Historia de la didáctica de las matemáticas

El arte de enseñar Antecedentes históricos de la didáctica de las matemáticas

Ing. Dulce Gabriela Rivera Sánchez. Mayo 2015

Profesora: MD Teresa de Jesús Valerio López

I. INTRODUCCIÓN

El estudio de la historia es fundamental para comprender la evolución de las ideas, las artes y las letras. Y la comprensión de la historia se puede considerar como una guía, es como encontrar una brújula para navegar en el mar de información y conocimientos en la cultura actual.

En este trabajo se plantea la evolución de la enseñanza en general hasta su transformación en ciencia, la didáctica, para después estudiar las teorías que definieron la didáctica de las matemáticas: el conductismo, cognitivismo y constructivismo.

II. ¿QUÉ ES LA DIDÁCTICA DE LAS MATEMÁTICAS?

Etimológicamente didáctica se deriva del griego didaktiké, que significa enseñar o enseñanza. La didáctica de las matemáticas es la ciencia y el arte de enseñar matemáticas.

La didáctica es ciencia en cuanto investiga, experimenta y crea teorías sobre el proceso enseñanza-aprendizaje, sobre cómo el docente debe “actuar en la enseñanza”. Es arte en cuanto el docente, de acuerdo con el contexto sociocultural del centro educativo, de la cualidad única de cada clase escolar, ha de establecer, según su creatividad y creencias, normas de acción o sugerir formas de comportamiento didáctico basadas en datos científicos y empíricos de educación. (Godínez, 2006)

III. MÉTODOS Y MOTIVACIÓN DE LA ENSEÑANZA EN LA EDAD ANTIGUA

Sumeria: Enseñanzas de la Epopeya de Gilgamesh

La primera metodología curricular con intencionalidad educativa fueron los mitos. La epopeya o poema de Gilgamesh (2750 a. de C.) es el relato más antiguo que se conoce, fue redactado originalmente en lengua sumeria. En él se trata un interés perenne del ser humano: La búsqueda de la inmortalidad.

El potencial curricular de este poema es enorme: en una sociedad en la que impera una cultura de paz, el amor natural se propone como un recurso eficaz para la transformación de la violencia en comunicación, entendimiento y empatía. La amistad se muestra como un valor desarrollado sobre la paz. Y la razón y la naturalidad no eluden la presencia de la muerte en la vida, como referente de una evolución educativa de todos, basada en la conciencia. (Herrán, 2012)

Ing.Dulce Gabriela Rivera Sánchez|Universidad Autónoma de Querétaro|Maestría en Didáctica de las Matemáticas.

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Grecia

Grecia fue una fuente orientadora en cuanto a productos sociales del conocimiento, generó la democracia, la ciencia, la filosofía, la pedagogía, el teatro, el arte, etc.

Homero

En Grecia los mitos fueron enseñados de una forma generalizada a través del teatro. A Homero (725 a. de C.) se le considera el primer escritor de Occidente. Apunta Souvirón (2008) que Homero significa rehén. Y que puesto que en la Grecia Clásica era frecuente que los nombres tengan que ver con la vida de la persona, existe la posibilidad de Homero quizá estuvo preso en la guerra de Troya.

La “Ilíada” y la “Odisea” incluyen una intencionalidad didáctica, contenidos y metodología educativa. De hecho el sentido de ambas es interesar y educar al pueblo. Por educar se entiende, en su contexto, ofrecer valores, modelos e ideales para ser reconocidos y compartidos. Los ideales de estos héroes son los fines de la educación. Transversalmente a ellos se trata el “saber ser” y el “saber

hacer”. (Herrán, 2012)

Esparta

Entre los años 700 a 480 a. de C. se desarrolla la educación en Esparta, condicionada por una cultura de acusada idiosincrasia sometida a numerosas necesidades sociales y militares que nunca abandonó.

Su motivación fue el desarrollo de la paideia1 espartana, basada en el orgullo de pertenecer y poder servir a Esparta, la ciudad-estado ejemplo entre las polis griegas. De hecho, la polis es la principal razón de ser, vivir y aprender. Por tanto, es para la que se educa. Esparta gozaba de autonomía social, económica, política, jurídica, y educativa. Eran conscientes de que para el incremento de su autonomía era estratégico emplear la educación. La metodología fue hacerlo mediante sus escuelas o, mejor dicho, a través de la escuela espartana.

