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Estatítica Descritiva - Caderno completo + Exercícios Resolvidos
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ESTATÍSTICA DESCRITIVA
Luan Guerra
4º semestre
CADERNOCADERNO
AvisoEsse material foi criado a partir do caderno de um aluno do curso de administração.
Sendo assim, não substituirá nenhuma fonte didática como: livros, artigos científicos, etc.
ObservaçãoO objetivo dessa apresentação ésimplesmente ajudar o estudante, nada além disso.
CADERNO+
EXERCÍCIOS RESOLVIDOS
População
População é conjunto de elementos sobre os quais queremos informações.
Ex.: Paulistanos, veículos, cães abandonados, produtos para vender.
Amostra
Uma parte do conjunto (sub-conjunto) da população.
Ex.: Moradores da Paulista, raça de cães, final de placa.
Variável
É a característica que queremos estudar.As variáveis podem ser:
QualitativaOs valores são qualidades ou atributos.
QuantitativasOs valores são quantidade.
VariávelDefiniDefiniççãoão
As variáveis qualitativas pode ser ordinal (possui ordem natural) ou nominal (não possui ordem natural).
As variáveis quantitativas pode ser discreta (assume valores exatos) ou contrários (assume valores aproximados).
Exemplo: População de cães abandonados.
Exemplos
Variáveis QualitativasQualitativas: Ordinal – Porte, sizeNominal – raça, cor
Variáveis QuantitativasQuantitativas:Discreta – Nº de dentesContínua – Peso, altura
Variações
Quantitativa ContínuaQuantitativa Discreta
Qualitativa OrdinalQualitativa Nominal
ClassificaçãoExercício
Moradores de uma cidade
Camisetas à venda em uma lojaV. Quant. Discreta: PreçoV. Qual. Nominal: Marca, corV. Qual. Ordinal: Tamanho
Alunos desta sala
Índices, coeficientes e taxas
• Os índices são razões entre duas grandezas tais que uma não inclui aoutra.
Numerador é uma coisa e denominador é outra coisa..são coisas separadas.
Exemplos
Densidade demográficaDivide a população pela superfície.
Produção per capitaValor total da produção dividido pela população
Renda per capitaValor total da renda dividido pela população
• Os coeficientes são razões entre o numero de ocorrências e o numero total (a soma dos números de ocorrências e de não ocorrências).
São razões entre partes e o todo.
• Coeficiente de natalidadeNúmero de nascimentos dividido pela população, ou seja, é um subconjunto dentro de um conjunto.
• Coeficiente de mortalidadeNúmero de óbitos dividido pela população.
• Coeficiente de Evasão EscolarNúmero de alunos evadidos dividido pelo numero inicial de matriculas
• As taxas são coeficientes multiplicados por uma potencia de 10, para tornar o resultado mais inteligível.
• Exemplo: em cada 200 celulares vendidos, 4 apresentam defeito..
• Coef. de defeitos = 4/200 = 0,02
• Taxa de defeitos = 2% ... é quando émultiplicado por 100.
• Taxa de natalidade = coeficiente de natalidade x 1000
• Taxa de mortalidade = coeficientes de mortalidade x 1000
• Taxa de evasão escolar = coeficientes de evasão escolar x 100
Exercício
• O estado A apresentou 733.986 matriculas no 1ºano no inicio de 2009 e 683.816 no final do ano.
O estado B apresentou, respectivamente, 436.127 e 412.457 matriculas. Qual estado apresentou maior evasão escolar?
Evasão estado A: 6,8%
Evasão estado B: 5,5%
Resolução
Estado B
Estado A
Técnicas de Descrição Gráfica
• Considere uma população ou amostra com N elementos (ou o numero de dados), em que está sendo estudada determinada variável.
• Considere que K é o numero de valores diferentes que esta variável pode assumir:
• Definimos a FREQUÊNCIA (f) de um valor como o numero de vezes que ele foi observado.
N: tamanho da população ou amostra, em que consideramos uma variável.K: quantidade de valores diferentes que a variável assume.Fi: é a frequência do i-ésimo valor.
Exemplo
• Perguntou-se para 10 pessoas quantos irmãos elas tinham, e as respostas foram:
0,1,2,2,1,0,3,6,1,0 (variável quantitativa discreta)
Exemplo
N: 10 : quantidade de númerosK: 5 : quantidade de variáveis
Fi: temos 5 freqüências;
F1: Freq do 0: 3 (quantidade de 0s)F2: Freq do 1: 3F3: Freq do 2: 2F4: Freq do 3: 1F5: Freq do 4: 1
• Soma-se as freqüências e tem que dar 10 (n)
• Definimos a freqüência relativa Fr (ou proporção) de um valor como o quociente da sua freqüência pelo numero de dados.
