Álgebra y Geometría Analítica. Prof.: Gisela Saslavsky

TRABAJO PRÁCTICO: LOS EJERCICIOS SEÑALADOS CON * DEBEN RESOLVERSE TAMBIÉN USANDO SOFTWARE MATEMÁTICO. LAS

ECUACIONES PEDIDAS SON, EN TODOS LOS CASOS, LAS CANÓNICAS Y LAS PARAMÉTRICAS.

I) GEOMETRÍA ANALÍTICA EN EL PLANO

EJERCICIOS DE REPASO:1. Determinar y graficar el conjunto de puntos del plano que equidistan de los puntos A(0, 2)

y B(2, 4).2. Determinar y graficar el lugar geométrico de los puntos cuya distancia a C(0, 2) es 23. Analizar las simetrías respecto de los ejes coordenados y del origen de coordenadas de los

lugares geométricos definidos por a) x . y = 4 ; b ) x 2 + 2 x + 3 y 2 = 04. Demostrar las ecuaciones de transformación de la traslación y de la rotación de un sistema

de coordenadas cartesiano.5. Mostrar que la distancia entre dos puntos es invariante frente a traslación y rotación del

sistema de coordenadas.6. El sistema OXY se ha trasladado al punto O´(1,-2). En un gráfico que muestre ambos

sistemas (OXY y O´X´Y´), dibujar los lugares geométricos definidos por las siguientes ecuaciones: a) x+3y-4=0; b) y=x2-2; c) x'2+y'2=4Dar en cada caso las ecuaciones respecto del otro sistema.

7. El sistema OXY se ha rotado 60º. En un gráfico que muestre ambos sistemas (OXY y OX´Y´), dibujar los lugares geométricos definidos por las siguientes ecuaciones: a) x+3y-4=0; b) y=x2-2; c) x'2+y'2=4Dar en cada caso las ecuaciones respecto del otro sistema.

SECCIONES CÓNICAS(1)Determinar y graficar el lugar geométrico de los puntos que equidistan de F(0, 2) y de la recta

y−1=0(2)Determinar y graficar el lugar geométrico de los puntos que equidistan de F(0, 2) y de la recta

2y− x+1=0(3)Encontrar las coordenadas del vértice y del foco, la ecuación de la directriz y trazar la gráfica de las siguientes parábolas:−2x2= y ;( x+1)2=4y ; y= x2+4x−16 ;∗x= y 2+4x+6 ;− x2+6x−4y−9=0

(4)Completar el siguiente cuadro sobre las características de la PARÁBOLA:Ecuación Vértice Eje Foco Directriz La gráfica se extiende hacia

x2=4cy (O, O) arriba si c >0; ............. si c<0y = 0 (c,0) x = -c ............. si c >0; izquierda si c<0x = x0 (x0, y0+c) y = y0-c ........... si c >0; abajo si c <0

(y-y0)2 = 4c(x-x0) (x0, y0) derecha si c >0; ............ si c <0

(5)Hallar una ecuación de la parábola que satisfaga las siguientes condiciones:a) Vértice en (0, 0), eje x=0, pasa por (-1, 4)b) Vértice en (0, 0), foco (-2, 0)* c) Eje y=0, pasa por (2, 1) y vértice en (0, 0)d) Foco en (3, -1); directriz x= ½e) Eje paralelo al eje X, vértice en (1, 3) y que pasa por (-1, -1)(6)Analizar las simetrías respecto de los ejes coordenados y del origen de coordenadas de una parábola horizontal con vértice en el origen.

Álgebra y Geometría Analítica. Prof.: Gisela Saslavsky (7)Determinar y graficar el lugar geométrico de los puntos cuya suma de sus distancias a F(0, 2) y F´(0,-2) es igual a 10.(8)Determinar y graficar el lugar geométrico de los puntos cuya suma de sus distancias a F(2, 2) y F´(-2,-2) es igual a 10.(9)Obtener las coordenadas del centro, de los vértices y de los focos de la elipse cuya ecuación se da a continuación. Calcular además su excentricidad y trazar su gráfica.* 4x2+7y2=28 ; (x , y )=(5sen (t) ,3cos (t ))con t∈[0,2 pi ] ;

