RAZONAMIENTO MATEMÁTICO
* *
*
A) 6 B) 10 C) 12 D) 16 E) 18
Solución Tema
1 2 3
Análisis y procedimiento
Para hallar la cantidad de triángulos que tienen por lo menos un asterisco, haremos la siguiente diferencia:
N. total de triángulos
o o
1 2 3 4
Alternativa D
Pregunta N.º 2 Indique la alternativa que no guarda relación con las demás.
UN I
Aptitud Académica
problemas se presenta una serie de números,
letras o figuras con características comunes; pero,
hay una de ellas que no guarda relación con las
demás.
Se observa que las alternativas A, C, D y E
corresponden a la misma figura en 4 posiciones
diferentes.
Con respecto a la figura A:
Las figuras C, D y E giraron en sentido horario 90º;
270º y 180º; respectivamente.
demás es .
Alternativa B
Pregunta N.º 3 Indique la alternativa que debe ocupar el casillero UNI.
UNI
Solución
Tema
Psicotécnico.
Referencias
se debe hallar un patrón de ordenamiento que
verifique una secuencia lógica que se presenta de
figura a figura de forma total o parcial (según los
elementos que la figura dispone).
Análisis y procedimiento
gira 90º en sentido antihorario y la circunferencia
sombreada va alternando de posición con respecto
a las regiones triangulares pertenecientes a su
casilla cuadrada.
es .
Alternativa B
Pregunta N.º 4 Del siguiente desarrollo de un hexaedro regular, seleccione la alternativa correspondiente.
A) B) C)
Psicotécnico
Referencias
Definición de cubo. Un cubo o hexaedro es un poliedro formado por 6 cuadrados iguales
1
3
Desarrollo del cubo Al desplegar un cubo se obtiene su desarrollo, y con 3 caras con un vértice en común se puede obtener una vista del cubo.
2 3 4 5
Análisis y procedimiento
Al plegar el desarrollo, la cara A aparecerá en la parte superior. A partir de las tres caras se puede obtener una vista indicada en las alternativas.
A
A
A
Respuesta
Alternativa C
Pregunta N.º 5 ¿Cuál es la negación lógica de la proposición: Todos estos hombres son altos?
A) Todos estos hombres son bajos. B) Ninguno de estos hombres es alto. C) Algunos de estos hombres no son bajos. D) Algunos de estos hombres son altos. E) Algunos de estos hombres no son altos.
Aptitud Académica
Venn.
Particular negativa Algún no esS P
Tipos Proposiciones Representaciones
hombres altos
hombres altos
de estos hombres no son altos.
Alternativa E
Pregunta N.º 6
Un bus que cubre la ruta UNI-Callao logró re- caudar en uno de sus viajes 99 soles, habiendo cobrado 1,5 soles como pasaje único. Durante el recorrido por cada 12 pasajeros que subieron, bajaron 7 y llegó al paradero final con 38 pasaje- ros. ¿Con cuántos pasajeros inició su recorrido?
A) 15 B) 18 C) 27 D) 33 E) 36
Solución Tema
Referencias
En el transcurso de la vida diaria, podemos obser- var la relación que existe entre la Matemática y la realidad. Para traducir una situación real que invo- lucre el aspecto matemático al lenguaje propio de la Matemática, se requiere de una gran capacidad de observación y abstracción.
Análisis y procedimiento
Sea x el número de paraderos en el recorrido del bus.
Subida Bajada
paradero inicial
38 – 5x 12x 7x 38
N.º de pasajeros: 7x+38 pasaje único: S/.1,5 → recaudación total: (1,5)×(7x+38)=99 x=4 ∴ Número de pasajeros que iniciaron el recorrido: 38 – 5x=18
Aptitud Académica
Alternativa B
Pregunta N.º 7 En un edificio de cinco pisos viven las amigas María, Lucía, Irma, Cathy y Luisa. Cada una vive en un piso diferente. Además, se sabe que Cathy vive más abajo que Lucía, pero más arriba que Irma. María no vive debajo de Irma, Lucía no vive arriba de Irma. ¿Quién vive en el quinto piso?
A) María B) Lucía C) Irma
D) Cathy E) Luisa
Referencias
Organización. Son sistemas diseñados para lograr metas y objetivos. En resumen, es un convenio sistemático, implícito o explícito, que permite garantizar el logro.
