DISTRIBUCION DE PROBABILIDAD.

Luis Enrique Jaramillo Gurrola.

Procesos Industriales.

UTT.

2º E.

DISTRIBUCION BERNOULLI.

CONCEPTO.

Es una distribución de probabilidad discreta, que toma valor 1 para la probabilidad de éxito ( ) y valor 0 para la probabilidad de fracaso, Si   es una variable aleatoria que mide el "número de éxitos", y se realiza un único experimento con dos posibles resultados (éxito o fracaso), se dice que la variable aleatoria   se distribuye como una Bernoulli de parámetro .

FORMULA.

P(X=K)= nCk * p (1-p)

EJEMPLOS.1.-Cuando se lanza al aire una moneda hay una

probabilidad de 0.5 de que caiga en “cara”. Sea X 1 si la moneda cae en “cara” y X 0 si cae en “cruz”. ¿Cuál es la distribución de X?

Solución Puesto que X 1 cuando cae “cara”, ésta es resultado de éxito. La probabilidad de éxito, P(X 1), es igual a 0.5. Por tanto, X Bernoulli(0.5).

2.-Cuando se lanza un dado hay una probabilidad de 1/6 de que salga 6. Sea X 1 si el dado cae seis y X 0 en cualquier otro caso. ¿Cuál es la distribución de X?

Solución La probabilidad de éxito es p P(X 1) 1/6. Por lo que X Bernoulli(1/6).

3.-Diez por ciento de los componentes fabricados mediante determinado proceso está defectuoso. Se selecciona un componente aleatoriamente. Sea X 1 si el componente está defectuoso y X 0 en cualquier otro caso. ¿Cuál es la distribución de X?

Solución La probabilidad de éxito es p P(X 1) 0.1. Por lo que X Bernoulli(0.1).

PROBLEMAS. 1. Un jugador de basquetbol está a punto de tirar hacia la parte superior

del tablero. La probabilidad de que anote el tiro es de 0.55. a) Sea X 1, si anota el tiro, si no lo hace, X 0. Determine la media y la

varianza de X. Solución: M = (0) (1 - 0.55) + (1) (0.55) = .55 V = (0 - 55)2 (1-.55) + (1 -0.55)2(0.55) =0.2575

b) Si anota el tiro, su equipo obtiene dos puntos; si lo falla, su equipo no recibe puntos. Sea Y el número de puntos anotados. ¿Tiene una distribución de Bernoulli? Si es así, encuentre la probabilidad de éxito. Si no, explique por qué.

Solución: no es una distribución de Bernoulli, ya que una distribución de Bernoulli sus resultados siempre son X = 1, X = 0

c) Determine la media y varianza de Y.Solución:

y p (y)(P) Media 2 .55 1.1 (Y-M) (P) 0 .45 0 (2-1.1)2(0.55) =0.4455 M= 1.1 (0-1.1)2(0.45) =0.5445 Y=0.99 Varianza

2. En un restaurante de comida rápida, 25% de las órdenes para beber es una bebida pequeña, 35% una mediana y 40% una grande. Sea X=1 si se escoge aleatoriamente una orden de una bebida pequeña y X=0 en cualquier otro caso Sea Y=1 si la orden es una bebida mediana y Y= 0 en cualquier otro caso. Sea Z=0 si la orden es una bebida pequeña

a) Sea Px la probabilidad de éxito de X. Determine Pxo mediana y Z=0 para cualquier otro caso.

SOLUCION:

X-( y + z) Y=35%=0.35 Z=40%=0.401-(0.35+0.40)1-(0.75)=0.25 por lo tanto Px=25%.

b) Sea Py la probabilidad de éxito de Y. Determine Py.SOLUCION:

Y- ( X + Z ) X=25%=.25 Z=40%=.401-(0.25+.40)1-(0.65)=0.35 por lo tanto Py=35%.

c) Sea Pz la probabilidad de éxito de Z. Determine Pz.SOLUCION:Z – (X+ Y) X=25%=0.25 Y=35%=0.351 – (0.25+.35)1- ( 0.6)= 0.4 por lo tanto Pz= 40%

