Cach giai toan

Caïch giaíi toaïn

[Âáy laì pháön lyï thuyãút toaïn hoüc 3 nàm 10, 11, 12. Så læåüc laûi 1 chuït, coìn nhiãöu pháön næîa chæa

âæa vä âæåüc. Chuïc caïc baûn hoüc täút!]

NHAÌ XUÁÚT BAÍN THÄN 1 FC

Caïch giaíi toaïn PTX

Moüi chi tiãút thàõc màõc xin liãn hãû: www. fb.com/toansocaphue

1

1. (1 x)m ny x våïi 0 1x , m,n Z thç .

0( )

m n

m n

m ny

m n

2. (1 x )m ny x våïi 0 1x , m,n Z thç 0m

nm n

ym n m n

3. ( )f x k min ( )x f x k

4. ( )f x k coï nghiãûm max ( )f x k

5. ( )f x k max ( )x f x k

6. ( )f x k coï nghiãûm min ( )f x k

7. (0; )2

x

thç sinx x tanx

sinx .cosx sinx x

1. 1+2+3+..+n = ( 1)

2

n n

2. 1.2+2.3+3.4+…+n(n+1)= ( 1)( 2)

3

n n n

3. …

' ''3

3 2 23

( ); ( )

3 3 ( )

u g xy u u g x y

u g x

Âaûo haìm nhanh:

2'

ax b ad bcy y

cx d cx d

*

2 2

2

2'

ax bx c adx ae be cdy y

dx e dx e

1

1 ''

n nn

uy y

u n u



2

221 1 1 1 1 1

22 21 1 1 1 1 1

( ) 2'

ab a b x x ac a c bc b cax bx cy y

a x b x c a x b x c

Tiãûm cáûn xiãn: tæì haìm säú: 2ax bx c

ydx e

TCX: 2 2

e bd aea bd aey x

d d d dx e

nãúu e(bd-ae) = 0 thç TCX:

2

a bd aey x

d d

TÄØNG Sn cuía 1 cáúp säú nhán luìi vä haûn 11;

1

uS u

q

: laì säú haûng âáöu, cäng bäüi 1q

Täøng n säú haûng âáöu tiãn cuía cáúp säú nhán ; ( 1)nu q 11 1

1; .

1

nn

n n

qS u u u q

q

1. Vaìi âiãøm nhoí cáön læu yï:

1.1 Âäö thë haìm säú y=f(x) vaì y= -f(x) âäúi xæïng nhau qua truûc Ox

1.2 Âäö thë haìm säú chàôn nháûn Oy laìm truûc âäúi xæïng.

1.3 Âäö thë haìm säú leí nháûn gäúc toüa âäü O laìm tám âäúi xæïng.

1.4 Tæì âäö thë (C): våïi y= f(x) âäö thë (C1): y= f x

- Ta coï: ( )

( )( )

f xy f x

f x

nãúu

( ) 0

( ) 0

f x

f x

- Tæì âäö thë (C) âaî veî ta suy ra nhæ sau:

Giæî nguyãn pháön âäö thë phêa trãn Ox

Láúy âäúi xæïng pháön âäö thë phêa dæåïi Ox

Boí pháön âäö thë phêa dæåïi Ox ta thu âæåüc âäö thë (C1) cáön tçm

1.5 Tæì âäö thë (C): våïi y= f(x) âäö thë (C2): y= ( )f x

- Ta coï: ( )

( )( )

f xy f x

f x

nãúu

0

0

x

x


Giæî nguyãn pháön âäö thë bãn phaíi Oy

Láúy âäúi xæïng qua Oy pháön âäö thë nàòm bãn phaíi

Boí pháön âäö thë phêa bãn traïi ta thu âæåüc âäö thë (C2) cáön tçm

1.6 Tæì âäö thë (C): våïi y= f(x) âäö thë (C3): ( )y f x



3

- Ta coï:

( ) 0

( ) ( )

( )

f x

y f x y f x

y f x

nãúu 0

0

y

y


Giæî nguyãn pháön âäö thë phêa trãn Ox

Láúy âäúi xæïng pháön âäö thë nàòm phêa trãn Ox

Boí pháön âäö thë phêa dæåïi ta thu âæåüc âäö thë (C3) cáön tçm.

2. Khi viãút phæång trçnh âæåìng thàóng hoàûc tiãúp tuyãún cuía haìm säú nãn viãút dæåïi daûng âån

giaín nháút, daûng chung nhæ

y=kx+m

y=k(x-x0)+y0 våïi k laì hãû säú goïc; k= tan ; laì âäü däúc. k>0: âäö thë haìm säú hæåïng lãn;

k<0: âäö thë haìm säú hæåïng xuäúng.

3. Khaío saït haìm säú coï càn thæïc:

3.1 Tçm D: táûp xaïc âënh

3.2 Tçm y’

3.3 Xem y”(x0) >0 hay <0 âãø kãút luáûn cæûc trë

3.4 Tçm phæång trçnh tiãûm cáûn xiãn ( )

limx

f xa

x vaì lim ( )

xb f x ax

3.5 Baíng biãún thiãn vaì veî âäö thë

3.6 Chè ra âäö thë haìm säú càõt truûc hoaình, truûc tung taûi âiãøm naìo.

4. Khi aïp duûng âënh lyï Viet nhåï kiãøm tra laûi âiãöu kiãûn cáön vaì âuí

5. Khi tçm pt tiãûm cáûn xiãn cuía âths coï tham säú m. tçm âiãöu kiãûn âãø täön taûi tiãûm cáûn xiãn.

( )( )

( )

c my a m x b

g x giaí sæí c(m) = 0 pt tråí thaình âæåìng thàóng khäng phaíi tiãûm cáûn

xiãn. Giaí sæí a(m) = 0 tiãûm cáûn xiãn tiãûm cáûn ngang. Kãút luáûn: khi a(m) vaì c(m)

0 thç ta coï tiãûm cáûn xiãn.

6. Nãúu Phæång trçnh báûc 3 khäng coï nghiãûm âàûc biãût thç âãø 2 âäö thë tiãúp xuïc nhau ta phaíi

duìng ( ) ( )

'( ) '(x)

g x f x

g x f

coï nghiãûm âãø âiãöu kiãûn tiãúp xuïc.

7. Khi tênh khoaíng caïch tæì 1 âiãøm âãún âæåìng thàóng, chàóng haûn âiãøm thuäüc âäö thë 2

;' '

ax bx c ax by y

a x b cx d

;…viãút laûi chuïng dæåïi daûng 1

' '

cy a x b

a x b

;

11

cy ax b

cx d

. âãø tênh khoaíng caïch aïp duûng cäng thæïc, Báút âàóng thæïc Cosi (nãn

âæa vaìo dáúu giaï trë tuyãût âäúi sau âoï khai triãøn ra)



4

8. Khi viãút pt tiãúp tuyãún haìm säú coï daûng:

3 2

4 3 2

y ax bx cx d

y ax bx cx dx e

laìm phæång phaïp tiãúp âiãøm

2

2

;

y ax bx c

ax b ax bx cy y

cx d dx e

laìm phæång phaïp hãû säú goïc

Cuû thãø phæång phaïp tiãúp âiãøm: goüi M0(x0;y0) laì tiãúp âiãøm. Ta coï pt tiãúp tuyãún:

0 0 0: '( )( )y y f x x x vç ( ; )A AA x y 0 0 0'( )( )A Ay y f x x x giaíi tçm x0; y0.

Cuû thãø phæång phaïp hãû säú goïc: goüi laì âæåìng thàóng qua A: ( )A Ay y k x x laì

tiãúp tuyãún nãn ( ) ( )A Af x k x x y coï nghiãûm keïp tçm k.

9. Khi tháúy caïc hãû säú cuía phæång trçnh hay âiãøm ( ; )A AA x y , B, C… maì ( ; )A Ax y …laì caïc

säú phæïc taûp, ta chæïng minh BA = BC âãø kiãøm tra xem B coï laì trung âiãøm cuía AC hay

khäng.

10. Baìi toaïn yãu cáöu xaïc âënh tiãúp tuyãún cuía âäö thë haìm säú coï 2 tiãúp âiãøm. Goüi tiãúp tuyãún laì

y=ax+b; pt f(x) =ax+b coï 2 nghiãûm keïp phán biãût2 2( ) ( ) (ax b) (x m) ( ) ;F x f x x n x âäöng nháút âa thæïc F(x) vaì

2 2(x m) ( )x n ta tçm âæåüc a,b,m,n.

11. Daûng tçm m âãø 2 giao âiãøm A, B cuía âäö thë (H) vaì (D) âäúi xæïng nhau qua coï D

thç:

Tçm phæång trçnh hoaình âäü giao âiãøm cuía (H) vaì (D)

Tçm âiãöu kiãûn âãø (H) vaì (D)giao nhau taûi 2 âiãøm phán biãût (âoï laì phæång trçnh

hoaình âäü coï 2 nghiãûm phán biãût) chuï yï a 0

Tçm giao âiãøm C cuía vaì D do D

A, B âäúi xæïng nhau qua maì D nãn C laì trung âiãøm cuía A, B

Aïp duûng âënh lyï Viet suy ra m cáön tçm

12. Tçm tám âäúi xæïng cuía âäö thë (H) laì haìm phán thæïc.

- Ta tçm A laì giao âiãøm cuía tiãûm cáûn

- Chuyãøn âäøi hãû truûc toüa âäü

- Chæïng minh haìm säú måïi laì haìm leí

13. Haìm säú khäng coï cæûc âaûi hoàûc cæûc tiãøu âaûo haìm báûc nháút y’ vä nghiãûm hoàûc coï

nghiãûm keïp. Tæïc laì '' 0y vaì y’ =0 coï nghiãûm keïp laì ' 0

14. Tçm nghiãûm âàûc biãût cuía haìm säú tçm âiãøm cäú âënh maì âäö thë haìm säú âi qua

15. Âäö thë (C) laì haìm báûc 3 thç

C Ox taûi 3 âiãøm phán biãût coï hoaình âäü låïn hån thç



5

max min

'

. 0

( ) 0

x

0

0

Cucdai

y

y y

f

a

hoàûc

max min

'

. 0

( ) 0

x

0

0

Cuctieu

y

y y

f

a

C Ox taûi 3 âiãøm phán biãût coï hoaình âäü nhoí hån thç

max min

'

. 0

( ) 0

x

0

0

Cucdai

y

y y

f

a

hoàûc

max min

'

. 0

( ) 0

x

0

0

Cuctieu

y

y y

f

a

C tiãúp xuïc Ox chè coï thãø taûi cæûc âaûi cæûc tiãøu thç: max min

' '

. 0

' 0y y

y y

hoac

16. Hai âiãøm âäúi xæïng nhau qua âæåìng phán giaïc thæï 1 y = x thç

1 2 2

1 2 1 2

1 2 1

( ) 2x y ax b

x x a x x by x ax b

17. Chæïng minh ràòng (CMR) trãn âäö thë haìm säú coï vä säú càûp âiãøm sao cho tiãúp tuyãún våïi

âäö thë haìm säú taûi âiãøm âoï song song nhau. CMR âoaûn thàóng näúi caïc trung âiãøm, càûp

âiãøm áúy luän luän âäöng quy.

Caïch laìm:

17.1 Caïch 1

17.1.1 Ta chæïng minh coï vä säú càûp âiãøm maì taûi âoï âaûo haìm báûc nháút cuía haìm säú

bàòng nhau tæïc laì chæïng minh y’ = k coï 2 nghiãûm phán biãût (âãø chæïng minh ta phán têch

k ra nheï).

