COLEGIO RETAMAR 1º DE Bachillerato. Matemáticas

EXAMEN Nº 04 ACUMULATIVO

Alumno: Nº Grupo: 1º Hoja 1. Fecha: 20 de enero, 2016

Para recuperar la 1ª Evaluación será necesario aprobar la parte correspondiente a los ejercicios que se encuentran en negrita (1-4), que suman un total de 6 puntos contando con 0,5 puntos de redacción (los otros 0,5 puntos son para la 2ª evaluación).

1. Resuelve el siguiente sistema de ecuaciones utilizando el método de Gauss. (1,5 p.)

𝑥𝑥 − 𝑦𝑦 + 3𝑧𝑧 = 2

2𝑥𝑥 − 2𝑦𝑦 + 𝑧𝑧 = −1𝑦𝑦 + 2𝑧𝑧 = −2

Vamos a resolver este sistema poniéndolo primero en forma matricial

�1 −1 3 22 −2 1 −10 1 2 −2

� = (𝐹𝐹2 → 2𝐹𝐹1 − 𝐹𝐹2) = �1 −1 3 20 0 5 50 1 2 −2

� = (𝐹𝐹3 ↔ 𝐹𝐹2) =

= �1 −1 3 20 1 2 −20 0 5 5

� ⇒

⇒ 5𝑧𝑧 = 5 ⇒ 𝑧𝑧 = 1 Por lo tanto,

𝑦𝑦 + 2𝑧𝑧 = −2 ⇒ 𝑦𝑦 + 2 = −2 ⇒ 𝑦𝑦 = −4 y, finalmente,

𝑥𝑥 − 𝑦𝑦 + 3𝑧𝑧 = 2 ⇒ 𝑥𝑥 + 4 + 3 = 2 ⇒ 𝑥𝑥 = −5 Es decir, (𝑥𝑥,𝑦𝑦, 𝑧𝑧) = (−5,−4,1)

2. Resuelve la siguiente inecuación: (1,5 p.) (𝑥𝑥 + 2)3(𝑥𝑥 + 3)(𝑥𝑥 − 2)(3 − 𝑥𝑥)15 ≥ 0

Tenemos que estudiar las raíces. En 𝑥𝑥 = 0, en el intervalo (−1,1) tenemos que 𝑃𝑃(0)/𝑄𝑄(0) < 0. Por lo tanto, atendiendo a la multiplicidad de las raíces, podemos rellenar la siguiente tabla:

(−∞,−3) (−3,−2) (−2, +2) (2,3) (3,∞)

− + − + −

Donde las líneas gruesas son los ceros del numerador (y, por tanto, los valores que hacen anulan la fracción) y las líneas dobles son los ceros del denominador (es decir, los valores que hacen que la función tienda a ±∞). Es decir, el resultado pedido es:

𝑥𝑥 ∈ [−3,−2]∪ (2,3)

Nota

3. Sabiendo que 𝐥𝐥𝐥𝐥𝐥𝐥𝟐𝟐 = 𝟎𝟎,𝟑𝟑𝟎𝟎𝟑𝟑 y que 𝐥𝐥𝐥𝐥𝐥𝐥𝟑𝟑 = 𝟎𝟎,𝟒𝟒𝟒𝟒𝟒𝟒 y aplicando las propiedades de los logaritmos, halla los siguientes logaritmos sin utilizar la calculadora (1 p.)

𝐥𝐥𝐥𝐥𝐥𝐥(𝟑𝟑𝟑𝟑) = log(22 · 32) = 2 log 2 + 2 log 3 = 1,556

𝐥𝐥𝐥𝐥𝐥𝐥 (𝟒𝟒,𝟓𝟓) = log �92� = log �

32

2 �= 2 log (3) − log (2) = 2 · 0,477− 0,301 = 0,653

4. Se dispone de 50€ para comprar revistas de deportes y de informática. El precio de

las revistas es de 3€ y 5€, respectivamente, y se desea comprar al menos el mismo número de revistas deportivas que de informática. Plantea el conjunto de restricciones de este enunciado. (No hace falta que lo resuelvas) (1,5 p.) Como lo máximo que podemos gastar es 50€, tenemos que:

3𝑥𝑥 + 5𝑦𝑦 ≤ 50 donde 𝑥𝑥 es el número de revistas compradas de deportes e 𝑦𝑦 es el número de revistas de informática. Como nos dicen también que debe haber, al menos, tantas revistas deportivas que de informática tenemos que:

𝑦𝑦 ≤ 𝑥𝑥 Es decir, el conjunto de restricciones es:

𝑦𝑦 ≤ 10 −35𝑥𝑥

𝑦𝑦 ≤ 𝑥𝑥𝑥𝑥 ≥ 0;𝑦𝑦 ≥ 0

5. Dada la siguiente función, calcula la recta tangente a la función en 𝒙𝒙 = −𝟑𝟑. (1,5 p.)

𝒇𝒇(𝒙𝒙) = 𝒙𝒙𝟑𝟑 − 𝒙𝒙𝟐𝟐 + 𝟒𝟒

En el punto que nos preguntan, la ordenada, 𝑦𝑦0, vale 𝑦𝑦0 = 𝑓𝑓(𝑥𝑥0) = 2. La recta tangente a la función 𝑓𝑓(𝑥𝑥) en 𝑥𝑥0 = −1 va a ser del tipo 𝑦𝑦 = 𝑚𝑚𝑥𝑥 + 𝑛𝑛, donde 𝑚𝑚 = 𝑓𝑓′(𝑥𝑥0) = 𝑓𝑓′(−1). Como su derivada es:

𝑓𝑓′(𝑥𝑥) = 3𝑥𝑥2 − 2𝑥𝑥 ⇒ 𝑓𝑓′(−1) = 𝑚𝑚 = 5 Por lo tanto, como conocemos ya el punto (𝑥𝑥0,𝑦𝑦0), podemos hacer uso de la ecuación punto-pendiente de la recta 𝑦𝑦 − 𝑦𝑦0 = 𝑚𝑚(𝑥𝑥 − 𝑥𝑥0) ⇒ 𝑦𝑦 = 𝑚𝑚(𝑥𝑥 − 𝑥𝑥0) + 𝑦𝑦0, es decir:

𝑦𝑦 = 5(𝑥𝑥 + 1) + 2 = 5𝑥𝑥 + 7 Por lo tanto, la recta tangente a 𝑓𝑓(𝑥𝑥) en 𝑥𝑥 = −1 es

𝑦𝑦 = 5𝑥𝑥 + 7

6. Di si el siguiente enunciado es verdadero o falso. En cualquiera de los dos casos, propón una función como ejemplo y dibújala. (0,5 p.) “En cualquier polinomio de grado mayor que 3, convexo, se cumple que 𝒇𝒇′′′(𝒙𝒙𝟎𝟎) ≥𝟎𝟎, 𝒙𝒙𝟎𝟎 ∈ ℝ” Falso, un ejemplo sería 𝑓𝑓(𝑥𝑥) = −𝑥𝑥4, donde 𝑓𝑓′′′(𝑥𝑥) = −24𝑥𝑥 es siempre negativo.

7. Discute la existencia o no de asíntotas en 𝒇𝒇(𝒙𝒙), calcúlalas en caso de que haya (1 p.) y esboza la gráfica con esos datos (0,5 p.):

𝒇𝒇(𝒙𝒙) =𝒙𝒙𝟐𝟐 − 𝟒𝟒𝒙𝒙

No tiene asíntota horizontal (A.H.), porque el grado del numerador es una unidad mayor que el del denominador (lo que indica una asíntota oblicua) y, por tanto,

lim𝑥𝑥→±∞

𝑥𝑥2 − 4𝑥𝑥

= ±∞ Sin embargo, su dominio, que viene limitado por los puntos donde se anula el denominador, es:

𝐷𝐷𝐷𝐷𝑚𝑚 𝑓𝑓 = ℝ− {0} Por lo tanto, sí que va a tener, en cambio, una asíntotas verticales en 𝑥𝑥 = 0. Los límites laterales en 𝑥𝑥 = 0 son:

lim𝑥𝑥→0+

𝑥𝑥2 − 4𝑥𝑥

= lim𝑥𝑥→0+

𝑥𝑥 −4𝑥𝑥

= −∞ lim𝑥𝑥→0−

𝑥𝑥2 − 4𝑥𝑥

= lim𝑥𝑥→0−

𝑥𝑥 −4𝑥𝑥

= +∞ La pendiente de la asíntota oblicua se halla mediante

𝑚𝑚 = lim𝑥𝑥→+∞

𝑓𝑓(𝑥𝑥)𝑥𝑥

= lim𝑥𝑥→+∞

𝑥𝑥2 − 4𝑥𝑥2 = 1

La ordenada en el origen se obtiene, a su vez, mediante

𝑛𝑛 = lim𝑥𝑥→+∞

[𝑓𝑓(𝑥𝑥) −𝑚𝑚𝑥𝑥] = lim𝑥𝑥→+∞

�𝑥𝑥2 − 4𝑥𝑥

− 𝑥𝑥� = lim𝑥𝑥→+∞

�𝑥𝑥2 − 4 − 𝑥𝑥2

𝑥𝑥 � = lim𝑥𝑥→+∞

−4𝑥𝑥

= 0

Por lo tanto, 𝑓𝑓(𝑥𝑥) tendrá una asíntota oblicua en 𝑦𝑦 = 𝑥𝑥. Con estos datos ya podemos dibujar aproximadamente la siguiente gráfica

BORRADOR

8. Calcula el siguiente límite (0,75 p.):

lim𝑥𝑥→+∞

�𝑥𝑥 − �𝑥𝑥2 + 𝑥𝑥� = lim𝑥𝑥→+∞

�𝑥𝑥 − √𝑥𝑥2 + 𝑥𝑥��𝑥𝑥 + √𝑥𝑥2 + 𝑥𝑥��𝑥𝑥 + √𝑥𝑥2 + 𝑥𝑥�

= lim𝑥𝑥→+∞

(𝑥𝑥2 − 𝑥𝑥2 − 𝑥𝑥)�𝑥𝑥 + √𝑥𝑥2 + 𝑥𝑥�

= lim𝑥𝑥→+∞

−𝑥𝑥�𝑥𝑥 + √𝑥𝑥2 + 𝑥𝑥�

= lim𝑥𝑥→+∞

−1�1 + �1 + 1/𝑥𝑥�

= −12

│𝑥𝑥 − 4│ ≥ 6 ⇒ │𝑥𝑥 − 2│ ≥ 3 Representa los puntos a una distancia mayor o igual a 3 unidades de un entorno con centro en 𝑥𝑥 = 2, por tanto 𝑥𝑥 ∈ (−∞,−1] ∪ [5, +∞)

9. Dada la siguiente función, calcula la recta tangente a la función en el punto en que su

pendiente valga 𝑚𝑚 = −1. (1,5 p.)

𝑓𝑓(𝑥𝑥) =1

11�𝑥𝑥3

3+ 2𝑥𝑥2 − 7𝑥𝑥 + 1�

Para que cumpla la condición sobre su pendiente, tiene que ocurrir que 𝑓𝑓′(𝑥𝑥0) = −1. Como su derivada es:

𝑓𝑓′(𝑥𝑥) =1

11(𝑥𝑥2 + 4𝑥𝑥 − 7)

Si igualamos a 𝑚𝑚 = −1 y resolvemos nos queda: 1

11(𝑥𝑥2 + 4𝑥𝑥 − 7) = −1 ⇒ 𝑥𝑥2 + 4𝑥𝑥 − 7 = −11 ⇒ 𝑥𝑥2 + 4𝑥𝑥 + 4 = 0 ⇒ (𝑥𝑥 + 2)2 = 0

Es decir, el valor de 𝑥𝑥, donde la pendiente tiene ese valor es en 𝑥𝑥0 = −2. Para ese valor de abscisa, la ordenada vale 𝑓𝑓(𝑥𝑥0) = 𝑦𝑦0 = 𝑓𝑓(−2) = 61/33 Por lo tanto, como conocemos ya el punto (𝑥𝑥0,𝑦𝑦0), podemos hacer uso de la ecuación punto-pendiente de la recta 𝑦𝑦 − 𝑦𝑦0 = 𝑚𝑚(𝑥𝑥 − 𝑥𝑥0) ⇒ 𝑦𝑦 = 𝑚𝑚(𝑥𝑥 − 𝑥𝑥0) + 𝑦𝑦0, es decir:

𝑦𝑦 = −1(𝑥𝑥 + 2) +6133

= −𝑥𝑥 −5

33

La recta tangente pedida es

𝑦𝑦 = −𝑥𝑥 −5

33