1

2015

• Aptitud Académica

• Matemática

• Ciencias Naturales

• Cultura General

Preguntas propuestas

Geometría

2

Ángulo, ángulos entre rectas paralelas y una recta secante

NIVEL BÁSICO

1. Si OM� ��

es bisectriz del AOB, halle x.

x

O B

M

A

25º

A) 170º B) 160º C) 150ºD) 140º E) 130º

2. En el gráfico, halle m AOB.

O

Aαα

θθ

40ºB

A) 80º B) 100º C) 110ºD) 120º E) 140º

3. Del siguiente gráfico, si L L�� ��1 2// , ¿qué tipos de

ángulos son a y b?

L 1

L 2

α

β

A) alternos internosB) alternos externosC) correspondientesD) conjugados internosE) conjugados externos

4. Si L L�� ��1 2// , halle x.

L 1

L 280º

5x

A) 9º B) 10º C) 12º

D) 15º E) 16º

5. Si L L�� ��1 2// , halle x.

L 1

L 2

8x

60º

A) 5º B) 8º C) 10º

D) 15º E) 20º

6. Si L L�� ��1 2// y q=2a, halle a.

L 1

L 2

αθ

α

A) 20º B) 252º

C) 30º

D) 40º E) 452º

Geometría

3

7. De acuerdo con el gráfico, L L�� ��1 2// , calcule x.

L 1

L 2 160ºx

140º

A) 60º B) 65º C) 70ºD) 75º E) 80º

8. Del gráfico, L L�� ��1 2// y L L

�� ��3 4// , halle x.

L 3

L 4

L 1

L 2θ

θ

αα

x

50º

A) 25º B) 30º C) 40ºD) 45º E) 50º

NIVEL INTERMEDIO

9. Si OM� ��

es bisectriz del AOB, además m AOB=80º, halle x.

A

B

M

O

4x+20º

A) 4º B) 5º C) 6ºD) 8º E) 10º

10. Si el AOB es recto y OM� ��

y ON� ��

son bisectrices de los AOC y BOC respectivamente, halle m MON.

A) 20º A

B

MC

N

O

B) 25ºC) 30ºD) 40ºE) 45º

11. Si L L�� ��1 2// y L L

�� ��3 4// , halle x –10º.

L 1

L 2

L 4L 3

x

2x

60º

A) 20º B) 25º C) 30ºD) 40º E) 10º

12. Si las rectas L 1 y L 2 son paralelas, calcule x.

L 1

L 2

x

80º

ββ

αα

A) 120º B) 115º C) 110ºD) 105º E) 100º

Geometría

4

NIVEL AVANZADO

13. En el gráfico mostrado, OM� ��

es bisectriz del BOC y m AOC=3(m BOM), halle m BOM.

A

B

M

O

C

A) 20ºB) 25ºC) 30ºD) 36ºE) 18º

14. En el gráfico mostrado OB���

y OC���

son bisectrices de los ángulos AOC y AOD respectivamente, halle q.