17.1.2 Ta chæïng minh caïc càûp âiãøm naìy âäúi xæïng våïi nhau qua tám âäúi xæïng cuía âäö thë

(âäúi våïi haìm phán thæïc) tæïc laì trung âiãøm cuía caïc càûp âiãøm laì tám âäúi xæïng I

17.2 Caïch 2

17.2.1 CMR caïc càûp âiãøm âäúi xæïng nhau qua tám I coï tiãúp tuyãún taûi âoï song song

nhau (tæïc laì cuìng hãû säú goïc)



6

17.2.2 Vç I laì tám âäúi xæïng cuía âäö thë nãn coï vä säú càûp âiãøm.

18. Muäún CM 3 âiãøm thàóng haìng ta chæïng minh chuïng coï cuìng hãû säú goïc. Giaí sæí:

; ; ( ; );C ;A B CA a y B b y c y thç A, B, C thàóng haìng khi 1 2tan tanC BB A y yy y

b a c b

19. Âäö thë haìm säú báûc 2/báûc 1 coï giaï trë cæûc tiãøu, cæûc âaûi maì

yCÂ.yCT > 0 âäö thë haìm säú y = f(x) càõt truûc hoaình taûi 2 âiãøm phán biãût tæïc laì

phæång trçnh f(x) = 0 coï 2 nghiãûm phán biãût.

yCÂ.yCT < 0 âäö thë haìm säú y = f(x) khäng càõt truûc hoaình tæïc phæång trçnh f(x) = 0

vä nghiãûm

20. Âäi khi viãûc âàût áøn phuû yãu cáöu phaíi xaïc âënh chênh xaïc vuìng giaï trë cuía biãún do âoï

âãø laìm âæåüc âiãöu naìy ta thæåìng duìng âaûo haìm âãø xeït räöi suy ra âiãöu kiãûn cuía biãún.

21. Tçm âiãøm maì âäö thë haìm säú khäng âi qua (hoàûc âi qua) våïi moüi m (m laì tham säú).

Ta coï âiãøm maì âäö thë haìm säú khäng âi qua våïi moüi m bao gäöm nhæîng âiãøm taûi âoï haìm

säú khäng xaïc âënh hoàûc âäö thë coï âiãøm cäú âënh A(xA; yA) (âiãøm naìy âäö thë luän âi qua våïi

moüi m – âoüc kyî âãö laì dãù nháûn ra làõm) thç nhæîng âiãøm naìy laì âiãøm maì âäö thë khäng âi qua

(hoàûc âi qua).

22. CM hoü âæåìng cong tiãúp xuïc nhau:

tçm âiãøm cäú âënh A(xA; yA)

moüi âæåìng cong âãöu âi qua A(xA; yA) 0'( ) ;k y x const m

Vç k laì hàòng säú do âoï moüi âæåìng cong âãöu coï tiãúp tuyãún chung taûi âiãøm A nãn

chuïng tiãúp xuïc nhau!

23. Mäüt vaìi læu yï:

23.1 Phæång trçnh báûc 3 bao giåì cuîng coï nghiãûm.

23.2 Càûp âiãøm caïch âãöu 2 truûc toüa âoü laì 0 0y x

23.3 Quyî têch daûng x2+ y2 + 2ax + 2by =C (C>0) laì âæåìng troìn tám O(-a;-b)

23.4 Tçm 2 âiãøm thuäüc 2 nhaïnh cuía âäö thë (C) sao cho khoaíng caïch giæîa chuïng laì nhoí

nháút?

Ta coï tiãûm cáûn âæïng: x= x0 x1 < x0 < x2

Âàût x1 = x0 – a vaì x2 = x0 + b a; b >0

23.5 CM x0 laì truûc âäúi xæïng vaì tênh duy nháút cuía noï?

Ta láúy 2 âiãøm âäúi xæïng nhau qua x0 räöi kiãøm tra xem 0 0( ) ( ); xf x x f x x hay khäng.

23.6 CM tám âäúi xæïng I(xI;yI) vaì tênh duy nháút.

Ta c/m nãúu x0 + x MXD thç x0 – x cuîng MXD 0 0

0

( ) ( );

2

f x x f x xy x



7

23.7 Khi gàûp haìm säú maì yï nghé laì duìng âãún âaûo haìm thç haìm säú âoï phaíi laì 1 áøn säú.

23.8 Tçm hãû säú goïc cuía âæåìng thàóng qua âiãøm A(a;b) vaì âiãøm B(c;d)

Ta coï: Hãû säú goïc laì d b

kc a

suy ra phæång trçnh âæåìng thàóng laì

d b d by kx m x a b

c a c a

23.9 Tënh tiãún âäö thë: tæì âäö thë y= f(x) suy ra caïc âäö thë sau:

Âäö thë y= f(x+a)

Âäö thë y= f(x)+b

23.10 Våïi haìm phán thæïc: yãu cáöu tçm âiãøm cäú âënh maì (C) tiãúp xuïc våïi âæåìng thàóng cäú

âënh taûi âiãøm âoï thç laìm theo caïch: tçm âiãøm cäú âënh thuäüc (C) räöi viãút phæång trçnh

âæåìng thàóng cäú âënh áúy!

23.11 Haìm âa thæïc thç ta tçm tiãúp tuyãún täøng håüp bàòng caïch: Goüi A(x0;y0) laì âiãøm maì

âæåìng thàóng f(x): y = ax+ b luän tiãúp xuïc våïi (C): g(x) tæì âoï thay vaìo hãû phæång trçnh sau

âãø giaíi: 0 0

0 0

'( ) '( )

( ) ( )

f x g xm

f x g x

våïi m: tham säú

23.12 Khäng thãø xeït dáúu y’ do càn thæïc phæïc taûp. Âãø giaíi quyãút, ta cho giaï trë cuía áøn säú x

báút kç taûi thuäüc âoaûn âang xeït vaìo y’. Nãúu:

Kãút quaí cho ra giaï trë dæång thç y’ > 0

Kãút quaí cho ra giaï trë ám thç y’ < 0

23.13 Nãúu âãö yãu cáöu 2 cæûc trë cuía haìm säú nàòm vãö 2 phêa cuía Ox thç: y1.y2 <0 vaì ngæåüc laûi

Nãúu âãö yãu cáöu 2 cæûc trë cuía haìm säú nàòm vãö 2 phêa cuía Oy thç: x1.x2 <0

24. Cm âäö thë haìm säú báûc 3 khäng täön taûi 2 âiãøm sao cho tiãúp tuyãún taûi âoï vuäng goïc

nhau. Xeït y’: chuï yï nãúu: y’>0 x 0 1;x x sao cho y’(x0).y’(x1) = -1 âiãöu phaíi c/m

25. Âënh tham säú m âãø (Cm) càõt Ox láûp thaình cáúp säú cäüng:

25.1 Haìm báûc 3: y = ax3+ bx2 + cx+d coï y’ = 3ax2 + 2bx + c

Âãø (Cm) càõt Ox láûp thaình cáúp säú cäüng thç y = 0 coï 3 nghiãûm phán biãût

Nãúu a> 0: tënh tiãún sang traïi a âån vë

Nãúu a < 0: tënh tiãún sang phaíi âån vë

Nãúu b> 0: tënh tiãún lãn phêa trãn b âån vë

Nãúu b < 0: tënh tiãún xuäúng dæåïi âån vë



8

1 3 2

1 2 3

2

2

03

' 3 0

x x x

bx x x

a

by

a

b ac

2x m räöi thæí laûi âãø kiãøm tra

25.2 Haìm truìng phæång: y= ax4 + bx2 + c

Âãø (Cm) càõt Ox láûp thaình cáúp säú cäüng thç y = 0 coï khäng êt hån 3 nghiãûm phán biãût. Ta âàût

t = x2 0 thç

21 2

1 2 1

1 21 2 1 2

0 9 100 9

0

9 . .

bt

t t aP b b

t t tS a a

c ct t t t t ta a

26. Muäún âoaïn truûc âäúi xæïng cuía haìm truìng phæång báûc 4 (haìm chàôn), ta tçm trung bçnh

cäüng caïc nghiãûm cuía phæång trçnh y’ = 0, âoï chênh laì truûc âäúi xæïng cuía âäö thë haìm säú âaî

cho.

27. Âënh giaï trë cuía m (tham säú) âãø haìm säú âaût giaï trë Max, Min trãn âoaûn hoàûc khoaíng âaî

cho:

Caïch laìm: xeït f’(x) xem thæí f’(x) nhoí hån hay låïn hån khäng vaì xaíy ra dáúu bàòng taûi vë trê

naìo. Tæì âoï suy ra giaï trë max, min chênh laì f() våïi âiãøm thuäüc âoaûn hoàûc khoaíng âang

xeït. Vê duû âoaûn ; ,…

28. Tçm trãn âäö thë (C) càûp âiãøm âäúi xæïng nhau A, B qua I (a,b). Ta tiãún haình nhæ sau:

Thæûc hiãûn âäøi hãû truûc toüa âäü ( , )

OIT a b

Oxy IXY

. Ta coï A, B âäúi xæïng nhau qua I trong hãû

toüa âäü Oxy A, B âäúi xæïng nhau qua gäúc toüa âäü I trong hãû toüa âäü måïi

( ) ( )

( ) ( )

Y X f X

Y X f X

cäüng vãú theo vãú

X

Y

tæì âoï suy ra âæåüc x,y càûp âiãøm A, B

29. Âäö thë (C) cuía haìm f(x) coï tiãúp tuyãún taûi âiãøm I laì âæåìng thàóng d: y= ax + b

Nãúu f(x) < ax +b : âäö thë (C) nàòm dæåïi d

Nãúu f(x) > ax +b : âäö thë (C) nàòm trãn d

30. Tçm âiãöu kiãûn âãø haìm säú f(x) coï cæûc tiãøu maì khäng coï cæûc âaûi:

Ta viãút laûi f(x) thaình (x- ).g(x) = 0 tæì âoï suy ra âãø thoía maîn âiãöu kiãûn baìi toaïn thç

G(x) = 0 coï nghiãûm keïp

G(x) = 0 vä nghiãûm



9

x = laì 1 nghiãûm cuía g(x) = 0. Trong âoï hãû säú a cuía g(x) låïn hån khäng.

31. Tçm cæûc trë cuía haìm læåüng giaïc:

Duìng âiãöu kiãûn âuí thæï 2, âoï laì tçm y”(x0) våïi x0 laì nghiãûm cuía pt y’(x) = 0.

a) 2

0

A BA B

B

d)

2

0

0

0

A

BA B

B

A B

e) 2

0

0

B

A B A

A B

b) 0

.0

AA B AB

B

f)

0BA B

A B

c) 0 0

A B A BA B

B A

1. NOÏI CHUNG KHI BÀÕT ÂÁÖU LAÌM TOAÏN LOAÛI NAÌY TIÃÚN HAÌNH NHÆ SAU:

NHÁÛP PHÆÅNG TRÇNH VAÌO MAÏY TÊNH

GAÏN NGHIÃÛM ÂÀÛC BIÃÛT NHÆ TRÇNH BAÌY ÅÍ DÆÅÏI ÂÁY, KIÃØM TRA XEM COÏ BÀÒNG

0 ?

COÏ ÂÆÅÜC NGHIÃÛM ÂÀÛC BIÃÛT BÁY GIÅÌ TA MÅÏI VIÃÚT LAÛI PHÆÅNG TRÇNH NAÌY!