5y2+9x2−30y+18x+9=0(10)Encontrar la ecuación de la elipse que satisfaga las condiciones:a) Centro en (0,0), vértices en (5,0) y (0,-2) b) Vértices en (4,0) y (-4,0) y (0, ±2)c) Vértices en (0, ±4), focos en (0, ±2)d) Vértices en (-1, 2), (-7, 2) y eje menor de longitud igual a 2.e) Vértices en (3, -2), (13, -2) y focos en (4, -2), (12, -2)f) Centro en (2, 1), eje mayor paralelo al eje X y que pasa por los puntos (6, 1) y (2, 3) (11)Para qué valores reales de k la ecuación x2+ y2+6kx−4y+13k=0 es una circunferencia, puntos o ningún lugar geométrico.(12)Para qué valores reales de k la ecuación 2x2+ y2+kx+2=0 es una elipse, puntos o ningún lugar geométrico.(13)Hallar la ecuación y graficar el lugar geométrico de los puntos cuya diferencia de distancias a los puntos F(0, 3) y F´(0,-3) es igual a 4. (14)Obtener las coordenadas de los vértices y de los focos, dar las ecuaciones de las asíntotas, calcular su excentricidad y graficar las hipérbolas cuyas ecuaciones respectivas son:* a) y2− x2=9 b) 2x2− y2=4c) y2/16− x2/9=1 d) (x , y )=(2sec(t) , tan( t))con t ∈[−pi , pi ]e) x2− y 2+2y+2x=4 *f) 25y2−250y−4x2−16x+509=0 (15)Hallar las ecuaciones de las hipérbolas que verifican las siguientes condiciones:a) Centro en (0,0), vértices (±3,0), un foco en (5,0)* b) Focos en (0, ±3), un vértice en (0,1)c) Centro en (-1, 4), un foco en (-1, 2), y un vértice en (-1, 3)d) Centro en (2, -3), eje transverso paralelo a uno de los ejes coordenados y que pase por los puntos (3, -1) y (-1, 0)*e) Las ecuaciones de sus asíntotas son 2x + y = 0 y 2x – y = 0, y pasa por (3, -5) (16)La distancia entre dos soportes verticales de un puente colgante es de 100m y la flecha del cable es de 15m.

a) Si el cable tiene forma de parábola, obtener su ecuación. Suponer que el vértice está en el punto medio, el más bajo, del cable.b) Hallar la altura del cable a 30m del centro.(17)Determinar el vértice y el foco de una parábola cuya ecuación es y=ax2+bx+c ,a≠0(18)Un satélite es puesto en órbita elíptica alrededor de la Tierra. El radio terrestre es de 6000 km aproximadamente y su centro está en uno de los focos de la órbita. Utilizando los datos de la figura, hallar una ecuación para la órbita satelital. Indicar, además, cuál es la altura del punto P.

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(19)Demostrar que la hipérbola tiene simetría central.(20)Definir y deducir la fórmula para calcular el lado recto (o cuerda focal normal) de cada una de las secciones cónicas.(21)Enunciar las propiedades ópticas de las secciones cónicas. Demostrar la propiedad referida a la parábola.(22)Hallar la ecuación del lugar geométrico de los puntos cuya diferencia de distancias a los puntos situados en (√2, √2) y (-√2, -√2) es igual a 2√2. Hallar también la ecuación en un sistema de ejes X’Y’ rotado en 45º y calcular a partir de allí la excentricidad de la hipérbola.(23)* Para cada una de las siguientes ecuaciones, indicar qué gráfica es y trazarla. Obtener las coordenadas o la ecuación de vértices, focos, ejes, asíntotas, directriz, etc., según corresponda. (a )−4y+ x2+4x=5 ;(b)( x , y)=(2sen(t) ,cos (t)) ,0≤t<2pi(c)( x , y)=(t ,3 t 2) , t real ; (d )3x2+2y2−12x+8y+19=0(e) 4x2−4xy+7y2+12x+6y=9 ;( f )1/ 4 y2−2 /3 y+1/ 4 x2−1/4 x=199/144(g )(x , y )=(2 tan (t ) ,3 sec(t)) ,−pi≤t<pi

II) GEOMETRÍA ANALÍTICA EN EL ESPACIO: SUPERFICIES CUÁDRICAS(1)*Hallar el centro y el radio de la superficie esférica cuya ecuación es

9x2+9y2+9z2−36x+12y−18z+13=0

(2)Hallar la ecuación de la superficie esférica cuyo centro está sobre el eje X y que pasa por los puntos (3, -4, 2) y (6, 2, -1)

