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La Función Gamma
0),1()1()()1(
,,)!1(!)1(
>−Γ−=Γ=+Γ∈−==+Γ
aaaaaaa
Nnnnnn
∫∞
−−=Γ0
1)( dxexa xa
La Función Gamma extiende el factorial a valores no enteros.
Definición de la Función de Mittag-Lefler
G. M. Mittag-LeflerG. M. Mittag-Lefler
,0
( ) , , 0( )
k
k
xE x
kα β α βα β
∞
==
Γ +∑ f
0
( ) , 0( 1)
k
k
xE x
kα αα
∞
==
Γ +∑ f
E1,1(z)=ez
E2,1(z2)=coshz; E2,2(z
2)=senhz/z
02/12/12/1
2/1
2/112/1
2/1
)(
1
)1(
)2/3(2
)12/12/1(
)12/1(2)
2(
2
)12/11(
1
)1(
)1(
,)!(
!)()(
...,,)(',)(
xxxdt
d
xxxdt
d
xak
kx
dt
d
Naxak
kxf
dt
dxf
kxxfxxf
akka
a
aka
aa
kk
ΓΓ=
+−Γ+Γ=
=+−Γ
=
+−Γ+Γ=
∈−
==
==
−
−
−
−
−
πππ
π
Operador Integral Fraccionario de Riemann-Liouville de orden α
,0,)()()(
1)(
0
1 >−Γ
= ∫ − αα
αα dxxfxtxfJt
),()( xfJJxfJJ αββα =
0,),(
),(1,
),()(
)(
1
,),(0
1
>
∫
=∂
∂=<<−
∂∂−
−Γ
=∂
∂
−−
αατ
τττ
α
αα
αα
α mmdxu
tm
mt
txu
t
m
mm
m
m
t
txutxuD
Derivada Fraccionaria en el sentido Caputo
Nm
matu
mamdxdx
xudxt
amdt
tdtD
m
t
m
mam
m
mm
∈
>
=
<<−∫ −−Γ==
−−
,0,
),(
1,)(
)()(
1
)(0
1
α
• Erdelyi-Kober• Hadamard• Grunwald-Letnikov• Riesz• Derivada Fractal Fraccional • Derivada Fraccional Compleja
¿Cómo se debe decir Derivada de Orden Fraccional o Derivada de Orden No Entero?
Orden Fraccional significa que el orden es un número fraccional, no irracional.
Obviamente, las definiciones discutidas son de Orden No entero, e incluyen valores reales o complejos.
Cuando se alude al Cálculo Fraccionario se entiende el Cálculo de Orden No entero.