Conductia termica• Conductia termica reprezinta modul de transmitere a

caldurii din aproape în aproape prin contactul direct dintre microparticulele corpului; se bazeaza peproprietatea diverselor corpuri de a conduce caldura.

• Pentru o anumita substanta, conductivitateatermica variaza cu starea de agregare, presiunea, temperatura, axele de cristalizare, umiditatea, porozitatea etc.

• Unde este valoarea lui la , iar o constanta, care depinde de material.

t)b(1?? 0 ⋅+= [ ]W/mK

0? ? b

Clasificare• Gaze: valori care cresc cu cresterea

temperaturii.• Lichide: valori care scad cu cresterea

temperaturii.• Materiale de constructie si termoizolante:

valori care cresc cu cresterea temperaturii, a densitatii si umiditatii.

• Materialele cu se numesc termoizolante.• Metale: valori care scad cu cresterea

temperaturii si scad brusc în prezenta unor impuritati.

0,6)(0,006? −∈

0,7)(0,09? −∈

3)(0,02? −∈

0,2? <414)(2? −∈

Continuare• La aliaje coeficientul de conductie are valori mai

mici decât ale metalelor componente.• Ex: Ag are coeficientul de 414, Cu 395, Al 202

W/mK.• Distributia de temperaturi t = t (x,y,z,τ) se numeste

câmp de temperaturi. • Daca variaza în timp, câmpul de temperatura este

nestationar; iar daca nu variaza în timp este stationar.

• Doua suprafete izoterme de temperaturi diferite NUse intersecteaza.

Suprafete izoterme• Distanta cea� DL�P LFa� între cele

doua suprafete ∆n�HWH�GXSa�normala la suprafata t;

• deci cea mai mare variatie de temperatura pe unitatea de lungime între cele�GRa� suprafeteizoterme se produce�GSa�directia�QUP DOa .

• Se defineste gradientul de temperatura drept un vectornormal la suprafata izoterma, care numeric este egal cu limita raportului cânddeci cu derivata temperaturiidupa directia�QUP DOa .

? t/? n 0? n →

Gradient de temperatura

• - vector unitar normal, pozitiv în sensul de crestere al temperaturii, iar scalarul reprezentândvaloarea gradientului de temperatura.

• Studiind conductia termica, Fourier a ajuns la concluzia ca se poate calcula caldura transmisaprin conductie, prin elementul de suprafata de pesuprafata izoterma, în intervalul de timp cu relatia:

zt

kyt

jxt

int

n? n? t

ntgrad 0lim0? n

0 ∂∂

+∂∂

+∂∂

=∂∂

=⋅=→

[ ]K/m

0n

dtdAnt

?Qd2 ⋅∂∂

−= [ ]J

Legea lui Fourier

• Factorul de conductivitate - numitconductivitate termica este o proprietate fizica a materialului. Semnul minus apare deoarece caldurase transmite în sensul negativ al gradientului.

• Caldura transmisa prin unitatea de arie de pesuprafata izoterma, în unitatea de timp, , este numita densitatea fluxului de caldura . Se calculeazacu relatia :

∂∂

−= 2W/mnt

?q&

[ ]KW/m?

q&

Densitatea de flux de caldura

• Este un vector normal la suprafata izoterma•

• ale carui componente�GSa� cele trei axe sunt :

xt

?∂∂

−=xq&yt

?y ∂∂

−=q&zt

?z ∂∂

−=q&

nt

?n 0 ∂∂

−=q&

⋅+⋅+⋅= 2

zyx W/mqkqjqi &&&&q

Flux de caldura

• Caldura transmisa prin întreaga suprafataizoterma A, în unitatea de timp, se numesteflux de caldura.

