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[email protected] @juancaraguado [email protected]
a) La condición de primer orden de maximización de beneficios de una
empresa competitiva nos dice que ésta habrá de producir una cantidad tal que haga
igualar sus costes marginales con el precio de equilibrio del mercado.
Necesitamos por tanto conocer dicho precio de equilibrio. Lo obtendremos
igualando la función de oferta con la de demanda:
Qo= Qd
5P – 500 = 4000 – 10P
15P = 4500
P = 300 u.m.
A continuación, calcularemos los costes marginales, que son la derivada de los
costes totales respecto de Q:
C’ =
= 3Q
2 – 72Q + 540
Para maximizar beneficios, se ha de cumplir la siguiente igualdad:
P = C’
300 = 3Q2 – 72Q + 540
3Q2 – 72Q + 240 = 0
Q2 – 24Q + 80 = 0
1.- Una empresa que trabaja en un mercado de competencia perfecta tiene
una función de costes totales: CT = Q3 – 36Q
2 + 540Q + 600.
Las funciones de oferta y demanda en ese mercado son:
Qo= 5P – 500
Qd= 4000 – 10P
a) Calcule qué cantidad producirá para maximizar beneficios.
b) Halle qué beneficio obtendrá.
c) Represente gráficamente el equilibrio del mercado y el de la empresa.
d) Calcule y represente gráficamente el mínimo de explotación.
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A simple vista se puede apreciar que las dos raíces de esta ecuación son 4 y 20,
pues el término independiente es el producto de ambas raíces y el que acompaña a la Q
es la suma de ambas con signo negativo.
Resolvemos no obstante de la forma más tradicional para quienes no lo vean tan
inmediato:
;
; las dos posibles soluciones por
consiguiente son Q = 4 y Q = 20.
Aunque matemáticamente obtengamos dos resultados, sólo uno es el que nos
hará maximizar beneficios –el otro, por el contrario, es el que nos haría minimizar
beneficios-.
La condición de segundo orden de maximización de beneficios de una empresa
competitiva nos dice que los costes marginales han de estar en su tramo creciente. Esto
matemáticamente implica que sustituyendo en la derivada del coste marginal el valor de
la Q que hemos hallado, nos ha de dar un valor positivo. Lo comprobamos a
continuación para los dos valores calculados.
= 2Q – 24
2·4 – 24 = – 16 < 0
2·20 – 24 = 16 > 0
Estaremos por tanto en el tramo creciente de la curva de costes marginales para
una cantidad Q = 20.
b) Ahora que ya sabemos que va a producir 20 unidades y que las va a
vender a un precio de 300 u.m., podemos conocer el beneficio de la empresa como la
diferencia entre los ingresos totales y los costes totales:
B = IT – CT = 300·20 – 203 + 36·20
2 – 540·20 – 60 = 1000 u.m.
c) Para hacer una representación gráfica más completa del equilibrio del
mercado, tenemos que calcular cuál es la cantidad de equilibrio. Ya que conocemos el
precio de equilibrio (P = 300), nos bastará con sustituir éste ya sea en la función de
oferta o en la de demanda para obtener la cantidad de equilibrio del mercado:
Qo = 5P – 500 = 5·300 – 500 = 1000
Asimismo, para que el gráfico de la empresa sea más completo y podamos
representar gráficamente el área que muestra los beneficios, necesitamos conocer el
valor del coste total medio para la cantidad de equilibrio, es decir, para Q = 20.
CTMe(Q=20) =
= Q
2 – 36Q + 540 +
= 20
2 – 36·20 + 540 +
CTMe(Q=20) = 250
También podíamos haber obtenido este valor de otra forma, teniendo en cuenta
que el beneficio que hemos calculado es B = 1000, que el precio de equilibrio hallado es
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P = 300 y que la cantidad de equilibrio es Q = 20. Si el área del beneficio es un
rectángulo con una base de 20, la altura deberá ser de
= 50. Como el valor superior
de ese rectángulo es el precio de equilibrio, que es P = 300, el valor inferior será el
resultado de la diferencia 300 – 50 = 250.
d) El mínimo de explotación viene dado por ese precio a partir del cual la
empresa comienza a producir, pues ahí ya cubre sus costes variables y a partir de ese
precio empieza a recuperar los costes fijos –obviamente, si ese precio es aún mayor
empezará a tener beneficios, pero eso lo calcularemos en otros ejercicios-.
Eso se produce en el mínimo de los costes variables medios, que es el punto en
el que los costes marginales cortan con dichos costes variables medios. Por eso,
podemos calcularlo matemáticamente de cualquiera de las dos formas:
ó bien
C’ = CVMe
Lo haremos a continuación de las dos formas posibles.