Análisis y procedimiento
De los datos tenemos: ... Se sabe que Cathy vive más abajo que Lucía, pero más arriba que Irma.
Lucía
Cathy
Irma
... María no vive debajo de Irma y Lucía no vive arriba de Irma...
Lucía
Cathy
Irma
Contradicción
siguientes correcciones:
Debe decir: ... Luisa no vive arriba de Irma.
Con las correcciones señaladas se obtiene el si- guiente ordenamiento:
Lucía
Cathy
Irma
Por lo tanto, el quinto piso está ocupado por Lucía.
Respuesta
Lucía Alternativa B
Pregunta N.º 8
En cada caso, debajo de cada afirmación (propo- sición) aparece su posible negación. I. p: Juan juega y José estudia. ∼ p: Si Juan juega, entonces, José no estudia. II. q: Pedro no es arquitecto. ∼ q: Pedro es arquitecto. III. r: Alejandro hace su tarea o Luis recurre a
Héctor. ∼ r: Alejandro no hace su tarea y Luis no recurre
a Héctor.
Aptitud Académica
6
¿En cuáles de los casos la afirmación está acompa- ñada correctamente por su negación?
A) solo I B) solo II C) I y II D) I y III E) I, II y III
Solución Tema
Lógica proposicional
∼ (p ∧ q) ≡ ∼ p ∨ ∼ q ∼ (p ∨ q) ≡ ∼ p ∧ ∼ q
p → q ≡ ∼ p ∨ q ∼ (p → q) ≡ p ∧ ∼ q p → q ≡ ∼ q → ∼ p
Análisis y procedimiento
→ s ∧ t
∼ p: Si Juan juega, entonces, José no estudia. s t∼
→ s → ∼ t ∼ (s ∧ t) ≡ ∼ s ∨ ∼ t ≡ s → ∼ t (verifica)
II. q: Pedro no es arquitecto. ∼ q: Pedro es arquitecto. (verifica)
III. r: Alejandro hace su tarea, o Luis recurre a Héctor.
u w
→ u ∨ w
∼ r: Alejandro no hace su tarea, y Luis no recurre a Héctor.
∼ u ∼ w
→ ∼ u ∧ ∼ w ∼ (u ∨ w) ≡ ∼ u ∧ ∼ w (verifica)
En los casos I, II y III, la afirmación está acompañada correctamente por su negación.
Respuesta
4 7
A) 17 B) 18 C) 20 D) 24 E) 26
Solución Tema
Psicotécnico
Referencias
Distribuciones numéricas: En este tipo de problemas, debemos hallar un único patrón de formación de consistencia lógica, que verifique con cada uno (o en grupos) de los datos brindados, y aplicar lo obtenido para hallar el valor que com- pleta adecuadamente la distribución.
Análisis y procedimiento
Analizando los valores contenidos en cada sector circular, llegamos a determinar:
4 7
Alternativa E
Aptitud Académica
A) 17 B) 20 C) 27
D) 30 E) 38
Psicotécnico
Referencias
Distribuciones numéricas: En este tipo de pro- blemas, se debe hallar un único patrón de forma- ción de consistencia lógica, que verifique con cada uno (o en grupos) de los datos brindados, y aplicar lo obtenido para hallar el número (o los números) que completa adecuadamente la distribución.
Análisis y procedimiento
Se deduce que en cada distribución uno de los números es resultado de ciertas operaciones entre los otros dos números.
9
= +yx z 25= +1764
Procederemos a hallar los valores de y ∧ x para luego hallar z mediante la relación: z x y= − • Ordenamos los números ubicados en las casillas
sombreadas:
=9y
• Ordenamos los números ubicados en las casillas señaladas por las flechas.
5; 7; 11; ; 25x
+2 +4 +6 +8
Luego: z z= − → =17 9 64
Nos piden el valor de E=64 – 17 – 3 · (9)=20
Respuesta
Alternativa B
Indique la alternativa que continúa adecuadamente la siguiente serie numérica.
2; 2; 3; 6; 8; 24; 27; 108; 112; 560; 565;
A) 640 B) 870 C) 2120 D) 3390 E) 6789
Solución Tema
Psicotécnico
Referencias
Secuencias numéricas: En este tipo de proble- mas, los números están ordenados bajo un criterio lógico que se basa en sucesiones notables, como, por ejemplo, los números naturales, los números pares, números primos, etc.
