DISTRIBUCIONES DE PROBABILIDAD DISCRETADISTRIBUCIÓN BINOMIAL, HIPERGEOMÉTRICA, POISSON

Una distribución probabilística es la enumeración de todos los resultados de un experimento junto con las probabilidades asociadas.

DISTRIBUCIONES PROBABILISTICAS

Distribución ProbabilísticaLa distribución de una variable X se definecomo una descripción del conjunto de valoresposibles de X, junto con la probabilidadasociada con cada uno de estos valores

Para una variable aleatoria discreta ladistribución de probabilidad se describemediante una función de probabilidad,representada por f(x). Donde esta funcióndefine la probabilidad de cada valor de lavariable analizada

Una variable aleatoria es un valor numérico determinado por el

resultado de un experimento.

Ejemplo 1: considere un experimento aleatorio en el que se

lanza tres veces una moneda. Sea X el número de caras. Sea H

el resultado de obtener una cara y T el de obtener una cruz.

El espacio muestral para este experimento será: TTT, TTH,

THT, THH, HTT, HTH, HHT, HHH.

Entonces, los valores posibles de X (número de caras) son x = 0,

1, 2, 3,

El resultado será: “cero caras” ocurrió una vez, “una cara”

ocurrió tres veces, “dos caras” ocurrió tres veces y “tres

caras” ocurrió una vez.

De la definición de variable aleatoria, la X definida en este

experimento, es una variable aleatoria.

VARIABLE ALEATORIA

Una variable aleatoria discreta es

una variable que puede tomar sólo

ciertos valores diferentes que son el

resultado de la cuenta de alguna

característica de interés.

Ejemplo 2: sea X el número de

caras obtenidas al lanzar 3 veces una

moneda. Aquí los valores de X son

x = 0, 1, 2, 3

VARIABLE ALEATORIA DISCRETA

6

FUNCIÓN DE PROBABILIDAD (V. DISCRETAS)

• Asigna a cada posible valor deuna variable discreta suprobabilidad.

• Recuerda los conceptos de frecuencia relativa y diagrama de barras.

• Ejemplo

– Número de caras al lanzar 3 monedas. 0%

5%

10%

15%

20%

25%

30%

35%

40%

0 1 2 3

Si se mide algo, como el tamaño de

una pieza metálica, se dice que es

una variable aleatoria continua.

Puede tomar una cantidad infinita de

valores dentro de ciertas limitaciones.

Ejemplo 3: La presión de un

neumático en (lb/pulg2) podría ser

28.0, 28.6, 28.62, 28.624 y así

sucesivamente, dependiendo de la

exactitud del medidor.

VARIABLE ALEATORIA CONTINUA

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FUNCIÓN DE DISTRIBUCIÓN

• Es la función que asocia a cada valor de una variable, laprobabilidad acumulada de los valores inferiores oiguales.

• A los valores extremadamente bajos les correspondenvalores de la función de distribución cercanos a cero.– A los valores extremadamente altos les

corresponden valores de la función de distribucióncercanos a uno.

– Lo encontraremos en los artículos y aplicaciones enforma de “p-valor”, significación,…

DISTRIBUCIÓN BINOMIAL

Distribución Binomial

• Es una de las distribuciones de probabilidad

útiles. Sus áreas de aplicación incluyen

inspección de calidad, ventas,

mercadotecnia, medicina, investigación de

opiniones y otras. En un experimento el

resultado puede serla ocurrencia o la no

ocurrencia de un evento y se le llama ‘éxito’

a la ocurrencia del evento y ‘fracaso’ a su no

ocurrencia. Además sea p la probabilidad de

éxito y 1-p a la probabilidad de fracaso.

1. Se ocupa de experimentos en donde cada

resultado puede tomar solo una de dos formas.

2. Cada resultado es mutuamente excluyente (esto

quiere decir que la respuesta no puede ser

verdadero y falso al mismo tiempo).

3. También puede ser denotado como éxito y

fracaso.

CARACTERISTICA DISTRIBUCION BINOMIAL

4. Los datos recopilados son resultado de conteos.Es por esta razón que la distribución binomialse clasifica como discreta.