Para ello, necesitamos en primer lugar conocer quiénes son los costes variables
medios. Por su propia definición serán el resultado de dividir los costes variables –todos
aquellos que dependen de la cantidad, Q- entre Q:
P
P1
P2
300
O
D
1000
P1
P2
Q
P1
P2
CTMe
P
P1
P2
C’
CVMe
Q
300
P1
P2
4
P1
P2
20
P1
P2
P1
P2
250
P1
P2
Empresa Mercado
[email protected] @juancaraguado [email protected]
CVMe =
=
–
Q2
– 36Q + 540
Para minimizar esta función, su derivada respecto de Q deberá ser igual a cero:
= 0; 2Q – 36 = 0;
Q = 18
La otra forma de calcular la cantidad que está asociada al mínimo de explotación
consiste en igualar los costes marginales con los costes variables medios, pues como ya
conocemos los costes marginales cortan a los costes variables medios en su mínimo:
C’ = CVMe
3Q2 – 72Q + 540 = Q
2 – 36Q + 540;
2Q2 – 36Q = 0;
Q(2Q – 36) = 0
Esto sólo puede ocurrir si:
Q = 0
Ó bien 2Q – 36 = 0; Q = 18.
Si la cantidad asociada al mínimo de explotación es Q = 18, sustituyendo este
valor ya sea en el coste marginal ya sea en el coste variable medio, obtenemos el precio
mínimo a partir del cual la empresa comenzará a producir:
CVMe(Q = 18) = 182 – 36·18 + 540 = 216 u.m.
El mínimo de explotación se produce por tanto para esta empresa cuando el
precio alcanza las 216 u.m., y comienza a producir 18 unidades.
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La representación gráfica sería la siguiente:
216
P1
P2
18
CTMe
P
P1
P2
C’
CVMe
Q
300
P1
P2
4
P1
P2
20
P1
P2
P1
P2
250
P1
P2
Mínimo de explotación o
punto de cierre
P1
P2
[email protected] @juancaraguado [email protected]
a) La condición de primer orden de maximización de beneficios de una
empresa competitiva nos dice que ésta habrá de producir una cantidad tal que haga
igualar sus costes marginales con el precio de equilibrio del mercado.
Necesitamos por tanto conocer dicho precio de equilibrio. Lo obtendremos
igualando la función de oferta con la de demanda:
Qo = Qd
2P – 704 = 5260 – 5P
7P = 5964
P = 852 u.m.
A continuación, calcularemos los costes marginales, que son la derivada de los
costes totales respecto de Q:
C’ =
= 3Q
2 – 105Q + 1050
Para maximizar beneficios, se ha de cumplir la siguiente igualdad:
P = C’
852 = 3Q2 – 105Q + 1050
3Q2 – 105Q + 198 = 0
Q2 – 35Q + 66 = 0
2.- Una empresa que trabaja en un mercado de competencia perfecta tiene
una función de costes totales: CT = Q3 – 52’5Q
2 + 1050Q +6750.
Las funciones de oferta y demanda en ese mercado son:
Qo= 2P – 704
Qd= 5260 – 5P
a) Calcule qué cantidad producirá para maximizar beneficios.
b) Halle qué beneficio obtendrá.
c) Represente gráficamente el equilibrio del mercado y el de la
empresa.
d) Calcule y represente gráficamente el mínimo de explotación.
e) Calcule y represente gráficamente el punto de nivelación.
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A simple vista se puede apreciar que las dos raíces de esta ecuación son 2 y 33,
pues el término independiente es el producto de ambas raíces y el que acompaña a la Q
es la suma de ambas con signo negativo.
Resolvemos no obstante de la forma más tradicional para quienes no lo vean tan
inmediato:
;
; las dos posibles soluciones por
consiguiente son Q = 2 y Q = 33.
Aunque matemáticamente obtengamos dos resultados, sólo uno es el que nos
hará maximizar beneficios –el otro, por el contrario, es el que nos haría minimizar
beneficios-.
La condición de segundo orden de maximización de beneficios de una empresa
competitiva nos dice que los costes marginales han de estar en su tramo creciente. Esto
matemáticamente implica que sustituyendo en la derivada del coste marginal el valor de
la Q que hemos hallado, nos ha de dar un valor positivo. Lo comprobamos a
continuación para los dos valores calculados.