3. Se lanza una moneda de 1 y de 5 centavos. Sea X = 1 si sale cara en la moneda de 1 centavo y X=0 en cualquier otro caso. Sea Y=1 si sale cara en la moneda de 5 centavos y Y=0 en cualquier otro caso. Sea Z =1 si sale cara en ambas monedas y Z=0 en cualquier otro caso.

a) Sea pX la probabilidad de éxito de X. Determine pX. SOLUCION: X=0.5

b) Sea pY la probabilidad de éxito de Y. Determine pY. SOLUCION: Y=0

c) Sea pZ la probabilidad de éxito de Z. Determine pZ. SOLUCION: Z=.33

X P (x)(P) 1 .5 1(0.5) =0.5 0 .5 0(0.5) =0 .5 0.5

Z P (Z)(P)  

1 0.33 1(.33) =0.33

0 0.66 0(.66) =0

4. Sean X y Y variables aleatorias de Bernoulli. Sea Z = XY.

a) Demuestre que Z es una variable aleatoria de Bernoulli.SOLUCION:

Si. X y Y son variables de Bernoulli ya que X = 1 y Y = 1 Sea Z= XY = Z = (1) (1)=1

b) Demuestre que si X y Y son independientes, entonces Pz= PxPy.

SOLUCION:

X=1, Y=1, Z=1Pz = 1= Px =1=Py=1Pz=Pxpy1= (1) (1) = 1=1

5. Sean X y Y aleatorias de Bernoulli. Sea Z=X+Y. a)Demuestre que si X y Y no pueden ser iguales a 1, entonces Z es

variable aleatoria de Bernoulli. SOLUCION:

X=1 X=0Y=1 Y=0 Z=0+0 Z=0 no es una variable de Bernoulli.

b)Demuestre que si X y Y no pueden ser iguales a 1 , entonces Pz= Px +Py

SOLUCION:Px=Px+Py1=0+0 1=0 no son iguales

c)Demuestre que si X y Y pueden ser iguales a 1, entonces Z no es una variable aleatoria de Bernoulli.

SOLUCION:

X=1, Y=1 Z=X+ Y Z=2 no es una variable de Bernoulli.

DISTRIBUCION BINOMIAL.

CONCEPTO.

Es una distribución de probabilidad discreta que cuenta el número de éxitos en una secuencia de n ensayos de Bernoulli independientes entre sí, con una probabilidad fija p de ocurrencia del éxito entre los ensayos. Se caracteriza por ser dicotómico, esto es, sólo son posibles dos resultados.

A uno de estos se denomina éxito y tiene una probabilidad de ocurrencia p y al otro, fracaso, con una probabilidad q = 1 - p. En la distribución binomial el anterior experimento se repite n veces, de forma independiente, y se trata de calcular la probabilidad de un determinado número de éxitos. Para n = 1, la binomial se convierte, de hecho, en una distribución de Bernoulli.

FORMULA.

EJEMPLOS.1.-Se lanza al aire diez veces una moneda. Sea X el número

de caras que aparecen. ¿Cuál es la distribución de X? Solución Hay diez ensayos de Bernoulli independientes, cada uno con probabilidad de éxito de p 0.5. La variable aleatoria X es igual al número de éxitos en los diez ensayos. Por consiguiente, X Bin(10, 0.5).

2.-Un lote contiene varios miles de componentes, de éstos 10% están defectuosos. Se extraen siete componentes de la población. Sea X el número de componentes defectuosos en la muestra. ¿Cuál es la distribución de X?

Solución Puesto que el tamaño muestral es pequeño en comparación con la población (es decir, menor a 5%), su número de éxitos representa una distribución binomial. Por tanto, se modela X con la distribución binomial Bin(7, 0.1).

3.-Una gran compañía industrial hace un descuento en cualquier factura que se pague en un lapso de 30 días. De todas las facturas, 10% recibió el descuento. En una auditoría de la compañía se seleccionó aleatoriamente 12 facturas. ¿Cuál es la probabilidad de que menos de cuatro de las 12 facturas de la muestra tengan descuento?

Solución Sea X el número de facturas en la muestra que recibe descuento. Entonces X Bin(12, 0.1). La probabilidad de que menos de cuatro facturas tengan descuento es P(X 3). Se consulta la tabla A.1 con n 12, p 0.1 y x 3. Se encuentra que P(X 3) 0.974.