• Assim: Fr1 = F1 / N
Exemplo:
Fr1: 3/10: 0,3Fr2: 3/10: 0,3Fr3: 2/10: 0,2Fr4: 1/10: 0,1Fr5: 1/10: 0,1
Somando todas as Frs...da 1..assim como 100%
ExemploCálculo de Frequências
De 50 funcionários:
30 são solteiros, 15 são casados, 3 separados e 2 viúvos.
QUALITATIVA
QUALITATIVA
Resolução
N: 50K: 4
F1: 30 solteirosF2: 15 casadosF3: 3 separadosF4: 2 viúvos
Frequência Relativa
Fr1: 30/50 = 0,6 = 60%
Fr2: 15/50 = 0,3 = 30%
Fr3: 3/50 = 0,06 = 6%
Fr4: 2/50 = 0,04 = 4%
Tabelas(IBGE)
1. Formulação:
• Título• Dados• Cabeçalho• Coluna• Indicadores
Modelo Tabela
Séries Estatística
• Cronológica ou históricaFunção do local
• Espacial ou geográficaFunção do lugar
• Específica ou categóricaFunção da espécie
Representação gráfica das variáveis qualitativas
• Modelos:Colunas ou Barras
ModeloGráfico
• Tipo pizza ou Circular
Descrição Gráfica dos Valores Quantitativas Discretas
Ex.: Perguntou-se para 10 pessoas quantos folhas elas tinham e as respostas foram:
Exemplo
GráficoTipo Barra
Tabela 1
012345
1 2 3 4
Nº Folhas
Fre
qu
ênci
a
GráficoTipo Pizza
Frequência Acumulada
Frequência Acumulada Gráfico
Tabelo 2
Observação
21,4 [21,35 ; 21,45]
Possui cincocinco termos nesse intervalo.
Histograma
Característica Numérica Distribuição de Frequência
x = variável quantidade
x1 = i-ésimo valor da variável x
Medidas de Posição servem para localizar os dados na reta real.
Exemplo
Ex.: Idade de 5 pessoas:
18, 22, 25, 21 e 24x1, x2, ...
X = IdadeN = 5
x = 18 + 22 + 25 + 21 + 25
5
x = 110 / 5 = 22 idade média
Calculando a Média - HP12CHP12CPodemos usar as teclas de funções estatísticas da calculadora HP12C para calcular a média de uma série de dados da forma abaixo (refazendo o último exemplo):
‘f’ ∑ (limpa as memórias estatísticas)18∑+ (insere o primeiro dado)22∑+ (insere o segundo dado)25∑+ (insere o terceiro dado)21∑+ (insere o quarto dado)24∑+ (insere o quinto dado)‘g’ (a média aparecerá no visor)
As memórias R1 a R6 guardam algumas informações associadas à série de dados que forem inseridos. Na memória R1 temos o valor n, em R2, ∑x e em R3, ∑x2. No nosso exemplo, como entramos com apenas uma série de dados, as memoras R4 a R6 não fazem sentido.
Fórmula
Calculando na Frequência
Exercício
A última fórmula é a média ponderado, onde as frequência são os pesos.
Ex.: Calcular a média de 3 provas, onde P1 = 5, com peso 3, P2 = 4, com peso 2 e P3 = 8, com peso 5.
M = 5.3+4.2+8.5/3+2+5 = 63/10 = 6,3
Exercício
x . n² de definição de cada calculando...
Fórmula
Exemplo (Média de dados agrupados em classe de frequência)
Tabela de salários por hora:
Resolução
Média Ponderada
Exercício
Propriedade da Média
Multiplicando-se todos os valores de uma variável por uma constante C, a média fica multiplicada por esta constante.
Exercício
Exercício II
Soma
• Somando-se uma constante C a todos valores de uma variável, a média fica somada desta constante:
Resolução
Mediana (Md)
• É o valor central (ou média dos valores centrais) dos dados ordenados.
OBS: Deixar na ordem crescente
Resolução
Definindo a média
Exercício II
Exercício III
Exercício IV
Mediana de dados Agrupados
Exemplo: Considere a tabela abaixo, que lista a altura de 40 pessoas:
Medida de Dados Agrupados
Dados
L* = Limite inferior de classe mediana
F(ant) = frequência acumulada da classe anterior à classe mediana
h* = amplitude da classe mediana
f* = frequência de classe mediana
Número de divórcios de acordo com o tempo de casamento
Exercício
f*L*
Mediana
Md E 0 6
=
Classe mediana
Md = 5,36 anos
Resposta
Isto é, dos 5000 casamentos que acabaram em divórcios, metade durou até 5,36 anos e
a outra metade durou mais de 5,36.