Ésta era única, pública, igual para todos y estaba al alcance de todos. Se dividía en tramos según la edad de los educandos. En cada uno de estos tramos se comienza a prever y a asociar intenciones de enseñanza. Es aquí donde lo disciplinar empieza a cobrar protagonismo en la conciencia pedagógica aplicada a los primeros años de enseñanza, pero siempre en función de los valores e ideales de Esparta, en un contexto de una educación para la ciudadanía. (Herrán, 2012)

Atenas

Su currículo tiene como sustrato pedagógico y motivación social la paideia ateniense.

Puede conceptuarse como un proyecto social basado en la educación y en un humanismo cívico. Pretende humanizar la sociedad desde el conocimiento (nous) y con la enseñanza (didasko) y la apertura y el deseo de conocimiento (sociedad del conocimiento) como pilar.

La educación en Grecia se basaba en música y poesía.

1 Paideia (en griego παιδεια, "educación" o "formación", a su vez de παις, país, "niño") era, para los antiguos griegos, el proceso de

crianza de los niños, entendida como la transmisión de valores (saber ser) y saberes técnicos (saber hacer) inherentes a la sociedad.


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Pitágoras y los pitagóricos.

Resulta de interés reparar en que las finalidades educativas de los pitagóricos no estaban apegadas a las disciplinas de enseñanza. Pitágoras (582 a 507 a. de C.) enseñaba Aritmética, Astronomía, Geometría y Música.

Pero lo relevante en su escuela era la educación de la conciencia, comprendida como reflexión, dominio y moderación de uno mismo, a imitación de la naturaleza y el propio universo. Intentaba que los estudiantes experimentaran que todo lo contenido en el Universo estaba matematizado de una forma armónica en torno al número.

Era frecuente el uso de una suerte de metáfora experimental; por ejemplo, reparar en la circunferencia, como figura cuyo centro está en todas partes.

La educación en la retórica y la sofística

Los sofistas, como Gorgias de Leontini, Protágoras de Abdera o Hipias de Elis, eran maestros de retórica. Aunque dirigían la educación a los políticos, la tendencia de los sofistas era, en general, más democrática que en la educación anterior (de carácter aristocrático), e incluso mucho más democrática que la educación platónica, que estaba orientada solo a las clases gobernantes.

Los sofistas educaban en virtudes que pueden ser enseñadas, como el arte de hablar bien (elocuencia), el arte de escribir bien (gramática), el arte de razonar bien (dialéctica) y el arte del lenguaje métrico (rítmico), o sea, la poesía. (Osorio, 2010)

Sócrates

El currículo propuesto o aprendido por Sócrates (470 a 399 a. de C.) está muy ligado a su persona, a su biografía y a su personalidad. Ateniense, fue hijo de una comadrona. Su origen social fue humilde. De joven fue soldado y demostró valor.

El ‘currículo’ de Sócrates tiene como intencionalidad didáctica fundamental la sabiduría. El conocimiento equivale a ‘lo bueno’, de modo que si se conociera bien, actuar bien sería inevitable. El bien es la sabiduría, y el mal es la falta de virtud. Toda maldad humana proviene de la ignorancia. Dicho de otro modo, desde nuestra perspectiva, lo que Sócrates desarrolla esencialmente es una Didáctica de la sabiduría. Esta didáctica se puede desarrollar a lo largo de un camino en el que hay que dar dos pasos: reconocer la propia ignorancia y conocerse a uno mismo.

La educación para Sócrates requiere la presencia del maestro. Un maestro que sepa cómo ‘educir’ el daimon2 que todos tenemos dormido. Siendo así, se puede deducir que la verdadera educación es un proceso de progresivo despertar.

La Didáctica de Sócrates asocia y se apoya en una tecnología: Se trata de una técnica de didáctica -‘el diálogo’ o ‘diálogo socrático’-, quizá la primera metodología de enseñanza o propuesta metodológica formalizada de la Historia de la Educación-.

Desde nuestra perspectiva, su metodología respondía a tres principios didácticos:

a) Individualización de su enseñanza.

2 Término griego (que no se suele traducir) con el que los griegos se referían al destino individual de cada cual; el término tenía

connotaciones religiosas, y se consideraba que el destino de cada cual era algo divino o asignado por los dioses.


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b) Individualización de su enseñanza.

c) Enseñanza para la actividad de quien toma conciencia y por ello aprende: Viene definida por las cinco fases de su metodología:

La primera es el encuentro: Sócrates deambulaba por las calles y plazas de Atenas, y se topaba ‘accidentalmente’ con un discípulo u otras personas.

La segunda es la motivadora o de preguntas-respuestas: El filósofo hace observaciones y preguntas que interesan al interlocutor y le hace hablar o responder. El interlocutor contesta.

