXB GTVT 2005

[3]. PHƯƠNG PHÁP PHẦN TỬ HỮU HẠN

Chu Quốc Thắng – NXB KHKT

[4]. HƯỚNG DẪN SỬ DỤNG ANSYS

Đinh Bá Trụ, Hoàng Văn Lợi – NXB KHKT

[5]. UNIVERSITY OF ALBERTA – ANSYS TUTORIALS

[6]. PHƯƠNG PHÁP PHẦN TỬ HỮU HẠN LÝ THUYẾT VÀ LẬP TRÌNH

Nguyễn Quốc Bảo, Trần Nhất Dũng – NXB KHKT

Education

Báo cáo tot nghiep chuyên ngành cơ khí