Concetti fondamentali della teoria degli insiemi1

Indice della lezione

Gli insiemi

Concetti fondamentali della teoria degli insiemiStoria della teoria matematica degli insiemi

Insiemi: termini, simboli e linguaggio

Sottoinsiemi Insieme delle parti e partizioni

Lavorare con gli insiemiOperazione fra insiemi Proprietà delle operazioni fra insiemi

Numero degli elementi di un insieme Insiemi finiti ed infiniti

Gli insiemi

Concetti fondamentali della teoria degli insiemi

Storia della teoria matematica degli insiemi

La teoria matematica degli insiemi nasce negli untimi anni del XIX secolo con George Cantor (1845-1918),

matematico tedesco di origine russa, mentre affrontava lo studio delle quantità infinite, volendo rispondere a

domande del tipo:

La teoria agli inizi non ebbe molto successo, ma solamente dal 1920 venne presa in considerazione dai matematici e successivamente giustamente applicata in molti ambiti.

“Quanti sono i numeri interi?”

“Sono di più i numeri interi o i numeri pari o dispari?”

Insiemi: termini, simboli e linguaggio Concetto di insieme

In matematica l’insieme è considerato un concetto primitivo, che non ha bisogno di ulteriori definizioni, quindi per comprenderne il significato si usa considerare le sue proprietà.

Esempi

• Le città italiane sono un insieme.• Le grandi città italiane non sono un insieme, perché avendo indicato l’aggettivo “grande”,

queste sono di difficile individuazione.• I monumenti più belli della città non sono un insieme, in quanto, avendo indicato l’aggettivo

“belli”, non è sufficientemente chiaro cosa si intende per “belli”. Un monumento può essere bello per alcuni e non per altri.

• I fiumi d’Italia sono un insieme.• Le persone alte 1,98 sono un insieme.• N indica l’insieme dei numeri naturali: 0,1,2,3,4,5,6 …….• Z indica l’insieme dei numeri interi : ….., -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4 ……• Le lettere dell’alfabeto internazionale sono un insieme.• Le ragazze simpatiche della scuola non sono un insieme, perché il concetto di simpatia varia

da persona e persona.


Il criterio oggettivo, in base al quale si costruisce un insieme, rappresenta la

proprietà caratteristica degli elementi di un insieme.

Si può affermare che:

un insieme è un raggruppamento di oggetti, di natura

qualsiasi, individuabile tramite un criterio

oggettivo

un insieme è correttamente definito

quando con esattezza si può decidere se un elemento qualsiasi

appartiene o no all’insieme

oppure


Gli insiemi si indicano con le lettere maiuscole dell'alfabeto (A, B, C, …X,Y, Z) mentre gli oggetti appartenente all’insieme, detti elementi, si indicano con le lettere minuscole dell’alfabeto (a, b, c, …x, y, z).

Am

AbInoltre due insiemi si dicono uguali se sono formati dagli stessi elementi.

Per indicare che l’elemento m appartiene all’insieme A delle lettere dell’alfabeto che costituiscono la parola matematica si scrive:

mentre per indicare che l’elemento b non appartiene all’insieme A si scrive:

Elementi di un insieme


Sono insieme universo i seguenti insiemi:

• N per l’insieme dei numeri pari• Z per l’insieme dei numeri negativi• L’alfabeto italiano per l’insieme A così individuato

}'/{ matematicaparoladellaalfabetodellletteraunaèaaA

Un insieme che non ha elementi viene detto insieme vuoto e si indica con il simbolo oppure con il simbolo { }.

Sono vuoti gli insiemi:

• degli alunni delle scuole superiori aventi meno di 4 anni• le persone che abitano il pianeta Venere• l’insieme dei numeri negativi compresi tra 7 e 100

Un qualunque insieme si può sempre considerare contenuto in un insieme più ampio detto insieme ambiente o anche insieme universo ed a volte si indica con U.

Insieme vuoto e insieme universo


• per elencazione o rappresentazione tabulare

• mediante rappresentazione caratteristica

• tramite i diagrammi di Eulero-Ven

Gli insiemi si possono rappresentare principalmente in tre diversi modi:

Rappresentazione degli insiemi


Nel rappresentare gli insiemi per elencazione si usa scrivere fra parentesi graffe tutti gli elementi dell’insieme ricordando che:

};;;;;{ cietamA

• l'ordine con il quale si elencano gli elementi non è importante

• ciascun elemento va indicato una sola volta.

L’insieme A delle lettere dell’alfabeto che formano la parola matematica, nella rappresentazione per elencazione, si scrive:

Elencazione


• il nome generico degli elementi dell’insieme

• una barra verticale che si legge “tali che”

• la proprietà caratteristica

}'/{ matematicaparoladellaalfabetodellletteraunaèaaA

L’insieme A delle lettere dell’alfabeto che formano la parola matematica, nella rappresentazione mediante caratteristica, si scrive:

Nel rappresentare gli insiemi tramite caratteristica, fra parentesi graffe, si usa scrivere:

Caratteristica


Nel rappresentare gli insiemi tramite Eulero-Venn, si traccia una linea chiusa e non intrecciata che evidenzi una regione di piano in cui sono contenuti tutti gli elementi dell'insieme.