[ ]WdAnt

?dAAA

⋅∂∂

−=⋅= ∫∫ qQ &&

Ecuatia diferentiala a conductiei termice

• Se pune problema de a stabili o ecuatie general valabila pentruconductie termica, într-un corpîn care câmpul de temperaturieste nestationar si în care se gasesc si surse interne de caldura. Sursele interne suntcaracterizate prin densitateavolumica de flux , care reprezinta fluxul de caldura degajat în volumulunitar.

[ ]3W/mVq&

Ex. de surse interne: efectul Joule-Lenz, reactiile nucleare, reactii chimice, etc.

Ecuatia diferentiala a conductiei termice

• Sa consideram un element de volum cu volumul

• în care la momentul initial, câmpul de temperaturiare o anumita configuratie (figura de mai sus).

• Admitem urmatoarele ipoteze :• a) corpul este omogen si izotropic ;• b) proprietatile fizice sunt constante ;• c) deformatia volumului cauzata de variatia temperaturii este

neglijabila (proces izocor)• d) sursele interne de caldura sunt uniform distribuite.

dzdydxdV ⋅⋅=

Ecuatia diferentiala a conductiei termice

• Caldurile elementate • si care intra în elementul de volum dupa

axele Ox, Oy, Oz sunt:

xdQ ydQ zdQ

( ) dtdzdyxt

?dtdAqQd xxx2 ⋅⋅

∂∂

−=⋅⋅=•

( ) dtdzdxyt

?dtdAqQd yyy2 ⋅⋅

∂∂

−=⋅⋅=•

( ) dtdydxzt

?dtdAqQd zzz2 ⋅⋅

∂∂

−=⋅⋅=•

• Functia��WH�FRQWLQXa� pe intervalul dx. Prin dezvoltare în serieTaylor, se obtine :

Retinând numai primii doi termeni, se obtine :

si similar�GSa� celelalte axe:

dxxq +

•

....z

dxxq

dxxq

qq2

2x

2x

xdxx +⋅∂

∂+⋅

∂∂

+=

•••

+

•

dxxq

qq xxdxx ⋅

∂∂

+=

••

+

•

( ) dtdzdydxxq

qQd xxdxx

2 ⋅⋅⋅

⋅

∂∂

+=

••

+( ) dtdzdxdy

y

qqQd y

ydyy2 ⋅⋅⋅

⋅

∂

∂+=

••

+

( ) dtdydxdzzq

qQd zzdzz

2 ⋅⋅⋅

⋅

∂∂

+=

••

+

• Caldura acumulata în elementul de volum

• În acelasi interval de timp , în elementulde volum dV, sursele interne de caldura cudensitatea degaja caldura

τd

dtdVzq

y

q

xq

Qd zyx1

2 ⋅⋅

∂∂

+∂

∂+

∂∂

−=

•••

dtdVqQd v22 ⋅⋅=

•

• Adunând relatiile se obtine caldura totalaacumulata în elementul de volum :

• Daca substanta din elementul de volum are capacitatea termica masica c si densitatea ?:

dtdVqzq

y

q

xq

QdQdQd vzyx

22

122 ⋅⋅

+

∂∂

+∂

∂+

∂∂

−=+=•

•••

dVdttt

c?Q2d ⋅⋅∂∂

⋅⋅=

Ecuatia diferentiala a conductieitermice

• Egaland

• Sau:

c?q

zq

y

q

xq

c?1

tt vzyx

⋅+

∂∂

+∂

∂+

∂∂

⋅⋅

−=∂∂

••••

c?q

qdivc?

1tt v

⋅+⋅

⋅−=

∂∂

••

−−−

cq

zt

zyt

yxt

xct v

⋅+

∂∂

⋅∂∂

+

∂∂

⋅∂∂

+

∂∂

⋅∂∂

⋅⋅

=∂∂

•

ρλλλ

ρτ1

Daca ?, c, ? sunt constante

c?q

)z

ty

tx

t(c?

?tt v

2

2

2

2

2

2

⋅+

∂∂+

∂∂+

∂∂⋅

⋅=

∂∂

•

[ ]/smc?