VD: viãút laûi pt nhæ sau: pt (X-1)(3X2+2X- 5 ) = 0

2. Phæång phaïp nhán liãn håüp

2.1 Daûng 1: ax b cx d kx h (nhán læåüng liãn thæïc 0 )

Duìng maïy tênh cáöm tay tçm nghiãûm âàûc biãût.(thæåìng laì caïc säú nguyãn sau: -2; -1;

0; 1; 2 hoàûc caïc säú nhæ -1.5; -1.25; -0.75; -0.5; 0.5; 0.75; 1.25; 1.5). Caïch duìng

maïy tênh nhæ sau: Nháûp caí biãøu thæïc vaìo maïy (chuyãøn hãút vãö 1 vãú räöi nháûp) sau

âoï duìng lãûnh Shift+ Solve gaïn giaï trë x = bao nhiãu âoï vaìo (caïc säú nhæ trãn) räöi

áún dáúu =. Nãúu cho kãút quaí bàòng 0 thç giaï trë x gaïn vaìo âoï laì nghiãûm. Caïch naìy ráút

hiãûu quaí vaì tuyãût våìi!

2.2 Daûng 2: 2ax b

kx hcx d

2.3 Daûng 3: ax b

kx hcx d



10

Caïch laìm hoaìn toaìn tæång tæû nhæ daûng 1, tuy nhiãn, chuï yï 1 chuït laì nãúu

cx d khäng biãút dáúu thç ta xeït thãm træåìng håüp 0cx d træåïc khi laìm

hè.

3. Âàût áøn phuû

3.1 Daûng 1: na ax b ax b thç ta âàût nt ax b vaì âæa vãö hãû âäúi xæïng.

3.2 ( ) ( ) ; , 2n ma f x b f x c m n

Âàût ( ) ( )

( )( )

nn

n mmm

u a f x u v cu a f x

u v a bv b f xv b f x

tæì âoï dãù daìng giaíi âæåüc u, v

räöi tçm nghiãûm cuía phæång trçnh

4. Duìng phæång phaïp khaío saït haìm säú:

g(x)= f(m) coï nghiãûm x D haìm f(m) coï f gT T

5. Phæång phaïp Veïc Tå: . .a b a b

a b a b

dáúu bàòng xaíy ra khi a

cuìng phæång, chiãöu b

hoàûc 0a

hoàûc 0b

6. Phæång phaïp âäúi láûp chæïng minh:

a) f(x) g(x) b) f(x) g(x) c) f(x) A g(x)

d) f(x) A g(x)

e) f(x) càõt g(x) taûi 1 âiãøm duy nháút. Xeït dáúu “=” xaíy ra bàòng caïch sæí duûng Báút

âàóng thæïc Cosi, Bunhiacopxki, haìm f(u) = f(v)

7. Phæång phaïp læåüng giaïc hoïa:

7.1.1 Khi áøn x ;a a âàût

sin ; ;2 2

cos ; 0;

x a t t

x a t t

7.1.2 Khi áøn 0 x a âàût

2

2

sin ;0 t2

cos ;0 t2

x a t

x a t

7.1.3 Phæång trçnh chæïa càn thæïc: 2 2x a âàût

; 0;cos

ax t

t

2

; ;sin 2 2

ax t

t

0

7.1.4 Phæång trçnh chæïa càn: 2x a âàût tan ;x a t t ;2 2

8. Phæång phaïp phaín chæïng: âoï laì chæïng minh hãû vä nghiãûm



11

9. Khi giaíi phæång trçnh càn thæïc maì 2 vãú khäng thãø bçnh phæång hoàûc láûp phæång âæåüc

(nãúu âæåüc thç ráút khoï khàn) ta nghé ngay âãún viãûc chia 1 vãú phæïc taûp cho vãú âån giaín

räöi duìng âaûo haìm tçm nghiãûm cuía phæång trçnh naìy!

10. Âäi luïc phæång phaïp hãû toüa âäü cuîng âæåüc sæí duûng 1 caïch linh hoaût, giuïp baìi toaïn tråí

nãn âån giaín hån. Choün âiãøm coï toüa âäü laì 1 haìm theo phæång trçnh âaî cho,…

11. Chuï yï: Khi giaíi phæång trçnh càn thæïc, ta haûn chãú bçnh phæång 2 vãú hoàûc 1 vãú cuía

phæång trçnh khi phæång trçnh càn thæïc âoï khaï phæïc taûp (vç nhæ váûy seî laìm baûn räúi

hån). Tuy nhiãn khäng hàón khi naìo cuîng loaûi boí phæång phaïp bçnh phæång naìy, baûn

phaíi kheïo leïo, tinh yï khi læûa choün phæång aïn naìy (giaí sæí ruït goün båït caïc pháön tæí bàòng

caïch âàût áøn phuû), biãút âáu noï laì chça khoïa âãø giaíi toaïn!

a) 2 20BA B A B

A B

b) 2 2

0BA B B A B

A B

c) A B A B A B

d) 2 2A B A B ; 2 2A B A B hoàûc ( )( ) 0A B A B

e) , 0

,neuA 0

A neuAA

A

f) 2 2A B A B

g) 0 0

( ) 0( ) 0 ( ) 0

A Aa A bf x

aA bf x aA bf x

h) NÃÚU A, B R THÇ

- A>B 3 3A B

- A=B 3 3A B

- A>B>0 2 2A B

- 2 2

, 0

A BA B

A B

1

' '2

ax by c

a x b y c

coï D ' 'ab ab ; '

1 2 ;xD c b c b '2 1yD ac a c



12

Nãúu D ≠ 0 hoàûc ' '

a b

a b hãû coï nghiãûm duy nháút.

x

y

Dx

D

Dy

D

Nãúu D=0 vaì 0

0

x

y

D

D

hoàûc ' ' '

a b c

a b c thç hãû vä nghiãûm

Nãúu D=Dx=Dy= 0 hoàûc ' ' '

a b c

a b c hãû coï vä säú nghiãûm

Khi giaíi hãû phæång trçnh maì 1 phæång trçnh tçm âæåüc nghiãûm dãù daìng (taûm goüi laì pt1) coìn

phæång trçnh coìn laûi tçm khoï ra, hoàûc chæa ra (taûm goüi laì pt2) thç ta nghé ngay âãún duìng

phæång phaïp âaûo haìm vaì duìng âaûo haìm chæïng minh phæång trçnh naìy (pt2) cuîng coï nghiãûm

thoía maîn phæång trçnh kia (pt1)!

Ngoaìi ra coìn coï caïc phæång phaïp sau: cäüng træì vãú theo vãú (ta tçm BSCNN cuía 1 trong 2 áøn åí 2

phæång trçnh cuía hãû räöi thæûc hiãûn cäüng-træì), xem 1 áøn (giaí sæí y ) laì tham säú giaíi phæång trçnh

theo áøn coìn laûi (giaí sæí x), phæång phaïp âäøi biãún, phæång phaïp âàût áøn phuû, phæång phaïp hãû

toüa âäü (tæì âãö baìi kheïo leïo choün càûp âiãøm, âiãøm coï toüa âäü laì haìm theo x, y...),…

a c a c a b c d

b d b d b d

1. Haìm f(x) coï daûng báûc 2 / báûc 1 âæa vãö phán têch thaình báûc nháút. Vd:2 4

3

tdt

t

2. Daûng f(x) coï dáúu giaï trë tuyãût âäúi thç læu yï vãö dáúu f(x): ám, dæång trong khoaíng naìo

duìng ( ) ( ) ( ) ;b c b

a a c

f x dx f x dx f x dx ;c a b

Vd: 2

0 0

2

cosx cos cos 2dx xdx xdx

; do cosx 0 trong 0;2

; cosx<0 trong

;2

3. Têch phán:

- Biãún âäøi: ( )

'

( )

( ) ( ) ( )u bb

a u a

u x f u x dx f u du



13

Chuï yï: khi biãún âäøi phaíi xem âäøi biãún coï nghéa khäng nãúu khäng moüi tênh toaïn seî

vä nghéa

- Tæìng pháön: '( ). ( ) u( ).v(x) ( ). ( )b b

b

aa a

u x v x dx x u x v x dx

Duìng têch phán biãún âäøi Duìng têch phán tæìng pháön

Khi haìm liãn tuûc [a,b] vaì coï âaûo haìm

quan hãû láùn nhau trong biãøu thæïc haìm

säú (chuï yï âoüc ké âãö, âaïnh giaï, nháûn xeït

kãút håüp caí so saïnh næîa khi laìm, khäng

väüi vaìng)

cos

( ) sinx ;

e

b

a x

x

I P x dx

sin

cos

axb

axa

e bxI dx

e bx

âàût

( )

cos

sinx

x

u P x

e

dv x dx

ln

arctanx( ) ;

arcsinx

arccosx

b

a

x

I P x dx

âàût

ln

arctanx

arcsinx

arccosx

( )

x

u

dv P x dx

4. Phaït hiãûn quan hãû âaûo haìm giæîa tæí vaì máùu âäøi biãún säú

Vd: sinx cosx

1 sin 2dxx

. Phaït hiãûn ra laì 1+sin2x=(sinx+cosx)2 maì

'

sinx cosx cos sinx (sinx cosx)x âàût áøn phuû sinx cosxt

dãù daìng viãút laûi âæåüc nhæ sau: 2

;dt dt

tt

5. Nãúu máùu hoàûc tæí coï daûng 2 2ax a x m truûc càn thæïc åí máùu hoàûc tæí.

6. Khi khäng phaït hiãûn âæåüc mäúi quan hãû âaûo haìm hoàûc khäng âàût âæåüc áøn phuû

duìng têch phán toaìn pháön.

7. Gàûp daûng (tanx)

cos 2

fdx

x hoàûc (tanx)

sin 2

fdx

x thç

22 2 2

2

2

sin2 cos (1 ) cos (1 tan )

cos

sin 2 x 2sinx.cosx 2cos . tanx

xcos x x x x

x

x



14

Khi âoï âàût t = tanx thç 2cos

dxdt

x

8. Gàûp sinx cosx tanx 1

tan( )sinx cosx 1 tanx 4

x

; 1 sinx 2 sin( )2 4

x

du=dx u=x+C (C laì hàòng säú) d(1+sin2x)=sin2xdx; d(1+cos2x)= -

sin2xdx

nãúu gàûp daûng coï cos2x, sin2x, sinx.cosx;…thç chia cho cos2x

nãúu gàûp daûng ( ). ( )n mf x f x âàût .. (x) ( )m nm n f t t f x

nãúu gàûp daûng xae b thç âàût xt ae b

nãúu gàûp daûng 1xae b

thç nhán caí tæí vaì máùu cho ex (âãø goün gaìng hån khi laìm)

nãúu gàûp daûng ( ).ln ( )p x f x våïi p(x) laì haìm âa thæïc hoàûc læåüng giaïc thç âàût

ln ( )

( )

u f x

dv p x dx

2 2 1(tan 1) (tan 1) (tanx)m mx dx x d

1

cos .sinm ndx

x x nãúu

+ ,m n leí thç nhán cho sinpx. p laì säú nguyãn leí

+ ,m n chàôn thç 1=sin2x+cos2x chuyãøn vãö 12tan 12cos

xx

Têch phán maì coï cáûn ;4 2

thç tæì

4

tanx hoàûc cotx; tæì

2

sinx hoàûc cosx.