5. Que la probabilidad de un éxito permaneceigual de un ensayo a otro.

6. Es que un ensayo es independiente de otro. Noexiste un patrón rítmico con respecto a losresultados.

• Las dos suposiciones claves para la

distribución Binomial son:

La probabilidad de éxito p permanece

constante para cada ensayo.

Los n ensayos son independientes entre sí.

• Para obtener la función de distribución Binomial

primero se determina la probabilidad de tener n

ensayos, x éxitos consecutivos seguido de n-x

fracasos consecutivos, dado que los n ensayos

son independientes

xnx pppppppp )1()1)...(1)(1.(....

X términos (n-x) términos

Definición

• Sea X una variable aleatoria que representa el

número de éxitos en ensayos y p la

probabilidad de éxito con cualquiera de estos

se dice entonces que x tiene una distribución

binomial con función de probabilidad.

xnx ppxxn

n

)1(!)!(

!

0 para cualquier otro valor: 0 ≤ p ≤ 1,

Para n entero

X = 0,1,2,…n

p(x;n,p)

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Ejemplo 1: Si una décima parte de personas tiene cierto

grupo sanguíneo, ¿cuál es la probabilidad de que entre

100 personas escogidas al azar exactamente 8 de ellas

pertenezcan a este grupo sanguíneo?

928 101108

1008

810010

1

).-(). ()p(

x; n; .p

p)(px

np(x) xnx

17

Ejemplo 2: ¿Y si la pregunta es 8 como máximo?

8

0

100

8

0

9.0)1.0(100

18

x

xx

x

xnx

)(x

p)(px

n)p(x

18

Ejemplo 3: Calcula la probabilidad de obtener al menosdos seises al lanzar un dado cuatro veces.

p = 1/6, q = 5/6, n = 4

4322

6

1

4

4

6

5

6

1

3

4

6

5

6

1

2

4

132.01296

171)154256(

6

14

Al menos dos seises, implica que nos valen k = 2, 3, 4.

P(2) + P(3) + P (4)

),....1,0( )( nkqpk

nkP knk

19

Ejemplo 4 Supongamos que la probabilidad de encontrar

una estrella de masa m* >10 M

en un cúmulo estelar

joven es del 4%. ¿Cuál es la probabilidad de que en una

muestra escogida al azar, entre 10 miembros del cúmulo

encontremos 3 estrellas con m* >10 M

?

. . .).-(). ()p(

x; n; .p

p)(px

np(x)

-

xnx

00609670043004010403

103

310040

1

3103

20

21

Consideremos una población finita conN elementos, divididos en dos clases unacon M elementos (M<N) y la otra con N-M elementos. Llamemos “éxito” a laprimera clase y fracaso a la segunda

N - MM

Ejemplos

• Un lote de N elementos de una

producción, se divide en defectuosos

con M elementos y no defectuosos con

N-M elementos.

• Un salón de clase con N estudiantes, de

los cuales M tienen cierta enfermedad,

y N-M no tienen dicha enfermedad.

23

DISTRIBUCION HIPERGEOMETRICA

• N Tamaño de la población• M Número de éxitos en la población• x Número de éxitos que interesan (0,1,2,3,...)• n Tamaño de la muestra• C Símbolo de la combinación

Pr =(MCx)*(N-MCn-x)

(NCn)

24

ESPERANZA MATEMATICA DE UNA VARIABLE HIPERGEOMETRICA

µ = E(X) = n*M

N

VARIANZA DE UNA VARIABLE HIPERGEOMETRICA

σ2= E[(X - µ)2]

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Ejemplo 1:

Una empresa durante la semanafabricó 50 DVDs (N=50). Operaronsin problemas 40 (M=40) y 10tuvieron al menos un defecto. Seselecciona al azar una muestra de 5(n=5). Utilizando la fórmulahipergeométrica ¿Cuál es laprobabilidad que cuatro (x=4) de loscinco operarán sin problemas?(Observar que se hace sin reposicióny que el tamaño de muestra de 5 esde 10% de la población. Esto es mayorque la condición de 5%).