?a 2

⋅= Difuzivitatea termica

Operatorul Laplace

)?

qtV(a

c?q

tVatt v2v2

••

+⋅=⋅

+⋅=∂∂

2V

Ecuatia lui Fourier

tVatt 2⋅=

∂∂

Daca 0=•

vq

• Din ecuatie se vede ca viteza de variatie a temperaturii într-unpunct este direct proportionala cucurbura câmpului de temperaturiîn punctul respectiv, coeficientulde proportionalitate fiind a.

• Cu cât a este mai mare, uniformizarea câmpului de temperaturi se face mai repede.

• Valori mari ale lui a apar la metale.

Ecuatia lui Poisson

• pt câmpuri stationare cu surse

0?

qz

ty

tx

t v2

2

2

2

2

2

=+∂∂

+∂∂

+∂∂

•

Ecuatia lui Laplace

• Pentru câmpurile stationare fara surse• Caz simplu (câmpuri unidimensionale):

0z

ty

tx

t2

2

2

2

2

2

=∂∂

+∂∂

+∂∂

0x

t2

2

=∂∂

Conductia termica în regim stationarunidimensional fara surse interne

Peretele plan

• Se considera un perete plan omogen cu grosimea d de extindere infinita�GSa� directiiley si z, cu conductivitatea ? . Fluxul de caldura transmis prinperete este unidimensional dacaperetele este de extindereinfinita si daca temperaturile t1 si t2 sunt sunt constante pelaturile ce limiteaza întreagasuprafata.

Perete plan

0dx

td2

2

=

Cdx

td2

2

= BCxt +=

dxdt

?xt

?q (x) −=∂∂

−=•

C?q

dxdt =−=

•

0=x Btt == 1

În acest caz, relatia devine :

Prin integrare se obtine :

si

sau

Pentru

x?q

tt 1 ⋅−=

•

xtt

?q 1 −⋅=

•rezulta

Perete plan

δ=x( )21 tt

d?

q −=•

( )c

2121 R

ttAtt

d?

AAqQ−

⋅=−⋅=⋅=••

[ ]K/Wm?d

R 2=

dtt

xtt 211 −

=− x

dtt

tt 211 ⋅

−−=

=λ

Pentru se obtine:

este rezistenta la conductie termica. În orice punct, densitatea fluxului de caldura e aceeasi la orice x.

saucare este ecuatia curbei de temperatura în placa. Într-un perete plan omogen, pentru

constant, temperatura variaza liniar.

Pentru un perete plan neomogen

• În regim stationar constant în fiecare strat

)t(td?

)t(td?

)t(td?

q 433

332

2

221

1

1 −⋅=−⋅=−⋅=•

1

121 ?

dqtt ⋅=−•

2

232 ?

dqtt ⋅=−•

3

343 ?

dqtt ⋅=−•

=•

q

Perete plan neomogen

)?d

?d

?d

(qtt3

3

2

2

1

141 ++⋅=−

•

3

3

2

2

1

1

41

?d

?d

?d

ttq

++

−=

•

ech

1n1n

1i i

i

1n1

Rtt

?dtt

q +

=

+• −

=−

=

∑∑∑

=

=

=

=

==ni

1ici

ni

1i i

iech R

?d

R

Din adunarile celor trei relatii rezulta:

sau

Pentru un perete cu n straturi:

unde:

reprezinta rezistenta termica echivalenta a peretelui neomogen.

