FUNCIONS

Tònia Casalí SintesMatemàtiques

4t ESO1

UNITAT 4: FUNCIONS (unitats 4 i 5 del llibre de text)Continguts:4.1Conceptes previs: 4.1.1-definició de funció.Variable dependent i independent4.1.2-domini4.1.3-recorregut4.1.4-continuïtat. Classificació de discontinuïtats. Introducció al concepte de límit.4.1.5-Intervals de creixement i decreixement.4.1.6-màxims i mínims4.1.7-periodicitat i simetria4.1.8- Operacions amb funcions4.2 Funcions elementals:4.2.1-taxa de variació mitjana4.2.2-funció lineal4.2.3-funció quadràtica4.2.4-funcions definides a trossos.4.2.5-funció de proporcionalitat inversa4.2.6-funció exponencial

2

4.1 Conceptes previs:

3

De les següents gràfiques quines són funcions?

4

4.1.1 Definició de funció:

Perquè una gràfica sigui d'una funció, a cada valor de x només li pot correspondre un valor de y.

Una funció és una relació entre dues magnituds o variables, una d’independent i una altra de dependent, de manera que a cada valor de la variable independent li correspon un únic valor de la variable dependent.Habitualment es pren la “x” com a variable independent i la “y” com a variable dependent.Les funcions s’expressen com y = f(x), que indica que el valor de la variable “y” (dependent) està en funció del valor de la variable “x” (independent).

El gràfic B no és una funció ja que per un valor de x, li correspon més d’un valor de y

5

Exercici:En la fórmula de la longitud de la circumferència, quina és la variable dependent i quina és la independent? Escriu la fórmula en forma de funció.

a) Un enunciat:Exemple:En una autoescola cobren les tarifes següents per treure’s el permís de conduir: 150 euros de matrícula i 14 euros per classe pràctica. Escriu la funció que calcula el preu per aconseguir el carnet de conduir.

Una funció es pot expressar mitjançant:

b)Taula de valorsEs pot expressar una funció a través d’una taula de valors en la que hi ha dades de les dues magnituds o variables que es relacionen, la independent (x) i la dependent (y).

6

c) Representació gràfica

d) Expressió analítica o fórmulaL’expressió analítica d’una funció és la fórmula matemàtica que indica la relació existent entre la variable independent (x) i la variable dependent (y). És la manera més precisa i operativa d’expressar una funció, ja que és una relació matemàtica que permet calcular fàcilment el valor de la variable dependent (y) per a cada valor de la variable independent (x).En aquest exemple la variable independent (x) és el número de classes pràctiques realitzades, mentre que la variable dependent (y) és el cost, en euros, del carnet de conduir. Llavors, l’expressió analítica de la funció correspondrà a la relació o fórmula matemàtica següent: y = 150 + 14.x

7

4.1.2 Domini d’una funcióEl domini de definició d’una funció és un conjunt format per tots els valors de la variable independent (x) que tenen un valor de variable dependent (y) associat. El domini d’una funció l’escriurem com Df(x), si bé també podem trobar Dom y o bé Dom f(x).

Per calcular el domini primerament cal estudiar el tipus de funció que tenim:

·Si es tracta d’una funció polinòmica, que és aquella funció que la seva expressió correspon a un polinomi de grau “n”, qualsevol valor de “x” permet calcular-ne un per a la “y”. Per tant el domini de les funcions polinòmiques és tots els nombres reals

·Si tenim una funció racional, que és una funció que té “x” en el denominador, el seu domini és tots els nombres reals excepte aquells que fan zero el denominador, ja que no és possible dividir per zero. Per calcular el domini buscarem els valors que fan zero el denominador, que seran els que no pertanyen al domini de definició de la funció.

Exemple:

8

Quan tinguem una funció irracional, que és una funció que té “x” dins una arrel, caldrà distingir entre les que tenen un índex senar, el seu domini és tots els nombres reals, les que tenen un índex parell. El domini d’aquestes últimes és tots els nombres reals excepte aquells que fan que el radicand (el que hi ha dins l’arrel) sigui negatiu.

Exemple1:

Exemple2:

resolem la inequació de segon grau i llavors arribem a la conclusió que el domini de la funció és: Dy = [–1, 1]

Altres tipus de funcions: exponencials, logarítmiques, trigonomètriques, etc: cal estudiar en cada cas quins són els valors de “x” que permeten trobar un valor associat de “y” i, per tant, formen part del domini de definició de la funció.