Quantis
Um quantil de ordens p1 ou p – quantil (q (p)), onde p é uma proporção (0 < p < 1), é uma medida tal que 100.p% dos valores ficam abaixo dele.
0,25%
0,6%
q (0,25)
q (0,6)
5, 10, 15, 20, 25, 30, 35, 40, 45, 50
q(0,25) = ?
P. n = 0,25 . 10 = 2,5
Queremos á posição 2,5 que está entre o 2º e o 3ºdados.
q(0,25) = 10 + 15/2 = 12,5
Exercício
X1, x2, x3
0,25
Quantis especiais
q(0,25) = 1º quartil = q1
q(0,50) = 2º quartil = q2 = md
q(0,75) = 3º quartil = q3
Quantis de dados agrupados
Dados
• L* = Limite inferior de classe do quantil
• F(ant) = frequência acumulada da classe anterior à classe quantil
• h* = amplitude da classe do quantil
• f* = frequência de classe do quantil
Exemplo
q(0,60) = ?
n = 5000p = 0,60
P . n= 3000
Portanto q (0,60) E
Localização
Resolução
Resposta
Isto é, 60% casamentos duraram até 6,86 anos e
40% duraram mais.
Exercício
Exercício
Resposta
Isto é, 87% casamentos duraram até 13,5 anos e 13% duraram mais.
Moda
É o (s) valor (es) mais frequentes.
Bi-Moda
Utiliza-se as os números
mais evidentes.
Esquema dos 5 mínimos
X1 = Menor número dos dados:
q1 = 1º quartil = q(0,25)q2 = 2º quartil = q(0,50)q3 = 3º quartil = q(0,75)
Xn = maior número
Quadro
q1 q2 q3
x1 x2
Exemplo
1, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 25
x1 = 1xn = 25
q1 = p.n = 0,25 . 10 = 2,5
Queremos a posição 2,5
Resolução
x1 = 1xn = 25
q2 = p.n = 0,5 . 10 = 2,5
Queremos a posição 5
Resolução
x1 = 1xn = 25
q3 = p.n = 0,75 . 10 = 7,5
Queremos a posição 7,5
Quadro
5,5 8,5 10,5
1 25
Box Plot
Qd
Qd = distância interquartil
Qd = q3 – q1
LS = Limite superior = q3 + 3/2 . qd
LІ = Limite inferior = q1 - 3/2 . qd
Box Plot
Exemplo
Qd = q3 - q1 = 10,5 - 5,5 = 5
LS = q3 – (3/2 . Qd) = 10,5 + 3/2 . 5 = 18
LI = q1 – (3/2 . Qd) = 10,5 - 3/2 . 5 = -2
Gráfico
Medidas de Dispersão
Indicam a quanto os dados estão dispersão:
Calculando a Amplitude
Exemplo: -3, -2. 0, 5, 10
R = 10 – (-3) = 13
Variância (s²)
É a média dos quadrados das diferenças entre os valores e a média.
Ou seja,
Tabela
)
Calculando a variância:
Exemplo: -3, -2. 0, 5, 10
X = (-3, -2, +0, + 5, + 10) / 5(Termos) = 2
Variação = (-3 -2)² + (-2 -2)² + (0 -2)² + (5 -2)² + (10 - 2)² =?
Variação = 25 + 16+ 4 + 9 + 64 / 5 = 23,6
Exercícios
5, 5, 5, 5, 5
X = 5
Variação = 0
Exercícios
3, 4, 5, 6, 7
X = 5
Variação = (3 -5)² + (4 -5)² + (5 -5)² + (6 -5)²+ (7 - 5)²
Variação = S² = 4 + 1 + 0 + 1 + 4 / 5 = 2
Exercícios II
3, 4, 5, 6, 7
X = 5
Variação = (3 -5)² + (4 -5)² + (5 -5)² + (6 -5)²+ (7 - 5)²
Variação = S² = 4 + 1 + 0 + 1 + 4 / 5 = 2
Exercícios III
• 4, 4, 5, 6, 6
X= 5
Variação = (4 -5)² + 2. (5 + 5)² + (7 - 5)² .
Variação = S² = 1 + 0 + 1 + 0 + 1 + 1 / 5 = 4/5 = 0,8
Observação
• Quando maior variação, mas dispersos estão os dados.
