Giai Toan THPT voi may tinh FX-570VN PLUS cua TS Nguyen Thai Son

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

Phép tính tích phânVấn đề số phức

Phép tính vectơ trong không gianVấn đề giải bất phương trình

Mạn đàm về giải bài thi đại học với MTCT

GIẢI TOÁN TRUNG HỌC PHỔ THÔNGVỚI MÁY TÍNH ĐIỆN TỬ CASIO FX 570VN PLUS

TS Nguyễn Thái Sơn

Đại học Sư Phạm TP Hồ Chí Minh

Phiên bản 14.8

TS Nguyễn Thái Sơn GIẢI TOÁN TRUNG HỌC PHỔ THÔNG

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.




Mục lục

1 Phép tính tích phân

2 Vấn đề số phức

Số phức dưới dạng đại số

Số phức dưới dạng lượng giác

Phương trình bậc hai với hệ số phức

3 Phép tính vectơ trong không gian

4 Vấn đề giải bất phương trình

Ví dụ 1: Đề thi ĐH Khối D 2008.

Ví dụ 2: Đề thi ĐH Khối B 2008.

5 Mạn đàm về giải bài thi đại học với MTCT


.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.




Phép tính tích phân

Ví dụ: Tính I=∫ π/3π/6

dxsin9 x

y 1 a jQ ) (X) ) 9RqK (π) a 6E qK (π) a 3 =

. So sánh với Maple

I=145164p3+

35128

ln�2+p3�− 1235

1728− 35256

ln (3)

CASIO 570VN Plus


.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.






dxsin9 x



I=145164p3+

35128

ln�2+p3�− 1235

1728− 35256

ln (3)

CASIO 570VN Plus


.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.






dxsin9 x

y 1 a jQ ) (X) ) 9

RqK (π) a 6E qK (π) a 3 =


I=145164p3+

35128

ln�2+p3�− 1235

1728− 35256

ln (3)

CASIO 570VN Plus


.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.






dxsin9 x

y 1 a jQ ) (X) ) 9RqK (π) a 6

E qK (π) a 3 =


I=145164p3+

35128

ln�2+p3�− 1235

1728− 35256

ln (3)

CASIO 570VN Plus


.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.






dxsin9 x



I=145164p3+

35128

ln�2+p3�− 1235

1728− 35256

ln (3)

CASIO 570VN Plus


.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.






dxsin9 x



I=145164p3+

35128

ln�2+p3�− 1235

1728− 35256

ln (3)

CASIO 570VN Plus


.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.






dxsin9 x



I=145164p3+

35128

ln�2+p3�− 1235

1728− 35256

ln (3)

CASIO 570VN Plus


.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.






dxsin9 x



I=145164p3+

35128

ln�2+p3�− 1235

1728− 35256

ln (3)

CASIO 570VN Plus


.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.






dxsin9 x



I=145164p3+

35128

ln�2+p3�− 1235

1728− 35256

ln (3)

CASIO 570VN Plus


.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.




Số phức dưới dạng đại sốSố phức dưới dạng lượng giácPhương trình bậc hai với hệ số phức

Các phép tính số phức dưới dạng đại số

Ví dụ: Cho số phức z thỏa mãn: (2+ i)z+2(1+2i)1+ i

= 7+8i

Tìm mô-đun của số phức z+1+ i

1 Vào MODE số phức:w2

2 Thực hiện phép tính 7+8i− 2(1+2i)1+ i

7 + 8 b pa 2 ( 1 + 2 b ) R 1 + b =

3 Tính z=Ans2+ i

M a 2 + b =

4 Tính |z+1+ i|qc (Abs) q2 2 (Conj) M ) + 1 + b = ĐS:

p17


.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.







= 7+8i




7 + 8 b pa 2 ( 1 + 2 b ) R 1 + b =

3 Tính z=Ans2+ i

M a 2 + b =


p17


.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.







= 7+8i




7 + 8 b pa 2 ( 1 + 2 b ) R 1 + b =

3 Tính z=Ans2+ i

M a 2 + b =


p17


.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.







= 7+8i


1 Vào MODE số phức:

w2


7 + 8 b pa 2 ( 1 + 2 b ) R 1 + b =

3 Tính z=Ans2+ i

M a 2 + b =


p17


.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.







= 7+8i




7 + 8 b pa 2 ( 1 + 2 b ) R 1 + b =

3 Tính z=Ans2+ i

M a 2 + b =


p17


.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.







= 7+8i




7 + 8 b pa 2 ( 1 + 2 b ) R 1 + b =

3 Tính z=Ans2+ i

M a 2 + b =


p17


.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.







= 7+8i




7 + 8 b

pa 2 ( 1 + 2 b ) R 1 + b =

3 Tính z=Ans2+ i

M a 2 + b =


p17


.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.







= 7+8i




7 + 8 b p

a 2 ( 1 + 2 b ) R 1 + b =

3 Tính z=Ans2+ i

M a 2 + b =


p17


.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.







= 7+8i




7 + 8 b pa 2 ( 1 + 2 b )

R 1 + b =

3 Tính z=Ans2+ i

M a 2 + b =


p17


.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.







= 7+8i




7 + 8 b pa 2 ( 1 + 2 b ) R 1 + b =

3 Tính z=Ans2+ i

M a 2 + b =


p17


.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.







= 7+8i




7 + 8 b pa 2 ( 1 + 2 b ) R 1 + b =

3 Tính z=Ans2+ i

M a 2 + b =


p17


.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.







