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Simulación de Eventos Discretos
Modelos Estadísticos en Simulación
AgendaAgenda• Valor Esperado de una Variable Aleatoria.• Varianza de una Variable Aleatoria.• Distribución Bernoulli.• Distribución Geométrica.Distribución Geométrica.• Distribución Binomial.• Distribución Binomial Negativa.
P P i• Proceso Poisson.
Valor Esperado de una Variable
Ejemplo 1: VA X definida por número de hijos en una familia americana
Aleatoria¿Cuál es el número de hijos esperado?
3,2,1,0)( XR
3210
301
309
3015
305 (.)g
3 2 1 0
x
2.136
301*3
309*2
3015*1
305*0)(
XE
hijos2.1)(
2.130
XE
Valor Esperado de una Variable
Ejemplo 2: VA X definida por el resultado que se obtiene al lanzar un
AleatoriaEjemplo 2: VA X definida por el resultado que se obtiene al lanzar un
dado.
R(X) = {1 2 3 4 5 6}R(X) = {1,2,3, 4, 5, 6}
E(X) = (1+2+3+4+5+6)/6 = 21/6 = 3.5 => E(X) = 3.5
DefiniciónCaso discreto
Sea X una V.A. discreta con rango R(X).
Definición
El valor esperado de la V.A. X se define por:
)(
).()(xRx
iXi xgxXE
Caso continuoSea X una VA continua con rango R(X)
)(xRxi
Sea X una V.A. continua con rango R(X)El valor esperado de la V.A. X se define por:
)()( X dxxfxXE
De las definiciones anteriores se infiere que E(K) = K
)(
)()(XR
X dxxfxXE
Valor Esperado – Ejemplo CasoValor Esperado Ejemplo Caso Continuo
2,x0 , 2
)( xxfXPara la VA X con fdp
1,2
21
2E(X)
2
0
22
0
dxxdxxx0,6
0,8
1
34
68
3
21
2
0
3
00
x
0
0,2
0,4
0 0,5 1 1,5 2 2,5
6
DefiniciónSea X una V.A. discreta o continua. La varianza y la desviación estándar de la V.A. X se definen por: XEXEXVAR 22
Definición
d l d f ó l l d l l é d l
X
XEXEXVAR
x
x
var
2
De acuerdo con la definición, la varianza la podemos calcular a través de la expresión:
Var(X) = para X VA discreta y n
xxg 2)(*)( Var(X) = para X V.A. discreta y
Var(X) = para X V.A. continua. )(
2)(*)(XR
xX dxxxf
i
xiiX xxg1
)()(
La varianza de X también se puede expresar como: Var(X) = E(X2) – [E(X)]2
)( XR
Distribución de BernoulliSe dice que un EA es un experimento aleatorio de Bernoulli si su espaciomuestral asociado consta únicamente de dos elementos, es decir, Ω = { E, F }
Distribución de Bernoulli
{ }• Xb es la VA asociada al EA de Bernoulli, y está definida por:
Xb(E) = 1 y Xb(F) = 0
• Rango (Xb) = {0, 1}• P(Xb = 1) = p y P (Xb = 0) = 1 – p
Por tanto, su FP es: gX(x) = px (1 – p)1‐x, para x = 0, 1.
y que sumedia y su varianza están dadas respectivamente por:y que sumedia y su varianza están dadas, respectivamente, por:
E(X) = p y Var(X) = p (1‐p)
8
Distribución GeométricaSi se realizan sucesivamente experimentos independientes de Bernoulli deparámetro p, a la VARIABLE ALEATORIA XG: “número de ensayos hasta obtener
Distribución Geométrica
p p G yel primer ÉXITO” se le conoce como una VA con DISTRIBUCIÓN GEOMÉTRICAde parámetro p.
n 1)1()(
En una sesión anterior ya se demostró que:R(X) {1 2 3 }
ppng nX
1)1()(
‐ R(X) = {1, 2, 3, …,n, …, }
‐ E(X) = 1/p
‐Var(X) = (1‐p)/p2
9
Distribución BinomialEjemplo Introductorio
L j d édi VIVAGRATIS l 30% d li d
Distribución Binomial
La tarjeta de crédito VIVAGRATIS conoce que el 30% de sus clientes quedan consobrecupo en los cortes mensuales. Si se elige una muestra aleatoria (MA) de 10clientes de dicha tarjeta:
a. ¿Cuál es la probabilidad de que exactamente cuatro tengan sobrecupo?
b. ¿Cuántos clientes esperaría usted que tengan sobrecupo?b. ¿Cuántos clientes esperaría usted que tengan sobrecupo?
c. ¿Cuál es la probabilidad de que ocho o más de ellos tengan sobrecupo?