Propriedades
A variância também pode ser calculada através da seguinte fórmula:
Exemplo
xMédia
Efetuando a variação
• Variação: 155/30 –2,17² = 0,4578
Multiplicando-se os dados por C = constante, a variação fica multiplicada por:
Somando-se uma constante C aos dados, a variância:
Variância
1) A fórmula de S² que de demos é a variância de uma populãção.A variância da amostra tem o denominador -1 ao invés de n.
2) A unidade de S² é a unidade de X ao quadrado.Se X é dado em cm, S² é dado em cm².
Desvio-Padrão
S =
O desvio-padrão está na mesma unidade de x.
Tirar a raiz quadrada
Coeficiente de Variação
Exercício
• Erros de impressão em 50 páginas aleatórios de um livro.
Questões:
a) Qual o nº médio de erros por página?b) E o nº mediano?c) E a variância?d) E o desvio-padrão?e) E o coeficiente de variação?f) Se o livro tiver 500 páginas, qual o nº
esperado do erros?
Resolução
?
FResolução
XfResolução
X²fResolução
Nº médio de errosResolução
Nº MedianoResolução
VariânciaResolução
Desvio-PadrãoResolução
e)
f)
f) Se o livro tiver 500 páginas, qual o nºesperado do erros?
Exercícios
• O Departamento Pessoal da firma X fez o levantamento dos salários dos 120 funcionários (em números de salários mínimos) e obteve os resultados da tabela abaixo:
ExercícioLista Revisão
Tabela - Exercício
Pede-se:
• Quantos funcionários estão na faixa 4 6 salários mínimos?
• Esboce o histograma.• Calcule a média, a amplitude, a variância e o desvio-
padrão.• Calcule o primeiro quartil e a mediana.• Se for concedido um aumento de 100% a todos os
funcionários, haverá alteração na média? E na variância?
• Se for concedido um aumento de um salário mínimo a todos os funcionários, haverá alteração na média? E na variância?
Resolução
1º Criar tabela
TABELA
a)
Quantos funcionários estão na faixa 4 6 salários mínimos?
Resposta: 24
b)
Esboce o histograma.
30
48
2418
0
10
20
30
40
50
60
0 - 2 2 - 4 4 - 6 6 - 10
Frequência
c)
Calcule a média, a amplitude, a variância, o desvio-padrão e cv.
Média
x = 438/120 = 3,65 salários mínimos
c)
• AmplitudeR = Xmax. - Xmín. = ?
R = Xmáx. - Xmín. = 10 – 0 = 10
c)
• Variância (s²)
S² = 2214/120 – 3,65² = 5,13 (s.m.)²
c) Desvio-Padrão
c)
d)
Calcule o primeiro quartil e a mediana.
Fórmula para calcular quantil quando o exercício tiver intervalo.
Resolução
x1 = 1xn = 120
q1 = p.n = 0,25 . 120 = 30
Queremos a posição 30
Resolução
Portanto a média pertence ao intervalo 2 – 4.
MD
e)
• Se for concedido um aumento de 100% a todos os funcionários, haverá alteração na média? E na variância?
Resposta: A mA méédia serdia seráá dobrada. dobrada. A A variância se quadruplicarvariância se quadruplicaráá..
f)
• Se for concedido um aumento de um salário mínimo a todos os funcionários, haverá alteração na média? E na variância?
Resposta: A mA méédia subirdia subiráá (1) sal(1) saláário rio mmíínimo. nimo. A variância não mudarA variância não mudaráá..
EXERCÍCIO + RESOLUÇÃO
RevisãoEstatEstatíística Descritivastica Descritiva
Exercícios One1) Quais são os tipos de variáveis que
existem? Dê um exemplo de cada tipo para a população carros à venda em uma concessionária.
Resolução
Variável é a característica de interesse que é medida em cada elemento da amostra; Como o nome diz, seus valores variam de elemento para elemento. As variáveis podem ter valores numéricos ou não numéricos e serem classificadas da seguinte forma:
ResoluçãoContinuação
Variáveis QuantitativasSão as características que podem ser medidas em uma escala quantitativa, ou seja, apresentam valores numéricos que fazem sentido. Podem ser contínuas ou discretas.
Variáveis contínuas são características mensuráveis que assumem valores em uma escala contínua (na reta real), para as quais valores fracionais fazem sentido. Usualmente devem ser medidas através de algum instrumento. Exemplos: Peso (balança), altura (régua), tempo (relógio), pressão arterial, idade.
Variáveis discretas são características mensuráveis que podem assumir apenas um número finito ou infinito contável de valores e, assim, somente fazem sentido valores inteiros. Geralmente são o resultado de contagens. Exemplos: Número de filhos, número de bactérias por litro de leite, número de cigarros fumados por dia.