La tercera fase es la que podría llamarse de reparos mediante la ironía: Sócrates pone pegas a las respuestas dadas. Enfrenta al interlocutor con sus limitaciones. Facilita que reconozca su ignorancia relativa o su desconocimiento sobre el particular, y propicia que elimine o ‘desaprenda’ lo que antes creía o pensaba.

La cuarta fase es la de preguntas didácticas orientadoras por la mayéutica: Entendiendo la mayéutica como el ‘arte de ayudar a “dar a luz” para que cada uno descubra la verdad que reside en uno mismo’, Sócrates guía al interlocutor a través de las falsas opiniones hasta llevarle a lo real o lo cierto.

La quinta fase puede denominarse de evolución de la conciencia: el interlocutor se apercibe de cómo empezó, de que su opinión inicial no era válida y de que se encuentra en condiciones necesarias para acceder al conocimiento, y lo orienta a una evolución y una apertura a la que no es posible llegar en ese instante.

Los diseños curriculares actuales apenas han aprovechado la didáctica de Sócrates para su planificación. Si acaso, aspectos de la didáctica crítica y del constructivismo pueden comprenderse como pálidos reflejos de su Pedagogía claramente pre-socrática. (Herrán, 2012)

Isócrates

Isócrates contribuye a la diferenciación entre Filosofía y Retórica, hasta el momento, unidas.

Isócrates es un emprendedor, y para desarrollar su proyecto abre una escuela en Atenas (390 a. de C.), donde realiza su contribución didáctica, a saber, diseñar un ‘plan educativo’ para realizar la paideia, comprendida como humanismo cívico. El diseño curricular de Isócrates pretendía lograr en sus alumnos una educación global. Incluía dos fases formativas:

a) La educación pre retórica incluía Gramática, estudio de autores clásicos, de políticos, de filósofos y de poetas y estudio de sus textos, Matemáticas, Arte y Ciencia.

b) La educación superior se identificaba con la Retórica, como canal formativo o curso metodológico a través del cual es posible lograr la formación más elevada en Filosofía, Política y Ciencia.

En el desarrollo de la Retórica, Isócrates enfatizaba aprender a prescindir de todo empleo mecánico y escasamente reflexivo de técnicas que subyuguen el discurso del orador. En cambio, enfatizaba la importancia de reflexionar sobre las propias teorías del orador y sobre las de los demás. Es por ello


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por lo que le consideramos, además, un antecedente del pensamiento reflexivo del profesor, en una línea compatible con Dewey. (Herrán, 2012)

Platón

De sus enseñanzas destacamos una poderosa metáfora que sintetiza bien su fundamento epistémico, su propuesta metodológica y su teleología pedagógica: el conocido mito de la caverna.

Lo que Platón intenta enseñar a través de él es que, por un lado, en la vida se puede elegir entre la apariencia y el reflejo y el conocimiento directo. Y por otro, que cada ser humano es libre para optar por el quietismo y la inquietud, por lo ofrecido por los demás o por lo buscado por uno mismo, entre ser un eco o una voz. (Herrán, 2012)

Aristóteles

Nace en una familia de tradición médica, lo que probablemente le comunica su especial interés por la observación y por la ciencia.

Con 50 años funda un centro educativo, el Liceo, que competirá con la entonces famosa Academia que fundara Platón. El currículo del Liceo aristotélico giraba en torno al conocimiento científico de la realidad, referida tanto a seres móviles como inmóviles, tanto unidos como separados de la materia tangible.

La educación se orienta a la práctica de la virtud, que desarrolla la naturaleza racional, propia al ser humano. El desarrollo de las virtudes humanas lleva a la felicidad. Así pues, la felicidad del ser humano es el fin de la educación, y la virtud es su medio o su camino.

Las virtudes (que consideramos antecedentes de las actuales ‘competencias comunes’) que Aristóteles pretendía desarrollar en su Liceo eran tanto individuales o hábitos buenos ligados a las características de la persona, como educativas o intelectuales.

Aristóteles afirma que educar la mente sin educar el corazón no es educación en absoluto. Esta clase de planteamientos bienintencionados pero profundamente erróneos han podido tener una continuidad tanto en los campos de la educación emocional (Goleman, Gardner). (Herrán, 2012)

Didáctica en Roma

Desde la muerte de Aristóteles (-322) y hasta la de Alejandro Magno (529) las escuelas helenísticas se asentaron en Roma. Por efecto de la complejidad (superioridad), se implanta naturalmente, como por ósmosis, el sistema educativo griego y sus ideales. Contextualmente, la paideia, se traduce en Roma como humanitas3.

A imagen de Grecia, la escuela incorpora varios grados: elemental, medio y superior.

a) Grado elemental (7 a 11/12 años): La metodología didáctica era la memorización sencilla, la disciplina y el castigo físico con palmeta.

3 llegó a indicar el desarrollo de las cualidades que hacen al hombre un ser verdaderamente humano, que lo enriquecen con una

cultura y lo diferencian del bárbaro.


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b) Grado medio (12 a 16 años): la metodología por excelencia se apoyaba en el comentario de texto y la memorización, desde los que se enseñaba y aprendían todas las materias curriculares.

c) Grado superior (desde los 20 años): La metodología didáctica se basaba en la práctica (praxis), en la que se incluían diversas actividades de enseñanza: “declamationes” (exprexión), “imitatio” (sobre modelos), “elocuentia” (estilo propio) y culminaba con las “suasoriae” (monólogos históricos sobre personajes famosos) y con las “controversiae” (debates públicos entre dos estudiantes que argumentaban y defendían puntos de vista contrarios sobre temas relevantes, bien políticos, judiciales, sociales, etc.). (Herrán, 2012)

IV. LA TRANSMISIÓN DEL CONOCIMIENTO EN LA EDAD MEDIA

Los estudios históricos sobre la Baja Edad Media permiten conocer la importancia de un incipiente “renacimiento” entre los siglos X y XIII, cuando hubo una renovación del pensamiento y la sensibilidad, y se estableció la reflexión basada en la argumentación y la razón lógica.

Una consecuencia importante de las Cruzadas fue el conocimiento, en Occidente, de la cultura de los árabes, su pensamiento y su erudición.

En esta época, en los siglos X, XI y XII, la escritura se convirtió en “un instrumento de poder”; proliferaron diferentes documentos políticos, históricos y administrativos, que daban fe de la vida administrativa y privada.

Sin embargo, desde la antigüedad clásica y en la Edad Media, especialmente, se consideraba la memoria como un arte que debía cultivarse. Los retóricos, los oradores, los filósofos y los científicos europeos se preocuparon por conocer la nemotecnia. Y se consideró la memoria como “la madre de la sabiduría y el erario y el guardián de todas las cosas”. (Serrano, 2007)

Tras la caída del Imperio Romano de Occidente en 476, los cristianos mirarán hacia Grecia como un exponente más del paganismo, ignorarán sus grandes contribuciones al pensamiento y la civilización y a la vez tratarán de eliminar su mitología y moral. Tal falta de aprecio está perfectamente representada en una frase de San Agustín (354-430): ”cualquier conocimiento que el hombre ha adquirido fuera de las Sagrada Escrituras, si es dañino, allí está condenado, si es saludable, allí está contenido”.

Se explica entonces que desde el añoo 500 hasta el 1400 no se pueda consignar ningún matemático importante en Occidente.

De todas maneras, Marciano Capella, (siglo V), siguiendo el ideal griego del rétor4 y el romano del eloquens, había abogado explícitamente por la unión de la elocuencia y el conocimiento. Su libro Del matrimonio de Mercurio y Filología y nueve libros acerca de las siete artes liberales propone a la vez una organización del saber y un plan de estudios. Se trata del quadrivium, (que consta de la geometría, la astronomía, la aritmética y la música), seguido del trivium (gramática, retórica y dialéctica). Sin embargo y como es bien sabido, tal plan de estudios podía alcanzar casi exclusivamente a los monasterios. (Lorca, 1999)

4 Hombre que escribía o enseñaba retórica.


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Al comienzo de las universidades europeas en el siglo XII, encontramos el programa de Marciano Capella asumido como currículum. La geometría que se enseña, sin embargo, no pasa del libro III de Euclides (para el grado de Maestro bastaba con llegar hasta el teorema de que los ángulos basales de un triángulo isósceles son iguales), y la aritmética es una mezcla de teoría, cálculos y supersticiones.

V. DIDÁCTICA EN LA EDAD MODERNA

Todo el contenido del Renacimiento puede resumirse en los siguientes puntos:

1) Se estudian los autores clásicos, pero sobre todo los latinos. El autor preferido es Cicerón. El griego no tiene tanta importancia como el latín y el hebreo alcanza auge por el interés que despierta el estudio de las Sagradas Escrituras.

2) El trivium es el fundamento de la escuela popular, mientras el quadrivium pierde puestos instructivamente y los alcanza en el ámbito de la investigación.

3) Toma cada vez más importancia el uso y estudio de la lengua materna. Este fenómeno se refuerza cuando el Humanismo sale de los palacios aristocráticos y acampa entre el pueblo. Son precisamente los grandes humanistas los que colocan los cimientos de las nuevas gramáticas de las lenguas vernáculas. Es suficiente recordar el caso de Nebrija en España.

En muchas ocasiones el Humanismo corre el peligro de degenerar en puro formalismo, y en algunos casos así sucede. La enseñanza se vuelve repetitiva y memorística y se elimina todo tilde de originalidad, que, como hemos visto, dio impronta al Renacimiento. Como muchas veces le sucedió a la escuela retórica, se intenta un lenguaje perfecto en cuanto a la forma, pero que no transmite ningún mensaje: discursos perfectos, pero vacíos de sentido.

Luego veremos cómo Comwnio exige el estudio de las materias unido al de las cosas, dando entrada así al realismo pedagógico que el Renacimiento había olvidado. (Moreno, 1978)

Realismo pedagógico

Bacon y Descartes

Dos personajes de la época contribuyeron definitivamente al problema del método. El primero de ellos, el inglés Francisco Bacon, fundamenta la teoría del empirismo. Para él lo más importante es observar la Naturaleza; la continua observación nos llevará a la experiencia que a su vez es el fundamento del saber. De esta forma llega a asentar la importancia del método inductivo que partiendo de los pequeños hechos nacidos de la observación se eleva en busca de la ley general.

Bacon influye en el método educativo que ahora será experimental y dejará a un lado los libros y las grandes, figuras para pasar al plano de la observación de la Naturaleza.

René Descartes representa el polo opuesto a Bacon en su concepción metodológica. El gran pensador francés cree que lo importante es la deducción, sin negar la inducción; el filósofo inglés, por su parte, da prioridad a la inducción aunque tampoco niega la deducción. Esta dualidad va a dar base al proceso experimental que se basa en los dos grandes métodos: inducción y deducción.

El método cartesiano aporta una nueva visión del aprendizaje, acercándose a los grandes temas de la Didáctica actual. (Moreno, 1978)


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Ratke y Comenio

Ambos autores preconizan ya el Naturalismo y por eso su pedagogía queda en el realismo naturalista.

La Naturaleza rige toda la didáctica de este autor y de ella deduce todo el método instructivo. Dictó una de las reglas básicas de la Didáctica: lo fundamental es la repetición, pero sin excederse, porque con facilidad se caerá en el hastío que antimotiva y lleva a dejar el aprendizaje. (Moreno, 1978)

Juan Amós Comenio

En el siglo XVI Wolfang Riatke (1571-1631), al introducir su nuevo sistema educativo para Alemania, se atribuyó el título de didacticus. Pero fue Juan Amós Comenio (1592-1670), con su libro Didáctica Magna, quien convirtió la palabra didáctica en un término más conocido. Este libro coloca al estudiante como el centro del fenómeno educativo al cual todo tenía que concurrir: docentes, textos, aulas y métodos etc. A él se atribuye la creación de la escuela popular a la que todos sin distinción tienen acceso.

En esta escuela se implanta el método “aprender haciendo” donde es el estudiante el que crea su propio conocimiento, con la experiencia antes que con la memoria de las palabras. El libro Didáctica Magna, se divide en tres partes:

Didáctica General, que concibe al hombre como semejanza de Dios

Didáctica Especial, que se relaciona a las buenas costumbres y virtudes que pueden ser enseñadas

La organización Escolar, que relaciona el inicio de la educación de lo más fácil a lo más difícil, siempre vigilada para corregir, llegando al fondo jamás se queda con la primera impresión.

Comenio concibe la didáctica como la “técnica de la enseñanza”, fue un gran crítico de los modelos de enseñanza de retención memorística y mecánica teoriza “la asimilación consciente” como la condición fundamental para el aprendizaje, el profesor debe garantizar que el estudiante no solo recuerde lo que él explica, sino que reflexione sobre lo que debe hacer, por esta razón existen para el docente dos elementos fundamentales a la hora de ejercer su labor y son: la organización que significa que debe tener un método y un instrumento para llevar al cabo el proceso de enseñanza y la conducción, que es guiar al estudiante para que el mismo asimile el conocimiento, esto garantizara que dicho proceso se establezca de forma coherente.

VI. METODOLOGÍAS DIDÁCTICAS EN LA EDAD CONTEMPORÁNEA

El conductismo

La teoría conductista se desarrolla principalmente a partir de la primera mitad del siglo XX y permanece vigente hasta mediados de ese siglo, cuando surgen las teorías cognitivas.

Para las Teorías Conductistas, lo relevante en el aprendizaje es el cambio en la conducta observable de un sujeto, cómo éste actúa ante una situación particular. Su objetivo es conseguir una conducta determinada, para lo cual analiza el modo de conseguirla. La conciencia, que no se ve, es considerada


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como "caja negra". No están interesados particularmente en los procesos internos del sujeto debido a que postulan la “objetividad”, en el sentido que solo es posible hacer estudios de lo observable.

Las aplicaciones en educación se observan desde hace mucho tiempo y aún siguen siendo utilizadas, en algunos casos con serios reparos. Enfoques conductistas están presentes en programas computacionales educativos que disponen de situaciones de aprendizaje en las que el alumno debe encontrar una respuesta dado uno o varios estímulos presentados en pantalla. Al realizar la selección de la respuesta se asocian refuerzos sonoros, de texto, símbolos, etc., indicándole al estudiante si acertó o erró la respuesta. Esta cadena de eventos asociados constituye lo esencial de la teoría del aprendizaje conductista.

Pero también existen otras situaciones que se observan en educación y que son más discutibles aún, como por ejemplo el empleo de premios y castigos en situaciones contextuales en las que el estudiante guía su comportamiento en base a evitar los castigos y conseguir los premios, sin importarle mucho los métodos que emplea y sin realizar procesos de toma de conciencia integrales.

Los experimentos realizados por los conductistas identifican el “condicionamiento” como un proceso universal de aprendizaje.

El condicionamiento clásico surge con la escuela rusa con Sechenov como iniciador, encabezada por los experimentos de Iván Pavlov y continuadores como Bechterev.

Iván Pavlov publica en 1927 su estudio “Reflejos condicionados”, donde establece la teoría de que toda nuestra conducta no es nada más que una cadena de reflejos, algunos innatos y la mayor parte (sobre todo en los seres humanos) aprendidos, adquiridos o condicionados por el simple hecho de haber (en algún momento de la existencia del organismo) sido asociadas ciertas condiciones ambientales. (Chile)

John Broadus Watson considerado el fundador del conductismo, contribuyó significativamente al análisis de la Psicología como una ciencia cuyo objeto es el estudio de la conducta, opuesto a conceptos como la introspección y la conciencia debido a que no es posible su observación y análisis, por tanto tampoco permite predecir resultados. Para ello, basa sus estudios en la psicología comparada y el estudio del comportamiento animal.

Posteriormente, Watson continuó sus estudios aplicando sus teorías con niños de guarderías. Los descubrimientos de Pavlov fueron claves para él en esta etapa ya que se dedicó a crear experimentalmente y observar el desarrollo de condicionamientos en los pequeños.

Matemática conductista

A grandes rasgos se puede decir que la teoría conductista considera que:

a) El conocimiento es un conjunto de técnicas y datos a recordar.

b) El conocimiento, en sus primeros niveles, se adquiere estableciendo asociaciones.

c) Una persona que sabe es aquella que tiene mucha información memorizada y es capaz de recordarla.

Thorndike fue uno de los primeros psicólogos conductistas, formuló unas leyes o principios por los que se regía la enseñanza de las matemáticas, dos de dichas leyes son las siguientes:


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Ley del ejercicio.

La respuesta a una situación se asocia con esa situación y cuanto más se emplee en una determinada situación, más fuertemente se asocia con esta, por otro lado, el uso poco frecuente de la respuesta debilita la asociación.

Ley del efecto.

Las respuestas inmediatamente seguidas de una satisfacción ofrecen mayor probabilidad de repetirse cuando se produzca de nuevo la situación, mientras que las respuestas seguidas de una incomodidad tendrán menos probabilidad de repetirse.

De acuerdo con estos principios del conductismo la enseñanza de las matemáticas es un adiestramiento en la relación estimulo-respuesta. Aprender matemáticas es un proceso pasivo por parte del alumno que irá copiando de manera fiable todo lo que se le proponga y el profesor. El profesor no tendrá más que ir llenando cada vez más el "recipiente" que en un principio está vacío. Psicólogos conductistas son Skinner y Gagné, entre otros. (Martínez, Romero, & Martínez, 2002)

El cognitivismo

A finales de los años 50, la teoría de aprendizaje comenzó a apartarse del uso de los modelos conductistas hacia un enfoque que descansaba en las teorías y modelos de aprendizaje provenientes de las ciencias cognitivas. Psicólogos y educadores iniciaron la desenfatización del interés por las conductas observables y abiertas y en su lugar acentuaron procesos cognitivos más complejos como el del pensamiento, la solución de problemas, el lenguaje, la formación de conceptos y el procesamiento de la información (Snelbecker, 1983)

Matemática cognitivista

A grandes rasgos también, la teoría cognitiva considera que:

a) La esencia del conocimiento matemático es la estructura y ésta se forma a través de conceptos unidos entre sí por relaciones que llegarán a configurar un todo organizado.

b) El conocimiento se adquiere, por tanto, mediante la adquisición de relaciones y el aprendizaje se hace por uno de estos dos procesos: asimilación, o sea, estableciendo relaciones entre las informaciones nuevas y las ya existentes en el sujeto o por integración que son conexiones entre trozos de información que permanecían aislados.

c) Una persona que sabe es aquella capaz de crear relaciones. (Martínez, Romero, & Martínez, 2002)

Bronwell, precursor del cognitivismo, defendía la necesidad de un aprendizaje significativo de las matemáticas, cuyo principal objetivo debía ser la comprensión y no los procedimientos mecánicos de cálculo; Bronwell propuso que para comprender los conceptos y los procedimientos es necesario convertir los conceptos abstractos en concretos, de forma que los niños puedan aprender las relaciones entre los conceptos, insistiendo en que la simple repetición no lleva a la comprensión.

Piaget estudió las operaciones lógicas que subyacen a muchas de las actividades matemáticas básicas, a las que consideró prerrequisitos para la comprensión del número y de la medida. Aunque a Piaget no le preocupaban los problemas de aprendizaje de las matemáticas, muchas de sus aportaciones


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siguen vigentes en la enseñanza de las matemáticas elementales. Sin embargo, su afirmación de que las operaciones lógicas son un prerrequisito para construir los conceptos numéricos y aritméticos ha sido refutada desde distintos planteamientos, que defienden un modelo de integración de habilidades, donde son importantes tanto el desarrollo de los aspectos numéricos como de los lógicos.

Constructivismo

El constructivismo es una teoría que equipara al aprendizaje con la creación de significados a partir de experiencias (Bednar et al. 1991).

No es un enfoque totalmente nuevo del aprendizaje. Así como muchas otras teorías del aprendizaje, el constructivismo posee múltiples raíces en la óptica tanto filosófica como psicológica del siglo XX.

Aun cuando el constructivismo se considera una rama del cognitivismo (ambas teorías conciben el aprendizaje como una actividad mental), se diferencia de las teorías cognitivas tradicionales en varias formas. La mayoría de los psicólogos cognitivos consideran que la mente es una herramienta de referencia para el mundo real; los constructivistas creen que la mente filtra lo que nos llega del mundo para producir su propia y única realidad (Jonassen 1991a).

Así como los racionalistas de la época de Platón, se considera a la mente como la fuente de todo significado, sin embargo, tal como con los empiristas, se considera que las experiencias individuales y directas con el medio ambiente son críticas. Los constructivistas cruzan ambas categorías enfatizando la interacción entre estas dos variables. Los constructivistas no comparten con los cognitivistas ni con los conductistas la creencia que el conocimiento es independiente de la mente y puede ser "representado" dentro del alumno. Los constructivistas no niegan la existencia del mundo real, pero sostienen que lo que conocemos de él nace de la propia interpretación de nuestras experiencias. Los humanos crean significados, no los adquieren. Dado que de cualquier experiencia pueden derivarse muchos significados posibles, no podemos pretender lograr un significado predeterminado y “correcto”. (Ertmer & Newby, 1993)

Matemática constructivista

Por resumir, lo más significativo de este planteamiento pasa por:

Entender el aprendizaje de las matemáticas como un proceso de construcción individual que se produce a través de las interacciones individuales y grupales que se realizan en el aula. El grupo-clase y la escuela se convierten así en referentes y agentes básicos de aprendizaje.

Respetar los diversos ritmos y maneras de construir los diferentes tipos de contenidos matemáticos (conceptos, procedimientos y actitudes) y las diferencias en las maneras de construir y aprender de los propios alumnos/as (unos más analíticos, otros más globales...).

Tener presente que el aprendizaje que uno puede interiorizar y construir está condicionado por lo que ya sabe y por la calidad del proceso de aprendizaje. De tal manera que es imprescindible la comprensión y la actividad mental (idea de conflicto cognitivo y de resolución de problemas) en el proceso matemático.

Ser conscientes, además, de que las actitudes hacia las matemáticas, tanto por parte del profesor(a) como del alumno(a), son un elemento básico para el aprendizaje. Estamos


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hablando de valorar la importancia de las matemáticas en la vida, de tener una actitud de reflexión, de discusión y de valoración de las opiniones y de los saberes de los demás (verdaderos elementos motivadores hacia las matemáticas).

Considerar, por tanto, el aprendizaje cooperativo como el centro de la actividad y contexto de aprendizaje matemáticos.

Promover acción matemática con el horizonte de la autonomía como referencia

El papel del profesor es más de mediador en la cooperación, de persona que dialoga para aprender, que de simple y tradicional instructor que trata a los alumnos/as como ignorantes a los que debe transmitir sus conocimientos. (Guirles, 2002)

VII. UNA MIRADA A LA ACTUALIDAD: APRENDIZAJE POR COMPETENCIAS

El concepto de competencias es propuesto originalmente por Noam Chomsky en el marco de su teoría de la Gramática Generativa Transformacional, donde aportó el concepto de competencia lingüística y en donde señala que una persona es competente en el uso del lenguaje cuando lo emplea para interactuar en la comunidad.

Otra de las fuentes en la construcción del concepto surgió en el mundo laboral, en donde David McClelland afirmó que los test y cuestionarios tradicionales utilizados para predecir el rendimiento laboral, que están basados en la medición de conocimientos y aptitudes, así como las notas escolares, no predecían el éxito en el desempeño en situaciones concretas de la vida y en ejercicio ocupacional y, por lo tanto, buscó y estableció unas nuevas variables que denominó como competencias. Estas variables se medían dentro del contexto de tareas laborales, teniendo como referencia a aquellos empleados que son particularmente exitosos en sus labores, frente a quienes tienen un rendimiento promedio.

La idea de contribuir al desarrollo en todas sus facetas personales, sociales, culturales políticas y económicas, es donde nace la necesidad de adaptación de las universidades a sus contextos nacionales e internacionales; de prepararse para poder dar respuesta satisfactoria a los requerimientos de la sociedad y a los nuevos problemas, de las necesidades e intereses que están surgiendo.

El aprendizaje basado en competencias consiste en desarrollar las competencias genéricas o transversales (instrumentales, interpersonales y sistémicas) necesarias y las competencias específicas (propias de cada profesión) con el propósito de capacitar a la persona sobre los conocimientos científicos y técnicos, su capacidad de aplicarlos en contextos diversos y complejos, integrándolos con sus propias actitudes y valores en un modo propio de actuar personal y profesionalmente. (Villa, 2007)

La orientación de las matemáticas por competencias, tomando como referencia el Enfoque Socio-formativo, pretende formar personas competentes para desempeñarse en la realización de tareas y resolución de problemas mediante algoritmos, procesos lógicos, estimación aproximada de resultados, construcción de modelos algebraicos, medición y procedimientos de cálculo numérico. En esta perspectiva, se enfatiza en la comprensión de los conceptos antes que en la acumulación de datos inconexos.


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VIII. CONCLUSIONES

A pesar de que el proceso enseñanza-aprendizaje es propio de cada individuo, los métodos y currículo que son enseñados son propios del contexto político y social en el que dichos individuos se desenvuelven.

En la edad antigua la educación se limitaba en un enfoque ciudadano, las matemáticas que se enseñaban eran necesarias para que los gobernantes tuvieran un control económico y estadístico sobre su pueblo, sin embargo, los filósofos transmitían sus ideas en plazas, sembrando en cualquiera el deseo por conocer.

A pesar de que los sofistas fueron criticados por cobrar altas sumas por enseñar sus conocimientos, fueron quienes definieron el primer currículo de la historia: el arte de hablar bien (elocuencia), el arte de escribir bien (gramática), el arte de razonar bien (dialéctica) y el arte del lenguaje métrico (ritmíco), o sea, la poesía.

Finalizando la etapa oscura de la edad media, se retoman el conocimiento heredado de los griegos, siendo ahora necesario para cualquier persona culta el conocimiento del quadrivium, (que consta de la geometría, la astronomía, la aritmética y la música), seguido del trivium (gramática, retórica y dialéctica).

Es de notar, entonces, que la didáctica de las matemáticas comienza con el aprendizaje y entendimiento de la geometría, posteriormente con el álgebra, que René Descartes unió para crear la Geometría Analítica, sin embargo, fue hasta 1630, con “Didáctica Magna” de Comenio donde la pedagogía asume un rol importante en la transmisión del conocimiento y se adopta la didáctica como la ciencia que estudia las técnicas de enseñanza y el proceso enseñanza-aprendizaje.

Todo esto dio pie a diferentes enfoques del pensamiento humano, que son retomados desde el aspecto psicológico para adaptarse en las diferentes ciencias, como las matemáticas, para posteriormente encontrar metodologías que permitan alcanzar el aprendizaje de los estudiantes de una manera eficiente.


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IX. REFERENCIAS

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Historia de la didáctica de las matemáticas