Têch phán maì coï cáûn 0;1x nghé ngay âãún sint vaì cost . âàût x= sin2t dt = sin2tdt

2 2

1 1 1 1ln

2 2

du u adu

u a a u a u a a u a

;

2 2

1 1 1 1ln

2 2

du u adu

a u a u a u a a u a

Khi nhán læåüng liãn håüp nhåï ràòng máùu phaíi khaïc khäng

' 2

2

1tanx tan 1 ;

cosx

x ' 2

2

1cotx cot 1 ;

sinx

x

tan ln cosxdx x ; cot ln sinxdx x

Gàûp x3; x4;… tçm caïch ruït goün muî vaì âàût u hoàûc v= x3,x4…

Gàûp lnx, e-x,2

. xx e ,… tçm caïch ruït goün vaì âàût du hoàûc dv= lnxdx; dv= e-xdx; dv=2

. xx e dx

Gàûp f(x) = cos(lnx).dx u= cos(lnx) vaì dx=dv

Gàûp 2

1

1 x âàût x= tant; ;

2 2t

2

1

cosdx dt

t



15

Gàûp 2

1

1 x âàût x= sint; ;

2 2t

cosdx tdt

Gàûp sin .cosa bx x âàût u = cosx nãúu b>a; hoàûc u = sinx nãúu b<a

Nãúu coï mäúi quan hãû giæîa tan2x+ 1 vaì cos2x thç âàût 2

11 tanx 2

cosu udu dx

x

Nãúu coï mäúi quan hãû giæîa cot2x+ 1 vaì sin2x thç âàût 2

11 cotx 2

sinu udu dx

x

tanx vaì cos2x luän âi âäi våïi nhau. tæång tæû cho cotx vaì sin2x

Gàûp 2 2

1

x a viãút thaình

1 1 1

2 x a x a

chuï yï: viãút x-a træåïc x+a

Gàûp y= 2a x tênh

0

a

ydx thç âàût sinx a t hoàûc cosx a t våïi t

Gàûp 2

dx

x a liãn hãû âãún

2ln x x a

Gàûp haìm læåüng giaïc åí máùu, chuï yï cäú gàõng phán têch âæåüc åí tæí daûng tæång tæû nhæ åí

máùu hoàûc daûng âaûo haìm cuía máùu caïch laìm hay vaì nhanh nháút loaûi naìy!

Vd: .sin .cosx (c.cosx d.sinx) ( sin cos )

c.cosx d.sinx c.cosx d.sinx

a x b m n c x d x

ta tiãún haình âäöng nháút hãû

säú åí tæí räöi âàût t= b-x dt = -dx

Khi gàûp täøng hoàûc hiãûu cuía 1 biãøu thæïc x 1 biãøu thæïc ta nãn taïch ra thaình nhiãöu têch

phán tæìng pháön âãø tênh (âäi khi laûi dãù daìng hån so våïi khi âãø nguyãn maì tênh)

Gàûp 2 2( , )R u u a du âàût 2

sin

cos cos

a a tu du dt

t t

Gàûp 2(x, ) ;R ax bx c dx ( 0)a nãúu:

- a>0 âàût 2ax bx c t ax

- c>0 âàût 2ax bx c xt c

tiãún haình bçnh phæång lãn 2 vãú räöi ruït x theo t thay vaìo tçm

- nãúu 2 0ax bx c coï 2 nghiãûm phán biãût x1; x2 thç âàût

21( )ax bx c t x x

Gàûp , ,...,

m r

n sax b ax bR x dx

cx d cx d

thç âàût kax bt

cx d

; k: bäüi chung nhoí nháút cuía

;m r

n s

,a x

R x dxa x

våïi a>0, a x

a x

coï nghéa khi a x a nãn x+a>0

2( )x a x a



16

Do âoï: 2 2 2 2 2 2

a x a x dx xdxdx dx a

a x a x a x a x

âàût x=asint, ;

2 2t

Daûng

2;

n

Ax B dx

x ax bx c

, 0n a âàût

1x

t

Âäi khi biãøu thæïc dæåïi dáúu têch phán laì caïc biãøu thæïc cuía haìm læåüng giaïc báûc nháút vd:

cosx, sinx,… ta âàût tan2

xt

Haìm dæåïi dáúu têch phán (haìm báûc nháút) laì haìm leí (chàôn) thç âàût –t = x

Haìm dæåïi dáúu têch phán laì càn thæïc ( )f x thç âàût t= ( )f x

9. ÆÏng duûng têch phán têch diãûn têch, thãø têch:

9.1 Diãûn têch hçnh thang cong: haìm y = f(x) liãn tuûc trãn [a, b] thç têch phán giåïi haûn båíi

4 âæåìng ( )

x b

y a

y f x

Ox

suy ra diãûn têch laì: ( )b

a

S f x dx

9.2 Têch phán giåïi haûn båíi ( )

( )

x a

x b

y f x

y g x

thç tçm f(x) = g(x) räöi suy ra x vaì diãûn têch hçnh

phàóng laì : ( ) ( )b

a

S f x g x dx

9.3 Goüi x laì haìm cuía biãún y thç diãûn têch giåïi haûn båíi caïc âæåìng: (y)

(y)

y c

y d

x f

x g

suy ra diãûn

têch: ( ) ( )d

c

S f y g y dy

9.4 Thãø têch váût thãø: ( )b

a

V S x dx

9.5 Thãø têch váût thãø giåïi haûn båíi

( )y f x

x a

x b

Ox

laì 2 ( )b

a

V f x dx quay quanh truûc hoaình.



17

9.6 Thãø têch váût thãø giåïi haûn båíi (y)

y c

y d

x g

Oy

laì 2 (y)d

c

V g dy quay quanh truûc tung.

Våïi haìm säú y= f(x) liãn tuûc trãn [a, b] vaì min ,c f a f b ;

max ,d f a f b

9.7 Thãø têch váût thãø giåïi haûn båíi ( )

( )

x a

x b

y f x

g g x

laì 2 2( ) ( )b

a

V f x g x dx quay quanh Ox.

9.8 Thãø têch váût thãø giåïi haûn båíi (y)

(y)

y a

y b

x g

x h

laì 2 2(y) (y)b

a

V g h dy quay quanh Oy.

1. ÂÀÛT ÁØN PHUÛ

2. NHOÏM ÁØN SÄÚ, ÂÀÛT NHÁN TÆÍ CHUNG SAU ÂOÏ AÏP DUÛNG CÄNG THÆÏC RUÏT GOÜN

3. tan( ).tan( ) 14 4

x x

4. Gàûp daûng asinx + bcosx + c = 0; chia 2 vãú cho 2 2a b phæång trçnh naìy coï nhiãûm khi

c 2 2a b

5. Gàûp daûng 2 2sin sin .cos cosa x b x x c x d thç chia 2 vãú cho 2cos x nãúu cosx =0 khäng

laì nghiãûm

a b x

y

O

f(x)

g(x)

x

y

O g(y) h(y)

b

a



18

6. Gàûp daûng tanx + cotx hoàûc cosx + sinx thç âàût tanx cotx ; 2t t

hoàûc cos sinx t ;cosx sinx 2 sin( ) t 24

x x

;

daûng tanx – cotx thç âàût 2cot 2 ;t x x

7. Gàûp daûng 3sinx sin cosx x hoàûc 3sinx cos cosx x coï muî laï muî báûc 3 vaì muî báûc 1

thç chia hai vãú phæång trçnh cho 3cos x nãúu 3cos x = 0 khäng laì nghiãûm phæång trçnh.

8. 3 1

tan 2 1;cot 2 1; tan8 8 12 3 1

9. Âån thæïc sinx, cosx coï báûc cuìng leí hoàûc cuìng chàón thç daûng âàóng cáúp. Nháûn xeït

2x k

hay cosx = 0 coï laì nghiãûm cuía phæång trçnh hay khäng. Chia 2 vãú cho

cosk x âàût t= tanx.

10. Âiãøm 0 âæåüc biãøu diãùn thaình 2k

11. Caïc cäng thæïc læåüng giaïc cáön nhåï:

sin2x=2sinx.cosx = 22cos tanx x ; 2 2 2 2 2 2cos 2 x cos (1 tan ) sin (cot 1) 2cos 1 1 2sinx x x x x x

cosx sinx 2 sin( ) 2 cos( )4 4

x x

3sinx cosx 2 sin( ) 2 cos( )

4 4x x

cosx sinx 2 sin( ) 2 cos( )4 4

x x

sinx.siny= 1

cos( ) cos( )2

x y x y

sinx.cosy= 1

sin( ) sin( )2

x y x y

cosx.cosy= 1

cos( ) cos( )2

x y x y

cosx + cosy= 2cos cos2 2

x y x y

cosx - cosy= 2sin sin2 2

x y x y

sinx + siny= 2sin cos2 2

x y x y

sinx - siny= 2cos sin2 2

x y x y

tanx tany tanx tanytan( ) ; tan( )

1 tanx. tany 1 tanx.tanyx y x y

2x k

m

âæåüc biãøu diãùn båíi m âiãøm.



19

Âàût t= tanx thç 2

2 2

2 1sin 2 x ;cos 2

1 1

t tx

t t

12. Duìng khaío saït haìm säú giaíi phæång trçnh læåüng giaïc duìng khi coï säú haûng x tæû do vê duû:

x, x2, x3…

y = ax laì haìm giaím khi a(0;1)

sinx sinx2

m nn m x k

cos cosx2

m nx n m x k

sinx sinxm n

n m x

cos cosxm n

x n m x

13. Duìng âäúi láûp âãø giaíi phæång trçnh læåüng giaïc: 2

2

sin x sin x sin x; m n 2

cos x cos x cos x; m n 2

m n

m n

14. Gàûp pt daûng x6-3x2+…=0. Ta âàût: 2cosu = x; 0;2

u

2cos3 ... 0u u x

15. Baìi toaïn daûng maì khi chia cå säú láùn nhau ta âæåüc: 2

2 2

2 1; ;...

1 1

x x

x x

Âàût tan2

x

våïi 0 02 4 2

Hoàûc phæång trçnh báûc 3 coï caïc daûng nhæ …+ t3 – 3t + ….(phæång trçnh báûc 3 khäng

nháøm âæåüc nghiãûm âàûc biãût) ta cuîng âàût: 2cos = t

16. Tçm max, min cuía haìm læåüng giaïc: duìng âiãöu kiãûn haìm säú coï nghéa tæïc laì duìng âaûo

haìm chæïng minh noï âäöng biãún hoàûc nghëch biãún räöi aïp duûng caïc âiãöu kiãûn sau:

2 2

sinx 1 1 sinx 1

cos 1 1 cosx 1

cos sin 1

tanx,cotx

x

x x

17. Caïc chuï yï vãö ké nàng khi laìm baìi: ÂOÜC ÂÃÖ THÁÛT KÉ, NHÁÛN XEÏT räöi ÂAÏNH GIAÏSO

SAÏNH räöi AÏP DUÛNG CÄNG THÆÏC!

Cäng thæïc täøng quaït:

0 0

. .b . .bn n

n k k n k k n k kn n

k k

a b C a C a



20

Hoaïn vë Chènh håüp Täø håüp

! ( 1)( 2)...3.2.1nP n n n n !

;(0 )( )!

kn

nA k n

n k

!;(0 )

k!( )!kn

nC k n

n k

;k n kn nC C 1

1k k kn n nC C C

1. z=a+bi âæåüc goüi laì säú phæïc; ,a b trong âoï: a laì pháön thæûc vaì b laì pháön aío.

Âån vë aío: i2=-1

Khi z=0+bi goüi laì säú aío hay säú thuáön aío

Khi z=0+0i goüi laì säú væìa thæûc væìa aío

Khi z=a+0i goüi laì säú thæûc.