ResoluçãoContinuação
Variáveis QualitativasSão as características que não possuem valores quantitativos, mas, ao contrário, são definidas por várias categorias, ou seja, representam uma classificação dos indivíduos. Podem ser nominais ou ordinais.
Variáveis nominais não existe ordenação dentre as categorias. Exemplos: sexo, cor dos olhos, fumante/não fumante, doente/sadio.
Variáveis ordinais existe uma ordenação entre as categorias. Exemplos: escolaridade (1o, 2o, 3o graus), estágio da doença (inicial, intermediário, terminal), mês de observação (janeiro, fevereiro,..., dezembro).
ResoluçãoContinuação
Dê um exemplo de cada tipo para a populaDê um exemplo de cada tipo para a populaçção carros ão carros ààvenda em uma concessionvenda em uma concessionáária.ria.
Podemos relacionar os tipos para a população de carros a venda em uma concessionária na forma das seguintes variáveis:
Variáveis QuantitativasDiscreta: Preço, portas, lugares, donos.Contínua: Tamanho em metros, peso.
Variáveis QualitativasNominais: Cor, modelo, tipo de combustívelOrdinais: Ano de fabricação
Exercícios Two2) Considere a tabela abaixo onde estão listadas as notas de 40
alunos:Nota f
5 106 87 98 69 510 2
(a)Calcule a média, a mediana, a moda, a amplitude, a variância, o desvio-padrão e o coeficiente de variação;
(b)Faça um diagrama em barras.
TABELA
a)
Calcule a média, a mediana, a moda, a amplitude, a variância, o desvio-padrão e o coeficiente de variação.
MédiaResolução
x = 275/40 = 6,85 notas/alunos
MedianaResolução
40 termos
ModaResolução
AmplitudeResolução
Variância (S²)Resolução
S²
Desvio-padrãoResolução
Coeficiente de variaçãoResolução
b)
Faça um diagrama em barras:
Exercícios
O que acontece com a mediana, a média, o desvio-padrão e a variância de uma série de dados quando:
Cada observação é multiplicada por 2?A média, a mediana e o desvio padrão ficaram multiplicados por 2, ou seja, dobrará. Já a variância se quadruplicará.
Soma-se 10 a cada observação? A média e a mediana ficam somadas com 10, o desvio padrão e a variância não se alteram.
Subtrai-se a média de cada observação?A média e a mediana ficam igual a zero e o desvio padrão não se altera.
Exercícios
Na companhia A, a média dos salários é R$ 6.000,00 e o terceiro quartil é R$ 3.000,00.
a)
Se você fosse um candidato a trabalhar nesta companhia e o seu futuro salário fosse escolhido ao acaso entre os salários pagos atualmente pela companhia, o que seria mais provável, ganhar mais ou menos de R$ 3.000,00?
Resolução
O candidato receberámenos de R$ 3000, pois 75% dos funcionários dessa empresa ganham atéesse valor.
75%
b)
Suponha que na companhia B a média dos salários é R$ 4.000,00 e a variância quase zero, e que você também se apresenta como candidato. Se o seu futuro salário também fosse escolhido ao acaso entre os salários pagos atualmente, em qual companhia você preferiria trabalhar?
Resolução
Nessa avaliação a empresa B é mais viável, pois a maioria dos trabalhadores ganham mais de R$ 4000.
Probabilidade
Probabilidade
Natureza
Fenômenos determinístico: nas mesmas condições, os resultados são o mesmo.Exemplo:Exemplo: A água sempre ferve a 100 ºC ao nível do mar.
Fenômenos aleatório: nas mesmas condições, o resultado é imprevisível.Exemplo:Exemplo: Duas laranjas no mesmo pomar dão produções diferentes.
Detalhes
Um experimento aleatório é um fenômeno aleatório produzido pelo homem.
Exemplo: Jogar um dado; Jogar uma moeda; Tirar uma carta do baralho; Sorteio da Mega Sena.
Conjunto
O conjunto de todos os resultados possíveis de um experimento aleatório é chamado de espaço amostral. (Ω ou ).
Ex.: Jogando um dadoΩ = 1, 2, 3, 4, 5, 6
Ex.: Jogando 2 moedas, C= Cara, R = CoroaΩ = (C,C); (C,R); (R,C); (R,R)
Um evento é qualquer subconjunto de Ω.