(3)Probar que si r > 0 la ecuación ∣P⃗−P⃗

0 ∣=rrepresenta una esfera de centro P0y radio r

(4)Probar que la ecuación ( P⃗−P⃗0).( P⃗−P⃗1) representa una esfera cuyo diámetro es la recta que une P0 y P1.(5)Hallar la ecuación de la superficie cilíndrica generada por las rectas indicadas y las directrices dadas:

directriz: x2−3z=0y=0 generatrices paralelas al eje Y

directriz:x2− y 2=1

z=0 generatrices paralelas al vector (0, 2, -1)

*directriz: 4x2+ z2+ z=0

y=0 generatrices paralelas al vector (4, 1, 0)(6)Hallar la ecuación del lugar geométrico de un punto que se mueve de manera tal que su distancia al plano XY es siempre igual a la mitad del cuadrado de su distancia al eje Y. Construir la superficie.

Álgebra y Geometría Analítica. Prof.: Gisela Saslavsky (7) Encontrar la ecuación de la superficie cónica con vértice en el origen dada la directriz:

a) * y=x2+1z=1 b) y2+ x2=1

z=2 c) x2−4z2=4y=3

(8)* Hallar la ecuación del lugar geométrico de los puntos del espacio que equidistan del punto (0,0,2) y de la recta ( x , y, z ) = t ( 1 , 1 , 0 ) y graficarlo(9)Hallar la ecuación de la superficie de revolución generada al hacer girar la curva dada en torno al eje indicado:

a) 4z2=4−x2

y=0 eje X b)* yz=1x=0 eje Z c)

z2=2yx=0 eje Y

(10)Esquematizar la gráfica de las siguientes superficies haciendo un estudio completo. Nombrarlas

(a)4x2+4y2=z (d )2x2−4y2−3z2−24=0(b) x2+2z2= y2 (e )16y=x2+4z2

(c)2x2+4y2+3z2−24=0 ( f ) z2− y2−x=0(11)*Identificar la superficie y situar su centro de simetría:

(a) x2−4y2+2z2+16y−4z−21=0 (c)9x2−4y2−36z2=36(b)− x2+ y2+z 2+2x+4y=4 (d )x2+2y2−3z2−2x+4y−12z+9=0

(12)El lugar geométrico de los puntos cuya distancia al punto (2, -1, 3) es dos veces su distancia al plano XY es una superficie cuádrica. Hallar la ecuación de esta superficie, nombrarla y situar su centro de simetría.(13)*Identificar la superficie cuádrica 9y2=4x2+144z . Definir la curva intersección de esta superficie con cada uno de los planos: z = 0, z = -1, x = 3.(14)Reconocer y graficar en forma aproximada los siguientes lugares geométricos, señalando las superficies cilíndricas, cónicas y de revolución:(a )z=x+ y (b)8x2+4y2+ z2=16 (c) x2−x2− y2=1 (d )25x2−225y2+9z2=225

(e )16y= x2+4z2 ( f ) x2− y2=1 (g ) y2+2z2− x2=1 (h) x2−6y2=2z(i) y2=16x ( j) y 2=4x ; z=0 (k ) y2+ z2=9 (l) y2+z 2=9 ; x=0

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CLASIFICACIÓN DE LAS CUÁDRICAS •

1) CUÁDRICAS CON CENTROR M, N, P lugar geométrico

>0

todos positivos elipsoidetodos negativos ningunodos positivos, uno negativo hiperboloide de una hojauno positivo, dos negativos hiperboloide de dos hojasuno cero, dos positivos cilindro elíptico (o circular)

rectouno cero, dos negativos ningunouno cero, uno positivo, uno negativo

cilindro hiperbólico recto

dos cero, uno positivo dos planos paralelos diferentes

dos cero, uno negativo ninguno

=0

todos del mismo signo el origendos positivos, uno negativo cono rectouno cero, dos del mismo signo

eje coordenado

uno cero, dos de signos contrarios

dos planos que se cortan

dos cero un plano coordenado

2) CUÁDRICAS SIN CENTROS M, N lugar geométrico

>0del mismo signo paraboloide elípticosignos contrarios paraboloide hiperbólicouno cero cilindro parabólico recto

=0del mismo signo eje coordenadosignos opuestos dos planos que se cortanuno cero un plano coordenado

• Extraído de Lehmann, Charles H.: Geometría analítica. Ed. Limusa. Noriega editores.