A) 10º A

B

O

C

D

100º θ

B) 18ºC) 20ºD) 25ºE) 30º

15. En el gráfico L L�� ��1 2// , halle x.

L 1

L 2

ββ

αα 40º

100º x

A) 110º B) 120º C) 130ºD) 140º E) 150º

Geometría

5

Triángulo I

NIVEL BÁSICO

1. Según el gráfico, calcule 2x.

70º

5x+10º

5x

A) 10º B) 20º C) 30ºD) 24º E) 15º

2. De acuerdo con el gráfico, calcule x.

60º

2x 5x

A) 10º B) 15º C) 20ºD) 25º E) 30º

3. A partir del gráfico, calcule x.

A) 70º α

α70º

x

30ºB) 75ºC) 80ºD) 85E) 90º

4. En el gráfico mostrado, m+n=140º. Halle x+y.

x

ym

n

110º

A) 120º B) 130º C) 140º

D) 150º E) 160º

5. En el siguiente gráfico, halle x.

50º

60º α

α

x

A) 60º B) 70º C) 80º

D) 100º E) 110º

6. Del gráfico mostrado, halle a.

70º

40ºθ

θα2α

A) 10º B) 15º C) 20º

D) 25º E) 30º

7. En el gráfico, calcule x.

4x

2xθ

θ60º

10º

A) 10º B) 20º C) 25º

D) 30º E) 15º

Geometría

6

8. Según el gráfico, calcule x.

A) 150º

x

120º

2αβ

2βα

B) 140ºC) 130ºD) 120ºE) 100º

NIVEL INTERMEDIO

9. En el gráfico, a+b+q+f=140º. Calcule m+n.

α

β θ

φm n

A) 200º B) 220º C) 240ºD) 280º E) 110º

10. Del gráfico, calcule x+y.

αα

θ

θ

x

y

A) 45º B) 60º C) 90ºD) 120º E) 180º

11. En el gráfico, calcule x –y.

160º

y

θ

θ

αα

x

A) 10º B) 15º C) 25ºD) 20º E) 30º

12. Según el gráfico, m n+ = +1802θ

. Calcule x – y.

θx

m

n y

A) 2q B) 32q

C) q2

D) 52q

E) 3q

NIVEL AVANZADO

13. En un triángulo, los valores numéricos de las medidas angulares interiores son números consecutivos. Halle la medida angular inter-media.

A) 49º B) 58º C) 59ºD) 60º E) 61º

14. Según el gráfico, calcule x+y.

2θ

2αθ

α β

β

ω

ω

x

y120º

A) 80º B) 85º C) 90ºD) 70º E) 75º

15. En un triángulo ABC, AB=5, BC=6 y m ABC > m BAC. Halle la diferencia entre el mayor y menor valor entero de AC.

A) 1 B) 2 C) 3D) 4 E) 5

Geometría

7

Triángulo II

NIVEL BÁSICO

1. Si AB=BC=AC=BD, halle x.

A

B

C

D

x

70º

A) 65º B) 70º C) 80ºD) 85º E) 90º

2. Si AB=BC y AC=CD, calcule x.

A

B

C

D

x

100º

A) 50º B) 55º C) 60ºD) 65º E) 70º

3. En el gráfico, BD es bisectriz interior del trián-gulo ABC, además, AB=BD. Halle m BAC.

30º

A

B

CD

A) 50º B) 60º C) 70ºD) 80º E) 75º

4. En el gráfico, BD es bisectriz exterior del trián-gulo ABC, halle x.

A

B

C D30º30º 20º

xx

A) 55º B) 60º C) 65ºD) 70º E) 80º

5. En el gráfico, los triángulos ABC y ADC son isósceles de bases AC y CD, respectivamente. Halle x.

A) 10º

A B

C

D

x

40º

B) 15ºC) 20ºD) 5ºE) 25º

6. En un triángulo isósceles, ABC de base AC, se traza la altura CH, tal que, m BCH=4(m ACH). Halle m ABC.

A) 10º B) 15º C) 20ºD) 30º E) 40º

7. Si ABC es un triángulo equilátero, además, BR=BS, calcule x.

50º

A

B

C

R

x

S

A) 20º B) 30º C) 40ºD) 45º E) 50º

Geometría

8

8. Del gráfico mostrado, si a+b=150º, calcule a.

αα

ββ

θ

θa

b

A) 20º B) 30º C) 40º

D) 50º E) 60º

NIVEL INTERMEDIO

9. En un triángulo ABC, se traza la bisectriz interior BD, tal que m ABD=m  ACB. Si m BAC=60º. Halle m  ACB.

A) 20º B) 30º C) 35º

D) 40º E) 25º

10. En un triángulos isósceles ABC de base AC, se traza la ceviana interior BD, tal que, BD=AD y m CBD=90º. Halle m BAC.

A) 15º B) 30º C) 36º

D) 45º E) 37º

11. En la región exterior del lado AC de un triángulo isósceles ABC(AB=BC), se ubica el punto D, tal que, AD=BC y m BAD=60º. Halle m BCD, si m ABC=100º.

A) 50º B) 55º C) 60º

D) 65º E) 70º

12. Si L��

es mediatriz de AC y AB=CM. Halle x en función de a y b.

βα

L

A

B

M C

x

A) a – b B) α β−

2 C) a – 2b

D) α β− 2

2 E)

α β+2

NIVEL AVANZADO

13. En un triángulo ABC, m ACB=60º y m ABC=70º. Si se traza la altura BH, halle la medida del ma-yor ángulo formado por las bisectrices de los ángulos BAC y HBC.

A) 90º B) 100º C) 110ºD) 120º E) 130º

14. En la región exterior relativa al lado BC de un triángulo equilátero ABC, se ubica D, tal que AD ∩ BC = {E} y BE=DE. Halle m CAE, si AC=BD.

