UNIVERSIDAD NACIONAL DE JAÉN

CARRERA PROFESIONAL DE INGENIERÍA CIVIL

CURSO : ESTÁTICA

TEMA : CENTROIDES DE CUERPOS COMPUESTOS

DOCENTE: ÉDINSON LLAMO GOICOCHEA

CICLO : III

ALUMNOS: CARHUATOCTO VILCHEZ ERWIN IVAN HUAMAN ROJAS JOSE SANTOS RODRIGUEZ RAMIRES VICTOR KEVIN SÁNCHEZ CORONEL EDINSON ALDAIR VARGAS CHAMAYA ESNAIDER VÁSQUEZ SILVA YBILDER FIDEL VENTURA BECERRA ELVIS ELADIO

JAÉN – PERÚ2014

CENTROIDES DE CUERPOS COMPUESTOS

I. DEFINICION:

Un cuerpo compuesto consiste en una serie de cuerpos "más simples"

conectados, los cuales pueden ser rectangulares, triangulares, semicirculares, etc.

Un cuerpo de esta índole a menudo puede ser seccionado o dividido en sus partes

componentes y, si se conocen el peso y la ubicación de cada una de esas partes,

es posible eliminar la necesidad de la integración para determinar el centro de

gravedad del cuerpo entero.

I.1. Método para hallar el centroide de un objeto geométrico compuesto

A. Se divide el objeto o cuerpo en un número finito de partes

componentes que tengan formas más sencillas. Si una parte

componente tiene un agujero, o una región geométrica donde no exista

material, ésta se toma como una componente adicional pero con signo

negativo.

B. Se determina las coordenadas x, y, z del centroide de cada parte.

C. Se calcula las coordenadas del centroide del objeto o cuerpo, utilizando

las siguientes ecuaciones: xyz

I.2. FÓRMULAS

My=(A1+A2+A 3+………………. An)X

O sea My=AX=∑i=1

n

AiXi

O sea X=MyA

= 1A∑i=1

n

AiXi

Análogamente

Mx=Ay=∑i=1

n

AiYi

O sea

Y=MxA

= 1A∑i=1

n

AiYi

Si se considera un agujero como parte integrante de un cuerpo compuesto

su área se considerara magnitud negativa.

SITUACION DEL CENTROIDE EN ALGUNAS LINEAS Y SUPERFICIES

EJERCICIOS DESARROLLADOS

CENTROIDES DE LONGITUDES

1. Localizar el centroide de la varilla representada en la figura siguiente:

Solución

2. Localizar el centroide de la varilla representada en la figura siguiente figura

CENTROIDES DE ÁREAS

3. Localizar el centroide de la superficie representada en la figura siguiente:

4. Localizar el centroide de la superficie sombreada representada en la siguiente figura:

5. Calcular la ubicación del Centroide de la siguiente figura geométrica.

Solución:

Dividimos la figura en áreas más simples de Centroides conocidos.

Calculamos las áreas de las tres figuras conocidas:

A1 = (3*3)/2= 4.5A2 = (8)*(2) = 16 A3 = (3)*(4) = 12

Estudiando la figura 1: X1=1

Y1=3

Estudiando la figura 2: X2=4

Y2=1

Estudiando la figura 3: X3=6.5

Y3=4

Con toda esta información el problema se limita a introducir estos valores en las formulas:

6. Calcular la ubicación del Centroide de la siguiente figura geométrica.

Solución:

El área se obtiene con la suma de un rectángulo, un triángulo y un semicírculo y después se resta un circulo (se sobre entiende que la figura tiene un hueco en forma de circulo).

A1 = (120)*(80) = 9.600 mm2

A4 = π r2 = π (40)2 = 5.026,55 mm2

Y centroide = 36,6 mm

MÉTODO DE INTEGRACIÓN DIRECTA:

Para calcular el centroide de una figura plana que está limitada por arriba por la función “f(x)” , por debajo por la función “g(x)”, por la izquierda por la recta “X = a” y por la derecha por la recta “X = b”; se utilizan las siguientes fórmulas :

Donde “A” representa el área de la figura plana a la que se le está calculando el centroide.

7. Calcular la ubicación del Centroide de la región acotada por “Y = X2” y “Y = X”

Solución:

El primer paso consiste en graficar las dos funciones para determinar cuál queda ubicada arriba y cuál debajo. Igualmente se deben calcular los puntos de intersección de las dos funciones para conocer los índices superior e inferior de la integral definida.

´

Una vez hecha la gráfica podemos decir que:

F(x) = “Y = X” G(x) = “Y = X2” a = 0 b = 1 Calculando el área de la región acotada:

El centroide estará ubicado en el punto (0.5 , 0.4)

8. Calcular la ubicación del Centroide de la región acotada por “f (x)= 4-x2 “ y “g (x)= x+2”

Solución:

El primer paso consiste en graficar las dos funciones para determinar cuál queda ubicada arriba y cuál debajo. Igualmente se deben calcular los puntos de intersección de las dos funciones para conocer los índices superior e inferior de la integral definida.

Estas 2 curvas se cortan en (-2,0) y en (1,3), por lo que el área es:

El centroide es: (-1/2,12/5)El centroide es: (-0.5, 2.4)