Aptitud Académica
Análisis y procedimiento
Se observa una sucesión creciente cuyos términos resultan de adiciones y multiplicaciones por núme- ros consecutivos en forma alternada. Se procede de la siguiente manera:
2 ; 2 ; 3 ; 6 ; 8 ; 24 ; 27 ; 108 ; 112 ; 560 ; 565 ; 3390........
+1 +2 +3 +4 +5
×1 ×2 ×3 ×4 ×5 ×6
Respuesta
El número que continúa adecuadamente la suce- sión es 3390.
Alternativa D
Pregunta N.º 12 ¿Qué alternativa está en discordancia con los
demás?
A) 491 322 B) 891 726 C) 191 029 D) 831 114 E) 751 217
Solución Tema
Psicotécnico
Referencias
Elementos discordantes: En este tipo de pro- blemas se presenta una serie de números, letras o gráficos con ciertas características comunes; sin embargo, uno de estos no guarda relación con los demás.
Análisis y procedimiento
Se observa que el número presentado en cada alternativa puede ser descompuesto en la sucesión de cuatro números: Los dos primeros son de una cifra y los dos últimos son de dos cifras.
Analizamos la regla de formación:
A) 491322 4; 9; 13; 22
B) 891726 8; 9; 17; 26
C) 191029 1; 9; 10; 29
D) 831114 8; 3; 11; 14
E) 751217 7; 5; 12; 17
las 4 sucesiones indicadas
los dos primeros términos
anteriores.
9+10=19 ≠ 29
es 191 029.
regular es el área de la región sombreada. Los
puntos M, N y P son puntos medios.
M
NP
D) 40,5% E) 42%
es racional positivo.
( ) ( )
A D
rea del paralelogramo
OCDE y en el paralelogramo AOEF por ser regio-
nes equivalentes.
región sombreada y el área del hexágono regular
se mantiene.
MNP = 377 5, %
lladoras dispararon un total de 317 balas. Una
disparó 3 balas cada 1/2 segundo y la otra una
bala cada 1/5 segundo. Si empezaron a disparar
al mismo tiempo, ¿cuántas balas más disparó una
ametralladora que la otra?
D) 37 E) 38
a distribuir en una figura abierta (longitud), es igual
al número de intervalos incrementados en una
unidad. Si la figura no fuera abierta, el número de
estacas será igual al número de intervalos.
Aptitud Académica
→ 1 bala cada 1/6 segundo
1/6 1/6 1/6 1/6 1/6 1/6
1 segundo
→ en k segundos
(6k+1) balas
1/5 1/5 1/5 1/5 1/5
1 segundo
→ en k segundos
(5k+1) balas
debe aprox. a 317 balas
balas N.º 1 N.º 2
en k=28 s → 169 141 310 2N.º 1 N.º
balas+ =
las restantes en el último segundo.
1/6 1/6 1/6 1/6 1/6 1/6
B B B B
B B B
141+3=144 balasN.o 2
→ 173 – 144=29
Observación
1/6
compuesta por tres vocales seguidas de tres dígitos.
El máximo número de tarjetas que se pueden
imprimir es
D) 135 415 E) 145 650
Solución
Tema
necesidad de enumerar sus elementos. Estos son:
• principio de adición
• principio de multiplicación
• principio de inclusión-exclusión
tarjetas, consideremos:
Dígitos: 0; 1; 2; 3; ...; 8; 9 → 10 en total
La numeración de las tarjetas está compuesta por
vocales y dígitos de manera que
5 5 5 10 10 10
vocal vocal vocal dígito dígito dígito
cualquiera de
Por principio de multiplicación
N.º máx. de tarjetas=5×5×5×10×10×10=125 000
Respuesta
trucadas. ¿De cuántas maneras puede obtenerse
al menos una cara?
D) 41 E) 63
necesidad de enumerar sus elementos. Estos son:
• principio de adición
• principio de multiplicación
• principio de inclusión-exclusión
Análisis y procedimiento
esto no resulte laborioso, haremos lo siguiente
N.º de maneras de obtener
al menos una cara
Cada moneda al ser lanzada puede arrojar dos
resultados cara o sello. Entonces:
C o S
1º
moneda
C o S C o S C o S C o S
2º
moneda
3º
moneda
4º
moneda
5º
moneda
Por principio de multiplicación
S
1º
moneda
2º
moneda
3º
moneda
4º
moneda
5º
moneda
Reemplazando en (I)
N.º de maneras de obtener=32 – 1=31 al menos una cara
Respuesta
Se obtiene al menos una cara de 31 maneras diferentes.