A) 10º B) 15º C) 20ºD) 30º E) 40º

15. Del gráfico mostrado, q > a, AB=7 y AC=9. Halle la cantidad de valores enteros de BC, si el ABC es acutángulo.

αθ

A

B

C

A) 6 B) 5 C) 4D) 3 E) 2

Geometría

9

Congruencia de triángulos

NIVEL BÁSICO

1. ¿Cuáles de los siguientes pares de triángulos son congruentes?

I.

α αa

b a

b

II. m

m

n n

III. a

a

b

m

mb

A) I y III B) solo II C) solo IIID) II y III E) I, II y III

2. En el siguiente gráfico, AB=BC y AM=CN. Calcule x.

40º

A CM

B

Nx

A) 40º B) 50º C) 60ºD) 70º E) 80º

3. Si AB=BC, CD=2 y DE=3, calcule AE.

A

B

C

D

E

A) 8 B) 7 C) 6D) 5 E) 4

4. Se muestran los triángulos equiláteros ABC y CDE. Si AD=6, halle BE.

A

B

C

D E

A) 6 3 B) 6 2 C) 6D) 3 E) 3 3

5. Si AB=BC, AE=8 y DE=2, halle BE.

α

α

β

β

A

BC

D

E

A) 10 B) 9 C) 8D) 7 E) 6

6. En el siguiente gráfico, AB=CE=5, AC=CD=4 y BD=2, halle DE.

αα

A

B

C

D

E

A) 5 B) 4 C) 3D) 6 E) 8

Geometría

10

7. En el siguiente gráfico, AC=CD, AB=6 y DE=4; halle BE.

A

B C

D

E

A) 12 B) 12,5 C) 10D) 9 E) 8

8. Del gráfico, las regiones ABC y ECD son con-gruentes. Halle x.

A

B C

D

Exx

A) 60º B) 53º C) 45ºD) 37º E) 30º

NIVEL INTERMEDIO

9. En el gráfico mostrado las regiones sombreadas son congruentes. Halle x.

θ

x

A) q B) 2q C) 90º – qD) 45º+ q E) 45º+ q/2

10. Si el ABC es equilátero, CD=AE, EM=6 y BD=11; halle MC.

A

B

CD

E

M

A) 2 B) 3 C) 4D) 5 E) 6

11. En el gráfico mostrado, AB=BC y BD=BE.

Calcule CMME

.

A

B

C

D

EM

A) 2 B) 1 C) 2

2

D) 12

E) 2

12. En el siguiente gráfico, AB=CD y BC=DE. Halle x.

A) 50º

A

B

C

D

E

100º

70º 70º

xB) 60ºC) 70ºD) 80ºE) 85º

Geometría

11

NIVEL AVANZADO

13. En un triángulo ABC, se traza la ceviana in-terior BD, tal que AB=CD, m BAC=30º y m CBD=75º. Halle m ABD.

A) 30º B) 35º C) 40ºD) 45º E) 50º

14. Indique la secuencia correcta de verdad (V) o falsedad (F) de las siguientes proposiciones.

I. Si un triángulo presenta solo dos alturas congruentes, entonces dicho triángulo es isósceles.

II. En todo triángulo isósceles, la altura relativa a la base biseca a dicha base.

III. En un triángulo equilátero, las tres alturas son congruentes entre sí.

A) VVV B) VFV C) VVF

D) FVV E) FFV

15. Indique la secuencia correcta de verdad (V) o falsedad (F) de los siguientes enunciados.

I. Si las longitudes de los tres lados de un triángulo son iguales a las longitudes de los lados de otro triángulo, entonces dichos triángulos son congruentes.

II. Todos los triángulos equiláteros isoperimé-tricos son congruentes entre sí.

III. Si dos triángulos rectángulos isósceles pre-sentan un lado común, entonces dichos trián-gulos son congruentes.

A) VVV B) VFV C) VVF

D) VFF E) FVV

Geometría

12

Aplicaciones de la congruencia

NIVEL BÁSICO

1. En el gráfico mostrado, BD=3 y AC=AB+4. Halle x.

A) 45º

θθ

A B

C

D

xB) 53ºC) 60ºD) 37ºE) 30º

2. En un triángulo ABC, se traza la altura BH (H en AC), tal que HC=10 y m HBC=m BAC+m ACB. Halle la distancia de C hacia AB

���.