PROBLEMAS. 1. Supongamos que se lanza un dado 50 veces y queremos la

probabilidad de que el número 3 salga 20 veces. En este caso tenemos una X ~ B(50, 1/6) y la probabilidad sería P(X=20):

SOLUCION:

2. La última novela de un autor ha tenido un gran éxito, hasta el punto de que el 80% de los lectores ya la han leído. Un grupo de 4 amigos son aficionados a la lectura:

SOLUCION:

-¿Cuál es la probabilidad de que en el grupo hayan leído la novela 2 personas?B(4, 0.2) p = 0.8 q = 0.2

-¿Y cómo máximo 2?

3. Un agente de seguros vende pólizas a cinco personas de la misma edad y que disfrutan de buena salud. Según las tablas actuales, la probabilidad de que una persona en estas condiciones viva 30 años o más es 2/3. Hállese la probabilidad de que, transcurridos 30 años, vivan:

SOLUCION:

-Las cinco personas.B(5, 2/3) p = 2/3 q = 1/3

-Al menos tres personas. -Exactamente dos personas.

4. Se lanza una moneda cuatro veces. Calcular la probabilidad de que salgan más caras que cruces.

SOLUCION:

B(4, 0.5) p = 0.5q = 0.5

5. La probabilidad de que un hombre acierte en el blanco es 1/4. Si dispara 10 veces ¿cuál es la probabilidad de que acierte exactamente en tres ocasiones? ¿Cuál es la probabilidad de que acierte por lo menos en una ocasión?

SOLUCION:

B(10, 1/4) p = 1/4q = ¾

DISTRIBUCION POISSON.

CONCEPTO.

Es una distribución de probabilidad discreta que expresa, a partir de una frecuencia de ocurrencia media, la probabilidad de que ocurra un determinado número de eventos durante cierto período de tiempo. Concretamente, se especializa en la probabilidad de ocurrencia de sucesos con probabilidades muy pequeñas, o sucesos "raros".

FORMULA.

EJEMPLOS.

PROBLEMAS. 1. Si un banco recibe en promedio 6 cheques sin fondo por día,

¿cuáles son las probabilidades de que reciba, a) cuatro cheques sin fondo en un día dado, b) 10 cheques sin fondos en cualquiera de dos días consecutivos?

SOLUCION:

x = variable que nos define el número de cheques sin fondo que llegan al banco en un día cualquiera = 0, 1, 2, 3, ....., etc, etc.l= 6 cheques sin fondo por día.e = 2.718.

2. En la inspección de hojalata producida por un proceso electrolítico continuo, se identifican 0.2 imperfecciones en promedio por minuto. Determine las probabilidades de identificar a) una imperfección en 3 minutos.

SOLUCION:

x = variable que nos define el número de imperfecciones en la hojalata por cada 3 minutos = 0, 1, 2, 3, ...., etc., etc.l= 0.2 x 3 =0.6 imperfecciones en promedio por cada 3 minutos en la hojalata

3. El 8% de los registros contables de una empresa presentan algún problema, si un auditor toma una muestra de 40 registros ¿Calcular probabilidad de que existan 5 registros con problemas?

SOLUCION:

n = 40 p = 0.08 l =3.2 X = 5

4. Se calcula que en la ciudad el 20% de las personas tienen defecto de la vista si tomamos una muestra de 50 personas al azar ¿ Calcular la probabilidad de que 10 de ellos tengan defecto en la vista.

SOLUCION:

n = 50 p = 0.2 l =10

5. En una jaula con 100 pericos 15 de ellos hablan ruso calcular la probabilidad de que si tomamos 20 pericos al azar 3 de ellos hablen ruso.

n = 20 p = 0.15 X = 3 l =3

DISTRIBUCION EXPONENCIAL.

CONCEPTO.

Estudia el tiempo entre cada una de estas llegadas, la distribución exponencial es continua porque el tiempo entre llegadas no tiene que ser un número entero. Esta distribución se utiliza mucho para describir el tiempo entre eventos. Más específicamente la variable aleatoria que representa al tiempo necesario para servir a la llegada.

FORMULA.

EJEMPLOS.