= 7+8i




7 + 8 b pa 2 ( 1 + 2 b ) R 1 + b =

3 Tính z=Ans2+ i

M a 2 + b =


p17


.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.







= 7+8i




7 + 8 b pa 2 ( 1 + 2 b ) R 1 + b =

3 Tính z=Ans2+ i

M a 2 + b =

4 Tính |z+1+ i|

qc (Abs) q2 2 (Conj) M ) + 1 + b = ĐS:p17


.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.







= 7+8i




7 + 8 b pa 2 ( 1 + 2 b ) R 1 + b =

3 Tính z=Ans2+ i

M a 2 + b =


p17


.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.





Các phép tính số phức dưới dạng lượng giác

Ví dụ 1: viết số phức z= 1+ i dưới dạng lượng giác.

GIẢI:

1 + bq 2 3 =p2 ∠ π

4.

Vậy: z=p2�cosπ

4+ isin

π

4

�Ví dụ 2: Cho phương trình z2 −2p3iz−4= 0. Gọi z1,z2 là hai nghiệm của phương trình.Viết z1,z2 dưới dạng lượng giác.

GIẢI: Ta tính biệt thức của phương trình bậc hai: ∆′= (−p3i)2 +4= 1.Vậy: z1 = 1+ i

p3 ; z2 =−1+ ip3

1 + b s 3 q 2 3 = 2 ∠ π3

2�cosπ

3+ isin

π

3

�z 1 + b s 3q 2 3 = 2 ∠ 2π

32�cos

2π3+ isin

2π3

�


.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.







GIẢI:

1 + bq 2 3 =p2 ∠ π

4.

Vậy: z=p2�cosπ

4+ isin

π

4



p3 ; z2 =−1+ ip3

1 + b s 3 q 2 3 = 2 ∠ π3

2�cosπ

3+ isin

π

3

�z 1 + b s 3q 2 3 = 2 ∠ 2π

32�cos

2π3+ isin

2π3

�


.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.







GIẢI:

1 + bq 2 3 =

p2 ∠ π

4.

Vậy: z=p2�cosπ

4+ isin

π

4



p3 ; z2 =−1+ ip3

1 + b s 3 q 2 3 = 2 ∠ π3

2�cosπ

3+ isin

π

3

�z 1 + b s 3q 2 3 = 2 ∠ 2π

32�cos

2π3+ isin

2π3

�


.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.







GIẢI:

1 + bq 2 3 =p2 ∠ π

4.

Vậy: z=p2�cosπ

4+ isin

π

4



p3 ; z2 =−1+ ip3

1 + b s 3 q 2 3 = 2 ∠ π3

2�cosπ

3+ isin

π

3

�z 1 + b s 3q 2 3 = 2 ∠ 2π

32�cos

2π3+ isin

2π3

�


.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.







GIẢI:

1 + bq 2 3 =p2 ∠ π

4.

Vậy: z=p2�cosπ

4+ isin

π

4

�

Ví dụ 2: Cho phương trình z2 −2p3iz−4= 0. Gọi z1,z2 là hai nghiệm của phương trình.Viết z1,z2 dưới dạng lượng giác.


p3 ; z2 =−1+ ip3

1 + b s 3 q 2 3 = 2 ∠ π3

2�cosπ

3+ isin

π

3

�z 1 + b s 3q 2 3 = 2 ∠ 2π

32�cos

2π3+ isin

2π3

�


.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.







GIẢI:

1 + bq 2 3 =p2 ∠ π

4.

Vậy: z=p2�cosπ

4+ isin

π

4



p3 ; z2 =−1+ ip3

1 + b s 3 q 2 3 = 2 ∠ π3

2�cosπ

3+ isin

π

3

�z 1 + b s 3q 2 3 = 2 ∠ 2π

32�cos

2π3+ isin

2π3

�


.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.







GIẢI:

1 + bq 2 3 =p2 ∠ π

4.

Vậy: z=p2�cosπ

4+ isin

π

4


GIẢI: Ta tính biệt thức của phương trình bậc hai:

∆′= (−p3i)2 +4= 1.Vậy: z1 = 1+ i

p3 ; z2 =−1+ ip3

1 + b s 3 q 2 3 = 2 ∠ π3

2�cosπ

3+ isin

π

3

�z 1 + b s 3q 2 3 = 2 ∠ 2π

32�cos

2π3+ isin

2π3

�


.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.







GIẢI:

1 + bq 2 3 =p2 ∠ π

4.

Vậy: z=p2�cosπ

4+ isin

π

4


GIẢI: Ta tính biệt thức của phương trình bậc hai: ∆′= (−p3i)2 +4= 1.

Vậy: z1 = 1+ ip3 ; z2 =−1+ ip3

1 + b s 3 q 2 3 = 2 ∠ π3

2�cosπ

3+ isin

π

3

�z 1 + b s 3q 2 3 = 2 ∠ 2π

32�cos

2π3+ isin

2π3

�


.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.







GIẢI:

1 + bq 2 3 =p2 ∠ π

4.

Vậy: z=p2�cosπ

4+ isin

π

4



p3 ; z2 =−1+ ip3

1 + b s 3 q 2 3 = 2 ∠ π3

2�cosπ

3+ isin

π

3

�z 1 + b s 3q 2 3 = 2 ∠ 2π

32�cos

2π3+ isin

2π3

�


.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.







GIẢI:

1 + bq 2 3 =p2 ∠ π

4.