A) 5 B) 5 2 C) 10D) 10 2 E) 20

3. En el gráfico mostrado, L��

es mediatriz de AC, además AB=BD. Halle x.

40º

L

A

B

C

Dx

120º

A) 60º B) 65º C) 70ºD) 75º E) 80º

4. En el gráfico mostrado, AD���

es bisectriz del BAC y L

�� es mediatriz de BC. Si AB=6 y

DE=1, halle AC.

A

D

E

B

CL

A) 12 B) 7 C) 8D) 9 E) 10

5. En el gráfico, M, N, P y Q son los puntos medios de AC, AB, NR y MR. Si BP=9 y QC=3, halle PQ.

A

B

Q

CM

NP R

A) 2 B) 3 C) 4D) 5 E) 3,5

6. En el gráfico, AB = 6 2. Halle AC+BC.

α

αθ

θ

A

B

C

A) 6 2 B) 12 C) 3D) 6 E) 12 2

7. En el siguiente gráfico, BC=CD y AB=CE. Halle x.

A

B

C

DEx53º

A) 37º B) 53º C) 30ºD) 45º E) 60º

Geometría

13

8. En un triángulo ABC, se traza la mediana BM, y en su prolongación se ubica el punto P, tal que la m APB=90º, además BC=2(AP).

Halle m MBC.

A) 15º B) 30º C) 37ºD) 45º E) 60º

NIVEL INTERMEDIO

9. En un triángulo rectángulo ABC, recto en B, se traza la ceviana interior AD, tal que m ACB=2(m BAD). Si BD=a y CD=b, halle AC.

A) 2a+b B) a+2b C) 2(a+b)D) 2 a b+( ) E) 2a+3b

10. Se tiene un triángulo rectángulo ABC, recto en B, se traza la ceviana interior AD, tal que m DAC=2(m BAD), además AC=AD+2(BD). Halle m BAD.

A) 15º B) 16º C) 18ºD) 20º E) 24º

11. Se muestra un triángulo equilátero ABC.

Halle DNCL

.

45º

A

B

C

D

L

N

A) 14

B) 32

C) 34

D) 64

E) 68

12. En el triángulo rectángulo ABC, recto en B, se ubica P en la región interior, de modo que PB=3, PA=5, m PAC=2(m PBC)=2(m ACB).

Calcule la m ACB.

A) 15º B) 30º C) 37º

D) 372º

E) 532º

NIVEL AVANZADO

13. Se tiene un triángulo rectángulo ABC, recto en B, se traza la bisectriz interior CD, y en AD y CD se ubican M y N tal que BD=DM y CD=2(MN). Calcule m MNC, si m BAC=60º

A) 106º B) 120º C) 135ºD) 143º E) 150º

14. En la prolongación de AC de un triángulo rec-tángulo ABC, recto en B se ubica D, tal que m CBD=2(m BAC) y AB=DM (M: punto me-dio de AC). Calcule m BAC.

A) 10º B) 15º C) 20ºD) 25º E) 30º

15. Se tiene un triángulo ABC isósceles de base AC, tal que m ABC=20º, AB=10, además, se traza la bisectriz interior AI. Halle el perímetro de la región triangular AIC.

A) 20 B) 15 C) 10D) 5 E) 5 2

Geometría

14

Anual UNI

01 - E

02 - C

03 - C

04 - E

05 - D

06 - E

07 - C

08 - C

09 - B

10 - E

11 - C

12 - C

13 - E

14 - C

15 - B

01 - B

02 - C

03 - C

04 - D

05 - E

06 - E

07 - C

08 - E

09 - B

10 - E

11 - D

12 - C

13 - D

14 - A

15 - C

01 - C

02 - D

03 - C

04 - E

05 - B

06 - D

07 - C

08 - C

09 - D

10 - B

11 - E

12 - D

13 - B

14 - C

15 - C

01 - E

02 - D

03 - D

04 - C

05 - E

06 - D

07 - C

08 - C

09 - E

10 - D

11 - B

12 - B

13 - D

14 - A

15 - C

Ángulo, Ángulos entre rectas paralelas y una secante

triÁngulo i

triÁngulo ii

congruencia de triÁngulos

aplicaciones de la congruencia

01 - D

02 - C

03 - C

04 - C

05 - C

06 - B

07 - C

08 - B

09 - A

10 - C

11 - E

12 - D

13 - E

14 - C

15 - C