9

Per últim cal tenir en compte altres aspectes:

·El context real d’aquella funció.

Exemple: “en una autoescola cobren les tarifes següents per treure’s el permís de conduir: 150 euros de matrícula i 14 euros per classe pràctica. Escriu la funció que calcula el preu per aconseguir el carnet de conduir”.Aquí el domini serà Dom f(x) = j, ja que el número de classes efectuades no pot ser un nombre negatiu.

·La manera com es dóna la funció.Exemple: “donada la funció d’expressió y = x2 + 5 definida en l’interval [0 , 7) ...”En aquest cas el domini serà Dy = [0 , 7) perquè així ho determina l’enunciat de l’exercici.

10

4.1.3 Recorregut

El conjunt de valors que tenen antiimatge es defineix com el recorregut d’unafunció, que són, doncs, tots els valors de “y” que tenen un valor de “x” associat. El recorregut l’escriurem com Im y o bé Im f(x) o també Im f.

11

12

Determina el domini de les funcions següents:

13

4.1.4 Continuïtat:La idea de funció contínua és la que es pot representar d'un sol traç, sense aixecar el llapis del paper.Quan una funció no és contínua en un punt es diu que presenta una discontinuïtat

Una funció y=f(x) és contínua en x=a si:·La funció està definida en x=a, existeix f(a)=b.·Les imatges dels valors pròxims a a tendeixen a b.

Hi ha diverses raons per les quals una funció no és contínua en un punt:

·Presenta un salt.·La funció no està definida en aquest punt, o si ho està queda separat, hi ha un "forat" en la gràfica.·La funció no està definida i el seu valor creix (o decreix) quan ens apropem al punt.

14

Exemple:Les tres funcions dibuixades sota són discontínues en x=2, però tenen diferents tipus de discontinuïtat.

15

Introducció al concepte de límit:

La idea intuitiva de límit és el valor al qual s’acosta la variable dependent quan la independent tendeix a un cert valor.

Ho escriurem com:

on r és un nombre real o bé +∞ o − ∞

16

Exemple:

17

18

Quan els límits laterals en x = a són iguals a la imatge f(a), la funció és contínua. En cas contrari es discontínua, i aleshores haurem d’analitzar les diferents possibilitats:

Discontinuïtat asimptòtica. Un dels límits laterals o bé tots dos donen infinit.

Discontinuïtat de salt. Els límits laterals són dos nombres reals diferents.

Discontinuïat evitable. Els límits laterals en x tendeix a a són iguals però diferents de f(a). També és possible que f(a) no existeixi.

19

4.1.5 Creixement i decreixement:Una funció y = f(x) és creixent en un interval [a , b] si per a qualsevol x1 < x2,llavors f(x1) < f(x2), sabent que x1, x2 ε [a , b].

Una funció y = f(x) és decreixent en un interval [a , b] si per a qualsevol x1 < x2, llavors f(x1) > f(x2), sabent que x1, x2 ε [a , b].

Una funció y = f(x) és constant en un interval [a , b] si per a qualsevol x1 < x2, llavors f(x1) = f(x2), sabent que x1, x2 ε [a , b].

Intervals de creixement i intervals de decreixement:Es tracta d’escriure, mitjançant intervals, quan creix i quan decreix la funció. El que és recomanable és donar aquests intervals un cop s’hagin estudiat els màxims i els mínims i, sobretot, quan s’hagi fet el dibuix (encara que sigui esquemàtic) de la funció.

20

Determina els intervals de creixement i decreixement de la funció:

21

4.1.6 Màxims i mínims:Si una funció passa de ser creixent en un interval [a , c] a ser decreixent en un altre interval [c , b], llavors en el punt “c” hi ha un màxim relatiu o local.

Si una funció passa de ser decreixent en un interval [a , c] a ser creixent en unaltre interval [c , b], llavors en el punt “c” hi ha un mínim relatiu o local.

Es defineix el màxim absolut o global com el màxim relatiu amb valor absolut de f(x) més alt.De manera anàloga, es defineix el mínim absolut o global com el mínim relatiu amb valor absolut de f(x) més alt.

22

Una funció és periòdica quan el seu valor es repeteix cada vegada que la variable independent recorre un cert interval. El valor d'aquest interval s'anomena període.f(x+període)=f(x)

4.1.7 Periodicitat i simetries:

23

La gràfica d'algunes funcions pot presentar algun tipus de simetria que si s'estudia prèviament, en facilita el dibuix.

