ĐẠI CƯƠNG VỀ ĐƯỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG

Hình Học 11

GV: PHAN NHẬT NAM

CÁC KHÁI NIỆM CƠ BẢN


GV:PHAN NHẬT NAM – 0935 334 225 2 www.toanhocdanang.com

ĐẠI CƯƠNG VỀ ĐƯỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG

A. Tóm tắc lý thuyết :

1. Các tiên đề trong hình học không gian :

Tiên đề 1: Có một và chỉ một mặt phẳng đi qua 3 điểm không thẳng hàng cho trước.

Tiên đề 2: Có ít nhất 4 điểm trong không gian không cùng nằm trên một mặt phẳng

Tiên đề 3: Nếu một đường thẳng và một mặt phẳng có hai điêm chung thì đường thẳng ấy nằm trọn

vẹn trong mặt phăng nêu trên

Tiên đề 4: Nếu hai mặt phẳng có điểm chung thì chúng có vô số điểm chung khác nữa (tất cả các

điểm chung đó tạo thành đường thẳng – gọi là giao tuyến của 2 mặt phẳng)

Tiên đề 5: Trên một mặt phẳng tùy ý trong không gian các định lý hình học phẳng sơ cấp (đã học ở

các chương trình lớp trước) đều đúng.

Tiên đề 6: Mỗi đoạn thẳng trong không gian đều có độ dài xác định (Bảo toàn độ dài, góc và các

tính chất liên quan như đã biết trong hình học phẳng)

2. Cách xác định mặt phẳng :

Cách 1: Có một và chỉ một mặt phẳng đi qua 3 điểm không thẳng hàng cho trước

Cách 2: Có một và chỉ một mặt phẳng duy nhất đi qua đường thẳng và một điểm nằm ngoài đường

thẳng đó.

Cách 3: Có một và chỉ một mặt phẳng duy nhất đi qua 2 đường thẳng cắt nhau

Cách 4: Có một và chỉ một mặt phẳng duy nhất đi qua 2 đường thẳng song song nhau

Chú ý: Cách xác định 2 đường thẳng a, b chéo nhau (a,b không đồng phẳng)

- Xác định mp(P) : a (P)

- Khi đó : b (P) = M

- Nếu : M a thì a, b chéo nhau

3. Hình chóp và hình tứ diện :

Định nghĩa : Tong mp(P) cho đa giác , điểm S (P) . Nối S với các đỉnh của đa giác.Hình tạo bởi

miền đa giác và các miền tam giác trên là hình chóp

(S- đỉnh, miền đa giác – đá , các miền tam giác – các mặt bên)

Kí hiệu : S.ABCD

S : Đỉnh.

ABCD : Mặt đáy

SA, SB, SC, SD : Các cạnh bên.

AB, BC, CD, DA : Các cạnh đáy.

(SAB), (SBC), (SCD), (SDA): Các mặt bên

S

A

B C

D

P

P a M

b

http://www.toanhocdanang.com/



Tứ diện : Hình chóp có đáy là tam giác được gọi là tứ diện

Tứ diện đều :là hình chóp có 4 mặt là các tam giác đều

(Tứ diện đều có: 6 cạnh bằng nhau, 4 mặt là các tam giác đều bằng nhau)

B. Các dạng toán thường gặp :

Dạng 1: Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng (P) và (Q):

Phương pháp 1: Tìm hai điểm A, B cùng thuộc hai mặt phẳng (P) và (Q).

Khi đó đường thẳng AB chính là giao tuyến cần tìm.

Phương pháp 2:

Xác định điểm S (P) (Q)

Chọn đường thẳng d1 (P) và đường thẳng d2 (Q).

(sao cho d1 và d2 đồng phẳng và không đi qua điểm chung S)

Khi đó ta có hai trường hợp:

o Nếu d1 d2 = I . Ta kết luận SI là giao tuyến cần tìm

o Nếu d1 \\ d2 . Ta kết luận Sx là giao tuyến cần tìm.

