ГБОУ СОШ № 71

Средние величины от математики до модельного бизнеса

Выполнила: Козак Екатерина, ученица 9 класса

Научный руководитель: Павлова А.А.,учитель физики и информатики, к.г.-м.н.

•

Актуальность

Люди стремятся к идеалу,совершенству

А на пути к идеалу есть золотая середина, которую нужно определять и знать

Математика – самая лучшая наука!

В каждой естественной науке заключено столько истины, сколько в ней есть математики.

И. Кант

Математика - это язык, на котором написана книга природы. Г. Галилей

Математику только зачем учить надо, что она ум в порядок приводит. М.В. Ломоносов

изучить

Средние величины

в математике

Связь между средними

величинами

Использование средних величин в

повседневной жизни на примере моделей

и актрис

Цель исследования

Задачи исследования

Рассмотреть понятие среднего в алгебре,

Рассмотреть средние величины в геометрии;

Установить связь между различными значениями средних;

Рассмотреть понятие арифметико-геометрического среднего;

Рассмотреть применение различных средних в решении задач разного уровня: в математике и модельном бизнесе.

Средние величины в математике

Среднеев алгебре

Арифметическое

Геометрическое

Квадратичное

Гармоническое

Средние величины в математике

Среднеев геометрии

Арифметическое (средняя линия, котораяделит стороны пополам)

Геометрическое (Высота прямоугольного треуг-ка есть среднее г. между проекциями катетов на гипотенузу)

Квадратичное(отрезок х, делящийтрапецию на две равновеликие части)

Гармоническое(отрезок КF, проходящий черезточку пересечения диагоналей)

Понятие среднее геометрическое связано с понятием «золотое сечение»

Это деление величины на две части в таком отношении, при котором меньшая часть так относится к большей, как большая ко всей величине. - «золотое число», корень уравнения

x2-x-1=0

«Золотое сечение»

Связь между средними величинами1) Среднее геометрическое двух чисел есть среднее

геометрическое их среднего арифметического и среднего гармонического:

2) Неравенство Коши: Среднее арифметическое любых двух неотрицательных

чисел a u b не меньше их среднего геометрического. Равенство имеет место в том случае, когда а=b

Связь между средними величинами3) Для любых a, b > 0

m-среднее гармоническое основание;

n-среднее геометрическое;

p-среднее арифметическое;

q- среднее квадратичное.

Пример использования средних величин врешении олимпиадных задач

Задача. Найдите наименьшее значение выражения

Решение. Из условия следует, что числа x и y не равны нулю и имеют одинаковые знаки. Применяя неравенство

между средним арифметическим и средним геометрическим к сумме

получим

Сделаем замену переменных:

xyx

y+

y

x

33

16

abb+a 2

.81633

xyxyxyx

y+

y

x

16

2

32

2

32

116

16

1

32

18t

33

2

=y,=x

приядостигаетсзначениенаименьшееЭто

xyx

y+

y

xьноСледовател

параболы)(ввершин=tточкевядостигаетсиравенtвыраженияt=xy

Арифметико-геометрическое среднее

Возьмём два числа, a и b.

Известно по Гауссу, что последовательности {an} и {bn} стремятся к общему пределу

Применение «золотого сечения» в повседневной жизни

Мы измеряли соотношения по фотографии актрисы и модели в анфас:

• Расстояние между переносицей носа (a, b, c);• Размеры овала лица (l, m);• Расстояние между лбом и кончиком носа и всем овалом лица

(g, h,n);• Размеры соотношения границ губ, носа и глаз.

Таблица. Измеренные соотношения у моделей и актрис (часть измерений)

Некоторые модели и актрисы а, см b,см с, см g, см h, см n, см l, cm m, cm  m/l

Разница

Агнес Брукнер 0,5 0,6 0,5 1 1 1 4 2,3 1,73 1,06Алиса Мелано 0,5 0,5 0,5 1 1,2 1,3 4 2,5 1,6 0,98Ана де Армас 0,5 0,5 0,5 1 1,1 0,9 3 1,8 1,66 1,02Анджели Джоли 1,50 1,50 1,50 3,00 3,00 3,00 9,80 5,80 1,68 1,03Анна Торв 0,60 0,90 0,60 1,40 1,30 1,30 4,50 2,60 1,73 1,06Беатрис Розен 0,70 0,90 0,70 1,50 1,50 1,30 5,00 3,00 1,66 1,02Бриттани Сноу 0,50 0,60 0,50 1,00 1,00 1,00 4,00 2,30 1,73 1,06Вайнона Райдер 0,70 0,70 0,70 1,50 1,50 1,50 4,50 2,80 1,60 0,98Гвинет Пелтроу 1,10 1,10 1,10 1,50 2,00 2,00 7,00 4,30 1,62 0,99Даниэль Панабейкер 0,60 0,90 0,60 1,50 1,50 1,50 5,00 3,00 1,66 1,02Деми Мур 0,60 0,80 0,60 1,20 1,50 1,20 5,00 3,00 1,66 1,02Дженнифер Лопез 0,50 0,60 0,50 1,00 1,00 0,90 3,50 1,90 1,84 1,12Дженифер Энистон 0,60 0,70 0,60 1,20 1,50 1,50 4,80 2,70 1,77 1,08Джессика Альба 0,70 0,70 0,70 1,20 1,20 1,20 5,00 3,00 1,66 1,02Джулианна Хаф 0,70 0,70 0,70 1,50 1,50 1,70 5,00 3,00 1,66 1,02Джулия Робертс 1,00 1,20 1,00 2,00 2,00 2,00 7,00 4,00 1,75 1,07

По данным исследования оказалось, что всего у 9 из 100 моделей оказались почти идеальные соотношения (Анджелина Джоли, Мила Йовович, Джессика Альба, Вайнона Райдер, Наталья Водянова и другие). У остальных наблюдались как небольшие отклонения от золотого сечения, так и сильные, например, у Кейт Мосс.

Результаты измерений

ВыводыСредние величины играют огромную роль в точных

науках. С помощью них мы обобщаем имеющийся материал или данные, находим закономерность изучаемого явления, характеризуем общее для всего. Отклонение индивидуального параметра от среднего – это проявление процесса развития. Поэтому в средней величине и отражается характерный, типичный, реальный уровень изучаемых явлений.

Таким образом, изучая средние величины мы приближаемся к истине.

Спасибо за внимание!