Una funció és simètrica respecte a l'eix OY, si f(-x)=f(x)

Una funció és simètrica respecte a l'origen de coordenades quan f(-x)=-f(x).

24

4.1.8 Operacions amb funcions:Si tenim les expressions algebraiques de dues funcions, podem obtenir noves funcions a partir d'anar efectuant operacions amb elles:

Definició. Siguin les funcions y = f (x) i y = g (x), definim la funció suma (f + g)(x) per:

(f + g)(x) = f (x) + g (x)

Exemple. Siguin les funcions f (x) = 2x + 1 i g (x) = x - 1. Aleshores, la seva suma serà:

(f + g)(x) = f (x) + g (x) = (2x + 1) + (x - 1) = 2x + 1 + x - 1 = 3x

Per tant, (f + g)(x) = 3x

Definició. Siguin les funcions y = f (x) i y = g (x), definim la funció diferència (f - g (x) per: (f - g)(x) = f (x) - g (x)

Exemple. Siguin les funcions f (x) = 2x + 1 i g (x) = x - 1. Aleshores, la seva diferència serà:

(f - g)(x) = f (x) - g (x) = (2x + 1) - (x - 1) = 2x + 1 - x + 1 = x + 2

Per tant, (f - g)(x) = x + 2

25

Definició. Siguin les funcions y = f (x) i y = g (x), definim la funció producte (f · g)(x) per:

(f · g)(x) = f (x) · g (x)

Exemple. Siguin les funcions f (x) = 2x + 1 i g (x) = x - 1. Aleshores, el seu producte serà:

(f · g)(x) = f (x) · g (x) = (2x + 1) · (x - 1) = x2 - 2x + x - 1 = x2 - x - 1

Per tant, (f · g)(x) = x2 - x - 1

Definició Siguin les funcions y = f (x) i y = g (x), definim la funció quocient (f / g)(x) per:

(f / g)(x) = f (x) / g (x)

Exemple. Siguin les funcions f (x) = 2x + 1 i g (x) = x - 1. Aleshores, el seu quocient serà:

(f / g)(x) = f (x) / g (x) = (2x + 1) / (x - 1)

Per tant, (f / g)(x) = (2x + 1) / (x - 1)

26

Composició de funcions.Si f i g són dues funcions, la funció “g composta amb f”, que la indicarem per gof, es defineix com la funció que a cada valor de la variable x li correspon la imatge g(f(x)),

(g o f)(x) = g(f(x)).

La funció “f composta amb g” i que indiquem per fog la definim com (f o g)(x) = f(g(x)). És fàcil comprovar que aquesta operació no és commutativa, és a dir:

(g o f)(x) ≠ (f o g)(x).

Exemple:Si f(x) = 2x-3 i g(x) = x2, les funcions compostes són: (g o f)(x) = g(2x-3) = (2x-3)2 = 4x2–12x+9.(f o g)(x) = f(x2) = 2x2-3.Com podem comprovar, (g o f)(x) ≠ (f o g)(x).Si f(x) = x + 1 i g(x) = x2+3,(gof)(x)=g( x+1)=( x+1)2+3=x+1+3=x+4.(fog)(x)=f(x2+3)= (x2+3)+1= x2+4. Com podem comprovar, (g o f)(x) ≠ (f o g)(x).

27

Siguin f(x) = sin x i g(x) = x2 + 2, calcula:

a) En aquest cas h(x) = f [g(x)] = f [ x2 + 2] = sin (x2 + 2).

b) Aquí h(x) = f [f(x)] = f [sin x] = sin (sin x).

c) Per últim, h(x) = g [g(x)] = g [x2 + 2] = (x2 + 2)2 + 2.

28

S’anomena funció inversa o recíproca de f a una altra funció (es designa per f –1) que compleix la condició següent:Si f(a) = b, aleshores f –1(b) = a

La funció inversa de f –1 és, al seu torn, f. És per això que es diu, simplement, que les funcions f i f –1 són inverses o recíproques.Les gràfiques de dues funcions inverses són simètriques respecte de la recta y = x.

29

Com obtenir la inversa d’una funció

Per trobar la inversa de y = f(x), s’intercanvien la x i la y, x = f(y), i s’aïlla la y en l’última expressió. Per exemple: f(x) = 5x – 7y=5x–7 x=5y–7 y=(x+7)/5 S’ha obtingut: f–1(x) = (x + 7)/5.