(trong đó: Sx là đường thẳng qua S và // d1 // d2 )

Chú ý : )()(

PAPa

aA

Ví dụ minh họa: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang (đáy lớn AB). M nằm trên SD

a. Xác định giao tuyến của (MBC) và (SAD)

b. Xác định giao tuyến của (MBC) và (SAC)

Giải:

a. Ta có M là điểm chung của mp(MBC) và mp(SAD) (1)

Xét trong mặt phẳng (ABCD) ta có: E AD BC

E là điểm chung thứ hai của (MBC) và (SAD) (2)

Từ (1) và (2) ta có: ( ) ( )ME MBC SAD

b. Ta có C là điểm chung của mp(MAB) và mp(SAD) (1)

Xét trong mặt phẳng (SAD) ta có: N EM SA

N là điểm chung thứ hai của (MBC) và (SAC) (2)

Từ (1) và (2) ta có: ( ) ( )CN MBC SAC

S

A B

C D

M

E

N

P

M

N A .

a




Bình luân:

Ở câu a ta dễ thấy M là điểm chung , bước tiếp theo cần chọn hai đường thẳng tương ứng nằm trên

hai mặt và không đi qua M. Do đó ta chỉ có hai phương án (BC, SA) và (BC, AD) nhưng cặp

(BC, SA) lại không đồng phẳng nên ta cần xét cặp (BC,AD) khi đó dễ dàng nhận thấy được BC và

AD kéo dài sẽ cắt nhau tại một điểm, chính là điểm chung thứ hai của cặp mặt phẳng trên.

Ở bài này nếu đề chỉ yêu cầu tìm giao tuyến của (MBC) và (SAC) {tức là không có cầu a} thế thì ta

chưa có được điểm E {tức là không chọn được cặp(ME và SA)} và ta cũng không thể chọn được cặp

đường thẳng không qua C (điểm chung) và đồng phẳng, lúc này ta cần mở rộng cặp mặt phẳng này

ra bằng cách kéo dài các đường thẳng có trong nó như ở ví dụ trên ta kéo dài AD và BC để mở rộng

(MBC) thành (MEB) khi đó ta sẽ tìm được cặp đường thẳng thỏa phương pháp.

Dạng 2: Tìm giao điểm của đường thẳng và mặt phẳng :

Phương pháp : Để tìm giao điểm của đường thẳng d và mặt phẳng (P) ta xét 2 khả năng sau:

o Nếu a :

ad

Pa )(. Ta đi tìm I = a d . Khi đó ta kết luận I = d (P)

o Nếu trong (P) không chưa đường thẳng nào căt d ta thực hiện theo các bước:

- Tìm mp(Q) d

- Tìm giao tuyến a = (P) (Q)

- Tìm giao điểm I = a d

- Kết luận : I = d (P)

Tìm được trong mp(P) đt a cắt d tại I Không tìm được trong mp(P) đt a cắt d

Ví dụ minh họa: Cho hình chóp SABCD, đáy là hình hành ABCD có tâm là O. Gọi M là trung điểm

SC và N là trung điểm BO.

a. Xác định giao điểm J của đường thẳng BC và mặt phẳng (AMN).

b. Tìm giao điểm I của mp(AMN) với SD. Chứng minh : 2

3

SI

ID .

Giải:

a. Xét trong mặt phẳng (AMN) ta có:

( )J AN AMN

J AN BCJ BC

J là giao điểm của BC và mặt phẳng (AMN)

b. Xét trong mặt phẳng (SAC) ta có:

( ) ( )E AM SO NE AMN SBD

P I a

d

P

Q

d

a I

S

A B

D C

I

N

M

O

E

J




Xét trong mặt phẳng (SBD) ta có: ( )I EN AMN

I NE SDI SD

I là giao điểm của SD và mặt phẳng (AMN) .

Chứng minh: 2

3

SI

ID

Dựng EF // SD (với F BD )

Ta có : AM và SO là hai trung tuyến của SAC

E là trọng tâm của SAC 2

3

SE

SO

Theo talet ta có:

Xét SOD ta có:

3

3 3 93

2 5

SD EFSD DO SO

EF FO EO DO FO DN DO FN

Xét IND ta có: 9 9

5 5

ID DNID EF

EF FN

Khi đó ta có: 3 5 5 3 2

9 3 3 3

5

SD EF SD ID SI

ID ID DIEF

Bình luân:

Trong ví dụ trên ở câu a ta dễ dàng thấy được trong mặt phẳng (AMN) có đường thẳng AN đồng

phẳng BC do đó ta chỉ cần gọi J là giao của AN và BC.

