COLEGIO RETAMAR 1º de Bachillerato. Física

EXAMEN Nº 01

Alumno Nº 1º A Hoja 1. Fecha: 20 de octubre, 2014

1. El vector de posición de una partícula viene dado por 𝒓𝒓�⃗ (𝒕𝒕) = 𝟐𝟐𝒕𝒕𝟐𝟐𝒊𝒊 − 𝒕𝒕𝟑𝟑𝒋𝒋 𝒎𝒎. Halla:

a. La ecuación de la trayectoria, 𝒚𝒚(𝒙𝒙). (0,5 p.) b. La rapidez con la que se mueve para 𝒕𝒕 = 𝟏𝟏 𝒔𝒔. (1 p.) c. 𝒂𝒂��⃗ (𝒕𝒕) para 𝒕𝒕 = 𝟏𝟏 𝒔𝒔. (0,5 p.) d. 𝒂𝒂��⃗ 𝒕𝒕(𝒕𝒕) y 𝒂𝒂��⃗ 𝒄𝒄𝒄𝒄(𝒕𝒕) para 𝒕𝒕 = 𝟏𝟏 𝒔𝒔. (1 p.) e. El radio de curvatura para 𝒕𝒕 = 𝟏𝟏 𝒔𝒔. (1 p.)

a. La ecuación de la trayectoria se haya despejando 𝑡𝑡(𝑥𝑥) y sustituyendo esta expresión

en 𝑦𝑦(𝑡𝑡). Es decir:

𝑟𝑟(𝑡𝑡) = �𝑥𝑥(𝑡𝑡) = 2𝑡𝑡2

𝑦𝑦(𝑡𝑡) = −𝑡𝑡3� ⇒ 𝑡𝑡(𝑥𝑥) = �

𝑥𝑥2⇒ 𝑦𝑦(𝑥𝑥) = 𝑦𝑦[𝑡𝑡(𝑥𝑥)] = −��

𝑥𝑥2�

3

= −𝑥𝑥32

2√2

b. La rapidez de una partícula viene dada por el módulo de su velocidad, |�⃗�𝑣(𝑡𝑡)|. Puesto

que

�⃗�𝑣(𝑡𝑡) = �̇�𝑟 =𝑑𝑑𝑟𝑟(𝑡𝑡)𝑑𝑑𝑡𝑡

=𝑑𝑑(2𝑡𝑡2𝚤𝚤 − 𝑡𝑡3𝚥𝚥 )

𝑑𝑑𝑡𝑡= 4𝑡𝑡𝚤𝚤 − 3𝑡𝑡2𝚥𝚥 𝑚𝑚/𝑠𝑠

Por tanto,

|�⃗�𝑣(𝑡𝑡)| = �16𝑡𝑡2 + 9𝑡𝑡4 ⇒ |�⃗�𝑣(1𝑠𝑠)| = 5 𝑚𝑚/𝑠𝑠

c. El vector aceleración es la derivada de la velocidad, es decir:

�⃗�𝑎(𝑡𝑡) =𝑑𝑑�⃗�𝑣(𝑡𝑡)𝑑𝑑𝑡𝑡

=𝑑𝑑2𝑟𝑟(𝑡𝑡)𝑑𝑑𝑡𝑡2

= (4𝚤𝚤 − 6𝑡𝑡𝚥𝚥)𝑚𝑚𝑠𝑠2⇒ �⃗�𝑎(1𝑠𝑠) = (4𝚤𝚤 − 6𝚥𝚥)

𝑚𝑚𝑠𝑠2

d. La aceleración tangencial es la derivada respecto del tiempo del módulo de la aceleración, es decir:

|�⃗�𝑎𝑡𝑡(𝑡𝑡)| =𝑑𝑑|�⃗�𝑣(𝑡𝑡)|𝑑𝑑𝑡𝑡

=16𝑡𝑡 + 18𝑡𝑡3

√16𝑡𝑡2 + 9𝑡𝑡4=

16 + 18𝑡𝑡2

√16 + 9𝑡𝑡2 𝑚𝑚/𝑠𝑠2 ⇒ �⃗�𝑎𝑡𝑡(1𝑠𝑠) =

345𝑚𝑚/𝑠𝑠2𝑢𝑢�⃗ 𝑡𝑡

Por lo tanto, como

|�⃗�𝑎|2 = |�⃗�𝑎𝑡𝑡|2 + ��⃗�𝑎𝑐𝑐𝑐𝑐�2 ⇒ ��⃗�𝑎𝑐𝑐𝑐𝑐�

2 = |�⃗�𝑎|2 − |�⃗�𝑎𝑡𝑡|2 ⇒ ��⃗�𝑎𝑐𝑐𝑐𝑐(1𝑠𝑠)� = �52 −342

52𝑚𝑚𝑠𝑠2

⇒

⇒ �⃗�𝑎𝑐𝑐𝑐𝑐 = −125𝑚𝑚𝑠𝑠2𝑢𝑢�⃗ 𝑛𝑛 = −2,4 𝑚𝑚/𝑠𝑠2𝑢𝑢�⃗ 𝑛𝑛

e. El radio de curvatura, para terminar, viene dado por:

��⃗�𝑎𝑐𝑐𝑐𝑐� =𝑣𝑣2

𝑅𝑅⇒ 𝑅𝑅 =

𝑣𝑣2

��⃗�𝑎𝑐𝑐𝑐𝑐�=

12512

𝑚𝑚

Nota