Sea p = 0.3 la probabilidad de ÉXITO, i.e., que el cliente quede con sobrecupo.X: la VA asociada al número de ÉXITOS en los n = 10 ensayos.R(X) = {0,1,2, …, n}
10
Distribución BinomialNos preguntan P(X = 4); observemos que:
representaría el EM del experimento en donde en c/u de las 10
10...
21FEFFE
representaría el EM del experimento, en donde en c/u de las 10 posiciones sólo puede aparecer E ó F.
El resultado siguiente es favorable al evento: 70707030307070307030FFFEEFFEFEg
y la probabilidad de que este evento particular se produzca es:
7.07.07.03.03.07.07.03.07.03.0
nkpp knk ,1
7.03.0 64
¿De cuántas formas posibles se pueden presentar 4 Éxitos?
pp ,
XPkn
7.03.04
104 por tanto,;
410 64
En general: nkppkn
kXP knk ,...,1,01
11
Distribución BinomialDEFINICIÓN: Si se hacen N experimentos independientes cuyo resultado encada ensayo puede ser únicamente ÉXITO (con probabilidad p) o FRACASO (con
b bilid d 1 ) l VA X ú d é it l N lprobabilidad 1‐p ), a la VA X: número de éxitos en los N ensayos, se le conocecomo la VA BINOMIAL y su FUNCION DE PROBABILIDAD es conocida como laDISTRIBUCION BINOMIAL de parámetros N, p.
Rango: R(x) = { 0, 1, 2, …,N} Función de Probabilidad:
XPp)N(k;g k
E(XB; N, p) = Np
N ..., 2, 1, k ,)p1()p(kN
p)N,(k;g
XPp)N,(k;g
k-NkX
BX
B
Bk
Var (XB; N, p) = Npq
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b N t
Ahora podemos contestar las preguntas que nos faltaba responder:
b. Nos preguntan 3.0,10;BXE 33.0*10 BXE
c. Nos preguntan 8XP
10988 XPXPXPXP
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Distribución Binomial NegativaConsideremos el mismo tipo de experimento que se utilizó en la definición de laVA XG con distribución geométrica, y definamos la VA Xp como el número deensayos hasta obtener el r ésimo éxito Se dice que dicha VA tiene unaensayos hasta obtener el r‐ésimo éxito. Se dice que dicha VA tiene unadistribución de Pascal (también es llamada Binomial Negativa) de parámetro r, r 1. Es claro que la VA así definida es una generalización natural de la VAgeométrica.
E(X ) r
geométrica.
,)1(11
),;( rrnX pp
rn
prngp
n r
E(Xp ; r,p) = p
Var (Xp ; r,p) = 2p
)p1(r p
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EjercicioABC Petroleum va a iniciar la perforación de varios pozos petroleros en un nuevocampo. En el proceso de perforación de cada pozo, la compañía puede alcanzar
Ejercicio
campo. En el proceso de perforación de cada pozo, la compañía puede alcanzardos tipos de formaciones geológicas que se encuentran a un nivel de profundidaddiferente: Mirador o Barco. El nivel de reservas de petróleo de cada pozo,depende de la formación que se alcance en el proceso de perforación. Si ABCalcanza la formación Mirador, el nivel de reservas obtenido será alto conprobabilidad 0.2, medio con probabilidad 0.3 y bajo con probabilidad 0.5. Cuandose alcanza la formación Barco, se estima que el nivel de reservas es alto en el 40%de los casos, medio en el 50% de los casos y bajo en el 10% de los casos.Con base en estudios geológicos, ABC estima que la probabilidad de que laperforación llegue hasta la formación Mirador en cualquiera de los pozos es 0.7,i t l b bilid d d ll l f ió B 0 3 A i dmientras que la probabilidad de llegar a la formación Barco es 0.3. Asumiendo
independencia en los resultados del proceso de perforación de cada pozo,responda las siguientes preguntas:
15
Ejercicioa. Calcule la probabilidad de que, en un pozo cualquiera, ABC obtenga un nivel de
reservas alto, medio y bajo, respectivamente.
Ejercicio
reservas alto, medio y bajo, respectivamente.
b. ¿Cuál es la probabilidad de que ABC deba perforar 10 pozos para encontrar elprimero con un nivel medio ó alto de reservas?
c. ¿Cuál es la probabilidad de que más de 2 de los primeros 5 pozos perforadospresenten un nivel bajo de reservas?
d. Si de los primeros 10 pozos perforados 4 presentaron un nivel alto de reservas,¿cuál es la probabilidad de que el decimoquinto pozo perforado sea el quinto con
i l lt d ?un nivel alto de reservas?
e. Calcule el valor esperado del número de pozos que se perforarán hasta obtenerel quinto pozo con reservas altas
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el quinto pozo con reservas altas.