Ở câu b, ta không tìm được đường thẳng nào nằm trong (AMN) và cắt SD. Do đó ta chọn một

mặt phẳng trung gian là (SBD) {vì dễ tìm được giao tuyến NE của (SBD) và (AMN)}. Sau đó

xét trong mặt phẳng (SBD) ta có giao điểm của EN và SD chình là giao điểm cần tìm {tức là ta

đã tìm được đường thẳng NE nằm trong mặt phẳng (AMN) và cắt SD}

Ta đã xét mp(SBD) để tìm giao điểm thì nhất định phải xét mp(SBD) để tính tỷ số nhưng cần

thiết phải thực hiện các bước sau:

- Xác định được vị trí của tất cả các điểm có trong mp(SBD) {tức là phải xác định được

các tỷ số trung gian}. Cụ thể như xác định vị trí điểm E trên đoạn SO.

- Từ điểm trung gian ta dựng đường thẳng song song với đường thẳng chứa tỷ số. cụ

thể như dựng EF song song với SD.

- Cuối cùng liên tục sử dụng talet cho các tam giác thì thu được tỷ số cần tìm.

B

D

S

N

E

I

F O




Dạng 3: Chứng minh 3 điểm thẳng hàng trong không gian :

Phương pháp :

o Để chứng minh 3 điểm A, B, C thẳng hàng ta đi chứng minh chúng là các điểm chung của 2

mặt phẳng cho trước {khi đó A, B, C cùng nằm trên giao tuyến của 2 mp}

o Có thể chứng minh đường thẳng AB đi qua C A, B, C thẳng hàng

Ví dụ minh họa: Cho tứ diện ABCD. I là một điểm trên đường thẳng BD nhưng không thuộc đoạn BD. Trong

mặt phẳng (ABD) dựng đường thẳng qua I và cắt AB, AD tại K và L. Trong mp(BCD) dựng đường thẳng

qua I và cắt CB, CD tại M và N. Giã sử KM và LN cắt nhau tại H. Chứng minh: A, C, H thẳng hàng

Giải:

Dễ dạng thấy được AC = (ACB) (ACD) (1)

Theo giả thuyết ta có: ( )

( )

H NK ACDH NK ML

H ML ACB

H thuộc giao tuyến (ACD) và (ACB) (2)

Từ (1) và (2) ta có: H AC A, C, H thẳng hàng.

Dạng 4: Chứng minh đường thẳng d thay đổi trong không gian luôn đi qua một điểm I cố định :

Phương pháp 1:

Chọn hai mặt phẳng (P) và (Q) sao cho chúng cắt nhau theo giao tuyến là đường thẳng d.

Tìm hai đường thẳng cố định a, b tương ứng nằm trên hai mặt phẳng (P) và (Q). Gọi I là giao

điểm của a và b. Khi đó ta có ( ) ( )I P Q I d (đpcm)

Phương pháp 2:

Chọn trên đường thẳng d hai điểm A, B {có thể thay đổi} phù hợp

Chứng minh : khi d thay đổi thì A, B, I luôn thẳng hàng I d (đpcm)

Phương pháp 3:

Tìm mặt phẳng (P) cố định chứa d {lưu động} và đường thẳng a cố định nằm ngoài mp(P)

Xác định I = a d I là điểm cố định mà d luôn đi qua.

Dạng 5: Chứng minh 3 đường thẳng d1, d2, d3 đồng quy

Phương pháp 1:

Tìm d1d2 = I

Chứng minh d3 đi qua điểm I d1, d2, d3 đồng quy tại điểm I

Phương pháp 2:

P

Q . . . A B C d

A

B C

D

I

K L

N

M

H




Xác định: Idd 21

Chứng minh:

3)()(

)(

)(

dQP

QI

PI

Id3 d1, d2, d3 đồng quy tại điểm I

Ví dụ minh họa: Cho hình chóp S.ABCD. Gọi I, J là hai điểm cố định trên SA và SC với SI > IA và SJ < JC.

