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alexandre-bonifacio
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equação do primeiro e segundo grau
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Equações do 1° Grau
Uma equação que pode ser escrita na forma ax + b = 0, onde a e b são números reais conhecidos, com a ≠ 0, x representa uma incógnita e o expoente de x é 1, é chamada de equação do 1° grau a uma incógnita.
Os números conhecidos são chamados coeficientes.
Um valor que pode ser atribuído à incógnita, tal que torne a sentença verdadeira é chamado de raiz ou solução da equação.
Forma Geral: ax + b = 0 a ≠ 0
Solução: ax = – ba
bx
2 – 2x = 8Ex.: ⇒ – 2x = 8 – 2 ⇒ – 2x = 6 . (– 1)
⇒ x = – 6 / 2 ⇒ x = – 3
1)
2) 2x-7 = 4x+15
Solução : Transpondo, resulta 2x-4x=7+15, isto é,
-2x = 22. Dividindo por (-2) ( ou seja, multiplicando por - ½)Vem x = -11
Princípios Gerais para solução de equação do 1° grau
1) Numa equação podemos transpor um termo 9 isto é, mudá-lo de um membro da equação para outro), desde que o multipliquemos por -1.
Em suma, a + b =c → a = c-b.
Com efeito, a+b=c a+b+(-b)= c+(-b)a + 0 = c - b
2) Uma equação não se altera quando se multiplicam ambos os membros por um mesmo número diferente.
Em suma, se K ≠ 0, a=b → Ka = Kb
Exercício Resolvidosxxxa 5)]1(2[3 )
3)1( 3
12535123
5]12[35)]1(2[3
xx
xxxxxx
xxxxxx
EXERCÍCIO DE FIXAÇÃO
1) 2x-[1-(x-2)] = 32) x + 1 = 1 - 3x3) 3x – 3 = 3(x-1)4) O valor de x que satisfaz a equação
a) 1 b)zero c)43/11 d)4 e)35/11
6) Dada a sentença , podemos afirmar que:
b) É falsa para todo x Є Rc) É verdadeira somente se x=0d) É falsa para todo x Є Ne) É verdadeira para todo x Є Rf) É falsa para x=0
3
25
2
33
xxx
)4(2
12
2x
x
Equação tipo “produto” ou “quociente”
Definição
São equações dos tipos a.b =0 (produto) ou (quociente), com {a;b} está contido em R
0b
a
Resolução
Ao resolver equações destes tipos, lembrar-se das duas seguintes equivalências:
0bou 00. aba
0bou 00 ab
a
Exemplo
Resolver a equação32³
)3)(1(
xx
xx
}3{3 032³
)3ou 1(032³
)03ou 01(032³
0)3)(1(032³
)3)(1(
Vxxx
xxxx
xxxx
xxxx
xx
Exercício de fixação
1.3x – [2 – (x – 1)] = 5x2.3(x – 2) – x = 2x – 6 3.2(x – 7) = x – (2 – x) 4.(x² + 1)(x – 1)(x + 1)=0
Equações do 2º grau.Equações do 2º grau.
Professor :Alexandre da Silva Bonifácio
Uma equação pode ser escrita na forma ax² +bx + c = 0 , onde a, b e c são números reais conhecidos, com a ≠ 0 e x representa uma incógnita, é chamada de equação do 2º grau a uma incógnita.
02 cbxax 0a
Exemplos
352 2 xx
1223 2xxx
1223 22 xxx
01232 22 xxx
É uma equação
do 2º grau0332 xx
0352 2 xx
Exemplo
22
2
251
2
43x
xxxx
222
2
1051
2
43x
xxxx
222 2105243 xxxxx
02104253 222 xxxxx
026 x É uma equação do 1º grau
Exemplos de equações do 2º grau:
0342 2 xx
054 2 xx
0362 x
a=2, b=4 e c=3
a=4, b= -5 e c=0
a=1, b=0 e c= -36
Equação do 2º grau completa
Equações do 2º grau incompletas
Resolução de equações do 2º grau incompletas (Revisões do 8º ano)
Problema 1: Determina o perímetro de um triângulo retângulo de catetos 6 cm e 8 cm.