2. Táûp håüp säú phæïc: coï thãø noïi:

3. Hai säú phæïc bàòng nhau: z=z’ a+bi=a’+b’i våïi a,b,a’,b’ khi âoï ta coï: '

'

a a

b b

4. Biãùu diãùn hçnh hoüc säú phæïc: z=a+bi biãøu diãùn båíi âiãøm M(a;b) hay båíi ( ; )u a b

trong mp

phæïc Oxy 2 2 .z a b z z OM

: mä âun säú phæïc

5. Caïc pheïp toaïn trong säú phæïc:

5.1 säú phæïc z a bi goüi laì säú phæïc liãn håüp cuía z

- nãúu z laì säú thæûc thç z= z

- nãúu z laì säú aío thç z=- z

5.2 2 2z a b laì mä âun cuía säú phæïc. 0;z z vaì 0 0z z

5.3 Säú âäúi cuía z =a+bi laì z” =-z = -a-bi; ;a b

5.4 Caïc pheïp toaïn:

* ' 'z z z z * ' '

z z

z z

* ' ' ; , 'z z z z z z

* . ' . 'z z z z * . ' . 'z z z z * ' '

0'

'

zz

z zz

zw z wz

z

* z+z’=(a+a’)+(b+b’)I * z.z’= aa’-bb’+(ab’+a’b)i

* z-z’=(a-a’)+(b-b’)I * 1

2

. '. '

' '

z z zz z

z z

6. Quyî têch säú phæïc: z=a+bi

Cho 2 säú phæïc z=x+yi vaì z’ =x’+y’i coï âiãøm biãøu diãùn tæång æïng laì M vaì M’ thç



21

2 2' ( ') ( ')z z x x y y : khoaíng caïch MM’

6.1 Táûp håüp phæïc: z a b z z a trung træûc cuía M1; M2 våïi M1(a;0); M2(-a;0)

6.2 Táûp håüp phæïc: z a b laì âæåìng troìn tám I(a;0) våïi R=b

6.3 Táûp håüp phæïc: z a z a b laì mäüt elip

6.4 Táûp håüp phæïc: z a z a b laì mäüt hypebol

7. Càn báûc hai säú phæïc:

Säú phæïc z=x+yi laì càn báûc hai cuía säú phæïc w =a+bi thç w=z2.

2 2

2 2 2

22

a a bx

x y ab

xy b yx

x ai

Chuï yï:

- Säú 0 coï mäüt càn báûc hai laì 0

- Säú phæïc khaïc 0 coï âuïng 2 càn báûc hai laì 2 säú âäúi nhau

8. Phæång trçnh báûc hai: Az2+Bz+C=0; (A ≠ 0)

B LEÍ B CHÀÔN (Âàût B’ = B/2)

Láûp 2 2 4B AC Láûp 2 2' 'B AC

0 . Phæång trçnh coï 2 nghiãûm phán biãût

laì 2

Bz

A

. Våïi laì säú phæïc coï càn

báûc hai laì

' 0 . Phæång trçnh coï 2 nghiãûm phán biãût

laì ' 'B

zA

. Våïi ' laì säú phæïc coï càn

báûc hai laì '

0 . Phæång trçnh coï nghiãûm keïp laì

2

Bz

A

. Våïi laì säú phæïc coï càn báûc hai laì

' 0 . Phæång trçnh coï nghiãûm keïp laì 'B

zA

. Våïi ' laì säú phæïc coï càn báûc hai laì

'

10. Caïc daûng toaïn

10.1 Daûng 1: tçm càn báûc 2 cuía säú phæïc âån giaín a. roî raìng coï 2 nghiãûm laì

1

2

.

.

z a i

z a i

10.2 Tçm càn báûc hai säú phæïc dæåïi daûng bçnh phæång: vd:

22 22 2 0 1 1x x x i x i

10.3 Tçm hai säú phæïc khi biãút täøng vaì têch cuía chuïng:

Ta coï: 1 2

1 2.

z z S

z z P

thãú 2 1z S z vaìo ta coï: 1 1 0z Sz P

våïi

våïi



22

10.4 Tçm phæång trçnh báûc 2 våïi hãû säú thæûc nháûn laìm nghiãûm

Giaí sæí phæång trçnh báûc 2 daûng Ax2+Bx+C=0 vç laì nghiãûm nãn A2+B+C=0 ta

tiãún haình âäöng nháút thæïc âæåüc

10.5 Âënh lyï Viet cho nghiãûm phæïc:cho pt Az2+Bz+C=0 coï 2 nghiãûm phæïc laì z1 vaì

z2 luïc âoï ta coï 1 2

1 2.

Bz z

A

Cz z

A

10.6 Gàûp daûng 2z z a hoàûc z z b hoàûc 2z z c …ta tiãún haình giaíi quyãút

nhæ 9.4 hoàûc âàût z=x+yi

10.7 Tçm pt báûc 2 nháûn 2 säú ; laìm nghiãûm. Roî raìng ta tháúy ràòng ; laì

nghiãûm cuía phæång trçnh X2-SX+P=0 våïi ; .S P

10.8 DAÛNG LÆÅÜNG GIAÏC CUÍA SÄÚ PHÆÏC:

(cos sin )z r i

- Luän mang dáúu dæång

- r>0

- z= hàòng säú khäng coï Acgumen

10.8.1 Nhán, chia 2 säú phæïc:

(cos sin )z r i vaì ' '(cos ' sin ')z r i

Suy ra:

' '

cos( ' ) sin( ' )z r

iz r

. ' . ' cos( ' ) sin( ' )z z r r i

Våïi 2 2 ;r a b cos ;sina b

r r vaì laì acgumen cuía säú phæïc z

10.8.2 Cäng thæïc Moavro

Våïi ; 1n n thç (cos sin ) (cosn sinn )n nr i r i

10.8.3 Càn báûc 2 säú phæïc daûng læåüng giaïc: säú phæïc (cos sin )z r i (r>0) coï 2

càn báûc 2 laì 1

2

cos sin2 2

cos sin cos sin2 2 2 2

z r i

z r i r i

10.8.4 Sæû bàòng nhau cuía 2 säú phæïc daûng læåüng giaïc:

(cos sin )z r i vaì ' '(cos ' sin ')z r i thç z=z’

'

' 2

r r

k

hoàûc

'

' (2 1)

r r

k

våïi k

Pháön thæûc = Pháön thæûc

Pháön aío = Pháön aío



23

1. Daûng 1:

Gàûp phæång trçnh daûng .u va b c våïi a, b, c>0. u, v laì biãøu thæïc chæïa áøn säú ta thæåìng

logarit âæa vãö log log log log logu va a a a aa b c u v b c ta tçm mäúi quan hãû giæîa

loga b vaì loga c räöi âàût nhán tæí chung. Vd: 133 .8 36 2 (log 2 1)

xx x x x

2. Daûng 2:

Trong pt logarit maì cå säú vaì biãøu thæïc dæåïi dáúu logarit coï daûng a x thç sæí suûng cäng

thæïc biãún âäøi logarit âãø âæa caïc säú haûng vãö cuìng cå säú a. âàût t= logax

3. Daûng 3:

Khi giaíi phæång trçnh muî maì cå säú coï liãn håüp nhau thç tçm caïch âæa vãö têch caïc cå säú

bàòng 1. Âàût áøn phuû âãø âæa vãö phæång trçnh báûc 2.

4. Daûng 4:

Khi giaíi bpt maì hai vãú cå säú khaïc nhau, sau khi biãún âäøi, ruït goün ta âàût 1 vãú bàòng t

chuyãøn vãö báút pt muî. Vd: 33 2 log (2 1) 1x x âàût t= 3log (2 1)x 3 2 1

3 2 1

t

x

x

t

duìng âaûo

haìm hãû coï nghiãûm x=t…

5. Daûng 5:

Nãúu trong pt coï chæïa log ta x x a chuyãøn vãö phæång trçnh muî. Vd:

2 22log 1 log 3 23 2 8 0x x x âàût t= log2 x 2tx .

6. Daûng 6: Bpt daûng log loga bu v ta thæåìng giaíi: âàût t= loga u (hoàûc t= logb v ) âæa vãö phæång

trçnh muî räöi sæí duûng chiãöu biãún thiãn haìm säú âãø suy ra nghiãûm

7. Daûng 7: pt daûng log loga bu v âàût t= log loga bu v t

t

a u

b v

sæí duûng phæång phaïp thãú

âãø âæa vãö phæång trçnh muî âãø tçm t (thæåìng coï nghiãûm duy nháút) suy ra nghiãûm x

8. Daûng 8: bpt daûng loga

uu v

v våïi u, v >0 ta âàût f(t) = loga t t ( ) ( )f u f v u v

do haìm âäöng biãún hoàûc nghëch biãún tuìy âãö.

9. Daûng 9: âoaïn nghiãûm vaì chæïng minh nghiãûm naìy duy nháút. Vd: 3 3log log 24 2 ;( 0)x x x

nháûn tháúy x=3 laì nghiãûm cuía phæång trçnh âaî cho vaì xeït tênh âäöng biãún nghëch biãún bàòng

âaûo haìm Suy ra x=3 laì nghiãûm duy nháút.

10. Daûng 10: bpt daûng nhæ sau:

( ) ( )( ) 1 ( ) ( ) 0

( ) ( )( ) 0

g x h xf x g x h x

f x f xf x

chuï yï: ( )log ( ) ( )log ( )( )( ) 10 ag x f x g x f xg xf x a



24

( ) ( )( ) 1 ( ) ( ) 0

( ) ( )( ) 0

g x h xf x g x h x

f x f xf x

vd:

2 2( 2) 2ax xx x

11. Daûng 11: pt daûng log logax cd bx m ta chuyãøn vãö daûng log

loglog

cc

c

dbx m

ax giaíi pt

naìy.

12. Daûng 12: log log.log 10a ax x n

ax m x ta âàût t loga x ; x>0 thç tx a >0 ; t

13. Daûng 13: pt muî daûng 2. .x

x xm a mb c ; nãúu caïc hãû säú a,b,c liãn quan våïi nhau âoï laì a+b=c2

hoàûc a.b=c thç thæûc hiãûn pheïp chia 2 vãú cho 2

2

xxa a

hoàûc cx nãúu c > a; räöi chuyãøn vãö

phæång trçnh muî thuáön tuïy. Vd: 2 2

215 1

15 1 4 116 16

x xx

x

14. Daûng 14: âàût áøn phuû nhæng váùn coìn áøn säú x. ta thæûc hiãûn pheïp âaïnh giaï nháûn xeït âãø suy ra

âæåüc âiãöu phaíi tçm.

15. Daûng 15: pt muî daûng x x

x ka b a b c . Thæåìng coï nghiãûm duy nháút, ta seî chia

2 vãú cho cx sau âoï duìng âaûo haìm chæïng minh vãú traïi âån âiãûu, tiãún haình âoaïn nghiãûm

bàòng maïy tênh räöi chæïng minh vaì nghiãûm naìy laì duy nháút.

16. Mäüt säú chuï yï cå baín:

- Trong pt coï säú haûng ( )log ( )u x v x thç âiãöu kiãûn tæång æïng laì 0 ( ) 1

( ) 0

u x

v x

luïc âoï âàût

( ) ( )

1log ( ) log ( )u x u xt v x v x

t

- log logc cb aa b ; nãúu x> 0 thç 2log 2 logna ax n x ; nãúu \{0}D thç

2log 2 logna ax n x

1. Phæång phaïp biãún âäøi tæång âæång chæïng minh âãún 1 báút âàóng thæïc âuïng

vd: c/m

a) a2 + b2 + c2 ab + bc + ac våïi moüi a, b, c R

b) a2 + b2 + 1 ab + a + b våïi moüi a, b

2. Biãút xuáút phaït tæì báút âàóng thæïc âuïng, duìng suy luáûn toaïn hoüc âpcm

vd: cho hai säú dæång a,b thoîa maîn 3a + 2b = 1. C/m 1

24ab

3. ÆÏng duûng báút âàóng thæïc tçm Max vaì Min haìm säú

vd: tçm max haìm y=(x+2)(3-x) våïi -2 x 3



25

4. BÂT Cosi:

Cho 2 säú thæûc x, y dæång. Ta coï 2x y xy dáúu bàòng xaíy ra khi x = y

5. BÂT BunhiaCopski:

Cho 4 säú thæûc a, x, b, y. Ta coï 2 2 2 2 2ax by a b x y dáúu bàòng xaíy ra khi ax = by

6. Cho 2 säú thæûc x, y dæång. Ta coï: 1 1 1 1 1

4x y x y

dáúu bàòng xaíy ra khi x= y

7. Våïi moüi säú thæûc x, y thç 2 2 2x y xy xy dáúu bàòng xaíy ra khi x = y

8. Báút âàóng thæïc trong tam giaïc:

a, b, c laì 3 caûnh cuía tam giaïc thç

b c a b c

c a b a c

a b c a b

a b c A B C

1. Hçnh chiãúu cuía âènh xuäúng màût âaïy truìng træûc tám âaïy khi 3 caûnh bãn vuäng goïc nhau

âäi mäüt.