Mặt phẳng (P) quay quanh IJ cắt SB tại M, cắt SD tại N. O là giao điểm AC và BD

a. Chứng minh rằng: IJ, MN và SO đồng quy . Suy ra cách dựng điểm N khi biết M.

b. AD cắt BC tại E, IN cắt MJ tại F. Chứng minh rằng S, E, F thẳng hàng .

c. IN cắt AD tại P, MJ cắt BC tại Q. Chứng minh rằng PQ luôn đi qua điểm cố định khi (P) thay đổi.

Giải:

a. Theo giả thuyết ta có:

( )( ) ( )

( )

M P SBP SBD MN

N P SD

Xét mặt phẳng (SAC) ta có

Gọi IJ ( )

IJ( )

H PH SO

H SO SBD

( ) ( )H P SBD

H MN

Vậy IJ, SO, MN đồng quy tại điểm H.

b. Ta có S là điểm chung của hai mặt phẳng (SAD) và (SBC)

Theo giả thuyết ta có: E AD BC

E là điểm chung thứ hai của hai mặt phẳng (SAD) và (SBC)

( ) ( )SAD SBC SE

Lại có ( )

( ) ( )( )

F MJ SBCF MJ IN F SBC SAD F SE

F IN SAD

S,E,F thẳng hàng

c. Gọi IJK AC K là điểm cố định và ( ) ( )K P ABCD (1)

Theo giả thuyết ta có: ( )

( )

Q MJ PQ MJ BC Q

Q BC ABCD

là điểm chung của (P) và (ABCD)

Tương tự ta cũng có P là điểm chung của (P) và (ABCD) ( ) ( )P ABCD PQ (2)

S

D A

C

B

I

J

M

N

O

H

F

E

P

Q

K

P

d3

d2

d1

P Q

d3

d2

d1

I




Từ (1) và (2) ta có: K PQ

Vậy PQ luôn đi qua điểm cố định K (với K là giao điểm của AC và IJ)

Dạng 6: Dựng thiết diện tạo bởi mặt phẳng (P) cắt hình chóp :

Phương pháp :

Tìm tất cả giao tuyến của (P) với các mặt của hình chóp

Khi đó các đoạn giao tuyến tạo thành một đa giác

(Kiểm tra tất cả các cạnh của đa giác đều phải nằm trên các mặt của hình chóp)

Kết luận: Thiết diện cần tìm là đa giác vừa dựng.

Ví dụ minh họa: Cho hình chóp SABCD, có đáy là hình bình hành tâm O. Gọi M, N, P lần lượt là trung

điểm của SB, SD, OC. Tìm thiết diện do mặt phẳng (MNP) cắt hình chóp SABCD. Và tính tỷ số mà

mặt phẳng (MNP) chia các cạnh SA, BC, CD.

Giải:

Xét trong mặt phẳng (SBD) , gọi I MN SO

Trong mặt phẳng (SAC), gọi G PI SA

Trong mặt phẳng (SAB), gọi E MG AB

Trong mặt phẳng (SAB),

gọi

H PE BC

K PE CD

Khi đó ta có:

( ) ( )KH MNP ABCD ; ( ) ( )HM MNP SBC

( ) ( )MG MNP SAB ; ( ) ( )GN MNP SAD và ( ) ( )NK MNP SCD

Vậy thiết diện cần tìm là ngũ giác HMGNK

A’

E D C

B A

P

S

E’

D’ C’

B’

S

D

C B

A

M

N

P

O

E

I

G

H

K




C. Bài tập áp dụng :

Bài 1 : Cho S là một điểm không thuộc mặt phẳng chứa hình bình hành ABCD. Tìm giao tuyến của hai

mặt phẳng (SAC) và (SBD)

Bài 2 : Trong mặt phẳng (P) cho tứ giác ABCD. ABCD = E ; ACBD = F và S (P).

a. Tìm giao tuyến của mp(SAB) và mp(SCD) ; của mp(SAC) và mp(SBD).

b. Tìm giao tuyến của mp(SEF) với các mặt phẳng (SAD) và (SBC)

Bài 3 : Cho tứ diện ABCD. Gọi I, J lần lượt là trung điểm của AC và BC. K nằm trên cạnh BD (KD < KB).