Resolução:1º) Desenhar o triângulo retângulo e equacionar o problema.
222 86 x
x
6
8
Caso b=0 e c≠ 0
1010
100100
100
6436
86
2
2
222
xx
xx
x
x
x
2º) Resolver a equação do 2º grau incompleta
3º) Verificar se a ou as soluções da equação
são ou não solução do problema.
4º) Dar resposta ao problema
R: O perímetro do triângulo é 10cm + 6cm + 8cm = 24cm
-10 não é solução do problema
Exercício de Fixação
1.Resolva as equações:a)x²- 4= 0b) x² = 9c) 4x² - 25 =0d)9x² = 16
Resolução de equações do 2º grau incompletas (Revisões do 8º ano)
Problema 2: Resolver a seguinte equação, aplicando a Lei do Anulamento do Produto:
042 xx
000 baba
Recorda:
Um produto é zero se e só se um dos seus fatores for zero. a =0 ou b=0
Caso b≠o e c=0
Resolução:1º) Fatorar o 1º membro;
2º) Aplicar a Lei do Anulamento do Produto;
3º) Resolver cada uma das equações do 1º grau e determinar o conjunto-solução
042 xx
04xx 040 xx
40 xx
40,.. SC
Exercício de Fixação
1.Resolva as equações:a)x²- 2x= 0b) x² +5x = 0c) 3x² - x =0d)- x²+4x = 0e)-2x² - 7x = 0
Exercício Propostos
a) 3x²-x-2 = 0b) 6x²-x-1 = 0c) x²- 5x + 6 = 0d) 6x²-13x+6 = 0e) 2x²- 6x = 0f) 3x²+ 12x = 0g) x²- 49 = 0
2) A maior raiz da equação -2x²+ 3x + 5 = 0 valea) -1 b)1 c)2 d)2,5 e)
Propriedade das raízes
a) Sejam x’ e x’’ as raizes reais da equação ax² + bx + c = 0, com a ≠ 0; sejam ainda, S e P a soma e o produto dessas raízes, respectivamente.
Pode-se demonstrar que:
a
cxxP
a
bxxS
'''.
'''
b) Obtenção de uma equação a partir das suas raízes
0² PSxx
3
2P e 5S Resposta
3
2
a
c P produto o e
53
)15(
a
b-S soma a -2,c e -15b 3,a que Lembrando
Resolução
02-15x - 3x² equação da raízes das produto o e soma a Determinar a)
027²3
temosequação toda3por ndomultiplica
03
2
3
7²0)
3
1.2()
3
1(2 - x²
: temosa,apresentad teoriaa com acordo De
:Resolução3
1e 2 são raízes cujasgrau 2º do equação umaObter b)
xx
xxx
Utilizando as propriedades da soma e produto da raízes, determinar os valores de m na equação 2x² - 24x + 2m – 1 =0 para que:a) uma raiz seja o dobro da outra
2
65
652
164264122.32122
128.4
2
12.
:Portanto
8 e 43
12123122
: temos1ª na equação 2ª da xdosubstituin
22
24
:Então
x2 xe raízes as xe xraizes as Sejam
:
21
21
1111
2
12
21
1221
m
m
mmm
mmxxP
xx
xxxx
xx
xx
resolução
Exercício de Fixação
a) Para que a soma das raízes da equação (K-2)x² - 3Kx + 1= 0 seja igual ao seu produto devemos ter :
3
3e) 3d)
3
1c)
3
1b)
3
1) kkkkka
b) Se m e n são raízes da equação 7x² + 9x + 21=0 então (m + 7)(n + 7) vale:a)49 b)43 c)37 d)30 e) 30/7