2. Nãúu OA = OB = OC =… thç hçnh chiãúu O lãn ABC,… truìng våïi tám âæåìng troìn ngoaûi tiãúp

âaïy.

1. Phæång phaïp træûc tiãúp.

1.1 cáön chuï yï âæåìng cao vaì diãûn têch âaïy.

1.2 Chuï yï caïc hãû thæïc læåüng trong tam giaïc âàûc biãût laì hãû thæïc læåüng trong tam giaïc

vuäng.

1.3 Våïi khäúi choïp cáön xaïc âënh hoïa vë trê chán âæåìng cao hçnh choïp

1.4 Hçnh choïp coï caïc caûnh bãn bàòng nhau (hoàûc håüp våïi âaïy nhæîng goïc bàòng nhau) thç

chán âæåìng cao laì tám âæåìng troìn ngoaûi tiãúp âaïy.

1.5 Hçnh choïp coï caïc màût bãn taûo våïi âaïy nhæîng goïc bàòng nhau thç chán âæåìng cao laì

tám âæåìng troìn näüi tiãúp âaïy.

B C

cb



26

1.6 Hçnh choïp coï mäüt màût bãn vuäng goïc våïi âaïy thç chán âæåìng cao nàòm trãn giao

tuyãún cuía màût âoï våïi âaïy.

1.7 Hçnh choïp coï 2 màût bãn kãö nhau vuäng goïc våïi âaïy thç âæåìng cao cuía noï laì giao

tuyãún cuía 2 màût âo ï.

1.8 Våïi khäúi làng truû coï thãø têch V thç tênh theo hæåïng trãn hoàûc chia nhoí thaình nhiãöu

khäúi choïp cå baín

1.9 Våïi khäúi âa diãûn phæïc taûp, âãø tênh thãø têch V ta thæåìng chia noï thaình nhiãöu khäúi choïp

âån giaín âãø tênh.

2. Phæång phaïp 2, sæí duûng tè säú diãûn têch, thãø têch.

2.1 Vãö tè säú DIÃÛN têch. Cho tam giaïc ABC, ' ',B AB C AC Khi âoï ta coï

' ' '' ' '.

;.

B BC ABC

ABC ABC

S SB B AB AC

S AB S AB AC

2.2 Vãö tè säú THÃØ têch. Cho hçnh choïp S.ABC, ' ' ',B ,A SA SB C SC Khi âoï ta coï

' ' ' '' ' ' '

.A A

. .

SA . . AA;

. .S BC ABC

S ABC S ABC

V VSB SC

V SA SB SC V SA

A

B'

B

C'

C

s

A'

A

B'

C '

C

B

3. MÄÜT SÄÚ CHUÏ YÏ KHI TÊNH THÃØ TÊCH KHÄÚI ÂA DIÃÛN

3.1 Âãø tênh thãø têch cuía hçnh choïp hoàûc khäúi làng truû thç ta phaíi veî vaì nhçn hçnh tháût chênh

xaïc, nhçn sao cho khoaíng caïch tæì âènh âãún mp âaïy laì âæåìng coï trong hçnh veî hoàûc dãù

daìng veî âæåüc.

3.2 Khi tênh diãûn têch âaïy nãn chuï yï âãún viãûc tênh täøng diãûn têch caïc màût âaïy (coï khi âån

giaín hån caïch tênh thäng thæåìng) räöi tæì âoï tênh diãûn têch màût âaïy cáön xaïc âënh.

3.3 Âãö baìi cho säú liãûu caïc caûnh, yãu cáöu chæïng minh 1 nhán täú báút kç vuäng goïc, ta sæí

duûng âënh lyï Pitago âãø kiãøm tra vaì suy ra âiãöu phaíi chæïng minh.



27

3.4 Chæïng minh 2 mp vuäng goïc nhau, chuï yï aïp duûng âënh lyï Pitago nhæ åí trãn chæïng

minh tam giaïc vuäng hoàûc chuï yï âãún tênh cháút troüng tám tam giaïc âãø suy ra caïc tè lãû

cho baìi toaïn.

3.5 Coï 3 bæåïc cå baín âãø tçm thãø têch V cuía 1 hçnh:

- Xaïc âënh âæåìng cao

- Xaïc âënh diãûn têch âaïy

- Tênh thãø têch khäúi âa diãûn theo cäng thæïc.

3.6 Caïc khäúi âa diãûn quen thuäüc: 3;VHCN HLPV abc a

Khäúi âa diãûn Táûp håüp Diãûn têch Thãø têch

Màût cáöu, khäúi

cáöu ( , )S O R M OM R 24S R

34

3V R

Màût truû, hçnh

truû, khäúi truû

Âæåìng thàóng quay quanh

âæåìng thàóng song song

?

R

l

2

2 * ;

2

XP

TP XP

S R h

S R S

2V R h

Màût noï, hçnh

noïn, khäúi noïn

?

R

l

h

2

* ;XP

TP XP

S R

S R S

21

3V R h

Phæång trçnh âæåìng troìn laì táûp håüp caïc âiãøm caïch âãöu 1 âiãøm cäú âënh, noï coï daûng

2 2 2 2 2 2 2 2( ) ( ) 2 2 0x a y b R x y ax by a b R Âiãöu kiãûn: 2 2 2 0a b R

Phæång trçnh Elip laì táûp håüp táút caí caïc âiãøm M sao cho MF1+MF2 = 2a. a laì hàòng säú cho

træåïc khäng âäøi vaì a>c. Hai âiãøm cäú âënh F1,F2 goüi laì tiãu âiãøm. F1F2 = 2c (c>0): tiãu cæû.



28

Phæång trçnh chênh tàõc elip laì:

2 2

2 2 2

2 2

2 2 2

1

1

x y

a a c

x y

a c a

våïi 2 2 2

0a b

b a c

Tám sai: 0 1c

ea

Tiãu âiãøm: F1(-c;0); F2(c;0) hoàûc F1(0;-c); F1(0; c)

Âæåìng chuáøn: a

xe

hoàûc a

ye

y

xa/eF1 F2

M

-a/e -a a

-b

b

Táûp håüp caïc âiãøm M sao cho 1 2 2MF MF a vaì a < c.

Hai âiãøm cäú âënh F1,F2 goüi laì tiãu âiãøm. F1F2 = 2c (c>0): tiãu cæû.

Phæång trçnh chênh tàõc elip laì:

2 2

2 2 2

2 2

2 2 2

1

1

x y

a c a

x y

c a a

våïi 2 2 2

0a b

b a c

Tám sai: 1c

ea

Tiãu âiãøm: F1(-c;0); F2(c;0) hoàûc F1(0;-c); F1(0; c)

Âæåìng chuáøn: a

xe

hoàûc a

ye

Phæång trçnh 2 âæåìng tiãûm cáûn: ;b

y xa

hoàûc b

x ya

Táûp håüp caïc âiãøm caïch âãöu tiãu âiãøm F vaì âæåìng thàóng cäú âënh (F )



29

( , )

( , )2

:2

d F thamsotieu

pd O OF

px

Phæång trçnh Parabol nhæ sau: 2

2

2

2

y px

x py

(p>0)

Tám sai: 1c

ea

Tiãu âiãøm: F ;02

p

hoàûc F 0;2

p

Âæåìng chuáøn: 2

px hoàûc

2

py

LÆU YÏ KHI GIAÍI BAÌI TOAÏN GIAÍI TÊCH PHÀÓNG

1. Træåïc hãút xeït xem thæí 2 âæåìng thàóng âãö ra coï truìng nhau hay càõït nhau hay song

song nhau.

2. Coï 2 daûng pt âæåìng thàóng: tham säú vaì täøng quaït.

Giaí sæí dt naìy qua 2 âiãøm A, B thç âæåìng thàóng naìy coï vec tå chè phæång laì

( ; ) k ;AB a b u k

vaì veïc tå phaïp tuyãún laì ( ; )n b a

nãúu AB

coï a=0 hoàûc b= 0

thç chuyãøn sang pt tham säú.

3. Gàûp pt âæåìng phán giaïc láúy âäúi xæïng âiãøm qua tia phán giaïc bàòng caïch viãút

phæång trçnh âæåìng thàóng vuäng goïc våïi tia phán giaïc.

4. Nãúu gàûp tam giaïc cán, giaï trë cos cuía 2 goïc åí âaïy bàòng nhau.

1 2 2 2 2 2

. ' . 'cos cos

. ' '

a a bb

a b a b

5. Tam giaïc ABC âãöu thç 3 3 3ABC ABG ACG BCGS S S S

6. Goüi J laì tám âæåìng troìn näüi tiãúp ABC thç AB

JA JDBD

7. A’ laì chán âæåìng cao haû tæì A thç '. 0

'

AA BC

BA kBC



30

A

J

BD C

A

B A' C

8. D laì chán âæåìng phán giaïc trong cuía ABC thç AB

DB DCAC

9. D laì chán âæåìng phán giaïc ngoaìi cuía ABC thç AB

DB DCAC

10. Cho 1 1 2 2( ; ); ;AB a b AC a b

thç diãûn têch ABC laì 1 2 2 1

1

2ABCS a b a b

11. Mäüt säú cäng thæïc tênh quen thuäüc:

* 2sin sinB sinC

a b cR

A ;

2

a b cp

: laì næía chu vi tam giaïc ABC

* 1 1 1

sin sin sin2 2 2

ABCS ab C ac B bc A

* 4

ABC

abcS pr

R våïi R, r : baïn kênh ngoaûi tiãúp, näüi tiãúp tam giaïc ABC

* 1 1 1

2 2 2ABC a b cS ah bh ch

* ( )( )( )ABCS p p a p b p c

* 2 2 2

cos2

b c aA

bc

*

2 2 2

cos2

a c bB

ac

*

2 2 2

cos2

a b cC

ab

Chiãöu daìi âæåìng phán giaïc trong tam giaïc:

*2 cos

2a

Abc

b c

*

2 cos2

b

Bac

a c

*

2 cos2

c

Cab

a b

Chiãöu daìi âæåìng trung tuyãún trong tam giaïc:

* 2 2 2

2 2( )

4a

b c am

*

2 2 22 2( )

4b

a c bm

*

2 2 22 2( )

4c

a b cm



31

ma

mcmbG

B C

A

la

lc lbr

B C

A

c

a

b

R

12. Phæång phaïp hay sæí duûng: phæång phaïp choün âiãøm, keí âæåìng vuäng goïc, veî thãm

hçnh phuû, keí âæåìng song song hoàûc láúy âäúi xæïng. Nãúu cho goïc giæîa 2 âæåìng thàóng

thç âàût áøn phuû 2 láön.

13. Mäüt säú daûng toaïn:

13.1 Cho âæåìng troìn (C) coï pt: 2 2 2 2 0x y ax by c vaì âæåìng thàóng d coï

phæång trçnh: a’x + b’y+ c’ =0.