Concluzii pentru peretele plan neomogen

1

112 ?

dqtt ⋅−=•

2

223 ?

dqtt ⋅−=•

ech?

echech

ni

1ii

ech Rd

R

d? ==

∑=

=

Temperaturile intermediare sunt :

si

În cazul peretelui neomogen se defineste conductivitatea echivalenta

din relatia :

Perete cilindric• Transmiterea caldurii prin conductie, prin pereti cilindrici

omogeni sau neomogeni este un caz foarte frecvent întâlnitîn legatura cu transportul fluidelor calde sau reci princonducte. Se considera un perete cilindric omogen de lungime l >>d, r1= raza interioara, r2= raza exterioara, t1= temperatura interioara, t2= temperatura exterioara. Temperatura variaza doar radial, prin urmare câmpul de temperatura, în coordonate cilindrice, este unidimensional.

drdt

?q ⋅−=•

drdt

A?Q ⋅−=•

lr2pA ⋅⋅=

drdt

lr2p?Q ⋅⋅⋅⋅−=•

Perete cilindric

• Separând variabilele se obtine:

• Prin integrare se obtine

• Cum suprafetele interioare si exterioare sunt diferite, densitatea fluxului de caldura va fi diferita la cele doua raze. Evident:

rdr

?l2pQdt ⋅

⋅⋅−=

•

( ) ( )21

1

221

1

2

tt

dd

ln

l?2ptt

rr

ln

l?2pQ −⋅

⋅⋅=−⋅

⋅⋅=

•

1

21

21

11

rr

ln?r

ttlr2p

Qq

⋅

−=

⋅⋅=

••

1

22

21

22

rr

ln?r

ttlr2p

Qq

⋅

−=

⋅⋅=

••

••

> 21 qq

Densitate liniara de flux

[ ]W/mq l

•

( ) ( )

1

2

2121

1

2l

dd

ln?2

1ttp

tt

dd

ln

?2plQ

q⋅

⋅

−=−⋅

⋅==

••

Variatie logaritmica a temperaturii pe sectiune

• perete cilindric omogen

( )

1

2

1211

dd

ln

dd

lntttt ⋅−−=

( )tt

dd

ln

l?2pQ 1

1

−⋅⋅⋅=•

Variatie logaritmica a temperaturii pe sectiune

• perete cilindric neomogen

( ) ( )

2

3

2

32

1

2

1

21l

dd

ln?2

1ttp

dd

ln?2

1ttp

q⋅

⋅

−⋅=

⋅⋅

−⋅=

•

1

2

1

l21 d

dln

?1

2pq

tt ⋅⋅=−

•

2

3

2

l32 d

dln

?1

2pq

tt ⋅⋅=−

•

( )

∑=

+

+•

⋅⋅

−⋅= n

1i i

1i

i

1n1l

dd

ln?2

1ttp

qtemperatura intermediara

1

2

1

l12 d

dln

?1

2pq

tt ⋅⋅−=

•

Perete sferic• perete sferic omogen

24 rAsf ⋅= πdrdt

r4p?Q 2⋅⋅−=•

12 dd2d −=

( ) ( ) ( )ddd

tt?p

d1

d1

tt?2p

r1

r1

tt?4pQ 21

21

21

21

21

21 ⋅⋅−⋅⋅=

−

−⋅⋅=

−

−⋅⋅=

•

( )

r1

r1

tt?4pQ

1

1

−

−⋅⋅=

•

( )

21

1211

r1

r1

r1

r1

tttt−

−⋅−−= deci o variatie hiperbolica a temperaturii

Perete sferic neomogen( ) ( )

32

322

21

211

d1

d1

tt?2p

d1

d1

tt?2pQ

−

−⋅⋅=

−

−⋅⋅=

•

−⋅

⋅=−

•

21121 d

1d1

?2pQ

tt

−⋅

⋅=−

•

32232 d

1d1

?2pQ

tt

⋅

⋅+⋅

⋅⋅=

⋅−

⋅+⋅−

⋅⋅=−••

322

2

211

1

32

23

221

12

131 dd

1?d

dd1

?d

pQ

dddd

?1

dddd

?1

2pQ

tt

( )

322

2

211

1

31

dd1

?d

dd1

?d

ttpQ

⋅⋅+

⋅⋅

−⋅=

• ( )

∑= +

+•

⋅⋅

−⋅=

n

1i 1iii

i

1n1

dd1

?d

ttpQ

TRECEREA CALDURII• Un perete omogen sau

neomogen, de orice forma, separa de obicei doua fluide cu temperaturi diferite tf1 si tf2.

