• Si introducimos las diez bolas en una bolsa y las mezclamos suficientemente, la probabilidad que tiene una bola individual de ser extraída es la misma para cualquiera de las bolas.

• En esas condiciones, si extraemos cinco bolas sucesivas, mezclándolas previamente en cada oportunidad, es razonable pensar que vamos a sacar el 2 en más oportunidades que el 5 ó el 9.Esta forma de obtener la muestra es lo que se conoce como Muestreo Aleatorio.

METRICA EN EL ESPACIO ESTADÍSTICO

• El muestreo aleatorio no garantiza que la muestra va a ser representativa de la población, pero al eliminar toda influencia externa en el acto de extraer un elemento de la población, la proporción de cada uno estará influida sólo por la cantidad de veces que está presente en la población de la cual se extrae la muestra

• Entonces, realizando el muestreo en forma aleatoria (al azar), la probabilidad de obtener una muestra representativa de la población es mayor que si en la elección de los elementos de la muestra interviene la voluntad del que efectúa la operación o algún otro factor de influencia.

METRICA EN EL ESPACIO ESTADÍSTICO

• A medida que aumentamos la cantidad de observaciones que tomamos de la población, podemos construir nuestro gráfico con un número mayor de intervalos, aunque de menor amplitud (El rango total cubierto por la población es el mismo).

• Si continuamos este proceso, con intervalos cada vez más estrechos y numerosos, los altibajos en el gráfico de la distribución de frecuencias tienden a desaparecer.

• En el límite, el ancho del intervalo tiende a cero y la población puede representarse por una distribución de probabilidad continua.

• Cuando, para representar esta distribución de probabilidad continua se utiliza una función matemática, esta se denomina Función de Densidad de Probabilidad.

FUNCIONES DE DISTRIBUCIÓN DE PROBABILIDADES

• La forma de la curva en el gráfico de la función de distribución es característica de la población de observaciones asociada con la misma, y depende de variables internas del proceso que generó los datos de la población. Existen distintas funciones de distribución teóricas, cada una de las cuales está basada en un modelo de comportamiento del proceso que generó el universo de observaciones.

FUNCIONES DE DISTRIBUCIÓN DE PROBABILIDADES

• La aplicación de una de estas distribuciones teóricas a una población particular está justificada si las hipótesis (suposiciones) del modelo de comportamiento del proceso que generó la población se cumplen. Dicho de otro modo, si conocemos el proceso, es decir, el conjunto de fenómenos que dieron lugar a nuestra población de mediciones u observaciones, y además estamos seguros de que el mismo se ajusta a un modelo de comportamiento determinado, entonces podemos decir que la distribución de probabilidades de nuestra población es la que corresponde al modelo.

• En la práctica, se sabe que ciertos procesos y fenómenos generan resultados numéricos cuya distribución de probabilidades se puede ajustar a determinados modelos teóricos. Por ejemplo, el número de partículas alfa emitidas por un material radiactivo sigue una distribución de Poisson.

• Existen muchas otras distribuciones teóricas, como la Binomial, la Exponencial, la de Weisbull, etc. Cada una de ellas tiene su propio campo de aplicación, que se sostiene en un determinado comportamiento de los fenómenos, y al aplicarla se está haciendo en forma implícita la suposición de que se cumplen las suposiciones del modelo subyacente.

FUNCIONES DE DISTRIBUCIÓN DE PROBABILIDADES

• La Distribución Normal

Una distribución muy importante es la Distribución Normal o de Gauss.

La ecuación matemática de la función de Gauss es la siguiente:

FUNCIONES DE DISTRIBUCIÓN DE PROBABILIDADES

FUNCIONES DE DISTRIBUCIÓN DE PROBABILIDADES

• La distribución normal es una curva con forma de campana, con eje de simetría en el punto correspondiente al promedio del universo m. La distancia entre el eje de simetría de la campana y el punto de inflexión de la curva es igual a s, la desviación standard de la población.

• El área total debajo de la curva es igual a 1. El área debajo de la curva comprendida entre m - s y m + s es aproximadamente igual a 0,68 del área total; entre m - 2s y m + 2s es aproximadamente igual a 0,95 del área total.

•  Es importante ver que los únicos parámetros necesarios para dibujar el gráfico de la distribución normal son y (Media y desviación standard de la población). Con estos dos parámetros sabemos donde situar la campana de Gauss (En el punto correspondiente a la media) y cual es su ancho (Determinado por la desviación standard).

• Cuando nos encontramos con una población de observaciones, si podemos afirmar que la distribución correspondiente es normal, sólo hace falta estimar la media y la desviación standard para tener toda la información necesaria acerca de dicha población.

• La Distribución Normal Standard

Podemos escribir la fórmula de la distribución normal de la siguiente manera:

FUNCIONES DE DISTRIBUCIÓN DE PROBABILIDADES

Esta es la fórmula de la Distribución Normal Standard o Tipificada. Como podemos observar, en ella hay un sólo parámetro, Z, que incluye al promedio y la desviación Standard de la población. Esta función está tabulada.Al calcular Z, lo que estamos haciendo, en realidad, es un cambio de variable por el cual movemos la campana de Gauss centrándola en el 0 del eje X, y modificamos el ancho para que la desviación Standard sea 1.

con

FUNCIONES DE DISTRIBUCIÓN DE PROBABILIDADES

De esta manera tenemos tabulada una función de Gauss que no depende de cual sea el promedio y la desviación standard de nuestra población real. El cambio de variable hace que se conserve la forma de la función y que sirva para cualquier población, siempre y cuando esa población tenga una distribución normal.

donde S es la desviación standard muestral, calculada con n-1 grados de libertad.

• Cuando queremos calcular las probabilidades para una población real, calculamos Z y entramos en la tabla de la función normal Standard.

 

• La Distribución T de Student

• En la generalidad de los casos, no disponemos de la desviación standard de la población, sino de una estimación calculada a partir de una muestra extraída de la misma y por lo tanto no podemos calcular Z.

• En estos casos calculamos el estadístico T:

FUNCIONES DE DISTRIBUCIÓN DE PROBABILIDADES

con