El método de integración por partes, se basa en la derivada de un

producto d e funciones.

Sean u y v dos funciones derivables. La diferencial del producto u*v es:

Despejamos y obtendremos la formula para integrar por partes

Regla nemotécnica:

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la regla ALPES.

A: funciones Arco (arco seno, arco coseno, arco tangente)

L: Logaritmos

P: Potencias (de exponente numérico)

E: Exponenciales

S: Seno y coseno

Convendrá utilizar el método de integración por partes cuando tengamos enfrente una

integral de una función arco solamente, un logaritmo solamente o un producto de dos

funciones que pertenezcan a dos de esos cinco tipos.

En el primero caso, sólo una función arco, llamaremos u a esa función arco y dv al resto

(dx en este caso); en el segundo caso, sólo un logaritmo, llamaremos u al logaritmo

y dv al resto (dx también ); y en el tercer caso, el más interesante, el del producto,

llamaremos u a la función cuyo tipo aparezca primero en ALPES y dv al resto (que

ahora será la otra función por dx).

Por ejemplo, la integral

es un producto de x , que pertenece a P, y log(x) , que entra

en L. Como en ALPES la L aparece antes que la P, la asignación

será:

A partir de ellos calcularemos dv(derivando lo que hemos

llamado u) y v (integrando lo que hemos llamado dv ), y

aplicaremos la fórmula base del método. Se entiende que la

integral que nos quedará por resolver será sencilla.

Generalmente será inmediata o susceptible de aplicarle de

nuevo integración por partes.

Ejemplo 1

En este primer caso aplicamos la fórmula directamente,

tomando la x como u.

Ejemplo 2

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