!Republica!Bolivariana!de!Venezuela!

Universidad!Fermín!Toro!Cabudare!Edo.!Lara!!

!!!!!!!!!!!!!!!!!!!

Ejercicios! !Ecuaciones!Diferenciales!

!!!!!!

!!!!!

Alemairy!Dávila!20.469.468!SAIA!

Matemática!IV!!!!!!!

!

!!

ASIGNACIÒN!DE!EJERCICIOS!DE!LA!UNIDAD!II: !ECUACIONES!DIFERENCIALES!!!

!!!

1.) Determine!si!la!función!es!solución!de!la!ecuación!diferencial.!

! ( ) ctgxyyctgxxsenxya −=++= ,,;cscln) !

!!

2.) Resolver!las!siguientes!ecuaciones!diferenciales!de!primer!orden!de!acuerdo!al!método!correspondiente.!

!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!

!! ( ) ( ) 02cos2cos)

cos.)22

2,

=+−+−

=+

dyyxyxxedxxyyeb

xtgyxysenxayy !

!!;!!!!!!!!!!!3.) Resolver!las!ecuaciones!diferenciales!de!orden!N!por!coeficientes!indeterminados.!

!

xxyyb

senxeyya x

cos3939.)

2.),,

2,,,

+=+

=+!

4.) Resuelva!por!variación!de!parámetros:!

a) Y”!+!9y!=!¼(!Cosec!3x)!

!!!!!!!!!!!!!!!!!

Asignacion de ejercicios de la unidad II: Ecuaciones Diferenciales.

1. Determine si la funcion es solucion de la ecuacion diferencial.

y = senx ln(cscx+ ctgx); y′′ + y = −ctgx

Solucion:

y′ = cosx ln(cscx+ ctgx) + senx

!−cscxctgx− csc2x

cscx+ ctgx

"

= cosx ln(cscx+ ctgx)− senxcscx

!ctgx+ cscx

cscx+ ctgx

"⇒ y′ = cosx ln(cscx+ ctgx)− 1

y′′ = −senx ln(cscx+ ctgx)− cosxcscx = −senx ln(cscx+ ctgx)− ctgx

Luego:

y′′ + y = −senx ln(cscx+ ctgx)− ctgx+ senx ln(cscx+ ctgx) = −ctgx

En consecuencia: y = senx ln(cscx+ ctgx), es solucion de la ecuacion y′′ + y = −ctgx

2. Resolver las siguientes ecuaciones diferenciales de primer orden de acuerdo al metodo

correspondiente.

a) senx+ cosxy′ + y = tan2x

b) (e2y − ycosxy)dx+ (2xe2y − xcosxy + 2y)dy = 0

Solucion:

a) La ecuacion diferencial planteada en este literal puede reescribirse en la forma

y′ = − y

senxcosx+

tan2x

senxcosx= − y

senxcosx+ tanxsec2x

evidentemente que la ecuacion planteada es lineal debido a que presenta la forma general

y′ = p(x)y + q(x)

1

en donde: p(x) = − 1

senxcosxy q(x) = tanxsec2x.

La solucion general de este tipo de ecuacion diferencial es

y = e−!pdx

#$qe

!pdxdx+ c

%

&pdx =

& dx

senxcosx= 2

& dx

sen2x= 2

&csc2xdx = ln |csc2x− ctg2x|

e−!pdx = eln |csc2x−ctg2x| =

1

csc2x− ctg2x

Por otro lado:

$qe

!pdxdx =

$(tanxsec2x)(csc2x− ctg2x)dx

tanxsec2x(csc2x− ctg2x) = tanxsec2x

#1

sen2x− cos2x

sen2x)

%=

tanxsec2x

sen2x(1− cos2x)

1

2cos4x(1− cos2x+ sen2x) =

1

2cos4x(2sen2x) =

sen2x

cos4x

tanxsec2x(csc2x− ctg2x) = tan2xsec2x = tan2x(1 + tan2x) = tan2x+ tan4x

&qe

!pdxdx =

&tan2xdx+

&tan4xdx =

&tan2xdx+

1

3tan3x−

&tan2xdx =

1

3tan3x

Finalmente la solucion de la ecuacion diferencial planteada es:

y =

#1

csc2x− ctg2x

%#1

3tan3x+ c

%

b) Esta ecuacion presenta la forma: M(x, y)dx+N(x, y)dy = 0, en donde:

M(x, y) = e2y − ycosxy; N(x, y) = 2xe2y − xcosxy + 2y

2

esta es una ecuacion diferencial exacta si se cumple que∂M

∂y=

∂N

∂x.

∂M

∂y= 2e2y − cosxy + xysenxy;

∂N

∂x= 2e2y − cosxy + xysenxy ⇒ ∂M

∂y=

∂N

∂x

como se comprobo que la ecuacion diferencial es exacta, entonces su solucion general es

una funcion f(x, y) = c tal que

∂f

∂x= M y

∂f

∂y= N ⇒

∂f

∂x= e2y − ycosxy ⇒ f =

$(e2y − ycosxy)dx ⇒ xe2y − senxy + g(y)

por otro lado:

∂f

∂y= N = 2xe2y − xcosxy + g′(y) ⇒ 2xe2y − xcosxy + g′(y) = 2xe2y − xcosxy + 2y

dg

dy= 2y ⇒ g(y) =

$2ydy ⇒ g(y) = y2

Finalmente:

xe2y − senxy + y2 = c

3. Resolver las ecuaciones diferenciales de orden N segun el orden correspondiente.

a) y′′ + y′ = 2e2xsenx

b) y′′ + 9y = 9sec23x

Solucion: a) La solucion de una ecuacion diferencial lineal no homogenea de segundo

orden tiene la forma

y = yh + yp

en donde yh es la solucion de la ecuacion homogenea y′′ + y′ = 0.