13.1.1 Xaïc âënh tám vaì baïn kênh: giaíi: tám I(-a, -b) vaì baïn kênh

2 2R a b c

13.1.2 Âiãöu kiãûn âãø coï âæåìng troìn (C): giaíi: âiãöu kiãûn laì: 2 2 0a b c

13.1.3 Nãúu âãö coï tham säú m. yãu cáöu tçm quyî têch tám âæåìng troìn: giaíi: viãút x,

y theo tham säú m sau âoï khæí m ta âæåüc âæåìng thàóng cáön tçm

13.1.4 Tçm vë trê tæång âäúi giæîa âæåìng thàóng d vaì âæåìng troìn: giaíi nhæ lyï

thuyãút

13.1.5 Tiãúp tuyãún cuía âæåìng troìn (C) Tám I (x0, y0) baïn kênh R

Âæåìng thàóng qua âiãøm A(xA, yA) thuäüc âæåìng troìn (C) giaíi:

Âæåìng thàóng qua âiãøm A VAÌ coï veïc tå phaïp tuyãún laì

0 0; yA AIA x x y

Âæåìng thàóng qua âiãøm A(xA, yA) khäng thuäüc (C) giaíi:

- Âæåìng thàóng qua âiãøm A VAÌ coï veïc tå phaïp tuyãún laì ,n a b

nãn

coï pt: a(x-xA)+ b(y-yA) = 0

- Âæåìng thàóng laì tiãúp tuyãún cuía (C) nãn khoaíng caïch d(I,) = R, tæì

âoï suy ra âæåüc a, b vaì viãút âæåüc pt

Âæåìng thàóng coï phæång âaî biãút vaì d coï phæång trçnh d:

a’x+b’y+c= 0 giaíi:

- Vç d nãn coï phæång trçnh: a’x + b’y +c” =0



32

- Vç laì tiãúp tuyãún cuía (C) nãn d(I,)= R tæì âoï suy ra c” vaì viãút

âæåüc

Âæåìng thàóng d coï phæång trçnh d: a’x+b’y+c’ =0 giaíi:

- Vç Âæåìng thàóng d nãn nháûn ', 'n b a

laìm veïc tå phaïp

tuyãún vaì coï pt: b’x-a’y +c” =0

- Vç laì tiãúp tuyãún cuía (C) nãn d(I,)= R tæì âoï suy ra c” vaì viãút âæåüc

13.2 Cho âæåìng troìn âi qua 3 âiãøm A, B, C. Viãút phæång trçnh âæåìng troìn vaì tçm

baïn kênh R? giaíi:

Goüi I (x,y) laì toüa âäü tám cuía âæåìng troìn. Ta coï: IA IB

IA IC

R vaì pt âæåìng troìn.

13.3 Viãút pt âæåìng troìn (C) âi qua âiãøm M0(x0, y0) vaì giao âiãøm cuía hai âæåìng

troìn (C1) vaì (C2) laì A, B? giaíi: phæång trçnh giao âiãøm cuía 2 âæåìng troìn

(C1) vaì (C2) 2 2 2 21 1 1 2 2 22 2 2 2 0x y a x b y c x y a x b y c maì

(C) qua M0 nãn thay M0 vaìo pt giao âiãøm trãn tçm âæåüc , tæì âoï viãút âæåüc pt

(C).

Ü

HOAÌN TOAÌN THUÁÖN TUÏY NHÆ HÇNH HOÜC GIAÍI TÊCH TRONG MÀÛT PHÀÓNG

1. Baìi 1:

1.1 Hai vecto cuìng phæång: cho 2 veïc tå 1 1 1; ;u x y z

vaì 2 2 2; ;v x y z

cuìng phæång thç

k sao cho 2 1

2 2 22 1

1 1 1

2 1

x kxx y z

v ku y kyx y z

z kz

1.2 Têch coï hæåïng cuía hai veïc tå: ,u v

Nãúu 3 âiãøm A, B, C thàóng haìng thç , 0AB AC

Nãúu 3 âiãøm A, B, C KHÄNG thàóng haìng thç , 0AB AC



33

1.3 Diãûn têch tam giaïc: 1 1

, . .sin( , )2 2

ABCS AB AC AB AC AB AC

, . .sin( , )AB AC AB AC AB AC

1.4 Diãûn têch hçnh bçnh haình: ,S AB AD

1.5 Phán têch 1 vec to thaình 3 veïc tå khäng âäöng phàóng

1.6 Goïc giæîa 2 veïc tå: 1 2 1 2 1 2

2 2 2 2 2 21 1 1 2 2 2

cos ; ;.

x x y y z zu v

x y z x y z

våïi ; 0u v

1.7 Âiãøm M chia AB theo tyí säú k (k≠1): thç MA kMB

våïi ; ;1 1 1A B A B A Bx kx y ky z kz

Mk k k

1.8 Veïc tå n

vuäng goïc våïi màût phàóng chæïa a

vaì b

thç:

o n

laì veïc tå phaïp tuyãún cuía màût phàóng chæïa a

vaì b

o

,

n a

n a

a b

,n a b

1.9 Ba veïc tå khäng âäöng phàóng: , ,AB AC AD

khäng âäöng phàóng , . 0AB AC AD

A, B, C, D laì 4 âènh cuía mäüt tæï diãûn

1.10 Ba veïc tå u

, v

,w

goüi âäöng phàóng nãúu , . 0u v w

1.11 TÊNH THÃØ TÊCH

1.11.1 Thãø têch tæï diãûn: 1

, .6

ABCDV AB AC AD

1.11.2 Thãø têch hçnh häüp: . ' ' ' ' , . 'ABCD A B C DV AB AD AA

1.11.3 Chuï yï:

Goüi G laì troüng tám tæï diãûn ABCD thç 0GA GB GC GD

VAÌ

1

4OG OA OB OC OD

khi âoï toüa âäü troüng tám G cuía tæï diãûn laì:

; ;4 4 4

A B C D A B C D A B C DG G G

x x x x y y y y z z z zx y z

Goüi G laì troüng tám tam giaïc ABC thç 0GA GB GC

VAÌ

1

3OG OA OB OC

, ,a b b a

, 0a a

, , k ,ka b a b k a b

,c a b c a c b

. , . ,a b c c a b

; ;u x y z

laì veïc tå âån vë thç 2 2 2x y z =1

1.12 Phæång trçnh màût cáöu:

Khäng cuìng phæång



34

Màût cáöu tám I (a,b,c) baïn kênh R coï phæång trçnh 2 2 2

x a y b z c R

Ngæåüc laûi nãúu phæång trçnh 2 2 2 2 2 2 0x y z ax by cz d laì phæång trçnh

màût cáöu thç âiãöu kiãûn laì 2 2 2 0a b c d

Nãúu 2 2 2 0a b c d thç phæång trçnh xaïc âënh âæåüc 1 âiãøm duy nháút I(-a,-b,-

c)

Nãúu 2 2 2 0a b c d khäng coï âiãøm naìo thoîa maîn phæång trçnh màût cáöu

Baìi toaïn viãút phæång trçnh màût cáöu:

Cho toüa âäü caïc âiãøm A, B, C,… viãút pt màût cáöu?

Caïch laìm: goüi I (x,y,z) laì tám màût cáöu thç

2 2

2 2 2, , z R

...

IA IB

IA IC x y IA

laì baïn kênh màût cáöu, tæì âoï viãút âæåüc pt màût cáöu

Âãö baìi Cho tiãúp xuïc hoàûc khäng tçm âæåüc tám I cuía màût cáöu, tçm

ptm/cáöu?

Caïch laìm: láûp phæång trçnh màût cáöu daûng täøng quaït nhæ sau: 2 2 2 2 2 2 0 , , ,x y z ax by cz d a b c d (Træåìng håüp màût cáöu

ngoaûi tiãúp tæï diãûn)

1.13 Vë trê tæång âäúi giæîa màût cáöu vaì màût phàóng:

Cho màût cáöu (S) tám I(a,b,c) baïn kênh R vaì màût phàóng (): Ax+By+Cz+D=0

Nãúu d(I, ()) < R thç giao tuyãún cuía (S) vaì () laì âæåìng troìn coï phæång trçnh

2 2 2

0

x a y b z c R

Ax By Cz D

Nãúu d(I, ()) = R thç () tiãúp xuïc våïi màût cáöu (S) taûi tiãúp âiãøm A, ta coï ( )IA IA laì

veïc tå phaïp tuyãún cuía ()

Nãúu d(I, ()) > R thç () khäng càõt màût cáöu (S)

2. Baìi 2: phæång trçnh màût phàóng

2.1 Veïc tå phaïp tuyãún:

Cho veïc tå 1 1 1; ;u x y z

vaì 2 2 2; ;v x y z

thç veïc tå phaïp tuyãún cuía màût phàóng (P) chæïa ;u v

laì ,n u v



35

2.2 Màût phàóng () qua M 0 0 0; ;x y z coï veïc tå phaïp tuyãún , ,n A B C

laì ():

0 0 0( ) ( ) (z ) 0A x x B y y C z . Phæång trçnh täøng quaït: (): Ax+By+Cz+D=0 våïi

2 2 2

0 0 0

0

(Ax )

A B C

D By Cz

2.3 Træåìng håüp âàûc biãût:

2.4 Vë trê tæång âäúi âæåìng thàóng vaì màût phàóng:

Cho màût phàóng ():Ax+By+Cz+D = 0 vaì (’): A’x+B’y+C’z+D’ = 0

Nãúu ' thç ' ' ' '

A B C D

A B C D

Nãúu ' thç ' ' ' '

A B C D

A B C D

Nãúu 'cat thç A:B:C A’: B’ : C’

Nãúu ' thç AA’+ BB’ + CC’ =0

2.5 Phæång trçnh âoaûn chàõn: màût phàóng () khäng qua gäúc O càõt Ox taûi A(a,0,0) càõt Oy taûi

B(0,b,0) càõt Oz taûi C(0,0,c) thç coï phæång trçnh laì 1;x y z

a b c våïi a.b.c 0

2.6 Goïc giæîa 2 màût phàóng: 2 2 2 2 2 2

' ' 'cos

. ' ' '

AA BB CC

A B C A B C

2.7 Khoaíng caïch tæì 1 âiãøm âãún màût phàóng:goüi M thç

0 0 00 2 2 2,

Ax By Cz Dd M

A B C

2.8 Khoaíng caïch giæîa 2 mp song song nhau:

Cho 2 màût phàóng ():Ax+By+Cz+D = 0 vaì (’): A’x+B’y+C’z+D’ = 0, goüi M thç khoaíng

caïch giæîa 2 mp laì 2 2 2

', '

D Dd M

A B C

4. Baìi 3: Phæång trçnh âæåìng thàóng

3.1 Phæång trçnh âæåìng thàóng d qua M 0 0 0; ;x y z coï veïc tå chè phæång ( , , )u a b c

.

3.1.1 Phæång trçnh tham säú âæåìng thàóng d laì: 0

0

0

x x at

y y bt

z z ct

3.1.2 Phæång trçnh chênh tàõc: 0 0 0x x y y z z

a b z

våïi a.b.c ≠0

3.2 Vë trê tæång âäúi giæîa 2 âæåìng thàóng:



36

Cho âæåìng thàóng d qua M0 coï u

vaì âæåìng thàóng d’ qua M’0 co 'u

ï

3.2.1 d vaì d’ truìng nhau 0 0, ' , ' 0u u u M M

3.2.2 0 0

, ' 0'

, ' 0

u ud d

u M M

3.2.3 d càõt d’ 0 0, ' . ' 0

, ' 0

u u M M

u u

3.2.4 d vaì d’ cheïo nhau thç 0 0, ' . ' 0u u M M

3.3 Khoaíng caïch

3.3.1 Khoaíng caïch Tæì 1 âiãøm M âãún âæåìng thàóng qua M0 coï veïc tå chè phæång u

:

0 ,

,M M u

d Mu

3.3.2 Khoaíng caïch Tæì 1 âiãøm M0 âãún màût phàóng (): Ax+By+Cz +D = 0 laì :

0 0 0

2 2 2,

Ax By Cz Dd M

A B C

3.3.3 Khoaíng caïch giæîa 2 âæåìng thàóng cheïo nhau våïi qua M0 coï veïc tå chè phæång u

vaì

’ qua M0’ coï veïc tå chè phæång 'u

laì: '

0 0, ' ., '

, '

u u M Md

u u

3.3.4

Nãúu biãút phæång trçnh 2 âæåìng thàóng d vaì d’ thç ta cuîng coï thãø xeït vë trê tæång âäúi giæîa

chuïng.