30

4.2.1 Taxa de variació mitjana:La taxa de variació mitjana d'una funeió en un interval [a, b]mesura I'augment o la disminueió de la funció a [a, b].És a dir, ens indica la variació relativa de la funció respecte a la variable independent:

PRIMER. Calculem la variació de x i la variació de la funció.Variació de x: 4- 2= 2Variació de f(x)= f(4) - f(2) = 16- 4= 12

Exemple:Troba la taxa de variació mitjana de la funcióf(x) = x2 a I'interval [2, 4].

SEGON. Calculem el quocient que resulta quan dividim la variació de f(x) entre la variació de x.

Aquest quocient és la taxa de variació mitjana de f(x) a I'interval [2, 4].

31

4.2.2 Funció lineal:

La funció lineal relaciona dues magnituds directament proporcionals, és a dir, tals que el seu quocient és constant

La gràfica d’aquesta funció és sempre una línia recta, creixent si m és positiva, decreixent si m és negativa i tant més a prop de la vertical com major sigui el valor absolut de m. Per aquest motiu, m també s'anomena pendent de la recta.

L’expressió de la funció lineal és:y=mx+n

on:-n és l’ordenada a l’origen: punt de tall de la recta amb l’eix d’ordenades (y)-m és el pendent

32

Si coneixem les cooredenades de dos punts de la recta, podem calcular la pendent com:

Forma punt-pendent de l’equació de la recta:

y= m(x-x0 ) +y0

on x0 i y0 són les coordenades d’un punt conegut de la recta

Metodologia alternativa per trobar l’expressió de la funció lineal:

· 2 punts coneguts: sistema de dues eqaucions amb dues incògnites; m i n (valors coneguts de x i y)

· 1 punt conegut i el pendent m conegut: una equació amb n com incògnita (valors coneguts de x, y i m)

33

Exercici: calcula l’expressió analítica de les funcions:

34

Una funció es diu que és polinòmica de segon grau, si és del tipus:2y ax bx c= + + on a, b, i c són nombres

qualsevol, i a mai és zero.

El gràfic corresponent a una funció polinòmica de segon grau sempre és una paràbola.

!

4.2.3 Funció quadràtica:

Característiques principals:

Quan a>0, el gràfic de la paràbola té les branques cap a dalt.Quan a<0, el gràfic de la paràbola té les branques cap a baix.

L’eix de simetria, és la recta vertical d’equació:

El vèrtex té per coordenades: abx2−

=

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛ −−

abf

ab

2,

2

35

Metodologia per reperesentar funcions quadràtiques:1. Trobar les coordenades del vèrtex2. Trobar els punts de tall amb els eixos x=0 i y=0

Exercici: representa la funció y=x2+4x-5

36

Hi ha un tipus de funcions que vénen definides amb diferents expressions algebraiques segons els valors de x, es diu que estan definides a trossos.

Per descriure analíticament una funció formada per trossos d'altres funcions, es donen les expressions dels diferents trams, per ordre d'esquerre a dreta, indicant en cada tram els valors de x per als quals la funció està definida.

4.2.4 Funcions definides a trossos:

Exemple 1

37

Exemple 2:

38

Exercici: representa la següent funció definida a trossos.

Solució

39

4.2.5 Funció proporcionalitat inversa:Si el producte de dos nombres és 24, quins valors podem prendre aquests nombres?

x · y = 24

Construim la taula de valors:

x

2 124 66 412 2–12 –2–6 4–4 –6–2 –12

x24

y =

x24

y =

Representem els parells obtinguts:

40

xk

y =Les funcions de la forma s’anomenen funcions de proporcionalitat inversa

La gràfica d’aquestes funcions sempre és una hipèrbole.

El domini i el recorregut són tots els reals excepte el 0.• És una funció senar: f(-x)=k/(-x)=-f(x).• Si k>0 la funció és decreixent i la seva gràfica apareix als quadrants 1r i 3r.• Si k<0 la funció és creixent i la seva gràfica està al 2n i 4t quadrant.

41

La gràfica és una hipèrbole. A la figura es pot veureel traçat de f(x)=1/x.