26

Solución:

• N = 50• M = 40• x = 4• n = 5

Pr =(40C4)*(50-40C5-4)

(50C5)= 0.431

NÚMERO QUE FUNCIONÓ CORRECTAMENTE PROBABILIDAD

0 0.000

1 0.004

2 0.044

3 0.210

4 0.431

5 0.311

27

DISTRIBUCION

HIPERGEOMETRICA

0.0000

0.1000

0.2000

0.3000

0.4000

0.5000

1 2 3 4 5 6

x

P

28

Ejemplo 2:Una empresa durante la semana fabricó 50 DVDs (N=50).Operaron sin problemas 40 (S=40) y 10 tuvieron al menosun defecto. Se selecciona al azar una muestra de 5 (n=5).Utilizando la fórmula hipergeométrica ¿Cuál es laprobabilidad que cuatro (r=3) de los cinco operarán sinproblemas? (Observar que se hace sin reposición y que eltamaño de muestra de 5 es de 10% de la población. Estoes mayor que la condición de 5%).

Solución: • N=50;M= 40;x= 3; n = 5

Pr =(40C3)*(50-40C5-3)

(50C5)= 0.210

29

Ejemplo 3:

Se acaba de recibir un embarque de10 TV. Poco después de recibirlos, elfabricante llamó para informar quepor descuido se habían enviado tresaparatos defectuosos.

Se decidió probar dos de estos ¿Cuáles la probabilidad que ninguno de losdos este defectuoso?

30

Solución:

• N = 10• M = 7• x = 2• n = 2

Pr =(7C2)*(10-7C2-2)

(10C2)= 0.466667

NÚMERO QUE FUNCIONÓ

CORRECTAMENTE

PROBABILIDAD

0 0.0666667

1 0.466667

2 0.466667

31

Ejemplo 4:

• Considerando que en la urnahay un total de 10 objetos, 3 delos cuales son defectuosos, side seleccionan 4 objetos al azar,¿cuál es la probabilidad de que2 sean defectuosos?

•

32

Solución:

• N = 10• M = 3• x = 4• n = 2

Pr =(3C2)*(10-3C4-2)

(10C4)= 0.30

NÚMERO QUE FUNCIONÓ

CORRECTAMENTE

PROBABILIDAD

0 0.166667

1 0.500000

2 0.300000

33

Ejemplo 5:

Para evitar que lo descubran en la aduana,un viajero ha colocado 6 tabletas denarcótico en una botella que contiene 9píldoras de vitamina que son similares enapariencia. Si el oficial de la aduanaselecciona 3 tabletas aleatoriamente paraanalizarlas.a) ¿Cuál es la probabilidad de que el viajerosea arrestado por posesión de narcóticos?.b) ¿Cuál es la probabilidad de que no seaarrestado por posesión de narcóticos?.

34

Solución:

• N = 15; M = 6 ; x = 1,2,3; n = 3

a)

Pr =(6C1)*(15-6C6-1)+

(15C3)

(6C2)*(15-6C6-2)+ (6C3)*(15-6C6-3)

NÚMERO QUE FUNCIONÓ CORRECTAMENTE PROBABILIDAD

0 0.184615

1 0.474725

2 0.296703

3 0.043956

0.815384SUMAMOS Y……

b) Pr =(6C0)*(15-6C3-0)

(15C3)= 0.184615

35

Ejemplo 6:De un lote de 10 proyectiles, 4 se seleccionan al azary se disparan. Si el lote contiene 3 proyectilesdefectuosos que no explotarán, ¿cuál es laprobabilidad de que , a) los 4 exploten?, b) almenos 2 no exploten?

Solución:• N = 10; M= 7 ;x = 4 ;n = 4

a)

Pr =(35)*(1)

(210)=0.16667

36

b)

= 0.333333

Pr =(3C2)*(10-3C4-2)

(10C4)

(3C3)*(10-3C4-3)+

Pr =(3)*(21)

(210)

(1)*(7)+

Pr =63

210

7+

37

EjERCICIO PROPUESTO:Una compañía manufacturera utiliza un esquemapara la aceptación de los artículos producidosantes de ser embarcados. El plan es de dosetapas. Se preparan cajas de 25 para embarquey se selecciona una muestra de 3 para verificar sitienen algún artículo defectuoso. Si se encuentrauno, la caja entera se regresa para verificarla al100%. Si no se encuentra ningún artículodefectuoso, la caja se embarca. a)¿Cuál es laprobabilidad de que se embarque una caja quetiene tres artículos defectuosos?, b)¿Cuál es laprobabilidad de que una caja que contiene soloun artículo defectuoso se regresa paraverificación?