Xác định giao tuyến của mp(IJK)với các mặt phẳng (ACD) và (ABD)

Bài 4 : Cho hình chóp S.ABCD, đáy ABCD là hình bình hành. Gọi M,N lần lượt là trung điểm của SB và SD.

P nằm trên SC (SP >PC).Tìm giao tuyến của mp(MNP) với các mặt phẳng (SAC), (SAB), (SAD), (ABCD)

Bài 5 : Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang (đáy lớn AB). M nằm trên SD

a. Xác định giao tuyến của (MBC) và (SAC)

b. Xác định giao tuyến của (MBC) và (SAD)

Bài 6 : Cho tứ diện ABCD. Trên AC và AD tương ứng lấy các điểm M, N sao cho MN không song song

với CD. Gọi O là một điểm bên trong tam giác BCD. Tìm giao tuyến (OMN) và (BCD)

Bài 7 : Cho hình chóp S.ABCD, đáy ABCD là hình bình hành. G1, G2 lần lượt là trọng tâm

của hai tam giác SAD và ABC . Tìm giao tuyến của các cặp mặt phẳng.

a. (SG1G2) và (ABCD)

b. (CDG1G2) và (SAD)

c. (ADG2) và (SBC)

Bài 8 : Cho tứ diện ABCD. Gọi I,J lần lượt là các điểm trên các cạnh AB và AD với I là trung điểm AB và

AJ = 3

2AD. Tìm giao điểm của đường thẳng IJ và mặt phẳng (BCD).

Bài 9 : Cho hình chóp SABCD. M là một điểm trên cạnh SC.

a. Tìm giao điểm của AM và (SBD)

b. Gọi N là một điểm trên cạnh BC. Tìm giao điểm của SD và mặt phẳng (AMN)




Bài 10: Cho tứ diện ABCD. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AC và BC. K là một điểm trên cạnh BD

và không trùng với trung điểm của BD. Tìm giao điểm của CD và AD với mặt phẳng (MNK).

Bài 11: Cho tứ diện ABCD. Gọi M, N là hai điểm lần lượt thuộc AC và AD. O là một điểm bên trong

tam giác BCD.

a. Tìm giao điểm của MN và (ABO) .

b. Tìm giao điểm của OA và (BMN)

Bài 12 : Cho hình chóp SABCD có đáy là hình thang , cạnh đáy là AB. Gọi I, J, K lần lượt là ba điểm

thuộc ba cạnh SA, AB, BC.

a. Tìm giao điểm của IK và (SBD).

b. Tìm các giao điểm của (IJK) với SD và SC.

Bài 13 : Cho hình chóp S.ABCD, đáy ABCD là hình thang, đáy lớn là AB. Gọi I,J là trung

điểm của SA, SB. M là điểm tùy ý thuộc đoạn SD

a. Tìm giao tuyến của (SAD) và (SBC).

b. Tìm giao điểm của IM và (SBC).

c. Tìm giao điểm của SC và (IJM)

Bài 14 : Cho tứ diện ABCD. Trên AC và AD lần lượt lấy các điểm M, N sao cho MN không

song song với CD. Gọi O là một điểm nằm ở miền trong của tam giác BCD.

a. Tìm giao tuyến của (OMN) và (BCD).

b. Tìm giao điểm của các đường thẳng BC và BD với mặt phẳng (OMN)

Bài 15 : Cho hình chóp S.ABCD đáy là hình bình hành. Gọi M là trung điểm của SC.

a. Tìm giao điểm I của AM với (SBD). Chứng minh: IA = 2 IM

b. Tìm giao điểm F của SD với mp(ABM). Chứng minh: F là trung điểm của SD.

c. Gọi N là một điểm tùy ý trên cạnh AB. Tìm giao điểm của MN với mp(SBD)

Bài 16 : Cho mp(P) và 3 điểm A, B,C không thẳng hàng và thuộc mp(P).Giả sử các đường thẳng AB, AC,

BC cắt mp(P) lần lượt tại D,E,F. Chứng minh: D, E, F thẳng hàng

Bài 17 : Cho tứ diện ABCD. I là một điểm trên đường thẳng BD nhưng không thuộc đoạn BD. Trong

mặt phẳng (ABD) dựng đường thẳng qua I và cắt AB, AD tại K và L. Trong mp(BCD) dựng đường thẳng

qua I và cắt CB, CD tại M và N. Giã sử KM và LN cắt nhau tại H. Chứng minh: A, C, H thẳng hàng