A partir d'aquesta observeu com canvia la gràfica en variar el valor de la constant k:

42

Les asímptotesEn la gràfica de la funció f(x) = k/x es pot observar com les branques de la hipèrbola s'aproximen en als eixos de coordenades, són les asímptotes.Quan la gràfica d'una funció s'apropa cada vegada més a una recta, i es confonen, es diu que la recta és una asímptota.

Asímptotes verticals. La recta x = a és una asímptota vertical de la funció si es verifica que quan el valor x tendeix al valor a, el valor de f(x) tendeix a valors cada vegada més grans, f(x)→+∞, o més petits, f(x)→–∞.Asímptotes horitzontals. La recta y = b és una asímptota horitzontal de la funció si es verifica que quan x→+∞ o x→–∞, el valor de f(x) → b.

43

Exemple:

44

Decidiu quin gràfica correspon a cada funció:

45

4.2.6 Funció exponencial:

La funció exponencial és de la forma y = ax, amb a com a nombre real positiu.

El domini són els nombres reals i el recorregut són els reals positius• És contínua• Si a>1 la funció és creixent isi 0<a<1 és decreixent.• Talla l'eix OY en (0,1).• L'eix OX és una asímptota

46

En les gràfiques es pot veure com en multiplicar per una constant y=k·ax el punt de tall amb l'eix OY és (0,k).En sumar (o restar) una constant b la gràfica desplaça cap amunt (o cap avall) b unitats i l'asímptota horitzontal passa a ser y=b.

47

Exemple:En un laboratori tenen un cultiu bacterià, si el seu pes es multiplica per 2 cada dia, com es el seu creixement si el seu pes inicial és de 3 grams?

La funció exponencial es presenta en multitud de fenòmens de creixement animal, vegetal, econòmic, etc. En tots aquests contextos la variable és el temps.

48

Exemple:

f(x)=4·2x

49

EXERCICI: El gràfic d’una funció exponencial del tipus y= kax passa pels punts (0, 3) i (1,1).

a)Calcula a i k

b)Quin és el domini de definició?

c)És una funció creixent o decreixent (raona la resposta)?

solució:a) a=1/3 i k=3b) dom y= Rb) és una funció decreixent ja que a és un valor entre o i 1.

50

EXERCICI: De la següent funció y= x2 – 4x – 5

a) Quin és el vèrtex? És un màxim o un mínim?

b) Quins són els punts de tall amb els eixos?

c) Representa la funció. Quin és el domini de definició?

d) Troba els coeficients b i c per tal que el vèrtex de la funció y= x2 + bx +c estigui en el punt ( 1,2)

SOLUCIÓ:

a) V (2,-9); és un mínim ja que el coeficient de x2 és positiub)eix x ( -1,0) i (5,0); per resolució de l’equació de segon grau x2 – 4x -5 =0. Eix y (0, -5)c)( 0,5 punts) Dom = Rd)Si la coordenada x del vèrtex és 1, llavors –b/2a=1 i obtenim –b/2=1; llavors b=-2. Per calcular c, sabem que la coordenada y és 2; llavors substituint obtenim: 2=12 -2·1 +c . Així, c =3

51

EXERCICI: Representa la següent funció definida a trossos:

solució:

52

EXERCICI: Troba l’equació de la paràbola següent

solució

53

EXERCICI: De la següent hipèrbola, digues quin n’és el domini, quines són les seves asímptotes i representa-la:

Solució

54

1.Funcions lineals:

− Funcions contínues− dom = R• Expressió general: y = mx + n• Funció constant: y=n ( en aquest cas la m és 0)• Funció proporcional: y = mx ( l’ordenada a l’origen és 0)

2.funcions quadràtiques: paràboles

− Funcions contínues

− Dom= R

− Representació és una paràbola

− La forma depèn del coeficient de x2

• Expressió general : y= ax2 + bx + c

• Vèrtex: abscisses = -b/2a

• Coeficient de x2 positiu: vèrtex = mínim

• Coeficient de x2 negatiu: vèrtex= màxim

RESUM:

55

3. funcions de proporcionalitat inversa

− Funcions discontínues

− Representació: hipèrbole

• Expressió: y= k/x ;

• Presenten dues asímptotes: una vertical ( A.V) i una horitzontal (A.H)

4. funcions exponencials:

y=ax- dom= R i -el recorregut són els reals positius• És contínua• Si a>1 la funció és creixent si 0<a<1 és decreixent.• Talla l'eix OY en (0,1).• L'eix OX és una asímptota

56