• Caldura se transmite de la un fluid la altul prin intremediul peretelui. În perete caldura se transmite prin conductivitate, iar de la primul fluid la perete si de la perete la al doilea fluid prin convectie si eventual si prin radiatie, pentru temperaturi mari.

• Acest fenomen complex de transmitere a caldurii se numeste trecerea caldurii.

( ) ( ) ( ) ( )f232322

221

1

11f11 ttatt

d?

ttd?

ttaq −⋅=−⋅=−⋅=−⋅=•

Continuare

2f23

2

232

1

121

11f1

a1

qtt

?d

qtt

?d

qtt

a1

qtt

⋅=−

⋅=−

⋅=−

⋅=−

•

•

•

•

22

2

1

1

1

f2f1

a1

?d

?d

a1

ttq

+++

−=

•

2i

i

1

2f1f

a1

?d

a1

ttq

++

−=

∑

•

Prin adunarea acestor diferente rezulta:

Ecuatia generala:

Coeficient de transfer termic total K [W/m2K],

( )2f1f ttKq −⋅=•

22

2

1

1

1 a1

?d

?d

a1

1K

+++=

Densitatea fluxului se poate scrie sub forma:

Din compararea celor doua relatii rezulta:

Trecerea caldurii prin pereti cilindrici

( ) ( ) ( ) ( )f2323

2

3

2

32

1

2

1

211f111l ttadp

dd

ln?2

1ttp

dd

ln?2

1ttp

ttadpq −⋅⋅⋅=⋅

⋅

−⋅=

⋅⋅

−⋅=−⋅⋅⋅=

•

11

l1f1 dap

qtt

⋅⋅=−

•

1

2

1

l21 d

dln

?p2q

tt ⋅⋅⋅

=−

•

2

3

2

l32 d

dln

?p2q

tt ⋅⋅⋅

=−•

32

lf23 dap

qtt

⋅⋅=−

•

⋅

+⋅⋅

+⋅⋅

+⋅

⋅⋅=−•

322

3

21

2

111lf2f1 da

1dd

ln?2

1dd

ln?2

1da

1p1

qtt

( )

∑= +

+

•

⋅+⋅

⋅+

⋅

−⋅= n

1i 1n2i

1i

i11

f2f1l

da1

dd

ln?2

1da

1ttp

q

[ ]W/mK

da1

dd

ln?2

1da

11

Kn

1i 1n2i

1i

i11

l

∑= +

+

⋅+⋅

⋅+

⋅

=

( )f2f1ll ttpKq −⋅⋅=•

Trecerea caldurii prin pereti sferici( ) ( ) ( ) ( )f232

23

322

2

32

211

1

211f11

21 ttadp

dd1

?d

ttp

dd1

?d

ttpttadpQ −⋅⋅⋅=

⋅⋅

−⋅=

⋅⋅

−⋅=−⋅⋅⋅=

•

121

1f1 adpQ

tt⋅⋅

=−

•

211

121

dd1

?d

p

Qtt

⋅⋅⋅

=−

•

322

232

dd1

?d

p

Qtt

⋅⋅⋅

=−

•

223

f23 adpQ

tt⋅⋅

=−

•

( )

∑= ++

•

⋅+

⋅⋅+

⋅

−⋅= n

1i2

1n21iii

i211

f2f1

da1

dd1

?d

da1

ttpQ

Prin adunarea acestor diferente se obtine:[ ]W/K

da1

dd1

?d

da1

1K n

1i2

1n21iii

i211

sf

∑= ++ ⋅

+⋅

⋅+⋅

=

( )f2f1sf ttpKQ −⋅⋅=•