Exemplo: Jogando um dado, descreva:Ω = 1, 2, 3, 4, 5, 6
Exemplos
A) nº par A = 2, 4, 6
B) nº menor que 4 B = 1, 2, 3
C) nº menor que 2 C = 1 Evento Unitário
D) nº menor que 7 D = Ω Evento Certo
E) nº maior que 6 E = 0 Evento Impossível
Operações com Eventos Aleatórios
Ω = e1, e2, ..., en, A, B e C Ω
UniãoA υ B = ei Ω/ ei A ou ei B)
Ω
InterseçãoA ∩ B = ei Ω / ei A e ei B)
Ω
DiferençaA - B = ei Ω / ei A e ei B)
Ω
Complementação- Ac = Ā = Ω – A ei Ω / ei A)
Frequência Relativa
• Se, em n tentativas do experimento, o evento A ocorreu m vezes, tempos a frequência relativa de A:
f(A) =
Exemplos
Jogamos 20 x 1 dados e obtivemos 8 pares.
Então: f(par) = 8/20 = 0,40
Obs: A frequência (f) está sempre entre 0 e 1.
Definição
• 1º P(A) =
• Se Ω é finito e seus elementos tem a mesma chance de ocorrer:
EXERCEXERCÍÍCIO CIO DE DE
PROBABILIDADEPROBABILIDADE
ExercíciosExercícios do Capítulo 5 do livro “Estatística Básica” de Bussab e Morettin
Uma urna contém duas bolas brancas e três bolas vermelhas. Retira-se uma bola ao acaso da urna. Se for branca, lança-se uma moeda, se for vermelha, ela édevolvida à urna e retira-se outra.
a) Dê o espaço amostral do experimento:
Ω = Espaço Amostral = Resultado do Experimento
b)
Lance um dado até que a face 5 apareça pela primeira vez. Enumere os possíveis resultados do experimento.
Exercício One
Três jogadores, A, B e C disputam um torneio de tênis. Inicialmente, A joga com B e o vencedor joga com C, e assim por diante. O torneio termina quando um jogador ganha duas vezes seguidas ou quando são disputadas, ao todo, quatro partidas.
Quais são os resultados possíveis do torneio?
Resolução
Exercício TwoTwo
Duas moedas são lançadas, dê o espaço amostral.
Exercício ThreeThree
Um dado e uma moeda são lançados, dê o espaço amostral.
Exercício FourFour
Dê o espaço amostral para cada um dos experimentos aleatórios:(a) Lançamento de dois dados – anota-se a configuração obtida;
c)
Em famílias com três crianças, anota-se os sexos;
e)
Mede-se a duração de lâmpadas, deixando-as acesas até que se queimem;
g)
Lança-se uma moeda até que apareça cara pela primeira vez, e anota-se o número de lançamentos;
Exercícios FiveFiveExpresse em termos de operações de eventos:
a) A ocorre mas B não ocorre;
Ω
AA--BB
b)
Exatamente um dos eventos A e B ocorre;
AUB AUB -- AA∩∩B = (AB = (A--B) U (BB) U (B--A)A)
c)
Nenhum dos eventos A e B ocorre.
(AUB)(AUB)C C = = ΩΩ -- (AUB)(AUB)
Ω
Probabilidade Condicional
Exercício
Consideraremos os 250 alunos de uma escola de línguas, distribuídos nos cursos de inglês e espanhol da seguinte maneira:
Sorteando-se um aluno ao acaso, qual a probabilidade que curse espanhol, dado que é do sexo feminino?
Resolução
• Sorteando um aluno ao acaso, calcule as probabilidades:
P(E) =
P(F) =
P(E∩F) =
Estudo
• Estudar espanhol, dado que é do sexo feminino.
P(E/F) = =
=
Ω
Probabilidade Condicional
A, B, C Ω
Definimos a probabilidade condicional de A, dado que B ocorre por:
, se
P(A/B)DiagramaDiagrama
Ω
ExercícioΩ = 1, 2, 3, 4, 5, 6
A = 2, 4, 6B = 2, 3, 4, 5, 6
ExercícioΩ = 1, 2, 3, 4, 5, 6A = 2, 4, 6B = 2, 3, 4, 5, 6C = 3, 4, 5, 6
Teorema do Produto
Exercício One
Uma urna possui 5 bolas cinzas e 6 pretas. Retira-se duas, sem reposição.
Calcule a probabilidade de:
a) Ambas serem cinzasb) Casa uma de uma cor
Resolução
a)Teorema do ProdutoTeorema do Produto
b)Teorema do ProdutoTeorema do Produto
=
Exercício Two
Jogamos um dado, e se sair 1 ou 2, tiramos uma bola da urna 1 (que tem 5 cinzas e 3 pretas), e se sair 3, 4, 5 ou 6, tiramos uma bola da urna 2 (3 cinzas e 2 pretas).
Qual a probabilidade da bola retirada ser cinza?