Proceso de PoissonProceso de PoissonEn cierta ciudad se quiere analizar el experimento aleatorio que consiste enobservar cómo se comportan los nacimientos de bebés con respecto altiempo en el sentido de ver el nacimiento de un bebé como un eventotiempo, en el sentido de ver el nacimiento de un bebé como un eventopuntual (el instante en que nace el bebé) que tiene lugar a lo largo detiempo. El nacimiento de un bebé en la ciudad lo podemos interpretar comouna llegada del proceso que tiene lugar en el tiempo.g p q g pEl tiempo lo podemos representar a través de la recta real y las llegadascomo puntos de dicha recta, así:
d h ( l ) d d f lRespecto a dicho proceso (experimento aleatorio) podemos definir la VA XPpara un intervalo de tiempo de longitud t por:
XP (t) = "número de nacimientos (llegadas) en el intervalo de tiempo de longitud t"P
Proceso de PoissonSea t un intervalo de tiempo dado, arbitrario pero fijo. Queremos examinar la VAXP(t)definida anteriormente y deducir su distribución,
= P (XP = n; , t)
Proceso de Poisson
( P ; , )= P (haya exactamente n llegadas del proceso en el intervalo de
tiempo t).Dividamos el intervalo de magnitud t en N intervalos de magnitud t/N, de talmanera que t/N sea tan pequeño como sea necesario para que se cumplan lossupuestos del modelo.
El evento B "que haya exactamente n llegadas del proceso en el intervalo deEl evento B que haya exactamente n llegadas del proceso en el intervalo detiempo t" es equivalente al evento "obtener exactamente n éxitos en los Nexperimentos independientes de Bernoulli que consisten en observar si ha habidoo no una llegada del proceso en el intervalo de tiempo de longitud t/N"o no una llegada del proceso en el intervalo de tiempo de longitud t/N .
Proceso de PoissonLa probabilidad de obtener éxito (que haya una llegada) en cada uno de estosexperimentos de Bernoulli es p = (t/N).Es decir, tenemos N experimentos independientes de Bernoulli de parámetrop = (t/N).La probabilidad del evento B está dada por:
P(B) = P(haya exactamente n llegadas del proceso en el intervalo de tiempo t)= P( obtener exactamente n éxitos en los N experimentos independientesde Bernoulli de parámetro p = (t/N))
= P(XB = n; N, .(t /N)) (*)
Tomando el límite de la expresión (*) cuando N tiende a infinito, es decir,cuando los intervalos t/N son tan pequeños como se quiera, se obtiene:
Distribución PoissonN(t) = número de eventos que han ocurridoEn el intervalo de tiempo [0,t]
... 2, 1, 0,n ,!
),;(])([ tn
x enttngntNP
p
Apuntes de Clase, Castillo Mario, 2007
Proceso de Poisson• El número de eventos que suceden hasta el tiempo t se distribuye Poisson con
parámetro λC l l t d t i i d d• Cumple con los supuestos de estacionariedad.– El Valor Esperado de las variables aleatorias no depende del tiempo (son
constantes).– Las varianzas tampoco dependen del tiempo y son finitas.
• El tiempo entre eventos es independiente e idénticamente distribuido como una variable aleatoria exponencial con media 1/ λ.
λ λ + μμλp
λ(1-p)λ
Random Splitting Pooled Process
EjerciciosEl número de llamadas que entran a una central telefónica durante un viernes enla noche se puede representar por medio de un proceso de Poisson. De acuerdo
Ejercicios
con los datos del último mes, se ha estimado el número de llamadas entre las 8PM y las 3 AM es una variable Poisson con una tasa de 70 llamadas por hora.
) ¿C ál l b bilid d d t l 8 PM l 9 PM t 70 ll d ?a) ¿Cuál es la probabilidad de que entre las 8 PM y las 9 PM entren 70 llamadas?b) ¿Cuál es la probabilidad de que entre las 9 PM y las 11 PM entren más de 80
llamadas?c) ¿Cuál es el número esperado de llamadas que entran entre las 2 AM y las 2:30c) ¿Cuál es el número esperado de llamadas que entran entre las 2 AM y las 2:30
AM?d) ¿Cuál es la probabilidad de que entre las 8:30 PM y las 9 PM entren 30
llamadas y que entre las 2 AM y las 3 AM entren 60 llamadas?y q ye) Se sabe que entre las 9 PM y las 10 PM entraron 50 llamadas, ¿cuál es la
probabilidad de que entre las 9 PM y las 11:30 PM entren más de 120llamadas?
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