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República Bolivariana de Venezuela
Ministerio del Poder Popular para la Educación
Instituto Universitario de Tecnología “Antonio José de Sucre”
Barquisimeto Edo. Lara
Nombre: Ramos Angel
C.I: 24.712.574
Derivaciones implícitas
Funciones explícitas y funciones implícitas
En los cursos de cálculo la mayor parte de las funciones con que trabajamos están
expresadas en forma explícita, como en la ecuación
Dónde la variable y está escrita explícitamente como función de x. Sin embargo,
muchas funciones, por el contrario, están implícitas en una ecuación. La función y = 1 /
x, viene definida implícitamente por la ecuación: x y = 1.
Si queremos hallar la derivada para esta última ecuación, lo hacemos despejando y,
así, y = 1 / x = x -1, obteniendo su derivada fácilmente:
.
El método sirve siempre y cuando seamos capaces de despejar y en la ecuación. El
problema es que si no se logra despejar y, es inútil este método. Por ejemplo, ¿cómo
hallar dy/dx para la ecuación x2 - 2y3 + 4y = 2, donde resulta muy difícil despejar y como
función explícita de x?
El método de regla de la cadena para funciones implícitas
Ya sabemos que cuando se derivan términos que solo contienen a x, la derivación será
la habitual. Sin embargo, cuando tengamos que derivar un término donde aparezca la
y, será necesario aplicar la regla de la cadena.
Ejemplo 1:
Aquí las variables coinciden: se deriva normalmente.
Ejemplo 2:
Aquí las variables no coinciden: se usa regla de la cadena.
Ejemplo 3:
Hallar , de la función implícita:
Aplicando la notación , a cada término y extrayendo las constantes;
.
En el primer término las variables coinciden, se derivan normalmente, en el segundo
término se aplica la derivada de un producto (primer paréntesis cuadrado), lo mismo
en el tercer término.
.
La regla de la cadena se aplica el término , como puede observarse a
continuación claramente en el segundo paréntesis,
Quitando paréntesis y ordenando los términos,
,
Pasando algunos términos al lado derecho,
Extrayendo el factor común ,
y finalmente despejando, obtenemos la respuesta requerida:
dy/dx con derivadas parciales
Mucho del trabajo anterior podría omitirse se usáramos la fórmula siguiente:
Donde , representa la derivada parcial de la función f, con respecto a x,
y , representa la derivada parcial de la función f, respecto a la variable y.
Ejemplo 4:
Hallar , de la función implícita:
Solución:
Primero,
Segundo,
Ahora el cociente,
Acomodando el signo menos en el numerador, obtenemos el resultado:
Para usar la fórmula se debe introducir al alumno a las derivadas parciales con algunos
ejemplos. Obviando la teoría de las mismas que no es necesaria para el tema de
derivación implícita.