= 6Q – 105
6·2 – 105 = – 93 < 0
6·33 – 105 = 93 > 0
Estaremos por tanto en el tramo creciente de la curva de costes marginales para
una cantidad Q = 33.
b) Ahora que ya sabemos que va a producir 33 unidades y que las va a
vender a un precio de 852 u.m., podemos conocer el beneficio de la empresa como la
diferencia entre los ingresos totales y los costes totales:
B = IT – CT = 852·33 – 333 + 52’5·33
2 – 1050·33 – 6750 = 7951’5 u.m.
c) La representación gráfica del equilibrio del mercado y de la empresa
serían los siguientes:
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d) El mínimo de explotación viene dado por ese precio a partir del cual la
empresa comienza a producir, pues ahí ya cubre sus costes variables y a partir de ese
precio empieza a recuperar los costes fijos –obviamente, si ese precio es aún mayor
empezará a tener beneficios, pero eso lo calcularemos en otros ejercicios-.
Eso se produce en el mínimo de los costes variables medios, que es el punto en
el que los costes marginales cortan con dichos costes variables medios. Por eso,
podemos calcularlo matemáticamente de cualquiera de las dos formas:
ó bien
C’ = CVMe
Lo haremos a continuación de las dos formas posibles.
Para ello, necesitamos en primer lugar conocer quiénes son los costes variables
medios. Por su propia definición serán el resultado de dividir los costes variables –todos
aquellos que dependen de la cantidad, Q- entre Q:
CVMe =
=
–
Q2
– 52’5Q + 1050
Para minimizar esta función, su derivada respecto de Q deberá ser igual a cero:
Empresa Mercado
P
P1
P2
852
O
D
1000
P1
P2
Q
P1
P2
CTMe
P
P1
P2
C’
CVMe
Q
852
P1
P2
2
P1
P2
33
P1
P2
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; 2Q – 52’5 = 0; Q = 26’25
Si la cantidad asociada al mínimo de explotación es Q = 26’25, sustituyendo este
valor ya sea en el coste marginal ya sea en el coste variable medio, obtenemos el precio
mínimo a partir del cual la empresa comenzará a producir:
CVMe(Q = 26’25) = 26’252 – 52’5·26’25 + 1050 = 360’9375 u.m.
El mínimo de explotación se produce por tanto para esta empresa cuando el
precio alcanza las 360’9375 u.m., y comienza a producir 26’25 unidades.
La representación gráfica sería la siguiente:
360’94
P1
P2
26’25
CTMe
P
P1
P2
C’
CVMe
Q
852
P1
P2
4
P1
33
P1
Mínimo de explotación o
punto de cierre
P1
P2
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e) El punto de nivelación es aquel en el que el precio es lo suficientemente alto
como para que la empresa deje de tener pérdidas, es decir, aquel en el que el beneficio
es B = 0. Si el precio es mayor que este, la empresa comenzará a presentar beneficios
positivos.
Tenemos dos posibilidades para su cálculo: hallar el mínimo de los costes totales
medios, o bien calcular el punto de corte entre los costes marginales y los costes totales
medios. Esto es así porque el coste marginal corta a los costes totales medios en el
mínimo de éstos. Optemos por una u otra opción vamos a encontrarnos finalmente con
la misma ecuación. Lo hallaremos en esta ocasión calculando el mínimo de los costes
totales medios.
Los costes totales medios son el resultado de dividir los costes totales entre Q:
CTMe =
=
–
= Q
2 – 52’5Q + 1050 +
Para calcular su mínimo, igualamos a cero la derivada respecto de Q de esta
función:
= 0;
2Q – 52’5 –
= 0;
2Q3 – 52’5Q
2 – 6750 = 0
Sabemos que la cantidad que buscamos es mayor que 26’25, pues esta es la
asociada al punto de cierre. También conocemos que ha de ser inferior a 33, pues con
esta cantidad hemos visto que obtenía beneficios, por lo que la cantidad que buscamos
está comprendida dentro de un estrecho margen.
Un buen candidato es el número 30, pues es uno de los divisores del término
independiente y está comprendido dentro del rango descrito; comprobamos utilizando el
método de Ruffini que esa es una de las raíces de la ecuación:
2 –52’5 0 – 6750
30
60
225
6750
2 7’5 225 0
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Dejamos en manos del lector la comprobación de que el resto de raíces son
imaginarias.
Si la cantidad para la que el coste total medio es mínimo es de 30 unidades, el
precio correspondiente al punto de nivelación lo obtendremos sustituyendo dicho valor
ya sea en el coste marginal, ya sea en el coste total medio. Elegimos hacerlo en éste
último:
CTMe (Q = 30) = Q2 – 52’5Q + 1050 +
;
CTMe (Q = 30) = 302 – 52’5·30 + 1050 +
;
CTMe (Q = 30) = 600 u.m.
La representación gráfica sería la siguiente:
360’94
P1
P2
26’25
CTMe
P
P1
P2
C’
CVMe
Q
852
P1
P2
4
P1
33
P1
Punto de nivelación
P1
P2
600
P1
30
P1