Resolução
Resolução OBSERVAÇÃO
C = Cor Cinza
Resultado
Exercício Three
Idem One a), com reposição:
Eventos Independentes
A, B, C ΩA e B são independentes se:
P(A/B) = P(A) e P(B/A) = P(B)
Logo, P(A∩B) = P(A). P(B)
Exemplo
Utilizando os exercícios One e Two, os eventos são dependentes, já no exercício Three, ele é independente.
Exemplos:
Ω = 1, 2, 3, 4, 5, 6A = 2, 4, 6B = 2, 3, 4, 5, 6C = 3, 4, 5, 6
A e B são dependentes
A e C são independentes
Probabilidade Condicional
ExercExercíício de Probabilidadecio de Probabilidade
ExtraExtra
Exercício One
Em uma cidade do interior do Brasil, a probabilidade de que um habitante escolhido ao acaso tenha televisão em casa é 11/12. Já a probabilidade de esse habitante ser um comerciante é 1/11. Escolhendo um habitante dessa cidade ao acaso, qual a probabilidade de que ele tenha televisão em casa e seja comerciante?
Resolução
Exercício Two
Alguns professores estão prestando concurso para dar aulas em uma escola. Inicialmente, eles farão uma prova escrita e, depois de serem aprovados nessa prova, farão uma prova prática. Aquele que for aprovado na prova prática será contratado. Sabendo que a probabilidade de aprovação na prova escrita é1/4 e de aprovação na prova prática (depois de ser aprovado na escrita) é 2/3, calcule a probabilidade de que um professor, escolhido ao acaso, seja contratado.
Resolução
Exercício Nine
No exame para tirar a carteira de motorista, a probabilidade de aprovação na prova escrita é9/10 . Depois de ser aprovado na parte teórica, há uma prova prática de direção. Para os que já passaram no exame escrito, a probabilidade de passar nessa prova prática é2/3. Qual a probabilidade de que, escolhido um candidato ao acaso, ele seja aprovado em ambas as provas escrita e prática e tire a carteira de motorista?
Resolução
Exercício Twelve
Em uma sala de ensino médio, 12 alunos gostam de vôlei, 13 gostam de futebol, 5 gostam dos dois esportes e outros 10 não gostam nem de vôlei nem de futebol. Sabendo que a turma tem 30 alunos, qual a probabilidade de que um aluno, escolhido ao acaso, goste de vôlei ou de futebol?
Resolução
n = Número de Alunos
Resolução
Exercício
Na experiência de jogar, aleatoriamente, um dado "honesto" de seis faces numeradas de 1 a 6, verificar se os eventos "número dois" e "número par" são independentes.
Resolução
Ω = 1, 2, 3, 4, 5, 6
A = 2, 4, 6
B = 2
Resolução
Resolução
LISTA Probabilidade
Exercício One
(MPOG/2003/ESAF) Paulo e Roberto foram indicados para participarem de um torneio de basquete. A probabilidade de Paulo ser escolhido para participar do torneio é 3/5. A probabilidade de Roberto ser escolhido para participar do mesmo torneio é 1/5. Sabendo que a escolha de um deles é independente da escolha do outro, a probabilidade de somente Paulo ser escolhido para participar do torneio é igual a:
Resolução
Resposta
c) 12/25c) 12/25
Exercício Two
(MPU/2004) Carlos sabe que Ana e Beatriz estão viajando pela Europa. Com as informações que dispõe, ele estima corretamente que a probabilidade de Ana estar hoje em Paris é 3/7, que a probabilidade de Beatriz estar hoje em Paris é 2/7, e que a probabilidade de ambas, Ana e Beatriz, estarem hoje em Paris é 1/7. Carlos então recebe um telefonema de Ana, informando que ela está hoje em Paris. Com a informação recebida pelo telefonema de Ana, Carlos agora estima corretamente que a probabilidade de Beatriz também estar hoje em Paris é igual a:
Resolução
Resposta
b) 1/3b) 1/3
Exercício Three
(MPU/2004) Quando Lígia pára em um posto de gasolina, a probabilidade de ela pedir para verificar o nível de óleo é de 0,28; a probabilidade de ela pedir para verificar a pressão dos pneus é 0,11 e a probabilidade de ela pedir para verificar ambos, óleo e pneus, é de 0,04. Portanto, a probabilidade de Lígia parar em um posto de gasolina e não pedir nem para verificar o nível de óleo e nem para verificar a pressão nos pneus éigual a:
Resolução
Resposta
e) 0,65e) 0,65
Teoria da Probabilidade Totale
Teo de Bayes
Motivação: Suponha uma população em que 1% possua determinada doença. Existe em teste para detectá-la que dáprobabilidade de falso-positivo de 1% e de falso-negativo de 1%.