Alternativa C
Aptitud Académica
12
Pregunta N.º 17 En el conjunto A={(x, y) / x ∈ Z; y ∈ Z} se define la operación ?, de la siguiente manera (a, b)?(c, d)=ac+bd luego, considere la siguiente ecuación (x, y)?(x, y)=1 ¿Cuántos elementos de A satisfacen la ecuación anterior?
A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5
Solución Tema
Operaciones matemáticas.
Referencias
Una operación matemática es un proceso que con- siste en la transformación de una o más cantidades en otra llamada resultado, bajo ciertas reglas que definen la operación.
Análisis y procedimiento
La operación matemática (?) tiene regla de definición explícita, la cual nos permite resolver la ecuación planteada y reemplazar en los pares ordenados pertenecientes al conjunto A. Procedemos de la regla de definición: (a, b)?(c, d)=ac+bd
(x, y)?(x, y)=1
x 2 + y 2=1
Por lo tanto, los elementos de A serían: (1; 0), (– 1; 0), (0; 1) y (0; – 1).
Respuesta
Alternativa D
Pregunta N.º 18
Si m*(m – n)=m · n y 6*x=18, determine el
valor de x.
D) 6 E) 9
consiste en la transformación de una o más canti-
dades en una cantidad llamada resultado, pero bajo
ciertas reglas que definen la operación.
Análisis y procedimiento
lo cual nos permite resolver la ecuación planteada
reemplazando los valores indicados.
m*(m – n)=m · n
Para resolver la ecuación:
Alternativa B
Aptitud Académica
13
Pregunta N.º 19 Se define los operadores: a / b=2a+b
=
donde c es un número real. ¿De qué intervalo se
pueden escoger los valores de c de tal forma que la
ecuación anterior tenga por lo menos una solución
real para x?
A) ⟨–α; 3⟩ B) ⟨– α; 3] C) ⟨3; α⟩ D) [3; α⟩ E) ⟨– 3; 3]
Solución Tema
Operaciones matemáticas
Referencias
Una operación matemática es un proceso que consiste en la transformación de una o más canti- dades en una cantidad llamada resultado, pero bajo ciertas reglas que definen la operación.
Análisis y procedimiento
Los operadores matemáticos / y tienen reglas de definición explícitas, lo que permite resolver la ecuación planteada.
Partimos de las reglas de definición:
a / b=2a+b
=
3 2x+2 =c
6 – (2x+2)=c
Los valores de c se pueden escoger del intervalo ⟨ – ∞; 3⟩.
Alternativa A
Pregunta N.º 20 Se define la operación * en la tabla
* 1 2 3 4
Q a a= +
A) 2 B) 3 C) 4 D) 5 E) 6
Aptitud Académica
Referencias
Una operación matemática es un proceso que consiste en la transformación de una o más canti- dades en una cantidad llamada resultado, pero bajo ciertas reglas que definen la operación. Propiedad conmutativa Para todo par de elementos del conjunto A, si el orden de dichos elementos en la operación * no altera el resultado de esta, entonces, diremos que la operación * es conmutativa en A.
≤ a ∧ b ∈ A → a*b=b*a
Análisis y procedimiento
1 1 3 4 5
2 3 1 5 6
3 4 5 1 7
4 5 6 7 1
Al trazar la diagonal principal se observa que la operación * es conmutativa (a*b=b*a)
además
Alternativa C
Pregunta N.º 21 En el cuadro nos muestra la cantidad de toneladas de espárragos orgánicos exportados por la compa- ñía TONE, en los últimos siete años.
Año Toneladas exportadas
2001 1,8
2002 2,7
2003 3,9
2004 6,8
2005 8,7
2006 9,8
2007 10,8
¿en qué año el incremento porcentual respecto al año anterior fue mayor?
A) 2002 B) 2003 C) 2004 D) 2005 E) 2006
Solución
Tema
Referencias
Los gráficos estadísticos son herramientas que permiten mostrar información organizada y sin- tetizada, la cual se analiza e interpreta para sacar conclusiones.