Bàòng caïch giaíi phæång trçnh d vaì d’ xaïc âënh giao âiãøm goüi phæång trçnh naìy laì (*)

Nãúu pt (*) coï 1 nghiãûm thç d vaì d’ càõt nhau.

Nãúu pt (*) coï vä säú nghiãûm thç d vaì d’ truìng nhau.

Nãúu pt (*) vä nghiãûm vaì

, ' 0u u

thç d song song våïi d’

Nãúu pt (*) vä nghiãûm vaì

, ' 0u u

thç d cheïo våïi d’



37

3.3.5 Màût phàóng () qua âæåìng thàóng d vaì vuäng goïc våi màût phàóng (P):

1 2

2

. 0

. 0

n n

n u

Hçnh chiãúu cuía âæåìng thàóng d lãn mp (P) laì giao tuyãún = (P)()

Caïch viãút phæång trçnh giao tuyãún:

o giao tuyãún laì giao cuía 2 màût phàóng sau: 1 1 1 1

2 2 2 2

a x b y c z d

a x b y c z d

o cho z= 0 suy ra 1 1 1

2 2 2

a x b y d

a x b y d

o coï 1 2,u k n n

o Hoàûc tçm 2 âiãøm phán biãût thuäüc hoàûc cho z = t räöi tçm x, y theo t.

4. Màût phàóng vaì âæåìng thàóng:

4.1 Vë trê tæång âäúi giæîa màût phàóng vaì âæåìng thàóng:

Màût phàóng (P): Ax+ Bx + Cx+D =0

Phæång trçnh tham säú cuía âæåìng thàóng

0

0

0

x x at

y y bt

z z ct

Phæång trçnh täøng quaït cuía âæåìng

thàóng : 1 1 1 1

2 2 2 2

0

0

A x B y C z D

A x B y C z D

Caïc træåìng håüp:

o (P) thç A B C

a b c hãû coï 1 nghiãûm

o càõt (P) thç Aa +Bb + Cc ≠ 0 hãû coï 1 nghiãûm

o (P): 0 0 0

0

0

Aa Bb Cc

Ax By Cz D

hãû vä

nghiãûm

o (P): 0 0 0

0

0

Aa Bb Cc

Ax By Cz D

hãû vä säú

nghiãûm hoàûc hãû coï nghiãûm t khäng

Xeït hãû 1 1 1 1

2 2 2 2

0

0

0

A x B y C z D

A x B y C z D

Ax By Cz D

(*)

o càõt (P) thç hãû (*) coï nghiãûm duy

nháút.

o (P): hãû (*) vä nghiãûm

o (P): hãû (*) vä säú nghiãûm

4.2 Goïc giæîa âæåìng thàóng vaì màût phàóng:

Cho âæåìng thàóng coï veïc tå chè phæång ( , , )u a b c

vaì màût phàóng (P) coï veïc tå phaïp

tuyãún ( , , )n A B C

thç 2 2 2 2 2 2

cos ,.

Aa Bb Ccu v

A B C a b c

Goïc nhoün giæîa vaì (P) laì våïi

2 2 2 2 2 2sin cos( , )

.

Aa Bb Ccu v

A B C a b c



38

Giaíi thêch cos cos( , ) cos( ) sin

2u v

5. Mäüt säú daûng toaïn:

5.1 Âæåìng thàóng d thuäüc màût phàóng (P) vaì caïch âãöu 2 âiãøm A, B våïi A hoàûc B thuäüc

(P)

- Goüi () laì màût phàóng trung træûc cuía AB

- d laì giao tuyãún cuía () vaì (P)

- Choün 1 âiãøm âån giaín M thuäüc 2 màût phàóng () vaì (P)

- d coï veïc tå chè phæång laì ,d Pu n n

d qua M nháûn u

laìm veïc tå chè phæång.

5.2 Màût phàóng () qua âiãøm M vaì chæïa âæåìng thàóng d. M

d

Choün M1 thuäüc d thç () qua M nháûn laìm 1, dn MM u

veïc tå phaïp tuyãún

5.2 Tçm giao âiãøm cuía 2 âæåìng thàóng càõt nhau: giaíi hãû phæång trçnh tham säú räöi kiãøm

tra tênh âuïng âàõn.

5.3 Tçm phæång trçnh màût phàóng (’) âäúi xæïng våïi () qua âæåìng thàóng d:

- láúy M d, viãút âæåüc phæång trçnh âæåìng thàóng qua M () càõt () taûi M1

- M laì trung âiãøm cuía M1M2 våïi M2 (’)

- ()song song våïi (’) vaì qua M2 nãn coï cuìng veïc tå phaïp tuyãún 2n

vaì qua M2

5.4 Viãút phæång trçnh âæåìng vuäng goïc chung khi d1 vaì d2 cheïo nhau vaì vuäng goïc våïi

nhau.

- Láûp mp (P) chæïa d1 vaì d2

- Láûp mp (Q) chæïa d2 vaì d1

- Goüi = (P)(Q) ta coï

1

2

2

1( )

P Q

Pd

Qd

P d

Q d

våïi laì âæåìng vuäng goïc chung cuía

d1 vaì d2

5.5 Tçm phæång trçnh màût phàóng:

- C1: Tçm 1 âiãøm vaì 1 càûp veïc tå chè phæång cuía màût phàóng



39

-C2: Tçm 1 âiãøm vaì 1 phaïp veïc tå (veïc tå phaïp tuyãún)

-C3: Duìng phæång trçnh chuìm màût phàóng

5.6 Tçm phæång trçnh âæåìng thàóng:

- C1: Tçm 1 âiãøm vaì 1 veïc tå chè phæång cuía màût phàóng

-C2: Tçm phæång trçnh täøng quaït cuía 2 màût phàóng cáön tçm

Ta thæåìng gàûp caïc daûng nhæ

5.6.1 Viãút pt âæåìng thàóng qua A càõt âæåìng thàóng d:

Suy ra nàòm trong mp () qua A chæïa d

5.6.2 Viãút pt âæåìng thàóng qua A âæåìng thàóng d:

Suy ra nàòm trong mp () qua A d

5.6.3 Viãút pt âæåìng thàóng song song d1 vaì càõt âæåìng thàóng d2:

Suy ra nàòm trong mp () chæïa d2 vaì song song våïi d1.

5.7 Hçnh chiãúu cuía 1 âiãøm:

5.7.1 Tçm hçnh chiãúu vuäng goïc H cuía A lãn âæåìng thàóng d

d laì pt tham säú d laì phæång trçnh chênh tàõc d laì pt täøng quaït

* H d nãn viãút toüa âäü H

theo t

*. 0dAH u

* H(x,y,z)

*. 0dAH u

* H d biãún âäøi tè lãû naìy

duìng âiãöu kiãûn. suy ra x,y,z

* tçm pt màût phàóng ()

qua A d

* giao âiãøm cuía () vaì d laì

hçnh chiãúu cuía A lãn d

5.7.2 Tçm hçnh chiãúu vuäng goïc H cuía A lãn mp ():

* Goüi H(x,y,z) vç H () vaì , 0 , ,AH n x y z

* Tçm pt âæåìng thàóng d qua A ()

* Giao âiãøm cuía d vaì () laì H



40

5.7.3 Tçm hçnh chiãúu vuäng goïc cuía âæåìng thàóng d lãn mp ()?

* Tçm pt mp () chæïa âæåìng thàóng d vaì () våïi ,dn u n

* Hçnh chiãúu cuía xuäúng () laì giao tuyãún cuía () vaì ().

5.7.4 Tçm hçnh chiãúu H cuía âiãøm A theo phæång âæåìng thàóng d lãn mp ()?

* Tçm phæång trçnh âæåìng thàóng qua A song song våïi d, coï du u

* Hçnh chiãúu H chênh laì giao âiãøm cuía âæåìng thàóng vaì mp ().

5.7.5 Tçm hçnh chiãúu cuía âæåìng thàóng d theo phæång âæåìng thàóng D lãn mp ()?

* Tçm phæång trçnh màût phàóng () chæïa d vaì song song våïi D

* Hçnh chiãúu

d

?

A

H

d

D

?

d

?A

H

5.8 Âäúi xæïng:

5.8.1 Tçm âiãøm A’ âäúi xæïng våïi A qua âæåìng thàóng d? Giaíi:

Tçm hçnh chiãúu H cuía A lãn âæåìng thàóng d

H laì trung âiãøm cuía AA’ nãn coï toüa âäü âiãøm A, H suy ra âæåüc âiãøm A’

5.8.2 Tçm âiãøm A’ âäúi xæïng våïi A qua màût phàóng ()



41

Tçm phæång trçnh âæåìng thàóng d qua A ()

Tçm hçnh chiãúu H cuía A lãn màût phàóng ()

H laì trung âiãøm cuía AA’ nãn coï toüa âäü âiãøm A, H suy ra âæåüc âiãøm A’

5.8.3 Tçm phæång trçnh âæåìng thàóng d âäúi xæïng våïi âæåìng thàóng D qua âæåìng thàóng

vaì D càõt nhau vaì D song song vaì D cheïo nhau

Tçm giao âiãøm M cuía vaì

D

Tçm A D (A≠M)

Tçm A’ laì âiãøm âäúi xæïng våïi

A qua

d laì âæåìng thàóng qua 2

âiãøm M vaì A’

Mdelta

d'

DA

A'

choün A D

Tçm A’ laì âiãøm âäúi xæïng

våïi A qua D

d laì âæåìng thàóng qua A’

vaì d song song våïi

A

A'

delta

d'

D

Tçm 2 âiãøm phán

biãût A, B trãn D

Tçm A’ , B’ laì

âiãøm âäúi xæïng

våïi A, B qua

d laì âæåìng

thàóng qua 2 âiãøm

B’ vaì A’

5.8.4 Tçm phæång trçnh âæåìng thàóng d âäúi xæïng våïi âæåìng thàóng D qua âæåìng thàóng

mp ().

D càõt () () vaì D song song

Tçm giao âiãøm M cuía () vaì D

Tçm A D (A≠M)

Tçm A’ laì âiãøm âäúi xæïng våïi A qua ()

d laì âæåìng thàóng qua 2 âiãøm M vaì A’

choün A D

Tçm A’ laì âiãøm âäúi xæïng våïi A qua ()

d laì âæåìng thàóng qua A’ vaì d song song

våïi ()

5.9 Khoaíng caïch:

5.9.1 Khoaíng caïch 2 âæåìng thàóng song song nhau d1 vaì d2



42

1A d 1 2 2, ,d d d d A d AH

H laì hçnh chiãúu cuía A lãn d2 suy ra 2. 0AH u

5.9.2 Khoaíng caïch giæîa 2 âæåìng thàóng cheïo nhau d1, d2

a) caïch 1:

- Tçm pt mp () chæïa d1 song song d2

- Tçm A d2

- d(d1,d2) = d(A, ())

b) Caïch 2:



- d(d1,d2) = d((),()

Hoàûc

1 2

1 2

1 2

, .( , )

,

u u ABd d d

u u

Education

Cach giai toan