Testes
Exercício
Uma pessoa fez o teste e de positivo. Qual a probabilidade dela estar doente, isto é P( / ) = ?
P(doente/positivo) = ?
Resolução
Resolução
• Obs: A1, ..., An são uma partição de Ω, se:
Exemplo
Ω = 1, 2, ..., 6A1 = 1, 2A2 = 3, 4, 5A3 = 6
Fórmula
Calculando
A1 = Sadia, A2 = Doente, B = Positivo
Resolução
ExercícioTeorema de Teorema de BayesBayes
Resumo
• Uma caixa com TRÊS moedas:
1º Honesta2º Com DUAS caras3º Com probabilidade de cara 1/5
P(2ª / c) = ?C = CARA
R = COROA
Resolução
Fórmula
Variáveis Aleatórias Discretas
Introdução
Exemplo
Lançam-se 3 moedas. Seja X: número de ocorrências da face cara. Determinar a distribuição de probabilidade de X.
Resolução
Definição
•• VariVariáável Aleatvel Aleatóória (v.a)ria (v.a) é a função que associa a todo evento pertencente a uma partição do espaço amostral um único número real.
• A variável aleatória é discreta quando assume valores em um conjunto finito ou enumerável.
Variáveis Aleatórias Discretas
Função de Probabilidade é a função que associa a cada valor assumido pela variável aleatória a probabilidade do evento correspondente, isto é:
Ao conjunto (xi, p(xi)) i = 1, ..., n é a distribuição de probabilidades.
Observação
Exemplo
• Considere uma urna contendo 3 bolas vermelhas e 5 pretas. Retire 2 bolas, sem sem reposireposiççãoão, e defina a variável X: nº de bolas pretas. Obtenha a distribuição de X.
URNA
Resolução
X = QUANTIDADE DE BOLAS PRETAS RETIRADAS
Ao somar os numerados (circulados) o resultado será o denominador.
Exemplo
• Considere uma urna contendo 3 bolas vermelhas e 5 pretas. Retire 2 bolas, com com reposireposiççãoão, e defina a variável X: nº de bolas pretas. Obtenha a distribuição de X.
URNA
Resolução
Ao somar os numerados (circulados) o resultado será o denominador.
X = QUANTIDADE DE BOLAS PRETAS RETIRADAS
Exercício
• Lança-se uma moeda até que saia cara pela 1º vez X: nº de lançamentos
Resolução
Esperança Matemática(Valor médio ou Média)
Uma seguradora cobra R$1.000 por carro e paga R$ 30000 em caso de sinistro (o que ocorre 3% das vezes).
Quanto ela espera ganhar em média, por carro?
Resolução
ResoluçãoMédia
Observação: Resolução a partir da frequência
ResoluçãoProbabilidade
Observação: Resolução a partir da probabilidade.
FórmulaResolução Probabilidade
Esperança Matemática(Valor médio ou Média)
Podemos definir mediana, moda, variância e desvio-padrão, de forma similar à feita em distribuição de frequência, mas usando p(xi) no lugar de fi/n.
ObservaçãoNotação da variância: o²x, o²(x), o².
DistribuiçõesVariáveis
Distribuição de Bernoulli
• Experimento com somente duas possibilidades:
SUCESSO (S)FRACASSO (F)
X: nº de sucessos em 1 jogada.
Distribuição Geométrica
• Experimento com somente duas possibilidades:
SUCESSO (S)FRACASSO (F)
X: nº de tentativa até 1 S.
Distribuição Binomial
• Experimento com somente duas possibilidades:
SUCESSO (S)FRACASSO (F)
Você estabelece um quantidade e verifica quanto saio no final da verificação.
Variável Aleatório Contínua
É uma v.a. que assume valores em um intervalo contínuo.
Exemplo:
X → Alturacm de um grupo de pessoas.
Funções Densidade de Probabilidade
Seja X uma v.a. contínua A função densidade de probabilidade é a função f(x) tal que:
a) f(x) > 0, para todo x Rx = valores assumidos por x
b) Rx f(x) dx = 1
Além disto, para a, b, е Rx, a < b.
P(a < x < b) = f(x) = dx
Distribuição NormalModelos de Distribuição Contínuas
É a distribuição normal Z , que tem média. O e desvio-padrão 1.Qualquer distribuição normal x com média µ e desvio-padrão o pode ser transformado em Z através de mudança de variável.
Exemplos
Distribuição Normal
Quanto menor o formato do “sino” maior será a aproximação dos dados avaliados.