1. La ecuación vectorial horaria de una partícula que se mueve enun plano, viene dada en el SI: r (t) = (t � 1) i + (2t � t 2) j. Calcular: 1) Elvector de posición inicial. 2. La distancia al observador (distancia al ori-gen) a los 3 s de haber empezado a contar el tiempo. 3. Ecuación de latrayectoria en forma explícita y su representación gráfica.

2. Una partícula describe una trayectoria cuya ecuación en el SI

viene dada por: r = (t 2 + t + 1) i � (3t 3 + 2t 2) j. Calcular: 1) El vector velocidad en cualquier instante. 2) El vector aceleración en cualquier instante. 3) El vector velocidad media en el tercer segundo. 4) El vector aceleración media en el tercer segundo.

3. Un acorazado navega con rumbo NE a una velocidad de30 mile/h. Suena zafarrancho de combate y uno de los tripulantes marchacorriendo de babor a estribor para ocupar su puesto, a una velocidad de10 km/h. Calcular el valor de la velocidad resultante y su dirección.

4. Deseamos volar en un avión a 500 km/h hacia el E, la velocidaddel viento es 80 km/h. ¿Cuál debe ser la velocidad y rumbo de nuestroavión? 1) Si el viento sopla hacia el S. 2) Si el viento sopla hacia el SE.3) Si el viento sopla hacia el SO.

5. La velocidad que provocan unos remeros a una barca es de8 km/h. La velocidad del agua de un río es 6 km/h, y la anchura de talrío 100 m. 1) Suponiendo la posición de la proa perpendicular a las ori-llas, calcular el tiempo que tarda la barca en cruzar el río y la distancia aque es arrastrada, aguas abajo, por la corriente. 2) ¿En qué direccióndebe colocarse la proa de la barca para alcanzar el punto de la orillaopuesta situado enfrente del de partida? (punto de partida y llegadaen la perpendicular común a las orillas). 3) ¿Qué velocidad, respecto atierra, lleva la barca en los dos casos estudiados? 4) ¿Cuánto tarda enatravesar el río

6. Una canoa de 2,5 m de larga está junto a la orilla de un río yperpendicularmente a ella. Se pone en marcha con una velocidad de5 m/s y al llegar a la orilla opuesta ha avanzado en el sentido de la co-

10. Al desconectar de la fuente de alimentación a un motor que enrégimen normal gira a wo rad/s, su rotor desacelera por la acción del ro-zamiento del aire y del rozamiento constante con los cojinetes según laecuación: a = � b � cw2, donde b y c son constantes y w la velocidadangular del rotor. Calcular el tiempo que tarda en pararse.

rriente 23,4 m. 1) Calcular la velocidad del agua sabiendo que el río tie-ne una anchura de 100 m. 2) Si la canoa marcha a lo largo del río, de-terminar el camino recorrido en 1 min según vaya en el sentido de la co-rriente o en sentido contrario.

7. En un terreno horizontal se lanza un proyectil verticalmente ha-cia arriba con una velocidad inicial de 20 m/s. El viento le produce una aceleración horizontal constante e igual a g/5, siendo g = 10 m/s2. Cal cular: 1) Las componentes tangencial y normal de la aceleración. 2) La ecuación analítica de la trayectoria. 3) La distancia entre el puntode lanzamiento y el del impacto con la horizontal. 4) La altura máxima que alcanza el proyectil. 5) El ángulo que forma con la horizontal el vector velocidad en el punto del impacto.

11. La aceleración tangencial de un punto móvil queda determina-da en el sistema CGS por la función: at = 6 � 2 t. Para t = 0, v0 = 0.Calcular: 1) La expresión general del módulo de la velocidad. 2) Enqué instantes la velocidad es nula. 3) ¿Qué aceleración tangencial tieneel móvil en tales instantes?

12. La ecuación que nos define la trayectoria de una partículaen un plano OXY y referida a O como origen, viene dada por: r = 5ti+ 10 3( )− 5t t 2 j (SI), queremos determinar: 1) La ecuación de latrayectoria escrita en forma explícita y = f(x) y su representación gráfi-ca. 2) Expresiones del vector velocidad y del vector aceleración. 3) Mó-dulos de la aceleración tangencial y normal para t = 1 s.

13. Una partícula se mueve en trayectoria plana, siendo las com-ponentes coordenadas del radio vector que define la posición de lapartícula en cualquier instante: x = 2t2 � 3, y = t 3 + 1 expresadas x e yen m y t en s. Calcular: 1) Vectores velocidad y aceleración. 2) El ins-tante en que v y a son paralelos. 3) El vector unitario en la dirección dela tangente a la trayectoria en cualquier instante. 4) Los vectores acele-ración tangencial y normal para t = 1 s. 5) El vector unitario en la dire-ción normal a la trayectoria, el valor del radio de curvatura y el vectorde posición del centro de curvatura para t = 1 s.

Quinto Grupo de Problemas

Asignatura: Física I

Profesor: Ely Miguel Aguilar

Fecha de presentación: 05.02.16

8. Dos carreteras se cruzan bajo un ángulo de 90° por medio deun puente. Ambas carreteras están situadas en planos horizontales. Laaltura del puente (distancia vertical entre ambas carreteras) es de 11 m.Por la superior circula un coche a la velocidad de 4 m/s, y por la inferiorotro a la velocidad de 3 m/s. Cuando el primer coche se encuentra en elcentro del puente, el segundo se encuentra exactamente debajo de él.Determinar: 1) La distancia que los separa al cabo de 12 s después dehaberse cruzado. 2) La velocidad con que se separan al cabo de estos12 s. 3) Valor de la aceleración en este momento.

9. Una partícula describe una trayectoria circular de 3 m de radio.El arco descrito en cualquier instante viene dado por: s = t2 + t + 1 (SI). Calcular a los 2 s de iniciado el movimiento: 1) El arco. 2) El ángulo.3) El módulo de las velocidades lineal y angular. 4) El valor de la acele-ración angular.

14. La ecuación que define la trayectoria plana de un punto móviles: y = x2 � 9 (SI), y la abscisa en función del tiempo es de la forma:x = 2t � 3 (SI). Calcular: 1) Expresiones del vector de posición, del vec-tor velocidad y del vector aceleración. 2) Las aceleraciones tangencial ynormal en el instante t = 2,00 s. 3) Los instantes en los que el vector deposición y el vector velocidad son perpendiculares.

15. Supongamos un movimiento circular de radio 27 cm y cuyo es-pacio (s) (distancia sobre la propia curva a un origen tomado en ella), queda determinado por la ecuación: s = 3 + t + 2t2, en la que el espacio está medido en cm y el tiempo en s; se trata de calcular el vector acele-ración en el instante t = 2 s.

16. Una partícula se mueve en trayectoria plana y circular de 1 mde radio, el valor de su aceleración tangencial en módulo es siempreigual a su velocidad. En el instante inicial su velocidad angular es de prad/s. Determinar, al cabo de 1 s: 1) La aceleración angular de la partí-cula. 2) La aceleración tangencial. 3) La velocidad angular.

17. La figura nos representa una partícula que gira en trayectoria

Problema 17.

circular de radio R = 1 m, .de modo que el radio vector que parte de Otiene una velocidad angular constante: q = 2p rad/s. Si para t = 0,r = 2R, determinar: 1) r = r(t), v = v(t) y a = a(t). 2) Los vectoresaceleración tangencial y normal para t = 5 s.

18. Una partícula describe una curva plana que escrita en el SI tie-ne por ecuación y2 = 4x con una componente de la aceleración según el eje OX que es constante e igual a 8 m/s2. Para t = 4 s se encuentra en el origen de coordenadas. Calcular: 1) Los vectores aceleración tangencial y normal para t = 2 s.

19. Las componentes coordenadas del vector que nos define la tra-yectoria de una partícula son en el SI: x = 3t 3 � 5, y = 6t 2 � 1,z = 4t3 � 6. Calcular los módulos de la aceleración tangencial y normalpara t = 1 s.

20. El vector velocidad del movimiento de una partícula vienedado por: v = (3t � 2) i + (6t2 � 5)j + (4t � 1)k (SI) y el vector que nosdefine la posición inicial es: r0 = 3i � 2j + k m, calcular: 1) La expresióndel radio vector en cualquier instante. 2) Ecuación del vector acelera-ción. 3) Los vectores aceleración tangencial y normal para t = 1 s.

21. El vector velocidad de una partícula referido a un punto O (ve-locidad definida por un observador en O) viene dado en el SI por:v = i + 4tj � 3t2 k. Determinar para t = 1 s: 1) El vector unitario en ladirección de la tangente a la trayectoria. 2) El vector aceleración tan-gencial. 3) El vector aceleración normal. 4) El vector unitario en la di-rección de la normal a la trayectoria. 5) El valor del radio de curvatura.

Problema 27

30. Una partícula se mueve con movimientos circular y uniforme(w = cte) de radio R. Si tomamos el origen de un sistema de coordena-das en el centro de la circunferencia trayectoria, calcular las ecuacionesvectoriales horarias. (Tomamos O como centro de la circunferencia tra-yectoria y la posición inicial de la partícula sobre el eje OX).

22. El vector aceleración de una partícula referido a un punto O(vector aceleración definido por un observador en O) viene dado en el SI por: a = 2 (18t2 + 1) i + 9j. En el instante t = 0 la velocidad es nula y el vector de posición es: r0 = 4j + 6k m. Se trata de determinar para t = 1 s. 1) Las componentes tangencial y normal de la aceleración. 2) El va-lor del radio de curvatura. 3) La posición del centro de curvatura.

31. Una mosca camina en línea recta con movimiento uniforme alo largo del radio R del disco de vidrio de la figura al mismo tiempo queéste gira con velocidad angular constante. Suponiendo que el tiempoque tarda la mosca en recorrer el radio es el mismo que el período degiro del disco. 1) Dibujar la trayectoria de la mosca, con relación a losejes fijos X e Y que se ven por transparencia a través del vidrio. 2) De-terminar las ecuaciones horarias de éste movimiento en función de v(velocidad de la mosca) y w (velocidad angular del disco) con relación alos ejes fijos.

23. Una partícula recorre la hélice que tiene por ecuación escritaen el SI: r(t) = 3 cos 2t i � 3 sen 2t j + t k. Determinar: 1) Los vec-tores aceleración tangencial y normal en t = p s. 2) Espacio recorrido porla partícula durante ese tiempo.

13

24. En un río, desde la orilla opuesta al embarcadero y frente a él,parte una barca enfilando su proa constantemente hacia dicho punto. La anchura del río es de 200 m y las velocidades del agua y de la barca respecto de la orilla son de igual módulo. Calcular a qué distancia del embarcadero aparcará la barca.

25. Una partícula parte del punto (4,0) m en un movimiento plano,con velocidad inicial paralela al eje OY. Se mueve de forma que su vec-tor de posición, r, gira en torno a O (0,0) con velocidad angular cons-tante, w = 2 rad/s, y su aceleración es siempre perpendicular a r.1) Obtener la ecuación de su trayectoria. 2) Calcular el tiempo que tar-da en alejarse hasta 8 m del origen y la posición en ese instante.

Problema 3126. Un volante gira con una velocidad angular constante de 50 rad/s.

Calcular: 1) La velocidad de un punto de la periferia sabiendo que suradio es R = 1 m. 2) La velocidad de un punto colocado a una distan-cia de 0,5 m del centro. 3) Espacio recorrido por ambos puntos mate-riales en el tiempo de 1 min. 4) El número de vueltas de da el volanteen ese tiempo.

27. 1. Calcular la velocidad angular de cualquier punto de la Tierra en su movimiento de rotación alrededor del eje terrestre. 2. Calcular la velocidad tangencial y la aceleración normal de un punto P sobre la Tie-rra (ver Figura) situado en un lugar de 60° de latitud. (Radio terrestre = 6 300 km).

28. Un punto material describe uniformemente una trayectoria cir-cular de radio 1 m, dando 30 vueltas cada minuto. Calcular el período,la frecuencia, la velocidad angular, la tangencial, la areolar y la acelera-ción centrípeta.

29. Desde el mismo punto de una circunferencia parten dos móvi-les en sentidos opuestos. El primero recorre la circunferencia en 2h 4min,el segundo recorre un arco de 6° 30' por minuto. Determinar en quépunto se encontrarán y el tiempo invertido.

32. Un volante de 2 dm de diámetro gira en torno a su eje a 3 000rpm. Un freno lo para en 20 s. Calcular: 1) La aceleración angular su-puesta constante. 2) Número de vueltas dadas por el volante hasta quese para. 3) El módulo de la aceleración tangencial, normal y total de unpunto de su periferia una vez dadas 100 vueltas.

33. La velocidad angular de un volante, disminuye uniformementedesde 900 a 800 rpm en 5 s. Encontrar: 1) La aceleración angular.2) El número de revoluciones efectuado por el volante en el intervalo de5 s. 3) ¿Cuántos segundos más serán necesarios para que el volante sedetenga?

34. Un automotor parte del reposo, en una vía circular de 400 mde radio, y va moviéndose con movimiento uniformemente acelerado,hasta que a los 50 s de iniciada su marcha, alcanza la velocidad de 72km/h, desde cuyo momento conserva tal velocidad. Hallar: 1) La acele-ración tangencial en la primera etapa del movimiento. 2) La aceleraciónnormal, la aceleración total y la longitud de vía recorrida en ese tiempo,en el momento de cumplirse los 50 s. 3) La velocidad angular media enla primera etapa, y la velocidad angular a los 50 s. 4) Tiempo que tar-dará el automotor en dar cien vueltas al circuito.

35. Un móvil parte del reposo en el origen y recorre una trayectoriacircular de 20 cm de radio con una aceleración tangencial que vienedada el sistema CGS por la expresión: at = 60t. Determinar en módulo,dirección y sentido, la aceleración del móvil a los 2/3 s de iniciado elmovimiento.

36. Una partícula describe una circunferencia de 27 cm de radio,aumentando con el tiempo el valor de su velocidad, de una forma cons-tante. En un punto A de su trayectoria la velocidad es 9 cm/s; en otro B,transcurridos 0,25 s, es 10 cm/s. Calcular el vector aceleración en elpunto A.

37. Una partícula posee un movimiento circular y uniforme de 1 mde radio, dando 1 vuelta en 10 s. Calcular: 1) El vector de posición refe-rido al centro de la trayectoria como origen si la partícula inicialmente seencuentra en el punto P0 (0, 1) m. 2) El vector velocidad y aceleración alos 5 s de iniciado el movimiento. 3) Velocidad media en el intervalo de5 s comprendido entre el quinto y décimo segundo.

38. El vector de posición de una partícula que se mueve en trayec-toria plana es: r = (5 cos pt � 1) i + (5 sen pt + 2) j (SI). 1) Demuéstreseque el movimiento es circular y uniforme. 2) Calcular el radio de la cir-cunferencia trayectoria. 3) Calcular la frecuencia de este movimiento.

45. La Fig. nos representa a un individuo en un coche que se mue-ve horizontalmente a la velocidad de 108 km/h y que dispara un fusil endirección vertical con velocidad de 216 km/h. Describir las ecuacioneshorarias del movimiento: 1) Desde el punto de vista del observador enel vehículo. 2) Desde el punto de vista de un observador fijo en la ca-rretera. (Tomar g = 10 m/s 2).

46. En el mismo momento en que arranca un tren con una acele-ración de 1 m/s2, un pasajero avanza en sentido contrario con una velo-cidad constante de 0,5 m/s respecto del tren. En ese mismo instante unniño, montado también en el tren, comienza a avanzar montado en sutriciclo, al que le comunica una aceleración respecto al tren de 0,2 m/s2 yen la misma dirección del movimiento. Calcular: 1) La velocidad y laaceleración del pasajero a los 5 s del arranque, respecto a un observa-dor parado en la estación. 2) La velocidad y la aceleración del niño alos 5 s de comenzar el movimiento, respecto del mismo observador.

47. La figura representa dos coches, el A se desplaza a 80 km/h to-mando una curva circular de 60 m de radio; el coche B llega a la posi-ción indicada con una velocidad de 100 km/h por una carretera recta. Elconductor del coche B, para evitar el riesgo de choque, reduce su veloci-dad a razón de 5 m/s2. Calcular la velocidad y la aceleración que parecetener A cuando es observado por el conductor del coche B para la posi-ción representada en la figura.

39. Un avión de bombardeo, en vuelo horizontal, a la velocidad de360 km/h, y a una altura sobre un objetivo de 1 000 m, lanza una bomba.1) ¿A qué distancia del objetivo inmóvil, contada horizontalmente, debeproceder al lanzamiento? 2) Si el objetivo es un camión que marcha encarretera horizontal, a 72 km/h en la misma dirección y plano verticalque el bombardero ¿a qué distancia del objetivo, contada horizontal-mente, se debe proceder al lanzamiento si el objetivo se mueve en dis-tinto o en el mismo sentido?

Problema 45. Problema 47

40. Un avión en vuelo horizontal rectilíneo, a una altura de 7 840m y con una velocidad de 450 km/h, deja caer una bomba al pasar porla vertical de un punto A del suelo. 1) ¿Al cabo de cuánto tiempo seproducirá la explosión de la bomba por choque con el suelo? 2) ¿Quédistancia habrá recorrido entre tanto el avión? 3) ¿A qué distancia delpunto A se producirá la explosión? 4) ¿Cuánto tiempo tardará en oirsela explosión desde el avión, a contar desde el instante del lanzamientode la bomba, si el sonido se propaga a 330 m/s?

41. Se dispara un cañón con un ángulo de 15°, saliendo la balacon la velocidad de 200 m/s (g = 10 m/s2). Se desea saber: 1) La dis-tancia teórica que alcanzará la bala sobre la horizontal. 2) La velocidadcon que llega a tierra, en valor absoluto y dirección. 3) Si tropieza conuna colina que se encuentra a la mitad de su alcance, de 300 m de alta.¿Por qué? 4) En caso afirmativo, ¿qué solución podríamos dar si quere-mos hacer blanco en el mismo objetivo y con el mismo cañón (la mismavelocidad inicial) disparando desde el mismo sitio?

42. Se dispara un cañón desde un acantilado de 50 m de altura ycon un ángulo de 45° por encima de la horizontal, siendo la velocidad desalida del proyectil de 490 m/s. Calcular: 1) Tiempo que tarda el proyec-til en llegar a la superficie del mar. 2) Posición del impacto. 3) Veloci-dad en ese instante.

48. Un autobús marcha por una carretra recta en un día de lluvia.Un pasajero mide el ángulo que forman las gotas de lluvia con la verti-cal y obtiene que, cuando el autobús va a 80 km/h el ángulo es de 30°hacia la parte trasera, y cuando va a 100 km/h el ángulo aumenta a45°. Calcular la velocidad de las gotas y el ángulo de caída medidospor un peatón parado en el arcén.

49. Una partícula desliza desde la parte más alta de un plano, incli-nado 37° respecto de la horizontal, sin velocidad inicial y con acelera-ción constante de 5 m/s2. Por otra parte un observador, cuya posicióninicial coincide con la partícula, se traslada horizontalmente con veloci-dad constante de 4 m/s y de sentido contrario a la correspondiente com-ponente de la aceleración de la partícula. Calcular la ecuación de la tra-yectoria de la partícula respecto del citado observador.

50. Dos móviles, A y B, circulan en el mismo sentido por dos carre-teras rectas paralelas. En un instante determinado el móvil A posee unavelocidad de 36 km/h y una aceleración de 2 m/s2, y el B lleva una velo-cidad constante de 108 km/h. La posición de ambos en el instante indi-cado es la representada en la Fig. Calcular: 1) Velocidad de B respectode A, vBA, en función del tiempo. 2) Componentes radial y tangencial devBA. 3) Velocidad angular de B respecto de A.

43. En el instante t = 0 los orígenes de dos sistemas de referenciaS y S′ coinciden. El sistema S′ se mueve con traslación pura de tal for-ma que X º X′, y la velocidad de O′ es de 5 m/s respecto de O. Unapartícula de 3 kg de masa se mueve a lo largo del eje OX con una velo-cidad de 3 m/s respecto del origen O′. 1) Determinar la velocidad de la

44. Dejamos caer un cuerpo en el interior de un ascensor desde 2m de altura cuando está parado y cuando asciende con movimiento rec-tilíneo y uniforme de velocidad 1 m/s. ¿A qué altura sobre el suelo delascensor se encontrará el cuerpo a los 0,5 s, en cada uno de los casos?

partícula respecto del origen O y su posición cuando han transcurrido3 s. 2) En el momento de trascurrir esos 3 s se le aplica una fuerza quele produce una aceleración de 5/3 m/s2 en la dirección del eje OX, deter-minar su velocidad respecto a O′ a los 5 s de iniciado el movimiento.