Vậy: z=p2�cosπ

4+ isin

π

4



p3 ; z2 =−1+ ip3

1 + b s 3

q 2 3 = 2 ∠ π3

2�cosπ

3+ isin

π

3

�z 1 + b s 3q 2 3 = 2 ∠ 2π

32�cos

2π3+ isin

2π3

�


.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.







GIẢI:

1 + bq 2 3 =p2 ∠ π

4.

Vậy: z=p2�cosπ

4+ isin

π

4



p3 ; z2 =−1+ ip3

1 + b s 3 q 2 3 = 2 ∠ π3

2�cosπ

3+ isin

π

3

�z 1 + b s 3q 2 3 = 2 ∠ 2π

32�cos

2π3+ isin

2π3

�


.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.







GIẢI:

1 + bq 2 3 =p2 ∠ π

4.

Vậy: z=p2�cosπ

4+ isin

π

4



p3 ; z2 =−1+ ip3

1 + b s 3 q 2 3 = 2 ∠ π3

2�cosπ

3+ isin

π

3

�

z 1 + b s 3q 2 3 = 2 ∠ 2π3

2�cos

2π3+ isin

2π3

�


.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.







GIẢI:

1 + bq 2 3 =p2 ∠ π

4.

Vậy: z=p2�cosπ

4+ isin

π

4



p3 ; z2 =−1+ ip3

1 + b s 3 q 2 3 = 2 ∠ π3

2�cosπ

3+ isin

π

3

�z 1 + b s 3

q 2 3 = 2 ∠ 2π3

2�cos

2π3+ isin

2π3

�


.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.







GIẢI:

1 + bq 2 3 =p2 ∠ π

4.

Vậy: z=p2�cosπ

4+ isin

π

4



p3 ; z2 =−1+ ip3

1 + b s 3 q 2 3 = 2 ∠ π3

2�cosπ

3+ isin

π

3

�z 1 + b s 3q 2 3 = 2 ∠ 2π

3

2�cos

2π3+ isin

2π3

�


.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.







GIẢI:

1 + bq 2 3 =p2 ∠ π

4.

Vậy: z=p2�cosπ

4+ isin

π

4



p3 ; z2 =−1+ ip3

1 + b s 3 q 2 3 = 2 ∠ π3

2�cosπ

3+ isin

π

3

�z 1 + b s 3q 2 3 = 2 ∠ 2π

32�cos

2π3+ isin

2π3

�TS Nguyễn Thái Sơn GIẢI TOÁN TRUNG HỌC PHỔ THÔNG

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.






Ví dụ: Hãy tìm dạng lượng giác của số phức z=1−p3i1+ i

GIẢI:

a 1 p s 3 b R 1 + b =

q 2 3 =p2 ∠ − 7π

12.

Vậy:

z=p2�cos−7π12+ isin

−7π12

�


.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.







GIẢI:

a 1 p s 3 b R 1 + b =

q 2 3 =p2 ∠ − 7π

12.

Vậy:


−7π12

�


.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.







GIẢI:

a 1 p s 3 b R 1 + b =

q 2 3 =p2 ∠ − 7π

12.

Vậy:


−7π12

�


.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.







GIẢI:

a 1 p s 3 b R 1 + b =

q 2 3 =p2 ∠ − 7π

12.

Vậy:


−7π12

�


.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.






Ví dụ 4: Tìm argument chính của số phức z= 1+ sin3π5+ icos

3π5

qw4 chuyển máy sang mode radian

Nhập số phức:

1 + j 3qK (π) a 5 + b k 3qK (π) a 5 =q 2 1 M =

Vậy argz=− π20


.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.







3π5


Nhập số phức:

1 + j 3qK (π) a 5 + b k 3qK (π) a 5 =q 2 1 M =

Vậy argz=− π20


.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.







3π5


Nhập số phức:

1 + j 3qK (π) a 5 + b k 3qK (π) a 5 =q 2 1 M =

Vậy argz=− π20


.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.







3π5


Nhập số phức:

1 + j 3qK (π) a 5 + b k 3qK (π) a 5 =q 2 1 M =

Vậy argz=− π20


.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.







3π5


Nhập số phức:

1 + j 3qK (π) a 5 + b k 3qK (π) a 5 =q 2 1 M =

Vậy argz=− π20


.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.







3π5


Nhập số phức:

1 + j 3qK (π) a 5 + b k 3qK (π) a 5 =q 2 1 M =

Vậy argz=− π20


.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.





Khai căn bậc hai của một số phức.

Vào w2 ta nhập một số phức tự động lưu vào phím M .

Sau đó ta thực hiện các thao tác sau đây:

p|Ans| ∠ Arg(Ans)2

Bấm phím khai căn bậc hai một số phức

sqeM qz (∠)aq21M)R2 =

Ví dụ: Cho số phức z=−80−192i. Tính hai căn bậc hai của số phức.

GIẢI: Khai căn bậc hai một số phức:z 80 p 192 b =sq c (Abs) M q z (∠ ) q2 1 M ) a 2 =

8−12iVậy: z=−80−192i có hai căn bậc hai là ±(8−12i)


.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.















.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.















.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.















.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.















.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.















.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.












GIẢI: Khai căn bậc hai một số phức:

z 80 p 192 b =sq c (Abs) M q z (∠ ) q2 1 M ) a 2 =



.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.












GIẢI: Khai căn bậc hai một số phức:z 80 p 192 b =

sq c (Abs) M q z (∠ ) q2 1 M ) a 2 =8−12i

Vậy: z=−80−192i có hai căn bậc hai là ±(8−12i)


.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.













8−12i

Vậy: z=−80−192i có hai căn bậc hai là ±(8−12i)


.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.















.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.






Ví dụ: Giải phương trình: z2 −8(1− i)z+63−16i= 0.

Ta có: a= 1 ; b=−8+8i ; c= 63−16i∆= b2 −4ac=−252−64i= (2−16i)2 (khai căn bậc hai của ∆ như trên)

Vậy hai nghiệm là:

z1 =−b+ (2−16i)

2a= 5−12i

z2 =−b+ (2−16i)

2a= 3+4i


.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.









z1 =−b+ (2−16i)

2a= 5−12i

z2 =−b+ (2−16i)

2a= 3+4i


.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.







Ta có: a= 1 ; b=−8+8i ; c= 63−16i

∆= b2 −4ac=−252−64i= (2−16i)2 (khai căn bậc hai của ∆ như trên)


z1 =−b+ (2−16i)

2a= 5−12i

z2 =−b+ (2−16i)

2a= 3+4i


.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.







Ta có: a= 1 ; b=−8+8i ; c= 63−16i∆= b2 −4ac=−252−64i= (2−16i)2

(khai căn bậc hai của ∆ như trên)


z1 =−b+ (2−16i)

2a= 5−12i

z2 =−b+ (2−16i)

2a= 3+4i


.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.









z1 =−b+ (2−16i)

2a= 5−12i

z2 =−b+ (2−16i)

2a= 3+4i


.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.









z1 =−b+ (2−16i)

2a= 5−12i

z2 =−b+ (2−16i)

2a= 3+4i


.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.









z1 =−b+ (2−16i)

2a= 5−12i

z2 =−b+ (2−16i)

2a= 3+4i


.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.









z1 =−b+ (2−16i)

2a= 5−12i

z2 =−b+ (2−16i)

2a= 3+4i


.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.




Phép tính vectơ trong không gian

Giả sử ta có ba vectơ :

−→a = (a1;a2;a3) ;−→b = (b1;b2;b3) ; −→c = (c1;c2;c3)

Ta thực hiện các phép tính sau đây:w8 1 1 Nhập tọa độ vectơ −→aq5 2 2 1 Nhập tọa độ vectơ

−→b

q5 2 3 1 Nhập tọa độ vectơ −→cCTích có hướng: [−→a ,

−→b ] q5 3 Oq 5 4 =

Tích vô hướng: −→a .−→b q5 3q 5 7q 5 4 =

Kết quả của tích có hướng sẽ lưu vào VctAns. Muốn truy xuất nó ta gõ: q56


.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.






−→a = (a1;a2;a3) ;−→b = (b1;b2;b3) ; −→c = (c1;c2;c3)


−→b


−→b ] q5 3 Oq 5 4 =




.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.






−→a = (a1;a2;a3) ;−→b = (b1;b2;b3) ; −→c = (c1;c2;c3)


−→b


−→b ] q5 3 Oq 5 4 =




.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.






−→a = (a1;a2;a3) ;−→b = (b1;b2;b3) ; −→c = (c1;c2;c3)

Ta thực hiện các phép tính sau đây:

w8 1 1 Nhập tọa độ vectơ −→aq5 2 2 1 Nhập tọa độ vectơ

−→b


−→b ] q5 3 Oq 5 4 =




.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.






−→a = (a1;a2;a3) ;−→b = (b1;b2;b3) ; −→c = (c1;c2;c3)

Ta thực hiện các phép tính sau đây:w8 1 1 Nhập tọa độ vectơ −→a

q5 2 2 1 Nhập tọa độ vectơ−→b


−→b ] q5 3 Oq 5 4 =




.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.






−→a = (a1;a2;a3) ;−→b = (b1;b2;b3) ; −→c = (c1;c2;c3)


−→b


−→b ] q5 3 Oq 5 4 =




.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.






−→a = (a1;a2;a3) ;−→b = (b1;b2;b3) ; −→c = (c1;c2;c3)


−→b

q5 2 3 1 Nhập tọa độ vectơ −→c

CTích có hướng: [−→a ,

−→b ] q5 3 Oq 5 4 =




.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.






−→a = (a1;a2;a3) ;−→b = (b1;b2;b3) ; −→c = (c1;c2;c3)


−→b

q5 2 3 1 Nhập tọa độ vectơ −→cC

Tích có hướng: [−→a ,−→b ] q5 3 Oq 5 4 =




.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.






−→a = (a1;a2;a3) ;−→b = (b1;b2;b3) ; −→c = (c1;c2;c3)


−→b


−→b ]

q5 3 Oq 5 4 =Tích vô hướng: −→a .

−→b q5 3q 5 7q 5 4 =



.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.






−→a = (a1;a2;a3) ;−→b = (b1;b2;b3) ; −→c = (c1;c2;c3)


−→b


−→b ] q5 3 Oq 5 4 =




.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.






−→a = (a1;a2;a3) ;−→b = (b1;b2;b3) ; −→c = (c1;c2;c3)


−→b


−→b ] q5 3 Oq 5 4 =

Tích vô hướng: −→a .−→b

q5 3q 5 7q 5 4 =



.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.






−→a = (a1;a2;a3) ;−→b = (b1;b2;b3) ; −→c = (c1;c2;c3)


−→b


−→b ] q5 3 Oq 5 4 =




.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.






−→a = (a1;a2;a3) ;−→b = (b1;b2;b3) ; −→c = (c1;c2;c3)


−→b


−→b ] q5 3 Oq 5 4 =


Kết quả của tích có hướng sẽ lưu vào VctAns. Muốn truy xuất nó ta gõ:

q56


.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.






−→a = (a1;a2;a3) ;−→b = (b1;b2;b3) ; −→c = (c1;c2;c3)


−→b


−→b ] q5 3 Oq 5 4 =




.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.





Ví dụ: Cho hai đường thẳng:

∆1:x+13=y+3−2 =

z−2−1 ; ∆2 :

x−22=y+13=z−1−5

Tìm khoảng cách ngắn nhất giữa ∆1 và ∆2

∆1 qua A(−1;−3;2) và vectơ chỉ phương −→a = (3;−2;−1)∆2 qua B(2;−1;1) và vectơ chỉ phương

−→b = (2;3;−5)

Công thức tính khoảng cách

d(∆1,∆2) =

��−→a ,−→b�

.−→AB��−→a ,

−→b��


.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.






∆1:x+13=y+3−2 =

z−2−1 ; ∆2 :

x−22=y+13=z−1−5



−→b = (2;3;−5)


d(∆1,∆2) =

��−→a ,−→b�

.−→AB��−→a ,

−→b��


.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.






∆1:x+13=y+3−2 =

z−2−1 ; ∆2 :

x−22=y+13=z−1−5



−→b = (2;3;−5)


d(∆1,∆2) =

��−→a ,−→b�

.−→AB��−→a ,

−→b��


.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.






∆1:x+13=y+3−2 =

z−2−1 ; ∆2 :

x−22=y+13=z−1−5



−→b = (2;3;−5)


d(∆1,∆2) =

��−→a ,−→b�

.−→AB��−→a ,

−→b��


.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.






∆1:x+13=y+3−2 =

z−2−1 ; ∆2 :

x−22=y+13=z−1−5


∆1 qua A(−1;−3;2) và vectơ chỉ phương −→a = (3;−2;−1)

∆2 qua B(2;−1;1) và vectơ chỉ phương−→b = (2;3;−5)


d(∆1,∆2) =

��−→a ,−→b�

.−→AB��−→a ,

−→b��


.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.






∆1:x+13=y+3−2 =

z−2−1 ; ∆2 :

x−22=y+13=z−1−5



−→b = (2;3;−5)


d(∆1,∆2) =

��−→a ,−→b�

.−→AB��−→a ,

−→b��


.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.






∆1:x+13=y+3−2 =

z−2−1 ; ∆2 :

x−22=y+13=z−1−5



−→b = (2;3;−5)


d(∆1,∆2) =

��−→a ,−→b�

.−→AB��−→a ,

−→b��


.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.





Xét ba vectơ : −→a = (3;−2;−1);−→b = (2;3;−5);−→AB= (3;2;−1).Công thức tính khoảng cách

d(∆1,∆2) =

��−→a ,−→b�

.−→AB��−→a ,

−→b��

w8 113 = z 2 = z 1 =q 5 2 2 12 = 3 = z 5 =q 5 2 3 13 =2 = z 1 = Cq 5 3 Oq 5 4 =q 5 6q 5 7q 5 5 = 52qc (Abs) q5 6 ) = d = 507

Vậy d(∆1,∆2) =52p507


.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.





Xét ba vectơ : −→a = (3;−2;−1);−→b = (2;3;−5);−→AB= (3;2;−1).


d(∆1,∆2) =

��−→a ,−→b�

.−→AB��−→a ,

−→b��


Vậy d(∆1,∆2) =52p507


.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.






d(∆1,∆2) =

��−→a ,−→b�

.−→AB��−→a ,

−→b��


Vậy d(∆1,∆2) =52p507


.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.






d(∆1,∆2) =

��−→a ,−→b�

.−→AB��−→a ,

−→b��

w8 11

3 = z 2 = z 1 =q 5 2 2 12 = 3 = z 5 =q 5 2 3 13 =2 = z 1 = Cq 5 3 Oq 5 4 =q 5 6q 5 7q 5 5 = 52qc (Abs) q5 6 ) = d = 507

Vậy d(∆1,∆2) =52p507


.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.






d(∆1,∆2) =

��−→a ,−→b�

.−→AB��−→a ,

−→b��

w8 113 = z 2 = z 1 =

q 5 2 2 12 = 3 = z 5 =q 5 2 3 13 =2 = z 1 = Cq 5 3 Oq 5 4 =q 5 6q 5 7q 5 5 = 52qc (Abs) q5 6 ) = d = 507

Vậy d(∆1,∆2) =52p507


.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.






d(∆1,∆2) =

��−→a ,−→b�

.−→AB��−→a ,

−→b��

w8 113 = z 2 = z 1 =q 5 2 2 1

2 = 3 = z 5 =q 5 2 3 13 =2 = z 1 = Cq 5 3 Oq 5 4 =q 5 6q 5 7q 5 5 = 52qc (Abs) q5 6 ) = d = 507

Vậy d(∆1,∆2) =52p507


.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.






d(∆1,∆2) =

��−→a ,−→b�

.−→AB��−→a ,

−→b��

w8 113 = z 2 = z 1 =q 5 2 2 12 = 3 = z 5 =

q 5 2 3 13 =2 = z 1 = Cq 5 3 Oq 5 4 =q 5 6q 5 7q 5 5 = 52qc (Abs) q5 6 ) = d = 507

Vậy d(∆1,∆2) =52p507


.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.






d(∆1,∆2) =

��−→a ,−→b�

.−→AB��−→a ,

−→b��

w8 113 = z 2 = z 1 =q 5 2 2 12 = 3 = z 5 =q 5 2 3 1

3 =2 = z 1 = Cq 5 3 Oq 5 4 =q 5 6q 5 7q 5 5 = 52qc (Abs) q5 6 ) = d = 507

Vậy d(∆1,∆2) =52p507


.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.






d(∆1,∆2) =

��−→a ,−→b�

.−→AB��−→a ,

−→b��

w8 113 = z 2 = z 1 =q 5 2 2 12 = 3 = z 5 =q 5 2 3 13 =2 = z 1 = C

q 5 3 Oq 5 4 =q 5 6q 5 7q 5 5 = 52qc (Abs) q5 6 ) = d = 507

Vậy d(∆1,∆2) =52p507


.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.






d(∆1,∆2) =

��−→a ,−→b�

.−→AB��−→a ,

−→b��

w8 113 = z 2 = z 1 =q 5 2 2 12 = 3 = z 5 =q 5 2 3 13 =2 = z 1 = Cq 5 3 Oq 5 4 =

q 5 6q 5 7q 5 5 = 52qc (Abs) q5 6 ) = d = 507

Vậy d(∆1,∆2) =52p507


.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.






d(∆1,∆2) =

��−→a ,−→b�

.−→AB��−→a ,

−→b��

w8 113 = z 2 = z 1 =q 5 2 2 12 = 3 = z 5 =q 5 2 3 13 =2 = z 1 = Cq 5 3 Oq 5 4 =q 5 6q 5 7q 5 5 = 52

qc (Abs) q5 6 ) = d = 507

Vậy d(∆1,∆2) =52p507


.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.






d(∆1,∆2) =

��−→a ,−→b�

.−→AB��−→a ,

−→b��


Vậy d(∆1,∆2) =52p507


.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.






d(∆1,∆2) =

��−→a ,−→b�

.−→AB��−→a ,

−→b��


Vậy d(∆1,∆2) =52p507


.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.




Ví dụ 1: Đề thi ĐH Khối D 2008.Ví dụ 2: Đề thi ĐH Khối B 2008.

Vấn đề giải bất phương trình

Chức năng giải bất phương trình bậc 3:x2 −3x+2

x> 0

wR 1 2 11 = z 3 = 2 = 0 = =(Nhập 4 hệ số của bất phương trình bậc 3 và nhấn = ta được nghiệm của bấtphương trình).

Chức năng giải bất phương trình bậc 2: x2 −4x+2⩽ 0wR 1 1 31 = z 4 = 2 = =(Nhập 3 hệ số của bất phương trình bậc 2 và nhấn = ta được nghiệm của bấtphương trình).


.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.







x> 0




.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.







x> 0




.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.







Giải bất phương trình log 12

x2 −3x+2x

⩾ 0 (1)

Điều kiện:x2 −3x+2

x> 0⇐⇒ 0< x< 1∨x> 2.

Khi đó:

(1)⇐⇒ x2 −3x+2x

⩽ 1⇐⇒ x2 −4x+2⩽ 0 ⇐⇒ 2−p2⩽ x⩽ 2+p2Kết hợp với điều kiện, ta có nghiệm của bất phương trình là:

2−p2⩽ x< 1∨2< x⩽ 2+p2


.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.








x2 −3x+2x

⩾ 0 (1)


x> 0⇐⇒ 0< x< 1∨x> 2.

Khi đó:

(1)⇐⇒ x2 −3x+2x


2−p2⩽ x< 1∨2< x⩽ 2+p2


.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.








x2 −3x+2x

⩾ 0 (1)


x> 0⇐⇒ 0< x< 1∨x> 2.

Khi đó:

(1)⇐⇒ x2 −3x+2x


2−p2⩽ x< 1∨2< x⩽ 2+p2


.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.








x2 −3x+2x

⩾ 0 (1)


x> 0

⇐⇒ 0< x< 1∨x> 2.Khi đó:

(1)⇐⇒ x2 −3x+2x


2−p2⩽ x< 1∨2< x⩽ 2+p2


.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.








x2 −3x+2x

⩾ 0 (1)


x> 0⇐⇒ 0< x< 1∨x> 2.

Khi đó:

(1)⇐⇒ x2 −3x+2x


2−p2⩽ x< 1∨2< x⩽ 2+p2


.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.








x2 −3x+2x

⩾ 0 (1)


x> 0⇐⇒ 0< x< 1∨x> 2.

Khi đó:

(1)⇐⇒ x2 −3x+2x

⩽ 1⇐⇒ x2 −4x+2⩽ 0

⇐⇒ 2−p2⩽ x⩽ 2+p2Kết hợp với điều kiện, ta có nghiệm của bất phương trình là:

2−p2⩽ x< 1∨2< x⩽ 2+p2


.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.








x2 −3x+2x

⩾ 0 (1)


x> 0⇐⇒ 0< x< 1∨x> 2.

Khi đó:

(1)⇐⇒ x2 −3x+2x

⩽ 1⇐⇒ x2 −4x+2⩽ 0 ⇐⇒ 2−p2⩽ x⩽ 2+p2

Kết hợp với điều kiện, ta có nghiệm của bất phương trình là:

2−p2⩽ x< 1∨2< x⩽ 2+p2


.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.








x2 −3x+2x

⩾ 0 (1)


x> 0⇐⇒ 0< x< 1∨x> 2.

Khi đó:

(1)⇐⇒ x2 −3x+2x


2−p2⩽ x< 1∨2< x⩽ 2+p2


.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.








x2 −3x+2x

⩾ 0 (1)


x> 0⇐⇒ 0< x< 1∨x> 2.

Khi đó:

(1)⇐⇒ x2 −3x+2x


2−p2⩽ x< 1∨2< x⩽ 2+p2


.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.






Ví dụ: Đề thi ĐH Khối B 2008.

Giải bất phương trình log0,7

�log6

x2 +xx+4

�< 0 (1)

Điều kiện:x2 +xx+4

> 1. Khi đó (1)⇐⇒ x2 −5x−24x+4

> 0

Bấm phím giải bất phương trình bậc 3

1 4 5 20 24 24 4

⇐⇒−4< x<−3∨x> 8Tất nhiên nghiệm này thỏa điều kiện.


.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.








�log6

x2 +xx+4

�< 0 (1)


> 1. Khi đó (1)⇐⇒ x2 −5x−24x+4

> 0


1 4 5 20 24 24 4



.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.








�log6

x2 +xx+4

�< 0 (1)


> 1.

Khi đó (1)⇐⇒ x2 −5x−24x+4

> 0


1 4 5 20 24 24 4



.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.








�log6

x2 +xx+4

�< 0 (1)


> 1. Khi đó (1)⇐⇒ x2 −5x−24x+4

> 0


1 4 5 20 24 24 4



.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.








�log6

x2 +xx+4

�< 0 (1)


> 1. Khi đó (1)⇐⇒ x2 −5x−24x+4

> 0


1 4 5 20 24 24 4



.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.








�log6

x2 +xx+4

�< 0 (1)


> 1. Khi đó (1)⇐⇒ x2 −5x−24x+4

> 0


1 4 5 20 24 24 4

⇐⇒−4< x<−3∨x> 8

Tất nhiên nghiệm này thỏa điều kiện.


.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.








�log6

x2 +xx+4

�< 0 (1)


> 1. Khi đó (1)⇐⇒ x2 −5x−24x+4

> 0


1 4 5 20 24 24 4



.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.




Giải bài thi đại học với MTCT

Bài toán về Phương pháp toạ độ trong mặt phẳng, gần đây là một bài toán khó trong bàithi đại học. Từ đó nảy sinh ra vấn đề là cần phải rèn luyện cho học sinh kỹ năng làm bài.

Ví dụ. A2013. Trong mặt phẳng Oxy cho hình chữ nhật ABCD biết A(−4;8),Cthuộc đường thẳng d : 2x+y+5= 0,M là điểm đối xứng của B qua C,N(5;−4) làhình chiếu vuông góc của B trên MD. Tìm toạ độ của hai đỉnh B,C.

Định hướng cho học sinh:1 Điểm C nằm trên đường thẳng d, do đó chỉ cần tìm thêm một đường chứa điểm

này. Đó là đường tròn ngoại tiếp hình chữ nhật. Đường tròn này xác định được vìđi qua A,N và C.

2 Điểm B là giao điểm của hai đường tròn: Đó là đường tròn ngoại tiếp hình chữnhật và đường tròn tâm C bán kính CN.

Sau khi định hướng xong, vấn đề còn lại là của máy tính cầm tay.


.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.





Bài toán về Phương pháp toạ độ trong mặt phẳng, gần đây là một bài toán khó trong bàithi đại học.

Từ đó nảy sinh ra vấn đề là cần phải rèn luyện cho học sinh kỹ năng làm bài.







.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.












.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.







Định hướng cho học sinh:

1 Điểm C nằm trên đường thẳng d, do đó chỉ cần tìm thêm một đường chứa điểmnày. Đó là đường tròn ngoại tiếp hình chữ nhật. Đường tròn này xác định được vìđi qua A,N và C.




.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.












.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.












.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.












.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.





AB

CD

M

N

b

b b

b

b

b

b

b

b

b


.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.





AB

CD

M

N

b

b b

b

b

b

b

b

b

b


.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.





A B

CD

M

N

b

b b

b

b

b

b

b

b

b


.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.





GIẢI

1 C(c;−2c−5) suy ra tâm của hình chữ nhật ABCD là I� c−4

2;−2c+3

2

�Phương trình đường tròn ngoại tiếp hình chữ nhật ABCD là:

�x− c−4

2

�2+�y− −2c+3

2

�2=� c+4

2

�2+�2c+13

2

�2

Đường tròn này đi qua N nên ta có:

�5− c−4

2

�2+�4+−2c+3

2

�2=� c+4

2

�2+�2c+13

2

�2

Đây là phương trình bậc nhất, bấm qr (SOLVE) ta tìm được c.


.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.





GIẢI


2;−2c+3

2


�x− c−4

2

�2+�y− −2c+3

2

�2=� c+4

2

�2+�2c+13

2

�2


�5− c−4

2

�2+�4+−2c+3

2

�2=� c+4

2

�2+�2c+13

2

�2



.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.





GIẢI

1 C(c;−2c−5) suy ra tâm của hình chữ nhật ABCD là

I� c−4

2;−2c+3

2


�x− c−4

2

�2+�y− −2c+3

2

�2=� c+4

2

�2+�2c+13

2

�2


�5− c−4

2

�2+�4+−2c+3

2

�2=� c+4

2

�2+�2c+13

2

�2



.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.





GIẢI


2;−2c+3

2

�

Phương trình đường tròn ngoại tiếp hình chữ nhật ABCD là:

�x− c−4

2

�2+�y− −2c+3

2

�2=� c+4

2

�2+�2c+13

2

�2


�5− c−4

2

�2+�4+−2c+3

2

�2=� c+4

2

�2+�2c+13

2

�2



.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.





GIẢI


2;−2c+3

2


�x− c−4

2

�2+�y− −2c+3

2

�2=� c+4

2

�2+�2c+13

2

�2


�5− c−4

2

�2+�4+−2c+3

2

�2=� c+4

2

�2+�2c+13

2

�2



.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.





GIẢI


2;−2c+3

2


�x− c−4

2

�2+�y− −2c+3

2

�2=� c+4

2

�2+�2c+13

2

�2


�5− c−4

2

�2+�4+−2c+3

2

�2=� c+4

2

�2+�2c+13

2

�2



.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.





GIẢI


2;−2c+3

2


�x− c−4

2

�2+�y− −2c+3

2

�2=� c+4

2

�2+�2c+13

2

�2


�5− c−4

2

�2+�4+−2c+3

2

�2=� c+4

2

�2+�2c+13

2

�2



.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.





�5− c−4

2

�2+�4+−2c+3

2

�2=� c+4

2

�2+�2c+13

2

�2

5 4 24 2 3 2 (=)

4 22 13 2

0 c= 1.


.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.





�5− c−4

2

�2+�4+−2c+3

2

�2=� c+4

2

�2+�2c+13

2

�2

5 4 24 2 3 2 (=)

4 22 13 2

0 c= 1.


.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.





�5− c−4

2

�2+�4+−2c+3

2

�2=� c+4

2

�2+�2c+13

2

�2

5 4 2

4 2 3 2 (=)4 2

2 13 20 c= 1.


.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.





�5− c−4

2

�2+�4+−2c+3

2

�2=� c+4

2

�2+�2c+13

2

�2

5 4 24 2 3 2

(=)4 2

2 13 20 c= 1.


.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.





�5− c−4

2

�2+�4+−2c+3

2

�2=� c+4

2

�2+�2c+13

2

�2

5 4 24 2 3 2 (=)

4 22 13 2

0 c= 1.


.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.





�5− c−4

2

�2+�4+−2c+3

2

�2=� c+4

2

�2+�2c+13

2

�2

5 4 24 2 3 2 (=)

4 2

2 13 20 c= 1.


.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.





�5− c−4

2

�2+�4+−2c+3

2

�2=� c+4

2

�2+�2c+13

2

�2

5 4 24 2 3 2 (=)

4 22 13 2

0 c= 1.


.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.





�5− c−4

2

�2+�4+−2c+3

2

�2=� c+4

2

�2+�2c+13

2

�2

5 4 24 2 3 2 (=)

4 22 13 2

0 c= 1.


.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.





A B

CD

M

N

b

b b

b

b

b

b

b

b

b


.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.





AB

CD

M

N

b

b b

b

b

b

b

b

b

b


.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.





2 Phương trình đường tròn ngoại tiếp hình chữ nhật là: x2 +y2 +3x−y−60= 0Phương trình đường tròn tâm C bán kính CN là: x2 +y2 −2x+14y+25= 0Toạ độ điểm B là nghiệm của hệ:�

x2 +y2 +3x−y−60 = 0x−3y−17 = 0

Suy ra: (3y+17)2 +y2 +3(3y+17)−y−60= 0Ta biết phương trình này có hai nghiệm với một nghiệm đã biết là yN =−4.

3 17 3 317 0 4 nhập x=−4−7

Vậy yB =−7. Tóm lại B(−4;−7)


.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.





2 Phương trình đường tròn ngoại tiếp hình chữ nhật là: x2 +y2 +3x−y−60= 0

Phương trình đường tròn tâm C bán kính CN là: x2 +y2 −2x+14y+25= 0Toạ độ điểm B là nghiệm của hệ:�

x2 +y2 +3x−y−60 = 0x−3y−17 = 0


3 17 3 317 0 4 nhập x=−4−7



.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.





2 Phương trình đường tròn ngoại tiếp hình chữ nhật là: x2 +y2 +3x−y−60= 0Phương trình đường tròn tâm C bán kính CN là: x2 +y2 −2x+14y+25= 0

Toạ độ điểm B là nghiệm của hệ:�x2 +y2 +3x−y−60 = 0

x−3y−17 = 0Suy ra: (3y+17)2 +y2 +3(3y+17)−y−60= 0Ta biết phương trình này có hai nghiệm với một nghiệm đã biết là yN =−4.

3 17 3 317 0 4 nhập x=−4−7



.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.






x2 +y2 +3x−y−60 = 0x−3y−17 = 0


3 17 3 317 0 4 nhập x=−4−7



.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.






x2 +y2 +3x−y−60 = 0x−3y−17 = 0

Suy ra: (3y+17)2 +y2 +3(3y+17)−y−60= 0

Ta biết phương trình này có hai nghiệm với một nghiệm đã biết là yN =−4.

3 17 3 317 0 4 nhập x=−4−7



.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.






x2 +y2 +3x−y−60 = 0x−3y−17 = 0


3 17 3 317 0 4 nhập x=−4−7



.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.






x2 +y2 +3x−y−60 = 0x−3y−17 = 0


3 17 3 317 0 4 nhập x=−4−7



.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.






x2 +y2 +3x−y−60 = 0x−3y−17 = 0


3 17 3 317 0 4 nhập x=−4−7



.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.





Education

Giai Toan THPT voi may tinh FX-570VN PLUS cua TS Nguyen Thai Son