Aptitud Académica
En el problema tenemos:
Respuesta
El incremento porcentual fue mayor respecto al año anterior en el 2004.
Alternativa C
Pregunta N.º 22 Resultado de la calibración de los manómetros
1; 2 y 3
porcentaje
los manómetros 1; 2 y 3.
Indique la alternativa correcta.
A) Para medir 100 bar es recomendable emplear el manómetro 2 y no el 3.
B) El manómetro 1 es recomendable emplearlo para medir presiones comprendidas entre 0 y 40 bar, pero no para medir presiones entre 100 y 120 bar.
C) El manómetro 3 es recomendable emplearlo para medir presiones de 80 bar y 120 bar.
D) Los tres manómetros no son recomendables para medir 80 bar.
E) El manómetro de mayor porcentaje de error
para medir 140 bar es el 2.
Solución Tema
Referencias
Los gráficos estadísticos son herramientas que permiten mostrar información organizada y sin- tetizada, la cual se analiza e interpreta para sacar conclusiones.
Análisis y procedimiento
Considere el ejemplo:
En el gráfico, para cada punto (presión) el porcenta- je de error es la distancia vertical (a) a la curva. Así pues, en b (o sus aproximaciones) tal distancia es mínima (menos porcentaje de error) y por lo tanto es recomendable usar el manómetro, siendo el caso opuesto c (donde hay mayor distancia vertical y por consiguiente mayor porcentaje de error).
Aptitud Académica
16
Para cada tramo identificaremos al más recomen- dable (menor porcentaje de error) que es el de menor distancia vertical (y por lo tanto el más cercano al eje horizontal).
40 60 80 100 120
porcentaje
140
Respuesta
Es recomendable emplear el manómetro uno para medir presiones comprendidas entre 0 y 40 bar, pero no para medir presiones entre 100 y 120 bar.
Alternativa B
Pregunta N.º 23 El gráfico de barras muestra las notas obtenidas y
sus frecuencias por un grupo de alumnos. Indique
qué porcentaje de los alumnos obtuvo una nota
entre 9 y 10.
25%
20%
15%
10%
5%
400
300
200
100
calificacion
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
A) 10,00% B) 15,38% C) 16,66%
D) 18,18% E) 23,07%
Referencias
Los gráficos estadísticos son herramientas que permiten mostrar información organizada y sin- tetizada, la cual se analiza e interpreta para sacar conclusiones.
Análisis y procedimiento
Designaremos con x% el porcentaje pedido y los asociaremos a los datos; en el gráfico de barras tenemos:
300
200
0
25%
x%
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
Aplicamos regla de tres
9 y 10 es 16,66%.
Alternativa C
realizando un estudio sobre los cursos desaproba-
dos por sus estudiantes. Los datos obtenidos de 50
estudiantes que desaprobaron al menos un curso
se muestran en la figura.
Aptitud Académica
alumnos
cursos
desaprobados
Se sabe que la cantidad de alumnos que desaprobó 2 cursos supera en 4 a los alumnos que desapro- baron 3 cursos; y que la cantidad de alumnos que desaprobó 4 cursos es el doble de los alumnos que desaprobaron 5 cursos. Calcule la cantidad de alumnos que desaprobaron
2 cursos, de los 50 considerados.
A) 6 B) 8 C) 10
D) 12 E) 14
Referencias
Los gráficos estadísticos son herramientas que permiten mostrar información organizada y sin- tetizada, la cual se analiza e interpreta para sacar conclusiones.
Análisis y procedimiento
Del gráfico en barras y de los datos tenemos: # de alumnos que desaprobó un curso = 24 + " " " 2 cursos = x+4 " " " 3 " = x " " " 4 " = 4 " " " 5 " = 2 Total de alumnos = 50 = 2x+34 16= 2x 8 = x → x+4 = 12
Respuesta
cursos es 12.
artefactos eléctricos.
I. Las ventas se han incrementado en más del
70%, del 2005 al 2007.
II. En el 2007, la venta en equipos de sonido es
de 20 mil dólares.
III. Las ventas en otros artículos, para el 2007, fue
menos de 10 000 dólares.
A) I B) II C) I y II
D) I y III E) II…