1

А

В С

Д

А1

В1 С1

Д1

А В

С

Д

2

Секущей плоскостью, называют любую плоскость, по обе стороны от которой имеются точки данного многогранника. Секущая плоскость пересекает грани многогранника по отрезкам. Многоугольник, сторонами которого являются эти отрезки, называется сечением многогранника.

В

Сечением параллелепипеда может быть:

В

В1

А

А1

С

С1

D

D1

В

В1

А

А1

С

С1

D

D1В1

А

А1

С

С1

D

D1

В

В1

А

А1

С

С1

D

D1треугольник

четырехугольник шестиугольник

пятиугольник

3

Сечением тетраэдра может быть:

СА

В

D

А

В

С

D

треугольник

М N

четырехугольник

M N

KP

4

Теория, необходимая при построении сечений

• Если две точки прямой лежат в плоскости, то все точки прямой лежат в этой плоскости

α

5

AB Є αВ

Є αB

ЄA α

А

Теория, необходимая при построении сечений

• Через любую точку пространства, не лежащей на данной прямой, проходит прямая, параллельная данной, и притом только одна

b

β

а

◦

М

6

Теория, необходимая при построении сечений

• Если две параллельные плоскости пересечены третьей, то линии их пересечения параллельны

║

b a ║

7

α β

γ

α

βb

γ β b ∩ =

=

a

γ α a ∩

α

β

А В

С

D

M

N

Построить сечение тетраэдра плоскостью , проходящей через точки М, N, К.

α

1) M, N Є (ABD)

Є M, N α=

(ABD)

∩ α MN

M,K Є α

2) M,K Є (АСD)

K

(АСD) ∩ α = MK

3) Є (BCD)

K,N

K,N Є α ∩ =α(BCD)

KN

4) (MNK) – плоскость сечения α

8

При построении сечений часто используется метод следа, необходимость в котором возникает в том случае, если в плоскости грани многогранника лежит всего одна точка плоскости сечения

В

В1

А

А1

С

С1

D

D1

Є K, F (DCC1)

(А1В1С1) (DCC1)∩ = D1C1

N

ММ, N Є (А1В1С1)

Є К (DCC1)

К

P

KF∩ CC1 = P

F

МN ∩ D1C1 = F

Используя метод следа найдите вторую точку плоскости сечения и грани АDD1

9

В

В1

А

А1

С

С1

D

D1

N

К

М

P

F

E

L

(A1B1C1) ЄM, N

(ADD1) ЄK (A1B1C1)

(ADD1) ∩ = A1D1

∩ = A1D1

MN E

Є (ADD1) K,E

= ∩ KE AA1 L

М

В

В1

А

А1

С

С1

D

D1

N

К

F

P

L

(α-плоскость сечения)

(CDD1) (ABB1)║

∩ α (ABB1) = ML

α ∩ (CDD1) = KP ║KP ML

(ВСС1)

α ∩ =

МNα Є М, N

1) (ВСС1)

Є М, N

2)(ВСС1)

(ADD1) ║

∩ (ВСС1)

α = MNE(ADD)

∩ α = KE

║ KE MN

Є (ADD1)

3) КЕ

M Є(ABC )

F

P

L

Используя метод следа найдите вторую точку сечения, принадлежащую плоскости АВС

Достройте сечение

12

Построить сечение параллелепипеда плоскостью, проходящей через

точки М, N, К.

N

М

К

В

В1

А

А1

С

С1

D

D1

Построить сечение тетраэдра плоскостью , проходящей через точки М, N, К.

α

А В

С

D

13

N

N Є (ABD)

M

(ABD)М Є1)

( АСD)2) М Є

K

K Є ( АСD)MK Є ( АСD)

(ABD)3) М, N Є

(ABC)K Є(ABD) ∩ (ABC) = AB

L

МN ∩ AB = L

MN Є (ABD)

K, L Є (ABC)

R

KL ∩ BC = R

(BCD)Є4) R

N Є (BCD)RN Є (BCD)

α5) (MNRK) – искомая плоскость