Bài 18 : Cho hình chóp S.ABCD. Gọi E = ABCD. Trên SA, SB, SC, SD lần lượt lấy các điểm Q, M, N, P

sao cho AM cắt DN tại I và BQ cắt CD tại J. Chứng minh rằng: S, E, I, J thẳng hàng

Bài 19 : Cho hình chóp S.ABCD. Gọi I, J là hai điểm cố định trên SA và SC với SI > IA và SJ < JC.

Mặt phẳng (P) quay quanh IJ cắt SB tại M, cắt SD tại N. O là giao điểm AC và BD

a. Chứng minh rằng: IJ, MN và SO đồng quy . Suy ra cách dựng điểm N khi biết M.

b. AD cắt BC tại E, IN cắt MJ tại F. Chứng minh rằng S, E, F thẳng hàng .

c. IN cắt AD tại P, MJ cắt BC tại Q. Chứng minh rằng PQ luôn đi qua điểm cố định khi (P) thay đổi.

Bài 20 : Cho tứ diện ABCD. Gọi E, F, G lần lượt là ba điểm nằm trên ba cạnh AB, AC, BD sao cho EF cắt

BC tại I, EG cắt AD tại H. Chứng minh rằng CD, IG, HF đồng quy.

Bài 21 : Cho tứ diện ABCD. Qua C dựng mặt phẳng (P) cắt AB, SB tại B1, B’. Qua B dựng mặt

phẳng (Q) cắt AC, SC tại C1, C’. BB’ , CC’ cắt nhau tại O’; BB1, CC1 cắt nhau tại O1. Giả sử O’O1

kéo dái cắt SA tại I.

a. Chứng minh rằng: AO1, SO’, BC dồng quy.

b. Chứng minh rằng : I, B1, B’ và I, C1, C’ thẳng hàng

Bài 22: Cho hình Chóp S.ABCD sao cho AB và CD không song song và M là trung điểm SC.

a. Tìm giao điểm N của đường thẳng SD và mặt phẳng (MAB).

b. Gọi O = AC BD. Chứng minh rằng 3 đường thẳng SO, AM, BN đồng quy.

Bài 23 : Cho tứ diện ABCD. Gọi E, F, G lần lượt là 3 điểm trên 3 cạnh AB, AC, BD sao cho EF cắt BC tại

I, EG cắt AD tại H . Chứng minh rằng: CD, IG, HF đồng quy.

Bài 24 : Hình chóp S.ABCD.Gọi I,M,J là các điểm trên SA,SB,SC. Giả sử (IJM) cắt SD tại N.

Chứng minh: IJ,SO,MN đồng qui (O = ACBD) từ đó suy ra cách dựng điểm N

Bài 25 : Cho A, B cố định và ở hai phía khác nhau của mặt phẳng cố định (P). Xét M lưu động trong không

gian sao cho MA (P) = I và MB (P) = J. Chưng minh đường thẳng IJ luôn đi qua điểm cố định.




Bài 26 : Cho hai tia Ox ,Oy và hai điểm A, B không nằm trong mp(Oxy). Một mp(P) lưu động qua AB

luôn cắt Ox, Oy tại M, N. Chứng minh MN luôn đi qua điểm cố định .

Bài 27 : Cho hình chóp S.ABCD. M là điểm thuộc miền trong của tam giác SCD.

a. Xác định giao tuyến của hai mặt phẳng (SBM) và (SAC).

b. Xác định giao điểm của BM và mp(SAC).

c. Dụng thiết diện của hình chóp bị cắt bởi mp(ABM).