Per l’insieme A delle lettere dell’alfabeto che formano la parola matematica, nella rappresentazione di Eulero-Venn, si ha:

In prossimità della figura viene indicato il nome dell’insieme, all’interno della linea si esplicitano gli elementi; a volte questi possono essere sottintesi.

Eulero-Venn

Sottoinsiemi

Dati due insiemi A e B, si dice che B è un sottoinsieme di A se tutti gli elementi di B appartengono anche ad A e si scrive:

AB

AC

BAoppureAB

Definizione di sottoinsieme

Ogni insieme è sottoinsieme di se stesso e l'insieme vuoto è sottoinsieme di qualunque insieme.

Quindi ogni insieme ha almeno due sottoinsiemi: l’insieme vuoto e se stesso, detti anche

sottoinsiemi impropri di A.

Qualsiasi altro sottoinsieme di A viene detto sottoinsieme proprio, per evidenziare che B è un sottoinsieme proprio di A si scrive:

Se un insieme C non è sottoinsieme di A si scrive:

Sottoinsiemi

Insieme complementare

BxeAxxBABC A /

Esempio

L’insieme complementare di B rispetto ad A è l’insieme C di tutti gli elementi x che appartengono ad A e non appartengono ad B. In simboli si scrive:

100/ xeNxxA

50,2/ neNnnxxB

AneNnnxxBAC 50,12/

Sottoinsiemi

ATTENZIONE

simbolo di non appartenenza simbolo di appartenenza

aA bA

simbolo di inclusione propria simbolo di inclusione impropria

I simboli di inclusione esprimono sempre un legame tra insiemi mai tra l’insieme ed i suoi elementi. Il nome del sottoinsieme è scritto a sinistra e quello dell'insieme a destra.

BA BA

I simboli di appartenenza esprimono sempre un legame tra un elemento ed un insieme, mai tra due insiemi o tra due elementi. Il nome dell'elemento è scritto a sinistra, quello dell'insieme a destra.

Insieme delle parti e partizioneInsieme delle parti

Dato un insieme A si chiama insieme delle parti, e si indica con P(A), l’insieme che ha per elementi tutti i sottoinsiemi di A, propri ed impropri.

Esempi

nottegiornoA ; nottegiornonottegiornoAP ,;;;)(

cbaB ;; cbacbcabacbaBP ;;;;;;;;;;;;)(

L’insieme vuoto ha come unico sottoinsieme se stesso, P(A)={}.

Il numero degli elementi dell’insieme delle parti di un insieme A dipende dal numero di elementi di A. Vale la regola che se il numero degli elementi di A è n, il numero degli elementi di P(A) è 2n.

Elementi di A Elementi di P(A)

n 2n

Nel primo esempio l’insieme A è costituito da 2 elementi, P(A) quindi da 22=4 elementi.

Nel secondo esempio l’insieme B è costituito da 3 elementi, P(A) quindi da 23=8 elementi.

Insieme delle parti e partizione

Nelle due ore di Educazione Fisica, gli alunni della classe 1°A possono scegliere se frequentare il corso di nuoto o di pallavolo o di tennis.Al momento della lezione gli studenti vengono divisi in gruppi e successivamente ciascuno si reca nella propria palestra.Indicato con A l’insieme degli alunni della classe, i vari corsi vengono così indicati:

,, ABeABAB TPN

Se per l’insieme A e i sottoinsiemi BN, BP e BT valgono le proprietà sopra elencate,

si dice che BN, BP e BT costituiscono una partizione di A.

Partizione di un insieme

• BN, gruppo di alunni che frequentano il corso di nuoto;

• BP, gruppo di alunni che frequentano il corso di pallavolo;

• BT, gruppo di alunni che frequentano il corso di tennis.

Le proprietà dei vari sottogruppi sono:

• BN, BP e BT sono diversi dall’insieme vuoto, cioè contengono almeno un alunno, altrimenti il corso non sarebbe stato attivato;

• BN, BP e BT sono sottoinsieme dell’insieme A, alunni della classe 1°;

• ogni alunno della classe 1° frequenta un solo corso, quindi un alunno che frequenta il corso di nuoto non può frequentare né quello di pallavolo, né quello di tennis;

• mettendo insieme gli alunni che frequentano nuoto, con quelli di pallavolo e tenni, si ottiene l’intera classe 1° A e quindi si può ricostruire l’insieme A di partenza.

Insieme delle parti e partizione

Generalizzando si può affermare che:

• ogni sottoinsieme Bi per i=1,…, n è diverso dall’insieme ;

• ogni elemento di A appartiene ad un solo Bi per i=1,…, n, cioè non esistono elementi che appartengono a più Bi;

• prendendo tutti gli elementi di ciascun Bi per i=1,…, n, si ottiene tutto l’insieme A di partenza.

dato un insieme A e considerati n sottoinsiemi Bi di A, si dice che i Bi costituiscono una partizione di A se si verificano le seguenti condizioni:

,.......}6,5,4,3,2,1,0{N

costituiscono una partizione di

Esempio

,.......}5,3,1{,.......}6,4,2,0{ DP NeN

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