Ecuaciones Cuadráticas

Prof. Fidel Gilberto Maima Lazocel.: 973697116

email: fmaima@gmail.com

pág. web: www.fmaima.orgfree.com

Ecuaciones cuadráticas o de segundo grado

Una ecuación es de segundo grado, si el mayor exponente de la incógnita es 2.

Forma general:

Donde:a, b, c : son coeficientes reales x : incógnita o variable

002 acbxax

Una ecuación cuadrática tiene dos raíces.

Métodos de resolución de ecuaciones cuadráticas

I. Ecuación de la forma:

+c=0

Tiene dos raíces reales, si es un número real positivo.

Ejemplo:

2-8=0 → 28=4 →

Luego, C.S.={-2; 2}

II. Ecuación de la forma:

+bx=0

Factorizamos y se aplica el criterio del producto cero, es decir, igualamos al factor a cero y despejamos.

Ejemplo:4x=0 =00 v x+3=0x=0 v x=-3Luego, C.S.={-3; 0}

La ecuación de la forma:

Factorizamos por el método del aspa simple, luego igualamos cada factor a cero.

Ejemplo: Resuelve la ecuación: Factorizamos por aspa simple:

(x+3)(5x-2) = 0x+3 = 0 v 5x-2=0 x = -3 v x = 2/5

Luego, C.S. = {-3; 2/5}

Método del aspa simple

002 acbxax

Método de la F.G. o fórmula de Carnot

Dada la siguiente ecuación:

Aplicamos la fórmula general.

002 acbxax

a

cabbx

2

42

Ejemplo:Resuelve la siguiente ecuación:

Tenemos que:a=2 , b=5 , c=3Aplicamos la fórmula general:

0352 2 xx

22

)3(2.455 2 x

415x

415 x

1x23x

Discriminante de una ecuación cuadrática

Está dado por:

El Nº de soluciones de una ecuación de segundo grado dependerá del SIGNO delDiscriminante:Δ> 0 → tiene dos soluciones reales diferentes.Δ = 0 → tiene dos soluciones reales iguales.Δ< 0 → no tiene soluciones reales.

Propiedades:

1. Suma de raíces:

2. Producto de raíces:

a

bxx

21

a

cxx 21

Reconstrucción de Ecuaciones Cuadráticas

1 si se conocen las raíces:Si conocemos las raíces X1 y X2 entonces la ecuación será:

(X-X1)(X-X2)

2 si se conocen la suma y producto de raíces :La ecuación cudratica sera:

RAICES PARTICULARES

1 Raíces Simétricas:Si X1 y X2 son raíces simétricas se establece que X1=m y X2=-m entonces

X1 + X2 = 0

3 Raíz Nula:Dada la ecuación si esta presenta una raíz nula (x=0) se cumple que C=0

2 Raíces Reciprocas:Si X1 y X2 son raíces reciprocas se establece que X1=m y X2=1/m entonces

X1 . X2 = 1

4 Raíz Unidad:Dada la ecuación si esta presenta una raíz unidad (x=1) se cumplirá que a+b+c=0

Ejercicios

1. Resuelve la ecuación por el método del aspa simple:

x + 3x – 28 = 0

Solución: Factorizamos por el método del aspa simple:

x + 3x – 28 = 0

x +7 +7x x -4 -4x +3x(x+7)(x-4)=0x+7=0 → x=-7 x-4=0 → x=4

C.S. = {-7; 4}

2

2

2. Resuelve la ecuación por el método de la fórmula general: 2x + 5x – 3 = 0

Solución: Tenemos que: a=2; b=5; c=-3Reemplazando en la fórmula general:

;

C.S. = {; -3}

2

3. Si la siguiente ecuación tiene raíces iguales, calcula el valor de «m». x + 10x + (2m+1) = 0

Solución: Tenemos que: a=1; b=10; c=2m+1Si tiene raíces iguales, se cumple que ∆ = 0.

∆ =

→ m = 12

Rpta.: el valor de «m» es 12.

2

4. La suma de los cuadrados de dos números consecutivos es 265. calcula el triple del número mayor.

Solución: Sean los números consecutivos: x; x+1.Por datos del problema:x + (x+1) = 265

→ x = 11 (si)→ x = -12 (no)

Luego: 3(11+1) = 36

Rpta.: 36.

22

Ahora a resolver los ejercicios Nunca consideres el estudio

como una obligación, sino como una oportunidad para penetrar en el bello y maravilloso mundo del saber