Bài 28 : Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD là hình bình hành. Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm của

các cạnh BC, CD, SA

a. Dựng thiết diện của hình chóp bị cắt bởi mp(MNP).

b. Trên SC lấy điểm I bất kỳ(khác S và C). Xác định giao điểm của AI và mp(MNP)

Bài 29 : Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD là hình bình hành tâm O. Gọi M, N, I là ba điểm trên AD,

CD, SO. Tìm thiết diện của hình chóp SABCD với mặt phẳng (MNI)

Bài 30 : Cho tứ diện đều ABCD cạnh bằng a. E là điểm đối xứng của B qua C. F là điểm đối xứng của B

qua D. Gọi M là trung điểm của AB.

a. Tìm thiết diện do mặt phẳng (MEF) cắt tứ diện.

b. Tính diện tích của thiết diện vừa tìm được.

Bài 31 : Cho hình chóp S.ABC. M là một điểm trên cạnh SC, N và P lần lượt là trung điểm của AB và AD.

Tìm thiết diện của hình chóp với mặt phẳng (MNP)

Bài 32 : Cho hình chóp SABC. Trong tam giác SBC lấy một điểm M. Trong tam giác SCD lấy điểm N.

Tìm thiết diện của hình chóp SABCD với mặt phẳng (AMN).

Bài 33 : Cho hình chóp SABCD, có đáy là hình bình hành tâm O. Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm của

SB, SD, OC. Tìm thiết diện do mặt phẳng (MNP) cắt hình chóp SABCD. Và tính tỷ số mà mặt

phẳng (MNP) chia các cạnh SA, BC, CD.

Bài 34 : Cho hình chóp SABCD, có đáy là hình bình hành. Gọi M là trung điểm của cạnh SB, G là trọng

tâm của tam giác SAD.

a. Tìm giao điểm I của GM và (ABCD). Chứng minh (CGM) chứa CD.

b. Chứng minh rằng: mặt phẳng (CGM) đi qua trung điểm của SA. Tìm thiết diện do mặt phẳng (CGM)

cắt hình chóp SABCD.

c. Tìm thiết diện của hình chóp với mặt phẳng (AGM).




Bài 35 : Cho hình chóp SABCD, M là một điểm thuộc cạnh BC, N là một điểm thuộc cạnh SD.

a. Tìm giao điểm I của BN và mặt phẳng (SAC) và giao điểm J của MN và mặt phẳng (SAC).

b. Gọi K là giao điểm của DM và AC. Chứng minh rằng S, K, J là ba điểm thẳng hàng.

c. Xác định thiết diện do mặt phẳng (BCN) cắt hình chóp SABCD.

Bài 36 : Cho hình chóp SABCD, có đáy là hình thang ABCD (với AB // CD và AB > CD). Gọi I là trung

điểm SC. Mặt phẳng (P) quay quanh AI cắt các cạnh SB, SD lần lượt tại M, N.

a. Chứng minh MN luôn đi qua điểm cố định khi (P) thay đổi.

b. IM kéo dài cắt BC tại P, IN kéo dài cắt CD tại Q. Chứng minh PQ luôn đi qua một điểm cố định.

c. Tìm tập hợp giao điểm của IM và AN.

Bài 37 : Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang AD//BC và đáy lớn AD = 2BC. Gọi G là trọng

tâm của tam giác SCD.

a. Tìm giao tuyến của các cặp mặt phẳng (SAC) và (SBD), (SAD) và (SBC), (SAB) và (SCD).

b. Xác định giao điểm H của BG và mp(SAC). Từ đó tính tỉ số HB

HG

Bài 38 : Cho hình chóp S.ABCD, đáy là hình hành ABCD có tâm là O. Gọi M là trung điểm của SC.

a. Xác định giao tuyến của mp(ABM) và mp(SCD).

b. Gọi N là trung điểm BO, hãy xác địnhgiao điểm I của mp(AMN) với SD. Chứng minh 2

3

SI

ID .

Bài 39 : Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD là hình bình hành. M, N lần lượt là trung

điểm của AB, SC.

a. Tìm giao tuyến của (SMN) và (SBD)

b. Tìm giao điểm I của MN và (SBD)

c. Tính tỷ số MI

MN

Bài 40 : Cho hình chóp SABCD đáy ABCD là hình bình hành tâm O. Gọi M, N lần lượt là trung điểm SB, SD.

I trung điểm OC.

a. Xác định thiết diện của (MNI) và hình chóp

b. Thiết diện chia cạnh SA theo tỉ số nào?


Education

ĐẠI CƯƠNG VỀ ĐƯỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG