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Al niño “Mayorcito” se le pide que obtenga como respuesta 6 en cada fila, utilizando las 4 operaciones fundamentales; si sólo puede utilizar raíces cuadradas , mas no otras raíces.
)(
¿Cuántas raíces cuadradas cree usted que el niño utilizará como mínimo?
999888777666555
644463336222
R espuesta : ....................
Como usted notará el niño “Mayorcito” tiene que utilizar sus habilidades aritméticas con un razonamiento que le permita resolver el desafío.En consecuencia el capítulo que desarrollamos ahora, titulado como "Habilidad Operativa" consiste en desarrollar problemas aritméticos, algebraicos, geométricos, que aparentemente son operativos; pero con ingenio y habilidad en las operaciones, se podrá resolver de manera más simple y menos operativa.
HABILIDAD OPERATIVA
Prof. Jenner Huamán Callirgos
MULTIPLICACIÓN POR 5
Deduzcamos el procedimiento a partir de un ejemplo
426 x 5 =?
426 x 5 = 426 x (
Veamos
= = 2130
23 x 5 = 2230
= 115
Más ejemplos
976 x 5 = 29760
= 4880
Para multiplicar por 5, al número se le agrega un cero a su derecha y el resultado se divide entre 2.
Para que practiques:
648 x 5 =
9737 x 5 =
MULTIPLICACIÓN POR 25
Deduzcamos el procedimiento a partir de un ejemplo
24 x 25 =?
24 x 25 = 24 x (
Veamos
= = 600
72 x 25 = = 1800
Más ejemplos
229 x 25 =4
22900= 5725
Para multiplicar por 25, al número se le agrega dos ceros a su derecha y el resultado se divide entre 4.
Para que practiques:
124 x 25 =
645 x 25 =
47200
DIVISIÓN POR 5Deduzcamos el procedimiento a partir de un ejemplo
Veamos
= 77
Más ejemplos
= 6428
Para dividir por 5, al número se le multiplica por 2 y el resultado se divide entre 10, es decir, se cancela un cero o se corre la coma decimal un lugar hacia la izquierda.
Para que practiques:
8125 : 5 =
94540 : 5 =
= = 27
=?
10770
102385
5385
x
1064280
102x32140
532140
MULTIPLICACIÓN POR 11
52 x 11 = ?
Ejemplo
Veamos
5 2 x 11 = 2+
75
3124 x 11 = ?Veamos
3 1 2 4 x 11= 463+
43++
Para que practiques:
79 x 11 =
4599 x 11 =
5675 x 11 = ?Veamos
5 6 7 5 x 11= 524+
26++
Cuando la suma parcial de dos cifras resulta un número de 2 cifras, se coloca la cifra de las unidades y se lleva la otra cifra para adicionar en el resultado del paso siguiente.
Escribo 2, llevo 1
13 + 111 + 1
5 + 1
MULTIPLICACIÓN POR 9; 99; 999; 9999; …Deduzcamos el procedimiento a partir de un ejemplo
347 x 99 = 347(100 – 1) = 34700 – 347 = 34353
Para multiplicar cualquier número natural (N) por otro número natural que está formado íntegramente por cifras 9, al otro número (N) hay que agregarle a su derecha tantos ceros como cifras nueves hay, y al número que resultare le restamos el mismo número (N).
Es decir:
N x 999 … 99 =
“n” cifras
N000… 00 - N
“n” cifras
N representa a cualquier número natural.Ejemplos
123 x 99 = 12300 – 123 = 12177
746 x 9999 = 7460000 – 746 = 7459254
Para que practiques:
87 x 99 =
23 x 9999 =
501 x 999 =
1007 x 99999 =
MULTIPLICACIÓN DE 2 NÚMEROS DE 2 CIFRAS CADA UNO
21 X 14 = ?Veamos
Deduzcamos el procedimiento a partir de un ejemplo
2 1 x1 4
4
Producto de lasunidades (4x1)
Suma de los productosen aspa(4x2) + (1x1)
9
Producto de lascifras de lasdecenas(2x1)
2
Para que practiques:
34 x 46 =
53 x 67 =
87 x 77 =
98 x 93 =
Si en una o en más de las operaciones parciales resulta un número mayor 9, dejamos la cifra de las unidades y llevamos las cifras restantes para la siguiente operación.
EMPLEO DELCOMPLEMENTO ARITMÉTICO(C.A.)
¿Qué es el complemento aritmético?Se denomina complemento aritmético (C.A) de un número natural a la cantidad que le falta a dicho número para ser igual a una unidad del orden inmediato superior.Ejemplo
Hallar el C.A. de a) 748b) 4578Resolución
a) C.A(748) =1000 – 748 = 252
b) C.A(4578) =10000 – 4578 = 5422
En general:
C.A(N) = 10K - N
K ® Número de cifras de “N”
Regla Práctica: Para hallar el complemento aritmético de un número, a partir de su mayor orden se restan las cifras de 9 y a la última cifra significativa de 10; si hay ceros al final éstos permanecen en el CA.
Ejemplo:
019
310468
CA( ) = 895317
CA( ) = 765500
005234
019
)d10)(c9)(b9)(a9(abcd C A =
Complementos Aritméticos en Otras Bases
C A(34(7)) = 72 – 34(7)
C A (429(11)) = 113 – 429(11)
C A (7251(8)) = 84 – 7251(8)
Método Práctico:
En General:C.A (N(B)) = )B(
K)B( N10
K: números de cifras de “N”
Ejemplo
Utilicemos el C.A. para calcular algunas multiplicaciones. Los factoresson muy cercanos a una potencia de diez.
Calcula el resultado al multiplicar: 992 x 991
1º PasoCalculamos los C.A. y los multiplicamos. Al resultado le hemos colocado un cero en el lugar mostrado para que su número de cifras sea igual al de cada uno de los Factores.
992 x 991=
8 9x
…….072
2º PasoRestamos de uno de los factores el C.A. del otro factor. Podríamos tomar por ejemplo el factor 992 y restarle 9(que es el C.A. de 991)
992 x 991= 0728 9
El producto será: 983072
983
Ejemplo
Calcula la suma de las cifras del resultado de: 999987 x 999993
1º Paso
999987 x 999993 =
13 7x
…….000091
Al resultado le colocamos 4 ceros para que su número de cifras sea igual al de cada uno de los factores.
2º Paso
999987 x 999993 = 7
999980000091La suma de cifras será:9+9+9+9+8+9+1 = 54
CUADRADO DE UN NÚMERO DE 2 CIFRAS
Ejemplo
CUADRADO DE UN NÚMERO CUALQUIERA
(N)2 = (N – a)(N + a) + a2
Donde “a” es el C.A. para ser un múltiplo de 10 una unidad inmediata superior o inferior.
Ejemplo
(106)2 = (106 – 6)(106 + 6) + 62
= (100)(112) + 36 = 11200 + 36 = 11236
(108)2 = (108 – 8)(108 + 8) + 82
= (100)(116) + 64 = 11600 + 64 = 11664
CUADRADO DE UN NÚMERO QUE TERMINA EN LA CIFRA 5
Ejemplo
Con decimales:
Para que practiques
(85)2 =(34)2 =(52)2 =(86)2 =(93)2 =(235)2 =(555)2 =(1005)2 =
Se llama así a la cifra de las unidades, después de efectuar diferentes operaciones, lo cual sólo se realiza con las cifras de las unidades.
CIFRAS TERMINALES
Para números que terminen en 0, 1, 5 y 6
(...0)n = ...0 (...5)n = ...5(...1)n = ...1 (...6)n = ...6 Donde n Î Z+
Para números que terminan en 4 y 9
(...4)impar = ...4 (...9)impar = ...9(...4)par = ...6 (...9)par = ...1
Aquí notaremos que la última cifra del desarrollo dependerá de la naturaleza par o impar.
(...4)²=(...4)(...4)=....6(...4)3=(...4)(...4)(...4)= ....4(...4)4=(...4)(...4)(...4)(...4)= ....6(...4)5=(...4)(...4)(...4)(...4)(...4)=...4(...9)²=(...9)(...9)=....1(...9)3=(...9)(...9)(...9)= ....9(...9)4=(...9)(...9)(...9)(...9)= ....1(...9)5=(...9)(...9)(...9)(...9)(...9)=...9
Para números que terminan en 2, 3, 7 y 8
En estos casos dividiremos el exponente entre 4 y si el residuo es 1; 2 ó 3 la cifra terminal de la base se multiplica dicha cantidad de veces; pero si la división es exacta entonces la cifra terminal se multiplica por si misma 4 veces.ObservaciónSólo es necesario dividir las 2 últimas cifras del exponente.
Hallar la cifra terminal de A = (2143)4375
Ejemplo
Resolución
* A = (2143)4375 = (...3)75
Dividiendo:75 4
183 residuo la cifra terminal (...3)
se repite 3 veces
35
A = (...3) (...3) (...3) = ...7
Respuesta.- A termina en cifra 7
3 veces
Hallar la cifra terminal de B = (3148)7473
B = (3148)7473 = (...8)73
Resolución
Dividiendo:73 4
18331 residuo la cifra terminal (...8)
se repite 1 veces
B = (...8) = ...81 vez
Hallar la cifra terminal de C = (31427)2148
Resolución
C = (31427)2148 = (...7)48
48 4 1208
0 residuo la cifra terminal (...7) se repite 4 veces
Dividiendo: C = (...7) (...7) (...7) (...7) =...1
Respuesta.- B termina en cifra 8
Respuesta.- C termina en cifra 1
“El que aprende y aprende y no practica lo que aprende, es como el que
ara y ara la tierra y no siembra”Anónimo
EJERCICIOS DE APLICACIÓN
MAXIMOLOMATEMATICOTORAZONAMIEN 129919
Hallar la cifra terminal de:
E =
Resolución
Respuesta: 6
Hallar la cifra terminal de A = (21474)1217 + (32879)3146
Resolución
Respuesta: 5
Hallar la suma de las cifras del resultado:
1)10003)(10002)(10001)(10000(
A =
Resolución
Respuesta: 5
Hallar el resultado de “P” si P = (999997) (999993)
Resolución
Resolver: E = 16 1)257x17x5x3x1(
Resolución
En qué cifra termina A = 55 x 54 x 53 x 52 x … x 1 A) 3 B) 5 C) 7 D) 0 E) 1.
Resolución
Calcular: a + b si: ab......)x7x5x3x1(factores2003
4
A) 16 B) 25 C) 7 D) 10 E) 8 Resolución
•En qué cifra termina: RM)22MATEMATICA864MAMA(
A) 2 B) 4 C) 6D) 8 E) 5
Resolución
Calcular la suma de cifras del resultado:E = (12345678)2 – (12345676)2
A) 36 B) 39 C) 41 D) 52 E) 24
Resolución
6 6
66)yx()zy()zx( 666
•Si: x – y = y – z = , Calcular el valor de:
A) 6 B) 16 C) 26 D) 36 E) N.A.
A =
Resolución
Si: (x + y + z + w)2 = 4(x + z) (y + w)
Calcular: M =wzyx wzyx 33 333
Resolución
•Hallar el resultado de:14144242
180180180540540540
121212363636
A) 6 B) 9 C) 12 D) 15 E) N.A.
Resolución
Si a + b + c = 0; a ≠ b ≠ cHalle:
A) 1 B) 0 C) 6 D) 2 E) 1/2
Si Halle: (K + A + R + E +N)
A) 28 B) 29 C) 30 D) 31 E) 40
Resuelve:]5
A) 32 B) 64 C) 128 D) 256 E) 1024
Si (+)(+) = (-)(-),Calcule el valor de:
]5
A) 81 B) 64 C) 246 D) 0 E) 243
Si: = 8181
81 veces
Halle:
𝐸=(𝑏−1 ) (𝑏−1 ) (𝑏 −1)
A) 8 B) 16 C) 32 D) 4 E) 3