3

La ecuacion caracterıstica de esta ecuacion es m2 + m = 0, la cual tiene como solu-

cion

yh = c1em1x + c2e

m2x

m2 +m = m(m+ 1) = 0 ⇒ m = 0; m = −1; de donde se desprende que

yh = c2e−x + c1

Asimismo yp es una solucion particular de la ecuacion diferencial y la vamos a calcular

de acuerdo a

1

D − rf(x) = erx

&e−rxf(x)dx.

Aquı:

y′′ + y′ = (D2 +D)y = 2e2xsenx ⇒ D(D + 1)y = 2e2xsenx ⇒ y =1

D(D + 1)2e2xsenx

yp =1

D

1

D + 12e2xsenx

1

D + 12e2xsenx = ex

&e−x(2e2xsenx)dx = 2ex

&exsenxdx

Esta ultima integral se resuelve por medio del metodo de integracion por partes. La

aplicacion del mencionado metodo produce co mo solucion

$exsenxdx =

ex

2(senx− cosx)

Asi:

yp =1

De2x(senx− cosx) = e0

$e0e2x(senx− cosx)dx =

$e2xsenxdx−

$e2xcosxdx

la solucion de la ultima integral produce

4

$e2xcosxdx =

e2x

5(senx+ 2cosx)

Entonces

yp =e2x

5(senx− 3cosx)

Finalmente

y = c2e−x +

e2x

5(senx− 3cosx) + c1

b)Al igual que en el caso anterior, aqui:

y = yh + yp

en donde yh es la solucion de la ecuacion homogenea y′′ + 9y = 0.

La ecuacion caracterıstica de esta ecuacion es m2 + 9 = 0, la cual tiene como solucion

yh = eax(c1cosbx+ c2senbx)

m = ±√−9 = ±3i ⇒ yh = c1cos3x+ c2sen3x

5

4")"Variación"de"parámetros"!!! + 9! = 1

4 !"#!3!""Como"observamos"la"ecuación"tiene"la"forma:""!!!! + !!!! + !" = 0""!! + 9 = 0""! = 1!; ! = 0!!; !! = 9""!! = −9"

"! = ± −9""""""""""""""""""""""""""""""""""""""!!!!!!! = 3!"! = ±3!"

"""""""""""""""""""""""""!!!!! = −3!!""!! = !!!!!! + !!!!!!!""!! = !!!!"# + !!!!!!"#"

"""!!!!!" + !!!!!!!""como"!!!"#3! + !!!!"#3!.""Así,"!

!!! = !!!"#3! + !!!!"#3!"

"Ahora""debe"buscar"la"solución"particular"(!!).""

"!! = !! ! !"#$%+ !! ! !"#$%""

Así"tendríamos,"!!! = !!!! + !!!!!""""!!! = −3!"#3!""!!! = 3!"#3!"!! !!,!! = !! !!

!!! !!! = !!.!!! − !!!.!! ≠ 0""

! !"#3!, !"#3! = !"#3! !"#3!−3!"#3! 3!"#3! = 3!"#!3! − (−3!"#!3!)"

"w= 3!"#!3! + 3!"#!3!""! = 3(!"#!3! + !"#!3!)""! !"#3!, !"#3! = 3"""!! =

0 !!! ! !!! "

"

!! =0 !"#3!

14 !"#!3! 3!"#3! "

"!! = 0− 14 !"#3!. !"#$!3!""!! = − 14 !"#3!

1!"#3! "

"! = − 14""

!! =!! 0!!! !(!) =

!"#3! 0−3!"#3! 1

4 !"#!3!= 14 !"#3!. !"#$!3! − 0"

"!! =

14 !"#3!

1!"#3! = 1

4!"#3!!"#3!"

""!!!! =

!!! "

"

!!! =− 143 = − 1

12""!!! = − 1

12!"""!! = − !

12""

!!! =!!! "

"

!!! =14!"#3!!"#3!3 "

!!! =!"#3!

12!!"#3!"!!Ahora"integramos"u2:""!!! =

!"#3!12!!"#3! !""

"Cambio"de"variable:""ℎ = !"#3!!!! ⇛ !!!ℎ = 3!"#3!.!"!!!!! ⇛ !!!13!ℎ = !"#3!.!""

!!""!! =

112

13!ℎℎ "

"!! =

136

!ℎℎ "

"!! =

136 !" ℎ "

"!! =

136 !" !"#3! "

"Luego"""!! = !! ! !! + !! ! !!""!! = − !

12 !"#3! +136 !" !"#3! !"#3!"

"Así"sustituyendo"en"y=c1yc+c2yp""

! = !!!!"#$%+ !!!!"#$%−!!" !"#$%+

!!" !" !"#$% !"#$%"